INSTRUKCJA DO ĆWICZENIA NR 1

Transkrypt

1 L /10/ :52---page1---#1 KATEDRA MECHANIKI STOSOWANEJ Wydział Mechaniczny POLITECHNIKA LUBELSKA INSTRUKCJA DO ĆWICZENIA NR 1 PRZEDMIOT TEMAT Wybrane zagadnienia z optymalizacji elementów konstrukcji Rozwiązywanie zadań optymalizacji metodą graficzną 1. CEL ĆWICZENIA Podstawowym celem ćwiczenia jest zapoznanie się studentów z metodą graficzną rozwiązywania zagadnień optymalizacji jednokryterialnej w dziedzinie dwuwymiarowej. Przedstawione zostanie ponadto pojęcie wrażliwości funkcji celu względem zmiennych decyzyjnych; zostanie także omówiony sposób przybliżonego jej wyznaczania na podstawie sporządzonych przebiegów izolinii funkcji celu. 2. PODSTAWY TEORETYCZNE Proces optymalizacji jest procesem uzyskiwania najlepszego rozwiązania danego zagadnienia o ile oczywiście możliwe jest jednoznaczne określenie miary jakości tego rozwiązania. W praktyce często dąży się do uzyskania maksimum(na przykład zysku) lub do minimum(na przykład kosztu, objętości, ciężaru konstrukcji itd.) zgodnie z przyjętym kryterium. Stąd też słowo optymalny w języku potocznym oznacza najczęściej maksimum lub minimum w zależności od okoliczności i kontekstu. Pojęcie optymalny jest także terminem technicznym i oznacza ekstremalne spośród możliwych rozwiązanie zagadnienia z uwagi na przyjęte kryterium oceny i jednocześnie nie naruszające przyjętych ograniczeń. Termin optymalizacja będziemy zaś rozumieć jako ogół działań prowadzących do uzyskania rozwiązania optymalnego. strona1z6

2 L /10/ :52---page2---#2 Teoria optymalizacji jest działem matematyki obejmującym badania ilościowe i jakościowe rozwiązań optymalnych i poszukującym sposobów wyznaczania tych rozwiązań. Stanowi część szerszego działu matematyki, jakim są badania operacyjne tj. dyscypliny naukowej związanej z teorią podejmowania decyzji i rozwiązywania problemów związanych z podjęciem decyzji optymalnych. Sformułowanie i rozwiązanie każdego zagadnienia optymalizacji można sprowadzić do następujących, kluczowych etapów: wybór zmiennych zadania optymalizacji tzw. zmiennych decyzyjnych. Są to wielkości poszukiwane w toku rozwiązywania zagadnienia; przykładowo może to być średnica elementu, długość elementu, rodzaj użytego materiału itp., wybór funkcji celu zadania optymalizacji, tj. kryterium oceny uzyskiwanych rozwiązań. Wybrane w poprzednim kroku zmienne decyzyjne mają bezpośredni wpływ na wartość funkcji celu. W zagadnieniach konstrukcyjnych jednym z najczęstszych kryteriów jest minimum ciężaru konstrukcji, określenie ograniczeń jakim podlegają wybrane zmienne decyzyjne(np. wielkości wymiarowe muszą być nieujemne, profile elementów są dobierane z katalogu dostępnego asortymentu itp.), bądź też ograniczeń jakim może podlegać inne zmienne stanu, które zależą od tych zmiennych decyzyjnych np. naprężenia w konstrukcji nie mogą przekroczyć naprężeń dopuszczalnych, dobór metody rozwiązania(algorytmu), najczęściej typowego dla danej klasy zagadnienia, i rozwiązanie zadania. Z powyższych zapisów wynika, że zarówno funkcja celu, jak i przyjęte ograniczenia muszą być funkcjami jednej lub wielu zmiennych zadania optymalizacji. Zależności te, w niektórych przypadkach mogą mieć postać funkcji niejawnych. Ponadto należy zauważyć, że poszukiwanie rozwiązania optymalnego ma sens tylko wtedy, gdy postawione zagadnienie ma wiele rozwiązań; spośród tego zbioru bowiem wybierane jest optimum. W sytuacji gdy problem ma tylko jedno rozwiązanie, to rozwiązanie to automatycznie jest rozwiązaniem optymalnym. strona2z6

3 L /10/ :52---page3---#3 Posługując się formalizmem matematycznym każde zadanie optymalizacji można zatem zapisać następująco: wyznaczyć wektor zmiennych decyzyjnych x={x 1,x 2,...x n } R n (1) tak,aby wobec min x f(x) (2) g j (x) 0 j=1,2,...,m h j (x)=0 j=1,2,...,r (3) Wpowyższymzapisiesymbolx={x 1,x 2,...x n }oznaczan-wymiarowy wektor zmiennych decyzyjnych(zadanie n-wymiarowe); każdy z elementów x i tegowektorastanowijednązmiennądecyzyjną.zapisg j (x)oznaczafunkcje skalarne ograniczeń nierównościowych zadania nałożonych na zmienne decyzyjnex,zaśh j (x)funkcjeskalarneograniczeńrównościowych.ponadto, w literaturze przedmiotu zwyczajowo przyjmuje się, że poszukiwane rozwiązanieoptymalneoznaczanejestx. Uzupełnieniem rozwiązania zadania optymalizacyjnego jest przeprowadzenie analizy wrażliwości uzyskanego optimum. Celem jest zbadanie wpływuniewielkichodchyłekposzczególnychzmiennychdecyzyjnychx i na,albo wielkości opisujące zachowanie się tej konstrukcji wyrażone zmiennymi stanu(przykładowo naprężenia lub przemieszczenia), albo też bezpośrednio na wartość funkcji celu. Analiza wrażliwości jest zatem narzędziem nieodzownym do przewidywania zachowania się konstrukcji po zmianie parametrów modelu lub przyjętego rozwiązania. Z matematycznego punktu widzenia analiza wrażliwości sprowadza się do wyznaczenia n-elementowego wektora gradientu { df(x) f(x) dx =, f(x),..., f(x) } (4) x 1 x 2 x n x=x wotoczeniupunktuoptymalnegox. strona3z6

4 L /10/ :52---page4---#4 W przypadku prostych zadań optymalizacji należących do klasy zagadnień dwuwymiarowych rozwiązanie problemu można stosunkowo łatwo wyznaczyć metodą graficzną. Postępowania polega na wykreśleniu na płaszczyźnieukładuwspółrzędnych(x 1,O,x 2 )dziedzinyrozwiązańdopuszczalnych patrz przykład na 1-a. Następnie na schemat ten należy nanieść izolinię, która stanowi zbiór punktów, w których funkcja celu f(x) przyjmuje dowolniewybranąstałąwartość,np.c 1.DobierająckolejnewartościstałejC uzyskuje się rodzinę izolinii funkcji celu. Analizując przebieg tych krzywych w odniesieniu do dziedziny problemu można wyznaczyć punkt, w którym funkcja celu przyjmie wartość ekstremalną. Przykładowo, jeśli stałe C na rysunku1-bspełniajązależnośćc 1 <C 2 <...<C i towyznaczonypunkt x jestekstremummaksimumzadania. Rysunek 1. Przykład rozwiązania zadania optymalizacji metodą graficzną.(a) dziedzinarozwiązaniawyznaczonaprzezograniczeniag 1 (x),...,g 4 (x);(b)naniesioneizoliniefunkcjiceluf(x)dlaróżnychwartościstałychc k 3. PRZEBIEG ĆWICZENIA Prowadzący zajęcia przydzieli każdemu zespołowi laboratoryjnemu zadnie do rozwiązania. Będzie to zadanie optymalizacji jednokryterialnej w dziedzinie dwuwymiarowej(wektor zmiennych decyzyjnych jest wektorem dwuelementowymx={x 1,x 2 }).Studencirozwiązujązadaniemetodągraficzną postępując według schematu: strona4z6

5 L /10/ :52---page5---#5 Wykreślićosieukładuwspółrzędnychx 1,x 2 iprzyjąćjednostkidlakażdej zosi. Wyznaczyć dziedzinę rozwiązań dla podanego zagadnienia uwzględniając funkcje ograniczeń nierównościowych(3). Korzystając z kalkulatora i przyrządów kreślarskich narysować rodzinę izoliniifunkcjicelu(f(x 1,x 2 )=C=const.).Wypełnićtabelę1.Na podstawie przebiegu izolinii określić przybliżony przebieg powierzchni funkcji celu. Spośród wykreślonych izolinii wybrać tę, która zawiera rozwiązanie optymalne. W punkcie będącym rozwiązaniem zagadnienia wyznaczyć wrażliwość rozwiązania względem każdej ze zmiennych decyzyjnych bazując na zależnościach(4). 4. OPRACOWANIE WYNIKÓW Wyniki cząstkowe wyznaczania izolinii funkcji celu należy wpisać do Tabeli 1. Po rozwiązaniu zadania i wyznaczeniu wrażliwości należy wpisać uzyskane wynikidotabeli2 Tabela 1. Wyznaczenie izolinii funkcji celu C 1 =... x 1 : x 2 : C 2 =... x 1 : x 2 :. C i =... x 1 : x 2 : strona5z6

6 L /10/ :52---page6---#6 Tabela 2. Rozwiązanie zadania i wyniki obliczeń wrażliwości df(x)/dx w punkcie optymalnymx x 1 [ ] x 2 [ ] f(x 1,x 2 ) x 1 x [ ] f(x 1,x 2 ) x 2 x [ ] 5. SPRAWOZDANIE Sprawozdanie z ćwiczenia powinno zawierać: 1. Tabelkę identyfikacyjną. 2. Cel ćwiczenia. 3. Sformułowanie zadania optymalizacji wg.(1)-(3) 4. Arkusz obliczeń będący podstawą wyznaczenia izolinii funkcji celu(kilka wybranych punktów dla każdej z izolinii) Tabela. 5. Obliczenia wrażliwości rozwiązania optymalnego względem obu zmiennych decyzyjnych w otoczeniu rozwiązania optymalnego. 6. Arkusz zawierający schemat rozwiązania metodą graficzną(papier milimetrowy). 7. Wnioski Uwaga Studenci przystępujący do ćwiczenia zobowiązani są posiadać kalkulator oraz arkusz papieru milimetrowego formatu A3 i komplet przyrządów kreślarskich w tym krzywiki. strona6z6