Analiza matematyczna II. Pula jawnych zadaò na kolokwia.

Transkrypt

1 Analiza matematyczna II. Pula jawnych zadaò na kolokwia. Wydzia MIiM UW, 20/2 8 maja 202 ostatnie poprawki (literówka w zadaniu 53): 0 stycznia 204 Szanowni PaÒstwo, na koòcu listy jest trochí nowych zadaò, obejmujπcych teorií miary i ca ki. Na kolokwium co najmniej 3-4 zadania bídπ zbliøone treúciπ i poziomem trudnoúci do przedstawionych na tej liúcie. Ostatnie tegoroczne zadania mogπ pojawiê sií jeszcze do 23 maja w πcznie. Struktura liniowa i topologiczna przestrzeni R n. W R 2 dana jest norma k k; kula jednostkowa w tej normie, B = {(x, y) 2 R 2 : k(x, y)k apple}, ma kszta t szeúciokπta foremnego o boku d ugoúci i jednym z wierzcho ków w punkcie (, 0). (a) UdowodniÊ, øe norma k knie pochodzi od iloczynu skalarnego. (b) ObliczyÊ normy: k(5, 0)k, k(0, 5)k, k(3, p 3)k, k(, p 3)k. 2. W R 2 dany jest pewien iloczyn skalarny h, i. Definiujemy normí kxk = p hx, xi. Wiadomo, øe WyznaczyÊ wzór opisujπcy normí k(x, y)k. kxk 2 sup x 2R 2 kxk =3, inf kxk 2 x 2R 2 kxk = p 5 oraz k(, 2)k = i k( 2, )k = p 5. 3

2 2 Rachunek róøniczkowy 3. Czy funkcja 8 < cos((x + y) 2 ), (x, y) 6= (0, 0) f(x, y) = x : 2 + y 2 0, (x, y) =(0, 0) jest ciπg a w punkcie (0, 0)? ProszÍ uzasadniê odpowiedü. 4. ObliczyÊ granicí ln(x + e y ) x y lim p. (x,y)!(0,0) x2 + y 2 5. Niech f(x) =x/( + x 2 ). Dla danych g, h : R 2! R definiujemy F : R 2! R wzorem F (x, y) =h(x, y)f(g(x, y)). badaê istnienie granicy lim (x,y)!(0,0) F (x, y) w nastípujπcych przypadkach: (a) g(x, y) = x y 2 dla y 6= 0 0 dla y =0, h(x, y) = y x /2 dla x 6= 0, 0 dla x =0, tzn. F (x, y) = xp x y 3 x (y 4 + x 2 ) dla (x, y) 6= (0, 0) i F (0, 0) = 0; (b) g(x, y) = x/y dla y 6= 0 0 dla y =0 oraz h(x, y) =x, tzn. F (x, y) = x2 y dla (x, y) 6= (0, 0) i (x, y) =(0, 0) y 2 + x2 (c) g(x, y) =x y oraz h(x, y) = tzn. F (x, y) = dla x 6= y i F (x, x) =0. +(x y) 2 /(x y) dla x 6= y 0 dla x = y, 6. PodaÊ przyk ad funkcji f : R 2! R, która ma pochodne czπstkowe w kaødym punkcie p aszczyzny, ale lim t!0 f(t, t 2 )=. 7. PodaÊ przyk ad funkcji dwu zmiennych f(x, y) takiej, øe lim (x,y)!(0,0) f(x, y) =0 oraz 0=limlim f(x, y) 6= lim lim f(x, y). x!0 y!0 y!0 x!0 2

3 8. Czy funkcja f(x, y) =sin (x 2 + y 2 ) jest jednostajnie ciπg a na kole {(x, y) 2 R 2 : x 2 + y 2 < }? ProszÍ uzasadniê odpowiedü. 9. naleüê wszystkie punkty ciπg oúci funkcji f : R 2! Rdanej wzorem ( xy exp( y/x 2 ), x 6= 0, f(x, y) = 0, x =0. 0. Niech f bídzie funkcjπ ciπg π okreúlonπ na A = {x 2 R 2 : kxk =}[{x 2 R 2 : kx (2, 0)k apple } takπ, øe f(, 0) = i f(3, 0) = 7. UdowodniÊ, øe istnieje a 2 A takie, øe f(a) =0. Czy istnieje funkcja spe niajπca warunki zadania, dla której jest tylko jeden taki punkt? Uwaga: przyjmujemy kyk = P y i.. ObliczyÊ pochodne czπstkowe funkcji f : R n! R w otoczeniu punktu 0 i zbadaê róøniczkowalnoúê f w punkcie 0 2 R n, dla f danej wzorem (a) f(x) =kxk 2 cos(kxk ) dla x 6= 0oraz f(0) =0, (b) f(x) =( cos(kxk )) sin(kxk ) dla x 6= 0oraz f(0) =0. (c) f(x) =( cos(kxk)) sin(kxk ) dla x 6= 0oraz f(0) =0. 2. Niech f(x, y) =x 2 sin(y/x)cos(/x 2 )ln(+y), (x, y) 2 R 2, x 6= 0. ProszÍ dookreúliê wartoúê f w (0, 0) tak, aby w tym punkcie istnia a pochodna kierunkowa f wzglídem wektora (, ). ObliczyÊ tí pochodnπ. 3. Czy funkcja 8 < f(x, y) = : sin(x 4 + y 4 ), x 2 + y 2 (x, y) 6= (0, 0) 0, (x, y) =(0, 0) jest róøniczkowalna w (0, 0)? ProszÍ uzasadniê odpowiedü. 4. Niech f bídzie funkcjπ okreúlonπ na R 3 wzorem ( x + y z 2 gdy z 2 Q, f(x, y, z) = x + y + z 4 gdy z 62 Q. UdowodniÊ, øe f ma w punkcie a 2 R 3 róøniczkí Df(a) wtedy i tylko wtedy, gdy f jest ciπg a w a. 3

4 5. WyznaczyÊ zbiór wszystkich punktów (x, y) p aszczyzny R 2, w których funkcja jest róøniczkowalna. f(x, y) = e x e y (x + y 2) 6. Funkcja f : R n! R jest róøniczkowalna. ObliczyÊ pochodnπ funkcji jednej zmiennej F (t) = f(t, t 2,...,t n ) 2, t 2 R. 7. Niech f : R 2! R bídzie dana wzorem f(x, y) = 3x 4 y 2 +4yx 2. WykazaÊ, øe dla kaødego wektora v =(v,v 2 ) d ugoúci funkcja h v (t) =f(tv,tv 2 ) ma maksimum lokalne w punkcie t =0. Czy moøna stπd wnioskowaê, øe f ma maksimum lokalne w (0, 0)? Odpowiedü proszí uzasadniê. 8. WyznaczyÊ równanie p aszczyzny przechodzπcej przez punkt (,, 3) i stycznej do powierzchni z =2x 2 + y 2 w R WykazaÊ, øe funkcja 8 < x 3, (x, y) 6= (0, 0) f(x, y) = x : 2 + y2 0, (x, y) =(0, 0) jest ciπg a w (0, 0) i ma w tym punkcie pochodne kierunkowe we wszystkich kierunkach, ale nie jest róøniczkowalna w (0, 0). 20. Funkcja f jest okreúlona na zbiorze A = {(x, y) 2 R 2 : xy > } wzorem 8 p < +xy dla y 6= 0, f(x, y) = y : x/2 dla y =0. (a WykazaÊ róøniczkowalnoúê f w (0, 0). Czy róøniczka funkcji f jest ciπg a w tym punkcie? (b Czy funkcja f jest róøniczkowalna w punkcie (, 0)? Odpowiedzi proszí uzasadniê. 4

5 2. Niech f (x, y) = ( (x 2 + y 2 ) sin / p x 2 + y 2, (x, y) 6= 0, 0, (x, y) =0. (a) WykazaÊ, øe f /2 jest ciπg a w (0, 0), ale nie jest róøniczkowalna w (0, 0). (b) WykazaÊ, øe f jest róøniczkowalna w kaødym otoczeniu (0, 0), ale nie jest klasy C w øadnym otoczeniu zera. (c) WykazaÊ, øe f 3/2 jest klasy C na ca ej p aszczyünie R WyznaczyÊ wszystkie wartoúci p, q > 0, dla których funkcja f : R n! R dana wzorem nx /q f(x) = x i p jest róøniczkowalna w 0 2 R n. i= 23. ObliczyÊ kres górny funkcji f na zbiorze A: f(x, y) = x ln( + y) 2x 2 + y 2, A = {(x, y): 0 <xapple y apple }. 24. ObliczyÊ kres górny funkcji f na zbiorze A: f(x, y) =x(y x )e y, A = {(x, y): 0 apple x apple y}. 25. UdowodniÊ, øe funkcja f : R n! R, która jest klasy C, spe nia warunek Lipschitza na kaødym zbiorze zwartym K R n. 26. biór R n jest otwarty i spójny. Wiadomo, øe dla wszystkich x, y 2 istnieje zawarta w amana d ugoúci co najwyøej kx yk exp(kx yk), πczπca punkty x, y. Funkcja f 2 C (, R) ma wszystkie pochodne czπstkowe ograniczone przez liczbí M>0. WykazaÊ, øe f(x) f(y) applem p n kx yk exp(kx yk), x, y Niech A R n bídzie zbiorem zwartym, wypuk ym i niech f : A! R bídzie funkcjπ ciπg π na A, róøniczkowalnπ w punktach wewnítrznych zbioru A. ak adamy ponadto, øe istniejπ liczby a,...,a n, nie wszystkie równe zeru, takie, øe nx i= i (x) 0 dla kaødego x 2 int A. UdowodniÊ, øe funkcja f osiπga swojπ wartoúê maksymalnπ i wartoúê minimalnπ w pewnych punktach brzegu zbioru A. 5

6 28. Niech f : R 3 +! R bídzie funkcjπ róøniczkowalnπ (R + =(0, )), spe niajπcπ w kaødym punkcie równania x p f x = y p f y = z p f z (p> jest sta π). DowieúÊ, øe istnieje funkcja róøniczkowalna ': R +! R taka, øe f(x, y, z) ='(x p + y p + z p ). 29. Dana jest funkcja f 2 C 2 (R 2 ) taka, øe ObliczyÊ f xy (0, 0). lim (x,y)!0 f(x, y) tg(x)sin(y) =0. x 2 + y Niech f(x, y) =(x 3 x y)(2x y 2) dla x, y 2 R. (a) WyznaczyÊ wszystkie punkty krytyczne funkcji f. (b) Dla kaødego z tych punktów rozpoznaê, czy f ma w tym punkcie lokalne ekstremum. 3. Niech f(x, y) =x 3 y 3x 2 y + y 2 dla x, y 2 R. (a) WyznaczyÊ wszystkie punkty krytyczne funkcji f. (b) Dla kaødego z tych punktów rozpoznaê, czy f ma w tym punkcie lokalne ekstremum. 32. Niech f(x, y, z) =x 4 + y 4 2x 2 ( y 2 )+z 2 dla x, y, z 2 R. (a) WyznaczyÊ wszystkie punkty krytyczne funkcji f. (b) Dla kaødego z tych punktów rozpoznaê, czy f ma w tym punkcie lokalne ekstremum. 33. Funkcja f : R 2! R jest dwukrotnie róøniczkowalna i spe nia w kaødym punkcie nierównoúê f xx + f yy 0. PrzypuúÊmy, øe f ma tylko niezdegenerowane punkty krytyczne (tzn. w kaødym punkcie krytycznym macierz hesjanu f jest nieosobliwa). WykazaÊ, øe f nie moøe mieê maksimów lokalnych. 34. Niech R n bídzie otwarty i wypuk y. Niech f :! R bídzie funkcjπ wypuk π klasy C 2. WykazaÊ, øe (a) f nie ma lokalnych maksimów w aúciwych w ; (b) f moøe mieê co najwyøej jedno minimum lokalne w aúciwe; (c) jeúli f jest úciúle wypuk a, to f moøe mieê co najwyøej jeden punkt krytyczny. 35. Niech U = R 2 \((, 0] {0}[{(x, y): x 2 +y 2 apple }). Okreúlamy f : U! R wzorem 8 arc tg x >< y, y > 0, f(x, y) = +arctg x y, y < 0, >: 2, y =0. WykazaÊ, øe d ugoúê gradientu funkcji f jest ograniczona z góry na ca ym zbiorze U, ale mimo to f nie spe nia warunku Lipschitza na U. 6

7 36. Rozwaøamy odwzorowanie F : R 2! R 2 dane wzorami F (x, y) =(u, v), u =4xy 2x 2, v =2x 2 + xy y 2. Punktem lokalnej odwracalnoúci F bídziemy nazywaê kaødy punkt (x 0,y 0 ) taki, øe odwzorowanie F, zawíøone do pewnego otoczenia punktu (x 0,y 0 ), przekszta ca to otoczenie bijektywnie na pewne otoczenie punktu (u 0,v 0 )=F(x 0,y 0 ). (a) WyznaczyÊ wszystkie punkty lokalnej odwracalnoúci odwzorowania F. (b) Jednym z takich punktów jest (, ); zatem w pewnym otoczeniu punktu F (, ) = (2, 2) jest okreúlone odwzorowanie odwrotne x = x(u, v), y = y(u, v). (2, 37. (a) UzasadniÊ, øe równanie x ln w + w ln y =0 wyznacza w otoczeniu punktu (x 0,y 0 )=(, ) zmiennπ w jako funkcjí pozosta ych zmiennych: w = g(x, y) i øe jest to funkcja klasy C. (b) NapisaÊ wielomian Taylora stopnia 2 funkcji g w otoczeniu punktu (, ). 38. (a) UdowodniÊ, øe równanie xe z = y(z + x) definiuje z jako funkcjȩ (x, y) w otoczeniu punktu (x 0,y 0,z 0 )=(2,, 0). (b) NapisaÊ wielomian Taylora stopnia 2 funkcji z = z(x, y) w punkcie (2, ). 39. DaÊ przyk ad przekszta cenia, bídπcego dyfeomorfizmem zbioru U na zbiór V : U = {(x, y): x>y>0}, V = {(u, v): u 2 +3v 2 <, 2v >u+ u }. nalezione odwzorowanie naleøy wyraziê albo wprost wzorem, albo jako z oøenie (np. F = F 3 F 2 F ) kilku dyfeomorfizmów, z których kaødy jest wyraøony wzorem. 40. Niech R 2 bídzie obszarem ograniczonym górnπ ga Íziπ hiperboli {xy =}, tj. =R 2 \{(x, y): x>0, xy }. naleüê jawny (tzn. wyraøony konkretnym wzorem) dyfeomorfizm zbiorów i R R W przestrzeni R 3 rozwaøamy zbiory P = {(x, y, z): z x = p x + y 2 }, M = {(x, y, z) 2 P : 0 <x<z}. (a) UzasadniÊ, øe M jest rozmaitoúciπ dwuwymiarowπ. (b) NapisaÊ równanie p aszczyzny stycznej do M w punkcie (3,, 5). (c) WyjaúniÊ, czy zbiór P jest rozmaitoúciπ dwuwymiarowπ. 42. naleüê funkcjí f 2 C (R, R 2 ) takπ, øe (4) f(r) = (x, y) 2 R 2 : x + y =. UdowodniÊ, øe jeúli funkcja f 2 C (R, R 2 ) spe nia warunek (4), to musi istnieê takie t 2 R, øe Df(t) =0. 7

8 43. Dane sπ dwa równania: x 2 y 2 u 3 + v 2 +4=0 oraz 2xy + y 2 2u 2 +3v 4 =0. Czy moøna wyznaczyê u i v jako funkcje róøniczkowalne zmiennych x i y w otoczeniu punktu (x, y,u, v) =(2,, 2, )? ProszÍ uzasadniê odpowiedü. 44. NaszkicowaÊ poziomice funkcji dla ma ego ">0. f(x, y) =y 2 x 2 y 2x 4 + "x 45. Niech A = {z 2 = x 2 + y 2 +,z>0}. NaszkicowaÊ poziomice funkcji f(x, y, z) = x +2y +3z ograniczonej do A. 46. Niech M t = (x, y, z) 2 R 3 : x 2 + y 2 + z 2 =,x 2 y 2 + tz 3 =0. WyjaúniÊ, dla jakich t 2 R zbiór M t jest rozmaitoúciπ klasy C. 47. Niech f : R 2 U! R bȩdzie klasy C na zbiorze otwartym U. a óømy, øe (x 0,y 0 ) 2 U i f y (x 0,y 0 ) 6= 0. WykazaÊ, øe istnieje dyfeomorfizm, powiedzmy (u, v, w) = (x, y, z), zdefiniowany w pewnym otoczeniu U 0 R 3 punktu (x 0,y 0,f(x 0,y 0 )) 2 R 3, który przeprowadza powierzchnií {z = f(x, y)}\u 0 na powierzchniȩ {w = v}\ (U 0 ). 48. WykazaÊ, øe zbiór M = {(x, y, z) :x 2 +5y 2 + z 2 =, 2x 2 +3y 2 +7z 2 =} jest rozmaitoúciπ zanurzonπ klasy C w R 3. Jaki jest wymiar M? 49. WyznaczyÊ kres górny i dolny funkcji f(x, y, z) =5x +6z na zbiorze M z adania UdowodniÊ, øe zbiór macierzy SO(3) = {A 2 M 3 3 (R): AA T =Id, det A =} jest rozmaitoúciπ g adkπ w M 3 3 (R) R 9. Jaki jest wymiar tej rozmaitoúci? 5. Niech n 3 oraz M = (x,...,x n ) 2 R n : ny x i =, i= nx x i =0. i= WykazaÊ, øe M jest rozmaitoúciπ zanurzonπ klasy C. ObliczyÊ wymiar M. 8

9 52. Niech g : R! R bídzie funkcjπ klasy C. definiujmy funkcjí z(x, y) wzorem x 2 + y 2 + z 2 = g(ax + by + cz), gdzie a, b, c sπ sta ymi i sπ spe nione za oøenia twierdzenia o funkcjach uwik anych. WykazaÊ, øe 53. Rozwaømy równanie +(az = bx x 3 + y 3 + z 6 + xyz =8 w otoczeniu punktu (, 2, ). (a) ObliczyÊ pochodne czπstkowe rzídu apple 2 w (, 2) funkcji z(x, y) zadanej tym równaniem. (b) WyznaczyÊ przestrzeò stycznπ w (, 2, ) do powierzchni M, zadanej tym równaniem. 54. naleüê kres dolny i górny funkcji f(x, y, z) =0x +6z na zbiorze A = (x, y, z) 2 R 3 : x 2 +4y 2 + z 2 =, 3x 2 +2y 2 +2z 2 =. 55. Niech K = {(x, y, z): x + y + z apple 4, xyz 2; x, y, z > 0}. ObliczyÊ kres dolny oraz kres górny odleg oúci punktu (0, 0, 0) od punktów zbioru K. 56. Niech U R n, gdzie n 2, bídzie zbiorem otwartym i spójnym i niech F : U! R n bídzie odwzorowaniem klasy C takim, øe det DF(x) 6= 0dla x 2 U. WykazaÊ, øe zbiór F (U) jest otwarty. Czy przekszta cenie F musi byê wzajemnie jednoznaczne? p p p 57. Niech K = {(x, y, z): x + y + z = xyz =4}. WyznaczyÊ zbiór wszystkich wartoúci, przyjmowanych przez sumí x + y + z na zbiorze K. 58. Dana jest liczba naturalna n > 2 oraz dodatnie liczby rzeczywiste a, b takie, øe a 2 <nb. Niech x,...,x n bídπ liczbami rzeczywistymi, spe niajπcymi warunki ay. x + + x n = a, x x 2 n = b. Dla ustalonych wartoúci n, a, b wyznaczyê maksymalnπ moøliwπ wartoúê róønicy miídzy najwiíkszπ a najmniejszπ z liczb x,...,x n. P P Wskazówka: f(x,...,x n )=x x 2 ; M = {(x,...,x n ): xi = a, x 2 i = b}. 59. naleüê kres górny funkcji f(x, y, z) =z 4 (x 2 xy+y 2 )+z 2 (x 4 +y 4 ) na czworoúcianie o wierzcho kach (, 0, 0), (0, 2, 0), (0, 0, 3) i (4, 4, 0). 60. Funkcja entropii na (0, ) n jest zdefiniowana wzorem nx E(x,..,x n )= x i ln(/x i ). WykazaÊ, øe E przed uøa sií do funkcji ciπg ej Ẽ na kostce domkniítej [0, ]n. naleüê kres górny funkcji Ẽ na zbiorze i= K = {x 2 [0, ] n : x + x x n =}. 9

10 3 Teoria miary i ca ki Uwaga. Symbol n oznacza n-wymiarowπ miarí Lebesgue a na -ciele L (R n ) zbiorów mierzalnych w sensie Lebesgue a. Wszystkie ca ki sπ wzglídem miary Lebesgue a (tzn. przyjmujemy konwencjí dx = d (x), dx dy = d 2 (x, y) itp.) 6. P jest przedzia em domkniítym w R n, a zbiór A P jest domkniíty. UdowodniÊ, øe jeúli n(a) = n (P ), toa = P. 62. Niech A bídzie zbiorem tych liczb z przedzia u [0, ], które majπ rozwiniície dwójkowe postaci 0,c c 2 c 3...(cyfry c i 2{0, }), spe niajπce warunek: c i c i+ =0dla i parzystych. DowieúÊ, øe A jest zbiorem miary zero. 63. Dany jest zbiór A R n, dodatniej miary Lebesgue a. WykazaÊ, øe w zbiorze A istnieje punkt, leøπcy w odleg oúci niewymiernej od kaødego punktu przestrzeni R n, majπcego wszystkie wspó rzídne wymierne. 64. Niech A R k, k(a) > 0 WykazaÊ, øe dla kaødego 0 <c< istnieje przedzia k-wymiarowy P taki, øe k (P ) > 0 oraz k (A \ P ) c k (P ). 65. Niech {f n } n= bídzie ciπgiem funkcji ciπg ych na [0, ]. UdowodniÊ, øe zbiór punktów x 2 [0, ] takich, øe ciπg liczbowy f n (x) jest zbieøny, jest zbiorem mierzalnym w sensie Lebesgue a. 66. Niech f bídzie funkcjπ mierzalnπ na [, ) i ograniczonπ na zbiorach ograniczonych. Po óømy a n = n+ n f(x) d (x), n =, 2,... (a) Czy jest prawdπ, øe f jest ca kowalna na [, ) wtedy i tylko wtedy, gdy szereg P n= a n jest zbieøny? (b) Czy jest prawdπ, øe f jest ca kowalna na [, ) wtedy i tylko wtedy, gdy szereg P n= a n jest bezwzglídnie zbieøny? Odpowiedzi proszí uzasadniê. 67. Dana jest przestrzeò z miarπ (X, F,µ) oraz funkcja f : X! [0, ), ca kowalna wzglídem miary µ. Niech g(x) = p f(x). Czy funkcja g musi byê ca kowalna: (a) przy za oøeniu, øe µ(x) < ; (b) bez tego za oøenia? W zadaniach proszí dok adnie uzasadniê wszystkie elementy rozumowania (wolno powo ywaê sií na twierdzenia z wyk adu, sprawdziwszy uprzednio, øe spe nione sπ ich za oøenia). 68. ObliczyÊ lim n! R+ (x n +)sin(x 2 e x2n + x e x 2n ) x n+2 + x dx. 0

11 69. ObliczyÊ 70. ObliczyÊ 7. ObliczyÊ X m=0 n sin(x/n) lim n! 0 x( + x 2 ) dx. x n +2 lim n! 0 x n + e x dx. m! lim n! {(x,y): 2x 2 +y 2 <n 2 } 2x 2 + y 2 n 2 n 2 x 2m dx dy. 72. ObliczyÊ gdzie lim n! A p n x ( x )arc tg (ny) +x 2 + y 2 dx dy, A = w 2 R 2 : w applesin 3 ^(w, e ) oraz e =(0, ) 2 R ObliczyÊ R granice: 2 x a) lim n n! dx R0 +x n n b) lim n! + x n 0 n e 2x dx 74. Rozwaømy funkcje zmiennej t>0, okreúlone wzorami f(t) = p t 0 e x2 dx! 2 oraz g(t) = 0 e t(+x2 ) +x 2 dx. (a) WykazaÊ, øe f,g sπ róøniczkowalne i f 0 (t)+g 0 (t) =0dla wszystkich t>0. (b) WykazaÊ, øe f(t)+g(t) = /4 dla wszystkich t>0. (c) WywnioskowaÊ stπd, øe R 0 e x2 dx = p 2. ProszÍ starannie uzasadniê wszystkie obliczenia. 75. UdowodniÊ nastípujπcπ wersjí lematu Fatou: niech f n : X! R bídzie ciπgiem funkcji mierzalnych nieujemnych, f n! f punktowo na X, R f X n dµ apple M dla pewnego M>0. Wówczas R fdµapple M. X 76. Niech A R d bídzie zbiorem wypuk ym i takim, øe jeúli a 2 A, to równieø a 2 A. WykazaÊ, øe jeúli d(a) > 2 d, to istnieje element b 2 A \{0} taki, øe b 2 d. Uwaga: kaødy wypuk y podzbiór R d jest mierzalny.

12 77. Niech A R d bídzie zbiorem wypuk ym i takim, øe jeúli a 2 A, to równieø a 2 A. WykazaÊ, øe jeúli N 2 N jest takπ liczbπ naturalnπ, øe d (A) > N2 d,to # A \ d \{0} 2N. Uwaga: kaødy wypuk y podzbiór R d jest mierzalny. 78. Dana jest funkcja f : R! R mierzalna i taka, øe f( (x + y)) apple (f(x)+f(y)) dla 2 2 dowolnych x, y 2 R. WykazaÊ, øe f jest wypuk a. 79. Niech S bídzie obszarem ograniczonym krzywymi xy =, xy =2, xy 3/2 =3 oraz xy 3/2 =4. ObliczyÊ p yd 2 (x, y). 80. Niech V = {(x, y) 2 R 2 : x 2 + y 2 >, /2 <x</2,y >0}. ObliczyÊ y 2 d 2 (x, y). S V 8. Niech A bídzie mierzalnym podzbiorem odcinka [0, ], dodatniej miary Lebesgue a. Po óømy f(x) = (A \ [0,x]). ObliczyÊ R A f(x) d (x). 82. ObliczyÊ trójwymiarowπ miarí Lebesgue a zbioru D := {(x, y, z) 2 R 3 x 2 + z 2 < 2, x > z >y>0}. 83. ObliczyÊ (x + y) 2 sin 2 (x y) d 2 (x, y), K gdzie K oznacza kwadrat o wierzcho kach (0, ), (, 2), (2, ) i (, 0). 84. ObiczyÊ y 2 xd 2 (x, y), D gdzie D jest obszarem ograniczonym, zawartym miídzy parabolami x = x =3( y 2 ). y 2 i 85. ObliczyÊ 86. ObliczyÊ lim n! x 2 +y 2 +z 2 <4, z>0 x 2 <8y<8x 2, y 2 <x<8y 2 z n ln 3 x d 2 (x, y) y x 2 + y 2 n + x 2 + y 2 n d 3 (x, y, z) 2

13 87. WykazaÊ, øe 88. WykazaÊ, øe funkcja jest ca kowalna na R e x2 d (x) d (y) = e. y/2 f(x, y) =2xy exp( x 2 y)cos log(2 + sin(arc tg (xy))) [0,] (y) 89. biór D otrzymujemy poprzez wyciície z kuli jednostkowej (w R 3 ) walca x 2 + y 2 < 2 4. ObliczyÊ 3 (D). Wskazówka. OpisaÊ okrπg o úrodku (0,a) i promieniu a we wspó rzídnych biegunowych. 90. MiarÍ µ definiujemy nastípujπco: dla zbioru mierzalnego E R 3 niech p µ(e) = x2 + y 2 + z 2 d 3 (x, y, z). E\B(0,) ObliczyÊ B(0,2) xy 2 + y 2 z dµ(x, y, z). 9. ObliczyÊ E q xyz d 3 (x, y, z), x 2 4 y2 + z2 25 gdzie E oznacza obszar ograniczony elipsoidπ o równaniu x2 4 + y2 + z2 25 =. 92. ObliczyÊ granicí x x lim e x e u e v x! 0 0 u v dudv. Wskazówka: spróbowaê uøyê regu y de l Hospitala. 93. Niech D oznacza zbiór {(x, y) 2 R 2 : x 2 + y 2 <,x>0,y >0}. Funkcja f : R 2! R jest ciπg a, f(0, 0) =. Dla jakich 2 R ciπg n ( x y) n f(x, y) d 2 (x, y) jest zbieøny? Odpowiedü proszí uzasadniê. D 3

14 94. Niech A 2 R n bídzie ograniczonym zbiorem otwartym takim, øe 0 2 A. Dla jakich parametrów funkcja f(x) =kxk jest ca kowalna wzglídem miary Lebesgue a n na R n \ A? Odpowiedü proszí uzasadniê. 95. Funkcje f,g,h sπ ca kowalne wzglídem n-wymiarowej miary Lebesgue a na przestrzeni R n. WykazaÊ, øe (f g) h = f (g h). 96. Niech f n : R k! R, f n (x) := +nkxk B(0,)\B(0,/n) (x) n ln. nkxk Dla jakich parametrów 2 R ciπg f n jest zbieøny w przestrzeni L (B(0, )) (z miarπ Lebesgue a)? 97. Niech WykazaÊ, øe jeúli g 2 L (R), to f (x) := 2 e x. lim! kf g gk L (R) = ObliczyÊ powierzchnií elipsoidy E = {(x, y, z) 2 R 3 :9x 2 +9y 2 + z 2 =9}. 99. Na elipsoidzie E = {(x, y, z) 2 R 3 : x 2 + y 2 +4z 2 = 4} rozwaøamy zbiór A = E \{(x, y, z): y > xi y > 0}. ObliczyÊ ca kí wzglídem miary powierzchniowej 2 : xy p 3z2 + d 2. 4 Formy róøniczkowe i okolice A Uwaga: forma! 2 k (U) nazywa sií zamkniíta wtedy i tylko wtedy, gdy d! =0. Forma! 2 k (U) nazywa sií dok adna wtedy i tylko wtedy, gdy! = d dla pewnego 2 k (U). 00. Niech = {(x, y): xy =,x 2,y 2 } R2. ObliczyÊ ca kí z formy (3x +4y) dx +(x +2y) dy (x + y) 3/2 wzd uø uku, zorientowanego w kierunku wzrastania zmiennej x. 0. WykazaÊ, øe zbiór {(x, y) 2 R 2 x>0, y<0, x 4 xy 2 y 3 =0}[{(0, 0)} jest krzywπ zamkniítπ; obliczyê pole obszaru ograniczonego przez tí krzywπ. Wskazówka: PodstawiÊ y = tx i spróbowaê zastosowaê twierdzenie Greena. 4

15 02. Niech! 2 n (R n \{0}) bídzie dana wzorem! = x x 2 n/2 n x dx 2 ^ dx 3 ^...^ dx n +( ) n x 2 dx 3 ^ dx 4 ^...^ dx n ^ dx + +( ) (j )(n ) x j dx j+ ^...^ dx n ^ dx ^...^ dx j + +( ) (n )2 x n dx ^...^ dx n. Niech f : R n \{0}!R bídzie funkcjπ klasy C. WykazaÊ, øe forma f! jest zamkniíta wtedy i tylko wtedy, gdy f jest jednorodna stopnia 0 (tzn. f(rx) =f(x) dla wszystkich r>0 i x 2 R n \{0}). 03. Niech! =( 2y+x 2 y+x 2 ) dx+(2x xy 2 +y 2 ) dy. naleüê taki obszar ograniczony R 2 o brzegu kawa kami g adkim, øeby ca ka! by a moøliwie najwiíksza. (Brzeg obszaru ma naturalnπ orientacjí). 04. Niech! (x ) dy ydx (x ) 2 + y 2 (x +)dy ydx (x +) 2 + y 2. Niech bídzie dowolnym obszarem ograniczonym z brzegiem klasy C ; za óømy, øe punkty (, 0) i (, 0) nie naleøπ WykazaÊ, øe R! jest (ca kowitπ) Niech! 2 (R 3 ) we wspó rzídnych (x, y, z) bídzie dana wzorem! = dz 2y dx+2xdy. Wprowadümy operatory róøniczkowe @z oraz tzn. dla funkcji ' 2 C (R 3, R). Y' 2x (a) WykazaÊ, øe f =(f,f 2,f 3 ):R 3! R 3 spe nia warunek f! = wtedy, gdy! wtedy i tylko Xf 3 2f 2 Xf +2f Xf 2 =0 Yf 3 2f 2 Yf +2f Yf 2 =0 3 2f 5

16 (b) WykazaÊ, øe gdy f! =!, to Xf Yf =det Xf 2 Yf 2. Wskazówka: obliczyê d! ^! i skorzystaê ze wzoru f d! = df!. 06. UdowodniÊ, øe forma! = xdy (y ) dx x 2 +(y ) 2 xdy (y +)dx x 2 +(y +) 2. jest zamkniíta, nie jest dok adna w R 2 \{(0, zbiorze U = R 2 \{(0,t): t 2 [, ]}. ), (0, )}, natomiast jest dok adna na 07. ObliczyÊ ca kí x 3/4 4 p x /2 d 2, gdzie jest obszarem ograniczonym krzywπ r =cos 3, 2 [ /2, /2]. Wskazówka: przypomnieê sobie wzór na pochodnπ arcusa sinusa. 08. Niech v =(v,...,v 4 ) i w =(w,...,w 4 ) bídπ wektorami w R 4. Wspó rzídne punktu p 2 R 4 oznaczamy (x, y, z, u). WykazaÊ, øe przyporzπdkowanie 0 v v 2 v 3 v 4 w w 2 w 3 w 4 C R 4 R 4 R 4 3 (p, v, w) 7! det zu u 2 x + y + x + x 2 zu ++u z 2 + z y x +2 C A 2 R okreúla pewnπ 2-formÍ róøniczkowπ na R 4. ProszÍ obliczyê ca kí z tej formy po zbiorze M = {(x, y, z, u): x 2 + y 2 =4x, z 2 + u 2 =} (z dowolnie wybranπ orientacjπ). 09. Niech! = 4(x2 + y 2 )xdx+4(x 2 + y 2 )ydy+2zdz (x 2 + y 2 ) 2 + z 2. WykazaÊ, øe forma! jest zamkniíta w R 3 \{x 2 + y 2 =,z =0}. Czy! jest dok adna? 0. Oblicz ca kí z formy! = x 3 dy ^ dz po po ówce torusa, zadanej za pomocπ parametryzacji x =(4+cos )cos y =(4+cos )sin z =sin, gdzie 2 [0, ], zaú 2 [0, 2 ]. 6

17 . Niech 2 2 (R 3 ) we wspó rzídnych (x, y, z) bídzie dana wzorem =(x y 2 + z 3 )(dy ^ dz + dx ^ dz + dx ^ dy). ObliczyÊ ca kí z formy po brzegu kostki C a = {(x, y, z) 0 apple x, y, z apple a}. 2. Niech 2 n (R n ), = nx i= x i i+ dx ^...^ dx i ^ dx i+ ^...^ dx n. ObliczyÊ ca kí z formy po brzegu kostki C a = {(x,...,x n ) 0 apple x i apple a}. 3. W przestrzeni R 3 dane sπ punkty A = (, 0, 0), B = (0,, 0), C = (0, 0, ), D =(,, 0), E =(,, ). Rozpatrzmy powierzchnií wieloúciennπ M rozmaitoúê z kantami utworzonπ przez trójkπty ADE, DBE, BCE i CAE. Dane jest pole wektorowe v = xz, yz, xyz p. x2 + y 2 + z 2 ObliczyÊ przep yw (strumieò) pola wektorowego rot v przez M, ze strony ujemnej widocznej z punktu (,, ) na dodatniπ a óømy, øe f : R 2! R 2 jest odwzorowaniem klasy C o zwartym noúniku (tzn. f 0 poza pewnπ kulπ B(0,R) R 2 ). WykazaÊ, øe R 2 det Df d 2 =0. Czy teza pozostanie prawdziwa, gdy liczbí 2 zastπpimy wszídzie innπ liczbπ naturalnπ n? 5. a óømy, øe f : R 2! R 2 jest odwzorowaniem klasy C o zwartym noúniku (tzn. f 0 poza pewnπ kulπ B(0,R) R 2 ). WykazaÊ, øe dla kaødej funkcji ciπg ej, ograniczonej h: R 2! R zachodzi nierównoúê R 2 h det Df d 2 apple inf c2r sup h(x) c kdet Dfk L (R 2 ) x 2R 2 6. Niech! 2 n (R n ) bídzie n-formπ róøniczkowπ o zwartym noúniku. WykazaÊ, øe R R n! =0wtedy i tylko wtedy, gdy! = d dla pewnej (n )-formy 2 n (R n ), majπcej zwarty noúnik. 7