ĆWICZENIE 4. PODSTAWY OPTYKI FALOWEJ. GENERACJA I ANALIZA ELEMENTARNYCH FRONTÓW FALOWYCH

Transkrypt

1 ĆWICZENIE 4. PODSTAWY OPTYKI FALOWEJ. GENERACJA I ANALIZA ELEMENTARNYCH FRONTÓW FALOWYCH Wstęp teoetczn Font falow Światło jest falą elektomagnetczną, zatem związana jest z nią funkcja Ψ (,t, opisująca dowolną składową wektoa pola elektcznego lub magnetcznego, któa spełnia ównanie falowe ψ ψ =, v t ( gdzie v jest pędkością światła w danm ośodku. Świetlne font falowe mogą mieć w ogólności óżne kształt i jednm oganiczeniem jest tutaj ównanie (. Z paktcznego punktu widzenia szczególnie ważne są monochomatczne fale sfeczne, płaskie i clindczne. Znajomość ich opisu a pzede wszstkim umiejętność fomowania wmienionch fontów falowch w układzie optcznm ułatwi nam powadzenie ekspementów z zakesu optki falowej. Fala sfeczna Rs..

2 W układzie współzędnch sfecznch (Rs. fala sfeczna jest opisana funkcją: A ψ (, t = cos( km ωt + ϕ (a lub w zapisie zespolonm funkcją: ψ (, t = A i e ( kmωt+ ϕ (b gdzie ϕ pzedstawia fazę początkową, jest współzędną adialną czli odległością punktu obsewacji od początku układu, k oznacza długość wektoa falowego tzn. k=π/λ, ω jest częstością kołową fali tzn. ω = πν, λ i ν są odpowiednio długością i częstością fali monochomatcznej. Powiezchnie stałej faz fali sfecznej są współśodkowmi sfeami. Faza k-ωt+ϕ we wzoach (a i (b odpowiada fali sfecznej ozbieżnej, któej źódłem jest początek układu. Faza k+ωt+ϕ opisuje falę sfeczną zbiegającą do początku układu z Rs. 6. Najefektwniejsz, paktczn sposób sfomowania fali sfecznej zapewnia układ soczewka - otwoek filtując, pzedstawion na Rs.. Rs.. Smbolem S na Rs. oznaczono soczewkę lub obiektw mikoskopow zamontowan w mogącm się obacać uchwcie U. Powższ obót umożliwia poziom pzesuw elementu S względem małego otwoka filtującego OF. Otwoek jest pzesuwan peczjnie dwoma śubami mikometcznmi. Jedna z nich M, pokazana na Rs. umożliwia uch otwoka w płaszczźnie sunku, duga w kieunku postopadłm. Kied wiązka laseowa zostanie zogniskowana dokładnie w obszaze otwoka filtującego, wówczas za otwokiem pojawia się intenswna pole świetlne, będące ealnm pzbliżeniem ozbieżnej fali sfecznej. Tpowa wielkość śednic otwoka dla światła widzialnego wnosi od kilku do kilkudziesięciu mikometów. etap: Sfomowanie fali sfecznej za pomocą układu z Rs. można podzielić na następujące Ustawienie soczewki lub obiektwu S postopadle do kieunku wiązki laseowej.

3 Znalezienie pz pomoc śub mikometcznej położenia otwoka OF, odpowiadającego największemu natężeniu światła w jego obębie. Optmalne położenie znajdujem obsewując otwoek od ston pzeciwnej do kieunku oświetlenia wiązką laseową. 3 Pzesuwanie elementu S popzez obót uchwtu U w kieunku odpowiadającm coaz intenswniejszemu oświetleniu otwoka. Jednocześnie nieznacznie pzemieszczam otwoek OF śubami mikometcznmi ab uzskać jego najbadziej optmalne położenie. UWAGA Pz pojawieniu się dużego natężenia światła w obębie otwoka nie patzm dalej weń bezpośednio a obsewujem plamkę świetlną na katce papieu umieszczonej za otwokiem. Justowanie powadzim do chwili pojawienia się na papieze możliwie najjaśniejszej plamki świetlnej. Fala płaska Monochomatczna fala płaska, popagująca się wzdłuż kieunku wektoa falowego k jest opisana funkcją: i( kmωt+ ϕ (3 ψ (, t = Ae Wekto k jest postopadł do powiezchni stałej faz, któe są w tm pzpadku płaszczznami. Wkes części zeczwistej funkcji ψ (, t = 0 wzdłuż kieunku wektoa k pz paametze ϕ = 3 π jest pokazan na Rs. 3. Rs. 3. 3

4 W układzie optcznm falę płaską można sfomować pz użciu zjustowanego otwoka filtującego OF, umieszczonego w ognisku soczewki S tak jak to pokazano na Rs. 4. Rs. 4. Za soczewką S pojawia się wiązka świetlna, będąca pzbliżeniem fali płaskiej. Wstępne położenie soczewki S za otwokiem OF dobieam w ten sposób, że śednica wjściowej wiązki świetlnej obsewowanej na ekanie powinna bć stała niezależnie od odległości ekanu od soczewki S. Optmalne położenie soczewki egulujem obsewując pążki intefeencjne odbite od powiezchni wzocowej płtki płaskoównoległej. Optczna tansfomata Fouiea Całka dfakcjna, któa w ogólności ma fomę: e U ( xo, o d iλ ik = U ( x, K( θ dx (4 gdzie k=π/λ ; U(x 0, 0 jest amplitudą pola dfakcjnego w punkcie P 0 (x 0, 0 płaszczzn wjściowej Z = z, U(x, jest amplitudą pola padającego w punkcie P (x, płaszczzn Z=0, jest długością wektoa = P P 0, paamet K(θ opisuje cznnik kątow zależn od nachlenia wektoa do płaszczzn OX Y. Odpowiednia geometia jest pokazana na Rs.5. Rs. 5. Wekto P P 0 ma współzędne =[x0 -x, 0 -,z] i jego długość wnosi: 4

5 ( x0 x + ( 0 = z + (5 z Często pz opisie zjawisk dfakcjnch stosujem pzbliżenie pzosiowe, odpowiadające małm kątom wektoa z osią OZ, co jest ównoważne waunkowi: ( x0 x + ( 0 z MAX << (6 Wówczas pzjmujem ównież, że cznnik K(θ w całce (4 jest stał i ówn oaz ozwijam piewiastek w ównaniu (5 w szeeg Taloa, oganiczając się do dwóch piewszch członów ozwinięcia. W ten sposób otzmujem: ( x0 x + ( 0 = z + z (7 Możem zauważć, że małe zmian długości wokół watości z w mianowniku ważenia (4 nie mają istotnego znaczenia i można zastąpić iloaz e ik ik pod całką dfakcjną wielkością e. Ostatecznie zależność (7 powadzi do następującej pzosiowej fom całki z Fesnela: ikz ik e [( x0 x + ( 0 ] z U ( x, = U ( x, e dxd (8 o o iλz Wzó (8 wnika bezpośednio z waunku (6, któ z kolei zachodzi wted, gd obsza punktów obsewacji (x 0, 0 i całkowania (x, są odpowiednio oganiczone. W pzpadku punktów (x, z płaszczzn wejściowej Z=0 odpowiada to dfakcji na obiektach o oganiczonch apetuach. Jeśli nieówność (6 zachodzi mówim ównież, że znajdujem się w stefie dfakcji Fesnela. ik ( x + z Całka (8 zostanie dalej uposzczona, jeśli zaniedbam pod nią dodatkowo cznnik e. Można to uzskać na dwa sposob: a umieszczając za obiektem o amplitudzie zespolonej U(x, optczn element ik ( x + z dwuwmiaow o tansmitancji e. Jest to ównoważne pojawieniu się pod całką ik ( x + z dodatkowego cznnika e b zwiększając odległość obsewacji z, żeb bł spełnion waunek k( x + z MAX << π z >> x + λ MAX (9 W takim pzpadku ważenie (8 pzjmuje postać całki dfakcjnej Faunhohea: ikz ik ik e [ x0 + 0 ] [ x0x + 0 ] z z U ( xo, o e U ( x, e dxd iλz = (0 Definicja dwuwmiaowej tansfomat Fouiea funkcji U(x, : 5

6 F u ( f x, f [ f xx + f ] dx d iπ = U ( x, e ( waz ze wzoem (0 powadzi do wniosku, że natężenie I(x 0, 0 = U(x 0, 0 pola dfakcjnego Faunhofea jest z dokładnością do stałej natężeniową tansfomatą Fouiea funkcji U(x,, tzn: I x0 0 ( x0, 0 = Fu f x =, f = α ( λz λz gdzie α=/λ z = const. Zgodnie z naszą dskusją z punktów a i b obaz dfakcjn Faunhofea, będąc jednocześnie optczną tansfomatą Fouiea tansmitancji U(x, powstaje: Ad a w płaszczźnie ogniskowej soczewki, umieszczonej za obiektem o tansmitancji U(x,, oświetlonm falą płaską - Rs. 6. F u U ( x, Rs. 6. ik ( x + z Wnika to z tego, że funkcja e opisuje w pzbliżeniu pzosiowm Fesnela tansmitancję soczewki cienkiej o ogniskowej z. Inaczej mówiąc, gdb oświetlić falą płaską ik ( x + z obiekt z płaszczzn Z=0 mając tansmitancję e, wówczas zgodnie z pzosiową całką Fesnela (4 światło zostanie skupione za obiektem z punkcie [x 0 =0, 0 =0, Z=z] Ad b w płaszczźnie Z=const dostatecznie odległej od obiektu, dla któej spełnion jest waunek (6. Optczna tansfomata Fouiea apetua postokątna Obiekt o apetuze postokąta o bokach l x i l (pzeźoczst postokąt na czanm niepzeźoczstm tle - Rs.7 ma tansmitancję opisaną funkcją ectus x x =, ect ect lx l U ( (3 6

7 l l x Rs.7 Zgodnie z analizą fouieowską funkcja natężeniowa I 0 (x 0, 0 ze wzou ( ma w tm pzpadku z dokładnością do stałej postać: lx x0 I x0, 0 = sinc sinc λz l λz 0 ( (4 gdzie sin( πx sinc( x = πx (5 Wkes funkcji (8 wzdłuż linii 0 =0 jest pokazan na Rs. 8, a zdjęcie obazu dfakcjnego Faunhofea apetu postokątnej w postaci chaaktestcznego kzża pzedstawia Rs. 9 (kontast jest zmniejszon ab uwpuklić słabe pążki. Rs. 8. 7

8 Rs. 9. Ze wzoów (4 i (5 wnika, że zea w obazie dfakcjnm (ciemne obsza, gdzie natężenie światła spada do zea mają współzędne x o λz = m m C l x wzdłuż postej 0 =0 (6 o λz = m m C l wzdłuż postej x 0 =0 (7 Optczna tansfomata Fouiea apetua kołowa Obiekt o apetuze kołowej o pomieniu R opisan jest funkcją cic( /R gdzie ( = x + - Rs. 0. Rs. 0. ma zgodnie ze wzoem następującą natężeniową tansfomatę Fouiea I ( x 0, 0 = I( 0 = kr J z kr0 z o (8 8

9 gdzie 0 = x0 + 0 oaz J oznacza funkcję Bessela piewszego odzaju i piewszego zędu. Obaz dfakcjn Faunhofea apetu kołowej posiada stuktuę pieścieniową i jest pokazan na Rs.. Rs. Z wkesu kwadatu funkcji Bessela zamieszczonego na Rs.. można znaleźć waunek odpowiadając ciemnm pieścieniom w obazie dfakcjnm, gdzie I( 0 = 0. Rs. Analiza matematczna powadzi do wniosku, że pomienie kolejnch ciemnch pieścieni opisuje ównanie: gdzie: β=,;,3; 3.4;... 0 = β λ z R (9 9

10 Zadania do wkonania ( Piewsze zajęcia z cklu - 4 h: Sfomowanie fali sfecznej ozbieżnej pz pomoc pinholi. Sfomowanie fali płaskiej (ustawiam układ tak, ab śednica ufomowanej wiązki nie zmieniała się na odcinku kilku metów. 3 Intefeencjna kontola jakości fali płaskiej. 4 Obsewacja obazu dfakcjnego Faunhofea bez pomoc soczewki. Oświetlam apetu falą płaską i wkonujem odpowiednie pomia obazów dfakcjnch w dalekiej płaszczźnie wjściowej, leżącej w stefie Faunhofea ( w naszm pzpadku z > m. Znając długość fali światła λ, obliczam długość boków apetu postokątnch i pomienie apetu kołowch ze wzoów (6, (7 i (9. 5 Obsewacja obazu dfakcjnego Faunhofea. Oświetlam apetu falą płaską i wkonujem odpowiednie pomia obazów dfakcjnch. Obaz ejestujem na mozaice CCD. Znając długość fali światła λ, obliczam długość boków apetu postokątnch i pomienie apetu kołowch. 6 Wznaczenie długości boków apetu postokątnch i pomieni apetu kołowch na podstawie pomiau pod mikoskopem. 7 Obsewacja widma Fouiea obiektu powielonego. Obaz ejestujem na mozaice CCD. 8 Obsewacja widma obiektu póbkowanego. Obaz ejestujem na mozaice CCD. UWAGA Należ chonić ocz pzed pomieniowaniem laseowm. W pzpadku lasea agonowego należ także uważać na odblaski, któe powstają na poszczególnch elementach układu optcznego. Pacownia Infomatki Optcznej WF PW Mazec 008 0