Cz ± I. Analiza Matematyczna I

Transkrypt

1 Cz ± I Analiza Matematyczna I

2

3 ROZDZIAŠ Wst p.. Logika B dziemy rozwa»a zdania, o których mo»emy zawsze stwierdzi, czy s prawdziwe, czy faªszywe. Z punktu widzenia logiki istotne jest wyª cznie to, czy dane zdanie jest prawdziwe, czy faªszywe. Fakt, i» zdanie p jest prawdziwe zapisujemy p =, za±, gdy jest faªszywe piszemy p = 0. Je»eli p =, to mówimy,»e p ma warto± logiczn, je»eli p = 0, to p ma warto± logiczn 0. Zaprzeczenie (negacj zdania p oznaczamy p. Oczywi±cie, p = 0 wtedy i tylko wtedy, gdy p =. Parom zda«(p, q mo»emy przy pomocy pewnych reguª (funktorów przyporz dkowywa nowe zdania p q. W tym celu wystarczy poda warto± logiczn zdania p q w zale»no±ci od warto±ci logicznych zda«p i q. Trzeba wi c wypeªni tabelk : p q p q 0 0? 0? 0?? gdzie w miejscach pytajników nale»y wpisa lub 0 (ich ukªad wyznacza jednoznacznie funktor. Šatwo wida,»e mamy 2 4 = 6 mo»liwo±ci. Podstawowe funktory to: ( Alternatywa (suma logiczna p q, inaczej oznaczana lub. (2 Koniunkcja (iloczyn logiczny p q, inaczej oznaczana i, lub samym przecinkiem. (3 Implikacja (wynikanie p = q (p nazywamy poprzednikiem, q nazywamy nast pnikiem. (4 Równowa»no± (wtedy i tylko wtedy p q. p q p q p q p q p q p = q p q p q Przy pomocy funktorów,,, = i mo»emy tworzy bardziej skomplikowane zdania, np. ( p q, czy te» (p q r. Prawa de Morgana ( : (p q ( p ( q, (p q ( p ( q. Kwantykatory: Kwantykator (du»y dla ka»dego, np. x R : x 2 0. Kwantykator (maªy istnieje, np. x R : x 2 = 2. Istnieje dokªadnie jeden!, np.! x R : x 0, x 2 = 2. Prawa de Morgana dla kwantykatorów: ( Augustus De Morgan (

4 4 Marek Jarnicki, Wykªady z Analizy Matematycznej I, II, III, IV, wersja z 2 marca 207. Wst p ( x A : W (x x A : W (x, ( x A : W (x x A : W (x. Deniowanie: Oznaczenie := oznacza równo± z denicji i stosujemy je nast puj co: obiekt deniowany := obiekt deniuj cy, np. f(x := x 2, ale te» x 2 =: f(x. Podobnie, oznaczenie : oznacza równowa»ny z denicji, np. A B : x A : x B..2. Zbiory Poj cia zbioru oraz nale»enia do zbioru s pierwotne i nie s deniowane. Zbiór pusty, tzn. zbiór, do którego nie nale»y»aden element, oznaczamy przez. Zawieranie (inkluzja zbiorów: A B : x A : x B. B dziemy te» pisa A B, je»eli B A. Równo± zbiorów: A = B : A B, B A. B dziemy pisa A B, je»eli A B i A B. Zbiór wszystkich podzbiorów zbioru (pot ga zbioru X: P(X := {A : A X}. P({, 2} = {, {}, {2}, {, 2}}. P( = { }, P(P( = {, { }},.... Je»eli zbiór X ma N elementów, X = {x,..., x N }, to zbiór P(X ma 2 N elementów. Suma zbiorów: Je»eli (A i i I P(X, to A i := {x X : i I : x A i }. i I Je»eli I = {k, k +,..., N}, to piszemy N A j. Je»eli I = {k, k +,... }, to piszemy A j. j=k j=k Iloczyn (przeci cie zbiorów: A i := {x X : i I : x A i }; podobnie jak dla sumy zbiorów deniujemy N A j i A j. j=k j=k i I Ró»nica zbiorów: Je»eli A, B X, to A \ B := {x A : x / B}; A c := X \ A dopeªnienie zbioru A. Prawa de Morgana dla zbiorów: ( A i c = A c i, ( A i c = A c i. i I i I Iloczyn kartezja«ski dwóch zbiorów: A B := {(x, y : x A, y B}, gdzie (x, y := {{x}, {x, y}}. Je»eli A = B, to zamiast A A, piszemy cz sto A 2. Iloczyn kartezja«ski sko«czonej liczby zbiorów: A A n := {(x,..., x n : x A,..., x n A n }, gdzie (x,..., x n := {{x }, {x, x 2 },..., {x,..., x n }}; A A =: A }{{} n. n razy wiczenie.2.. Udowodni,»e (x,..., x n = (y,..., y n x = y,..., x n = y n. Zbiory liczbowe: N zbiór liczb naturalnych, 2,..., N 0 := N {0}, N k := {n N : n k} (k N, Z zbiór liczb caªkowitych, Q zbiór liczb wymiernych, R zbiór liczb rzeczywistych, C zbiór liczb zespolonych. Oczywi±cie N N 0 Z Q R C. A := A \ {0}, np. Q ; A + := {x A : x 0}, np. Z + (= N 0 ; A >0 := {x A : x > 0}, np. R >0. Podobnie deniujemy A, A <0. i I.3. Relacje Denicja.3.. Relacj w zbiorze X nazywamy dowolny zbiór R X X. Zamiast pisa (x, y R piszemy zwykle xry. Relacj R nazywamy równowa»no±ciow, je»eli: (i (zwrotno± x X : xrx, (ii (symetryczno± x,y X : (xry = yrx, (iii (przechodnio± x,y,z X : ((xry, yrz = xrz. i I

5 Marek Jarnicki, Wykªady z Analizy Matematycznej I, II, III, IV, wersja z 2 marca Odwzorowania 5 Je»eli R X X jest relacj równowa»no±ciow, to dla dowolnego x X deniujemy klas równowa»no±ci (abstrakcji x wzgl dem R [x] R := {y X : xry}. Rodzin X/R := {[x] R : x X} P(X nazywamy przestrzeni ilorazow. Oczywi±cie, x [x] R oraz [x] R = [y] R xry ( wiczenie. Przykªad.3.2. X = Z, xry : 2 (x y. Wtedy Z/R = {[0] R, [] R }..4. Odwzorowania Denicja.4.. Dane niech b d zbiory X oraz Y. Zbiór f X Y nazywamy odwzorowaniem (funkcj, je»eli x X! y Y : (x, y f. Je»eli f X Y jest odwzorowaniem, to piszemy f : X Y. Zamiast pisa (x, y f, piszemy y = f(x. Jest to zgodne z tradycyjn denicj odwzorowania f : X Y jako przyporz dkowania ka»demu elementowi x X pewnego elementu y = f(x Y. Dla A X deniujemy obraz A poprzez f jako zbiór f(a := {f(x : x A}. Dla B Y deniujemy przeciwobraz B poprzez f jako zbiór f (B := {x X : f(x B}. Zamiast pisa f ({b} piszemy f (b. Odwzorowanie f : X Y nazywamy: surjekcj, je»eli Y = f(x; injekcj (odwzorowaniem ró»nowarto±ciowym, je»eli dowolnych x, x 2 X z tego,»e f(x = f(x 2 wynika,»e x = x 2 (równowa»nie: je»eli x x 2, to f(x f(x 2 ; bijekcj, je»eli jest równocze±nie injekcj i surjekcj. Dla bijekcji f : X Y deniujemy odwzorowanie odwrotne (funkcj odwrotn f : Y X przy pomocy przepisu f (y = x : y = f(x. Je»eli f : X Y, to dla A X okre±lamy zacie±nienie (zaw»enie, restrykcj odwzorowania f do A jako odwzorowanie f A : A Y dane wzorem f A (x := f(x, x A. Je»eli f j : X j Y, j = {, 2, oraz f X X 2 = f 2 X X 2, to odwzorowanie f f 2 : X X 2 Y f (x, gdy x X dane wzorem (f f 2 (x := nazywamy sklejeniem odwzorowa«f i f 2. f 2 (x, gdy x X 2 Je»eli f : X Y oraz g : Y Z, to odwzorowanie g f : X Z dane wzorem (g f(x := g(f(x, x X, nazywamy zªo»eniem odwzorowa«f oraz g. Je»eli f j : X Y j, j =,..., N, to odwzorowanie (f,..., f N : X Y Y N dane wzorem (f,..., f N (x := (f (x..., f N (x nazywamy zestawieniem odwzorowa«f,..., f N. Je»eli f j : X j Y j, j =,..., N, to odwzorowanie (f f N : X X N Y Y N dane wzorem (f,..., f N (x,..., x N := (f (x..., f N (x N nazywamy iloczynem kartezja«skim odwzorowa«f,..., f N. Je»eli zbiór f(x jest jednopunktowy, to mówimy,»e f jest odwzorowaniem staªym. Odwzorowanie X x idx x X nazywamy odwzorowaniem identyczno±ciowym. Ka»de odwzorowanie f : N X nazywamy ci giem w X. Zwykle kªadziemy f n := f(n, n N, i piszemy (f n n= X lub (f n n N X, np. (/n n= Q. Podci giem ci gu f : N X jest nazywany dowolny ci g postaci f ϕ : N X, gdzie ϕ : N N jest odwzorowaniem takim,»e ϕ( < ϕ(2 <... (zauwa»my,»e ϕ musi by injekcj. Kªad c n k := ϕ(k, k N, piszemy wtedy,»e (f nk k= jest podci giem ci gu (f n n=. Je»eli A X, to przez χ A,X : X {0, } oznaczamy funkcj charakterystyczn zbioru A, {, gdy x A χ A,X (x := 0, gdy x X \ A ; je»eli zbiór X nie budzi w tpliwo±ci, to b dziemy pisa χ A.

6 6 Obserwacja.4.2. (a Je»eli f : X Y, to f( i I Marek Jarnicki, Wykªady z Analizy Matematycznej I, II, III, IV, wersja z 2 marca 207. Wst p A i = f(a i oraz f( A I f(a i ( wiczenie: znale¹ przykªad funkcji f : R R oraz zbiorów A, B R takich,»e = f(a B f(a f(b. (b Je»eli f : X Y, to f ( B j = f (B j oraz f ( B j = f (B j. j J j J (c Skªadanie odwzorowa«jest ª czne, tzn. h (g f = (h g f. (d Odwzorowanie f : X Y jest bijekcj wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje odwzorowanie g : Y X takie,»e g f = id X oraz f g = id Y. (e Je»eli f : X Y i g : Y Z s injekcjami (odp. surjekcjami, bijekcjami, to g f jest injekcj (odp. surjekcj, bijekcj. Ponadto, je»eli f i g s bijekcjami, to (g f = f g. (f Je»eli f : X Y jest bijekcj, to f : Y X jest równie» bijekcj, (f = f oraz f (B(przeciwobraz poprzez f = f (B(obraz poprzez f. i I j J j J i I i I.5. Zbiory przeliczalne Twierdzenie.5. (Zasada indukcji matematycznej. Niech A Z. Je»eli k 0 A oraz to {k Z : k k 0 } A. k Z (k A = k + A, Twierdzenie.5.2 (Zasada minimum. Niech A N. Wtedy tzn. k 0 = min A. k0 A k A : k 0 k, Denicja.5.3. Dwa zbiory X oraz Y nazywamy równolicznymi, je»eli istnieje bijekcja ϕ : X Y. Zbiór A nazywamy sko«czonym, je»eli A = lub A jest równoliczny ze zbiorem {,..., n} dla pewnego n N (wtedy mówimy,»e A jest n-elementowy. Zbiory niesko«czone to takie, które nie s sko«czone. Mówimy,»e A jest przeliczalny, je»eli A jest równoliczny z N; zapisujemy to jako #A = ℵ 0. Zbiór A nazywamy co najwy»ej przeliczalnym, je»eli jest sko«czony lub przeliczalny; zapisujemy to jako #A ℵ 0. Zbiór A nazywamy nieprzeliczalnym, je»eli nie jest co najwy»ej przeliczalny. Obserwacja.5.4. (a Relacja równoliczno±ci zbiorów jest relacj równowa»no±ciow. (b Zbiór jest przeliczalny, je»eli wszystkie wyrazy tego zbioru mo»na ustawi w ci g ró»nowarto±ciowy. (c N 0, Z s przeliczalne. (d Ka»dy niesko«czony zbiór C N mo»na ustawi w ci g ±ci±le rosn cy a : N C, tzn. a(n < a(n +, n N. Istotnie, korzystaj c z zasady minimum deniujemy a( : = min C, a(n : = min(c \ {a(,..., a(n }, n 2. Trzeba tylko pokaza,»e a jest odwzorowaniem surjektywnym. Przypu± my,»e c 0 C \a(n. Wtedy n a(n c 0 dla dowolnego n N, co daje sprzeczno±. (e Dowolny niesko«czony podzbiór B zbioru przeliczalnego A jest przeliczalny. Istotnie, poniewa» A jest przeliczalny, istnieje bijekcja ϕ : N A. Niech C := ϕ (B; jest to zbiór niesko«czony oraz ϕ C : C B jest bijekcj. Wiemy,»e C mo»na ustawi w ci g ±ci±le rosn cy a : N C. Teraz ψ := ϕ a jest bijekcj N B. Twierdzenie.5.5. Zaªó»my,»e rodzina (A i i I P(X jest taka,»e #I ℵ 0 oraz #A i ℵ 0, i I. Wtedy zbiór A := A i jest co najwy»ej przeliczalny. i I Dowód. Wystarczy pokaza,»e w przypadku gdy #I = ℵ 0 oraz #A i = ℵ 0, i I, zbiór A jest przeliczalny. Mo»emy zaªo»y,»e I = N oraz,»e ka»dy zbiór A i jest ustawiony w ci g (a i,n n=. Elementy wszystkich

7 Marek Jarnicki, Wykªady z Analizy Matematycznej I, II, III, IV, wersja z 2 marca Grupy, ciaªa, ciaªa uporz dkowane zbiorów ustawiamy w niesko«czon tablic a, a,2 a,3 a, a 2, a 2,2 a 2,3 a 2, a 3, a 3,2 a 3,3 a 3, a 4, a 4,2 a 4,3 a 4, i teraz wszystkie elementy zbioru A ustawimy w ci g zgodnie ze strzaªkami. 7 Wniosek.5.6. Je»eli X,..., X n s co najwy»ej przeliczalne, to X X n jest co najwy»ej przeliczalny. Dowód. Indukcja wzgl dem n. Przypadek n = jest oczywisty. Przechodzimy do kroku indukcyjnego n n +. Wtedy X X n+ = X X n {x n+ } x n+ X n+ i mo»emy zastosowa Twierdzenie.5.5. Wniosek.5.7. Zbiór Q jest przeliczalny. Dowód. Q mo»emy uto»samia z pewnym niesko«czonym podzbiorem Z 2. Twierdzenie.5.8 (Cantor ( 2. Zbiór X wszystkich ci gów N {0, } jest nieprzeliczalny. Dowód. Oczywi±cie X jest niesko«czony. Przypu± my,»e ustawili±my go w ci g a : N X. Teraz zdeniujemy pewien element x X: Poniewa», x / a(n dostajemy sprzeczno±. x(n := a(n(n, n N. Powy»sza metoda dowodu nosi nazw metody przek tniowej..6. Grupy, ciaªa, ciaªa uporz dkowane Denicja.6.. Grup przemienn (abelow nazywamy dowoln par (G,, gdzie G jest zbiorem niepustym, za± : G G G jest dziaªaniem speªniaj cymi nast puj ce warunki: (a a,b,c G : (a b c = a (b c (ª czno±, (b e G a G : a e = e a = a (element neutralny, (c a G a G : a a = a a = e (element odwrotny; je»eli speªnione s warunki (a, (b i (c, to mówimy,»e (G, jest grup, (d a,b G : a b = b a (przemienno±. Ciaªem nazywamy dowoln trójk (F, +,, gdzie F jest niepustym zbiorem, za± s dziaªaniami speªniaj cymi nast puj ce warunki: + : F F F, : F F F (a (F, + jest grup przemienn (element neutralny wzgl dem + oznaczamy przez 0, za± element odwrotny przez a, (b (F, jest grup przemienn (element neutralny wzgl dem oznaczamy przez, za± element odwrotny przez a, (c a,b,c F : a (b + c = a b + a c (rozdzielno± mno»enia wzgl dem dodawania. ( 2 Georg Cantor (84598.

8 8 Marek Jarnicki, Wykªady z Analizy Matematycznej I, II, III, IV, wersja z 2 marca 207. Wst p Mówimy,»e czwórka (F, +,, < jest ciaªem uporz dkowanym je»eli (F, +, jest ciaªem, za± < jest relacj w F tak,»e: (P a,b F : zachodzi dokªadnie jedna z mo»liwo±ci: a < b, a = b, b < a (spójno±, (P2 a,b,c F : ((a < b, b < c = a < c (przechodnio±, (P3 a,b,c F : (b < c = a + b < a + c (zgodno± relacji z dodawaniem, (P4 a,b,c F : (0 < a, b < c = a b < a c (zgodno± relacji z mno»eniem. Mówimy,»e ciaªo uporz dkowane (F, +,, < speªnia aksjomat ci gªo±ci (aksjomat Dedekinda ( 3, je»eli niemo»liwe jest przedstawienie F = A B, gdzie (C A, B, (C2 a A, b B : a < b, (C3 a A a A : a < a, (C4 b B b B : b < b. Obserwacja.6.2. (Q, +,, < jest ciaªem uporz dkowanym, które nie speªnia aksjomatu Dedekinda. Istotnie, Q = {x Q : (x 0 (x > 0, x 2 < 2} {x Q : x > 0, x 2 > 2}. Zakªadamy,»e znamy ciaªo uporz dkowane (Q, +,, < wraz ze standardow warto±ci bezwzgl dn : Q Q +. Konstrukcj Cantora liczb rzeczywistych przedstawimy szczegóªowo w Rozdziale 9. (R, +,, < jest ciaªem uporz dkowanym speªniaj cym aksjomat ci gªo±ci takim,»e Q R i dziaªania oraz relacja < w R s zgodne z tymi w Q. W R wprowadzamy relacje, >, oraz warto± bezwzgl dn : R R: a b : (a = b (a < b, a > b : b < a, a b : (a = b (a > b, a, je»eli a > 0 a := 0, je»eli a = 0. a, je»eli a < 0 Oczywi±cie powy»sza warto± bezwzgl dna zgadza si na Q z wyj±ciow warto±ci bezwzgl dn dla Q. Ponadto, dla a, b R mamy a b = a b, a + b a + b. Wprowadzamy przedziaªy: [a, b] := {x R : a x b} dla a b, [a, b := {x R : a x < b}, (a, b] := {x R : a < x b}, (a, b := {x R : a < x < b} dla a < b, [a, + := {x R : x a}, (a, + := {x R : x > a} dla a R, (, b] := {x R : x b}, (, a := {x R : x < b} dla b R, (, + := R,, R + := [0, +, R >0 := (0, +, R := (, 0], R <0 := (, 0. Mo»na pokaza,»e je»eli a, b R, a < b, to istnieje r Q takie,»e r (a, b (g sto± Q w R..7. Kresy Denicja.7.. Niech A R. Mówimy,»e A jest ograniczony od góry, je»eli istnieje M R takie,»e x M dla dowolnego x A. Ka»d tak liczb M nazywamy ograniczeniem górnym (majorant zbioru A. Zbiór wszystkich ogranicze«górnych zbioru A oznaczamy Maj A. Mówimy,»e A jest ograniczony od doªu, je»eli istnieje m R takie,»e m x dla dowolnego x A. Ka»d tak liczb m nazywamy ograniczeniem dolnym (minorant zbioru A. Zbiór wszystkich ogranicze«dolnych zbioru A oznaczamy Min A. Mówimy,»e A jest ograniczony, je»eli jest jednocze±nie ograniczony od doªu i od góry. Mówimy,»e element a A jest maksimum zbioru A, je»eli x a dla dowolnego x A. Piszemy a = max A. Mówimy,»e element a A jest minimum zbioru A, je»eli a x dla dowolnego x A. Piszemy a = min A. Je»eli zbiór Maj A ma element minimalny, to nazywamy go supremum (kresem górnym zbioru A i oznaczamy sup A. To znaczy,»e sup A := min(maj A. ( 3 Julius Dedekind (8396.

9 Marek Jarnicki, Wykªady z Analizy Matematycznej I, II, III, IV, wersja z 2 marca Nieprzeliczalno± R 9 Je»eli zbiór Min A ma element maksymalny, to nazywamy go inmum (kresem dolnym zbioru A i oznaczamy inf A. To znaczy,»e inf A := max(min A. Obserwacja.7.2. (a Je»eli a Maj A i b > a, to b Maj A. Je»eli a Min A i b < a, to b Min A. (b Maj R = Min R =. (c jest ograniczony, ale nie ma kresów. (d sup A i inf A s wyznaczone jednoznacznie. (e Je»eli max A (odp. min A istnieje, to max A = sup A (odp. min A = inf A. (f Ka»dy niepusty zbiór sko«czony A R ma maksimum i minimum. (g max A = min( A, sup A = inf( A, gdzie A := { x : x A}. Je»eli A jest ograniczony od góry (odp. od doªu, to A jest ograniczony od doªu (odp. od góry. (h A R jest ograniczony od góry (odp. od doªu i a 0 R, to nast puj ce warunki s równowa»ne: a 0 = sup A (odp. a 0 = inf A; a 0 Maj A oraz ε>0 a A : a > a 0 ε (odp. a 0 Min A oraz ε>0 a A : a < a 0 + ε. Twierdzenie.7.3. Ka»dy niepusty zbiór A R ograniczony od góry (odp. od doªu ma supremum (odp. inmum. Dowód. Niech P := R \ Maj A, Q := Maj A. Wtedy: P Q = R; P, Q ; je»eli a P, b Q, to a < b; je»eli a P, to istnieje b A takie,»e a < b; bior c a < a < b dostajemy a P takie,»e a < a ; z zasady ci gªo±ci wynika,»e istnieje b 0 Q takie,»e b 0 b dla dowolnego b Q, czyli b 0 = sup A. Przypadek inmum przebiega analogicznie ( wiczenie. Obserwacja.7.4. Zbiór I R jest przedziaªem wtedy i tylko wtedy, gdy dla dowolnych x, y I, x < y, mamy [x, y] I. Oczywi±cie ka»dy przedziaª ma wy»ej wymienion wªasno±. Zaªó»my teraz,»e I R ma t wªasno±. Je»eli I jest ograniczony, to deniujemy a := inf I, b := sup I. Gdy a = b, to I = {a} = [a, a]. Je»eli a < b, to, w zale»no±ci od tego, czy a i/lub b nale» do I, mamy I {[a, b], (a, b], [a, b, (a, b}. Je»eli I jest ograniczony od góry, ale nie jest ograniczony od doªu, to deniujemy b := sup I. Wtedy I {(, b], (, b}. Je»eli I jest ograniczony od doªu, ale nie jest ograniczony od góry, to deniujemy a := inf I. Wtedy I {[a, +, (a, + }. Je»eli I nie jest ograniczony ani od góry ani od doªu, to I = R..8. Nieprzeliczalno± R Twierdzenie.8. (Twierdzenie Cantora. Niech I n := [a n, b n ] R, I n+ I n, n N. Wtedy I n. n= Dowód. Dla dowolnych m, n mamy a n b m. Niech A := {a, a 2,... }. Jest to zbiór ograniczony z góry. Niech a := sup A. Wtedy a n a b n dla dowolnego n. St d a I n. wiczenie.8.2. Je»eli w twierdzeniu Cantora ε>0 N N : b N a N ε, to I n musi by jednopunktowy. Twierdzenie.8.3. Dowolny przedziaª I R taki,»e #I 2 jest zbiorem nieprzeliczalnym. n= n= Dowód. Przypu± my,»e I = {c, c 2,... }. Ustalmy a, b I, a < b. Je»eli c / I 0 := [a, b], to kªadziemy I := I 0. Je»eli c I 0, to dobieramy mniejszy przedziaª I = [a, b ] I 0 taki,»e a < b i c / I. Je»eli c 2 / I, to kªadziemy I 2 := I. Je»eli c 2 I, to dobieramy mniejszy przedziaª I 2 = [a 2, b 2 ] I taki,»e a 2 < b 2 i c 2 / I 2. Powtarzamy rozumowanie. Dostajemy zst puj cy ci g przedziaªów I n = [a n, b n ], a n < b n, n N taki,»e c,..., c n / I n, n N. Wynika st d,»e I n = sprzeczno±. n=

10 0 Marek Jarnicki, Wykªady z Analizy Matematycznej I, II, III, IV, wersja z 2 marca 207. Wst p Wniosek.8.4. Zbiór R \ Q jest g sty w R..9. Funkcje monotoniczne i okresowe Denicja.9.. Niech A R i f : A R. Mówimy,»e f jest rosn ca (odp. silnie rosn ca, je»eli dla dowolnych x, y A st d,»e x < y wynika,»e f(x f(y (odp. f(x < f(y. Mówimy,»e f jest malej ca (odp. silnie malej ca, je»eli dla dowolnych x, y A st d,»e x < y wynika,»e f(x f(y (odp. f(x > f(y. Funkcje rosn ce lub malej ce nazywamy monotonicznymi. Funkcje silnie rosn ce lub silnie malej ce nazywamy silnie monotonicznymi. Oczywi±cie, powy»sze denicje dotycz te» ci gów f : N R. Mówimy,»e funkcja f jest okresowa je»eli istnieje liczba ω > 0 (zwana okresem taka,»e: x A : x + ω, x ω A, x A : f(x + ω = f(x. Je»eli istnieje okres minimalny, to nazywamy go okresem zasadniczym (podstawowym. Wida,»e f jest rosn ca (odp. silnie rosn ca wtedy i tylko wtedy, gdy funkcja f jest malej ca (odp. silnie malej ca. Przykªad.9.2. Funkcja f := χ Q,R jest okresowa (dowolna liczba ω Q >0 jest jej okresem, ale f nie posiada okresu zasadniczego..0. Uzupeªniony (rozszerzony zbiór liczb rzeczywistych R := R {, + }, gdzie, + / R i +. Dodawanie i mno»enie rozszerzamy na R tylko cz ±ciowo: a, b R = a + b = b\a R +? R a + b + +? + + a, b R = a b = b\a R <0 0 R > ? R <0 + a b 0 a b 0? 0 0 0? R >0 a b 0 a b + +? + + Dalej rozszerzamy relacj < na x, y R: x < y : (x, y R, x < y (x =, y R {+ } (x R { }, y = +. Dostajemy relacj spójn i przechodni ( wiczenie. Mo»emy wi c rozszerzy na R relacje, > i. Dla dowolnych a, b R, a < b, deniujemy przedziaªy [a, b], (a, b], [a, b, (a, b. Ponadto, deniujemy ± := +. Poj cia Maj A, Min A, max A, min A, sup A, inf A przenosimy na A R. Poniewa» x + dla dowolnego x R, zatem wszystkie zbiory A R s ograniczone. Ponadto, je»eli A, to sup A i inf A istniej. Istotnie: je»eli zbiór A R jest niepusty i ograniczony od góry, to przyjmujemy sup A := sup(a R (po prawej stronie bierzemy supremum w starym sensie; je»eli zbiór A R jest niepusty i nieograniczony od góry, to przyjmujemy sup A := + ; je»eli + A, to sup A := + ; je»eli A = { }, to sup A :=. Podobnie dla inmum ( wiczenie. Odnotujmy,»e sup :=, inf := +.

11 Marek Jarnicki, Wykªady z Analizy Matematycznej I, II, III, IV, wersja z 2 marca Liczby zespolone wiczenie.0.. Odwzorowanie ϕ : R [, ], jest ±ci±le rosn c bijekcj. ϕ(x := { x + x, je»eli x R ±, je»eli x = ±.. Liczby zespolone W zbiorze C := R R wprowadzamy dziaªania: dodawanie: (x, y = (u, v := (x + u, y + v, mno»enie: (x, y (u, v := (xu yv, xv + yu. wiczenie... (C, +, jest ciaªem, przy czym: (0, 0 jest elementem neutralnym dla dodawania. (x, y = ( x, y. (, 0 jest elementem ( neutralnym dla mno»enia. (x, y x = x 2 +y, y 2 x 2 +y dla (x, y (0, 0. 2 Odwzorowanie R x (x, 0 C jest injekcj zgodn z dziaªaniami, co pozwala uto»samia R z podzbiorem C. W konsekwencji x = (x, 0 dla x R, np. 0 = (0, 0, = (, 0. Niech i := (0, C; i nazywamy jednostk urojon. Wtedy i 2 = oraz (x, y = (x, 0 + (0, (y, 0 = x + iy. Je»eli z = x + iy to: x =: Re z nazywamy cz ±ci rzeczywist z, y =: Im z cz ±ci urojon z, z := x 2 + y 2 moduªem (warto±ci bezwzgl dn z, z := x iy liczb sprz»on z z. wiczenie..2. Niech w, z = x + iy C. Wtedy: (a z = z, (b z = z z = x R, (c x = Re z = 2 (z + z, y = Im z = 2i (z z, (d z = z, (e z 2 = z z, (f operator sprz»enia C z z C jest zgodny z dziaªaniami, tzn. w + z = w + z oraz w z = w z, (g wz = w z, (h max{ x, y } z 2 max{ x, y }, z x + y, (i (nierówno± trójk ta w z w + z w + z, (j z = z dla z 0. Twierdzenie..3 (Nierówno± Schwarza ( 4. Dla dowolnych a,..., a n C, b,..., b n C mamy n 2 n n a j b j a j 2 b j 2, j= j= przy czym równo± zachodzi wtedy i tylko wtedy, gdy wektory (a,..., a n oraz (b,..., b n s C-liniowo zale»ne. Dowód. Niech A := n a j 2, B := n b j 2, C := n a j b j. Je»eli AB = 0, to twierdzenie jest oczywiste. j= j= Zaªó»my wi c,»e AB > 0. Mamy: n 0 Ba j Cb j 2 = j= ( 4 Hermann Schwarz ( j= j= n (Ba j Cb j (Ba j Cb j = j=

12 2 Marek Jarnicki, Wykªady z Analizy Matematycznej I, II, III, IV, wersja z 2 marca 207. Wst p n n n n = B 2 a j 2 BC a j b j CB b j a j + C 2 b j 2 = j= j= = B 2 A BCC CBC + C 2 B = B 2 A B C 2 = B(BA C 2. Wynika st d natychmiast,»e C 2 AB oraz,»e równo± zachodzi wtedy i tylko wtedy, gdy Ba j = Cb j, j =,..., n. j= j=

13 ROZDZIAŠ 2 Ci gi liczbowe 2.. Ci gi liczbowe Chwilowo b dziemy rozwa»a tylko ci gi liczbowe (a n n= K, gdzie K {R, C}. Denicja 2... Mówimy,»e ci g (a n n= jest zbie»ny do liczby g K, je»eli ε>0 N N n N : a n g ε. Piszemy wtedy g = lim a n lub a n g, a liczb g nazywamy granic ci gu. n + Mówimy,»e ci g (a n n= jest ci giem Cauchy'ego (, je»eli ε>0 N N n,m N : a n a m ε. Mówimy,»e wªasno± W zachodzi dla prawie wszystkich wyrazów ci gu (a n n=, je»eli istnieje N N takie,»e a n ma wªasno± W dla n N. Obserwacja (a Ci g mo»e by zbie»ny tylko do jednej granicy. (b Je»eli a n = c = const dla prawie wszystkich n N, to a n c. (c /n 0. (d Ka»dy ci g zbie»ny jest ci giem Cauchy'ego. (e Ka»dy ci g Cauchy'ego jest ograniczony. (f Je»eli a n = b n dla prawie wszystkich n N i a n g, to b n g. (g Je»eli a n = b n dla prawie wszystkich n N i (a n n= jest ci giem Cauchy'ego, to (b n n= jest ci giem Cauchy'ego. (h Dla (a n n=, (b n n= R oraz a, b R mamy: a n + ib n a + ib a n a, b n b. Podobnie, ci g (a n +ib n n= jest ci giem Cauchy'ego wtedy i tylko wtedy, gdy (a n n= i (b n n= s ci gami Cauchy'ego. Istotnie, a n +ib n (a+ib a n a + b n b oraz max{ a n a, b n b } a n +ib n (a+ib. (i Je»eli a n a, b n a, to a n + b n a + b. (j Je»eli a n a, b n a, to a n b n ab. (k Je»eli a n a i a 0, to /a n /a. (l Je»eli R + a n a 0, to a n a. Istotnie, przypadek a = 0 jest elementarny. Je»eli a > 0 to istnieje ε 0 > 0 takie,»e a n ε 0 dla n N. Wtedy dla n N mamy a n a = an a an+ a 2 ε 0 a n a. (m Je»eli a n g, to a n g. (n Dla (a n n=, (b n n= R oraz a, b R, je»eli a n a, b n b i a < b, to a n < b n dla prawie wszystkich n N. (o Dla (a n n=, (b n n= R oraz a, b R, je»eli a n a, b n b i a n b n dla prawie wszystkich n N, to a b. (p (Twierdzenie o trzech ci gach Je»eli a n b n c n dla prawie wszystkich n N, oraz a n g i c n g, to b n g. (q Je»eli ci g (a n n= R jest rosn cy i ograniczony od góry, to jest zbie»ny i lim a n = sup{a, a 2,... }. n + (r Je»eli ci g (a n n= R jest malej cy i ograniczony od doªu, to jest zbie»ny i lim a n = inf{a, a 2,... }. n + (s Je»eli a n g, to a nk g dla dowolnego podci gu (a nk k=. (t Je»eli (a n n= jest ci giem Cauchy'ego oraz a nk g, to a n g. ( Augustin Cauchy (

14 4 Marek Jarnicki, Wykªady z Analizy Matematycznej I, II, III, IV, wersja z 2 marca Ci gi liczbowe Obserwacja Rozwa»my ci g geometryczny (q n n=, gdzie q C. Wtedy: dla q < ci g jest zbie»ny do 0, dla q > ci g jest rozbie»ny, dla q = ci g jest zbie»ny do, dla q = ci g jest rozbie»ny. Twierdzenie 2..4 (Twierdzenie Bolzano ( 2 Weierstrassa ( 3. Z dowolnego ci gu ograniczonego mo»na wybra podci g zbie»ny. W szczególno±ci, ka»dy ci g Cauchy'ego jest zbie»ny. Dowód. Wystarczy rozwa»y ci g rzeczywisty (a n n= R. Mo»emy zaªo»y,»e c a n c, n N, dla pewnego c > 0. Niech I = [p, q ] := [ c, c], n :=. Który± z przedziaªów [ c, 0] lub [0, +c] musi zawiera niesko«czenie wiele wyrazów ci gu. Oznaczamy go przez I 2 = [p 2, q 2 ] i wybieramy n 2 > takie,»e a n2 I 2. Teraz dzielimy I 2 na póª i powtarzamy rozumowanie. Dostajemy zst puj cy ci g przedziaªów I k = [p k, q k ], k N, i podci g p k a nk q k, k N. Zauwa»my,»e ci g (p k k= jest rosn cy i ograniczony, za± ci g (q k k= jest malej cy i ograniczony. Wiemy,»e p k p, q k q oraz q k p k = c. St d p = q. Teraz z twierdzenia o trzech ci gach wnioskujemy,»e a 2 k 2 nk p. Denicja Niech (a n n= R. Mówimy,»e ci g (a n n= jest zbie»ny do + (odp., je»eli piszemy wtedy M R N N n N : a n M (odp. a n M; lim a n = + (odp., lub a n + (odp.. n + Niech (a n, (b n R, a n a R, b n b R. Pojawiaj si naturalne pytania, czy i do czego s zbie»ne ci gi a n + b n, a n b n, a n /b n. Obserwacja (a Je»eli a+b ma sens, to a n +b n a+b. Prowadzi to do symbolu nieoznaczonego. (b Je»eli a b ma sens, to a n b n a b. Prowadzi to do symbolu nieoznaczonego 0. (c Je»eli a an b ma sens, to b n a b. Prowadzi to do symboli nieoznaczonych i 0 0. wiczenie Uzasadni,»e symbole nieoznaczone s rzeczywi±cie nieoznaczone. W przypadku symbolu oznacza to,»e: dla dowolnego g R istniej ci gi (a n n=, (b n n= takie,»e a n +, b n i a n +b n g, istniej ci gi (a n n=, (b n n= takie,»e a n +, b n i ci g (a n + b n n= nie jest zbie»ny (ani do granicy sko«czonej, ani niesko«czonej. Podobne przykªady znale¹ dla pozostaªych symboli nieoznaczonych 0, i Pierwiastkowanie i pot gowanie Twierdzenie Dla dowolnych a R + i n N istnieje dokªadnie jedna liczba p R + taka,»e a = p n. Piszemy p =: n a i nazywamy p pierwiastkiem n-tego stopnia z a. Dowód. Przypadek a = 0 jest oczywisty. Zakªadamy,»e a > 0 oraz n 2. Jedyno± wynika z tego,»e je»eli p < p 2, to p n < p n 2 (korzystamy z (P4. Przypadek a = jest oczywisty, wi c zakªadamy dalej,»e a. Zauwa»my,»e mo»emy równie» zaªo»y,»e a >. Istotnie, je»eli przyjmiemy,»e umiemy ju» oblicza pierwiastek n-tego stopnia dla a > i we¹miemy 0 < a <, to wtedy wiemy,»e istnieje q R >0 takie,»e q n = /a, a st d (/q n = a. Niech wi c a >. Aby wykaza istnienie p deniujemy A := {q R >0 : q n a}. Oczywi±cie, A. Ponadto, je»eli q A, to q a (dla q > a, na podstawie (P4 mamy q n > a n > a, a wi c A jest ograniczony z góry. Niech p := sup A. Wiemy,»e istnieje rosn cy ci g (q s s= A taki,»e q s p. St d q n s p n a, a wi c p A. Gdyby byªo p n < a, to wtedy dla pewnego h > 0 mieliby±my (p + h n < a ( wiczenie, co prowadzi do sprzeczno±ci. ( 2 Bernhard Bolzano ( ( 3 Karl Weierstrass (85897.

15 Marek Jarnicki, Wykªady z Analizy Matematycznej I, II, III, IV, wersja z 2 marca Pierwiastkowanie i pot gowanie Obserwacja Dla a, b 0 oraz m, n N mamy: (a n ab = n a n b. nm (b a = m n a. (c Je»eli b > 0, to n a b = n a n b. (d Je»eli a < b, to n a < n b. (e Je»eli R + a s a, to n a s n a. Istotnie, przypadek a = 0 jest elementarny. Je»eli a > 0, to istnieje ε 0 > 0 takie,»e a s ε 0 dla s N. Wtedy dla s N mamy n a s n a a = s a ( n a s n +( n a s n 2 n a+ +( n a n n( n ε 0 a n s a. (f Je»eli 0 < a <, to n a < n+ a. (g Je»eli a > to n a > n+ a. Obserwacja Je»eli n jest nieparzyste, to denicj n a mo»na rozszerzy do a < 0, kªad c n a := n a. Istotnie, ( n a n = ( n ( a = a. Dla a > 0 i q := l/m Q, l Z, m N, kªadziemy a q := ( m a l. Šatwo sprawdzi ( wiczenie,»e denicja jest poprawna, tzn. nie zale»y od przedstawienia liczby q w postaci uªamka. Obserwacja Dla a, b > 0 i q, q, q 2 Q mamy: (a q =, (b a 0 =, (c (a b q = a q b q, (d a q+q2 = a q a q2 ; w szczególno±ci, a q = /a q, (e (a q q2 = a qq2, (f je»eli q > 0 i a < b, to a q < b q, tzn. dla q Q >0, funkcja R >0 x x q R >0 jest ±ci±le rosn ca, (g je»eli q < 0 i a < b, to a q > b q, tzn. dla q Q <0, funkcja R >0 x x q R >0 jest ±ci±le malej ca, (h je»eli a > i q < q 2, to a q < a q2, tzn. dla a >, funkcja Q x a x R >0 jest ±ci±le rosn ca, (i je»eli 0 < a < i q < q 2, to a q > a q2, tzn. dla 0 < a <, funkcja Q x a x R >0 jest ±ci±le malej ca. Denicja Dla liczby a, x R deniujemy a x := sup{a q : q Q : q x} ( wiczenie: zbiór po prawej stronie jest niepusty i ograniczony od góry. Dla 0 < a <, x R, deniujemy ( x. a x := a W wyra»eniu a x liczb a nazywamy podstaw, za± liczb x wykªadnikiem pot gi a x. Obserwacja (a Je»eli x Q, to powy»sze a x zgadza si z poprzedni denicj. (b x = dla dowolnego x R. (c Dla a > oraz x R istnieje ci g (q n n= Q taki,»e q n x oraz a qn a x. Twierdzenie Niech a > 0, (b n n= Q. (a n a. (b Je»eli b n ±, to a /bn. (c Je»eli b n 0, to a bn. (d Je»eli b n x R, to a bn a x. Dowód. (a Wystarczy rozwa»y przypadek a >. Niech n a = + δ n, n N. Chcemy pokaza,»e δ n 0. Mamy a = ( + δ n n + nδ n. Wynika st d,»e 0 < δ n (a /n, n N, i teraz wystarczy skorzysta z twierdzenia o trzech ci gach. (b Mo»emy zaªo»y,»e a > oraz b n >, n N. Niech k n N b dzie takie,»e k n b n < k n +, n N. Zauwa»my,»e k n +. Wobec (a dostajemy a /kn. Poniewa» < a /bn a /kn, wystarczy skorzysta z twierdzenia o trzech ci gach. 5

16 6 Marek Jarnicki, Wykªady z Analizy Matematycznej I, II, III, IV, wersja z 2 marca Ci gi liczbowe (c Wynika z (b wyrazy ci gu (b n n= dzielimy na trzy grupy: wyrazy dodatnie, równe zero i ujemne. Je»eli grupa dodatnia jest niesko«czona, to stosujemy do niej (b. Je»eli grupa ujemna jest niesko«czona, to korzystamy z (b dla wyrazów przeciwnych. (d Wobec denicji a x mo»emy zaªo»y,»e a >. Niech (q n n= Q b dzie taki, jak w Obserwacji 2.2.6(c. Wtedy, na podstawie (c mamy a bn = a qn a bn qn a x. n Przykªad Niech 0 < a < a 2 < < a k. Wtedy lim a n n + a n an k = a k. Istotnie, a k n a n + an an k n ka n k = n ka k a k. Teraz, korzystaj c z Twierdzenia 2.2.7(d, przenosimy Obserwacj na dowolne pot gi rzeczywiste ( wiczenie. Obserwacja Dla a, b > 0 i x, x, x 2 R mamy: (a (a b x = a x b x, (b a x+x2 = a x a x2 ; w szczególno±ci, a x = /a x, (c (a x x2 = a xx2, (d je»eli x > 0 i a < b, to a x < b x, tzn. dla p R >0, funkcja R >0 x x p R >0 jest ±ci±le rosn ca, (e je»eli x < 0 i a < b, to a x > b x, tzn. dla p R <0, funkcja R >0 x x p R >0 jest ±ci±le malej ca, (f je»eli a > i x < x 2, to a x < a x2, tzn. dla a >, funkcja Q x a x R >0 jest ±ci±le rosn ca, (g je»eli 0 < a < i x < x 2, to a x > a x2, tzn. dla 0 < a <, funkcja Q x a x R >0 jest ±ci±le malej ca. Twierdzenie (Por. Twierdzenie 2.2.7(d. Niech a > 0. (a Dla dowolnego ci gu (b n n=, je»eli b n +, to a /bn. (b Dla dowolnego ci gu (b n n=, je»eli b n 0, to a bn. (c Je»eli x n x, to a xn a x. (d Je»eli x n x, a n, to a xn n. (e Je»eli x n x, a n a, to a xn n a x. Dowód. (a Mo»emy zaªo»y,»e a > i b n >, n N. Niech k n N b dzie takie,»e k n b n < k n +, n N. Zauwa»my,»e k n +. Poniewa» < a /bn a /kn, wystarczy skorzysta z twierdzenia o trzech ci gach. (b wynika z (a. (c Mo»emy zaªo»y,»e a >. Niech q n Q, q n x n /n, n N. Wtedy q n x. Wobec Twierdzenia 2.2.7(d mamy a qn a x. Teraz, na podstawie (b, a xn = a qn a xn qn a x. (d Mo»na zaªo»y,»e a n. Niech x n [p, q], N, gdzie p, q Z. Wtedy a p n a xn n a q n, n N, i korzystamy z twierdzenia o trzech ci gach. (e Korzystamy z (c i (d: a xn n = (a n /a xn a xn a x. W kontek±cie Twierdzenia 2.2.0(e, powstaje naturalne pytanie ( (x n n= R, (a n n= R >0, x n x R, a n a [0, + ] = lim n + axn n =? Prowadzi ono do kolejnych trzech symboli nieoznaczonych, 0 0 i 0 : x\a 0 (0, (, (, 0 + a x a x (0, + 0 a x a x Twierdzenie (a n n. (b Je»eli a n +, to a /an n. Dowód. (a Niech n n = + δ n, n N. Chcemy pokaza,»e δ n 0. Mamy n = ( + δ n n + ( n 2 δ 2 n, 2 a st d 0 δ n n.

17 Marek Jarnicki, Wykªady z Analizy Matematycznej I, II, III, IV, wersja z 2 marca Liczba e 7 (b Mo»emy zaªo»y,»e a n >. Niech k n N, k n a n < k n +. Wtedy ( kn+ a /an kn n (k n + kn+. wiczenie Znale¹ przykªady ilustruj ce nieoznaczono± symboli, 0 0 i 0. Twierdzenie (a Niech e n := 2.3. Liczba e ( + n n, n N. Wtedy e n < e n+ < 3, n N. W konsekwencji, na mocy Obserwacji 2..2(q, ci g (e n n= jest zbie»ny. Jego granic oznaczamy przez e. (b Niech n s n := k!, n N 0. k=0 Wtedy s n e. (c Dla dowolnego n 2 istnieje t n (0, takie,»e (d Je»eli a n ±, to ( + a n an e. (e Je»eli a n 0, to ( + a n /an e. (f ( + x n n e x, x R. (g e / Q. k=0 e = s n + t n n!n. Dowód. (a Wobec wzoru Newtona dostajemy n ( n e n = k n k = + n n(n n(n... (n k + n(n n 2! n2 k! nk n! = + + 2! ( n + + k! ( n ( 2 n... ( k n + + n! ( n ( 2 n... ( n n. Wynika st d,»e jest to ci g silnie rosn cy. Ponadto, 2 e n + + 2! + + n! n < + = 3. 2 (b Wiemy,»e e n < s n oraz dla n k dostajemy e n + + ( + + ( ( 2 (... k, 2! n k! n n n co przy n +, daje e s k. (c Mamy s n+k s n = (n +! + + (n + k! = ( + (n +! n (n (n + k co przy k + daje (n +! ( + n (n + 2 k < (n +! n + 2 e s n (n +! n + = n(n + 2 n!n (n + 2. n+2 n + 2 = (n +! n +, Pozostaje zauwa»y,»e n(n+2 (n+ <. 2 (d Je»eli a n +, to mo»emy zaªo»y,»e a n >, n N. Niech k n N b dzie taki,»e k n a n < k n + ; oczywi±cie k n +. Mamy e = e ( + k n+ + k n+ kn+ ( + an ( + kn ( + e = e. a n k n k n n n

18 8 Marek Jarnicki, Wykªady z Analizy Matematycznej I, II, III, IV, wersja z 2 marca Ci gi liczbowe Je»eli a n = b n, to korzystamy z przeksztaªcenia (e Wynika z (d. ( + an (( = ( a n bn = + bn bn bn. b n b n (f Korzystamy z (e z a n := x/n: ( + x n n = ( ( + x n n x x e x. (g Jest oczywiste,»e e / N. Gdyby e = m n (n 2, to na podstawie (c mieliby±my n!e n!s n = tn n, przy czym lewa strona jest liczb caªkowit, za± prawa liczb z przedziaªu (0, ; sprzeczno±. Obserwacja (a e (b s n przybli»a e z bª dem mniejszym ni» n!n»e:. Np. dla n = 6 mamy 6!6 = < 0.00 i s 6 = wiczenie: Dla jakiego n liczba e n daje przybli»enie e z bª dem < 0.00? 2.4. Granice górne i dolne Niech a = (a n n= R b dzie dowolny i niech S(a := {g R : (ank k= : a n k g}. Zauwa»my, je»eli ci g jest nieograniczony od góry, to + S(a, je»eli jest nieograniczony od doªu, to S(a, je»eli jest ograniczony, to na podstawie Twierdzenia BolzanoWeierstrassa 2..4, S(a. Deniujemy granic górn i doln ci gu a jako lim sup a n := sup S(a, n + lim inf a n := inf S(a. n + Czasami u»ywa si symboli lim a n i lim a n. n + n + Obserwacja (a lim inf a n lim sup a n. n + n + (b Je»eli lim a n = g R, to lim inf a n = lim sup a n = g. n + n + n + (c lim sup a n, lim inf a n S(a. n + n + Istotnie, niech g := lim sup n + a n. Je»eli g =, to S(a = { } i wtedy a n g. Je»eli g R, to dla dowolnego s N znajdziemy g S(a takie,»e g /s g g. Wiemy,»e istnieje podci g (a nk k= taki,»e a n k g. Znajdziemy wi c wiec k 0 N takie,»e a nk g /s dla k k 0. Bior c s =, 2,..., budujemy podci g (a ls s= taki,»e a ls g 2/s, s N. Je»eli g = +, dla dowolnego s N znajdziemy g S(a takie,»e g 2s. Wiemy,»e istnieje podci g (a nk k= taki,»e a n k g. Znajdziemy wi c wiec k 0 N takie,»e a nk s dla k k 0. Bior c s =, 2,..., budujemy podci g (a ls s= taki,»e a ls s, s N. Dowód dla lim inf przebiega analogicznie. (d Je»eli lim inf a n = lim sup a n =: g, to lim a n = g. n + n + n + (e Je»eli g := lim sup a n < +, to dla dowolnego R M > g istnieje N N takie,»e a n M dla n + n N. (f Je»eli g := lim inf a n >, to dla dowolnego R M < g istnieje N N takie,»e a n M dla n + n N. Twierdzenie Niech (a n R >0. Wtedy a n+ lim inf lim inf n an lim sup n a n+ an lim sup. n + a n n + n + n + a n W szczególno±ci, je»eli an+ a n g [0, + ], to n a n g.

19 Marek Jarnicki, Wykªady z Analizy Matematycznej I, II, III, IV, wersja z 2 marca Granice górne i dolne 9 a Dowód. Je»eli g := lim inf n+ n + a n > 0, to ustalamy dowolnie 0 < g < g 2 < g. Wiemy,»e istnieje N N takie,»e an+ a n g 2 dla n N. St d a N+k a N g2 k, k N 0, a wi c a n a N g2 n N, n N. Wynika st d,»e n a n g an 2 n, n N. Poniewa» an n, istnieje N N takie,»e n a n g, n N. g N 2 a n+ a n Je»eli g + := lim sup n + wnioskujemy,»e n a n g, n N. g N 2 < +, to ustalamy dowolnie g + < g 2 < g < + i rozumuj c jak powy»ej Przykªad (a Je»eli a n := 2+( n 2, to n a n n an+ 2, ale ci g ( a n n= jest rozbie»ny. (b lim n n n n! = e. Istotnie, bierzemy a n := nn n! i mamy an+ a n = ( + n n e.

20

21 ROZDZIAŠ 3 Przestrzenie metryczne 3.. Przestrzenie metryczne Denicja 3... Przestrzeni metryczn nazywamy par (X, ϱ, gdzie X jest zbiorem, za± ϱ : X X R + jest funkcj tak,»e (a (oznaczono± x,y X : (ϱ(x, y = 0 x = y, (b (symetria x,y X : ϱ(x, y = ϱ(y, x, (c (nierówno± trójk ta x,y,z X : ϱ(x, z ϱ(x, y + ϱ(y, z. Funkcj ϱ nazywamy metryk (odlegªo±ci. Je»eli wiadomo o jak metryk chodzi, to piszemy X zamiast (X, ϱ. Obserwacja (a (R, ϱ R jest przestrzeni metryczn, gdzie ϱ R (x, y := x y. (b (R, ϱ R jest przestrzeni metryczn, gdzie ϱ R (x, y := ϕ(x ϕ(y, za± ϕ : R [, ] jest bijekcj dan wzorem (zob. wiczenie.0. ϕ(x := { x + x, je»eli x R ±, je»eli x = ±. (c Dowolny zbiór mo»na zamieni w przestrze«metryczn przy pomocy metryki dyskretnej { 0, je»eli x = y ϱ d (x, y :=, je»eli x y. Denicja Niech (X, ϱ b dzie przestrzeni metryczn. Dla a X i r > 0 deniujemy: kul otwart B ϱ (a, r = B(a, r := {x X : ϱ(a, x < r}, kul domkni t B ϱ (a, r = B(a, r := {x X : ϱ(a, x r}. Mówimy,»e zbiór A X jest otwarty, je»eli dla dowolnego a A istnieje r > 0 takie,»e B(a, r A. Rodzin wszystkich podzbiorów otwartych nazywamy topologi i oznaczamy top ϱ lub top X, gdy metryka jest znana. Zbiór A X nazywamy domkni tym, je»eli zbiór X \ A jest otwarty. Rodzin wszystkich podzbiorów domkni tych oznaczamy cotop ϱ lub cotop X, gdy metryka jest znana. Obserwacja (a W przestrzeni metrycznej (R, ϱ R mamy: B(a, r = (a r, a + r, B(a, r = [a r, a + r]. (b Dla A R mamy: A top ϱ R A R top ϱ R, (+ A = M R : (M, + ] A, ( A = M R : [, M A. (c W przestrzeni z metryk dyskretn mamy B(a, r = { {a}, je»eli r, B(a, r = X, je»eli r > { {a}, je»eli r < X, je»eli r. (d W dowolnej przestrzeni metrycznej (X, ϱ, dla dowolnych a, b X, a b, je»eli r := ϱ(a,b 3, to B(a, r B(b, r =. Istotnie, dla x B(a, r i y B(b, r mamy ϱ(x, y ϱ(a, b ϱ(a, x ϱ(b, y > r 3. (e W dowolnej przestrzeni metrycznej (X, ϱ kule otwarte s otwarte, za± kule domkni te s domkni te. Istotnie, je»eli x 0 B(a, r, to dla x B(x 0, r ϱ(a, x 0 mamy ϱ(a, x ϱ(a, x 0 +ϱ(x 0, x < r, czyli B(x 0, r ϱ(a, x 0 B(a, r. Je»eli x 0 X \ B(a, r, to dla x B(x 0, ϱ(a, x 0 r mamy ϱ(a, x ϱ(a, x 0 ϱ(x 0, x > r, czyli B(x 0, ϱ(a, x 0 r X \ B(a, r. 2

22 22 Marek Jarnicki, Wykªady z Analizy Matematycznej I, II, III, IV, wersja z 2 marca Przestrzenie metryczne (f Rodzina T := top ϱ ma nast puj ce wªasno±ci:, X T, U,..., U N T = U U N T, (U i i I T = U i F. i I (g Rodzina F := cotop ϱ ma nast puj ce wªasno±ci:, X F, F,..., F N F = F F N F, (F i i I T = F i F. i I (h Je»eli ϱ jest metryk, to d := min{, ϱ} jest równie» metryk oraz top ϱ = top d. (i W topologii dyskretnej (tzn. topologii generowanej przez metryk dyskretn mamy top ϱ d = P(X = cotop ϱ d. (j Niech d := ϕ ϱ, gdzie ϕ : R + R + jest dowoln funkcj rosn c tak,»e: ϕ(x = 0 x = 0, ϕ jest wkl sªa (zob. Ÿ 6.6, tzn. ϕ(tx+( ty tϕ(x+( tϕ(y dla dowolnych x, y R + i t [0, ] (np. ϕ(x := x. Wtedy d jest metryk. Kiedy top ϱ = top d? Denicja Dla dowolnego zbioru X deniujemy: wn trze A: int A = A := domkni cie A: cl A = A := brzeg A: A := A \ int A. U top X: U A F cotop X: A F Ka»dy zbiór otwarty U X taki,»e a U nazywamy otoczeniem otwartym punktu a. Ka»dy zbiór A X taki,»e a int A nazywamy otoczeniem punktu a. Mówimy,»e zbiór A X jest g sty, je»eli A = X, brzegowy, je»eli int A =, nigdzieg sty, je»eli int A =, ograniczony, je»eli istniej a X i r > 0 takie,»e A B(a, r. Dla zbioru A X deniujemy jego ±rednic diam A := sup ϱ(a A, przy czym diam := 0. Dla A X i x X kªadziemy ϱ(x, A := inf{ϱ(x, a : a A}. Mówimy,»e punkt a jest punktem skupienia zbioru A, je»eli dla dowolnego otoczenia U tego punktu mamy A (U \{a}. Zbiór wszystkich punktów skupienia oznaczamy A. Punkty z A\A nazywamy punktami izolowanymi zbioru A. Mówimy,»e ci g (a n n= X jest zbie»ny do punktu a X, je»eli dla dowolnego otoczenia U punktu a istnieje N N takie,»e a n U dla n N. Piszemy wtedy a n a. Mówimy,»e ci g (x n n= X jest ci giem Cauchy'ego, je»eli ε>0 N N n,m N : ϱ(x n, x m ε. U, F, lim n + a n = a, lub a n Mówimy,»e (X, ϱ jest przestrzeni zupeªn, je»eli ka»dy ci g Cauchy'ego jest zbie»ny. ϱ a, lub Obserwacja (a Dla dowolnych a, b X, a b, istniej otoczenia otwarte U a, U b takie,»e U a U b =, czyli ka»da przestrze«metryczna jest przestrzeni Hausdora (. (b A top X A = int A. (c a int A r>0 : B(a, r A. (d A cotop X A = A. (e a A r>0 : B(a, r A. ( Felix Hausdor (

23 Marek Jarnicki, Wykªady z Analizy Matematycznej I, II, III, IV, wersja z 2 marca Przestrzenie zwarte 23 Istotnie, przypu± my,»e B(a, r A = dla pewnego a A. Wtedy X \ B(a, r jest zbiorem domkni tym zawieraj cym zbiór A. St d A X \ B(a, r sprzeczno±. Niech teraz a b dzie punktem maj cym wªasno± po prawej stronie i przypu± my,»e a / A. Wtedy istnieje zbiór domkni ty F A taki,»e a / F. Musi wi c istnie r > 0 takie,»e B(a, r X \ F X \ A sprzeczno±. (f x n a ϱ(x n, a 0. (g Ci g mo»e mie tylko jedn granic. (h a A (xn n= A : x n a. (i ϱ(x, A ϱ(y, A ϱ(x, y, x, y X. (j ϱ(a, b ϱ(a, b ϱ(a, a + ϱ(b, b, a, a, b, b X. (k Je»eli a n a, b n b, to ϱ(a n, b n ϱ(a, b. (l Zbiór A jest ograniczony wtedy i tylko wtedy, gdy diam A < +. (m Ka»dy ci g Cauchy'ego jest ograniczony. (n Ka»dy ci g zbie»ny jest ci giem Cauchy'ego. (o Je»eli ci g Cauchy'ego ma podci g zbie»ny, to jest caªy zbie»ny. (p (R, ϱ R jest przestrzeni zupeªn. (q Dla (a n n= R i a R mamy: { ϱ a R a n a, je»eli a R n a a n ±, je»eli a = ±. Denicja Niech (X, ϱ b dzie przestrzeni metryczn. Z dowolnego zbioru Y X robimy przestrze«metryczn z metryk indukowan ϱ Y Y. Obserwacja (a Dla a Y mamy B ϱ Y Y (a, r = B ϱ (a, r Y. (b A top(ϱ Y Y U top ϱ : A = U Y. (c A cotop(ϱ Y Y F cotop ϱ : A = F Y. (d Je»eli (Y, ϱ Y Y jest przestrzeni zupeªn, to Y jest domkni te w X. (e Je»eli (X, ϱ jest przestrzeni zupeªn i Y jest domkni te w X, to (Y, ϱ Y Y jest przestrzeni zupeªn. (f Je»eli F R jest domkni ty, to jest przestrzeni zupeªn Przestrzenie zwarte Denicja Mówimy,»e przestrze«metryczna (X, ϱ jest zwarta je»eli dla dowolnego ci gu (a n n= X istnieje podci g (a nk k= oraz punkt a X takie,»e a n k a. Dla dowolnej przestrzeni metrycznej (X, ϱ, je»eli (Y, ϱ Y Y jest przestrzeni zwart, to mówimy,»e Y jest zwartym podzbiorem X. Obserwacja (a Dowolna przestrze«zwarta jest zupeªna. (b Je»eli Y X jest zbiorem zwartym, to Y jest domkni te w X. (c Je»eli (X, ϱ jest przestrzeni zwart i Y jest domkni te w X, to Y jest zbiorem zwartym. (d Je»eli (X, ϱ jest przestrzeni zwart, to diam X = max ϱ(x X < +. (e (R, ϱ R jest przestrzeni zwart. (f Je»eli X jest przestrzeni zwart to dla dowolnych ci gów (a n n=, (b n n= X istniej podci gi (a nk k=, (b n k k= oraz a, b X takie,»e a n k a, b nk b. Twierdzenie (Cantor. Niech (K n n= b dzie ci giem niepustych zbiorów zwartych w przestrzeni metrycznej (X, ϱ takim,»e K n+ K n, n N. Wtedy zbiór K := K n jest niepustym zbiorem zwartym oraz diam K n diam K. W szczególno±ci, je»eli diam K n 0, to K musi by jednopunktowy. Dowód. Oczywi±cie K jest zwarty. Niech a n, b n K n b d takie,»e diam K n = ϱ(a n, b n, n N. Wobec zwarto±ci K istniej podci gi (a nk k=, (b n k k= oraz a, b K takie,»e a nk a, b nk b. Poniewa» a n, b n K N dla n N, zatem musi by a, b K. Oznacza to w szczególno±ci,»e K. Ponadto, diam K ϱ(a, b = lim ϱ(a n n + k, b nk = lim diam K n diam K. n + Przykªad (Zbiór Cantora. Niech C 0 := [0, ]. Dzielimy C 0 na trzy równe przedziaªy domkni te i wyrzucamy wn trze ±rodkowego. Niech C := [0, 3 ] [ 2 3, ]. W kolejnym kroku, z ka»dego z dwóch n=

24 24 Marek Jarnicki, Wykªady z Analizy Matematycznej I, II, III, IV, wersja z 2 marca Przestrzenie metryczne przedziaªów tworz cych C wyrzucamy wn trze ±rodkowego z trzech równych przedziaªów, na które dzielimy ten przedziaª, tzn. C 2 := [0, 3 ] [ 2 2 3, ] [ 6 2 3, ] [ 8 2 3, ]. Kontynuujemy: C 2 n := 2n C n,j, gdzie C n,j, j =,..., 2 n, s przedziaªami domkni tymi, parami rozª cznymi, ka»dy o dªugo±ci 3 n. Oczywi±cie, C n oraz C n+ C n, n N 0. Teraz zbiór Cantora deniujemy jako C := C n. Na podstawie Twierdzenia Cantora C jest niepustym zbiorem zwartym. Twierdzenie Przestrze«metryczna (X, ϱ jest zwarta wtedy i tylko wtedy, gdy z dowolnego pokrycia otwartego (U i i I tej przestrzeni (tzn. X = U i mo»na wybra podpokrycie sko«czone. i I Dowód. Oczywi±cie mo»emy zaªo»y,»e X jest zbiorem niesko«czonym. ( =: Przypu± my,»e (a n n= X jest ci giem, z którego nie da si wybra podci gu zbie»nego. Mo»emy zaªo»y,»e a n a m dla dowolnych n m. Niech U n := X \ {a n, a n+,... }, n N. Oczywi±cie U n U n+, U n = X oraz N U n = U N X dla dowolnego N N. Wystarczy jeszcze zauwa»y,»e n= n= ka»dy zbiór U n jest otwarty, co daje sprzeczno±. (= : Przypu± my, i» z pokrycie otwartego (U i i I nie da si wybra podpokrycia sko«czonego. Przypu± my na chwil,»e udaªo si nam wykaza nast puj cy warunek Zauwa»my,»e dla dowolnych a,..., a N X mamy N δ>0 a X i I : B(a, δ U i. (* n= B(a n, δ X. Niech a X b dzie dowolne. Wybierzmy a 2 X \ B(a, δ i dalej a n X \ n B(a j, δ, n N 3. Oczywi±cie ϱ(a n, a m δ dla dowolnych n m. Z takiego ci gu nie da si wybra podci gu zbie»nego. Pozostaje wykaza (*. Przypu± my,»e takiego δ nie ma. Wtedy istnieje ci g (a n n= X taki,»e kula B(a n, n nie jest zawarta w»adnym zbiorze U i. Z ci gu (a n n= wybieramy podci g zbie»ny a nk a. Niech a U i0. Z otwarto±ci U i0 wynika,»e B(a, r U i0 dla pewnego r > 0. Niech a nk B(a, r 2 dla k N. Wtedy dla dostatecznie du»ych k mamy B(a n k, n k B(a, r 2 + n k B(a, r U i0 sprzeczno±. j= j= 3.3. Przestrzenie spójne Denicja Przestrze«metryczn (X, ϱ nazywamy spójn, je»eli z tego,»e X = U V, gdzie U i V s zbiorami otwartymi takimi,»e U V = wynika,»e U = lub V =. Zbiór Y X nazywamy spójnym, je»eli Y z metryk indukowan jest przestrzeni spójn. Twierdzenie Niech P R. Wtedy zbiór P jest spójny wtedy i tylko wtedy, gdy P jest przedziaªem. Dowód. (= : Przypu± my,»e P nie jest przedziaªem. Wtedy istniej a, b P, a < b, oraz c (a, b \ P. Bior c U := P (, c, V := P (c, +, dostajemy sprzeczno± ze spójno±ci. ( =: Przypu± my,»e przedziaª P nie jest spójny, czyli istniej otwarte w P, niepuste zbiory A oraz B takie,»e A B = oraz P = A B. Niech a A, b B. Bez straty ogólno±ci mo»emy zaªo»y,»e a < b. Zdeniujmy c := sup{x A : x < b}. Oczywi±cie, a c b, a wi c c P. Mamy dwie mo»liwo±ci: c A. Wtedy c < b. Z otwarto±ci zbioru A w P istnieje ε > 0 takie,»e [c, c+ε A oraz c+ε < b sprzeczno±. c B. Wtedy podobnie jak poprzednio dostajemy istnienie ε > 0 takiego,»e (c ε, c] B i c ε > a sprzeczno±.

25 Marek Jarnicki, Wykªady z Analizy Matematycznej I, II, III, IV, wersja z 2 marca Przestrzenie unormowane 3.4. Iloczyn kartezja«ski przestrzeni metrycznych Denicja Niech (X, ϱ,..., (X N, ϱ N b d niepustymi przestrzeniami metrycznymi i niech X := X X N. Dla x = (x,..., x N, y = (y,..., y N X niech ϱ(x, y := ϱ (x, y + + ϱ N (x N, y N. wiczenie (a (X, ϱ jest przestrzeni metryczn. (b Dla dowolnego ci gu (a n X, a n = (a n,,..., a n,n, mamy: a n ϱ ϱ j a 0 a n,j a0,j, j =,..., N. (c Dla dowolnego ci gu (a n n= X, a n = (a n,,..., a n,n, mamy: (a n n= jest ci giem Cauchy'ego w (X, ϱ (a n,j n= jest ci giem Cauchy'ego w (X j, ϱ j, j =,..., N. (d Niech ( N d p (x, y : = (ϱ j (x j, y j p p, p [, +, j= d (x, y : = max{ϱ (x, y,... ϱ N (x N, y N }. Obie te funkcje s metrykami na X; d p nosi nazw metryki l p, za± d metryki l. Metryka z Denicji 3.4. to d. Szczególnie wa»na jest metryka d 2. Dla przykªadu, w przypadku, gdy (X j, ϱ j = (R, ϱ R, j =,..., N, standardow metryk w R N jest metryka euklidesowa d 2 (x, y := N (x j y j 2, x = (x,..., x N, y = (y,..., y N R N. (e Zachodz nierówno±ci j= d d p N /p d. W szczególno±ci, metryki d p i d maj wªasno±ci (b i (c. (f Zauwa»my,»e d 2 (z, w = z w, z, w C = R 2. Twierdzenie (a (X, ϱ jest zupeªna wtedy i tylko wtedy, gdy (X j, ϱ j jest zupeªna, j =,..., N. W szczególno±ci, R N jest przestrzeni zupeªn. (b (X, ϱ jest zwarta wtedy i tylko wtedy, gdy (X j, ϱ j jest zwarta, j =,..., N. (c (X, ϱ jest spójna wtedy i tylko wtedy, gdy (X j, ϱ j jest spójna, j =,..., N. Dowód. (a, (b wiczenie. (c wiczenie Przestrzenie unormowane Denicja Przestrzeni unormowan nad ciaªem K (K {R, C} nazywamy dowoln par (E,, gdzie E jest przestrzeni wektorow nad K, za± : E R + jest funkcj speªniaj c nast puj ce trzy warunki: (a x E : x = 0 x = 0, (b α K, x E : αx = α x, (c x,y E : x + y x + y. Funkcj nazywamy norm. Obserwacja (a (K, jest przestrzeni unormowan. (b x y x y dla dowolnych x, y E. (c Zdeniujmy ϱ(x, y = ϱ (x, y := x y, x, y E. Wtedy ϱ : E E R + jest metryk generowan przez norm. Oczywi±cie ϱ x ν x0 x ν x

26 26 Marek Jarnicki, Wykªady z Analizy Matematycznej I, II, III, IV, wersja z 2 marca Przestrzenie metryczne (d R N jest przestrzeni unormowan przez norm euklidesow x := N x 2 j, x = (x,..., x N R N, przy czym ϱ = d 2. j=

27 ROZDZIAŠ 4 Ci gªo± 4.. Funkcje ci gªe Denicja 4... Niech (X, ϱ X, (Y, ϱ Y b d przestrzeniami metrycznymi, f : X Y i a X. Powiemy,»e funkcja f jest ci gªa w punkcie a, je»eli ε>0 δ>0 : f(b(a, δ B(f(a, ε; jest to tzw. denicja Cauchy'ego ci gªo±ci. Piszemy wtedy f C(X, Y ; a jest to oznaczenie niestandardowe, dla potrzeb naszego wykªadu. Mówimy,»e f : X Y jest ci gªa, je»eli jest ci gªa w ka»dym punkcie. Piszemy wtedy f C(X, Y. Ponadto, C(X := C(X, R. Mówimy,»e f jest jednostajnie ci gªa, je»eli»e ε>0 δ>0 x,y X : ϱ X (x, y < δ = ϱ Y (f(x, f(y < ε. Mówimy,»e f speªnia warunek Höldera ( z wykªadnikiem α > 0, je»eli istnieje staªa M 0 taka, ϱ Y (f(x, f(y M(ϱ X (x, y α, x, y X. Dla α =, warunek Höldera nosi nazw warunku Lipschitza ( 2. Mówimy,»e odwzorowanie bijektywne f : X Y jest homeomorzmem, je»eli f C(X, Y, f C(Y, X. Obserwacja (a Ka»de odwzorowanie jednostajnie ci gªe jest ci gªe. (b Ka»de odwzorowanie speªniaj ce warunek Höldera jest jednostajnie ci gªe. wiczenie (a Znale¹ przykªad odwzorowania ci gªego, które nie jest jednostajnie ci gªe. (b Znale¹ przykªad odwzorowania jednostajnie ci gªego, które dla dowolnego α > 0 nie speªnia warunku Höldera z wykªadnikiem α. (c Udowodni,»e odwzorowanie f : X Y speªnia warunek Höldera z wykªadnikiem α wtedy i tylko wtedy, gdy { ϱy (f(x, f(y } sup (ϱ X (x, y α : x, y X, x y < +. (d Znale¹ przykªad ci gªego odwzorowania bijektywnego f : X Y takiego,»e f nie jest ci gªe. Twierdzenie Niech f : X Y, a X. Wtedy nast puj ce warunki s równowa»ne: (i f C(X, Y ; a; (ii dla dowolnego otoczenia V punktu f(a istnieje otoczenie U punktu a takie,»e f(u V ; (iii dla dowolnego otoczenia V punktu f(a zbiór f (V jest otoczeniem punktu a; (iv dla dowolnego ci gu x n a mamy f(x n f(a; jest to tzw. denicja Heinego ( 3 ci gªo±ci. Dowód. wiczenie. Twierdzenie 4..5 (Skªadanie odwzorowa«ci gªych. Je»eli f C(X, Y ; a i g C(Y, Z; f(a, to g f C(X, Z; a. Dowód. wiczenie. ( ( Otto Hölder ( ( Rudolf Lipschitz ( Eduard Heine (