1 Wªasno±ci R N. 1.1 Przykªady funkcji wielu zmiennych. 1.2 Odlegªo±ci i normy w R N

Transkrypt

1 1 Wªasno±ci R N 1.1 Przykªady funkcji wielu zmiennych B dziemy si teraz zajmowa funkcjami od N zmiennych, tzn. okre±lonymi na R N R R R (iloczyn kartezja«ski N egzemplarzy R). Do tej chwili, zajmowali±my si funkcjami rzeczywistymi jednej zmiennej. Jest to bardzo wa»ny rozdziaª analizy. Niemniej zapotrzebowanie ze strony zyki zmusza do rozpatrywania funkcji wielu zmiennych. Pojawiaj si one na ka»dym kroku. Oto pierwsze z brzegu przykªady. Przykª. Wysoko± terenu n.p.m. jako funkcja dªugo±ci i szeroko±ci geogracznej. Jest to funkcja dwóch zmiennych. Temperatura w atmosferze (czy innym o±rodku) jako funkcja dªugo±ci i szeroko±ci geogracznej oraz wysoko±ci. Jest to (w ustalonej chwili czasu) funkcja trzech zmiennych przestrzennych. Je±li uwzgl dniamy ewolucj w czasie, jest to funkcja czterech zmiennych: trzech zm. przestrzennych i jednej czasowej. To byªy przykªady z makro±wiata. Teraz z mikro±wiata: Atomy i cz steczki, z których zªo»ony jest otaczaj cy nas ±wiat, skªadaj si z j der atomowych i elektronów. Okazuje si,»e wªasno±ci cz steczek s zdeterminowane przez g sto± elektronow. Jest to funkcja trzech zmiennych przestrzennych. Rozpatrzmy ukªad M ciaª, oddziaªywuj cych grawitacyjnie (np. M dla Ukªadu Sªonecznego). Ka»de (np. k te) ciaªo ma swoje wspóªrz dne: (x k, y k, z k ). Caªkowita energia potencjalna jest funkcj wszystkich poªo»e«wi c 3M zmiennych przestrzennych. Natomiast energia caªkowita (potencjalna plus kinetyczna) jest dodatkowo funkcj pr dko±ci ka»dego ciaªa, a wi c 3M zmiennych ª cznie funkcj 6M zmiennych. Mamy wi c funkcj rzeczywist f, zale»n od N zmiennych: f : R N R. Do jej analizy niezb dne jest zdeniowanie ci gªo±ci, ró»niczkowalno±ci itd. Niektóre z tych poj przenosz si bezpo±rednio z przypadku funkcji jednej zmiennej, dla innych niezb dne s istotne uogólnienia. Zajmiemy si tym dalej. Na razie zobaczmy, jak mo»na wizualizowa funkcje. 1.2 Odlegªo±ci i normy w R N Punkt x nale» cy do R N b dziemy oznacza jako x (x 1, x 2,..., x N ). Def. Wykresem funkcji f zale»nej od N zmiennych nazywamy podzbiór Γ(f) R N+1 : Γ(f) {(x 1, x 2,..., x N, y) R N+1 : y f(x 1, x 2,..., x N )} Def. (przypomnienie) Poziomic funkcji odpowiadaj c warto±ci c nazywamy zbiór: f 1 (c) {(x 1, x 2,..., x N ) R N : f(x 1, x 2,..., x N ) c} 1

2 Przykª. Wizualizacja f(x, y) x 2 + 4y 2 oraz g(x, y) x 2 4y 2 : Wykres zwykªy i 'poziomicowy' (warstwicowy). Pocz tkiem do badania R n i funkcji na niej jest zdeniowanie odlegªo±ci. Przypomnijmy sobie, jak deniowali±my odlegªo± w R 2. Jest ona wyznaczana z tw. Pitagorasa: RYS.: Dla dwóch punktów a (a 1, a 2 ) i b (b 1, b 2 ) odlegªo± D(a, b) pomi dzy nimi jest D(a, b) (a 1 b 1 ) 2 + (a 2 b 2 ) 2. Analogicznie post pujemy w przestrzeniach o wi kszej liczbie wymiarów: Je±li x, y R N, to odlegªo± d(x, y) mi dzy nimi deniujemy jako Def. d(x, y) N (x k y k ) 2 (1) k1 Inne oznaczenie d(x, y) w R N to x y, tzn. Def. Je±li mamy punkt r (r 1, r 2,..., r N ) R N, to na r Nk1 (x k y k ) 2 mo»emy patrze jako na odlegªo± punktu r od zera: r N (r k ) 2 d(r, 0). (2) Tak zdeniowana norma ma wa»ne wªasno±ci, które teraz wypiszemy. Wªasno±ci normy. k1 1. Dla dowolnego x R N mamy: x 0, przy czym x 0 tylko dla wektora zerowego x 0; 2. r r i ogólniej, αr α r, gdzie α R. 3. ta nierówno± nazywana jest nierówno±ci trójk ta. x + y x + y ; (3) Dow. p.3): Nierówno± trójk ta wynika z nierówno±ci Schwarza: Dla dowolnych x, y R N zachodzi x k y k x y. (4) k1 Dow. Rozpatrzmy nast puj c funkcj zmiennej rzeczywistej λ: f(λ) (x k λy k ) 2 (x k ) 2 2λ x k y k + λ 2 N (y k ) 2 k1 k1 k1 k1 f(λ) jest trójmianem kwadratowym w λ. Ponadto f(λ) 0, poniewa» f(λ) jest peªnym kwadratem. Skoro trójmian f(λ) jest nieujemny, to jego wyró»nik musi by niedodatni. Policzmy ten wyró»nik: 4( x k y k ) 2 4 (x k ) 2 N k1 k1 k1 2 (y k ) 2 0, (5)

3 co mo»emy przepisa jako ( x k y k ) 2 k1 (x k ) 2 N (y k ) 2 k1 k1 Po wyci gni ciu pierwiastka kwadratowego z obu stron nierówno±ci i skorzystaniu z denicji normy (2) otrzymujemy nierówno± (4). Dow. nierówno±ci trójk ta (3). Policzmy: x + y 2 (x k + y k ) 2 (x k ) x k y k + (y k ) 2 k1 k1 k1 k1 x x y + y 2 ( x + y ) 2. z czego trzeba jeszcze wyci gn pierwiastek, aby otrzyma (3). Uwaga: Czy w nierówno±ci Schwarza mo»e wyst pi równo±? TAK je±li x jest proporcjonalne do y (tzn. x γy dla pewnego γ R; wtedy 0, a to znaczy (p. równ (5))»e w nier. Schwarza ma miejsce równo±. Podsumujmy wªasno±ci odlegªo±ci, deniowanej przez (1): Dla dowolnych punktów x, y, z R N zachodzi: 1. d(x, y) 0, przy czym d(x, y) 0 x y. 2. d(x, y) d(y, x). 3. d(x, z) d(x, y) + d(y, z) (jest to tzw. nierówno± trójk ta). RYS. Okazuje si,»e odlegªo± euklidesowa nie jest jedyn funkcj od dwu argumentów, speªniaj c powy»sze warunki. Na przestrzeni R N mo»na wprowadzi wiele innych funkcji, zale»nych od dwu argumentów, które speªniaj powy»sze warunki i które w zwi zku z tym mo»na te» nazwa odlegªo±ciami. Prowadzi to do poj cia przestrzeni metrycznej: Def. Przestrzeni metryczn nazywamy zbiór punktów z funkcj dwóch zmiennych d(, ) (zwan metryk lub odlegªo±ci, których odlegªo± speªnia powy»sze wªasno±ci 1., 2. i 3. Przykª. Wprowad¹my na R N nast puj c metryk : d (x, y) x i y i (6) i1 Šatwo sprawdzi,»e d (x, y) speªnia powy»sze wªasno±ci 1., 2. i 3.; pierwsze dwie s oczywiste, a trzecia wynika z nierówno±ci dla warto±ci bezwzgl dnej: x z x y + y z. Przykª. Jeszcze jedna, niejednokrotnie u»yteczna, metryka na R N : d (x, y) max 1 i N x i y i ; (7) pierwsze dwie wªasno±ci metryki s oczywiste, a trzecia wynika z nast puj cego rachunku: Dla dowolnych punktów x, y, z mamy d (x, y) max 1 i N x i y i max 1 i N x i z i + z i y i 3

4 max 1 i N ( x i z i + z i y i ) max 1 i N x i z i + max 1 i N z i y i d(x, z) + d(z, y); przedostatnia nierówno± wynika z nierówno±ci a + b a + b dla warto±ci bezwzgl dnej, a ostatnia z nierówno±ci dla maksimum. (? Bardziej szczegóªowy rachunek?) Materiaª uzupeªniaj cy. Def. Równowa»no± metryk. Stw. Powy»sze trzy metryki: d, d, d (euklidesowa) s równowa»ne. Wniosek. Je±li oka»e si,»e ci g jest zbie»ny (rozbie»ny) w jednej z trzech powy»szych metryk, to jest te» zbie»ny (rozbie»ny) w dwóch pozostaªych. To znaczy,»e do badania zbie»no±ci mo»na u»ywa tej metryki, która jest wygodniejsza. Koniec materiaªu uzupeªniaj cego. 1.3 Ci gi punktów z R N Oznaczmy przez {a n } (a 1, a 2,... ) ci g punktów z R N : a n R N, tzn. a n (a 1 n, a 2 n,..., a N n ). Def. Mówimy,»e ci g {a n } punktów z R N jest zbie»ny do g R N, je±li M N : d(a n, g) < ɛ. (8) n>m Uwaga. Warunek (8) oznacza,»e ci g (o warto±ciach rzeczywistych!): d(a n, g) d»y do zera dla n d» cego do : d(a n, g) 0. Je±li warunek (8) jest speªniony, to piszemy te»: a n g. Podobnie jak w przypadku ci gów o warto±ciach rzeczywistych, mamy twierdzenie o jednoznaczno±ci granicy. Tw. Je±li a n g i a n g, to g g. Dow. Mamy: 0 d(g, g ) d(g, a n ) + d(g, a n ) 0, co znaczy,»e d(g, g ) 0, a wi c g g. Badanie zbie»no±ci ci gów o warto±ciach w R N jest równowa»ne badaniu zbie»no±ci ci gów w R. Mówi o tym nast puj ce Stw. Niech {a n } b dzie ci giem punktów przestrzeni R N ; niech g R N. Wtedy Dow. (a n g) (dla wszystkich k 1, 2,..., N : a k n g k ). (9) d(a n, g) N (a k n g k ) 2, k1 i poniewa» ka»de z wyra»e«pod pierwiastkiem d»y do zera: a k n g k 0, to ich suma te» d»y do zera, a to znaczy,»e a n g. 4

5 Nk1 Mamy: r (r k ) 2. Wybierzmy któr ± k t skªadow i mamy z nierówno±ci trójk ta: r (r k ) 2 r k, co daje: d(a n, g) a k n g k 0, i z tw. o 3 ci gach w przypadku ci gów o warto±ciach rzeczywistych, je»eli d(a n, g) 0, to tak»e a k n g k 0, a to znaczy,»e a k n g k dla k 1, 2,..., N. Def. Niech X R N. Mówimy,»e X jest ograniczony, je±li istnieje taka liczba M,»e : x M x X (tzn. odlegªo±ci wszystkich punktów zbioru X od zera s nie wi ksze od liczby M). Niech s R N i R R +. Def. Kul (otwart ) K(s, R) o ±rodku w s i promieniu R nazywamy zbiór tych punktów R N,»e ich odlegªo± od s jest mniejsza od R: RYS. K(s, R) {x R N : d(x, s) < R}. (10) Uwaga. Wªasno± ograniczono±ci zbioru mo»na równowa»nie tak wypowiedzie : Zbiór Z jest ograniczony, je±li zawiera si w pewnej kuli (o pewnym ±rodku i pewnym promieniu). Ciekawostka. Jak wygl da kula w metryce euklidesowej, dla N 2 to ka»dy (chyba) wie. Jak wygl daj kule w metrykach: d i d? Gdy si je narysuje to b dzie wiadomo sk d s takie oznaczenia tych metryk. Tw. (Bolzano Weierstrassa).Ka»dy ograniczony ci g punktów R N posiada podci g zbie»ny. Dow. Niech a n (a 1 n, a 2 n,..., a N n ). Je±li ci g {a n } ograniczony, to wszystkie ci gi {a k n} ( k numer skªadowej, tzn. k 1, 2,..., N; n numer elementu ci gu, tzn. n 1, 2, 3,... ) s ograniczone. Wynika to z nierówno±ci pokazywanej wy»ej: r r k dla dowolnego r R N. Po zastosowaniu tw. Bolzano-Weierstrassa do ci gu {a 1 n} otrzymamy podci g {a nk } ci gu {a n } taki,»e ci g pierwszych wspóªrz dnych jest zbie»ny. Stosujemy teraz tw. Bolzano-Weierstrassa do ci gu {a 2 n k } i otrzymujemy podci g ci gu {a nk }, którego pierwsza i druga skªadowa s zbie»ne. Itd., operacj powtarzamy N razy, a» otrzymamy zbie»no± we wszystkich skªadowych. Nast puj ca denicja jest bezpo±rednim analogonem denicji ci gu Cauchy'ego o warto±ciach rzeczywistych na ci gi o warto±ciach wektorowych (tzn. z R N ). Def. Niech {a n } ci g punktów z R N. Mówimy,»e ci g {a n } jest ci giem Cauchy'ego, je±li M N : d(a m, a n ) < ɛ. (11) m,n>m Tw. W przestrzeni R N ci g jest zbie»ny wtedy i tylko wtedy, gdy jest ci giem Cauchy'ego. Dow. : Zaªó»my,»e a n g. Z denicji ci gu zbie»nego (powtórzonej tu 2 razy): M N : d(a m, g) < ɛ m,n>m 2 d(a n, g) < ɛ 2. 5

6 Z nierówno±ci trójk ta mamy: d(a n, a m ) d(a n, g) + d(a m, g) < ɛ 2 + ɛ 2 ɛ czyli otrzymujemy (11), a wi c {a n } jest ci giem Cauchy'ego. : Zaªó»my teraz,»e {a n } jest ci giem Cauchy'ego. Wtedy a»e M N d(a m, a n ) a k m a k n : d(a m, a n ) < ɛ; m,n>m dla k 1, 2,... N to ka»dy z ci gów {a k n} jest ci giem Cauchy'ego. A jak wiemy, je»eli ci g rzeczywisty jest ci giem Cauchy'ego, to jest zbie»ny. Zatem ka»dy z ci gów {a k n} jest zbie»ny; a to znaczy,»e te» i ci g {a n } jest zbie»ny. 1.4 Zbiory otwarte i domkni te W przypadku analizy na R 1, mieli±my szereg twierdze«, w zaªo»eniach których byªo, i» jaki± zbiór jest otwarty b d¹ domkni ty. Dla podzbiorów R 1 mieli±my sytuacj, gdzie zbiorem domkni tym byª odcinek z ko«cami (b d¹ sko«czona liczba takich odcinków), za± otwartym odcinek bez ko«ców (b d¹ sko«czona liczba takich odcinków). Dla zbiórów w R N równie» deniujemy poj cia otwarto±ci i domkni to±ci, ale nie da si ich bezpo±rednio przenie± z R 1 trzeba je odpowiednio zmodykowa Zbiory domkni te Def. Niech A R N. Zbiór A nazywamy domkni tym, je±li dla dowolnego zbie»nego ci gu elementów z A jego granica te» nale»y do A; tzn.: A domkni ty Przykª. zbiorów domkni tych. 1. R N. 2. Zbiór jednoelementowy. 3. Zbiór sko«czony. 4. W szczególno±ci zbiór pusty. (x n A, x n g) (g A). {x n} 5. Niech {a n } ci g o wyrazach z R N, a n g R n. Wtedy zbiór {a 1, a 2,... } g jest zbiorem domkni tym. 6

7 Przykª. Odcinek 0, 1 nie jest domkni ty, bo wszystkie elementy ci gu 1 nale» do 0, 1, n a granica 0 nie nale»y do 0, 1. Def. Niech A R N. Domkni ciem zbioru A (ozn. A) nazywamy zbiór: A {x R N : Istnieje ci g {x n } o wyrazach z A t.»e x n x}. (12) Przykª. Domykanie z lewej strony odcinka 0, 1. Stwierdzenia. 1. A A. 2. Je±li A domkni ty to A A. 3. A jest zbiorem domkni tym oraz A A. 4. Je±li ci g {x n } d»y do granicy g: x n g i ka»dy jego wyraz x n jest granic ci gu elementów zbioru A, to g te» jest granic ci gu elementów ze zbioru A. Dow. Punkt x n jest granic ci gu elementów ze zbioru A; nazwijmy ten ci g {y m }. Mamy a wi c M N : d(y m, x n ) < ɛ, m>m d(a, x n ) < ɛ a A We¹my teraz ɛ 1 n i odpowiednio do tego a n A tak, by zachodziªo d(a n, x n ) < 1 n. Zachodzi: 0 d(a n, g) d(a n, x n ) + d(x n, g) < 1 n + d(x n, g); prawa strona d»y do zera gdy n ( 1 n wiadomo, za± d(x n, g) 0 z zaªo»enia). Zatem równie» d(a n, g) 0, a to znaczy,»e a n g. Mamy nast puj c charakteryzacj domkni cia. Stw. A {x R N : K(x, ɛ) A } (tzn. do domkni cia nale» te punkty x,»e przeci cie kuli o ±rodku w x i dowolnie maªym promieniu ze zbiorem A jest niepuste). (RYS.) Dow. Oznaczmy praw stron równo±ci przez B. Je»eli x B, to bior c ɛ 1 n znajdziemy x n K(x, 1 n ) A. To znaczy,»e x n A oraz»e d(x n, x) < 1 n, czyli x n x. Pokazali±my w ten sposób,»e B A. Z drugiej strony, je±li x A, to w dowolnie maªej kuli K(x, ɛ) o ±rodku w x zawarte s prawie wszystkie elementy ci gu {x n } o wyrazach z A i granicy x. Speªniony jest wi c warunek,»e przeci cie tej kuli z A jest zbiorem niepustym, czyli»e x B. Tak wi c x A x B, czyli A B. Oba te warunki znacz,»e A B Zbiory otwarte Def. Niech O R N oraz x O. Mówimy,»e x jest punktem wewn trznym zbioru O (lub,»e O jest otoczeniem punktu x) je±li istnieje ɛ > 0 takie,»e K(x, ɛ) O. Def. Zbiór A nazywamy zbiorem otwartym, je±li ka»dy element tego zbioru jest jego punktem wewn trznym. Przykª. zbiorów otwartych: 7

8 1. R N, s zbiorami otwartymi. 2. K(x, r) (r > 0) jest zbiorem otwartym. Dow. Chcemy pokaza,»e (RYS.) y K(x,r) K(y, ɛ) K(x, r). Bierzemy ɛ r d(x, y) > 0. Dla dowolnego z K(y, ɛ) mamy: co znaczy,»e z K(x, r). d(z, x) d(z, y) + d(y, x) < ɛ + d(y, x) r Stw. Je±li x jest punktem wewn trznym O i x jest granic ci gu {x n } : x lim x n, to prawie wszystkie wyrazy ci gu {x n } nale» do O. I na odwrót: Stw. Niech x R N i O R N. Przypu± my,»e dla dowolnego ci gu {x n } elementów R N zachodzi: ( lim x n x) ( prawie wszystkie wyrazy x n O). Wtedy x jest punktem wewn trznym zbioru O. Dow. (nie wprost). Zaªó»my,»e x nie jest punktem wewn trznym zbioru O, tzn. K(x, ɛ) O. Bierzemy ɛ 1 n. Mamy: K(x, 1 n ) O. Zatem istnieje taki ci g {x n},»e x n K(x, 1 n ) oraz x n O. Skoro x n nale»y do kuli K(x, 1 n ), to odlegªo± mi dzy x a x n jest mniejsza ni» promie«kuli:. 0 < d(x, x n ) < 1 n, a to znaczy,»e ci g {x n } jest zbie»ny do x: x n x. W ten sposób otrzymali±my sprzeczno± z zaªo»eniem (znale¹li±my bowiem ci g {x n } d» cy do x, którego wyrazy nie nale» do O), wi c nieprawdziwe jest zaprzeczenie tezy, czyli prawdziwa jest teza mówi ca, i» x jest punktem wewn trznym O. Uwaga. Otwarto± i domkni to± nie s poj ciami przeciwstawnymi! Np. zbiór R N jest zarówno otwarty jak i domkni ty. Uwaga. Otwarto± /domkni to± zbioru zale»y te» od tego, podzbiorem jakiego zbioru on jest. Np. je±li rozpatrujemy A 0, 1 jako podzbiór R, to kulami otwartymi w R s odcinki (otwarte) i A jest otwarty. Je±li natomiast rozpatrujemy A jako podzbiór R 2, to kulami otwartymi w R 2 s koªa (bez brzegu) i A nie jest ju» otwarty, bo»adne koªo o niezerowym promieniu nie mie±ci si w A. W dalszym ci gu, mówi c o zbiorach otwartych/domkni tych, b dziemy mówi o zbiorach otwartych/domkni tych w caªej otaczaj cej przestrzeni tzn. R N. Tw. Niech O R N i A R N \ O. Wtedy ma miejsce równowa»no± (O jest otwarty ) (A jest domkni ty). (13) Dow. We¹my zbie»ny {x n } o wyrazach nale» cych do A: x n A, x n x. Chcemy pokaza,»e x A. 8

9 Przypu± my,»e przeciwnie: x A. Wobec tego x O (bo A i O s rozª czne, a ich suma to caªe R N ). Z zaªo»enia O jest zbiorem otwartym, wi c x jest punktem wewn trznym O i (p. poprzednie Stw.) prawie wszystkie wyrazy ci gu {x n } nale» do O, wi c nie nale» do A. Otrzymali±my sprzeczno±. Niech x O. Skoro tak to x A A, a wi c istnieje kula K(x, ɛ) taka,»e K(x, ɛ) A, a to znaczy,»e K(x, ɛ) O, wi c x jest punktem wewn trznym O, czyli O jest otwarty. Wniosek. Niech x R N, A R N i O R N \A. Wtedy zachodzi jeden i tylko jeden z wykluczaj cych si warunków: 1. x jest punktem wewn trznym zbioru O. 2. x A. Dow. Trzeba pokaza,»e nieprawd jest równowa»no± obydwu powy»szych warunków, tzn: Nieprawda,»e Poka»emy najsampierw»e z zaprzeczenia 1. wynika 2. Zaprzeczenie zdania: "x jest punktem wewn trznym O" to jest to samo, co zaprzeczenie zdania: " : K(x, ɛ) O", czyli: " : K(x, ɛ) O". To za± jest równowa»ne zdaniu: " : K(x, ɛ) A ", a to znaczy,»e x jest punktem domkni cia zbioru A, tzn. x A To teraz»e z zaprzeczenia 2. wynika 1. Skoro x nie nale»y do domkni cia A, to x O oraz»e K(x, ɛ) O, tzn. x jest punktem wewn trznym O. Tw. 1. R N i s zbiorami otwartymi. : K(x, ɛ) A, a to znaczy,»e 2. Je±li (O α ) (A dowolny zbiór wska¹ników) jest rodzin zbiorów otwartych, to O α te» jest zbiorem otwartym. 3. Je»eli O 1, O 2 s otwarte, to O 1 O 2 jest otwarty. Dow. 1. Byªo 2. Niech x O α. Istnieje wi c α 0 A takie,»e x O α0. Poniewa» O α0 wi c istnieje kula o niezerowym promieniu, zawarta w O α0 : czyli O α jest zbiorem otwartym. : K(x, ɛ) O α 0 O α, 3. Niech x O 1 O 2, tzn. x O 1 i x O 2. Tak wi c otwarty, : K(x, ɛ 1) O 1 i ɛ2 >0 : K(x, ɛ 2 ) O 2. ɛ 1 >0 Bierzemy ɛ min(ɛ 1, ɛ 2 ) > 0 i wtedy mamy K(x, ɛ) K(x, ɛ 1 ) O 1 i K(x, ɛ) K(x, ɛ 2 ) O 2, zatem K(x, ɛ) O 1 O 2, czyli O 1 O 2 jest zbiorem otwartym. 9

10 Uwaga. Przez indukcj dowodzi si,»e powy»sza wªasno± zachodzi dla dowolnej sko«czonej ilo±ci zbiorów: Dla dowolnego n N, je±li O 1, O 2,... O n s otwarte, to równie» O 1 O 2 O n jest otwarty. Wªasno± ta nie jest prawdziwa dla rodzin niesko«czonych: We¹my np. rodzin zbiorów otwartych A n 1, ; mamy: n n n1 A n 0, 1, co nie jest zbiorem otwartym Niektóre dalsze wªasno±ci zbiorów domkni tych. Dopeªnienie zbioru, przypomnienie wªasno±ci dopeªnienia. Zbiory domkni te maj wªasno±ci, powi zane z powy»szymi wªasno±ciami zbiorów otwartych: 1. R N, s zbiorami domkni tymi. 2. Je±li A 1, A 2 zbiory domkni te, to A 1 A 2 te» jest zbiorem domkni tym. Z indukcji, zachodzi to te» dla dowolnej sko«czonej sumy mnogo±ciowej: Je±li A 1, A 2,..., A n s zbiorami domkni tymi, to A 1 A 2 A n te» jest zbiorem domkni tym dla dowolnego n. 3. Natomiast przeci cie dowolnej rodziny (sko«czonej czy niesko«czonej) zbiorów domkni tych jest zbiorem domkni tym: Je±li {A α }, α A jest rodzin zbiorów domkni tych, to równie» A α te» jest zbiorem domkni tym. Dow. 1. R N jest domkni ty, bo R N \ R N jest otwarty. jest domkni ty, bo R N \ R N jest otwarty. 2. Je±li A 1, A 2 domkni te, to A 1, A 2 otwarte; zatem (byªo) A 1 A 2 otwarty, a»e A 1 A 2 (A 1 A 2 ), wi c (A 1 A 2 ) otwarty, a to znaczy»e A 1 A 2 domkni ty. 3. Je±li A α jest domkni ty to R N \ A α jest otwarty. Suma dowolnej ilo±ci zbiorów otwartych jest otwarta (wªasno± 3. zb. otwartych), wobec tego: (R N \ A α ) A α jest otwarty. Ale mamy: A B (A B) dla dowolnych zbiorów A i B, (A dopeªnienie A, tzn. R N \ A) i równie»: ( ) A α A α. A mamy jeszcze dla dowolnych zbiorów X, Y : X \ Y X Y, zatem ( A α ) R N \ Tak wi c R N \ ( ( A α ) A α ). jest otwarty, zatem A α jest domkni ty. Uwaga: Wªasno± nr 2. ta nie jest sªuszna dla sum niesko«czonych: Jako przykªad we¹my A n 1, 1. Ka»dy zbiór A n n jest domkni ty, a ich suma 0, 1 nie jest zbiorem domkni tym. 10 n1

11 1.4.4 Zbiory zwarte Def. Niech K R N. Mówimy,»e K jest zwarty, je±li z dowolnego ci gu elementów zbioru K mo»na wybra podci g zbie»ny do elementu zbioru K. Tw. Niech K R N. Wtedy: (K jest zwarty ) (K jest domkni ty i ograniczony ). Dow. Na mocy twierdzenia Bolzano-Weierstrassa, z dowolnego ci gu ograniczonego mo»na wybra podci g zbie»ny. Granica tego ci gu musi by w K, bo K domkni ty. Zaªó»my,»e K jest zwarty. Bierzemy ci g elementów z K zbie»ny do x R N. Granic dowolnego podci gu jest ten sam punkt x. Zatem (z zaª. i z denicji zb. zwartego) x K. To pokazuje,»e K jest domkni ty. Przypu± my teraz,»e zbiór K nie jest ograniczony. Wtedy istnieje ci g {x n } elementów zbioru K taki,»e d(0, x n ). Tak te» jest dla dowolnego podci gu ci gu {x n }. Ale taki podci g nie mo»e by zbie»ny. Przykª. 0, 1 R 1 nie jest zwarty; R 1 R 1 nie jest zwarty; 0, 1 R 1 jest zwarty. 11

12 2 Odwzorowania Poj cie odwzorowania pomi dzy dwoma zbiorami byªo ju» deniowane, ale dawno, wi c nie od rzeczy b dzie przypomnie,»e odwzorowaniem nazywamy sposób przyporz dkowania (niekoniecznie ka»demu) elementowi x X elementu y Y. Zapisujemy to: T : X Y, Dalej X b dzie podzbiorem R N, za± Y podzbiorem R M. RYS. Zaªó»my,»e mamy jakie± ukªady wspóªrz dnych w R N i R M, tak»e dowolny punkt x X ma posta : x (x j ), j 1, 2,..., N. i analogicznie w Y y (y k ), k 1, 2,..., M. (T x) k T k (x 1, x 2,..., x N ) k 1, 2,..., M Na odwzorowanie mo»emy patrze po prostu jak na ukªad M funkcji N zmiennych. Przykª. 1. R R 3 krzywa w R R 3 R 3 : Zamiana ukªadu wspóªrz dnych; pole wektorowe. 2.1 Denicja odwzorowania ci gªego i niektóre przykªady Def. Niech X R N, Y R M, oraz niech b dzie dane odwzorowanie T : X Y. Mówimy,»e odwzorowanie T jest ci gªe, je±li dla dowolnego ci gu {x n } elementów zbioru X zbie»nego do punktu g X mamy T (x n ) T (g). (14) Uwaga: Przypominaj c sobie denicj zbie»no±ci ci gu widzimy,»e odwzorowanie T jest ci gªe wtedy i tylko wtedy, gdy wszystkie funkcje T k (k 1, 2,..., M) s ci gªe. Przykªady odwzorowa«ci gªych. Tu: X R N, Y R M,T : X Y. 1. Odwzorowanie staªe: Dla ka»dego x X: T (x) y 0 const.. RYS. 2. Tu niech N M. Okre±lamy odwzorowanie identyczno±ciowe wzorem: T (x) x; T cz sto te» oznaczamy symbolem Id X. 3. Niech Tu: X R N, Y R M, Z R k oraz T : X Y, S : Y Z. Oznaczamy: (S T )(x) S(T (x)), czyli S T : X Z. RYS. Odwzorowanie S T nazywamy superpozycj lub zªo»eniem odwzorowa«s oraz T. Tw. Je±li S i T s odwzorowaniami ci gªymi, to S T te» jest odwzorowaniem ci gªym. Dow. (podobny jak w R 1 ): Niech {x n } b dzie ci giem elementów z X: x n X oraz x n g X. Poniewa» T ci gªe, wi c T (x n ) T (g). 12

13 Oraz: Poniewa» S ci gªe, wi c S(T (x n )) S(T (g)). Zatem (S T )(x n )) (S T )(g)) : R 2 (x, y) x + y R (dodawanie liczb rzeczywistych) jest odwzorowaniem ci gªym. Dow. Jest to po prostu twierdzenie,»e granica sumy dwóch ci gów zbie»nych jest sum granic. 5. : R 2 (x, y) x y R (mno»enie liczb rzeczywistych) jest odwzorowaniem ci gªym. Dow. Granica iloczynu dwóch ci gów zbie»nych jest iloczynem granic. 6. Z powy»szych przykªadów, mamy od razu znalezion do± szerok klas funkcji ci gªych (zale»nych od dwóch zmiennych), a mianowicie wielomiany, tzn. funkcje postaci: P (x, y) a + bx + cy + dx 2 + exy + fy sko«czona suma, tzn. n m P (x, y) a ij x i y j. i0 j0 7. :: (R R \ {0}) (x, y) x : y R (dzielenie liczb rzeczywistych) jest odwzorowaniem ci gªym. Dow. Granica ilorazu dwóch ci gów zbie»nych jest ilorazem granic. 8. Funkcja dwóch zmiennych co nie jest ci gªa: f(x, y) xy poza (0, 0) oraz f(0, 0) 0. x 2 + y2 Bo: We¹my ci g (x n, y n ) ( 1, 1 ). Mamy: lim (x n n n, y n ) (0, 0), lim f(x n, y n ) 1. 2 We¹my teraz ci g (x n, y n) (0, 1 ). Mamy: lim n (x n, y n) (0, 0), lim f(x n, y n) 0. Granice s ró»ne, wi c funkcja nie jest ci gªa w zerze. Def. Je±li A Y, to zbiór: T 1 (A) {x X : T (x) A} (15) nazywamy przeciwobrazem zbioru A przy odwzorowaniu T. Przykª. T : R 2 R, T (x, y) x 2 +y 2 ; T 1 (1) {(x, y) : x 2 +y 2 1}, T 1 (0) (0, 0), T 1 ( 1), T 1 (1, 2) {(x, y) : 1 x 2 + y 2 4}. Uwaga. Pojawiaj cy si wy»ej symbol T 1 nie oznacza,»e T jest odwracalne! Powy»szy zapis nale»y odczytywa ª cznie. 13

14 2.2 Inna charakteryzacja odwzorowa«ci gªych Materiaª uzupeªniaj cy Tw. Niech T : R N R M. Wówczas T jest ci gªe wtedy i tylko wtedy, gdy przeciwobrazy wszystkich zbiorów otwartych w R M s otwarte w R N. Dow. Przypu± my,»e T jest ci gªe na X R N. Niech V b dzie zbiorem otwartym w Y R M. Trzba pokaza,»e ka»dy punkt zbioru T 1 (V ) jest jego punktem wewn trznym. Zaªó»my,»e p X, T (p) V. Poniewa» V jest otwarty, wi c istnieje ɛ > 0 takie,»e y V, je±li d Y (T (p), y) < ɛ; a poniewa» T jest ci gªe w punkcie p, wi c istnieje δ > 0 takie,»e d Y (T (x), T (p)) < ɛ, je±li d X (x, p) < δ. W ten sposób x T 1 (V ), je±li tylko d X (x, p) < δ. W drug stron : Przypu± my,»e»e zbiór T 1 (V ) jest otwarty w X dla dowolnego zbioru otwartego V w Y. We¹my p X i ɛ > 0; i niech V b dzie zbiorem wszystkich y Y takich,»e d Y (y, T (p)) < ɛ. Wtedy V jest otwarty i dlatego T 1 (V ) jest otwarty. Skoro tak, to istnieje δ > 0 takie,»e x T 1 (V ), je±li tylko d X (p, x) < δ. Ale je±li x T 1 (V ), to T (x) V, poniewa» d Y (f(x), f(p)) < ɛ. Koniec materiaªu uzupeªniaj cego 2.3 Jeszcze inna charakteryzacja odwzorowa«ci gªych Poni»sza charakteryzacja odwzorowa«ci gªych jest bezpo±rednim analogonem charakteryzacji Cauchy'ego funkcji ci gªej w R 1. Tw. (T ci gªe na X) ( x X δ>0 Dow. Zaªó»my,»e teza tw. powy»ej jest nieprawdziwa, tzn. x X δ>0 Wybierzmy δ 1 n. Istnieje wi c taki ci g {y n},»e (d(x, y) < δ) d(t (x), T (y)) < ɛ y X (d(x, y) < δ) i d(t (x), T (y)) ɛ. y X ) (16) d(x, y n ) < 1 n d(t (x), T (y n )) ɛ ( ) ( ) Z (*) wynika,»e y n x, natomiast z (**) wynika,»e T (y n ) T (x), co jest sprzeczne z zaªo»eniem,»e T jest ci gªe. Niech x n, x X, oraz x n x. We¹my ɛ > 0. Z zaªo»enia, δ>0 (d(x, y) < δ) d(t (x), T (y)) < ɛ. y X Poniewa» x n x, to dla prawie wszystkich n zachodzi: d(x, x n ) < δ oraz d(t (x), T (x n )) < ɛ 14

15 a ta ostatnia nierówno± mówi,»e T (x n ) T (x), a to znaczy,»e T jest ci gªe. Przykª. Funkcja: f(x, y) jest ci gªa w (0, 0). Bo: Mamy oszacowanie: x2 y x 2 + y 2 dla (x, y) (0, 0), f(0, 0) 0 x 2 y f(x, y) f(0, 0) f(x, y) x x 2 + y x, i wystarczy wzi δ ɛ w denicji Cauchy'ego, aby przekona si,»e jest ona speªniona. Tw. Jedna z podstawowych wªasno±ci funkcji ci gªych. Analogon tw. Weierstrassa z dla funkcji jednej zmiennej. Niech K R N zwarty, oraz niech f : K R funkcja ci gªa. Wtedy: 1. f jest ograniczona. 2. f osi ga swoje kresy, tzn.: x min,x max K 3. f jest jednostajnie ci gªa. Dow. x K f(x min ) f(x) f(x max ) (17) 1. Przypu± my,»e f nie jest ograniczona. Wtedy istnieje {x n }, x n K taki,»e f(x n ) ( ) Poniewa» K jest zwarty, wi c ci g {x n } posiada podci g zbie»ny {y n } : y n g K. Ale f jest ci gªa, wi c f(y n ) f(g) co stanowi sprzeczno± z ( ). 2. Niech W R b dzie zbiorem warto±ci funkcji f na K: W {f(x) : x K}. Niech M b dzie kresem górnym zbioru warto±ci funkcji na K: M sup W. Kres górny nale»y do domkni cia zbioru: M W. W jest domkni ty, wi c istnieje ci g {x n } o wyrazach z K taki,»e f(x n ) M. K jest zwarty, wi c domkni ty, wi c istnieje podci g {x nm } ci gu {x n }, który to podci g jest zbie»ny do granicy nale» cej do K: f( lim x n m m ) lim f(x n m m ) M. }{{} x max 3. Przypomnijmy sobie, co to znaczy,»e funkcja od argumentu rzeczywistego jest jednostajnie ci gªa. Dla odwzorowania denicja jest analogiczna: Def. 15

16 (T jednostajnie ci gªe na X) ( δ>0 (d(x, y) < δ) d(t (x), T (y)) < ɛ x,y X (18) (To byªa denicja jednostajnej ci gªo±ci odwzorowania. Dalej mamy do czynienia z funkcj f). Teraz wi c dowód. Dow. Przypu± my,»e f nie jest jednostajnie ci gªa, tzn. δ>0 (d(x, y) < δ) x,y X i d(t (x), T (y)) ɛ. We¹my δ 1 n i ci gi {x n}, {y n } o wyrazach z X takie,»e ) d(x n, y n ) < 1 n d(f(x n ), f(y n )) ɛ. ( ) K jest zwarty, wi c mo»na zaªo»y,»e x n x K. Mamy: d(y n, x ) d(y n, x n ) + d(x n, x ) 0 Mamy wi c: y n x ; oraz z ci gªo±ci f: f(x n ) } f(x ) f(y n ) d(f(x n ), f(y n )) < ɛ. f(x ) Ale ostatnia nierówno± jest sprzeczna z ( ). Uwaga (Przypomnienie). Nie mo»na tu opu±ci zaªo»enia o zwarto±ci zbioru argumentów. Przypomnijmy sobie dwa przykªady funkcji na R 1 : Funkcja f(x) 1 na odcinku x 0, 1, który jak wiemy jest niezwarty (ograniczony ale nie domkni ty). Jest ona ci - gªa, ale nie jednostajnie. Drugi przykªad to F (x) x 2 na R znowu zbiorze niezwartym (domkni tym ale nieograniczonym). Znów F (x) jest ci gªa, ale nie jednostajnie. 16

17 3 Rachunek ró»niczkowy 3.1 Pochodne cz stkowe, ró»niczkowalno± funkcji, przyrosty Niech O R N b dzie zbiorem otwartym, za± f : O R funkcj ci gª. Niech x O. Wypiszmy jawnie skªadowe x: x (x 1, x 2,..., x N ), f(x) f(x 1, x 2,..., x N ). Wybierzmy teraz k {1, 2,..., N} i traktujmy zmienne x l, gdzie l k jako staªe. Rozwa»my granic : x k f(x1, x 2,..., x N f(x 1,..., x k 1, x k + h, x k+1,..., x N ) f(x 1,..., x k,..., x N ) ) lim h 0 h (19) Def. Powy»sz granic nazywamy pochodn cz stkow funkcji f po zmiennej x k (liczon w punkcie x). Ka»da z pochodnych cz stkowych jest funkcj N zmiennych. Mo»emy wi c zdeniowa pochodne cz stkowe pochodnej cz stkowej; mamy w ten sposób zestaw drugich pochodnych. Itd.; rekurencyjnie okre±lamy k t pochodn cz stkow jako pochodn k 1 wszej pochodnej. Def. Niech O R N b dzie zbiorem otwartym, za± f : O R funkcj ci gª. (Ten ostatni warunek piszemy te»: f C(O)). Mówimy,»e f jest ró»niczkowalna r razy w sposób ci gªy, je»eli istniej wszystkie pochodne cz stkowe a» do rz du r i s one ci gªe. Uwaga. (terminologiczna) Ten ostatni warunek zapisujemy krócej jako: f C r (O), gdzie przez C r (O) oznaczamy zbiór funkcji ró»niczkowalnych r razy w sposób ci gªy. Stosujemy te» oznaczenie C (O) dla funkcji, które posiadaj pochodne ci gªe dowolnie wysokiego rz du. Funkcje takie nazywamy funkcjami gªadkimi (nale» do nich np. wielomiany). Uwaga. (terminologiczna druga.) Zespóª pochodnych cz stkowych (we wspóªrz dnych kartezja«skich nazywamy gradientem funkcji f. B dziemy go oznacza Df; inne popularne w literaturze oznaczenie to f. Mamy wi c: Df f x, f 1 x,..., f. (20) 2 x N Tw. Niech O otwarty podzbiór R N, oraz f C 1 (O). Niech x 0 O, i niech h R N dostatecznie maªe, tzn. h < ɛ dla pewnego ɛ tak, by x 0 + h O RYS. Zdeniujmy r(x 0, h) przez: Wtedy zachodzi: f(x 0 + h) f(x 0 ) k1 r(x 0, h) h f x k (x 0)h k + r(x 0, h). h 0 0 (21) Uwaga. Znaczenie tego wzoru: Pozwala on wyznacza przyrost funkcji: Im mniejsze h, tym lepiej przyrost jest przybli»any przez cz ± liniow. 17

18 Dow. B dzie dla (najwa»niejszego w zastosowaniach) przypadku N 3; dla dowolnego N jest analogiczny. f(x 0 + h) f(x 0 ) f(x h 1, x h 2, x h 3 ) f(x 1 0, x 2 0, x 3 0) f(x h 1, x h 2, x h 3 ) f(x 1 0, x h 2, x h 3 ) +f(x 1 0, x h 2, x h 3 ) f(x 1 0, x 2 0, x h 3 ) +f(x 1 0, x 2 0, x h 3 ) f(x 1 0, x 2 0, x 3 0) Z twierdzenia Lagrange'a o warto±ci ±redniej dla funkcji jednej zmiennej mamy III gdzie y 3 punkt pomi dzy x 3 0 a x h 3 ; x 3 f(x1 0, x 2 0, y 3 )h 3, III II I Tak wi c I II x 2 f(x1 0, y 2, x h 3 )h 2, y 2 x 2 0, x h 2 ; x 1 f(y1, x h 2, x h 3 )h 1, y 1 x 1 0, x h 1. r(x 0, h) f(x 0 + h) f(x 0 ) f x (x 0)h 1 f 1 x (x 0)h 2 f 2 x (x 0)h 3 3 x 1 f(y1, x h 2, x h 3 ) x 1 f(x1 0, x 2 0, x 3 0) h 1 + x 2 f(x1 0, y 2, x h 3 ) x 2 f(x1 0, x 2 0, x 3 0) h 2 + x 3 f(x1 0, x 2 0, y 3 ) x 3 f(x1 0, x 2 0, x 3 0) h 3 (22) Skªadowe wektora h szacuj si przez: Ponadto, je»eli h 0, to: h k h 1. y 1 x 1 ; y 2 x 2 ; y 3 x 3. Poniewa» pochodne cz stkowe s ci gªe, to ró»nice w (22) d» do zera i mamy r(x 0, h) h h

19 3.2 Pochodna funkcji zªo»onej Usystematyzujmy oznaczenia, przydaj c im, je±li trzeba, dodatkowe jeszcze wyja±nienia: 1. h x przyrost zmiennej (-ych); 2. f(x + h) f(x) f przyrost funkcji; 3. k1 f x k (x 0)h k df ró»niczka funkcji; 4. r reszta. Pami tajmy,»e wszystkie powy»sze obiekty: x, f, df, r s funkcjami od x i h. Mamy te»: f df + r; im mniejsze h, tym mniejsze r i w wielu zastosowaniach zycznych na ogóª przyjmuje si,»e dla maªych h, r jest zaniedbywalny. Tw. (Prototyp twierdzenia o pochodnej odwzorowania zªo»onego) Niech g : U O, gdzie U R, O R N, oraz f : O R. (Pisz c jawnie argumenty, mamy: f(y 1, y 2,..., y N ) oraz g(x) g 1 (x), g 2 (x),..., g N (x)). Niech k f g, tzn. k(x) f(g(x)) lub, pisz c bardziej jawnie, ale te» bardziej rozwlekle argumenty: k(x) f(g 1 (x), g 2 (x),..., g N (x)). Je»eli f C 1 (O), g C 1 (U), to k C 1 (U) oraz d dx k(x) N Dow. Liczymy iloraz ró»nicowy: k(x + h) k(x) h i1 f y i (g(x))dgi (x). (23) dx f(g(x + h)) f(g(x)) h (tu h R). Oznaczmy: y g(x + h) g(x) (tzn. y i g i (x + h) g i (x)). f(g(x) + y)) f(g(x)) h Ni1 f y i (g(x)) y i + r(g(x), y) h Ni1 f (g(x)) y i y i r(g(x), y) + h h Pierwszy wyraz w powy»szym wyra»eniu (24) to jest to co trzeba, poniewa» (24) y i h gi (x + h)) g i (x) h h 0 gi x (x) Natomiast drugi wyraz w wyra»eniu (24) okazuje si,»e d»y do 0 gdy h 0. Bowiem, gdy y 0, to r(g(x), y) 0. Natomiast gdy y 0, to mamy: h r(g(x), y) h r(g(x), y) y y h 19

20 W pierwszym czynniku mamy: y h 0 i co za tym idzie, caªy wyraz te» d»y do zera (z wªasno±ci reszty). Drugi czynnik, tzn. iloraz y, speªnia: h y y h 0 dg h h dx B dziemy dalej potrzebowa dwu prostych faktów dotycz cych normy i odlegªo±ci. Stw. Norma jest funkcj ci gª swoich argumentów (tzn. skªadowych wektora). Dow. Przyjrzyjmy si wyra»eniu na norm wektora x: i mamy: x (x 1 ) 2 + (x 2 ) (x N ) 2 1. podnoszenie do kwadratu jest funkcj ci gª, 2. sumowanie jest funkcj ci gª, 3. pierwiastek jest funkcj ci gª. Stw. Odlegªo± jest funkcj ci gª, tzn. je»eli x n x, y n y, to d(x n, y n ) d(x, y). (25) Dow. Najsampierw poka»emy nast puj c nierówno± czworoboku: d(x, u) d(x, y) + d(y, z) + d(z, u); bowiem, pisz c dwukrotnie nierówno± trójk ta, mamy: d(x, u) d(x, y) + d(y, u) d(x, y) + d(y, z) + d(z, u) (szkoda tu pisa ) i teraz, korzystaj c dwukrotnie z nierówno±ci czworoboku: d(x n, y n ) d(x n, x) + d(x, y) + d(y, y n ) d(x n, y n ) d(x, y) d(x n, x) + d(y, y n ); d(x, y) d(x, x n ) + d(x n, y n ) + d(y n, y) d(x, y) d(x n, y n ) d(x, x n ) + d(y n, y); czyli mamy 0 d(x, y) d(x n, y n ) d(x, x n ) + d(y n, y); Prawa strona powy»szej nierówno±ci z zaªo»enia d»y do zera, a z tego wynika (25). 3.3 Równo± drugich pochodnych mieszanych Tw. (o równo±ci drugich pochodnych mieszanych). Niech O R 2 zbiór otwarty. Niech f : O R, f C 2 (O). Wtedy: f x 1 x 2 20 f (26) x 2 x 1

21 Dow. Najsampierw oznaczmy x zamiast x 1 oraz y zamiast x 2. Oznaczmy: x h, y k oraz w f(x + h, y + k) f(x + h, y) f(x, y + k) + f(x, y) Ustalmy teraz x i h i zdeniujmy Mo»emy wyrazi w przez φ: φ(y) f(x + h, y) f(x, y) w φ(y + k) φ(y) φ (ξ) k gdzie ξ y, y + k; jest to wniosek z tw. Lagrange'a o warto±ci ±redniej. Mamy dalej φ (ξ) k f y f (x + h, ξ) (x, ξ) y x f (η, ξ) h k y gdzie η x, x + h; w ostatnim kroku znów skorzystali±my z tw. Lagrange'a o warto±ci ±redniej. Zdeniujmy teraz ψ(x) f(x, y + k) f(x, y) i podobnie jak wy»ej, mo»emy wyrazi w przez ψ. Mamy: w ψ(x + h) ψ(x) ψ ( η) h (tu η x, x + h; znów skorzystali±my z tw. Lagrange'a) i dalej f f ( η, y + k) ( η, y) f x x y x ( η, ξ) h k gdzie ξ y, y + k. W powy»szych wyra»eniach liczyli±my t sam wielko± w na dwa ró»ne sposoby. Mamy wi c: w f x y (η, ξ) h k f y x ( η, ξ) h k Je±li teraz h 0, to wtedy ξ y, η x, oraz ξ y, η x, zatem otrzymujemy równo± pochodnych cz stkowych mieszanych w punkcie (x, y). Przykª.: Nie mo»na opu±ci zaªo»e«o ci gªo±ci; pochodne mieszane mog wtedy nie by równe. Poni»szy przykªad pokazuje tak sytuacj, tzn. pochodne mieszane nie s równe, gdy f nie jest kl. C 2. Rozwa»my funkcj dwóch zmiennych: { xy x 2 y 2, dla (x, y) (0, 0) f(x) x 2 +y 2 0 dla (x, y) (0, 0). Poza punktem (0, 0) wszystkie pochodne cz stkowe istniej i s ci gªe (jako pochodne funkcji wymiernej). Obliczymy drugie pochodne mieszane funkcji w punkcie (0, 0). 21

22 Policzmy najsampierw pierwsze pochodne. Mamy, poza punktem (0, 0): f x (x, y) f,x(x, y) y x2 y 2 x 2 + y + xy 2x(x2 + y 2 ) 2x(x 2 y 2 ) 2 (x 2 + y 2 ) 2 x 2 y 2 y x 2 + y + 4 x2 y 2, 2 (x 2 + y 2 ) 2 (wprowadzili±my tu inny, cz sto spotykany zapis pochodnej cz stkowej: pochodn w punkcie (0, 0) trzeba policzy z denicji: f x (0, 0) f 1 1,x(0, 0) lim (f(h, 0) f(0, 0)) lim (0 0) 0. h 0 h h 0h f x f,x), za± Drugiej pochodnej poza punktem (0, 0) nie potrzebujemy, a w punkcie (0, 0) liczymy j z denicji: 2 f y x (0, 0) f,x 1 (0, 0) lim y h 0h (f,x(0, h) f,x (0, 0)) 1 h 2 lim h 0 h h + 0 lim( 1) 1. h 2 h 0 Drug pochodn mieszan liczymy analogicznie: Poza punktem (0, 0): f x 2 y (x, y) f y 2,y(x, y) x x 2 + y 4 x2 y 2, 2 (x 2 + y 2 ) 2 a w punkcie (0, 0) znów liczymy j z denicji: 3.4 Wy»sze pochodne 2 f x y (0, 0) f,y 1 (0, 0) lim x h 0h (f y(h, 0) f y (0, 0)) 1 h 2 lim h 0 h h h + 0 lim(+1) h 0 Notacja pochodnych cz stkowych. Mówi c o pochodnej cz stkowej trzeba poda nie tylko jej rz d (ilo± ró»niczkowa«), ale te» powiedzie, po jakich zmiennych si ró»niczkuje. Ogólnie pochodna r-tego rz du funkcji N zmiennych ma posta : r f, gdzie r r ( x 1 ) r 1 ( x2 ) r 2... ( xn ) r 1 + r r N ; N i tak wszystkie drugie pochodne funkcji dwóch zmiennych s pochodne trzeciego rz du: itd. 3 f x 3, 2 f x 2, 3 f x 2 y, 2 f x y, 22 2 f y 2, 3 f x y 2, 3 f y 3,

23 3.5 Ró»niczkowalno± odwzorowa«powy»sze uwagi dotyczyªy funkcji N zmiennych. Gdy mamy odwzorowania, ró»niczkowalno± tych»e deniujemy analogicznie: Niech T odwzorowuje O R N na U R M, O i U s otwarte. RYS.; niech x O, y U. Niech y T (x). Wypiszmy t równo± jawnie w skªadowych: y k T k (x 1, x 2,..., x N ), k 1, 2,..., M. Def. Mówimy,»e T jest klasy C r, je»eli wszystkie funkcje T k C r (O). Mo»na wypisywa wszystkie pochodne cz stkowe rz du r dla odwzorowania wzory s podobne jak na pochodn funkcji, tylko nieco bardziej skomplikowane. B dziemy je wypisywa, gdy b dzie to potrzebne, a na razie wypiszmy jawnie pierwsz pochodn odwzorowania: T (x) (T 1 (x)) (T 2 (x)). (T M (x)) T 1 T 1 x 1 T... 1 x 2 x N T 2 T 2 T... 2 x 1 x 2 x N T M x 1 T M T... M x 2 x N tzn. na skrzy»owaniu i-tego wiersza i j-tej kolumny mamy pochodn T i x. Pami tajmy, j»e ka»da z pochodnych T i x jest funkcja N zmiennych j x1,..., x N. Oznaczenia & terminologia: Pochodn odwzorowania (27) oznacza si te» czasem DT. Taka tablica liczb, jak pami tamy z cz ±ci algebraicznej wykªadu, nazywa si macierz ; w tym konkretnym przypadku mamy macierz pochodnej odwzorowania albo macierz Jacobiego. Przykª. Macierz Jacobiego zamiany wspóªrz dnych kartezja«skich na biegunowe: Niech Φ : R 2 (r, φ) (x, y) R 2 b dzie okre±lone jako: (tym razem b dziemy pedantycznie zapisywa skªadowe Φ w kolumnach): x y Φ 1 (r, φ) Φ 2 (r, φ) r cos φ r sin φ Pochodna (tzn. macierz Jacobiego) odwzorowania Φ jest (ró»niczkujemy Φ po kolejnych zmiennych (r, φ): Φ 1 DΦ,r Φ 1,φ cos φ r sin φ Φ 2,r Φ 2,φ sin φ r cos φ 3.6 Pochodna odwzorowania zªo»onego Niech: X R N, Y R M, Z R K oraz S : X Y, T : Y Z. Pami tamy,»e superpozycj (zªo»eniem odwzorowa«s i T nazywamy odwzorowanie T S : X Z, okre±lone jako: (T S)(x) T (S(x)). RYS. Pami tamy te» twierdzenie,»e je±li S i T s odwzorowaniami ci gªymi, to T S te» jest odwzorowaniem ci gªym. 23 (27)

24 Wyprowadzili±my niedawno wzór (23) na pochodn odwzorowania zªo»onego w przypadku, gdy X byªo podzbiorem R, Y podzbiorem R n, oraz Z R: RYS. Zastosujmy teraz ten wzór w przypadku, gdy mamy pochodn RYS. Mamy: (T S) k (T S)k (x). x l (x) T k (S 1 (x 1, x 2,..., x N ), S 2 (x 1, x 2,..., x N ),..., S M (x 1, x 2,..., x N )) x l x l T k k S1 T S2 (S(x)) (x) + (S(x)) y1 xl y2 x M j1 l (x) + + T k SM (S(x)) (x) ym x l (x) T k Sj (S(x)) (x). (28) yj xl (T S)k To byªa konkretna skªadowa (x). Dla caªej macierzy Jacobiego mo»na wypisa x l wzór, przypominaj cy jako»ywo pochodn funkcji zªo»onej ale aby go prawidªowo rozczyta, trzeba pami ta, co oznaczaj poszczególne symbole: (T S) (x) T (S(x)) S (x) gdzie kropka oznacza mno»enie macierzy pochodnych. Je±li zarówno S jak i T s odwzorowaniami ró»niczkowalnymi klasy C 1, to i ich zªo»enie te» jest odwzorowaniem ró»niczkowalnym klasy C 1. Wynika to od razu z faktu,»e sumy i iloczyny odwzorowa«ró»niczkowalnych typu (23) te» s ró»niczkowalne, a we wzorze (28) s tylko sumy i iloczyny takich wyra»e«. Analogicznie si argumentuje pokazuj c,»e je±li S oraz T s odwzorowaniami ró»- niczkowalnymi klasy C r, to i ich zªo»enie te» jest odwzorowaniem ró»niczkowalnym klasy C r. Powy»sze mo»na podsumowa w twierdzeniu: Tw. Je±li S i T s odwzorowaniami klasy C r, to równie» ich zªo»enie T S jest klasy C r. Pierwsza pochodna odwzorowania zªo»onego dana jest wzorem or, in more explicit manner, (T S) (x) T (S(x)) S (x) (29) (T S) k x l (x) M j1 T k Sj (S(x)) (x). (30) yj xl Przykª. S : R 2 (r, φ) (x r cos φ, y r sin φ) R 2, T : R 2 (x, y) (u exp(x + y), v exp(x y) R 2. Policzymy pochodn wprost oraz jako iloczyn macierzy pochodnych S i T. Czyli: S(r, φ) x(r, φ) y(r, φ) r cos φ r sin φ, T (x, y) 24 u(x, y) v(x, y) e x+y e x y,

25 (T S)(r, φ) u(r, φ) v(r, φ) e r(cos φ+sin φ) r(cos φ sin φ) e Liczymy pochodne: Tym razem we¹my najsampierw pochodn zªo»enia: D(T S) u,r u,φ v,r v,φ (cos φ + sin φ)e r(cos φ+sin φ) r(cos φ+sin φ) r( sin φ + cos φ)e (cos φ sin φ)e r(cos φ sin φ) r(cos φ sin φ) r( sin φ cos φ)e.. A teraz DS i DT : x,r x DS,φ y,r y,φ cos φ r sin φ sin φ r cos φ u,x u, DT,y v,x v,y e x+y e x+y e x y e x y ; i sprawdzamy czy si zgadza: e x+y e DT DS x+y cos φ r sin φ e x y e x y sin φ r cos φ (cos φ + sin φ)e x+y r( sin φ + cos φ)e x+y (cos φ sin φ)e x y r( sin φ cos φ)e x y pami taj c ponadto,»e trzeba tu wstawi x x(r, φ), y y(r, φ), otrzymujemy ostatecznie DT DS D(T S). ; 25