Twierdzenie Choqueta o mierzalno±ci rzutów
|
|
- Aniela Przybysz
- 4 lat temu
- Przeglądów:
Transkrypt
1 Twierdzenie Choqueta o mierzalno±ci rzutów (Na podstawie wykªadu prof. Michaªa Morayne) Mateusz Kwa±nicki 12. grudnia Wst p Ten tekst jest skróconym zapisem wykªadów dr M. Morayne, po±wi conych podstawom analizy stochastycznej. W wielu miejscach przede wszystkim w dowodach twierdze«pomini to szczegóªy rozumowania, które czytelnik powinien jednak bez trudu uzupeªni. Aby uªatwi lektur tekstu, tam gdzie trudno± ªatwo przeoczy, zamieszczono symbol. 2 Podstawowe denicje i fakty. 1. Oznaczenia. Niech N, Z oznaczaj odpowiednio przestrzenie liczb naturalnych (z zerem) oraz caªkowitych z topologi dyskretn, za± Z N zbiór niesko«czonych ci gów liczb caªkowitych z topologi produktow, indukowan przez metryk : d(p, q) = (min {i : p i q i } + 1) 1. Niech nadto: S = Z n b dzie zbiorem wszystkich ci gów sko«czonych. Jedyny ci g dªugo±ci zero oznaczamy symbolem 0. Niech S = S \ {0}. Symbole R, Q oznaczaj odpowiednio zbiory liczb rzeczywistych i wymiernych; symbol + w indeksie dolnym b dzie oznaczaª,»e mamy na my±li jedynie liczby nieujemne (z zerem); wykluczenie zera ze zbioru b dziemy oznacza symbolem w indeksie 1
2 górnym. W szczególno±ci N oznacza zbiór dodatnich liczb caªkowitych. Je±li k N, za± p Z N b d¹ p Z n dla pewnego n k, to oznaczamy: p k = (p 0,..., p k 1 ). Je±li za± p S, p = (p 0,..., p k 1 ) oraz i Z, to okre±lamy: p, i = (p 0,..., p k 1, i). 2. Twierdzenie. Przestrzenie topologiczne: Z N (z topologi produktow ), R \ Q oraz R + \ Q (z naturaln topologi ) s ze sob homeomorczne. Dowód. Na potrzeby tego dowodu, niech p = (p 0,..., p k 2, p k 1 + 1) dla p = (p 0,..., p k 1 ) S. Okre±lamy funkcj ψ : S Q indukcyjnie dla coraz dªu»szych ci gów tak, aby dla wszystkich p = (p 0,..., p k 1 ) S speªnione byªy nast puj ce warunki: ψ( p, i ) jest ±ci±le rosn c funkcj i Z, lim ψ( p, i ) = ψ(p) oraz i lim ψ( p, i ) = i ψ(p ) je±li k N, lim i ψ(i) = oraz lim i ψ (S ) = Q. ψ(i) =, (Ostatni warunek uzyskamy na przykªad» daj c, by w k-tym kroku konstrukcji wyczerpa wszystkie liczby wymierne o mianowniku k.) Dla ci gu p Z N okre±lamy: ϕ(p) = lim k ψ(p k ). Wówczas ϕ jest ró»nowarto±ciowym odwzorowaniem Z N na R \ Q ( ). Obrazami zbiorów bazowych topologii w Z N s wszystkie zbiory bazy topologii w R \ Q, zªo»onej z przedziaªów postaci (q(p), q(p )) dla p S. To oznacza ci gªo± odwzorowa«ϕ i ϕ 1. Homeomorzm mi dzy przestrzeniami R \ Q oraz R + \ Q ustala funkcja x 2 x dla x < 1, x 1/x w przeciwnym przypadku. 2
3 3. Uwaga. W powy»szym dowodzie mo»na bez»adnych dodatkowych zmian zast pi zbiór Q dowolnym innym g stym podzbiorem przeliczalnym E R. Tym samym udowodnili±my,»e R\E 1 oraz R\E 2 s homeomorczne dla ka»dych dwóch przeliczalnych podzbiorów g stych E 1, E 2 R. ledz c uwa»nie dowód mo»na zauwa»y,»e homeomorzm mi dzy tymi przestrzeniami jest ustalony przez pewn funkcj rosn c f rozszerzaj c si w sposób ci gªy do homeomorzmu R R. Oznacza to,»e istnieje ci gªa i rosn ca funkcja f : R R speªniaj ca warunek f(e 1 ) = E 2. Co ciekawe, istnieje funkcja speªniaj ca te zaªo»enia i dodatkowo taka,»e f i f 1 s niesko«czenie wiele razy ró»niczkowalne. 4. Denicje. Od tego momentu, je±li nie zostanie powiedziane inaczej, X jest pewnym zbiorem, za± Φ pewn rodzin jego podzbiorów. Oznaczamy: { } (Φ) δ = A n : A n Φ, n N, (Φ) σ = { A n : A n Φ, n N Φ c = {A c : A Φ}. Rodzin Φ nazywamy σδ-krat, je±li Φ = (Φ) δ = (Φ) σ, za± σ-algebr, je±li jest σδ-krat oraz Φ = Φ c. Najmniejsz σδ-krat zawieraj c Φ oznaczamy ˆΦ, za± najmniejsz σ-algebr σ(φ). Rodzin wszystkich podzbiorów X oznaczamy P (X). Je±li X jest przestrzeni topologiczn, to przez B (X) oznaczamy rodzin zbiorów borelowskich na X, czyli σ(τ), gdzie τ jest rodzin otwartych podzbiorów X. Je±li Φ i Ψ s rodzinami podzbiorów odpowiednio zbioru X i Y, to okre- ±lamy: } Φ Ψ = {A B : A Φ, B Ψ}, Φ ˆ Ψ = (Φ Ψ)ˆ, Φ Ψ = σ(φ Ψ). Deniujemy rzutowanie: π(x, y) = x. Dla zbioru A X Y oraz x X okre±lamy ci cie (A) x jako {y Y : (x, y) A}., 3
4 5. Fakt. Zachodz nast puj ce relacje: Φ ˆ Ψ = Φ ˆ ˆΨ = ˆΦ ˆ ˆΨ, Φ Ψ = Φ σ(ψ) = σ(φ) σ(ψ). 3 Transformacja A Souslina 1. Denicja. Niech T : S P (X). Oznaczamy: A(T ) = T (p n ), k N p Z N A(Φ) = {A(T ) : T : S Φ}. 2. Twierdzenie. Operacja A jest indempotentna, czyli A(A(Φ)) = A(Φ). Dowód. Niech ˆT : S A(Φ) i niech ˆT (p) = A (T p ), gdzie T p : S Φ. Niech ponadto n (α(n), β(n)) b dzie bijekcj mi dzy Z oraz Z Z. Niech k N, k > 0. Wówczas k = 2 i (2j + 1) dla pewnych wyznaczonych jednoznacznie i, j N. Okre±lamy wtedy: q = (α(p 1 ), α(p 2 ), α(p 4 ),..., α(p 2 i)), T (p 1,..., p k ) = T q (β(p 2 i), p 2i 3, p 2i 5,..., p 2 i (2j+1)). Wówczas ( ): A( T ) = p Z N = T (p k ) k N q Z N p i Z N,i N i N = q Z N i N p Z N = q Z N j N T q i (p i j ) k N T q i (p k ) i N A(T q i ) = A( ˆT ). 4
5 3. Twierdzenie. Rodzina A(Φ) jest σδ-krat zawieraj c Φ. Dowód. Niech A n Φ dla n N. Okre±lmy T 1 (p 0,..., p k 1 ) = A p0, T 2 (p 0,..., p k 1 ) = A k 1 dla ka»dego (p 0,..., p k 1 ) S. Wówczas A(T 1 ) = A n oraz A(T 2 ) = A n, a wi c (Φ) σ A(Φ), (Φ) δ A(Φ). Stosuj c ten rezultat dla A(Φ) w miejsce Φ otrzymujemy: co dowodzi tezy. (A(Φ)) σ A(A(Φ)) = A(Φ), (A(Φ)) δ A(A(Φ)) = A(Φ), 4. Uwaga. W ogólno±ci rodzina A(Φ) nie jest σ-algebr, nawet gdy Φ jest σ-algebr. 5. Twierdzenie. Zachodz nast puj ce równo±ci: A(Φ) = { π(e) : E Φ ˆ B ( Z N)} = { π(e) : E Φ ˆ B (R) }. Dowód. Teza twierdzenia wynika z poni»szych trzech lematów. 6. Lemat. Zachodzi inkluzja A(Φ) { π(e) : E Φ ˆ B ( Z N)}. Dowód. Niech T : S Φ. Okre±lmy: E k = p Z k T (p) U(p), gdzie U(p 0,..., p k 1 ) = { q Z N : q i = p i, i = 0,..., k 1 } jest zbiorem bazowym topologii w Z N. Niech E = k=1 E k. Wówczas E Φ ˆ B ( Z N) oraz π(e) = A(T ). 7. Lemat. Zachodzi inkluzja A(Φ) { π(e) : E Φ ˆ B (R) }. Dowód. Niech Ψ = {[a, b] : a, b R, a b} b dzie rodzin domkni tych przedziaªów liczb rzeczywistych. Wówczas (Ψ) δ = Ψ oraz ˆΨ = B (R). Ponadto je±li B n Ψ, n N, to: B n = k N : 5 k B n =. n=0
6 Oznacza to,»e je±li E n Φ Ψ, n N, to: ( ) π E n = ( k ) π E n. k N Oczywi±cie rzut sumy dowolnej mnogo±ci zbiorów jest sum rzutów tych zbiorów. We¹my zatem dowolne T : S Φ Ψ i niech T (p) = T 1 (p) T 2 (p). Okre±lmy T : S Φ Ψ dla p = (p 0,..., p k 1 ) S wzorem: ( k ) T (p) = T 1 (p) T 2 (p n ). Wówczas ( ): n=1 n=0 π(a(t )) = π(a( T )) = A(π T ) A(Φ). Ale A(Φ Ψ) (Φ Ψ)ˆ = Φ ˆ B (R), a wi c π(e) A(Φ) dla wszystkich E Φ ˆ B (R). 8. Lemat. Zachodzi równo± : { π(e) : E Φ ˆ B ( Z N)} = { π(e) : E Φ ˆ B (R) }. Dowód. Przestrzenie Z N i R \ Q s homeomorczne (twierdzenie 2.2), a mi dzy przestrzeniami R \ Q oraz R istnieje wzajemnie jednoznaczne odwzorowanie borelowskie, którego odwrotno± jest tak»e borelowska. Zatem: { π(e) : E Φ ˆ B ( Z N)} = { π(e) : E Φ ˆ B (R \ Q) } = { π(e) : E Φ ˆ B (R) }. 9. Uwaga. Oczywi±cie w twierdzeniu 5 mo»na w miejsce R napisa R + b d¹ dowolny przedziaª (otwarty lub domkni ty) liczb rzeczywistych. 6
7 4 Twierdzenie Königa o drzewach 1. Denicja. Drzewem nazywamy ka»dy zbiór T S speªniaj cy warunek: (p 0,..., p k ) T (p 0,..., p k 1 ) T dla wszystkich k N. Dla wierzchoªka p T liczb : # {i : p, i T } nazywamy stopniem rozgaª zienia wierzchoªka p. Drzewo T nazywamy sko«- czenie rozgaª zionym, je±li stopie«rozgaª zienia ka»dego wierzchoªka T jest sko«czony. 2. Twierdzenie Königa o drzewach sko«czenie rozgaª zionych. Je±li T jest drzewem sko«czenie rozgaª zionym oraz #T =, to istnieje ci g p Z N taki,»e p k T dla ka»dego k N. Dowód. Ci g p skonstruujemy indukcyjnie, dbaj c o to, by w ka»dym kroku zbiór przedªu»e«ci gu p k w drzewie T : A(p k ) = {q T : q k = p k } byª niesko«czony. Dla k = 0 zachodzi A(0) = T, a wi c warunek jest speªniony. Je±li skonstruowany zostaª ju» ci g p k, to: A(p k ) = {p k } i Z A( p k, i ) oraz tylko sko«czenie wiele zbiorów A( p k, i ), i Z, jest niepustych. Zatem dla pewnego i Z zbiór A( p k, i ) jest niesko«czony. Przyjmujemy p k = i. 5 Pojemno± Choqueta 1. Denicja. Funkcj ν : P (X) R nazywamy Φ-pojemno±ci Choqueta (w skrócie Φ-pojemno±ci ), je±li speªnia nast puj ce warunki: 1. Monotoniczno± : Dla A B X zachodzi ν(a) ν(b), 7
8 2. Ci gªo± w gór : Dla A 0 A 1 X zachodzi ν ( A n) = lim n ν(a n ), 3. Ci gªo± w dóª: Dla A 0 A 1 X, A n Φ, n N, zachodzi ν ( A n) = limn ν(a n ). Mówimy,»e A X jest ν-kapacytowalny, je±li: ɛ > 0 B (Φ) δ : B A, ν(b) > ν(a) ɛ. 2. Twierdzenie. Je±li (Ω, F, P) jest przestrzeni probabilistyczn, za± P miar zewn trzn, czyli: to P jest F-pojemno±ci. P (A) = inf {P(E) : E F, E A}, Dowód. Najpierw udowodnimy,»e P jest F-pojemno±ci. Monotoniczno± wynika wprost z denicji. Je±li A n X dla n N, to niech E n F b dzie takim zbiorem,»e A n E n, P (A n ) = P(E n ). Je±li A 0 A 1..., to: Zatem: ( ) P(E n ) = P (A n ) P E i P(E n ). j N i=n ( ) ( ) P(E n ) =P (A n ) P A j P E i = lim j P ( i=j E i ) = lim j P (E j ), j N i=j co oznacza ci gªo± w gór. Ci gªo± w dóª wynika wynika z ci gªo±ci miary. 3. Twierdzenie Choqueta. Zaªó»my,»e Φ jest krat, czyli rodzin zamkni t na sko«czone sumy i przekroje. Je±li ν jest Φ-pojemno±ci, to ka»dy zbiór z rodziny A(Φ) jest ν-kapacytowalny. 8
9 Dowód. Niech A = A(T ), gdzie T : S Φ. Bez straty ogólno±ci mo»emy przyj,»e: T (p k ) T (p k + 1 ) dla wszystkich p Z N, k N. Okre±lamy: T (p) = k N T (p k ) dla p Z N. Ponadto dla dowolnego sko«czonego ci gu liczb naturalnych m = (m 0,..., m k 1 ) niech S(m) oznacza sum mnogo±ciow obrazów wszystkich ci gów z Z N, których pocz tkowe wspóªrz dne s ograniczone przez liczby m i, a wi c: S(m) = T (p). p Z N, p i <m i dla i=0,...,k 1 Zauwa»my,»e S(0) = A. Ustalmy ɛ > 0. Konstruujemy indukcyjnie ci g liczb naturalnych m w nast puj cy sposób. Przyjmijmy,»e zostaªy ju» okre- ±lone m 0,..., m k 1 tak,»e: ν(s(m k )) > ν(a) ɛ. Wobec: S(m k ) = i N S( m k, i ) i denicji Φ-pojemno±ci, dla pewnego m k N: ν(s(m k + 1 )) > ν(a) ɛ. Niech teraz: F k = T (p) p N k, p i <m i dla i=0,...,k 1 dla k N oraz niech: F = F k. k N Oczywi±cie F k Φ, wi c F (Φ) δ. Ponadto: ν(f k ) ν(s(m k )) > ν(a) ɛ, 9
10 przez co ν(f ) = lim k ν(f k ) ν(a) ɛ. Poka»emy,»e F A. Niech x F. Okre±lamy drzewo T jako zbiór wszystkich wierzchoªków postaci p k dla p Z N takich,»e x T (p) oraz p i < m i dla i = 0,..., k 1. Jest to drzewo niesko«czone (bo wobec denicji F i F k zawiera ci gi dowolnej dªugo±ci) i sko«czenie rozgaª zione, wi c na mocy twierdzenia Königa (4.2) istnieje ci g p Z N taki,»e p i < m i dla i N oraz x T (p k ) dla wszystkich k N. To oznacza,»e x A. Zatem F A. Powy»szy dowód pochodzi od prof. J. Cichonia i prof. [???]. 4. Wnioski. Niech (Ω, F, µ) b dzie przestrzeni probabilistyczn. Przez F µ oznaczamy σ-algebr uzupeªnion wzgl dem miary µ, a wi c σ-algebr generowan przez F oraz wszystkie zbiory A X takie,»e µ (A) = 0. Wówczas: lub inaczej: F µ = {A : E 1, E 2 F : E 1 A E 2, µ(e 1 ) = µ(e 2 )} F µ = {A : E F : E A, µ(e) = µ (A)}. Miar µ mo»na jednoznacznie rozszerzy do miary na F µ. Na mocy tw. Choqueta i faktu,»e µ jest F µ -pojemno±ci, ka»dy zbiór z rodziny A(F µ ) speªnia powy»szy warunek, wi c A(F µ ) F µ. Co wi cej, je±li (Ω, F) jest przestrzeni mierzaln, to dla ka»dej miary probabilistycznej µ na σ-algebrze F zachodzi A(F) F µ, a wi c: A(F) F = F µ, µ M(F) gdzie M(F) oznacza rodzin wszystkich miar probabilistycznych na σ- algebrze F, za± F nazywane jest rodzin zbiorów uniwersalnie mierzalnych. Zauwa»my,»e (F ) = F. Na mocy twierdzenia 3.5 oznacza to,»e rzuty π(e) zbiorów E F B (R) (a nawet E F B (R)) nale» do rodziny zbiorów uniwersalnie mierzalnych F, za± rzuty zbiorów E F µ B (R) nale» do F µ. W szczególno±ci rzuty borelowskich podzbiorów pªaszczyzny na jedn z osi s mierzalne w sensie Lebesgue'a. 5. Twierdzenie. Je±li Φ = {E F B (R + ) : ω Ω : (E) ω jest zwarty} oraz X = Ω R +, to funkcja ν(a) = P (π(a)) dla A P (X) jest Φ- pojemno±ci. 10
11 Dowód. Monotoniczno± ν wynika z monotoniczno±ci rzutów, ci gªo± w gór z przemienno±ci rzutowania i sumowania oraz ci gªo±ci w gór P udowodnionej w twierdzeniu 5.2. Je±li A 0 A 1..., A n Φ, n N, to dla ω Ω: (A n ) ω = n N : (A n ) ω = wobec zwarto±ci ci (A n ) ω, a wi c π ( A ) n = π(a n). Ponadto na mocy wniosków wyci gni tych z tw. Choqueta, zachodzi π(a n ) F P, π ( A n) F P. Zatem po przedªu»eniu P do miary na F P : ( ) ( )) ( ) ν A n =P (π A n = P π(a n ) = lim n P(π(A n )) = lim n ν(a n ). Znów w miejsce R + mo»na wpisa R b d¹ dowolny przedziaª liczb rzeczywistych. 6 Wykresy mierzalne i twierdzenie von Neumanna o selektorze 1. Denicja. Zbiór A F B (R + ) nazywamy wykresem mierzalnym, je±li: ω Ω : #(A) ω 1. Debiutem zbioru E Ω R + nazywamy funkcj okre±lon dla ω π(e) wzorem D A (ω) = inf {t R + : (ω, t) E}. 2. Twierdzenie. Je±li przestrze«(ω, F, P) jest zupeªna (czyli F P = F), to ka»dy wykres mierzalny jest postaci: {(ω, f(ω)) : ω E} dla pewnego E F oraz f : E R + borelowskiej. Dowód. Je±li E F oraz f : E R + jest funkcj borelowsk, to: {(ω, f(ω)) : ω E} = ( ([ k f 1 n, k + 1 )) n k N 11 ) [ k E n, k + 1 ) F B (R + ). n
12 Je±li za± A jest wykresem mierzalnym, to okre±namy E = π(a) F P = F (mierzalno± E wynika z 5.4) oraz f(ω) (A) ω dla ω E. Zauwa»my,»e wybór f jest jednoznaczny oraz»e A = {(ω, f(ω)) : ω E}. Ponadto dla F B (R + ): f 1 (F ) = {ω Ω : (A) ω F } = {ω Ω : (A (Ω F )) ω } =π(a (Ω F )) F P = F (mierzalno± ponownie jest konsekwencj 5.4). Zatem f jest funkcj borelowsk. 3. Twierdzenie. Je±li przestrze«(ω, F, P) jest zupeªna oraz E F B (R + ), to D E jest funkcj mierzaln. Dowód. Teza wynika z nast puj cego rachunku: oraz z 5.4. {ω π(e) : D E (ω) < t} = {ω Ω : s [0, t) : (ω, s) E} =π(e (Ω [0, t))) 4. Uwaga. W dowodach powy»szych twierdze«wykorzystali±my jedynie fakt,»e rzut zbioru mierzalnego jest mierzalny. Mo»na zatem osªabi zaªo»enia tych twierdze«: zamiast zupeªno±ci przestrzeni probabilistycznej wystarczy wymaga, by A(F) = F. W szczególno±ci F mo»e by σ-algebr zbiorów uniwersalnie mierzalnych. 5. Twierdzenie von Neumanna o selektorze. Je±li przestrze«(ω, F, P) jest zupeªna, za± E F B (R + ), to istnieje wykres mierzalny A E taki,»e π(a) = π(e). Dowód. Niech Φ = {E F B (R + ) : ω Ω : (E) ω jest zwarty} i niech ν(a) = P (π(a)). Udowodnili±my w 5.5,»e ν jest Φ-pojemno±ci. Skonstruujemy indukcyjnie ci g F n Φ, n N, oraz ci g pomocniczy E n F B (R + ), n N. Niech E 1 = E. Zaªó»my,»e dla pewnego n N skonstruowali±my ju» E n F B (R + ). Poniewa» E n jest ν-kapacytowalny, wi c istnieje F n (Φ) δ = Φ taki,»e F n E n oraz ν(f n ) > ν(e n ) 1/n. Okre±lamy: E n+1 = E n \ (π(f n ) R + ). 12
13 Na mocy 5.4 E n+1 F B (R + ). Zauwa»my,»e π(f n ) π(e n+1 ) = oraz π(e n+1 ) π(f n ) = π(e n ). Wynika st d,»e dla n m zachodzi π(f n ) π(f m ) =, a wi c: F = F n Φ, oraz: St d: π(f ) = π(f n ) = π(e n ) \ π(e n+1 ) = π(e) \ E n. P(π(E)) P(π(F )) = lim n P(E n+1 ) = lim n (ν(e n ) ν(f n )) = 0 (mierzalno± wszystkich zbiorów w powy»szej równo±ci wynika z 5.4). Ponadto wobec F n E n zachodzi F E. Okre±lmy f : π(e) R + wzorem f(ω) = D F (ω) dla ω π(f ) oraz tak, by f(ω) E ω dla ω π(e) \ π(e). Na mocy twierdzenia 6.3 i wobec zupeªno±ci przestrzeni (Ω, F, P), funkcja f jest mierzalna. Ponadto jej wykres jest zawarty w E (bo wykres D F jest zawarty w F ). Teza wynika z twierdzenia
Ekstremalnie maªe zbiory
Maªe jest pi kne Instytut Matematyki Uniwersytetu Warszawskiego Nadarzyn, 27.08.2011 Zbiory silnie miary zero Przypomnienie Zbiór X [0, 1] jest miary Lebesgue'a zero, gdy dla ka»dego ε > 0 istnieje ci
Bardziej szczegółowoA = n. 2. Ka»dy podzbiór zbioru sko«czonego jest zbiorem sko«czonym. Dowody tych twierdze«(elementarne, lecz nieco nu» ce) pominiemy.
Logika i teoria mnogo±ci, konspekt wykªad 12 Teoria mocy, cz ± II Def. 12.1 Ka»demu zbiorowi X przyporz dkowujemy oznaczany symbolem X obiekt zwany liczb kardynaln (lub moc zbioru X) w taki sposób,»e ta
Bardziej szczegółowoPodstawy matematyki dla informatyków
Podstawy matematyki dla informatyków Wykªad 6 10 listopada 2011 W poprzednim odcinku... Zbiory A i B s równoliczne (tej samej mocy ), gdy istnieje bijekcja f : A 1 1 B. Piszemy A B lub A = B. na Moc zbioru
Bardziej szczegółowoIndeksowane rodziny zbiorów
Logika i teoria mnogo±ci, konspekt wykªad 7 Indeksowane rodziny zbiorów Niech X b dzie przestrzeni zbiorem, którego podzbiorami b d wszystkie rozpatrywane zbiory, R rodzin wszystkich podzbiorów X za± T
Bardziej szczegółowoZadania. 4 grudnia k=1
Zadania 4 grudnia 205 Zadanie. Poka»,»e dla dowolnych liczb zespolonych z,..., z n istnieje zbiór B {,..., n}, taki,»e n z k π z k. k B Zadanie 2. Jakie warunki musz speªnia ci gi a n i b n, aby istniaªy
Bardziej szczegółowoWykªad 4. Funkcje wielu zmiennych.
Wykªad jest prowadzony w oparciu o podr cznik Analiza matematyczna 2. Denicje, twierdzenia, wzory M. Gewerta i Z. Skoczylasa. Wykªad 4. Funkcje wielu zmiennych. Zbiory na pªaszczy¹nie i w przestrzeni.
Bardziej szczegółowoZbiory i odwzorowania
Zbiory i odwzorowania 1 Sposoby okre±lania zbiorów 1) Zbiór wszystkich elementów postaci f(t), gdzie t przebiega zbiór T : {f(t); t T }. 2) Zbiór wszystkich elementów x zbioru X speªniaj cych warunek ϕ(x):
Bardziej szczegółowoRelacj binarn okre±lon w zbiorze X nazywamy podzbiór ϱ X X.
Relacje 1 Relacj n-argumentow nazywamy podzbiór ϱ X 1 X 2... X n. Je±li ϱ X Y jest relacj dwuargumentow (binarn ), to zamiast (x, y) ϱ piszemy xϱy. Relacj binarn okre±lon w zbiorze X nazywamy podzbiór
Bardziej szczegółowoPrzekroje Dedekinda 1
Przekroje Dedekinda 1 O liczbach wymiernych (tj. zbiorze Q) wiemy,»e: 1. zbiór Q jest uporz dkowany relacj mniejszo±ci < ; 2. zbiór liczb wymiernych jest g sty, tzn.: p, q Q : p < q w : p < w < q 3. 2
Bardziej szczegółowoMetody dowodzenia twierdze«
Metody dowodzenia twierdze«1 Metoda indukcji matematycznej Je±li T (n) jest form zdaniow okre±lon w zbiorze liczb naturalnych, to prawdziwe jest zdanie (T (0) n N (T (n) T (n + 1))) n N T (n). 2 W przypadku
Bardziej szczegółowoJAO - J zyki, Automaty i Obliczenia - Wykªad 1. JAO - J zyki, Automaty i Obliczenia - Wykªad 1
J zyki formalne i operacje na j zykach J zyki formalne s abstrakcyjnie zbiorami sªów nad alfabetem sko«czonym Σ. J zyk formalny L to opis pewnego problemu decyzyjnego: sªowa to kody instancji (wej±cia)
Bardziej szczegółowoELEMENTARNA TEORIA LICZB. 1. Podzielno±
ELEMENTARNA TEORIA LICZB IZABELA AGATA MALINOWSKA N = {1, 2,...} 1. Podzielno± Denicja 1.1. Niepusty podzbiór A zbioru liczb naturalnych jest ograniczony, je»eli istnieje taka liczba naturalna n 0,»e m
Bardziej szczegółowoStrategia czy intuicja?
Strategia czy intuicja czyli o grach niesko«czonych Instytut Matematyki Uniwersytetu Warszawskiego Grzegorzewice, 29 sierpnia 2009 Denicja gry Najprostszy przypadek: A - zbiór (na ogóª co najwy»ej przeliczalny),
Bardziej szczegółowoTwierdzenie 1 (Hindmana). Ustalmy dowolne kolorowanie zbioru liczb naturalnych na sko«czenie wiele kolorów. Wtedy istnieje zbiór niesko«- czony A
Twierdzenie 1 (Hindmana). Ustalmy dowolne kolorowanie zbioru liczb naturalnych na sko«czenie wiele kolorów. Wtedy istnieje zbiór niesko«- czony A taki»e wszystkie sko«czone sumy jego (ró»nych) elementów
Bardziej szczegółowoAutomorzmy modeli i twierdzenie EhrenfeuchtaMostowskiego
Automorzmy modeli i twierdzenie EhrenfeuchtaMostowskiego Krzysztof Kapulkin IX Warsztaty Logiczne 5 12 lipca 2008 1 Wst p W referacie tym przedstawiamy wyniki uzyskane przez Andrzeja Ehrenfeuchta i Andrzeja
Bardziej szczegółowo1 Otwarto± i domkni to±
Topologia 1 1 Otwarto± i domkni to± (X, O) przestrze«topologiczna rodzina zbiorów otwartych O 2 X speªnia (i), X O, (ii) U 1, U 2 O U 1 U 2 O, (iii) ( j J U j O ) j J U j O. X D zbiór domkni ty X \ D O;
Bardziej szczegółowo1 Poj cia pomocnicze. Przykªad 1. A A d
Poj cia pomocnicze Otoczeniem punktu x nazywamy dowolny zbiór otwarty zawieraj cy punkt x. Najcz ±ciej rozwa»amy otoczenia kuliste, tj. kule o danym promieniu ε i ±rodku x. S siedztwem punktu x nazywamy
Bardziej szczegółowoCiaªa i wielomiany. 1 Denicja ciaªa. Ciaªa i wielomiany 1
Ciaªa i wielomiany 1 Ciaªa i wielomiany 1 Denicja ciaªa Niech F b dzie zbiorem, i niech + (dodawanie) oraz (mno»enie) b d dziaªaniami na zbiorze F. Denicja. Zbiór F wraz z dziaªaniami + i nazywamy ciaªem,
Bardziej szczegółowoTwierdzenie Wainera. Marek Czarnecki. Warszawa, 3 lipca Wydziaª Filozoi i Socjologii Uniwersytet Warszawski
Twierdzenie Wainera Marek Czarnecki Wydziaª Filozoi i Socjologii Uniwersytet Warszawski Wydziaª Matematyki, Informatyki i Mechaniki Uniwersytet Warszawski Warszawa, 3 lipca 2009 Motywacje Dla dowolnej
Bardziej szczegółowoFunkcje jednej zmiennej. Granica, ci gªo±. (szkic wykªadu)
Funkcje jednej zmiennej Granica, ci gªo± (szkic wykªadu) opracowaªa Gra»yna Ciecierska 1 Granica funkcji Denicja Niech 0 R, r > 0 Otoczeniem punktu 0 o promieniu r nazywamy przedziaª ( 0 r, 0 +r) Otoczeniem
Bardziej szczegółowoRachunek caªkowy funkcji wielu zmiennych
Rachunek caªkowy funkcji wielu zmiennych I. Malinowska, Z. Šagodowski Politechnika Lubelska 8 czerwca 2015 Caªka iterowana podwójna Denicja Je»eli funkcja f jest ci gªa na prostok cie P = {(x, y) : a x
Bardziej szczegółowoZdzisªaw Dzedzej, Katedra Analizy Nieliniowej pok. 611 Kontakt:
Zdzisªaw Dzedzej, Katedra Analizy Nieliniowej pok. 611 Kontakt: zdzedzej@mif.pg.gda.pl www.mif.pg.gda.pl/homepages/zdzedzej () 5 pa¹dziernika 2016 1 / 1 Literatura podstawowa R. Rudnicki, Wykªady z analizy
Bardziej szczegółowoFunkcje wielu zmiennych
dr Krzysztof yjewski Analiza matematyczna 2; MatematykaS-I 0 lic 21 maja 2018 Funkcje wielu zmiennych Informacje pomocnicze Denicja 1 Niech funkcja f(, y b dzie okre±lona przynajmniej na otoczeniu punktu
Bardziej szczegółowoMetodydowodzenia twierdzeń
1 Metodydowodzenia twierdzeń Przez zdanie rozumiemy dowolne stwierdzenie, które jest albo prawdziwe, albo faªszywe (nie mo»e by ono jednocze±nie prawdziwe i faªszywe). Tradycyjnie b dziemy u»ywali maªych
Bardziej szczegółowoPrawdopodobie«stwo warunkowe, twierdzenie Bayesa, niezale»no± zdarze«.
Prawdopodobie«stwo warunkowe, twierdzenie Bayesa, niezale»no± zdarze«. Alicja Czy» WFTiMS April 14, 2010 Spis tre±ci 1 Wprowadzenie Denicja prawdopodobie«stwa warunkowego Twierdzenie Bayesa Niezale»no±
Bardziej szczegółowo1 Metody iteracyjne rozwi zywania równania f(x)=0
1 Metody iteracyjne rozwi zywania równania f()=0 1.1 Metoda bisekcji Zaªó»my,»e funkcja f jest ci gªa w [a 0, b 0 ]. Pierwiastek jest w przedziale [a 0, b 0 ] gdy f(a 0 )f(b 0 ) < 0. (1) Ustalmy f(a 0
Bardziej szczegółowoWST P DO TEORII INFORMACJI I KODOWANIA. Grzegorz Szkibiel. Wiosna 2013/14
WST P DO TEORII INFORMACJI I KODOWANIA Grzegorz Szkibiel Wiosna 2013/14 Spis tre±ci 1 Kodowanie i dekodowanie 4 1.1 Kodowanie a szyfrowanie..................... 4 1.2 Podstawowe poj cia........................
Bardziej szczegółowo2 Podstawowe obiekty kombinatoryczne
2 Podstawowe obiety ombinatoryczne Oznaczenia: N {0, 1, 2,... } zbiór liczb naturalnych. Dla n N przyjmujemy [n] {1, 2,..., n}. W szczególno±ci [0] jest zbiorem pustym. Je±li A jest zbiorem so«czonym,
Bardziej szczegółowoW poprzednim odcinku... Podstawy matematyki dla informatyków. Relacje równowa»no±ci. Zbiór (typ) ilorazowy. Klasy abstrakcji
W poprzednim odcinku... Podstawy matematyki dla informatyków Rodzina indeksowana {A t } t T podzbiorów D to taka funkcja A : T P(D),»e A(t) = A t, dla dowolnego t T. Wykªad 3 20 pa¹dziernika 2011 Produkt
Bardziej szczegółowoElementy geometrii w przestrzeni R 3
Elementy geometrii w przestrzeni R 3 Z.Šagodowski Politechnika Lubelska 29 maja 2016 Podstawowe denicje Wektorem nazywamy uporz dkowan par punktów (A,B) z których pierwszy nazywa si pocz tkiem a drugi
Bardziej szczegółowo. 0 0... 1 0. 0 0 0 0 1 gdzie wektory α i tworz baz ortonormaln przestrzeni E n
GAL II 2013-2014 A. Strojnowski str.45 Wykªad 20 Denicja 20.1 Przeksztaªcenie aniczne f : H H anicznej przestrzeni euklidesowej nazywamy izometri gdy przeksztaªcenie pochodne f : T (H) T (H) jest izometri
Bardziej szczegółowoLogika dla matematyków i informatyków Wykªad 1
Logika dla matematyków i informatyków Wykªad 1 Stanisªaw Goldstein Wydziaª Matematyki i Informatyki UŠ 16 lutego 2016 Wszech±wiat matematyczny skªada si wyª cznie ze zbiorów. Liczby naturalne s zdeniowane
Bardziej szczegółowoCzy funkcja zadana wzorem f(x) = ex e x. 1 + e. = lim. e x + e x lim. lim. 2 dla x = 1 f(x) dla x (0, 1) e e 1 dla x = 1
II KOLOKWIUM Z AM M1 - GRUPA A - 170101r Ka»de zadanie jest po 5 punktów Ostatnie zadanie jest nieobowi zkowe, ale mo»e dostarczy dodatkowe 5 punktów pod warunkiem rozwi zania pozostaªych zada«zadanie
Bardziej szczegółowoA i. i=1. i=1. i=1. i=1. W dalszej części skryptu będziemy mieli najczęściej do czynienia z miarami określonymi na rodzinach, które są σ - algebrami.
M. Beśka, Wstęp do teorii miary, rozdz. 3 25 3 Miara 3.1 Definicja miary i jej podstawowe własności Niech X będzie niepustym zbiorem, a A 2 X niepustą rodziną podzbiorów. Wtedy dowolne odwzorowanie : A
Bardziej szczegółowoZbiory ograniczone i kresy zbiorów
Zbiory ograniczone i kresy zbiorów Def.. Liczb m nazywamy ograniczeniem dolnym a liczb M ograniczeniem górnym zbioru X R gdy (i) x m; (ii) x M. Mówimy,»e zbiór X jest ograniczony z doªu (odp. z góry) gdy
Bardziej szczegółowoWielomiany o wspóªczynnikach rzeczywistych
Wielomiany o wspóªczynnikach rzeczywistych Wielomian: W (x) = a n x n + a n 1 x n 1 + a n 2 x n 2 +... + a 2 x 2 + a 1 x + a 0 wspóªczynniki wielomianu: a 0, a 1, a 2,..., a n 1, a n ; wyraz wolny: a 0
Bardziej szczegółowoARYTMETYKA MODULARNA. Grzegorz Szkibiel. Wiosna 2014/15
ARYTMETYKA MODULARNA Grzegorz Szkibiel Wiosna 2014/15 Spis tre±ci 1 Denicja kongruencji i jej podstawowe wªasno±ci 3 2 Systemy pozycyjne 8 3 Elementy odwrotne 12 4 Pewne zastosowania elementów odwrotnych
Bardziej szczegółowoARYTMETYKA MODULARNA. Grzegorz Szkibiel. Wiosna 2014/15
ARYTMETYKA MODULARNA Grzegorz Szkibiel Wiosna 2014/15 Spis tre±ci 1 Denicja kongruencji i jej podstawowe wªasno±ci 3 2 Systemy pozycyjne 8 3 Elementy odwrotne 12 4 Pewne zastosowania elementów odwrotnych
Bardziej szczegółowoAM II /2019 (gr. 2 i 3) zadania przygotowawcze do I kolokwium
AM II.1 2018/2019 (gr. 2 i 3) zadania przygotowawcze do I kolokwium Normy w R n, iloczyn skalarny sprawd¹ czy dana funkcja jest norm sprawd¹, czy dany zbiór jest kul w jakiej± normie i oblicz norm wybranego
Bardziej szczegółowoPodstawy matematyki dla informatyków. Funkcje. Funkcje caªkowite i cz ±ciowe. Deniowanie funkcji. Wykªad pa¹dziernika 2012
Podstawy matematyki dla informatyków Wykªad 3 Funkcje 18 pa¹dziernika 2012 Deniowanie funkcji Funkcje caªkowite i cz ±ciowe Denicja wprost: f (x) = x + y f = λx. x + y Denicja warunkowa: { n/2, je±li n
Bardziej szczegółowoARYTMETYKA MODULARNA. Grzegorz Szkibiel. Wiosna 2014/15
ARYTMETYKA MODULARNA Grzegorz Szkibiel Wiosna 2014/15 Spis tre±ci 1 Denicja kongruencji i jej podstawowe wªasno±ci 3 2 Systemy pozycyjne 8 3 Elementy odwrotne 12 4 Pewne zastosowania elementów odwrotnych
Bardziej szczegółowoistnienie elementu neutralnego dodawania (zera): 0 K a K a + 0 = a, istnienie elementu neutralnego mno»enia (jedynki): 1 K a K a 1 = a,
Ciaªo Denicja. Zbiór K z dziaªaniami dodawania + oraz mno»enia (których argumentami s dwa elementy z tego zbioru, a warto±ciami elementy z tego zbioru) nazywamy ciaªem, je±li zawiera co najmniej dwa elementy
Bardziej szczegółowoF t+ := s>t. F s = F t.
M. Beśka, Całka Stochastyczna, wykład 1 1 1 Wiadomości wstępne 1.1 Przestrzeń probabilistyczna z filtracją Niech (Ω, F, P ) będzie ustaloną przestrzenią probabilistyczną i niech F = {F t } t 0 będzie rodziną
Bardziej szczegółowoMierzalne liczby kardynalne
czyli o miarach mierz cych wszystko Instytut Matematyki Uniwersytetu Warszawskiego Grzegorzewice, 26 stycznia 2007 Ogólny problem miary Pytanie Czy na pewnym zbiorze X istnieje σ-addytywna miara probabilistyczna,
Bardziej szczegółowoARYTMETYKA MODULARNA. Grzegorz Szkibiel. Wiosna 2014/15
ARYTMETYKA MODULARNA Grzegorz Szkibiel Wiosna 2014/15 Spis tre±ci 1 Denicja kongruencji i jej podstawowe wªasno±ci 3 2 Systemy pozycyjne 8 3 Elementy odwrotne 12 4 Pewne zastosowania elementów odwrotnych
Bardziej szczegółowoARYTMETYKA MODULARNA. Grzegorz Szkibiel. Wiosna 2014/15
ARYTMETYKA MODULARNA Grzegorz Szkibiel Wiosna 2014/15 Spis tre±ci 1 Denicja kongruencji i jej podstawowe wªasno±ci 3 2 Systemy pozycyjne 8 3 Elementy odwrotne 12 4 Pewne zastosowania elementów odwrotnych
Bardziej szczegółowo2 Liczby rzeczywiste - cz. 2
2 Liczby rzeczywiste - cz. 2 W tej lekcji omówimy pozostaªe tematy zwi zane z liczbami rzeczywistymi. 2. Przedziaªy liczbowe Wyró»niamy nast puj ce rodzaje przedziaªów liczbowych: (a) przedziaªy ograniczone:
Bardziej szczegółowoMateriaªy do Repetytorium z matematyki
Materiaªy do Repetytorium z matematyki 0/0 Dziaªania na liczbach wymiernych i niewymiernych wiczenie Obliczy + 4 + 4 5. ( + ) ( 4 + 4 5). ( : ) ( : 4) 4 5 6. 7. { [ 7 4 ( 0 7) ] ( } : 5) : 0 75 ( 8) (
Bardziej szczegółowoMetoda tablic semantycznych. 1 Metoda tablic semantycznych
1 Zarówno metoda tablic semantycznych, jak i rezolucji, to dosy sprawny algorytm do badania speªnialni±ci formuª, a wi c i tautologii. Chodzi w niej o wskazanie, je±li istnieje, modelu dla formuªy. Opiera
Bardziej szczegółowo7. Miara, zbiory mierzalne oraz funkcje mierzalne.
7. Miara, zbiory mierzalne oraz funkcje mierzalne. Funkcję rzeczywistą µ nieujemną określoną na ciele zbiorów S będziemy nazywali miarą, gdy dla dowolnego ciągu A 0, A 1,... zbiorów rozłącznych należących
Bardziej szczegółowoHotel Hilberta. Zdumiewaj cy ±wiat niesko«czono±ci. Marcin Kysiak. Festiwal Nauki, 20.09.2011. Instytut Matematyki Uniwersytetu Warszawskiego
Zdumiewaj cy ±wiat niesko«czono±ci Instytut Matematyki Uniwersytetu Warszawskiego Festiwal Nauki, 20.09.2011 Nasze do±wiadczenia hotelowe Fakt oczywisty Hotel nie przyjmie nowych go±ci, je»eli wszystkie
Bardziej szczegółowoXVII Warmi«sko-Mazurskie Zawody Matematyczne
1 XVII Warmi«sko-Mazurskie Zawody Matematyczne Kategoria: klasa VIII szkoªy podstawowej i III gimnazjum Olsztyn, 16 maja 2019r. Zad. 1. Udowodnij,»e dla dowolnych liczb rzeczywistych x, y, z speªniaj cych
Bardziej szczegółowoGeometria Algebraiczna
Geometria Algebraiczna Zadania domowe: seria 1 Zadania 1-11 to powtórzenie podstawowych poj z teorii kategorii. Zapewne rozwi zywali Pa«stwo te zadania wcze±niej, dlatego nie b d one omawiane na wiczeniach.
Bardziej szczegółowoARYTMETYKA MODULARNA. Grzegorz Szkibiel. Wiosna 2014/15
ARYTMETYKA MODULARNA Grzegorz Szkibiel Wiosna 2014/15 Spis tre±ci 1 Denicja kongruencji i jej podstawowe wªasno±ci 3 2 Systemy pozycyjne 8 3 Elementy odwrotne 12 4 Pewne zastosowania elementów odwrotnych
Bardziej szczegółowoCi gªy fragment rachunku µ
Ci gªy fragment rachunku µ Marek Czarnecki Wydziaª Filozoi i Socjologii Uniwersytet Warszawski Wydziaª Matematyki, Informatyki i Mechaniki Uniwersytet Warszawski Warszawa, 28 maja 2009 Motywacje 1. Rozwa»amy
Bardziej szczegółowoOba zbiory s uporz dkowane liniowo. Badamy funkcj w pobli»u kresów dziedziny. Pewne punkty szczególne (np. zmiana denicji funkcji).
Plan Spis tre±ci 1 Granica 1 1.1 Po co?................................. 1 1.2 Denicje i twierdzenia........................ 4 1.3 Asymptotyka, granice niewªa±ciwe................. 7 2 Asymptoty 8 2.1
Bardziej szczegółowoWykªad 7. Ekstrema lokalne funkcji dwóch zmiennych.
Wykªad jest prowadzony w oparciu o podr cznik Analiza matematyczna 2. Denicje, twierdzenia, wzory M. Gewerta i Z. Skoczylasa. Wykªad 7. Ekstrema lokalne funkcji dwóch zmiennych. Denicja Mówimy,»e funkcja
Bardziej szczegółowoWybrane poj cia i twierdzenia z wykªadu z teorii liczb
Wybrane poj cia i twierdzenia z wykªadu z teorii liczb 1. Podzielno± Przedmiotem bada«teorii liczb s wªasno±ci liczb caªkowitych. Zbiór liczb caªkowitych oznacza b dziemy symbolem Z. Zbiór liczb naturalnych
Bardziej szczegółowo1 Granice funkcji wielu zmiennych.
AM WNE 008/009. Odpowiedzi do zada«przygotowawczych do czwartego kolokwium. Granice funkcji wielu zmiennych. Zadanie. Zadanie. Pochodne. (a) 0, Granica nie istnieje, (c) Granica nie istnieje, (d) Granica
Bardziej szczegółowoZad. 1 Zad. 2 Zad. 3 Zad. 4 Zad. 5 SUMA. W obu podpunktach zakªadamy,»e kolejno± ta«ców jest wa»na.
Zad. 1 Zad. 2 Zad. 3 Zad. 4 Zad. 5 SUMA Zadanko 1 (12p.) Na imprezie w Noc Kupaªy s 44 dziewczyny. Nosz one 11 ró»nych imion, a dla ka»dego imienia s dokªadnie 4 dziewczyny o tym imieniu przy czym ka»da
Bardziej szczegółowoARYTMETYKA MODULARNA. Grzegorz Szkibiel. Wiosna 2014/15
ARYTMETYKA MODULARNA Grzegorz Szkibiel Wiosna 2014/15 Spis tre±ci 1 Denicja kongruencji i jej podstawowe wªasno±ci 3 2 Systemy pozycyjne 8 3 Elementy odwrotne 12 4 Pewne zastosowania elementów odwrotnych
Bardziej szczegółowoI Rok LOGISTYKI: wykªad 2 Pochodna funkcji. iloraz ró»nicowy x y x
I Rok LOGISTYKI: wykªad 2 Pochodna funkcji Niech f jest okre±lona w Q(x 0, δ) i x Q(x 0, δ). Oznaczenia: x = x x 0 y = y y 0 = f(x 0 + x) f(x 0 ) y x = f(x 0 + x) f(x 0 ) iloraz ró»nicowy x y x = tgβ,
Bardziej szczegółowoWST P DO TEORII INFORMACJI I KODOWANIA. Grzegorz Szkibiel. Wiosna 2013/14
WST P DO TEORII INFORMACJI I KODOWANIA Grzegorz Szkibiel Wiosna 203/4 Spis tre±ci Kodowanie i dekodowanie 4. Kodowanie a szyfrowanie..................... 4.2 Podstawowe poj cia........................
Bardziej szczegółowoFunkcje wielu zmiennych
dr Krzysztof yjewski Informatyka I rok I 0 in» 12 stycznia 2016 Funkcje wielu zmiennych Informacje pomocnicze Denicja 1 Niech funkcja f(x y) b dzie okre±lona przynajmniej na otoczeniu punktu (x 0 y 0 )
Bardziej szczegółowoARYTMETYKA MODULARNA. Grzegorz Szkibiel. Wiosna 2014/15
ARYTMETYKA MODULARNA Grzegorz Szkibiel Wiosna 2014/15 Spis tre±ci 1 Denicja kongruencji i jej podstawowe wªasno±ci 3 2 Systemy pozycyjne 8 3 Elementy odwrotne 12 4 Pewne zastosowania elementów odwrotnych
Bardziej szczegółowoEkstremalnie fajne równania
Ekstremalnie fajne równania ELEMENTY RACHUNKU WARIACYJNEGO Zaczniemy od ogólnych uwag nt. rachunku wariacyjnego, który jest bardzo przydatnym narz dziem mog cym posªu»y do rozwi zywania wielu problemów
Bardziej szczegółowo2 Rodziny zbiorów. 2.1 Algebry i σ - algebry zbiorów. M. Beśka, Wstęp do teorii miary, rozdz. 2 11
M. Beśka, Wstęp do teorii miary, rozdz. 2 11 2 Rodziny zbiorów 2.1 Algebry i σ - algebry zbiorów Niech X będzie niepustym zbiorem. Rodzinę indeksowaną zbiorów {A i } i I 2 X nazywamy rozbiciem zbioru X
Bardziej szczegółowoTeoria miary. WPPT/Matematyka, rok II. Wykład 5
Teoria miary WPPT/Matematyka, rok II Wykład 5 Funkcje mierzalne Niech (X, F) będzie przestrzenią mierzalną i niech f : X R. Twierdzenie 1. NWSR 1. {x X : f(x) > a} F dla każdego a R 2. {x X : f(x) a} F
Bardziej szczegółowoTwierdzenie Wedderburna Witold Tomaszewski
Twierdzenie Wedderburna Witold Tomaszewski Pier±cie«przemienny P nazywamy dziedzin caªkowito±ci (lub po prostu dziedzin ) je±li nie posiada nietrywialnych dzielników zera. Pier±cie«z jedynk nazywamy pier±cieniem
Bardziej szczegółowoElementy geometrii analitycznej w przestrzeni
Wykªad 3 Elementy geometrii analitycznej w przestrzeni W wykªadzie tym wi kszy nacisk zostaª poªo»ony raczej na intuicyjne rozumienie deniowanych poj, ni» ±cisªe ich zdeniowanie. Dlatego niniejszy wykªad
Bardziej szczegółowoInterpolacja funkcjami sklejanymi
Interpolacja funkcjami sklejanymi Funkcje sklejane: Zaªó»my,»e mamy n + 1 w zªów t 0, t 1,, t n takich,»e t 0 < t 1 < < t n Dla danej liczby caªkowitej, nieujemnej k funkcj sklejan stopnia k nazywamy tak
Bardziej szczegółowo7 Twierdzenie Fubiniego
M. Beśka, Wstęp do teorii miary, wykład 7 19 7 Twierdzenie Fubiniego 7.1 Miary produktowe Niech i będą niepustymi zbiorami. Przez oznaczmy produkt kartezjański i tj. zbiór = { (x, y : x y }. Niech E oraz
Bardziej szczegółowoMaszyny Turinga i problemy nierozstrzygalne. Maszyny Turinga i problemy nierozstrzygalne
Maszyny Turinga Maszyna Turinga jest automatem ta±mowym, skª da si z ta±my (tablicy symboli) potencjalnie niesko«czonej w prawo, zakªadamy,»e w prawie wszystkich (tzn. wszystkich poza sko«czon liczb )
Bardziej szczegółowoPodzbiory Symbol Newtona Zasada szuadkowa Dirichleta Zasada wª czania i wyª czania. Ilo± najkrótszych dróg. Kombinatoryka. Magdalena Lema«ska
Kombinatoryka Magdalena Lema«ska Zasady zaliczenia przedmiotu Zasady zaliczenia przedmiotu Maksymalna ilo± punktów to 100 punktów = 100 procent. Zasady zaliczenia przedmiotu Maksymalna ilo± punktów to
Bardziej szczegółowoTeoria miary WPPT IIr. semestr zimowy 2009 Wyk lady 6 i 7. Mierzalność w sensie Carathéodory ego Miara Lebesgue a na prostej
Teoria miary WPPT IIr. semestr zimowy 2009 Wyk lady 6 i 7. Mierzalność w sensie Carathéodory ego Miara Lebesgue a na prostej 27-28/10/09 ZBIORY MIERZALNE WZGLȨDEM MIARY ZEWNȨTRZNEJ Niech µ bȩdzie miar
Bardziej szczegółowoRodzinę F złożoną z podzbiorów zbioru X będziemy nazywali ciałem zbiorów, gdy spełnione są dwa następujące warunki.
3. Funkcje borelowskie. Rodzinę F złożoną z podzbiorów zbioru X będziemy nazywali ciałem zbiorów, gdy spełnione są dwa następujące warunki. (1): Jeśli zbiór Y należy do rodziny F, to jego dopełnienie X
Bardziej szczegółowoZadania z analizy matematycznej - sem. II Rachunek ró»niczkowy funkcji wielu zmiennych
Zadania z analizy matematycznej - sem II Rachunek ró»niczkowy funkcji wielu zmiennych Denicja (Pochodne cz stkowe dla funkcji trzech zmiennych) Niech D R 3 b dzie obszarem oraz f : D R f = f y z) P 0 =
Bardziej szczegółowoRodzinę spełniającą trzeci warunek tylko dla sumy skończonej nazywamy ciałem (algebrą) w zbiorze X.
1 σ-ciała Definicja 1.1 (σ - ciało) σ - ciałem (σ - algebrą) w danym zbiorze X (zwanym przestrzenią) nazywamy rodzinę M pewnych podzbiorów zbioru X, spełniającą trzy warunki: 1 o M; 2 o jeśli A M, to X
Bardziej szczegółowoSkrypt do Algorytmów i Struktur Danych
Skrypt do Algorytmów i Struktur Danych K. Kleczkowski M. Pietrek 14 marca 2018 2 Spis tre±ci I Algorytmy 5 1. Algorytmy sortowania 7 1.1. Wprowadzenie...................................... 7 1.2. Sortowanie
Bardziej szczegółowoMacierze. 1 Podstawowe denicje. 2 Rodzaje macierzy. Denicja
Macierze 1 Podstawowe denicje Macierz wymiaru m n, gdzie m, n N nazywamy tablic liczb rzeczywistych (lub zespolonych) postaci a 11 a 1j a 1n A = A m n = [a ij ] m n = a i1 a ij a in a m1 a mj a mn W macierzy
Bardziej szczegółowoc Marcin Sydow Przepªywy Grafy i Zastosowania Podsumowanie 12: Przepªywy w sieciach
12: w sieciach Spis zagadnie«sieci przepªywowe przepªywy w sieciach ±cie»ka powi kszaj ca tw. Forda-Fulkersona Znajdowanie maksymalnego przepªywu Zastosowania przepªywów Sieci przepªywowe Sie przepªywowa
Bardziej szczegółowoPreliminaria logiczne
Preliminaria logiczne Jerzy Pogonowski Zakªad Logiki i Kognitywistyki UAM www.kognitywistyka.amu.edu.pl http://logic.amu.edu.pl/index.php/dydaktyka pogon@amu.edu.pl MDTiAR Jerzy Pogonowski (MEG) Preliminaria
Bardziej szczegółowoWykłady ostatnie. Rodzinę P podzbiorów przestrzeni X nazywamy σ - algebrą, jeżeli dla A, B P (2) A B P, (3) A \ B P,
Wykłady ostatnie CAŁKA LBSGU A Zasadnicza różnica koncepcyjna między całką Riemanna i całką Lebesgue a polega na zamianie ról przestrzeni wartości i przestrzeni argumentów przy konstrukcji sum górnych
Bardziej szczegółowoO pewnym zadaniu olimpijskim
O pewnym zadaniu olimpijskim Michaª Seweryn, V LO w Krakowie opiekun pracy: dr Jacek Dymel Problem pocz tkowy Na drugim etapie LXII Olimpiady Matematycznej pojawiª si nast puj cy problem: Dla ka»dej liczby
Bardziej szczegółowoAlgorytmiczna teoria grafów
18 maja 2013 Twierdzenie Halla o maª»e«stwach Problem Wyobra¹my sobie,»e mamy m dziewczyn i pewn liczb chªopców. Ka»da dziewczyna chce wyj± za m», przy czym ka»da z nich godzi si po±lubi tylko pewnych
Bardziej szczegółowoZadania z analizy matematycznej - sem. II Ekstrema funkcji wielu zmiennych, twierdzenia o funkcji odwrotnej i funkcji uwikªanej
Zadania z analizy matematycznej - sem. II Ekstrema funkcji wielu zmiennych, twierdzenia o funkcji odwrotnej i funkcji uwikªanej Denicja 1. Niech X = R n b dzie przestrzeni unormowan oraz d(x, y) = x y.
Bardziej szczegółowoMatematyka. Justyna Winnicka. rok akademicki 2016/2017. Szkoªa Gªówna Handlowa
Matematyka Justyna Winnicka Szkoªa Gªówna Handlowa rok akademicki 2016/2017 kontakt, konsultacje, koordynator mail: justa_kowalska@yahoo.com, jkowal4@sgh.waw.pl, justyna.winnicka@sgh.waw.pl konsultacje:
Bardziej szczegółowoWykłady... b i a i. i=1. m(d k ) inf
Wykłady... CŁKOWNIE FUNKCJI WIELU ZMIENNYCH Zaczniemy od konstrukcji całki na przedziale domkniętym. Konstrukcja ta jest, w gruncie rzeczy, powtórzeniem definicji całki na odcinku domkniętym w R 1. Przedziałem
Bardziej szczegółowoGrupy: torus i odometr
Grupy: torus i odometr Na podstawie wykªadu prof. T. Downarowicza Mateusz Kwa±nicki 2 lipca 2008 Rozdziaª ten ma na celu przypomnienie poj cia grupy i jej podstawowych wªasno±ci oraz omówienie dwóch wa»nych
Bardziej szczegółowoc Marcin Sydow Planarno± Grafy i Zastosowania Tw. Eulera 7: Planarno± Inne powierzchnie Dualno± Podsumowanie
7: Spis zagadnie«twierdzenie Kuratowskiego Wªasno±ci planarno±ci Twierdzenie Eulera Grafy na innych powierzchniach Poj cie dualno±ci geometrycznej i abstrakcyjnej Graf Planarny Graf planarny to taki graf,
Bardziej szczegółowox y x y x y x + y x y
Algebra logiki 1 W zbiorze {0, 1} okre±lamy dziaªania dwuargumentowe,, +, oraz dziaªanie jednoargumentowe ( ). Dziaªanie x + y nazywamy dodawaniem modulo 2, a dziaªanie x y nazywamy kresk Sheera. x x 0
Bardziej szczegółowoMatematyka dyskretna dla informatyków
UNIWERSYTET IM. ADAMA MICKIEWICZA W POZNANIU Jerzy Jaworski, Zbigniew Palka, Jerzy Szyma«ski Matematyka dyskretna dla informatyków uzupeænienia Pozna«007 A Notacja asymptotyczna Badaj c du»e obiekty kombinatoryczne
Bardziej szczegółowoRównania ró»niczkowe I rz du (RRIR) Twierdzenie Picarda. Anna D browska. WFTiMS. 23 marca 2010
WFTiMS 23 marca 2010 Spis tre±ci 1 Denicja 1 (równanie ró»niczkowe pierwszego rz du) Równanie y = f (t, y) (1) nazywamy równaniem ró»niczkowym zwyczajnym pierwszego rz du w postaci normalnej. Uwaga 1 Ogólna
Bardziej szczegółowopunkcie. Jej granica lewostronna i prawostronna w punkcie x = 2 wynosz odpowiednio:
5.9. lim x x +4 f(x) = x +4 Funkcja f(x) jest funkcj wymiern, która jest ci gªa dla wszystkich x, dla których mianownik jest ró»ny od zera, czyli dla: x + 0 x Zatem w punkcie x = funkcja ta jest okre±lona
Bardziej szczegółowoGRUPA PODSTAWOWA I X. GRZEGORZ ZBOROWSKI
GRUPA PODSTAWOWA GRZEGORZ ZBOROWSKI 1. Definicja i podstawowe poj cia Pierwszym krokiem do zdeniowania grupy podstawowej b dzie poj cie drogi w przestrzeni topologicznej, czyli mówi c nie±ci±le, krzywej
Bardziej szczegółowoEgzamin z wykªadu monogracznego. Teoria kategorii w podstawach informatyki semestr zimowy 2011/12. Poj cia, terminologia i notacja:
Egzamin z wykªadu monogracznego Poj cia, terminologia i notacja: Teoria kategorii w podstawach informatyki semestr zimowy 2011/12 Przyjmujemy zwykª denicj sygnatury algebraicznej Σ, Σ-algebry i Σ-homomorzmu;
Bardziej szczegółowoWielomiany. El»bieta Sadowska-Owczorz. 19 listopada 2018
Wielomiany El»bieta Sadowska-Owczorz 19 listopada 2018 Wielomianem nazywamy wyra»enie postaci a n x n + a n 1 x n 1 +... + a 2 x 2 + a 1 x + a 0 = n a k x k. k=0 Funkcj wielomianow nazywamy funkcj W :
Bardziej szczegółowoG. Plebanek, MIARA I CAŁKA Zadania do rozdziału 1 28
G. Plebanek, MIARA I CAŁKA Zadania do rozdziału 1 28 1.9 Zadania 1.9.1 Niech R będzie pierścieniem zbiorów. Zauważyć, że jeśli A, B R to A B R i A B R. Sprawdzić, że (R,, ) jest także pierścieniem w sensie
Bardziej szczegółowoTeoria mnogo±ci. Twierdzenia podziaªowe. Piotr Zakrzewski. Toru«, 31 sierpnia 2009. Instytut Matematyki Uniwersytet Warszawski
Teoria mnogo±ci Twierdzenia podziaªowe Piotr Zakrzewski Instytut Matematyki Uniwersytet Warszawski Toru«, 31 sierpnia 2009 Istota twierdze«podziaªowych Jesli,du»y' zbiór podzielimy na,niewielk ' liczb
Bardziej szczegółowo