PODSUMOWANIE TRZECIEJ CZĘŚCI

Transkrypt

1 Część 3 6. PODSUMOWANIE TRZECIEJ CZĘŚCI PODSUMOWANIE TRZECIEJ CZĘŚCI Wadomośc ogóle Waruk rówowag układu ł Sła et wektorem będącym mechaczą marą oddzaływaa cał materalych. Koekwecą tego pewka et akceptaca algebry wektorów do badaa rówowag cał ztywych. Rówowaga ta zachodz, gdy wektor wypadkowy wzytkch ł P () ( =, 2, 3,..., ) wektor mometu tych ł względem dowole obraego puktu ą rówe zeru. Aaltycza potać waruków rówowag et atępuąca: gdze Px Py () () () =, =, Pz =, = = = Mx My () () () =, =, Mz =, = = = () Mx () ypz () = zpy, () My () zpx () = xpz, () Mz () xpy () = ypx. Lczby x, y, z ozaczaą wpółrzęde puktów przyłożea ł P (). W płakm układze ł pokrywaących ę z płazczyzą układu wpółrzędych x, z, mamy () Py =, y =, oraz Mx () = Mz () =. Wtedy tote ą tylko trzy rówaa rówowag: Px Pz My () () () () zpx () =, =, = ( xpz ) =. = = = = Rówaa rówowag dla płakego układu ł mogą być toowae w atępuących trzech waratach: uma rzutów ł a dwe dowole rówoległe prote oraz uma mometów tych ł względem dowolego puktu ą rówe zeru (potać ak wyże), uma rzutów ł a edą dowolą protą oraz uma mometów tych ł względem dwóch dowolych puktów e leżących a prote protopadłe do keruku rzutowaa ł ą rówe zeru, uma mometów ł względem trzech dowolych puktów e leżących a ede prote et rówa zeru. W metodze wykreśle rówaa rówowag płakego układu ł odpowadaą zamykau ę weloboku ł ( ΣPx () =, ΣPz () () = ) zamykau ę weloboku zurowego ( ΣM y = ). Podpory prętów Przekroe pręta zachowuą ę ak ztywe fgury płake, maące tylko ześć top wobody: { } { y, z} d = u, v, w, ψϕ, ϕ, = 2,,..., 6. Adrze Gawęck - Mechaka materałów kotrukc prętowych 23r.

2 Część 3 6. PODSUMOWANIE TRZECIEJ CZĘŚCI 2 Podparce pręta w daym pukce o ozacza wprowadzee dodatkowych węzów, odberaących przekroow ede, dwa lub wece top wobody. Obcążeu pręta (tzw. łom czyym) towarzyzą reakce węzów podporowych (tzw. ł berych). Typowe rodzae podpór w układach płakch (płazczyza x, z) to: utwerdzee przekró e ma żadego topa wobody (u = w = ; ϕ y = ); wytępuą zatem trzy reakce węzów: dwe ły kładowe momet; podpora telekopowa pozbawa przekró dwóch top wobody (w =, ϕ y = ), wytępuą dwe reakce: momet ła o keruku ormalym do podtawy fudametu; podpora przegubowa eprzeuwa pozbawa przekró dwóch top wobody ( u= v = ) ; wytępuą dwe kładowe reakc (dwe ły); podpora przegubowa przeuwa pozbawa przekró edego topa wobody (w = ), wytępue tylko eda kładowa reakc o keruku pokrywaącym ę z oą pręta podporowego; podpora "ślzgowa" pozbawa przekró dwóch top wobody (u =, ϕ y = ); wytępuą dwe kładowe reakc: ła podłuża momet zgaący. Czyk zewętrze powoduące deformacę kotrukc. Obcążea Na obcążea zewętrze kładaą ę ły powerzchowe maowe. Moża wprowadzć ezcze y podzał: a obcążea rozłożoe w poób cągły obcążea kupoe. Obcążea kupoe taową dealzacę obcążea cągłego rozłożoego a bardzo małym obzarze. W teor prętów wzytke obcążea prowadza ę do puktów o cężkośc pręta. Jeżel wypadkowe wzytkch ł zewętrzych leżą a te ame płazczyźe, to wytępue płak układ obcążea. W przypadku ogólym a obcążee pręta kładaą ę ły qx(), qy(), qz() oraz momety mx( ), my( ), mz( ), odeoe do edotk długośc pręta. Obcążee pręta opue macerz { F }: { } { x y z x y z} F = q, q, q, m, m, m, = 23,,,..., 6. Elemety F mogą przedtawać róweż obcążea kupoe odckowo cągłe, eżel wyrazmy e za pomocą fukc Heavde a H() Draca δ(). Sły wewętrze w prętach Ogóle ły wewętrze dzałaące a day przekró (tzw. uogóloe aprężea) ą określoe przez ześć elemetów macerzy { Y }: { } { y z y z} Y = N, Q, Q, M, M, M, = 23,,,..., 6. W przypadku trówymarowym zakowae ł wewętrzych et zgode z przyętym układem wpółrzędych. Ozacza to, że a płazczyzach zwroty dodatch wektorów ł wewętrzych ą zgode ze zwrotam o krętoścą układu wpółrzędych (p. w układze prawokrętym dodat momet kręcaący odpowada odkręcau akrętk śruby). W zadaach płakch zgode z weloletą tradycą zaady zakowaa ł poprzeczych mometów zgaących ą uż utaloe; dodata ła ormala rozcąga pręt, dodata ła poprzecza ułue obrócć odcętą część pręta zgode z ruchem wkazówek zegara, dodat momet powodue rozcągae dolych włóke pręta, przyętych ako dole. Zaady te akkolwek e awązuące do żadego układu wpółrzędych zależą edak od położea oberwatora. Dodamy ezcze, że zakowaa mo- Adrze Gawęck - Mechaka materałów kotrukc prętowych 23r.

3 Część 3 6. PODSUMOWANIE TRZECIEJ CZĘŚCI 3 metów moża całkowce zaechać, eśl rzęde wykreu mometów odo ę po troe włóke rozcągaych. Klayfkaca układów prętowych Nazewctwo kotrukc prętowych kztałtowało ę a przetrze tulec. Nc dzwego, że klayfkaca układów prętowych e et merytorycze póa. O azwe kotrukc decyduą zazwycza atępuące cechy: poób podparca połączea prętów, kztałt geometryczy o, poób obcążea, zdolość kotrukc do przemowaa określoych ł wewętrzych. A oto określea aczęśce potykaych układów prętowych: Kratowca to układ protolowych prętów połączoych ze obą przegubowo. Obcążee dzała wyłącze w potac ł kupoych przyłożoych w węzłach, t. w puktach połączea prętów. Przy tych założeach pręty kratowcy przeozą wyłącze ły podłuże. Belka to pręt o o protolowe, obcążoy poprzecze. Belka w dwóch puktach podparta wobode (przegubowo) oraz belka wporkowa ozą azwę belek protych. Term belka rezerwue ę dla prętów zgaych. Łuk to pręt o o zakrzywoe w pewe płazczyźe. W łukach oprócz zgaa ścaa, z reguły wytępuą podłuże ły śckaące. Cęgo to pręt maący tylko ztywość rozcągaa. Rówowaga cęga obcążoego wymaga zakrzywea lub załamaa o. Cęgo przeo wyłącze ły ormale rozcągaące. Rama to układ prętów protolowych połączoych w węzłach w poób ztywy lub przegubowy. Ruzt to rama płaka obcążoa protopadle do we płazczyzy. Poza tym toue ę bardze zczegółowe termy. Określee łup ozacza pręt poowy podday śckau. Rozcągay pręt poowy o azwę wezak. Rygel to zazwycza pozomy elemet ramy przeozący momety zgaące. Oblczae ł wewętrzych. Zaada zeztywea Ogóly poób wyzaczaa ł wewętrzych w przekrou α α polega a badau rówowag ede dowole wybrae częśc pręta oddzeloe tym przekroem. Do wyzaczea ł wewętrzych za pomocą rówań rówowag muzą być dae: przemezczea każdego przekrou pręta, zachowae ę obcążea w procee deformac, ły reakc węzów. Wyzaczae ł wewętrzych uprazcza ę zakomce, gdy przymemy, że przemezczea kotrukc ą bardzo małe, co pozwala zaedbać rozróżae kofgurac przed po odkztałceu. W rówaach rówowag moża wtedy pomąć wpływ deformac. Przy układau rówań rówowag pręty traktuemy ak cała ztywe zamuące pod obcążeem kofguracę początkową. Stwerdzee powyżze taow treść tzw. zaady zeztywea. Kotrukce tatycze wyzaczale tatycze ewyzaczale Jeżel dla dowolego obcążea kotrukc reakce ły wewętrze moża wyzaczyć wyłącze z rówań rówowag, to kotrukcę taką azywamy tatycze wyzaczalą. Wzytke e tworzą zbór kotrukc tatycze ewyzaczalych. W kotrukcach tych do określea pola tatyczego (t. reakc ł wewętrzych) oprócz rówań rówowag wykorzytue ę dodatkowo formace o polu przemezczeń, które zależą m.. od właośc fzyczych materału. Należy podkreślć, że w ramach teor kematycze elowe, w które e obowązue zaada zeztywea, każda kotrukca et tatycze ewyzaczala. Bardzo totą cechą kotrukc tatycze wyzaczalych et to, że zerowemu obcążeu odpowadaą zawze zerowe reakce ły wewętrze. W kotrukcach tatycze ewyzaczalych uż tak e et, gdyż mogą w ch wytępować róże od zera reakce ły wewętrze pozota- Adrze Gawęck - Mechaka materałów kotrukc prętowych 23r.

4 Część 3 6. PODSUMOWANIE TRZECIEJ CZĘŚCI 4 ące w rówowadze z zerowym obcążeem. Teora kotrukc tatycze wyzaczalych ma zaczee podtawowe, łuży bowem także do oblczaa kotrukc tatycze ewyzaczalych. Rówaa pracy wrtuale dla kotrukc prętowych Rówaa pracy wrtuale dla kotrukc prętowych przymuą atępuącą potać: wrtualy ta przemezczeń: ( qu x + qv y + qw z + mxψ + myϕy + mzϕz) d= lub króce wrtualy ta ł: lub króce = Nλ + Qyβy + Qzβz + Mθ + Myky + Mzkz) d, 6 6 F d d = Y e d, = = ( qu x + qv y + qw z + mxψ + myϕy + mzϕz) d= = Nλ+ Qyβy + Qzβz + Mθ + Myχy + Mzχz) d, 6 6 F d d = Y e d. = = W rówaach tych λβ, y, βz, θ, ky, k z ozaczaą uogóloe odkztałcea pręta, zgrupowae w macerzy e = { e }: { e} { λβy βz θ y z} e = =,,,, k, k, = 2,,..., 6. Twerdzea eergetycze dla prętów prężytych Twerdzee Clapeyroa Treść tego twerdzea dla kotrukc prętowych wyraża rówae: lub 2 ( qu x + qv y + qw z + mxψ + myϕy + mzϕz) d= = ( Nλ + Qyβy + Qzβz + Mθ + Myky + Mzkz) d, F d d = Y e d = 2 6 2,,,...,. = = Twerdzee to obowązue tylko dla układów Clapeyroa, czyl układów, w których zależośc mędzy obcążeam przemezczeam ą lowe, a poadto e wytępuą wtępe aprężea lub odkztałcea oraz zmay temperatury. Twerdzee o mmum eerg potecale Eerga potecala dla kotrukc prętowych ma potać: Adrze Gawęck - Mechaka materałów kotrukc prętowych 23r.

5 Część 3 6. PODSUMOWANIE TRZECIEJ CZĘŚCI 5 przy czym Π = Π ( d ) = W e W [ e ( d )]d = Y, =,2,..., 6. Sta rówowag odpowada ytuac, w które eerga potecala Π(d ) oąga wartość ektremalą. Rówowaga tatecza wytępue atomat wtedy, gdy eerga potecala oąga wartość mmalą: Π(d ) = m. Twerdzee to et łuze róweż dla prętów elowo-prężytych. Przemezczea kotrukc mogą być dowole duże pod warukem, że obcążea ą koerwatywe. W przypadku pręta lowoprężytego F 6 = F d 6 GA GA We ( ) = EA + y + z + GJ + EJy y + EJz z = 2 λ β β Θ k k De, 2 ky k z 2 = gdze D ozaczaą koleo odpowede ztywośc przekrou pręta: { D} { EA GA ky GA kz GJ EJy EJz} =, /, /,,,. Gdy obcążee kłada ę róweż z uogóloych obcążeń kupoych (ł lub mometów) P ( =, 2,..., m): m Fd d Fd d P 6 6 = +, = = = F gdze ozacza rzut przemezczea puktu przyłożea obcążea kupoego P a lę dzałaa tego obcążea, to z waruku mmum eerg potecale otrzymuemy, że U P =. W rówau tym U = U( e, ) = W( e, ) d ozacza całkowtą eergę odkztałcea wyrażoą przez welkośc kematycze. Twerdzee o mmum eerg dopełaące. Zaada Catglao Eerga dopełaąca Π * dla kotrukc prętowych ma potać: Π * = ( ) 6, W Y d F d d = d przy czym W = ek, k = 2,,..., 6. Yk Spośród wzytkch dopuzczalych pól tatyczych (aprężeń uogóloych ł zewętrzych) realzue ę to pole, które adae eerg dopełaące wartość mmalą, czyl: Π * ( Y, Fk ) = m. Twerdzee to et łuze róweż dla prętów elowo-prężytych. W przypadku pręta lowoprężytego ] Adrze Gawęck - Mechaka materałów kotrukc prętowych 23r.

6 Część 3 6. PODSUMOWANIE TRZECIEJ CZĘŚCI N Q Q M 2 M 6 2 y Y WY z M y ( z ) = EA ( GA / k y ) ( GA / kz) GJ EJ y EJz D = 2 = Szczególym przypadkem tego twerdzea et tzw. zaada Catglao, która ma zatoowae, gdy poza obcążeam cągłym F k wytępuą róweż obcążea kupoe P. Wówcza Π * Π * 6 m = ( Y,, ) = (, ) Fk P W Y P d. Fd d P = d = Z waruku zkaa pochode eerg dopełaące względem ły P. otrzymuemy: U =, P gdze U = U( Y, P) = W( Y, P) d ozacza całkowtą eergę odkztałcea wyrażoą przez welkośc tatycze. Kematyka tatyka układów cał deale ztywych Małe przemezczea tarcz ztywych Dowoly przyrot przemezczeń cała ztywego moża traktować ako obrót tego cała wokół chwlowego begua obrotu. Przeuęce rówoległe (tralaca) taow przypadek zczególy, w którym chwlowy begu obrotu leży w ekończoośc. Jeśl kąt obrotu ϕ et mały, to moża przyąć, że wektor przemezczea daego puktu tarczy ztywe et protopadły do keruku promea r łączącego te pukt z beguem obrotu. Wtedy wektor przemezczea et protopadły do promea r, przy czym = r tgϕ r ϕ. Z aalzy płakch tarcz ztywych wyka, że: bezwzględa wartość dowole kładowe wektora przemezczea et loczyem kąta obrotu tarczy odległośc te kładowe od begua obrotu. eżel zamy keruk wektorów przemezczea dwóch różych puktów tarczy, to chwlowy begu obrotu leży w pukce przecęca ę protych protopadłych do tych wektorów. Poadto podcza obrotu tarczy względem begua o mały kąt ϕ dla pozczególych puktów tarczy zachodz zależość: ϕ = = 2 =... = = cot. r r2 r Waruek koeczy geometrycze ezmeośc Jeśl p et łączą lczbą prętów podporowych, a t lczbą tarcz w układze, to mogą wytąpć trzy przypadk: ) gdy p < 3t, układ et geometrycze zmey, 2) gdy p = 3t, układ et geometrycze ezmey, 3) gdy p > 3t, układ et geometrycze ezmey przeztywoy. Waruek koeczy kematycze (geometrycze) ezmeośc ma potać: p 3 t. Lczba = p 3tokreśla topeń przeztywea układu, a lczba = 3 t p określa lczbę top wobody układu geometrycze zmeego. Do badaa kematyk tarcz ztywych porządza ę pla beguów obrotu lub układa ę rówaa umy rzutów przemezczeń a oe układu wpółrzędych x, y. Adrze Gawęck - Mechaka materałów kotrukc prętowych 23r.

7 Część 3 6. PODSUMOWANIE TRZECIEJ CZĘŚCI 7 Waruek koeczy tatycze wyzaczalośc rówowaga tarcz ztywych Statycza wyzaczalość w przypadku układu tarcz ztywych ozacza, że reakce wzytkch węzów (t. prętów podporowych prętów łączących tarcze) moża oblczyć wyłącze z rówań rówowag. Wytępuą tuta trzy przypadk: ) gdy p < 3t, układ rówań tatyk et przeczy, 2) gdy p = 3t, układ et tatycze wyzaczaly, 3) gdy p > 3t, układ et tatycze ewyzaczaly. W tatyce kotrukc lczba = p 3 t azywa ę topem tatycze ewyzaczalośc układu. Waruek p = 3t et tylko warukem koeczym tatycze wyzaczalośc. Przy badau rówowag warto pamętać o tym, że eżel a układ tarcz dzałaą: tylko dwe ły, to rówowaga zachodz wtedy, gdy le dzałaa tych ł pokrywaą ę, wartośc ą rówe, a zwroty przecwe, tylko trzy ły, to rówowaga zachodz wtedy, gdy le dzałaa tych ł przecaą ę w edym pukce Waruek dotateczy geometrycze ezmeośc Układ kotrukcyy et geometrycze (kematycze) ezmey, eżel przemezczeom układu towarzyzą róże od zera odkztałcea (lub zerowym odkztałceom odpowadaą zerowe przemezczea). Jeśl przez e ozaczymy wektor pewych uogóloych odkztałceń (p. w kratowcach wektor wydłużeń prętów), a przez u odpowadaące m uogóloe przemezczea, to wektory te moża powązać zależoścą Cu= e, gdze C et w ogólośc macerzą protokątą, ozącą azwę macerzy geometrycze (kematycze) zgodośc. W układach geometrycze ezmeych układ rówań Cu= może meć tylko rozwązae zerowe, czyl u =. Zachodz to wtedy, gdy rząd macerzy et rówy lczbe top wobody : rz [ C ] =. Jet to waruek koeczy kematycze ezmeośc kotrukc. Waruek te, zgode z twerdzeem Grama, prowadza ę do wymagaa, by det [ C T C]. Gdy rz [C] <, to układ et kematycze zmey. W przypadku kotrukc tatycze wyzaczalych, kedy macerz C et kwadratowa, waruek te et rówoważy wymagau, by wyzaczk macerzy C był róży od zera, t. by det [ C]. Podobe, badaąc rówowagę kotrukc, otrzymuemy układ rówań lowych łączących wektor uogóloych obcążeń P z wektorem uogóloych aprężeń Y (p. łam w prętach kratowcy): DY= P, gdze D et w ogólośc protokątą macerzą, ozącą azwę macerzy rówowag. Okazue ę, że macerz D et zawze rówa trapozyc macerzy C, tz. T D = C. Rówaa różczkowe rówowag prętów Dla prętów o o protolowe Adrze Gawęck - Mechaka materałów kotrukc prętowych 23r.

8 Część 3 6. PODSUMOWANIE TRZECIEJ CZĘŚCI 8 dn dq dm q x z y = x ( ), = qz( x), Qz( x) = my( x). dx dx dx Dodamy, że zazwycza m y (x). Wtedy otrzymuemy, wykorzytywae częto w praktyce, zależośc: Dla prętów o o zakrzywoe dm y dx 2 d My = Qz ( x) oraz = qz ( x). 2 dx dn Q dq N dm z q z y = x (), + = qz(), Qz() = my(). d r d r d W rówaach tych r ozacza promeń krzywzy pręta, a wpółrzędą krzywolową odmerzaą wzdłuż o krzywolowe pręta. Gdy r, to d dx rówaa powyżze uprazczaą ę do potac obowązuących dla pręta o o protolowe. Kotrukce tatycze wyzaczale Waruek koeczy tatycze wyzaczalośc Stopeń tatycze ewyzaczalośc płake kotrukc prętowe określa wzór: = p + 2p 3p 2w 2w , gdze p et lczbą prętów obutroe przegubowych, p 2 lczbą prętów z ede troy przegubowych, a z druge utwerdzoych, p 3 lczbą prętów obutroe utwerdzoych, w lczbą węzłów, w których pręty ą połączoe przegubowo, a w 2 lczbą ych węzłów, w których choćby dwa pręty ą mędzy obą połączoe w poób ztywy. Wzór powyżzy et łuzy pod warukem, że układ et kematycze ezmey. Oblczae ł wewętrzych Przyczyą poawea ę reakc podporowych R ł wewętrzych Y ą obcążea F. W rówaach rówowag welkośc te wytępuą zawze w perwze potędze; tworzą zatem fukce lowe. Wobec tego dla przyczyy (obcążea) kutków (reakce, ły wewętrze) obowązue zaada uperpozyc: RF (,..., Fm) = R( F) + R2( F2) Rm( Fm), Y( F,..., Fm) = Y( F) + Y2( F2) Ym( Fm), gdze deky reakc ł wewętrzych odpowadaą koleym umerom obcążeń. Powyżze rówaa ą łuze dla dowolego materału, róweż elowego. Jedyym ograczeem et akceptaca zaady zeztywea. Do wyzaczaa reakc ł przekroowych touemy dwe metody: tatyczą kematyczą. W metodze tatycze wykorzytue ę rówaa rówowag. Reakce oblczamy, badaąc rówowagę całe kotrukc lub e częśc, atomat ły przekroowe oblczamy z rówań rówowag ede z myślowo przecęte częśc kotrukc. W metodze kematycze reakce ły przekroowe ą wyzaczae za pomocą rówaa pracy wrtuale dla układu cał ztywych, dla którego przymue ę odpowedo dobray wrtualy ta przemezczeń. Okazue ę p., że kztałt kematyk wrtuale odpowada kztałtow l wpływu oblczae reakc lub ły przekroowe. Jet to zczególe użyteczy poób w odeeu do belek protych przegubowych. Oblczae przemezczeń kotrukc lowo-prężytych W odeeu do kotrukc lowo-prężytych dypouemy różorodym metoda wyzaczaa przemezczeń uogóloych. Są to metody: całkowaa rówaa różczkowego l ugęca, Adrze Gawęck - Mechaka materałów kotrukc prętowych 23r.

9 Część 3 6. PODSUMOWANIE TRZECIEJ CZĘŚCI 9 obcążea krzywzam (metoda Mohra) oraz metody eergetycze wykorzytuące: twerdzee Clapeyroa, twerdzee o mmum eerg dopełaące (twerdzee Catglao) rówaa pracy wrtuale przy wrtualym tae ł. W mechace kotrukc toue ę przede wzytkm metodę wywodzącą ę z rówaa pracy wrtuale. W celu oblczea uogóloego przemezczea puktu kotrukcę obcąża ę uogóloą łą wrtualą P = w te poób, by loczy pozukwaego przemezczea ły wrtuale przedtawał pracę tego obcążea a rzeczywtym przemezczeu. Obcążee wrtuale wywołue wrtuale reakce Rk wrtuale ły przekroowe N, Qy, Qz, M, My, Mz. Wtedy rówae pracy wrtuale przybera potać: + Rk k = ( N λ+ Qyβy + Qzβz + Mθ + M yky + Mzk z ) d, k gdze ymbol całk rozcąga ę a wzytke pręty kotrukc. Przemezczea k ozaczaą tuta rzeczywte oadaa podpór. Rzeczywte odkztałcea uogóloe w układach lowo-prężytych ą opae zależoścam: N Qy Q λ = + λ β = + β β = z, y y, z + βz, EA ( GA / k y ) ( GA / kz ) M M y M θ = + θ = + = z, ky ky, kz + kz. GJ EJ y EJz Człoy zazaczoe dekem wyrażaą odkztałcea uogóloe wywołae przez czyk emechacze (temperaturę, kurcz) lub wtępe deformace techologcze (błędy wykoaa). W przypadku kratowc rówae pracy wrtuale uprazcza ę do potac: l + Rk k = N λdx = N l, k gdze l ozacza rzeczywte wydłużee pręta : N l l = l +, EA przy czym l et wydłużeem wykaącym z czyków emechaczych (p. błędy wykoaa, wpływ temperatury), A przekroem pręta, a E modułem prężytośc tego pręta. Rówae pracy wrtuale moża też wykorzytać do oblczea tzw. cężarków prężytych. Cężark prężyte ą rówe różcy kątów obrotu cęcw l ugęca w pozczególych puktach belk lub kratowcy. Wykrey mometów zgaących wywołaych przez obcążee cężarkam prężytym odpowadaą przyblżoe l ugęca belk. W przypadku kratowc otrzymuemy dokłady kztałt l ugęca. Kotrukce tatycze ewyzaczale Metoda ł Kotrukcę tatycze ewyzaczalą moża przekztałcć w wyzaczalą (w tzw. układ podtawowy) przez uuęce odpowede lczby węzów dodatkowe obcążee e reakcam tych węzów (tzw. łam adlczbowym). Lczba uuętych węzów rówa ę topow tatycze ewyzaczalośc, a wartośc ł adlczbowych muzą być take, by były pełoe kematycze waruk cągłośc (zgodośc) przemezczeń. Adrze Gawęck - Mechaka materałów kotrukc prętowych 23r.

10 Część 3 6. PODSUMOWANIE TRZECIEJ CZĘŚCI Sły adlczbowe X k (k=, 2,..., ) ą ewadomym w lowym układze rówań kaoczych metody ł. k Xk + =, =, 2,...,. = W przypadku układów płakch przy braku mometów kręcaących wpółczyk w rówaach kaoczych ą zdefowae wzoram: NN k k QQ k MM k = k = + + d,, k = 2,,..., EA ( GA / k) EJ N N Q = + + Q + M M d EA GA k + EJ + λ β k ( / ) f * Rf f. * Idek dotyczy układu podtawowego, a f ozacza oadae podpory f. W ogólym przypadku, gdy wytępue ześć ł wewętrzych, wpółczyk rówań kaoczych wyrażaą wzory: k = k = 6 YY k d, D = 6 Y = Y + e * d Rf f k D =,,, 2,,...,, = f gdze Y ozacza -tą łę wewętrzą w przyętym układze podtawowym wywołaą taem X =, D ozacza wektor ztywośc przekroów prętów, a e ą uogóloym odkztałceam wywołaym przez wpływy emechacze. Metoda przemezczeń W metodze przemezczeń kotrukcę prętową traktuemy ako pewe kończoy zbór węzłów, z których każdy ma określoą lczbę top wobody. Za węzły uważamy ewelke fragmety kotrukc zaweraące zazwycza wzytke pukty załamaa o, pukty, w których zbega ę wękza lczba prętów, pukty podporowe. Needokrote dogode et wyodrębee węzłów zaweraących pukty agłe zmay przekrou pukty przyłożea obcążeń kupoych. Węzłem może być róweż fragmet zaweraący dowoly obray pukt leżący a o pręta. Elemety mędzywęzłowe azywamy prętam. W kotrukc płake węzły, w których choćby dwa pręty ą połączoe w poób ztywy, ą tarczam ztywym. Z kole węzły zaweraące przeguby ą puktam materalym. Węzły ztywe a płazczyźe maą zatem co awyże trzy tope wobody (dwa przeuęca obrót), a węzły przegubowe co awyże dwa tope wobody (dwa przeuęca). Podpory kotrukc odberaą węzłom pewą lczbę top wobody. Węzły całkowce ueruchomoe (zazwycza węzły podporowe) azywaą ę węzłam eruchomym. Pozotałe węzły to węzły ruchome. Lczba top wobody wzytkch węzłów (czyl topeń kematycze ewyzaczalośc) et rówa lczbe ewadomych w metodze przemezczeń. Układ podtawowy w te metodze to układ o wzytkch węzłach eruchomych, czyl układ o zerowe lczbe top wobody. Do wyzaczea wartośc przemezczeń węzłów wykorzytue ę rówaa rówowag węzłów. Rówaa te odpowadaą ume rzutów ł a keruk wyzaczoe przez wektory przeuęć oraz ume mometów względem o kątów obrotu daego węzła. Całkowta lczba rówań rówowag pokrywa ę zatem z lczbą ewadomych przemezczeń. Opaa metoda ma e dopero wówcza, gdy reakce prętów zapzemy ako fukce przemezczeń ąedch węzłów. Potać tych fukc zależy od uytuowaa pręta, wymarów geometryczych, właośc fzyczych materału oraz waruków brzegowych daego pręta. Dla protolowego pręta prężytego reakce brzegowe prętów oblcza ę z tzw. wzorów traformacyych: Adrze Gawęck - Mechaka materałów kotrukc prętowych 23r.

11 Część 3 6. PODSUMOWANIE TRZECIEJ CZĘŚCI r = r + ( um),, m= 2,,..., 6, gdze u m ozaczaą uogóloe przemezczea końców pręta, r ą reakcam w układze eruchomym (kematycze wyzaczalym), a u ( m )ą łam brzegowym wywołaym przez przemezczea końców pręta. Sły te oblcza ę według zależośc 6 = km um = 2,,..., 6, m= gdze [k m ] = [k m ] = k azywa ę macerzą ztywośc pręta w układze lokalym: EA / l EA / l EJ / l 6EJ / l 2J / l 6EJ / l 2 2 6EJ / l 4EJ / l 6EJ / l 2EJ / l k =. _ EA / l EA / l EJ / l 6EJ / l 2EJ / l 6EJ / l 2 2 6EJ / l 2EJ / l 6EJ / l 4EJ / l Rówaa rówowag pozczególych węzłów układa ę w układze globalym, w którym uogóloe przemezczea ą ozaczoe przez U m. Reakce brzegowe prętów R wyraża ę wówcza atępuąco: gdze R( Um) = R + S( Um),, m= 2,,..., 6, 6 6 R = C p rp, S( Um) = KmUm. p= m= Symbol C p ozacza macerz traformac z układu lokalego do układu globalego. Do wyrażea ł brzegowych S w daym pręce przez przemezczea łuży macerz ztywośc w układze globalym K m. Wykorzytae wzorów traformacyych w rówaach rówowag wzytkch węzłów prowadz do rówań metody przemezczeń. W celu uzykaa otatecze potac rówań metody koecze et wprowadzee globale umerac wzytkch kładowych wektora przemezczeń, dokoae agregac macerzy ztywośc pozczególych prętów oraz uwzględee waruków brzegowych. Waruk brzegowe moża uwzględć a róże pooby. Kolumy werze macerzy odpowadaące zerowym przemezczeom uuwa ę, a w przypadku tatyczych waruków brzegowych uwzględa ę dodatkowe rówaa, redukuące lczbę ewadomych. Uzykaa w te poób globala macerz ztywośc kotrukc K et macerzą lowego układu rówań a pozukwae przemezczea U. Macerzową potać rówań metody przemezczeń zapue ę, ak atępue: KU = P, gdze P et wektorem wyrazów wolych, wykaącym z reakc w układze eruchomym oraz obcążeń dzałaących bezpośredo a węzły. Macerz ztywośc K et kwadratowa, ymetrycza ścśle dodato określoa. Opaa metoda taow zczególy przypadek przemezczeowe wer metody elemetów kończoych. Metoda ta e adae ę edak do oblczeń ręczych. Tradycya metoda przemezczeń et Adrze Gawęck - Mechaka materałów kotrukc prętowych 23r.

12 Część 3 6. PODSUMOWANIE TRZECIEJ CZĘŚCI 2 przytoowaa wyłącze do oblczeń kotrukc zgaych (ramy, belk cągłe, łuk). Podtawowe uprozczee polega a przyęcu założea, że pręty ą eścślwe. W oblczeach wykorzytue ę edye wzory traformacye dla mometów zgaących, a ako welkośc kematycze przymue ę kąty obrotów węzłów kąty obrotu prętów. Wzory te przyberaą potać: 2EJ Mk = Mk + ( 2ϕ + ϕk 3ψk ), l 2EJ Mk = Mk + ( ϕ + 2ϕk 3ψk ), l gdze ϕ, ϕk ą kątam obrotu węzłów, a ψ k kątam obrotu prętów. Symbole Mk oraz Mk ozaczaą momety utwerdzea pręta w układze eruchomym. Bardzo tota korzyść polega a tym, że kąty ϕ, ϕk oraz ψ k e zależą od układu wpółrzędych. Metoda ta et ezwykle kutecza wtedy, gdy węzły kotrukc tylko obracaą ę. W przypadku węzłów przemezczaących ę (przeuwych) ależy zbadać dodatkowe tope wobody oraz wyzaczyć zależośc pomędzy kątam obrotu prętów. Rówaa metody odpowadaą rówaom rówowag mometów w pozczególych węzłach oraz dodatkowym rówaom rówowag mometów wykaących z koleych przeuwów węzłów. Rówaa kaocze obu metod moża zapać ezcze acze: k= rkuk + Rp = ; =, 2, 3,...,,, k = gdze r k et uogóloą reakcą węzu, powtaącą wkutek wymuzea edotkowego uogóloego przemezczea w keruku węzu k, a R p et reakcą węzu w układze podtawowym kematycze wyzaczalym (tz. w układze eruchomym). Rówaa kaocze odpowadaą wymagau, by uma wzytkch reakc węzu w układze była rówa zeru. Oblczae przemezczeń kotrukc lowo-prężytych W celu oblczea przemezczea puktu potępuemy tak ak w układach tatycze wyzaczalych. Statycze dopuzczale wrtuale pole aprężeń otrzymuemy z rozwązaa zadaa pomocczego, w którym kotrukcę obcążamy edotkową łą wrtualą P =. Kotrukca obcążoa łą wrtualą e mu być detycza z rozważaą kotrukcą ewyzaczalą. Chodz przeceż tylko o to, by ły przekroowe (uogóloe aprężea) były w rówowadze z przyłożoą łą wrtualą. Moża zatem przyąć, że kotrukca ta ma żzy topeń tatycze ewyzaczalośc lub że et po protu dowolą kotrukcą tatycze wyzaczalą, zbudowaą z kotrukc ewyzaczale przez uuęce tylu odpowedch węzów, le et top tatycze ewyzaczalośc. Rówae pracy wrtuale, łużące do oblczea przemezczea, przybera zatem potać: * + Rf f = ( N λ + Qyβy + Qzβz + Mθ + M yky + Mzk z ) d, f gdze N, Qy, Qz, M, M y, Mz R f ą odpowedo łam przekroowym reakcam podpór powodowaym przez obcążee wrtuale w przyęte kotrukc tatycze wyzaczale, atomat * λ, βy, βz, θ, ky, k z f ą odpowedo rzeczywtym uogóloym odkztałceam w układze tatycze ewyzaczalym oadaam podpór. Trzeba tu pamętać, że odkztałcea te oblcza ę z uwzględeem odkztałceń emechaczych. Bardze zczegółową, ogólą potać rówaa pracy wrtuale moża wobec tego zapać atępuąco: Adrze Gawęck - Mechaka materałów kotrukc prętowych 23r.

13 Część 3 6. PODSUMOWANIE TRZECIEJ CZĘŚCI 3 6 Y = + * k Y k e d R fk f. D = f Zatoowae twerdzea Bettego w teor układów tatycze ewyzaczalych Twerdzee o wzaemośc reakc Twerdzee o wzaemośc reakc et atępuące: Reakca R k odpowadaąca k-temu przemezczeu wywołaa taem = et rówa reakc R k odpowadaące -temu przemezczeu wywołae taem k =. Le wpływu welkośc tatyczych w układach tatycze ewyzaczalych Z twerdzea Bettego wyka ezcze y użyteczy woek, łużący do wyzaczaa l wpływu układów tatycze ewyzaczalych. Szczególe przekoywuący et przykład l wpływu w odeeu do belek cągłych. Okazue ę bowem, że kztałt l wpływu dae welkośc tatycze odpowada l ugęca belk cągłe przy wymuzeu edotkowego przemezczea, a którym wykoue pracę badaa welkość tatycza. W kotrukcach tatycze ewyzaczalych uuęce edego węzu prowadz do układu, którego topeń tatycze ewyzaczalośc zmeza ę o ede. Jet to zatem w dalzym cągu układ geometrycze ezmey, a wymuzee przemezczea edotkowego mu pocągać za obą deformacę prętów. Wokuemy tąd, że le wpływu układów tatycze ewyzaczalych ako le ugęca układów prężytych ą zawze fukcam elowym. Adrze Gawęck - Mechaka materałów kotrukc prętowych 23r.