Ćwiczenia nr 3 Finanse II Robert Ślepaczuk. Teoria portfela papierów wartościowych

Transkrypt

1 Ćczea r 3 Fae II obert Ślepaczuk Teora portfela paperó artoścoych Teora portfela paperó artoścoych jet jedym z ajażejzych dzałó ooczeych faó. Dotyczy oa etycj faoych, a przede zytkm etycj dokoyaych a ryku kaptałoym, tz. zakupu paperó artoścoych. I. Podtaoe charakterytyk paperu artoścoego.. Oczekaa topa zrotu jet to średa ażoa możlych do oągęca tóp przy czym agam ą pradopodobeńta ch oągęca. p gdze: oczekaa topa zrotu, lczba możlych do oągęca artośc topy zrotu, -ta możla do oągęca artość topy zrotu, p pradopodobeńto oągęca -tej możlej artośc topy zrotu. W zązku z tym, że zazyczaj e jet możle określee rozkładu tóp zrotu przyzłośc (tz. możlych do oągęca tóp zrotu pradopodobeńt ch oągęca to zamat tego ykorzytuje ę topy zrotu zrealzoae przezłośc, toując atępujący zór: W poyżzym zorze oczekaa topa zrotu ozacoaa jet jako średa arytmetycza tóp zrotu oągętych poprzedch okreach.. Waracja jet marą ryzyka paperu artoścoego. Określa zróżcoae możlych dochodó z tytułu poadaa paperu artoścoego. Im ękze jet to zróżcoae, tym ękze jet ryzyko zązae z paperem artoścoym. Waracja paperu artoścoego merzoa jet procetach podeoych do kadratu edług zoru: V gdze: V aracja topy zrotu. p ( Jeśl mamy do dypozycj tylko zrealzoae topy zrotu to zór przyjmuje potać: V (

2 Ćczea r 3 Fae II obert Ślepaczuk 3. Odchylee tadardoe topy zrotu jet także marą ryzyka paperu artoścoego. Merzoe jet procetach. Wkazuje oo a przecęte odchylee możlych tóp zrotu od oczekaej topy zrotu. Przyjmuje artośc eujeme. Podobe jak przy aracj m ękze jet odchylee tadardoe, tym ękze jet ryzyko zązae z paperem artoścoym. gdze: - odchylee tadardoe. V 4. Koaracja tóp zrotu merzy poązae tóp zrotu dóch akcj. Wkazuje oa łę poązaa jego keruek. Lczoa jet edług zoru: 0.5 cov j p ( ( gdze: cov j koaracja pomędzy akcją perzą drugą, oczekaa topa zrotu akcj perzej, - oczekaa topa zrotu akcj drugej, możle topy zrotu akcj perzej, możle topy zrotu akcj drugej. Wzór a koarację, przy zrealzoaych topach zrotu przyjmuje potać: cov j ( ( 5. Korelacja tóp zrotu jet także marą poązaa tóp zrotu dóch aktyó. Oblczaa jet a podtae atępującego zoru: j p ( ( atomat przy zrealzoaych topach zrotu: j ( ( ( ( gdze: j półczyk korelacj dla topy zrotu akcj perzej drugej, - odchylee tadardoe topy zrotu akcj perzej, - odchylee tadardoe topy zrotu akcj drugej.

3 Ćczea r 3 Fae II obert Ślepaczuk Wpółczyk korelacj dóch akcj określa łę keruek poązaa tóp zrotu tych akcj. Właścośc tego półczyka ą atępujące: Przyjmuje artośc z przedzału [-,]. Wartość bezzględa półczyka korelacj kazuje a łę poązaa tóp zrotu akcj. Im yżza jet artość bezzględa tego półczyka, tym poązae jet lejze. Wyka z tego, że ajlej poązae ą akcje, których półczyk korelacj jet blk lub, a ajłabej te, których półczyk korelacj jet blk 0. Zak półczyka kazuje a keruek poązaa tóp zrotu akcj. Gdy jet o dodat, ytępuje tz. korelacja dodata akcj. Ozacza to, że zroto (padko topy zrotu jedej akcj toarzyzy zrot (padek topy zrotu drugej akcj. Gdy jet o ujemy, ytępuje tz. ujema korelacja akcj zachodz ytuacja odrota. Korelacja koaracja poązae ą atępującą zależoścą: II. Portfel dukładkoy. j cov j Załóżmy, że portfel kłada ę z dóch różych akcj o atępujących charakterytykach:, oczekae topy zrotu, V, V aracje,, odchylea tadardoe,, udzały artoścoe obu akcj portfelu, pomędzy którym zachodz zależość: +. Pozczególe charakterytyk portfela możemy ylczyć atępujący poób: p +, V p + +, p V p 0.5 gdze: p topa zrotu z portfela, V p aracja portfela, p odchylee tadardoe portfela. Z poyżzych zoró yka, że ryzyko portfela dóch akcj zależy od ryzyka pojedyczych akcj chodzących kład portfela oraz od półczyka korelacj tych akcj. Ujemy półczyk korelacj może aet poodoać zmejzae ę ryzyka portfela. Spójrzmy jak ygląda ryzyko portfela przy czterech różych aratach półczyka korelacj:. V p + + ( + p +. 3

4 Ćczea r 3 Fae II obert Ślepaczuk W przypadku dokoałej korelacj dodatej akcj ryzyko portfela jet ażoą średą ryzyka pojedyczych akcj chodzących kład portfela, przy czym agam ą udzały portfelu. Spójrzmy jak ygląda grafcza prezetacja tego przykładu a ykree. ozpatrujemy de akcje A B, o oczekaych topach zrotu A B oraz ryzyku róym A B. B - 0 B C 0.5 E A A B F yuek r. Stopa zrotu odchylee tadardoe portfela dukładkoego zależośc od różych półczykó korelacj. Możle topy zrotu odchylea tadardoe portfela reprezetoae ą przez odcek AB. Wdzmy, że raz ze zrotem topy zrotu rośe ryzyko reprezetoae przez odchylee tadardoe, marę jak zękzamy portfelu udzał akcj B zmejzamy A. - A V p + - ( - p - Z poyżzych przekztałceń yka, że moża zaleźć portfel o zeroym ryzyku. Po odpoedch przekztałceach otrzymujemy udzały akcj portfelu o zeroym ryzyku: + + Poyżza ytuacja jet reprezetoaa a ryuku przez odck AC CB. Wdzmy, że zdłuż odcka AC rośe topa zrotu portfela maleje odchylee tadardoe. W pukce C portfel ma zeroe ryzyko topę zrotu róą C. Natępe zdłuż odcka CB rośe topa zrotu rośe odchylee tadardoe, raz ze zrotem udzału akcj B portfelu. Z ryuku r dać poadto, że etor e poe ybrać portfela, który zajduje ę a odcku 4

5 Ćczea r 3 Fae II obert Ślepaczuk AC. Dla każdego takego portfela teje lepzy, zajdujący ę a odcku CB, tj. dający yżzą topę zrotu przy tym amym odchyleu tadardoym. 0. W tym przypadku akcje e ą poązae ze obą, a ryzyko portfela kztałtuje ę atępująco: V p + p ( Mmala artość ryzyka tym przypadku yo: ( + ytępuje dla portfela o udzałach: Sytuacja poyżza jet reprezetoaa przez krzyą AFB. Portfelem o mmalym ryzyku jet portfel F. Pooe dzmy, że etor e poe ybrać portfela, który zajduje ę a krzyej AF. Dla każdego takego portfela teje lepzy, zajdujący ę a łuku FB tj. dający yżzą topę zrotu przy tym amym odchyleu tadardoym. 0,5. Jet to przypadek o ele częścej potykay praktyce, ż poprzede. Mary ryzyka tym przypadku ą róe: V p + + S p ( W tym przypadku portfelem o mmalym ryzyku jet portfel E. Przypadek ogóly określający kład portfela o mmalym ryzyku. Zobaczmy jake muzą być udzały portfela o mmalej aracj. W tym celu do zoru a arację portfela taamy -, atępe oblczamy pochodą poyżzego yrażea po, przyróujemy ją do zera rozązujemy otrzymując atępujące udzały: 5

6 Ćczea r 3 Fae II obert Ślepaczuk III. Portfel elokładkoy. Podobe charakterytyk jak dla portfela dukładkoego możemy także yzaczyć dla portfela elokładkoego: p + + j j j j p V 0.5 p V p ozaczea take ame jak poprzedo. W przypadku portfela elokładkoego możemy także dyeryfkoać ryzyko poprzez dobór odpoedch akcj do portfela. Spójrzmy jak yglądają zytke możle topy zrotu odchylea tadardoe z portfela złożoego z czterech akcj (A, B, C, D. yuek r. Zbór możlośc dla portfela złożoego z akcj A, B, C D. Fgura ta azya ę zborem możlośc. Najażejzą część a tym ryuku tao krzya ED, która reprezetuje ajlepze portfele poeaż zachodz jeda z dóch ytuacj: C B A S E D

7 Ćczea r 3 Fae II obert Ślepaczuk e teje portfel, który przy tym amym pozome ryzyka ma yżzą topę zrotu, e teje portfel, który przy tej amej artośc topy zrotu ma mejze ryzyko. Podzbór zboru możlośc określający te portfele, dla których e moża kazać portfel lepzych, azya ę gracą efektyą lub zborem efektyym, atomat portfele leżące a tej gracy azyają ę portfelam efektyym. Aalza portfeloa Markotza przyjmuje atępujące założea: etorzy dążą do makymalzacj użyteczośc ojego bogacta, zycy etorzy mają te am horyzot etycyjy, etorzy mają aerję do ryzyka, etorzy podejmują oje decyzje a podtae topy zrotu odchylea tadardoego dotępych alteraty etycyjych, zakładamy brak podatkó koztó traakcyjych. IV. Portfel zaerający papery artoścoe ole od ryzyka. Do aalzy portfeloej możemy także łączyć papery artoścoe ole od ryzyka celu jezcze ękzej redukcj ryzyka poprzez jego łaścą dyeryfkację. Uzględee paperó artoścoych olych od ryzyka portfelu możemy potraktoać jako utorzee portfela dukładkoego, przy czym perzy kładk to łaśe papery ole od ryzyka, a drug to portfel efektyy zaerający ryzykoe akcje. Stopa zrotu takego dukładkoego portfela jet róa: + ( p f f f e gdze: e topa zrotu portfela efektyego, f topa zrotu paperu artoścoego olego od ryzyka, f udzał paperu olego od ryzyka. Odchylee tadardoe oo utorzoego portfela jet róe: ( p f e Zobaczmy jak ygląda topa zrotu odchylee tadardoe portfela złożoego z oblgacj (papery ole od ryzyka F akcj (portfel efektyy E. M D F E A B C S 7

8 Ćczea r 3 Fae II obert Ślepaczuk Naz portfel zaera zaróo akcje (zaarte portfelu efektyym E, jak papery artoścoe ole od ryzyka, ozaczoe puktem F. Wzytke możle kombacje tego portfela reprezetuje prota FE. Im ękzy udzał lokat olych od ryzyka portfelu, tym blżej puktu F zajduje ę te portfel. Wdzmy jedak, że portfel zaerający papery ole od ryzyka portfel M pozol torzyć ajlepzą kombację. W celu zalezea portfela M kreślmy półprotą ychodzącą z puktu F tyczą do zboru możlośc ajyżzym pukce. Portfel M azya ę portfelem rykoym. W efekce otrzymujemy zeta portfel leżących a odcku FM. Teraz odcek te jet zborem efektyym. Zauażmy, że zbór efektyy yzaczoy dla portfela zaerającego tylko akcje przetaje m być po łączeu do portfela paperó olych od ryzyka. Dla każdego portfela ależącego do tarego zboru efektyego moża zaleźć lepzy portfel oym zborze efektyym. Po łączeu do portfela paperó olych od ryzyka, zbór efektyy jet odckem leżącym a protej o atępującym róau: + ( M f f gdze: topa zrotu, S odchylee tadardoe, M topa zrotu portfela rykoego, S M - odchylee tadardoe portfela rykoego. Prota ta azya ę lą ryku kaptałoego (Captal Market Le zaera portfele efektye potałe po uzględeu paperó ryzykoych olych od ryzyka. Zadaa do ćczeń r 4 Zadae r. Oblcz koarację tóp zrotu dla akcj L M dla pożzych daych: ta atury pradopodobeńto topa zrotu akcj L topa zrotu akcj M 0. -5% 6% Natępe prozę oblczyć korelację tóp zrotu. Zadae r. Akcje A B mały atępujące topy zrotu przez otate 5 lat. Wyzacz półczyk korelacj koarację dla tych dóch akcj. ok Stopa zrotu A % Stopa zrotu B % Zadae r 3. Mary Clfford poada portfel złożoy z czterech akcj o atępującej artośc rykoej topach zrotu róych: S M S 8

9 Ćczea r 3 Fae II obert Ślepaczuk Akcja Wartość rykoa $ Stopa zrotu % X Y Z M Suma Prozę oblczyć topę zrotu z portfela. Zadae r 4. (a Oblcz topę zrotu odchylee tadardoe dla portfela złożoego z 0% akcj A 80% akcj B o atępujących charakterytykach: A 0%, B 0%, A 5%, B 30%, AB 0,5. (b Zakładając, że możla jet krótka przedaż zajdź udzał akcj A B portfelu D przedtaoym a ryuku: B B A 5% C A D A (c Wyzacz ryzyko portfela złożoego z akcj A B dla którego półczyk korelacj jet róy 0.5, a topa zrotu 5%. Zadae r 5. Da aktya J K mają atępujące charakterytyk: J 5%, K 0%, J 8%, K 4%, JK -0.. Wyzacz odchylee topę zrotu dla atępujących portfel: portfel Udzał J % Udzał K % (a 90 0 (b (c (d 0 80 Zadae r 6. Oblcz ryzyko topę zrotu dla portfela złożoego z akcj X, Y Z o róych udzałach ( /3, /3 /3 jeśl: X 5%, Y 7%, Z 0%, X 8%, Y 0%, Z 5%, XY 0.5, YZ 0., XZ Zadae r 7. Burr Poe Corporato mają atępujące topy zrotu odchylea tadardoe: B 8%, B %, P %, P 30%, BP 0.4.yzyko portfela złożoego 50% z akcj każdej półk jet róe,86%. Wyzacz półczyk korelacj dla którego ryzyko portfela pade o 5%. Jaka będze topa zrotu takego portfela? B 9

10 Ćczea r 3 Fae II obert Ślepaczuk Zadae r 8. Frmy W D mają atępujące charakterytyk: S W 30%, D 40%, W 0%, D 5%, WD -. Wyzacz odchylee tadardoe portfela o mmalym ryzyku. Wyzacz odchylee tadardoe portfela o mmalym ryzyku jeśl WD 0.5. Zadae r 9. Załóżmy, że odchylee tadardoe portfela rykoego jet róe 0%, jego topa zrotu 4%, a aktyó olych od ryzyka 9%. Jaką topę zrotu otrzyma etor z portfela złożoego 50% z obu aktyó? Jake będze ryzyko takego portfela? 0