( t) ( )( ) ( )( ) ( )

Transkrypt

1 . Aaliza liiowa.. Obiekty LTI.. Defiiowaie modelu SISO Najrostsze modele dyamiki, oisujące liiowe układy z jedym wejściem i jedym wyjściem mają zazwyczaj ostać rówaia różiczkowego lub trasmitacji. Modele tego tyu oisao oiżej a rzykładowych obiektach iercyjych: ) rzędu ierwszego ) rzędu drugiego a x& + a x( b u( ) a & x + a x& ( + a x( b u& ( + b u( ) (-) ( 0 0 t G ( b0 a a 0 G ( 0 0 t b b 0 ( (-) as + a a0 Są to tyowe trasmitacje w ostaci fukcji wymierych, gdzie stoień wielomiau w licziku jest miejszy iż stoień wielomiau w miaowiku. Wyzaczając ierwiastki miaowika (bieguy) i ierwiastki liczika (zera) moża zaisać trasmitacje (-) w ostaci iloczyowej: k k( s z) G ( G ( (-3) s s s b 0 k, a a a 0 b k, a ( )( ) b0 z, b, a± a 4a a Jeśli bieguy i zera mają wartości rzeczywiste dodatie, to stosuje się zais trasmitacji (-3) za omocą iloczyu odstawowych obiektów (człoów) dyamiki : ) czło iercyjy rzędu ) czło iercyjy rzędu i czło forsujący k G ( T ( ) k G s Tz T T (-4) k k, T ( )( ) ( ) kz k, T z z, T a, T 0 W automatyce często wystęuje defiiowaie modelu za omocą stałych czasowych (T, T, T z ) i wzmocieia (k). Należy zwrócić uwagę, że w różych formach trasmitacji róże arametry są azywae wzmocieiem - k (-), k (-3). Tymczasem arametr defiioway jako wzmocieie obiektu (układu) ie zależy od formy modelu i moża je wyzaczyć a rzykład korzystając z twierdzeia o wartości końcowej: lim x( lim sg( u( (-5) t s 0 Zakładając, że a wejściu układu wystęuje stałe wymuszeie u 0, wzmocieie układu wyosi: u0 kukł lim sg( / u0 s 0 s Przykład: Obiekty iercyje. W rzykładach rezetowaych w tej części odręczika, będą wykorzystywae dwa obiekty oisae za omocą astęujących arametrów: - ObiektG: układ ma wzmocieie i stałą czasową rówą - ObiektG: układ ma wzmocieie, stałe czasowe rówe i 4, oraz jedo zero o wartości -. Trasmitacje o owyższych własościach moża zdefiiować w dowolej formie (-) (-4) rzeliczając odowiedio zadae arametry: ObiektG ObiektG Na odstawie daych: k a( ) lim k lim a s 0 s 0 ( )(4 ) a) wsółczyiki (-) a, a 0, b 0 a 8, a 6, a 0, b, b 0 b) bieguy i zera (-3) k, -0.5 k 0.5, z z -, -0.5, -0.5 c) człoy dyamiki (-4) k, T k, T z 0.5, T, T 4 (-6) atrz skryt_0_tf.m 5

2 Poiższe fragmety skrytów rzedstawiają alteratywe wariaty defiicji trasmitacji wraz z rzygotowaiem odowiediego zestawu arametrów a odstawie wartości k, T, T, T z : ObiektG ObiektG 6 a) k; T; ObiektGa tf(k, [T, ]); b) k; T; ObiektGb zk([], [-/T], k/t); c) k; T; stf('s'); ObiektGc k/(t*); k; T; T4; Tz0.5; tabl [k*tz, k]; tabm [T*T, T+T, ]; ObiektGa tf(tabl, tabm); k; T; T4; Tz0.5; tabz [-/Tz]; tabp [-/T, -/T]; ObiektGb zk(tabz, tabp, k*tz/(t*t)); k; T; T4; Tz0.5; stf('s'); ObiektGc k*(tz*)/((t*)*(t*)); Róże formy trasmitacji daego obiektu są rówoważe, jedak sosób rezetowaia ich w Matlabie zależy od zastosowaego wariatu defiicji, a rzykład: >>ObiektGa Trasfer fuctio: s s^ + 6 s + >>ObiektGb Zero/ole/gai: 0.5 () (0.5) (0.5) >>ObiektGc Trasfer fuctio: s s^ + 6 s + Powyższe modele są rzechowywae w Matlabie jako obiekty LTI (ag. Liear Time-Ivariat System), czyli defiicje układów liiowych, stacjoarych. Trasmitacja jest tyową formą oisu liiowego, stacjoarego obiektu z jedym wejściem i jedym wyjściem (SISO). Przykład: Obiekt oscylacyjy G3. Wśród odstawowych obiektów dyamiki, szczególe zaczeie raktycze ma czło oscylacyjy: k k G(, ω >0 (-7) s + ξω ω ( s )( s ), ξω ± ω ξ Poieważ ty bieguów, zależy od wartości tłumieia ξ, to czło może rerezetować bardzo odmiee własości. W rzykładach w tej części odręczika będzie wykorzystyway obiekt stabily z oscylacjami (0<ξ<), oisay astęujący sosób: - ObiektG3: wzmocieie jedostkowe, tłumieie 0.4, a ulsacja drgań własych wyosi 0. rad/sek (tz. częstotliwość około 5.9 mhz). Trasmitację o owyższych własościach moża zdefiiować a róże sosoby: ObiektG3 Na odstawie daych: ξ 0. 4, ω 0., lim s 0 s k + ξω ω k a) wsółczyiki (-) a, a 0.08, a 0 0.0, b b) bieguy i zera (-3) k 0.0, j0.097, j0.097 c) czło oscylacyjy (-7) k 0.0, ξ0.4, ω 0. Poiżej rzedstawioo róże wariaty defiicji trasmitacji w skrycie: ObiektG3 a) ksi0.4; w0.; ObiektG3a tf(w^, [, *ksi*w, w^]); b) ksi0.4; w0.; delta(*ksi*w)^ - 4*w*w; ObiektG3b zk([],[(-*ksi*w-sqrt(delta))/, (-*ksi*w+sqrt(delta))/ ], w^); c) ksi0.4; w0.; stf('s'); ObiektG3c w*w/(s^+*ksi*w*w*w); Ze względu a zesoloe wartości bieguów Matlab rezetuje trasmitacje w te sam sosób: >>ObiektG3a Trasfer fuctio: s^ s >>ObiektG3b Zero/ole/gai: s^ s >>ObiektG3c Trasfer fuctio: s^ s ω

3 Przykład: Obiekty ietyowe. Tyowe trasmitacje mają ostać fukcji wymierych a stoień wielomiau w licziku jest miejszy iż stoień wielomiau w miaowiku. W tej defiicji ie mieszczą się szczególe rzyadki trasmitacji, takie jak: a) wzmocieie b) czło różiczkujący c) oóźieie G k ( k G ( T s sto G ( e (-8) d Na etaie defiicji takich modeli w Matlabie ie ma roblemu: >>Gk tf() Trasfer fuctio: d >> Gd *s %lub: Gd tf([, 0], []) Trasfer fuctio: s o >> Go ex(-s*) Trasfer fuctio: ex(-* * () Dodać: Problemy ojawiają się odczas symulacji. W starszych wersjach Matlaba (lub w kloach Matlaba..... Defiiowaie modeli MIMO Tyową formą liiowych modeli o wielu wejściach i wyjściach (MIMO) są rówaia stau. Modelem tego tyu jest układ drugiego rzędu z dwoma sygałami wejściowymi: x& ( a a x ( b b u( + (-9) x& ( a a x ( b b u ( Rówaia stau zawierają eły ois dyamiki układu, ale często są uzuełiae rówaiami wyjściowymi, które a odstawie zmieych stau x( i sygałów wejściowych u( defiiują dowolą ilość zmieych wyjściowych y(. W Matlabie wielokrotie zachodzi otrzeba zdefiiowaia zmieych wyjściowych, które są rówe zmieych stau: y( 0 x( 0 0 u( + (-0) y ( 0 x ( 0 0 u ( Poieważ Matlab jest ukierukoway a oeracje a macierzach, stąd zais arametrów fukcji często oiera się a ogólej ostaci rówań stau i rówań wyjściowych: x& ( Ax( + Bu( (-) y( Cx( + Du( gdzie: x wektor zmieych stau; u wektor zmieych wejściowych; y wektor zmieych wyjściowych, A, B, C, D macierze o odowiedich wymiarach. Model MIMO moża rówież zdefiiować za omocą trasmitacji. Rówaiom stau (-9) odowiadają wówczas cztery trasmitacje: L( L ( x ( u( + u ( M ( M ( L( L ( x ( u( + u ( M ( M ( (-) gdzie: L ( b ab ab, L ( b ab ab L ( b ab ab, L ( b ab ab M ( s a )( s a ) a a s ( a + a ) ( a a a ) ( a Przykład: Obiekt M i M. W rzykładach rezetowaych w tej części odręczika, będą wykorzystywae dwa obiekty MIMO oisae za omocą astęujących rówań i trasmitacji: - ObiektM: rzykładowy układ uilateraly (tyu kaskada iewsółdziałająca) x ( u( x& ( x( + u( x& ( x ( x ( + u ( x ( u( + u ( ( )( ) ( ) W rówaiach stau widocza jest uilaterala struktura układu, która uzasadia uroszczoe ostaci trasmitacji układu. atrz skryt_0_ss.m 7

4 - ObiektM: rzykładowy układ ieuilateraly (tyu kaskada wsółdziałająca) ( ) x ( u( + u ( x& ( x ( + x ( + u( ( )( ) ( )( ) x& ( x ( x ( + u ( x ( u( + u ( ( )( ) ( )( ) Parametry: ObiektM ObiektM a) macierze rówań stau (-9) A, B A 0, B 0 b) wsółczyiki L, M, L 4, L, trasmitacji (-) L, L, L, L, + M s + 3s, M s + M s + 3 Poiższy skryt rzedstawia defiicję rówań stau za omocą fukcji ss()i tf(). ObiektM ObiektM a) A[- 0; -]; B[ 0; 0 ]; Ceye(); Dzeros(); A[- ; -]; B[ 0; 0 ]; Ceye(); Dzeros(); ObiektMa ss(a,b,c,d); b) L[]; L[0]; M[ ]; M[]; ObiektMa ss(a,b,c,d); L[ 4]; L[]; L[]; L[ ]; L[]; L[]; M[ 3 ]; M[ ]; ObiektMb tf( {L,L;L,L},... {M,M;M,M}) M[ 3 ]; Zdefiiowae obiekty są rezetowae w astęujący sosób >> ObiektMa a x x x - 0 x - b u u x 0 x 0 c x x y 0 y 0 d u u y 0 0 y 0 0 >> ObiektMb Trasfer fuctio from iut to outut... #: s + #: s^ + 3 s + Trasfer fuctio from iut to outut... #: 0 #: s + ObiektMb tf( {L,L;L,L},... {M,M;M,M}) >> ObiektMa a x x x - x - b u u x 0 x 0 c x x y 0 y 0 d u u y 0 0 y 0 0 >> ObiektMb Trasfer fuctio from iut to outut... s + 4 #: s^ + 3 s + #: s^ + 3 s + Trasfer fuctio from iut to outut... #: s^ + 3 s + s + #: s^ + 3 s + Podczas defiicji modelu za omocą fukcji ss() moża wrowadzić włase azwy zmieych wejściowych, zmieych stau i zmieych wyjściowych: ObiektMa ss(a,b,c,d,'iutname',['wej';'wej'],... 'StateName',['zx';'zx'],'OututName',['wyj';'wyj']) Zdefiiowae azwy są używae jako oisy wykresów a także rzy rezetacji obiektów: a zx zx zx - 0 zx - b wej wej zx 0 zx 0 c zx wyj 0 wyj 0 zx d wej wej wyj 0 0 wyj 0 0 W starszych wersjach Matlaba fukcja tf()ie umożliwia wrowadzaia własych azw odczas defiicji modelu, jedak odczas kowersji modelu z rówań stau (...3) stosuje azwy zdefiiowae dla rówań stau. 8

5 ..3 Kowersja i arametry modelu Model zdefiioway a odstawie dowolej trasmitacji czy rówań stau moża rzekowertować a ie formy obiektów LTI i wyświetlić je, lub też odczytać wartości charakterystyczych arametrów. Kowersja modelu (obiektu LTI) a ostać zk (zero/ole/gai zero/biegu/wzmocieie) ozwala odczytać wartości bieguów i zer modelu. Parametry te moża też odczytać rówież bez kowersji, używając fukcji ole() i zero() lub zkdata(): >> zk(obiektga) 0.5 () (0.5) (0.5) >> [Z,P,K] zkdata(obiektga,'v') Z - P K 0.50 >> zero(obiektga) - >>ole(obiektga) >> dcgai(obiektga) Uwaga: To jest wzmocieie układu Uwaga: wzmocieie, które jest arametrem modelu zk ie ozacza wzmocieia układu, które moża wyzaczyć za omocą fukcja dcgai(). Z kolei o kowersji dowolej formy trasmitacji a rówaia stau, model jest rezetoway w ostaci macierzy A, B, C, D: >> ss(obiektga) >> a x x x x b u x x 0 c x x y 0.5 d u y 0 Dodać metodę kowersji tf a ss. Kowersja ss a tf ObiektM (obiekt uilateraly) trasmitacje uroszczoe Założeie o skracalości Oblicza trasmitacje y/u (a ie x/u) Fukcja dam(obiek 9

6 .. Charakterystyki i własości.. Formatowaie wykresów W skrytach, które ilustrują odstawowe metody aalizy własości obiektów/układów wykorzystywae są obiekty zdefiiowae wcześiej (..). W rezetowaych skrytach omiięto iektóre oeracje formatujące, które ozwalają w rosty sosób doasować wygeerowae wykresy do wymogów dokumetacji. Oeracje te wykorzystują obiektowy charakter graficzych okie Matlaba oraz związae z tym fukcje, takie jak: - odczytywaie i zaisywaie własości obiektów: get(), set(), - odczytywaie idetyfikatorów (uchwytów) obiektów: gcf(), gca() Tyowe oeracje stosowae a wykresach wygeerowaych za omocą fukcji lot()to: F) ustawieie białego koloru tła aktywego oka graficzego set(gcf(), 'Color',[,,]); %biały kolor tła F) zmiaa wielkości aktywego oka graficzego osget(gcf(),'positio'); %odczytaj ozycję i wielkość os(3)300; os(4)80; %os(3)-szerokość, os(4)-wysokość set(gcf(), 'Positio', o; %ustaw ozycję i wielkość Dla zaewieia czytelości wykresów (. oisów) stosowae są rówież oeracje a tekstach oisujących tytuły i osie wykresów, takie jak: F3) ustawieie wielkości fotów i grubości liii dla siatki wykresu set(gca(), 'FotSize', 7) %ois siatki (skali), domyślie: 0 set(gca(), 'LieWidth', ) %grubość liii siatki, domyślie: 0.5 F4) ustawieie wielkości, koloru i tyu fotów w tytułach i oisach osi wykresu set(get(gca(),'title'), 'FotSize', 7,'Color',[0 0 ]) % domyślie: 0;[0 0 0] set(get(gca(),'xlabel'),'fotagle','italic','fotsize', 7) set(get(gca(),'ylabel'),'fotagle','italic','fotsize', 7) Na rys.. i rys.. rzedstawioo ośredi i końcowy wykres wygeeroway rzez skryt: figure; hold o, grid o lot([,],[,]); lot([,],[,],'r'); title('tytuł oka'); ylabel('oś y'); xlabel('oś x'); %oeracje F set(gcf(), 'Color',[,,]); %biały kolor tła osget(gcf(),'positio'); %odczyt ozycji i wielkości os(3)30; os(4)80; %os(3)-szerokość, os(4)-wysokość set(gcf(), 'Positio', o; %ustaw ozycję i wielkość %oeracje F3 4 set(gca(), 'FotSize', 7) %ois siatki (skali), domyślie: 0 set(gca(), 'LieWidth', ) %grubość liii siatki, domyślie: 0.5 set(get(gca(),'title'), 'FotSize', 7,'Color',[0 0 ]) % domyślie: 0;[0 0 0] set(get(gca(),'xlabel'),'fotagle','italic','fotsize', 7) set(get(gca(),'ylabel'),'fotagle','italic','fotsize', 7) Rys... Wykres o oeracjach F Rys... Wykres o oeracjach F 4 Możliwe jest rówież formatowaie arysowaych liii oszczególych wykresów, a rzykład: F5) zmiaa grubości liii wykresów tablie get(gca(),'childre') %odczyt idetyfikatorów liii set(tablie(),'liewidth',3) %ustaw grubość.liii set(tablie(),'liewidth',) %ustaw grubość.liii Uwaga: Idetyfikatory iektórych obiektów moża rówież uzyskać i zaamiętać odczas geerowaia tych obiektów 0

7 Po zastosowaiu oeracji F5 wykres z rys.. uzyskuje końcową ostać jak a rys..3. Rys..3. Wykres o oeracjach F 5 Aalogicze formatowaie moża rzerowadzić kilku wykresach geerowaych w jedym okie graficzym, co wymaga odczytaia idetyfikatorów i owtórzeia oeracji a kilku wykresach: figure; title('tytuł oka'); sublot();hold o, grid o lot([,],[,]);lot([,],[,],'r'); title('sublot()'); ylabel('oś y'); xlabel('oś x'); sublot();hold o, grid o lot([,],[,],'g');lot([,],[,],'m'); title('sublot()'); ylabel('oś y'); xlabel('oś x'); %oeracje formatujące F- set(gcf(), 'Color',[,,]); %biały kolor tła osget(gcf(),'positio'); %odczytaj ozycję i wielkość os(3)30; os(4)80; %os(3)-szerokość, os(4)-wysokość set(gcf(), 'Positio', o; %ustaw ozycję i wielkość tabaxis get(gcf(),'childre'); %odczyt idetyfikatorów wykresów (axe for i:size(tabaxis,) %oeracje formatujące F3-4 set(tabaxis(i), 'FotSize', 7) %ois siatki (skali), domyślie: 0 set(tabaxis(i), 'LieWidth', ) %grubość liii siatki, domyślie: 0.5 set(get(tabaxis(i),'title'), 'FotSize', 7,'Color',[0 0 ]) set(get(tabaxis(i),'xlabel'),'fotagle','italic','fotsize', 7) set(get(tabaxis(i),'ylabel'),'fotagle','italic','fotsize', 7) %oeracje formatujące F5 tablie get(tabaxis(i),'childre') %odczyt idetyfikatorów liii set(tablie(),'liewidth',3) %ustaw grubość.liii set(tablie(),'liewidth',) %ustaw grubość.liii ed Na rys..4 i rys..5 rzedstawioo ośredi i końcowy efekt wykoaia owyższego skrytu. Rys..4. Wykresy o oeracjach F Rys..5. Wykresy o oeracjach F 5 Skryty rzedstawioe w tym ukcie wykorzystują strukturę oka graficzego jaką geeruje fukcja lot() obiektami otomymi oka graficzego są tylko obiekty tyu osie (axe, a obiektami osi są tylko obiekty tyu liie (lie). Natomiast w kolejych uktach orócz tej fukcji wykorzystywae są jeszcze ie arzędzia,. ste(), imluse(). Są to fukcje, które dostarczają iterfejs graficzy, to zaczy, że ie tylko rysują określoe tyy wykresów ale umożliwiają dodatkowe fukcje,. formatowaie wykresy, odczytywaie wartości. Po wykoaiu

8 takich fukcji w strukturze okie i wykresów tworzoe są rówież ie tyy obiektów. Poiższy fragmetu skrytu realizuje bardziej uiwersalą formę realizacji oeracji formatowaia F 5: %oeracje formatujące F- set(gcf(), 'Color',[,,]); %biały kolor tła osget(gcf(),'positio'); %odczytaj ozycję i wielkość os(3)30; os(4)80; %os(3)-szerokość, os(4)-wysokość set(gcf(), 'Positio', o; %ustaw ozycję i wielkość tabaxis get(gcf(),'childre') %odczyt idetyfikatorów wykresów (axe for i:size(tabaxis,) if strcm (get(tabaxis(i), 'Tye'), 'axes') %jeśli to wykres (osie) ed %oeracje formatujące F3-4 set(tabaxis(i), 'FotSize', 7) %ois siatki (skali), domyślie: 0 set(tabaxis(i), 'LieWidth', ) %grubość liii siatki, domyślie: 0.5 set(get(tabaxis(i),'title'), 'FotSize', 7,'Color',[0 0 ]) set(get(tabaxis(i),'xlabel'),'fotagle','italic','fotsize', 7) set(get(tabaxis(i),'ylabel'),'fotagle','italic','fotsize', 7) %oeracje formatujące F5 tablie get(tabaxis(i),'childre') %odczyt idetyfikatorów liii for j:size(tablie,) if strcm (get(tablie(j), 'Tye'), 'lie') %jeśli to liia (lie) set(tablie(j),'liewidth',) %ustaw grubość liii ed ed ed Uwaga: Ze względu a fukcje realizowae rzez iterfejsy graficze, oeracja zmiay własości obiektu ie zawsze rzyosi efekt (własości wyświetlaego obiektu mogą być blokowae ze względu a owiązae z iymi obiektami/zmieymi iterfejsu).

9 .. Charakterystyki czasowe aaliza w dziedziie czasu (Time-domai aalysi SISO Charakterystyki czasowe to reakcje układu a ajrostsze wymuszeia, takie jak skokowa lub imulsowa zmiaa wartości wejściowej. Są oe ajbardziej ituicyją formą rzedstawiaia własości dyamiczych układu i oisaia ich za omocą arametrów, takich jak (rys..6): - x k wartość końcowa, sta ustaloy x( t (x s - steady state, fial value) - t u czas ustalaia, regulacji (t s - settlig time) A (M ) - x wartość szczytowa, maksymala 0,9 (eak amlitude) x x k (x s ) - A rzeregulowaie (M overshoo 0, t - t czas ierwszego rzeregulowaia (eak time) t - t r r czas arostu (rise time) tu (t s ) Rys..6. Parametry odowiedzi skokowej Podstawowe fukcje do rysowaia charakterystyk czasowych, to ste() i imluse(). Pozwalają oe arysować wykres lub zaamiętać dae (wektory wartości) do dalszego rzetwarzaia (. do arysowaia za omocą lot()), co zilustrowao a rys..7, rzedstawiającym wykresy dla zdefiiowaego wcześiej modelu ObiektG. Rys..7. Odowiedzi czasowe układu figure; set(gcf(), 'Color',[,,]); %odowiedź skokowa (a dwa sosoby) sublot(); hold o; ste(obiektg); %iebieska liia [y, t] ste(obiektg); lot(t, y, 'g--'); %zieloa -- %odowiedź imulsowa (a dwa sosoby) sublot(); hold o; imulse(obiektg); %iebieska liia [y, t] imulse(obiektg); lot(t, y, 'g--'); %zieloa -- %oeracje formatowaia... Rysowaie wykresu za omocą fukcji lot() wymaga samodzielego wygeerowaia tytułu i oisu osi, ale łatwo moża formatować wykres orzez zmiaę własości obiektów graficzych za omocą oeracji w skrycie (rzykład oiżej). Fukcje ste() i imluse() oza rysowaiem wykresu, automatyczie dodają stadardowy tytuł i ois osi oraz dostarczają dodatkowych fukcjoalości orzez meu kotekstowe, takich jak odczytywaie wartości z wykresu (lewe meu), formatowaie wykresu (rawe meu - Proertie rys..8. figure; set(gcf(), 'Color',[,,]); sublot(); ste(obiektg3); %oeracje formatowaia orzez meu sublot(); [y, t] ste(obiektg3); lot(t, y, 'g--'); grid o title('odowiedź skokowa'); ylabel('wyjście'); xlabel('czas (sek)') %oeracje formatowaia w skrycie... Rys..8. Porówaie fukcjoalości ste() i lot() 3

10 W meu kotekstowym (rawe meu - Characteristic dostęe jest też odczytywaie odstawowych arametrów odowiedzi skokowej/imulsowej (rys..9 rys..). Rys..9. Ocja Steady State - wartość końcowa x k (x s ) Rys..0. Ocja Rise Time - czas arostu t r Rys... Ocja Settlig Time - czas ustalaia t u (t s ) Rys... Ocja Peak Resose - x, A (M ), t W rzyadku odstawowych układów dyamiki moża dość łatwo obliczyć arametry odowiedzi skokowej/imulsowej, oieważ zae są rozwiązaia aalitycze. Na rzykład odowiedź skokowa człou oscylacyjego: ω G(, (-3) s + ξω ω który dla ξ < ma dwa bieguy zesoloe: α± jω, r, gdzie: α ξω, ω r ω ξ, (-4) ma ostać: α t α x e cosωrt+ siωrt ωr Stosując odstawowe metody badaia rzebiegu zmieości fukcji, moża wyzaczyć: ( ) α t α π π x& t e si si ωrt+ ωr ωrt 0 t ω r ωr ω ξ ( (-5) x x( t ) + A + e α π / ω r (-6) Fukcja ste() geeruje odowiedź skokową badaego układu, czyli odowiedź a skok jedostkowy ojawiający się w chwili zero. Aby uzyskać odowiedź a dowole wymuszeie skokowe (rys..3) moża rzeskalować i rzesuąć odowiedź skokową, wykorzystując wektory wartości geerowae rzez fukcję: u0; du; %arametry wymuszeia skokowego [y, t] ste(obiektg); lot(t, u0+y*du); Rys..3. Parametry wymuszeia skokowego W owszych wersjach Matlaba moża zdefiiować arametry wymuszeia skokowego (wartość oczątkową, wartość skoku) wykorzystywae rzez fukcję ste() fukcja stedataotios() u0; du; %arametry wymuszeia skokowego stedataotios(); %odczytaie arametrów ocje stedataotios('iutoffset',u0); ocje stedataotios('steamlitude',du); ste(obiek; u0 u du t W owszych wersjach Matlaba (której? w wersji R00 jeszcze ie ma takiej możliwości) 4

11 Alteratywą dla zastosowaia fukcji ste() i imluse(), które zwracają dae (wektory wartości), są fukcje stelot() i imluselot(), które zwracają idetyfikatory (uchwyty) do arysowaych wykresów. Są oe rzezaczoe do wykorzystaia rzez fukcje setotios() i getotios() umożliwiające formatowaie wykresów...3 Położeie bieguów i zer Bieguy układu (ierwiastki miaowika trasmitacji, ierwiastki rówaia charakterystyczego) oraz zera układu (ierwiastki liczika trasmitacji) są ajbardziej ierwotą formą oisywaia własości dyamiczych, oieważ odwołują się do arametrów fukcji, która jest rozwiązaiem rówaia różiczkowego oisującego układ. Podstawowa fukcja do rzedstawieia bieguów i zer a łaszczyźie zesoloej, to zma(). Za jej omocą moża arysować te arametry lub zaamiętać wektor z bieguami i wektor z zerami, do dalszego rzetwarzaia (. do arysowaia za omocą lot()). Te dwie możliwości zilustrowao a rys..4, rzedstawiającym wykres dla modelu ObiektG, który ma dwa bieguy -0,5 i -0,5 oraz jedo zero o wartości -. figure; set(gcf(), 'Color',[,,]); % bieguy 'x' i zera 'o' (a dwa sosoby) zma(obiektg); %iebieskie grid off [P, Z] zma(obiektg); lot(real(p),imag(p), 'g+'); %zieloe lot(real(z),imag(z), 'go'); %zieloe %oeracje formatowaia... Rys..4. Położeie bieguów (x) i zer (o) Fukcja zma() ie tylko rysuje bieguy i zera, ale też dodaje stadardowy tytuł i ois osi, rysuje dodatkową siatkę, a orzez meu kotekstowe dostarcza takich fukcjoalości jak odczytywaie wartości z wykresu (lewe meu), formatowaie wykresu (rawe meu - Proertie - rys..5. Na rys..6 rzedstawioo iterretację dodatkowej siatki a rzykładzie układu oscylacyjego ObiektG3 o astęujących arametrach:, -0.04±j0.097, ξ 0.4, ω 0... ω γ ω r α Rys..5. Fukcjoalości zma() Rys..6. Iterretacja dodatkowej siatki Iterretacja tej siatki wyika z arametrów człou oscylacyjego (-4) i relacji geometryczych: r ( ξω) + ( ω ξ ) ω α + ω, α ξω siγ ξ α + ωr ξ ω + ω ( ξ ) To ozacza, że: - ółokręgi siatki odowiadają stałym wartościom ulsacji ω (Frequecy rad/sec), - ółroste ze środka układu odowiadają stałej wartości tłumieia ξ (Damig).. (-7) 5

12 Poieważ zaa jest ostać odowiedzi skokowej człou oscylacyjego (-6), to a odstawie tłumieia moża wyzaczyć rzeregulowaie (Overshoo...4 Charakterystyki częstotliwościowe aaliza w dziedziie częstotliwości (Frequecydomai aalysi SISO 'yquist','bode','ichols' 6