( ) ( ) 0. ( x) )... są wielomianami stopnia m = n + r + 1. INTERPOLACJA HERMITE A. Gdzie hkihk

Transkrypt

1 INERPOLCJ N czy poleg zde terpolc? Zde terpolc est wyzczee przyblżoyc wrtośc fukc w puktc e będącyc węzł orz oszcowe błędu tyc przyblżoyc wrtośc.w ty celu leży zleźć fukce p( zwą fukcą terpolcyą którą w węzłc terpolc przyuey tke se wrtośc co fukc f(. Dl pełego zdefow zd terpolc leży eszcze określć zbór w który szuky fukc p( spełące wruk terpolc. Jk est wpływ rozeszcze węzłów dokłdość terpolc? Wrz ze wzroste lośc węzłów błędy powy leć dl odpowedc etod. N czy poleg zbeżość procesu terpolc? Dl odpowede fukc us być dobr odpowed etod orz wrz ze wzroste lośc węzłów powy leć błędy. by zerzyć dokłdość terpolc leży :Zwększyć lość węzłów dobrć odpowedą etodę dobrć odpowede rozeszczee węzłów. INERPOLCJ INERPOLCJ WIELOMINOW Iterpolc weloow: My węzłów wrtośc. Stopeń welo u - f ( Welo est postc: W ( k k k Żeby oblczyć współczy. y puktów. to speł ukłd rówń orlyc; y... y y Mcerz Vderoude Jeżel det y edo rozwze INERPOLCJ WIELOMINOW OPISZ MEODĘ INERPOLCJI LGRNGE Zde terpolcye Lgrge poleg poleg zlezeu welou L spełącego dl zdyc węzłów (... X X wrtośc (f f...f L wruk : ( f dl << lgoryt sprowdz sę do wykorzyst we postc rozwąz tego zd zpsego stępuąco : ( (... ( ( +... ( L ( y ( (... ( (... ( + OPISZ MEODĘ INERPOLCJI LGRNGE INERPOLCJ NEWON My (+ pr węzłów któryc buduey wzór terpolc Newto z poocą lorzów różcowyc. Ogóly wzór: f b + b ( b (... ( by wyzczyć kolee b podstwy. INERPOLCJ NEWON INERPOLCJ ODWRON Poleg wyzczeu wrtośc zee ezleże które odpowd d wrtość fukc e występuąc w tblcy wrtośc. Po wyzczeu tyc wrtośc stosuey któryś ze zyc wzorów terpolcyyc zeąc esc zee y w tblcy we wzorze. INERPOLCJ ODWRON INERPOLCJ HERMIE Przypdek terpolc z poocą welou W ( stop + r + który w węzłc od do przyue wrtośc y do y f-c f( orz w pewyc węzłc od do r (r < wrtośc od y do y r pocode f-c f (. r W ( yk k ( + y k k ( k k Gdze kk są welo stop + r +. INERPOLCJ HERMIE OPISZ MEODĘ INERPOLCJI FUNKCJĄ SKLEJNĄ. W przedstwoyc powyże lgorytc terpolc zkłdo że stee ed fukc terpolcy w cły przedzle <b>. Przy ty złożeu edyą etodą uzysk lepszego przyblże est zwększe stop welou terpolcyego. Moż edk podzelć przedzł <b> N częśc tz. < <...< b W kżdy z przedzłów < +> ożey przeprowdzć terpolcę ą fukcą stote est przy ty by był to fukc cągł wrz z odpowed pocody cły przedzle <b>. Fukce o tyc syc włsoścc zywą sę fukc skley. Zdowe fukc skleyc stop spełące wruk terpolc s( f dl gdze fukc s( leży C ( [ ] podto spełą wruk : s Π s s - ( ( ( - dl - Wruk te oż zpsć w postc ukłdu rówń lowyc z cerzą trodgolą. OPISZ MEODĘ INERPOLCJI FUNKCJĄ SKLEJNĄ. OPISZ MEODĘ INERPOLCJI HELIEGO. Jest to etod kostrukc wyere fukc terpoluące spełące wruk: P( /Q( f dl \< \< P leży? l Q leży? gdze / l Rozwąze postć ułk łńcucowego. Współczyk tego ułk są zdowe podstwe tblcy odwrotośc lorzów lczoyc według wzoru: ( o... l ( - / [( o... l (( o... l ] Rozwąze oże e steć gdy którś odwrotość lorzu różcowego est rów OPISZ MEODĘ INERPOLCJI HELIEGO. UKŁDY RÓWNŃ LINIOWYCH WIERDZENIE CRONECKER-CPELLIEGO Wruke koeczy wystrczący rozwązlośc ogólego ukłdu rówń lowyc est rówość rzędu cerzy W współczyków ukłdu rzędu cerzy uzupełoe U: r r(w r(u Gdy wspóly rząd r tyc cerzy est rówy lczbe ewdoyc to Ukłd r-ń dokłde rozwąze gdy r < to ukłd eskończee wele rozwązń które zleżą od -r dowolyc pretrów. Zwsze r(w <. Gdy rząd r(w <> r(u to ukłd est sprzeczy. WIERDZENIE CRONECKER-CPELLIEGO

2 MEOD ELIMINCJI GUSS Rozwązywe ukłdu rówń lowyc etodą elc Guss przebeg w dwóc etpc: perwszy etp est zywy etpe postępow prostego (etpe elc ewdoyc drug etpe - postępow odwrotego. N etpe postępow prostego wyścowy ukłd rówń zoste przeksztłcoy do postc rówowże (tz. tke któr posd dokłde tke se rozwąz co ukłd wyścowy z trókątą górą cerzą główą ukłdu. Przeksztłcee to est relzowe w krokc. Krok (elc ewdoe z rówń.... Krok (elc ewdoe z rówń ż do wyelow zee - z rów N etpe postępow odwrotego trzeb oblczć kolee perwstk od do. MEOD ELIMINCJI GUSS MEOD ELIMINCJI GUSS Z PEŁNYM WYBOREM ELEMENU PODSWOWEGO Złóży że ukłd rówń rozwązuey etodą elc Guss zostło uż wykoyc k- kroków etpu postępow prostego. Wyścowy ukłd rówń zostł przeksztłcoy do ukłdu postc + ( ( (... ( k kk k ( k k... ( k k k ( ( ( k k ( k ( k lgoryt z peły wybore eleetu podstwowego est stępuący: wyszukuey eleet rs spełący wruek: rs { } k k przestwy w ukłdze rówe r z rówe k orz koluę s z koluą k eluey ewdoą k z rówń k + k + zgode z lgoryte k-tego kroku proste elc Guss. Jeżel det( to żde eleet podstwowy w te etodze e będze rówy zeru. MEOD ELIMINCJI GUSS Z PEŁNYM WYBOREM ELEMENU PODSWOWEGO SCHEM ELYMINCJI GUSS Z CZĘŚCIOWYM WYBOREM ELEMENU GŁÓWNEGO ( [ b] ( k ( k + Postępowe w k-ty kroku. Wybrć r: ( k ( k rk k k. Przestwć wersze k r przestwee zpętć. Oblczyć ( k k k k + k +... ( k kk ( k + ( k ( k k + k +... k + k Oblczyć Osttecze ( ( ( L k ( ( b ( ( b ( ( b SCHEM ELYMINCJI GUSS Z CZĘŚCIOWYM WYBOREM ELEMENU GŁÓWNEGO MEOD GUSS-JORDN W te etodze rozwąze ukłdu rówń lowyc uzyskuey w edy etpe. Podobe k w etodze elc Guss oblcze przebegą w krokc. Krok (elc ewdoe z rówń.... Krok (elc ewdoe z rówń.... Krok 4... k W k-ty (k4.. kroku lgorytu eluey ewdoą k z rówń k- k+ postępuąc podobe k w krokc etody. W kosekwec po -ty kroku otrzyuey ukłd rówń ( (... ( ( reprezetuący gotowe rozwąze ukłdu MEOD GUSS-JORDN

3 ROZKŁD LU.Metod Doolttle : cerz L -k dgol est cerzą trókątą dolą (wrtośc dole U cerz trókąt gór. Współczyk cerzy L U wyzczy lbo ko przyrówe eleetu cerzy z eleete cerzy LU lbo przy użycu etody elc Guss: wyzczee L ( - cerz dgol - k reszt eleetów zer oprócz -te koluy poże de -k. Wrtośc te oblczy ze ( wzoru l gdze ( + bwyzczee cerz (k L (k- (k- przy złożeu że (. pukty wykouey (- rzy pukt b - rzy cerz ( L ( ( L... ( L U (.Metod Crout: cerz U edyk dgol est cerzą trókątą górą cerz L est cerzą trókątą dolą. Współczyk cerzy L U wyzczy ko przyrówe eleetu cerzy z eleete cerzy LU..Metod Colesky ego: cerz U est cerzą trókątą górą cerz L est cerzą trókątą dolą. przy czy l u. Współczyk cerzy L U wyzczy ko przyrówe eleetu cerzy z eleete cerzy LU. ROZKŁD LU.Metod Jcobego: W etodze Jcobego wybery dowoly wektor ( X tworzyy cąg koleyc przyblżeń ( X k ( k... według wzorów ( k b + ( k + ( k Zps cerzy L + D + U gdze L berze eleety pod dgolą D dgol U d dgolą. Wzór cerzowy: ( k + ( k D ( L + U + D B.Metod Jcobego:.Metod Guss-Sedl: W etodze Guss-Sedel wybery dowoly ( wektor X tworzyy ( cąg koleyc przyblżeń X k ( k... według wzorów ( k + ( k + ( k b + Wzór cerzowy: ( k+ ( ( k D L U ( D L B.Metod Guss-Sedl:.Metod SOR: Ogól postć G-S: ( k + k ( k + + b + ( k + k k + σ ( k gdze drug skłdk suy to wyrz korekcyy. drelksc ( k + k + ωσ k ω > bpodrelksc ( k + k k ( ω + ωσ ω ( Gdy oeg to y G-S. Wzór cerzowy: k + k ( ( ( D + ωl [ ( ω D ωu ].Metod SOR: RÓWNNI NIELINIOWE MEOD BISEKCJI Metod bsekc pozwl zleźć zer fukc o eprzyste krotośc w któryc wykres fukc przec oś odcętyc. W etodze te wykorzystue sę fkt że wrtość fukc ze zk w otoczeu tkego zer. Po ustleu przedzłu [b] zwerącego edo tke zero p. etodą tblcow ko kolee przyblżee przyue sę środek przedzłu.wruk: Fukc cągł [b]. Speł wruek że f(f(b<. Posd w przedzle [b] tylko ede perwstek. Metod: Wyzczy środek przedzłu: [ k bk ] środek: + k bk k Jeżel f ( k to y perwstek. eżel róże to: ( k bk esl f ( k f ( bk < ( k bk ( k k esl f ( k f ( k < α ( b k... k k Po -krokc otrzyy przedzł przedzł o długośc /^ (b-. Wrtość przyblżo perwstk d/^(+ (b-. Kryteru d <ε. Postępowe to est kotyuowe tk długo ż osągęt zoste złożo dokłdość przyblże. Mrą dokłdośc oże być długość przedzłu zwerącego poszukwe zero lub wrtość bezwzględ fukc w środku przedzłu. Metod bsekc est zwsze zbeż le z reguły wolesz od pozostłyc etod. MEOD BISEKCJI

4 MEOD SIECZNYCH W etodze seczyc róweż rozpoczy sę od kreśle przedzłu [b] zwerącego zero fukc.wruk: Fukc us być cągł ty przedzle. Speł wruek: f(f(b<. Posd w przedzle [b] tylko ede perwstek poedyczy rów f(. 4 Fukc est klsy C^ przy czy perwsz drug pocod ą stły zk w [b]. Nstępe prowdzo est secz fukc f przecodząc przez krńce przedzłu. Pukt przecęc secze z osą odcętyc est perwszy przyblżee rozwąz. Kolee przyblże wyzcz sę w logczy sposób bdąc przedzł [ ]. Ogóle eśl - są koley przyblżoy wrtośc zer fukc f to : + f( ( - -/(f( f( - est stępy przyblżee. MEOD SIECZNYCH MEOD NEWON Wruk: Fukc us być cągł ty przedzle. Speł wruek: f(f(b<. Posd w przedzle [b] tylko. ede perwstek poedyczy. rów f(. 4 Fukc est klsy C^ przy czy.. perwsz drug pocod ą.. stły zk w [b]. Wybery te krec przedzłu dl któryc zk fukc druge pocode są rówe: f(f (>. Z tego puktu wyprowdzy styczą. + f( /f ( Regul fls de f ( f ( < oblczy wybery p f ( f ( µ f ( f ( + µ + + µ + MEOD NEWON f ( f ( f ( µ > f ( µ < UKŁDY RÓWNŃ NIELINIOWYCH MEOD NEWON-RPHSON Jest to etod tercy o ogóly wzorze: ( k + ( k ( k J ( k ( f ( J to kob w wektorze zpsuey zee. W kobe lość werszy rów est lośc rówń koluy zwerą pocode po zeyc. Do wzoru ogólego podstwy przyblże początkowe stępe. Otrzyuey kolee przyblże perwstków ukłdu. ROZKŁD SVD My dą cerz odwzorow. Wyzczy cerz V. Oblczy [ V λ I ] det Orz wrtośc włse rów. Dl kżde wrtośc włse Wyzczy wektory włse. Otrzye wektory włse stową kolee koluy cerzy V w rozkłdze SVD. by zleźć cerze U D korzysty ze wzoru: v σ u W te sposób wyzczy wektory u stowące kolee koluy cerzy U. Wrtośc sg leżą dgol cerzy D. UDV. ROZKŁD QR Dl cerzy rzeczywste stee ortogol Q trókąt gór R że QR. lgoryt wyzcz rozkłdu QR wyg skończoe lczby operc. W -te terc etody QR: - wyzczy rozkłd QR cerzy Q R R Q - oblczy + Wtedy + RQ Q Q RQ Q Q czyl dokolśy przeksztłce przez podobeństwo z ortogolą cerzą przeksztłce. dąży do cerzy trókąte góre z wrtośc włsy przekąte. MEOD IERCJI????? Poleg stosowu stępuącego wzoru tercyego k + k ( ( ( g Po przyęcu pewego początkowego przyblże otrzyuey cąg koleyc przyblżeń perwstk. MEOD IERCJI?????

5 KWDRUR NEWON-COES Wzory N-C są zbore wzorów cłkow ueryczego zwego róweż kwdrturą. Przyuey że wrtość fukc est z w rówoodległyc puktc dl. Defuey dw typy wzorów: zkęte (które e wykorzystuą wrtośc fukc w skryc puktc otwrte (które wykorzystuą wszystke wrtośc. Zkęty wzór N-C rzędu : b f ( d k k ( k k!( k! f ( gdze : k k b k k + t( t...( t dt t k Moż skostruowć wzory N-C różyc rzędów które ą odpowedo swoe zwy: (perwszy rzd wzór trpezów: b f ( d ( f + f ( błąd etody: f ( ξ (drug rząd wzór / Spso ( f + 4 f + f 5 f 9 błąd etody: (4 ( ξ (trzec rzd etod /8 Spso: ( f + f + f + f 8 5 f 8 błąd etody: (4 ( ξ 4 (czwrty rzd wzor Boole : (7 f + f + f + f + 7 f (6 błąd etody: f ( ξ 945 Otwrte wzory N-C: -rząd + f( ( - -/(f( f( - ( f( błąd: f ( ξ / (f( + f( ( błąd: f ( ξ 4 4 4/ (f( - f( + f( 5 4 (4 błąd: f ( ξ /4 (f( + f( + f( + f( (4 błąd: f ( ξ / (f( - 4f( + 6f( - 4f( 4+f( (6 błąd: f ( ξ 4 Kwdrtury N-C złożoe: Stosue sę e w stępuący sposób: Przedzł cłkow [b] dzely pewą lczbę podprzedzłów. W kżdy podprzedzle stosuey kwdrturę skego rzędu suuey wyk. wzor złozoy trpezów Przedzł cłkow dzely częśc o długośc b W kżdy z tyc przedzłów stosuey wzór trpezów suuey wyk. S( f ( fk + fk + k f + f f gdze : f f ( + + f ( b ( błąd: f ( ξ Wzór złożoy prbol b Dzely przedzł częśc o długośc Przy czy est przyste. W przedzłc [+] [+(-b] o długośc stosuey wzór prbol suuey wyk. S( f ( f k + 4 fk + fk k ( f + f + ( f + f f + 4( f + f f gdze : f f ( + 5 ( b (4 błąd: f ( ξ 4 8 KWDRUR NEWON- COES CO NZYWMY RZĘDEM MEODY ROZWIĄZNI RÓWNŃ RÓŻNICZKOWYCH? Jeżel przez r + ( ozczyy różcę poędzy wrtoścą dokłdą y(t + e przyblżee podstwe wrtośc dokłde y(t trktuąc ko fukcę rozwey w szereg to y: r + ( r +( + r +( + /! r +( +... Metod est rzędu p eżel dl kżdego zgde początkowego: r +( ; r ( +( dl...p; r (p + +( <> Dl etody Rugego-Kutty wększy rząd p k oż uzyskć dl etody - etpowe to: p dl 4; p dl 567; p - dl 89; p< dl > Nprostsze spośród etod Rugego- Kutty to etody:- w Euler- odyfkc et. Euler- Rugego- Euler Cucy ego -Heu- Rugego Kutty. CO NZYWMY RZĘDEM MEODY ROZWIĄZNI RÓWNŃ RÓŻNICZKOWYCH? OMÓWIĆ RÓŻNICE POMIĘDZY MEODĄ JEDNOKROKOWĄ WIELOKROKOWĄ ROZWIĄZNI RÓZNŃ RÓŻNICZKOWYCH Metody rozwązń rówń różczkowyc dzel sę edo welokrokowe. W etodc edokrokowyc do oblcz kolee wrtośc przyblżoe y w puktc t wykorzystuey tylko przyblżoe y - oblczoe w bezpośredo poprzedzący kroku. W etodze welokrokowe wykorzystuey przyblże oblczoe w klku koleyc bezpośredo poprzedzącyc krokc. Metody welokrokowe są określoe tylko dl stłego kroku cłkow.

6 WYJŚNIĆ POJĘCIE SBILNOŚCI ROZWIĄZNI RÓWNNI RÓŻNICZKOWEGO Stblość bsolut etody różczkowle zleży od wyboru zgde początkowego tkże od długośc kroku cłkow. by łtwe określć zkres dopuszczlyc z długośc kroku określy tzw. obszr stblośc bsolute etody t. obszr płszczyze zespoloe wyzczoy przez wszystke lczby λ spełące wruek stblośc bsolute dl de etody. Część wspólą obszru stblośc bsolute os Re zywy przedzłe stblośc bsolute. Metod uerycz est bsolute stbl dl de długośc kroku cłkow eżel zstosowe te etody do lowego ukłdu stblego de cąg rozwązń przyblżoyc y zbeży do zer gdy dąży do eskończoośc dl cost. Jeżel dl de długośc kroku cłkow wruk gwrtuące stblość e są spełoe to po wykou ewelke lczby kroków rozwąz przyblżoe ogół gwłtowe rosą dąc tzw. lwę błędów. W celu ukęc lwy błędów leży odpowedo zeszyć krok cłkow. Jeżel ukłd est edobrze uwrukowy ożlwe est że wyge będze stosowe brdzo łe długośc kroku cłkow. WYJŚNIĆ POJĘCIE SBILNOŚCI ROZWIĄZNI RÓWNNI RÓŻNICZKOWEGO OMÓWIĆ N CZYM POLEG SEROWNIE DŁUGOŚCIĄ KROKU W PROCESIE ROZWIĄZYWNI RÓZNNI RÓŻNICZKOWEGO Metody uerycze rozwązyw rówń różczkowyc polegą oblczeu ze ze wrtośc przyblżoe y wrtośc stępe y +. DEFINICJ:Jeśl przez ozczyy dowoly cąg rytetyczy rosący { } lczb z przedzłu <b> w który poszukuey rozwąz rów to zwey długoścą kroku cłkow. SEROWNIE DŁUGOŚCIĄ KROKU Dostosowywe długośc kroku do ktulyc wyków oblczeń. Dokoue sę tego podstwe oszcow błędu loklego (powstłego w -ty procese oblczeowy. Jeśl początku rozwąz przyęlśy ustloy błąd grczy poże którego rozwąze uzy z dokłde oszcowy błąd lokly est od błędu grczego eszy oż zwększyć długość kroku cłkow. Jeśl tost błąd lokly est wększy od przyętego błędu grczego krok cłkow leży zeszyć. Zcodz bowe twerdzee: WIERDZENIE: Przy zeszu kroku oszcowe błędu w ustloy pukce dąży do zer w ty stopu co tz.: DOWÓD Poęty. OMÓWIĆ N CZYM POLEG SEROWNIE DŁUGOŚCIĄ KROKU W PROCESIE ROZWIĄZYWNI RÓZNNI RÓŻNICZKOWEGO PODJ KRYERIUM WYBORU POCZĄKOWEGO PRZYBLIŻENI ZER DL MEOD INERCYJNYCH Rów postc f( brdzo często rozwązue sę w sposób przyblżoy etod koleyc przyblżeń perwstk spełącego to rówe. Rozwązywe poleg węc tworzeu cągu lczb... zwyc koley przyblże perwstk ξ. Metody te oż podzelć dwe grupy etody edokrokowe w któryc do zleze + przyblże ξ potrzeb est zoość przyblże orz etody welokrokowe w któryc dl zbudow + przyblże koecz est zoość klku poprzedc. Podstwowy wruke k pow spełć etod koleyc przyblżeń przeksztłcoego rów f( do postc: g( (wówczs est to etod tercy est zbeżość cągu... do perwstk ξ. Mów sę wówczs że etod est zbeż. WIERDZENIE:Jeśl w otoczeu ξ < perwstk ξ rów g( zcodzą erówośc: ( ( ξ g q < g to dl kżdego z tego otocze etod tercy est zbeż. (Zbeży est do ξ cąg koleyc przyblżeń. PODJ KRYERIUM WYBORU POCZĄKOWEGO PRZYBLIŻENI ZER DL MEOD INERCYJNYCH

7 CO WIESZ O MEODZIE LEHMER_SCHUR ZNJDOWNI ZER WIELOMINU Metod Leer-Scur uożlw oblczee zer welou o współczykc zespoloyc.wyke tyc oblczeń est okrąg płszczyźe zespoloe o złożoy proeu zwerący co e edo zero welou. Środek tego okręgu est przyblży zere.ccąc wyzczyć kolee zero leży wykoć deflcę welou do otrzyego w tk sposób welou ższego stop poowe zstosowć etodę Leer-Scur. Kryteru sprwdzące stee zer w kole edostkowy: f ( z z + z + + z + f ( z z + z + + z + Re( I( [ ] : [ f ( z ] f ( z f [ f ( ] f ( f ( ( z [ f ( z ] [ [ f ( z ] [ f ( z ] [ [ f ( z ] Czy f (? K to perwstek NIE to B [ f ( ] < B Czy K perwstek w kole edostkowy NIEtoC C Oblczyć [ f ( z ] k ż do uzysk k [ f ( ] < (wtedy stee perwstek w kole edostkowy lub k [ f ( ] (wtedy żde perwstek e leży wewątrz koł edostkowego eśl k [ f ( z ] est stłą Jeżel welo f ( z zero wewątrz koł z c r to welo g ( z f ( rz + c zero wewątrz koł edostkowego ( g ( z oże eć współczyk zespoloe. CO WIESZ O MEODZIE LEHMER_SCHUR ZNJDOWNI ZER WIELOMINU DZIELENIE WIELOMINÓW??? Czyk lowy: f ( z z + z + + z + ( z z ( b z + b b b + z b Czyk kwdrtowy: f ( z z + z + + z z + + b z + b + R( z k... k k + k + R( z + z b ( z + rz + q ( b z + b z b b b rb b z + b + ( r q z + B( r q qb k... k k+ k+ k+ ( r q rb qb B( r q o qb DZIELENIE WIELOMINÓW???? N CZYM POLEG ZDNIE PROKSYMCJI Wele zdń rozptrywyc w etodc ueryczyc poleg proksyc (cze przyblżeu fukc z poocą weloów. proksycą edostą zywy proksycę fukc z przestrze C( fukc rzeczywstyc cągłyc w ustloy zborze dokęty lczb rzeczywstyc z orą ƒ ƒ(. N CZYM POLEG ZDNIE PROKSYMCJI CO O JES BŁĄD PROKSYMCJI Ozczy przez Π podprzestrzeń przestrze C( złożoą z wszystkc weloów co wyże -tego stop. Dl kżde fukc ƒ C( stee dokłde ede tk welo p ƒ Π że zcodz erówość ƒ-p ƒ <lub ƒ-q dl dowolego welou q Π. Welo p ƒ zyw sę - ty weloe optyly dl fukc ƒ zborze welkość E (ƒ ƒ-p ƒ -- -ty błęde proksyc optyle. CO O JES BŁĄD PROKSYMCJI JK MOŻEMY ZWIĘKSZYĆ DOKŁDNOŚĆ PROKSYMCJI Dokłdość proksyc ożey zwększyć poprzez zę lczby (wększ lczb eszy błąd. Wtedy błąd proksyc optyle e przekrcz pode lczby dodte eps postc ^(- gdze est lczbą dodtą. JK MOŻEMY ZWIĘKSZYĆ DOKŁDNOŚĆ PROKSYMCJI N CZYM POLEG PROKSYMCJI SUMĄ CZĘŚCIOWĄ SZEREGU POĘGOWEGO proksyc suą częścową szeregu potęgowego poleg wyborze welou który podczs wykoyw progru porówy est z -ty weloe optyly odcku [-]. W te etodze weloe przyblżący est -t su częścow rozwęc fukc w szereg potęgowy. N CZYM POLEG PROKSYMCJI SUMĄ CZĘŚCIOWĄ SZEREGU POĘGOWEGO N CZYM POLEG PROKSYMCJ POPRZEZ INERPOLCJĘ W ZERCH (+-go WIELOMINU CZEBYSZEW proksyc poprzez terpolcę w zerc (+-go welou poleg wyborze welou który podczs wykoyw progru porówy est z -ty weloe optyly odcku [-]. W te etodze weloe przyblżący est welo terpoluący fukce w zerc (+-go welou Czebyszew t. w puktc cos ( k + ( k + π k... dl N CZYM POLEG PROKSYMCJ POPRZEZ INERPOLCJĘ W ZERCH (+-go WIELOMINU CZEBYSZEW

8 JKIE ZNSZ MEODY ZWIĘKSZNI DOKŁDNOŚCI WYZNCZNI CŁKI Rozróży stępuące etody dokłdośc wyzcz cłk : -etodę prostokątów :prwego końc puktu środkowego lewego końc -etodę trpezów -etodę Spso. JKIE ZNSZ MEODY ZWIĘKSZNI DOKŁDNOŚCI WYZNCZNI CŁKI JKIE ZNSZ PRZYCZYNY POWSWNI BŁĘDÓW W OBLICZENICH NUMERYCZNYCH Błędy etody błąd oblcz błąd przy wprowdzu dyc ł dokłdość wyków JKIE ZNSZ PRZYCZYNY POWSWNI BŁĘDÓW W OBLICZENICH NUMERYCZNYCH CO O JES I O CZYM MÓWI WSPÓŁCZYNNIK NUMERYCZNEJ POPRWNOŚCI LGORYMU Współczyke uerycze poprwośc lgorytu zyw sę wyrżee:; ( wsp r / ceps y F gdze rb-y est wektore resduu y est uerycze oblczoy rozwąze ceps - dokłdość szyow tz. esz lczb dodt reprezetow w koputerze tk że +ceps>. Jeżel wyrżee to est rzędu lub to przyue sę że lgoryt est uerycze poprwy zlec sę ego stosowe. Rozwąze oblczoe lgoryte uerycze poprwy e us być edk dokłde gdyż ego dokłdość zleży róweż od uwrukow zd. W ogóly przypdku ł or wektor resduu r ozcz że oblczoe rozwąze est obrczoe ły błęde. CO O JES I O CZYM MÓWI WSPÓŁCZYNNIK NUMERYCZNEJ POPRWNOŚCI LGORYMU CO O JES I O CZYM MÓWI WSPÓŁCZYNNIK NUMERYCZNEJ OSOBLIWOŚCI Wcelu zbd uerycze osoblwośc cerzy stosue sę dw kryter. W perwszy porówywe są oduły wrtośc eleetów główyc z lczbą tol (współczyk uerycze osoblwośc cerzy rówą: tolceps. Jeżel odół F któregoś eleetu główego est eszy od tol to przyue sę że cerz est uerycze osoblw. W drug kryteru są porówywe wrtośc szczególe cerzy z tolcepsσ gdze σ ozcz wększą wrtość szczególą cerzy. CO O JES I O CZYM MÓWI WSPÓŁCZYNNIK NUMERYCZNEJ OSOBLIWOŚCI SCHEM -te IERCJI MEODY BIRSOW r r q q Oblczyć b b b rb qb k... k k+ k+ k+ ( r q rb qb B( r q o qb Oblczyć d d dk bk + rdk+ qdk+ k 4... Wrtośc koleego przyblże: r + r d d ( r q q + q qd d + r d B( r q SCHEM -te IERCJI MEODY BIRSOW BŁĘDY ROZWIĄZŃ UKŁDÓW RÓWNŃ LINIOWYCH Nor cerzy dukow przez orę wektorową: sup p. Nec b ( + δ ( + δ b. Wtedy: δ δ( + δ δ δ ( + δ δ δ ( + δ b ( δ b + δb Nec Wtedy: δ δb δ δb δ +. b δb b cod( : Wskźk uwrukow: ε cod(. - dobre uwrukowe. BŁĘDY ROZWIĄZŃ UKŁDÓW RÓWNŃ LINIOWYCH OBLICZNIE WEKORÓW I WROŚCI WŁSNYCH det( si Rówe crkterystycze s + b s + + bs + b Róże wrtośc włse s s lowo ezleżyc prwyc wektorów włsyc s s y y y s w szczególośc Przeksztłcee przez podobeństwo: det P P P s OBLICZNIE WEKORÓW I WROŚCI WŁSNYCH s P

9 WYZNCZNIE WROŚCI WŁSNYCH Z RÓNNI CHRKERYSYCZNEGO Metod Kryłow wyzcz współczyków welou crkterystyczego Z tw. Clley -Hlto + b + + b + b I y b [ y y y y ] y b b WYZNCZNIE WROŚCI WŁSNYCH Z RÓNNI CHRKERYSYCZNEGO PROKSYMCJ LINIOW ŚREDNIOKWDROW fukc przyblż f ( stk węzłów... f f ( de: pukty węzłowe ( f... współczyk wgowe w >... fukce bzowe ϕ (... fukc proksyuąc f ( cϕ ( c szuke stłe tke by ( f ( f w Notc: dl dowolyc fukc f ( g( przy de stce węzłów wsp. wgowyc f g : f ( g( w f g Jeżel to fukce f ( g( zywy ortogoly. f f Jeżel dl to fukce f (... ukłde (rodzą fukc ortogolyc. f f werdzee Jeżel fukce bzowe są lowo ezleże to zde proksyc lowe średokwdrtowe edye rozwąze. Rozwąze to speł ukłd rówń orlyc; ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ c f ϕ c f ϕ c f ϕ WIELOMIN CZYBYSZEW ( cos( rc cos... ( ( + ( ( (... Współczyk wodący welou ( est rówy - dl. ( ( ( Welo + ( + zer. ( k + π k cos k ( + ( (... ( Ukłd weloów est ortogoly względe wg w węzłów które są zer welou ( + + dl dl dl + : Zde weloowe proksyc edoste fukc przyblż f ( stk węzłów... f f ( de: ( f pukty węzłowe fukc proksyuąc być weloe stop co wyże szuke stłe tke by f ( f f (... w. Weerstrss Jeżel fukc f( est cągł w skończoy przedzle [ b] to dl kżdego ε > stee welo P ( stop tk że dl kżdego [ b] f ( P ( < ε P ( f P ( Reszt wzoru terpolcyego: Jeżel fukc f ( cągłe pocode do rzędu + P( est weloe terpolcyy stop to f ( P( f ( +! ( + ( ξ ( gdze ξ est pewy pukte z eszego przedzłu dokętego zwerącego... WIELOMIN CZYBYSZEW Jeżel fukce bzowe są rodzą fukc ortogolyc to rozwąze uprszcz sę do: f ϕ c... ϕ ϕ PROKSYMCJ LINIOW ŚREDNIOKWDROW

10 EKSRPOLCJ IEROWN RICHRDSON Do oblcze pewe welkośc stosue sę etodę ueryczą z pretre. Wyke e dzł est F(. wrtoścą dokłdą est F(. rudośc oblczeowe rosą gdy lee. Zkłdy że zy postć rozwęc ( p < p < p... p p p F( F( ekstrpoluey podstwe klku oblczoyc wrtośc F( F(q- F(q- F(q-... q> Ekstrpolc terow Rcrdso pozwl utworzee F ( F ( F (... cągu fukc którego -ty wyrz rozwęce: p p+ F ( p+... oszcowe błędu ueryczego oblcze f( etod trpezów etod Spso b f ( dz przy + obl. wrtośc ( b f ''( ξ 5 ( 4 ( b f ( ξ 8 4 Błąd dyc weścowyc Błąd zokrągleń w czse oblczeń Błąd etody (obcęc Błąd woszoy przez uproszcze odelu tetyczego Błąd człowek ~ est przyblżee wrtośc dokłde Błąd bezwzględy: ~ Błąd względy: ~ + + ε ( + ε ~ ~ ε ~ ε uogólee wrtośc wektorowe szcowe odułów błędów Sposób oblczeń: d wrtość początkow lczb q> stosue sę wzór rekurecyy: F( q... k k + k pk q k k...f ( Zstosowe do różczkow ueryczego ( f ( f ( + f' ( + f'' ( + f ( + +!! Różc progresyw f ( + f ( ( DP( f' ( + f'' ( + f ( +!! p p p... Różc cetrl f ( + f ( DC ( f ( + f' ( + f'' ( + f!! f' ( f ( f' ( + f'' ( f!! +! f ( 4 ( + f 5! ( 4 ( + EKSRPOLCJ IEROWN RICHRDSON ( ( + ( p p 4 p 6 ( Metody uerycze (lz uerycz uk zuąc sę rozwązywe probleów tetyczyc etod rytetyczy sztuk doboru spośród welu ożlwyc procedur tke któr est lepe dostosow do rozwąz dego zd Przeoszee sę błędów w oblczec ueryczyc. lz bezpośred krok po kroku: y~ 4.4 poprwe zokrąglo węc 4. 5 < y < y <.5. 5 ε y < y~ < y <. 95 y <. 9 ε y <.57 ~. poprwe zokrąglo węc. 5 < <. 5 <.5. 5 ε < y~ l( ~ + y~ < l( + y <. 575 y <.5 ε y <.. Wykorzyste podstwowyc wzorów ~ ε ~ ε Iloczy: y ~ ~ ( + ε ( + ε ( + ε ( + ε ε ε y y ~ ( + ε ( + ε + ε ε y y ε + Perwstek: ε Ilorz: ~ ( + ε ( + ε ( ε ε ε y ε ε ~ ( + ε ( + ε ( + ε Su: y ± ~ ± ~ ( + ε ± ( + ε ε ε ε y ± ± ± ± ±. Metod przyblżo (... ~ ( ~ ~... ~ y ( y y( ~ y( y y ( ~ y y < ( ~ y y y ε y ( ~ ( ~ ε y y y y ε y < ( ~ ε y y~ l( ~ + y~ < l( + y <. 575 y <.5 ε y <. ε y <.4 etodą przyblżoą ε