TEORIA PORTFELA MARKOWITZA

Transkrypt

1 TEORIA PORTFELA MARKOWITZA Izabela Balwerz 28 maj Wstęp Teora portfela została stworzona w 1952 roku przez amerykańskego ekonomstę Harry go Markowtza Opera sę ona na mnmalzacj ryzyka nwestycyjnego przy jednoczesnej maksymalzacj stopy zwrotu Zakłada ona, że nwestorzy postępują racjonalne, zawsze podejmując decyzje take, aby otrzymać najwększy zysk przy ustalonym pozome ryzyka, o którym sam decydują Teora portfela dała początek welu nowym sposobom analzy paperów wartoścowych Przestano rozważać jedyne pojedyncze akcje, a zaczęto skupać sę na ch zestawe, czyl tzw portfelu Zróżncowane jego zawartośc wpływa bowem na całkowte ryzyko, które jest tym mnejsze m wększa jest dywersyfkacja (ryzyko pojedynczych akcj jest wększe nż ryzyko całego portfela, składającego sę z nch) W mojej pracy przedstawam ujęce matematyczne problemu doboru walorów, składających sę na optymalny portfel 2 Optymalny portfel o neskorelowanych walorach Rozpatrzmy najperw portfel, w którym wszystke walory są neskorelowane Oczywśce to przyblżene jest bardzo duże, gdyż w rzeczywstośc na ceny akcj ma wpływ wele różnych czynnków tylko wedza nwestora umożlwa przewdzene, le wynoszą te wartośc Spróbujmy znaleźć komproms pomędzy ryzykem a oczekwaną stopą zwrotu W tym celu wprowadźmy najperw odpowedne oznaczena welkośc Rozważmy zbór o M różnych ryzykownych walorach X, = 1,, M jeden walor bez ryzyka X 0 (o zerowej warancj) Ilość walorów w portfelu wynos opowedno n, a ch początkowa wartość x 0 Całkowta wartość portfela wynos węc w chwl początkowej W = M =0 n x 0 W praktyce częścej używa sę wag walorów w portfelu zdefnowanych jako: p = nx0 W, które są znormalzowane: M =0 p = 1, przy czym p mogą być ujemne Wartość portfela w chwl T wynos: S = M =0 n x (T ) = W M =0 p x (T ) x 0 Ponadto przyjmujemy, że średna stopa zwrotu m jest znana Wyznaczene jej jest jednak trudne aby otrzymać dobrą statystykę potrzeba paru lat obserwacj gełdy Stąd m należy bardzej rozumeć jako spodzewany przyszły

2 zysk, który jest szacowany na podstawe nformacj posadanych przez nwestora Może sę węc on różnć Powstaje węc pytane, jak stworzyć optymalny portfel, dostosowany do różnych możlwych wartośc m 21 Walory opsywane rozkładem Gaussa 211 Portfel zawerający walory ryzykowne oraz jeden walor o zerowym ryzyku Jeśl założymy, że ryzyko wartośc akcj X po czase T podlega rozkładow Gaussa, to cały portfel równeż podlega temu rozkładow Średn przyrost wartośc portfela m p jest dany jako: m p = p m = m 0 + p (m m 0 ), =0 gdyż M =0 p = 1 Poneważ walory X są nezależne, to całkowte ryzyko zwązane z zanwestowanem w portfel (w przypadku gaussowskm jest to warancja) wynos: σ 2 p = p 2 σ 2, poneważ σ 2 0 = 0 z założena Znalezene optymalnego portfela sprowadza sę do mnmalzacj ryzyka (warancj σ 2 p) przy danym średnm przyrośce wartośc portfela (średnej stope zwrotu) lub maksymalzacj zysku, zakładając jakeś ryzyko Można to osągnąc stosując metodę mnożnków Lagrange a: (σ 2 p λm p ) p p=p = 0 Oblczając tę pochodną otrzymujemy: czyl gdze 2p σ 2 = λ(m m 0 ), p = λ(m m 0 ) 2σ 2, ( M ) 1 (m m 0 ) 2 λ = 2(m p m 0 ) σ 2 2

3 Ryzyko dla całego portfela jest dane przez: σ 2 p = λ2 4 (m m 0 ) 2 σ 2 ( M ) 1 = (m p m 0 ) 2 (m m 0 ) 2 σ 2 Ostatne równane wyznacza na wykrese zależnośc średnego zysku m p od ryzyka σ 2 p parabolę, zwaną grancą efektywnośc Leżą na nej optymalne portfele, a pod ną zaś te, które równeż są dostępne, ale są bardzej ryzykowne Ponad parabolą znajdują sę nedostępne portfele Ilustruje to ponższy rysunek: Rysunek 1: Wykres zależnośc stopy zwrotu od ryzyka 212 Portfel zawerający tylko walory ryzykowne Tutaj średn przyrost wartośc portfela m p jest dany jako: m p = p m, gdyż M p = 1 Całkowte ryzyko zwązane z zanwestowanem w portfel wynos: σ 2 p = p 2 σ 2 3

4 Ponowane stosujemy metodę mnożnków Lagrange a z dodatkowym współczynnkem: ( ( M )) σp 2 λm p λ p 1 = 0 p Stąd czyl 2p σ 2 = λm + λ, p = λm + λ 2σ 2 p=p 213 Efektywna kontrola lczby walorów w portfelu Ważną kwestą jest zróżncowane portfela w celu mnmalzacj ryzyka Naturalną rzeczą jest, że jeśl mamy w portfelu węcej neskorelowanych walorów, to ponesemy mnejsze straty, nż posadając akcje tylko jednej frmy, która nagle zbankrutowała Dlatego przydatne jest wprowadzene obektywnego sposobu merzena dywersyfkacj portfela, dzęk czemu możemy dostosować tę welkość tak, aby dalej portfel był optymalny W tym celu defnujemy welkość Y 2 = M =0 p2, która reprezentuje średną wagę waloru w portfelu Możemy równeż zdefnować efektywną lczbę walorów w portfelu jako M eff = 1 Y 2, która może być narzucona w celu unknęca zbyt małej lośc walorów w portfelu Ponowne korzystamy z metody Lagrange a otrzymujemy: Stąd czyl ( σ 2 p λm p λ ( M p 1 p ) λ ( 2p σ 2 = λm + λ 2λ p, p = λm + λ 2(σ 2 + λ ) Y 2 )) M p2 p=p = 0 Ogólne welkość Y q zdefnowana jest jako Y q = M =0 (p ) q używana do defncj efektywnej lośc walorów: Y q = M 1 q eff Różnczkując tę welkość po q w punkce q = 1 otrzymujemy mnus entropę, czyl średną lość nformacj 22 Ogony potęgowe Często w rejonach dużych strat (ogonów rozkładów) walory ne podlegają rozkładow Gaussa Dzeje sę tak w przypadku, gdy duże straty lub duże zysk są 4

5 bardzej prawdopodobne nż w przypadku gaussowskm Wtedy mnmalzacja warancj ne jest równoważna mnmalzacj ryzyka Cekawym przypadkem są ogony potęgowe, dla których fluktuacje waloru X opsywane są przez funkcję gęstośc prawdopodobeństwa daną przez: gdze µ > 1 oraz A µ P (η ) = µaµ η 1+µ, to ampltuda w ogonach 221 Portfel zawerający walory ryzykowne oraz jeden walor o zerowym ryzyku Całkowta ampltuda portfela będze równa A µ p = M pµ Aµ oraz prawdopodobeństwo straty na pozome Λ: P = ( Ap Λ )µ Stąd mnmalzacja P wymaga mnmalzacj ampltudy A µ p, nezależne od Λ przy danej stope zwrotu m p Znów stosujemy metodę Lagrange a: ( ) A µ p λm p = 0 p Stąd czyl gdze p=p µp () A µ = λ(m m 0 ), ( ) 1 p λ(m m 0 ) =, µa µ λ = µ(m p m 0 ) ( M (m m 0 ) µ A µ ) 1 µ Prawdopodobeństwo straty (funkcja ryzyka) wyraża sę nastomast następująco: P = 1 ( ) µ ( λ M (m m 0 ) µ Λ µ µ = 1 M ) µ A Λ µ (m p m 0 ) µ (m m 0 ) µ 1 µ µ A Wdzmy stąd, że parabolę otrzymamy dla µ = Portfel zawerający tylko walory ryzykowne Gdy w portfelu mogą znajdować sę tylko akcje ryzykowne to udzały (wag) p poszczególnych walorów będa równe: 1 p µ µ = A A, 5

6 a prawdopodobeństwo straty: P = 1 Λ µ A µ Jeśl wszystke walory mają podobną ampltudę, to okazuje sę, że prawdopodobeństwo dużych strat dla optymalnego portfela jest mnejsze nż prawdopodobeństwo dla każdego waloru osobno o czynnk M 1 µ 3 Portfel o skorelowanych walorach Do tej pory rozważalśmy optymalzację portfela o neskorelowanch akcjach, podlegających rozkładow Gaussa (wtedy mnmalzowalśmy warancję) oraz nnym rozkładom (gdze mnmalzacja ryzyka odbywała sę w bardzej skomplkowany sposób) W rzeczywstośc fluktuacje różnych akcj są slne skorelowane Na przykład krótkotrwały wzrost cen udzałów jednej akcj często prowadz do spadku cen drugej akcj Te zwązk w oczywsty sposób modyfkują zawartość optymalnego portfela jego szukane czyną trudnejszym 31 Fluktuacje rozkładu Gaussa Rozważmy przypadek, gdy fluktuacje η waloru X podlegają rozkładow Gaussa zakładamy jakeś korelacje Są one opsane przez symetryczną macerz kowarancj C j = η η j m m j Ważną własnoścą skorelowanych zmennych gaussowskch jest to, że mogą być one przedstawone, jako kombnacja lnowa nezależnych zmennych Gaussa o wartośc oczekwanej zero warancj σa 2 Wynka stąd, że fluktuacje całego portfela też są gausowske o oczekwanej stope zwrotu: m p = p (m m 0 ) + m 0 (1) warancj σ 2 p = p p j C j Mnmalzację σ 2 p dla ustalonej m p, borąc pod uwagę, że możlwy jest walor bez ryzyka X 0 otrzymujemy metodą mnożnków Lagrange a: co może być zapsane jako: 2 p j C j = ξ(m m 0 ), p = ξ 2 (m j m 0 ) j (2) 6

7 Wynk ten otrzymał Markowtz, za co dostał Nagrodę Nobla Łącząc wzory (1) (2) otrzymujemy ostateczną zależność na średn zysk z optymalnego portfela: m p m 0 = ξ 2 oraz na jego zmenność: σ 2 p = ξ2 4 j (m m 0 )(m j m 0 ) (3) j (m m 0 )(m j m 0 ) = ξ 2 (m p m 0 ) Możemy węc z (3) oblczyć współczynnk Lagrange a, który jest równy: a stąd ξ = 2(m p m 0 ) p = (m p m 0 ) j (m j m 0 )(m m 0 ) j (m j m 0 )(m m 0 ) 1 M 1, (4) j (m j m 0 ) (5) oraz σp 2 = (m p m 0 ) 2 j (m j m 0 )(m m 0 ) 1 (6) Równane (6) na wykrese średnego zysku od ryzyka równeż, jak w poprzednch paragrafach, przedstawa parabolę, na której leżą optymalne portfele Gdy wykluczymy z portfela walor bez ryzyka będzemy mnmalzować ryzyko bez warunku na stopę zwrotu m p całego portfela, to wag walorów będą dane przez: p = M C 1 j M C 1 j Warto zaznaczyć, że przy oblczanu udzałów p w portfelu powstaje problem, wynkający z przekształceń macerzy kowarancj C j, która występuje w powyższych wzorach, jako macerz odwrotna Proces jej odwracana powoduje powstane dużych błędów numerycznych, a co za tym dze wzrostu ryzyka optymalnego portfela Jest jednak sposób, aby wyczyścć macerz korelacj, tak aby mogła ona służyć do konstrukcj efektywnego portfela W tym celu stosuje sę metodę sprowadzana macerzy do jednostkowej 7

8 32 Model Wyceny Aktywów Kaptałowych Z rozważań z poprzednej sekcj wdzmy, że efektywne portfele są do sebe proporcjonalne Oznacza to, że superpozycja optymalnych portfel jest równeż optymalna Jeśl wszyscy agenc gełdow będą posadal efektywne portfele o tej samej stope zwrotu współczynnkach korelacj (co jest właścwe neprawdopodobne), to portfel rynkowy równeż jest optymalny Stwerdzene to jest podstawową zasadą Modelu Wyceny Aktywów Kaptałowych (CAPM), który pozwala zobrazować zależność mędzy stopą zwrotu akcj a jego powązanem z portfelem rynkowym Zależność, która pozwala wylczyć oczekwaną stopę zwrotu wygląda następująco: m m 0 = β (m p m 0 ), gdze m p to stopa zwrotu z rynku, a wspóczynnk β to współczynnk określający udzał ryzyka danego paperu wartoścowego w ryzyku rynkowym Jest on lorazem kowarancj stóp zwrotu m z paperu wartoścowego X portfela rynkowego do warancj stóp zwrotu z portfela rynkowego Stopa wolna od ryzyka m 0 to stopa zwrotu z oblgacj, bądź bonów skarbowych, zaś stopa zwrotu z rynku m p to np stopa zwrotu z ndeksu gełdowego 4 Numeryczne wylczane udzałów p w porfelu W celu sprawdzena metody napsałam program, który na podstawe wzoru (5) z rodzału 31 wylcza udzały poszczególnych walorów w optymalnym portfelu Jako dane wejścowe zadajemy żądaną, procentową stopę zwrotu z całego portfela m p, stopy zwrotu z poszczególnych akcj m, zmennośc każdego waloru σ oraz macerz korelacj walorów c j, z której otrzymujemy macerz kowarancj C j za pomocą przeksztalcena: C j = c j σ σ j Dane te generujemy za pomocą generatora dołączonego do pracy, który zwraca przykładowe lczby m p m z przedzału (0,1) oraz σ : (001,101), gdyż rozpatrujemy sytuację tylko dla wszystkch walorów ryzykownych (σ ne może byś równe 0) Macerz korelacj jest macerzą symetryczną, która składa sę z jedynek na dagonal, a pozostałe lczby są z zakresu (-1,1) Dla dzesęcu walorów w portfelu otrzymałam przy różnych wartoścach na wejścu programu następujące udzały (wag) p : p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p

9 Wdzmy węc, że udzały te mogą być równeż ujemne, czyl w tzw pozycj krótkej Suma wszystch p daje 1 aby portfel był optymalny akcje muszą być dobrane właśne w ten sposób 5 Podsumowane Jak wdzmy z rozważań w pracy, możemy otrzymywać różne optymalne portfele, które będą sę różnły od sebe ryzykem w zależnośc od oczekwanej stopy zwrotu W teor portfela Makowtza każdy nwestor mus zdecydować, jak duże ryzyko jest w stane podjąć dopero wtedy może użyć przedstawonych w pracy narzędz matematycznych do dywersyfkacj portfela Chocaż teora ta jest bardzo pomocna, to jednak dalej najważnejszą kwestą jest wedza dośwadczene nwestora 9