Estymacja przedziałowa

HTML
DOWNLOAD

Wielkość: px

Rozpocząć pokaz od strony:

Download "Estymacja przedziałowa"

Natalia Grabowska
8 lat temu
Przeglądów:

1 Instytut Sterowania i Systemów Informatycznych Uniwersytet Zielonogórski Metody analizy danych ćwiczenia Estymacja przedziałowa Program ćwiczeń obejmuje następująca zadania: 1. Dom handlowy prowadzący również sprzedaż ratalną ustalił, że wśród wylosowanych 81 klientów dokonujących zakupów na raty średnia wielkość jednorazowej sprzedaży wyniosła 680 zł. Z poprzednich lat wiadomo, że odchylenie standardowe zakupów ratalnych wynosi 270 zł. Z prawdopodobieństwem 0.95 należy oszacować przeciętną wielkość sprzedaży ratalnej tego domu handlowego. 2. Pewne niewielkie przedsiębiorstwo brokerskie chec ustalić przeciętne obroty dzienne na podstawie obserwowanych kolejnych 36 dni roboczych. Średnia wartość dzienna zrealizowanej sprzedaży w badanej próbie wyniosła 139 tys. zł., a odchylenie standardowe 12 tys. zł. Z prawdopodobieństwami wynoszącymi odpowiednio 0.95 i 0.99 oszacować przeciętne dzienne obroty sprzedaży w tym przedsiębiorstwie brokerskim. 3. Dla potrzeb oszacowania średniego trwania życia kineskopów pewnej klasy telewizorów wylosowano 7 kineskopów. Poniższe dane są długościami trwania życia wylosowanych kineskopów: tys. godz. Na poziomie ufności 90% oszacować przeciętne trwanie życia kineskopów badanej klasy telewizorów. 4. Odchylenie standardowe dziennej sprzedaży pewnego produktu powszechnego użytku wynosi 70 szt. Przez ile dni powinna być obserwowana sprzedaż tego produktu dla potrzeb oszacowania średniej dziennej sprzedaży, przy poziomie ufności 0.9 oraz błędzie szacunku nie wyższym niż 12 szt.? 5. Zbadano wydajność pewnej odmiany pomidorów na 10 poletkach doświadczalnych. W wyniku przeliczeń otrzymano przeciętną wydajność w tonach na hektar x = 25 oraz s 2 = Przyjmując, że rozkład plonów jest normalny, oszacować metodą przedziałową przeciętne plony na poziomie ufności Na podstawie badań wiadomo, że długowieczność opon pewnego typu ma rozkład normalny N (m, 8000 km). Testowano próbę 64-elementową, dla której wartością średnią jest x = km. Określić przedział ufności dla m na poziomie ufności

2 7. Przyjmuje się, że iloraz inteligencji dzieci w pewnym wieku jest zmienną losową o rozkładzie normalnym N (m, σ). W wyniku testowania próby 10 dzieci otrzymano wartości x = 90 oraz s = 5. Określić przedział ufności dla m na poziomie ufności Inżynier zaprojektował urządzenie do rehabilitacji po przebyciu pewnej choroby. Pacjenci testujący te maszynę potrzebowali następujących czasów ćwiczeń (w godzinach), żeby w pełni dojść do formy: Skonstruować 99% przedział ufności dla oczekiwanego czasu potrzebnego na dojście do formy. 9. Producent baterii testuje nowy typ produktu. Eksperyment polega na podlączeniu każdej baterii nowego typu równolegle z baterią typu starego. Poniższe rezultaty są zaobserwowaną liczbą godzin, przez które nowa bateria pracowała dłużej niż stara: Skonstruować 95% przedział ufności dla średniego czasu dłuższej pracy nowych baterii. 10. Towarzystwo ubezpieczeniowe ustala wysokości odszkodowań dla samochodów w zależności od ich wartości giełdowej. W celu ustalenia takiej wartosći dla Fiata 126 EL z 1997 r. zanotowano ceny 25 transakcji kupna, otrzymując średnią cenę (z marca 1999 r.) równą 9 tys. PLN i odchylenie standardowe 1 tys. PLN. Oszacować metodą przedziałową średnią cenę tego typu samochodu. Przyjąć poziom ufności 1 α = 0, Właściciel przedsiębiorstwa Fitness ma zamiar wprowadzić dodatkowe ćwiczenia gimnastyczne dla swoich klientów. W tym celu zamierza zakupić specjalne urządzenie sportowe. Na podstawie próby wylosowanych 200 klientów tego przedsiębiorstwa ustalono, że 160 osób chciałoby stosować to urządzenie. Oceń z 95% wiarygodnością odsetek wszystkich klientów chcących ćwiczyć na nowym urządzeniu. 12. Właściciel sklepu z artykułami żywnościowymi chce ustalić procent swoich stałych klientów spośród ogółu klientów jego sklepu. Jak liczną próbę powinien wylosować, aby z prawdopodobieństwem 95% maksymalny błąd szacunku nie przekraczał 5%? 13. W ostatnich wyborach prezydenckich w próbie liczącej 120 głosujących w pewnej komisji wyborczej znalazło się 30 osób w wieku 25 lat lub mniej. Z prawdopodobieństwem 98% zbuduj przedział ufności dla odsetka młodych wyborców (25 lat lub mniej) spośród ogółu głosujących w tym obwodzie. 14. W sondażu telefonicznym przeprowadzonym wśród wylosowanych 169 osób firma reklamowa ustaliła, że 48 osób spośród badanych zapamiętało ostatni slogan reklamowy związany z wprowadzeniem nowego produktu na rynek. Z 90% wiarygodnością należy 2

3 oszacować procent widzów telewizyjnych, którzy zapamiętali omawiany tekst reklamy telewizyjnej. 15. Firma produkująca sprzęt komputerowy chce ustalić odsetek przedsiębiorstw będących potencjalnymi nabywcami ich produktu. wiadomo, że szacunkowy procent przedsiębiorstw chcących nabyć komputer tej firmy wynosi około 75%. Co najmniej ile przedsiębiorstw powinno znaleźć się w próbie losowej dla każdego z poniżej podanych maksymalnych błędów szacunku i 95% współczynnika ufności? a) 10% b) 7.5% c) 5% d) 3% Co można powiedzieć o minimalnej liczebności próby w miarę zmniejszania się maksymalnego błędu szacunku? 16. Zakładając, że kwartalne wydatki na reklamę można uznać za cechę o rozkładzie N(µ,σ), wylosowano do próby 100 zakładów usługowych i otrzymano następujący rozkład wydatków na reklamę: Kwartalne wydatki (w tys. PLN) Liczba zakładów Wyznaczyć na poziomie ufności 0.96 przedział ufności dla przeciętnych kwartalnych wydatków na reklamę. Jaka będzie dokładność oszacowania, gdy poziom ufności będzie równy 0.9? Dokonać szacowania odchylenia standardowego wydatków na reklamę, na poziomie ufności Następnie oszacować na poziomie ufności 0.99, jaki procent zakładów usługowych wydaje na reklamę przynajmniej 10 tys. PLN. Jaka powinna być minimalna liczebność próby, niezbędna do oszacowania ww. odsetka zakładów, aby maksymalny błąd szacunku nie przekroczył 2%, jeśli: a) traktujemy dostępne dane jako wyniki wstępnej próby, b) nie mamy żadnych informacji o rzędzie wielkości szacowanego procentu. 17. Na pewnym osiedlu przeprowadzono pomiary powierzchni mieszkań i uzyskano wyniki: Powierzchnia w m Liczba mieszkań Wyznaczyć przedział ufności dla procentu mieszkań o powierzchni powyżej 50 m 2, na poziomie ufności Ile mieszkań należałoby poddać badaniu, aby oszacować procent mieszkań o powierzchni od 40 do 60 m 2 z maksymalnym błędem 5%, na poziomie ufności 0.96? Wyznaczyć 95% przedział ufności dla wartości przeciętnej µ i wariancji σ powierzchni mieszkań na tym osiedlu. 18. Zakładamy, że czas pracy żarówek produkowanych przez firmę POLAM ma rozkład N(750,σ). Na podstawie 16-elementowej próby losowej otrzymano S 2 2 = Wyznaczyć 98% przedział ufności dla odchylenia standardowego czasu pracy żarówek. 3

4 19. Zakładamy, że waga detali ma rozkład normalny. Na podstawie 10 losowo wybranych detali wyznaczono odchylenie standardowe wagi tych detali S = 0.5 kg. Na poziomie ufności 0.98 wyznaczyć przedział ufności dla wariancji detali. Jaki to będzie przedział ufności, gdy (1 α) = 0.9? Ile elementów należałoby dolosować do próby, aby oszacować średnią wagę detalu, z dokładnością do 0.1 kg na poziomie ufności 0.98? 20. Na podstawie 64 losowo wybranych wyrobów z bieżącej produkcji otrzymano średnią liczbę usterek równą 3 oraz współczynnik zmienności 57%. Oszacować metodą przedziałową przeciętną liczbę usterek w produkowanych wyrobach na poziomie ufności Oszacować odchylenie standardowe liczby usterek przyjmując poziom ufności 0.95, założyć rozkład normalny. 4

5 Tabela 1: Rozkład normalny: Wartości funkcji Laplace a Φ(x) = 1 2π x e t2 /2 dt. x Φ(x) x Φ(x) x Φ(x) x Φ(x) x Φ(x) x Φ(x) x Φ(x) Tabela 2: Rozkład Studenta: W r-tym wierszu tablicy podano takie wartości t α, że t α f r (x) dx = 1 α, gdzie: f r (x) gęstość rozkładu Studenta o r stopniach swobody. t α r α = 0.05 α = 0.01 r α = 0.05 α =

6 Tabela 3: Rozkład chi-kwadrat: w k-tym wierszu podano takie wartości χ 2 α, dla których jest spełniony warunek P (χ 2 k χ 2 α) = α, gdzie k - ilość stopni swobody rozkładu P k

Podobne dokumenty

Estymacja parametro w 1

Estymacja parametro w 1 1 Estymacja punktowa: średniej, odchylenia standardowego i frakcji µ - średnia populacji h średnia z próby jest estymatorem średniej populacji = - standardowy błąd estymacji średniej