to prawdopodobieństwo znalezienia układu w objętości dx

Transkrypt

1 Bardzo krótka powtórka z mechak kwatowej ektóre postulaty fukcja falowa Ψ(x,t) opsuje w peł sta układu fzyczego x zespół współrzędych położeowych wszystkch cząstek układu, t czas Ψ * Ψdx = Ψ dx to prawdopodobeństwo zalezea układu w objętośc dx. każdej merzoej (merzalej) welkośc fzyczej A (której merzoa wartość może zależeć od x oraz od t ) odpowada pewe operator A... operatory dzałają a fukcje, w wyku dzałaa AΨ=Φ, jeśl AΨ=aΨ, (a lczba) to Ψ jest tzw. fukcją własą A 3. wykam pomaru welkośc fzyczej A mogą być tylko wartośc włase odpowadającego jej operatora A... wszystke fukcje włase dowolego operatora ( ϕ ), =1... tworzą bazę (fukcyją) w przestrze fukcj (tego typu)... dowolą fukcję opsującą sta układu fzyczego moża przedstawć w postac Ψ = cϕ - rozwęce w baze (aaloga z przestrzeą wektorową)... defuje sę loczy skalary (podobe jak dla wektorów) dwóch fukcj ϕ oraz ϕ j jako < ϕ ϕ j >= * ϕ ϕ dτ j fukcję azywamy uormowaą jeśl

2 ϕ ϕ >= 1 < otacja Draca: ϕ -> ϕ>, ϕ * całka to loczy skalary, < ϕ H ψ >=< ϕ Hψ > gdze Hψ = Φ - jakaś fukcja... -> <ϕ, 4. jeśl układ zajduje sę w stae opsywaym fukcją falową Ψ to prawdopodobeństwo, że w wyku pomaru welkośc fzyczej A otrzymamy welkość a dae jest przez: dodatkowo: P * < ϕ Ψ > = ϕ Ψdτ = 1) jeśl układ fzyczy zajduje sę w stae opsywaym fukcją falową Ψ, to wartośc średej (uzyskaej z welu pomarów) welkośc fzyczej A (dla układu cągle w tym samym stae) odpowada tzw. wartość oczekwaa odpowadającego jej operatora A : A =< Ψ AΨ >= Ψ * AΨdτ ) pęd to wektorowa welkość fzycza p = ( px, p y, pz ) operator pędu też jest welkoścą wektorową, składa sę z trzech składowych operatorów p. p x =, tym samym operator eerg ketyczej (przez aalogę klasyczą) x T mv p = = + + m m x y z = ćwczea fale płaske e fukcje

3 operator położea dzała tak a dowolą fukcję, że po prostu moży ją przez współrzęde położea; ) przemeość komutowae operatorów AB Ψ = BAΨ, [A,B]= jeśl dwa operatory komutują to mają wspóle fukcje włase ćwczea a ogół jede z ch to H operator Hamltoa = eerg całkowtej (hamltoa) a drug to jakś operator symetr układu S, co ozacza to, że układ jest ezmeczy po dokoau a m przekształcea odpowadającego temu operatorow symetr; ajważejszym operatorem jest operator eerg całkowtej układu - operator Hamltoa hamltoa (eerga całkowta zolowaego układu e ulega zmae) jest sumą: - eerg ketyczej wszystkch cząstek układu, - eerg potecjalej oddzaływaa cząstek mędzy sobą (p. kulombowskego oddzaływaa elektroów jąder), - eerg potecjalej oddzaływaa cząstek z zewętrzym polam. H = T + V + V ext Degeeracja Jeśl węcej ż jedej fukcj własej odpowada taka sama wartość własa to mówmy, że ta wartość własa jest zdegeerowaa aczej w klku różych staach daego układu daa welkość fzycza ma taką samą wartość Ćwczea pokazać, że komb. l. staów zdeg. jest st. własym o tej samej E Gdy H = H 1 + H 1 ( 1 1 r1 jeśl zamy rozwązaa (1) (1) () () H Ψ r ) = E Ψ ( ) H Ψ r ) = E Ψ ( ) to fukcje włase eerge H są: (1) () Ψ( r ) = Ψ ( r1 ) Ψ ( r ), E = E1 + E..pokazać ćwczea.. ( 1 r

4 Sp wewętrzy momet pędu cząstek; dla elektrou przyjmuje dwe wartośc ozaczae przez +/- ½ zasada Paulego dwa elektroy e mogą obsadzać tego samego stau kwatowego jedocząstkowego jeśl mają tak sam sp aczej: każdy sta elektroowy może być obsadzoy co ajwyżej przez dwa elektroy o przecwych spach Metody przyblżoe 1. Zasada metoda waracyja jeśl e możemy ścśle rozwązać zagadea HΨ ( r ) = EΨ( r ) to wyberzmy fukcję (uormowaą), która zależy od pewych parametrów { α }, φ (x, α ) zasada waracyja mów, że * E war = Φ HΦdτ E E o - eerga stau podstawowego (stau o ajższej eerg)..udowodć a ćwczeach.. czym φ blższe ψ, tym E war blższe E o metoda waracyja: mów jak dobrać parametry { α }, żeby φ było jak ajblższe ψ, szukamy takch { α }, żeby E war było jak ajmejsze, polega oa a mmalzacj fukcjoału eerg < Φ( x, α) H Φ( x, α) > E ( α) = < Φ( x, α) Φ( x, α) >

5 mmalzacj dokouje sę stadardowo przez przyrówae pochodej E(α) do zera... metoda Rtza odmaa metody waracyjej jeśl wyberzemy φ jako N Φ = cϕ, gdze ϕ - pewe zae fukcje uormowae ortogoale to przyblżea do ścsłych eerg własych H zajdzemy rozwązując układ rówań algebraczych : ( H E I) C = gdze H - macerz hamltoau w baze ϕ C wektor współczyków c, a H j = * ϕ Hϕ dτ j (rozwąć, + term dagoalzacja, trasformacja ortogoala) (macerzowe zagadee włase) SHS T = D w rezultace dostajemy N owych wartośc E (e koecze wszystke róże) ajmejsza odpowada szukaej przyblżoej wartośc własej; pozostałe moża terpretować jako przyblżea do eerg staów wzbudzoych... zapytajmy też czym formale są współczyk rozwęca c możąc Φ z lewej przez ϕ j całkując dostaemy c =< ϕ Φ > j j. Rachuek zaburzeń

6 Jeśl daje sę przedstawć H = H + H ' H - małe w por. z H - tzw. zaburzee (małe?) jeśl zamy rozwązae ( fukcje włase eerge H o, tz. E oraz Φ ), to ψ - możemy szukać w postac rozwęca a φ o, oblczyć poprawk do eerg przesuęca E spowodowae zaburzeem (w coraz wyższych rzędach) kometarz.. E gdze 1 = E + E + E +... E * / ( Φ ) H ' Φ dτ = H =< H ' > = 1 / Hk E = k E Ek schemat wyprowadzea: zapszmy formale H = H + H = H + λw = H + λ( H '/ ) ' λ 1 przedstawmy E ε + λε + λ ε +... oraz ψ = 1 = φ + λφ + λ φ +... gdze ψ jest poszukwaą -tą fukcją własą H H Ψ = EΨ poeważ ezależe od uormowaa ψ zatem możemy zażądać < ψ φ >= 1 (***) (ψ - będze euormowaa - przykład wektorowy...) z uormowaa (***) wyka, ze φ - jest ortogoale do wszystkch poprawek.. wstawając rozwęca do H Ψ = EΨ

7 porówując wyrazy przy takch samych potęgach λ, dostajemy: albo aczej zapsując oczywśce (z założea z perwszego rówaa) - tz. w zerowym rzędze RZ, ε = () ε z drugego rówaa (po pomożeu z lewej przez φ scałkowae dostajemy: ε 1 =< φ W φ azywa sę dagoalym elemetem macerzowym zaburzea wyprowadzee poprawk w II RZ jest bardzej skomplkowae... W przypadku gdy pozomy E są zdegeerowae to RZ w I rzędze ajperw zos degeerację W takm przypadku fukcję zaburzoego hamltoau dla stau -tego rozwja sę w baze fukcj ależących do zdegeerowaej wartośc własej - rachuek sprowadza sę do metody waracyjej Rtza. > Symetre w fzyce Przykłady 1. Sfera symetra sferycza (kulsta) Atom wodoru Hamltoa rówae Schrödgera

8 HΨ ( r ) = EΨ( r ) m d dx + d dy + d dz e r Ψ( r ) = EΨ( r ) r = ( x + y + z ) 1/ środek układu współrzędych a jądrze - obrót wokół os (przechodzącej przez ) o dowoly kąt pozostawa obekt, rówae (hamltoa) jego rozwązae Ψ(r) E ezmeoym p. - obrót o 9 o wokół os Z ( y->x, x-> -y) albo - obrót o 45 o - ćwczea. symetra osowa dowola molekuła dwuatomowa homojądrowa (p. H ) co z heterojądrową? 3. Płaszczyza odbca Np. molekuła etyleu C H 4

9 e płaszczyzy? 4. obrót o kąt π / p. beze C 6 H 6 - =6, π/6=π/3= 6 o a płaszczyzy? co z obrotam dla C H 4? 5. Traslacja (perodyczość) - układ mus być eskończoy (w przyblżeu) polmer, p. polpropyle

10 day układ może być ezmeczy ze względu a wele różych operacj symetr p. atom wodoru - ose obroty (eskończee wele), - płaszczyzy odbca (eskończee wele) o takm układze mówmy, że ma wysoką symetrę p. H - symetra osowa + płaszczyzy odbca p. C H 4 płaszczyzy odbca, ose obrotu o π p. kryształ ose skończoego obrotu, płaszczyzy odbca traslacje układy bez symetr p. bałko (model cząsteczk bałka) symetre to operacje przekształcea - daego układu fzyczego

11 symetre (elemety symetr) przekształcające day układ fzyczy w sebe (e zmeające go) mogą tworzyć tzw. grupy - składae operacj symetr... grupę symetr możemy rozpatrywać w oderwau od układu fzyczego... zbór pewych operacj lub elemetów spełających pewe reguły (składaa łączea operacj) e tylko symetre mogą tworzyć grupy...