Metody symulacji w nanostrukturach (III - IS)

Transkrypt

1 Metody symulacj w nanostrukturach (III - IS) W. Jaskólsk - modelowane nanostruktur węglowych Cz.I wprowadzene do mechank kwantowej Nektóre przyczyny konecznośc pojawena sę kwantowej teor fzycznej (fzyka klasyczna klasyczna teora promenowana ne były w stane wyjaśnć wynków nowych dośwadczeń) - promenowane cała doskonale czarnego, M. Planck, 1900 cało pochłanającego całkowce padające na ne promenowane elektromagnetyczne krzywa kwantowa zgodna z eksperymentem (klasyczne [drgające ładunk oscylatory] przyblżena ne dawały takego wynku w całym zakrese częstotlwośc) Kwantowe wyjaśnene zakłada, że atomy CDC mogą pochłanać lub tracć energę porcjam (kwantam) E = hv - zjawsko fotoelektryczne odkryce Henrch Hertz, 1887, wyjaśnene Albert Ensten, 1905

2 Dośwadczene 1. Śwatło pada na tarczę wybja z nej elektrony. Przyłożony potencjał może przyspeszać elektrony do Kolektora lub hamować (w zależnośc od polaryzacj) zawracać do emtetera. Energa elektronów zawracanych E=eV h NIE ZALEŻY od natężena śwatła. Dośwadczene 2. Zależność E energ elektronów (czyl V h ) od częstośc v lnowa z progem Wnosek Enstena: hν = E + Φ, - dośwadczene Francka-Hertza (1914) Φ praca wyjśca Elektrony w neelastycznych zderzenach z atomam rtęc przekazują m energe w porcjach 4.88 ev spada wówczas natężene prądu anodowego. Wnosek: stany energetyczne atomu rtęc są dyskretne; różnca pomędzy stanem podstawowym a perwszym wzbudzonym wynos 4.88 ev. - fale mater, dyfrakcja elektronów promen X dyfrakcja fal dla fal obserwujemy zjawsko dyfrakcj nterferencj przy przejścu przez podwójną szczelnę

3 podobny obraz otrzymuje sę dla elektronów (!) Gdy za jedną z przesłon ustawmy detektor sprawdzający, przez którą szczelnę przeszedł elektron - oraz dyfrakcyjny (nterferencyjny) ZNIKA! Wnosek: cząstk mater przejawają w nektórych dośwadczenach charakter falowy.

4 Mechanka kwantowa postulaty (aksjomaty) - w skróce 1. funkcja falowa Ψ(x, opsuje w pełn stan układu fzycznego x zespół współrzędnych położenowych wszystkch cząstek układu, t czas Ψ * 2 Ψdx = Ψ dx to prawdopodobeństwo znalezena układu w objętośc dx 2. każdej merzonej (merzalnej) welkośc fzycznej A (której merzona wartość może zależeć od x oraz od t, odpowada pewen operator A... operatory dzałają na funkcje, w wynku dzałana AΨ=Φ, jeśl AΨ=aΨ, (a lczba) to Ψ jest tzw. funkcją własną A 3. wynkam pomaru welkośc fzycznej A mogą być tylko wartośc własne odpowadającego jej operatora A... wszystke funkcje własne dowolnego operatora ( ϕ ), =1... tworzą bazę (funkcyjną) w przestrzen funkcj (tego typu) odpowadające m wartośc własne to a... dowolną funkcję opsującą stan układu fzycznego można przedstawć w postac Ψ = cϕ - rozwnęce w baze (analoga z przestrzeną wektorową)... defnuje sę loczyn skalarny (podobne jak dla wektorów) dwóch funkcj ϕ oraz ϕ j < ϕ ϕ j >= jako * ϕ ϕ dτ funkcję nazywamy unormowaną jeśl < ϕ ϕ >= 1 j

5 notacja Draca: ϕ -> ϕ>, ϕ * -> <ϕ, całka to loczyn skalarny, < ϕ H ψ >=< ϕ Hψ > gdze Hψ = Φ - jakaś funkcja jeśl układ znajduje sę w stane opsywanym funkcją falową Ψ to prawdopodobeństwo, że w wynku pomaru welkośc fzycznej A otrzymamy welkość a dane jest przez: dodatkowo: P 2 2 * < ϕ Ψ > = ϕ Ψdτ = 1) Jeśl układ fzyczny znajduje sę w stane opsywanym funkcją falową Ψ, to wartośc średnej (uzyskanej z welu pomarów) welkośc fzycznej A (dla układu cągle w tym samym stane) odpowada tzw. wartość oczekwana odpowadającego jej operatora A : A =< Ψ AΨ >= Ψ * AΨdτ p = 2) pęd to wektorowa welkość fzyczna ( x, y, z ) operator pędu też jest welkoścą wektorową, składa sę z trzech x składowych operatorów np. p x =, tym samym operator energ knetycznej (przez analogę klasyczną) T mv p = = m 2m x y z = 2 5. funkcja falowa spełna równane Schrödngera - zależne od czasu 2 p p p

6 Ψ( x, h t = HΨ( x, dla układu złożonego z n cząstek x = (x 1, x 2,, x n ) a każde x = (x,y,z ) -nezależne od czasu, HΨ ( x, = EΨ( x, (1) gdze H operator energ całkowtej układu, H = T + V, V operator energ potencjalnej Jeśl V ne zmena sę w czase, tzn. V=V(x), to stany własne H czyl Ψ( x, t ) = Ψ( x stany układu fzycznego to stany stacjonarne ) ( 1 ) jest de facto równanem różnczkowym. rozwązane wymaga nałożena na ψ warunków brzegowych, to one powodują, że rozwązanem (1) może być dyskretny zbór E, Ψ najprostszy przykład: cząstka w jednowymarowej studn potencjału Warunk ogólne dla ψ wynkające z nterpretacj probablstycznej: mus być wszędze skończona, mus znkać w ±, mus być w zasadze kwadratowo całkowalna;

7 Warunk brzegowe dla neskończonej studn: ( 0) = Ψ( ) = 0 także dla x < 0 oraz x > L; te warunk powodują, że (1) ma tylko take rozwązana h n 8mL Ψ L, 2 2 E n = 2, n lczba kwantowa, a odpowadające funkcje h = 6,6 x J.s Przejśca kwantowe tylko o określonej energ absorpcja emsja fotonu o energ hν = E n E m kwadraty ψ n (gęstośc prawdopodobeństwa) wyglądają tak: te prawdopodobeństwa przypomnają fale

8 podobne jest dla atomu wodoru, molekuły tp zwróćmy uwagę na znaczene skal : m, L h Atom wodoru Masa jądra M (protonu) >> masy elektronu, m przyblżene neskończene cężkego neruchomego jądra; Hamltonan dla elektronu w atome wodoru e HΨ( r, = EΨ( r, V ( r) =, r, Pozomy energetyczne 4 me ε h 0 n Degeneracja - węcej różnych stanów dla tego samego n, ozn. przez l - orbtalna lczba kwantowa (zwązana z nezmennczoścą H przy obrotach) Dla danego n stanów jest kolejno: 1, 1+3, 1+3+5,. ( x 2 gdy dodamy spn) rozkłady radalnej gęstośc dla kolejnych pozomów energetycznych 1s 2s, 2p 3s, 3p, 3d

9 Atomy weloelektronowe Tu energe zależą od n od l 1s, 2s, 2p, 3s, 3p, 3d,.. dla wyższych n odstępstwa spowodowane oddzaływanem medzy elektronam Symetra (w najwększym skróce) Układ fzyczny może być nezmennczy ze względu na pewne operacje symetr; Np. molekuła dwuatomowa homojądrowa (obroty wokół os, odbce w płaszczyźne prostopadłej do os w połowe wązana,.) Np. neskończony kryształ (symetra translacj = przesunęca o wektor sec) Jeśl układ jest nezmennczy, to opsujący go hamltonan H też jest nezmennczy Każdej operacj symetr odpowada pewen operator S Nezmennczość H względem operacj symetr prowadz do tego, że operatory, te komutują: [H,S]=0=HS-SH (kolejność dzałana na funkcje). Łatwo pokazać, że take dwa operatory mają wspólne funkcje własne, a zatem funkcje falowe opsujące stany układu będą musały: a) odzwercedlać symetre zwązane z operatoram S b) być ndeksowane dodatkowym lczbam kwantowym zwązanym z wartoścam własnym S