PODSTAWY OPRACOWANIA WYNIKÓW POMIARÓW Z ELEMENTAMI ANALIZY NIEPEWNOŚCI POMIAROWYCH. I Pracownia IF UJ Marzec 2017

Transkrypt

1 PODSTAWY OPRACOWANIA WYNIKÓW POMIARÓW Z ELEMENTAMI ANALIZY NIEPEWNOŚCI POMIAROWYCH I Pracowa IF UJ Marzec 07

2 PODRĘCZNIKI Wstęp do aalzy błędu pomarowego Joh R. Taylor Wydawctwo Naukowe PWN Warszawa 999 I Pracowa fzycza Pod redakcją Adrzeja Magery Istytut Fzyk UJ Kraków I Pracowa fzycza IF UJ Marzec 07

3 Po co jest Pracowa Fzycza?. Obserwacja zjawsk efektów fzyczych. Samodzele wykoywae dośwadczeń. M E5 C O7 F0

4 Po co jest Pracowa Fzycza?. Nauka obsług prostych trochę bardzej skomplkowaych przyrządów pomarowych

5 Po co jest Pracowa Fzycza? 3.Nauka podstaw opracowaa wyków pomarów a) Nauka poprawego wyzaczaa welkośc fzyczych b) Nauka pomaru zależośc fzyczych ch opsu c) Nauka poprawej prezetacj wyków Nejszy wykład staow wstęp do tego puktu

6 POMIAR FIZYCZNY Pomar bezpośred Pomar, w którym kokreta welkość fzycza merzoa jest bezpośredo przy pomocy określoego przyrządu Przykłady: Pomar długośc ljką Pomar czasu stoperem Pomar pośred Pomar, w którym daa welkość fzycza merzoa jest pośredo poprzez pomar ych welkośc fzyczych v s t Przykłady: Pomar prędkośc przy pomocy ljk stopera I Pracowa fzycza IF UJ Marzec 07

7

8

9 Nepewośc pomarowe Wyk pomaru MUSI uwzględać dokładość, z jaką został uzyskay!!! h = (.0 0.) m

10 NIEPEWNOŚCI VS. BŁĘDY Nepewość pomarowa Wtedy, gdy mmo skrupulatego wykoaa pomaru e da sę wyzaczyć daej welkośc z wększą dokładoścą Nepewośc przypadkowe Nepewośc systematycze Przykłady: Skończoa dokładość przyrządu pomarowego Przykłady: Ważee przy pomocy źle wyskalowaej wag Pomar czasu stoperem, który speszy Błąd pomarowy Wtedy, gdy urządzee lub osoba prowadząca pomar źle zmerzyła daa welkość Błędy grube Przykłady: Źle odczytao wartość z merka Błędy przyblżea Przykłady: Popełoo błąd tworząc model I Pracowa fzycza IF UJ Marzec 07

11 Błędy grube t=39s

12 Błędy systematycze = ajmejsza dzałka (w tym przypadku mm, o C) Tak zaps ozacza, że prawdzwa wartość prawe a pewo [z prawdopodobeństwem blskm 00 %] zajdze sę w tym przedzale [epewość maksymala]

13 Błędy statystycze Nr T [s] pomaru

14 Błędy statystycze rozkład Gaussa Prawdzwa wartość merzoej welkośc - wartość oczekwaa Rozkład prawdopodobeństwa φ() wartośc merzoej jest rozkładem Gaussa Przy skończoej lośc pomarów, parametry rozkładu Gaussa moża jedye estymować. Szukae prawdzwej wartośc merzoej welkośc jej epewośc - to estymacja wartośc oczekwaej jej odchylea stadardowego. - wartość merzoa - wartość oczekwaa [prawdzwa] - odchylee stadardowe [mara epewośc]

15 Błędy statystycze rozkład Gaussa

16 Błędy statystycze rozkład Gaussa Welkoścą ajbardzej zblżoą do wartośc rzeczywstej [estymatorem wartośc oczekwaej] jest średa arytmetycza pomarów

17 Błędy statystycze rozkład Gaussa Welkoścą ajlepej opsującą epewość pojedyczego pomaru jest rozrzut pomarów wokół wartośc średej [estymator odchylea stadardowego] 68 % astępych pomarów będze meścło sę w przedzale

18 Błędy statystycze rozkład Gaussa Welkoścą ajlepej opsującą epewość wyku jest odchylee stadardowe średej arytmetyczej W 68 % detyczych dośwadczeń otrzymamy średą arytmetyczą meszczącą sę w przedzale moża zmejszać zwększając lczbę pomarów

19 Błędy statystycze rozkład Studeta Fshera Gdy mamy małą lczbę pomarów ( < 0), odchylee stadardowe S przyjmuje zażoą wartość!!! Chcąc uzyskać odpowedą wartość wyzaczoe S ależy przemożyć przez odpowed współczyk tzw. współczyk rozkładu Studeta- Fshera (t) Współczyk te zależy od lczby pomarów od pozomu ufośc α α = 0,683 α = 0,9 α = 0,95 α = 0,99 α = 0,999,837 6,34,706 63, ,69 3,3,90 4,303 9,95 3,599 4,97,353 3,8 5,84,94 5,4,3,776 4,604 8,60 6,0,05,580 4,03 6,869 7,090,943,447 3,707 5,959 8,077,895,365 3,500 5,408 9,066,860,306 3,355 5,0 0,059,833,5 3,50 4,78

20 Błędy statystycze przykład Nr T [s] pomaru = 0

21 Błędy statystycze przykład Nr T [s] pomaru = 0 T =.98500

22 Błędy statystycze przykład Nr T [s] pomaru = 0 T = S T = 0.939

23 Błędy statystycze przykład Nr T [s] pomaru = 0 T = S T = S T =

24 Błędy statystycze przykład Nr T [s] pomaru = 0 T = S T = S T = Tylko dwe lczby zaczące w błędze. - Błąd zawsze zaokrąglamy do góry. - Wartość średą podajemy z tą samą dokładoścą co epewość. - Odpowede mejsce zaokrąglamy. S T = T =.985 T =.985(43) s

25 Błędy statystycze przykład Nr T [s] pomaru = 5 T =.004 S T = S T = Tylko dwe lczby zaczące w błędze. - Błąd zawsze zaokrąglamy do góry. - Wartość średą podajemy z tą samą dokładoścą co epewość. - Odpowede mejsce zaokrąglamy. t 95% =.776 S T = = 0.8 T =.004 T =,00(8)s

26 Zaps wyku T =.985 s, T = s T =.985(43) s T = ( ) s Symbol zarezerwoway jest dla epewośc rozszerzoej [maksymalej]. Z grubsza: dla pozomu ufośc co ajmej 95 %. Dlatego ależy użyć dwa razy szerszego przedzału lub ego współczyka Studeta. Symbol ajczęścej występuje w medycye, przemyśle, strukcjach.

27 INNE ESTYMATORY ŚREDNIA WAŻONA Marzec 07 I Pracowa fzycza IF UJ Wartość oczekwaa Odchylee stadardowe wartośc średej ) ( ) ( S w w w w S w S w Waga

28 NIEPEWNOŚCI SYSTEMATYCZNE Oprócz epewośc przypadkowych w pomarach mogą sę róweż pojawć epewośc zwązae z urządzeem, przy pomocy którego wykoujemy pomar: epewość skal Δ d zwązaa z odległoścą mędzy dzałkam a skal merka Zazwyczaj przyjmujemy odległość mędzy dwoma kolejym dzałkam, choć gdy te są daleko moża przyjąć połowę albo awet /3 tej odległośc epewość klasy przyrządu Δ k Łącze epewość daa jest zależoścą S S 3 d 3 k k klasa zakres 00 S S Uwaga!!! Przyrządy cyfrowe mają zaedbywale epewość w stosuku do epewośc przypadkowej I Pracowa fzycza IF UJ Marzec 07

29 Nepewośc systematycze przyrządów cyfrowych = specyfkacja urządzea! to e jest ostata cyfra zacząca!!!

30 s C = ) C=0.00mF [00F] %rdg=0.000 mf 3dgt=0.003 mf s C=0.003 mf ) C=0.00mF [0mF] 3%rdg=0.30 mf 5dgt=0.05 mf s C=0.35 mf Notujce typ przyrządów. W Iterece prawe zawsze moża zaleźć specyfkację!!!

31 NIEPEWNOŚCI W POMIARACH POŚREDNICH Marzec 07 I Pracowa fzycza IF UJ f z,..., f z,...,... z S f S f S f S W pomarach pośredch steją zwązk fukcyje pomędzy poszukwaą welkoścą a welkoścam merzoym: Wartość oczekwaa tej welkośc jest fukcją z wartośc oczekwaych jej poszczególych zmeych: Odchylee stadardowe tej poszukwaej welkośc jest fukcją odchyleń welkośc merzoych t l v p. t l v p. t l v S t l S t S p. z S f S f S f S... W welu przypadkach moża stosować przyblżoy wzór (metoda różczk zupełej t l v S t l S t S p.

32 POCHODNE f ( ) f ( ) f ( ) Al A B Ae B f ( ) f( f( )) f ( ) f( ) f( ) I Pracowa fzycza IF UJ Teora f f Pochoda fukcj logarytmczej f Pochoda fukcj potęgowej A ABe AB Pochoda fukcj wykładczej f f f B f f ( ) 3 f ( ) f ( ) Pochoda fukcj złożoej 3 e l f ( ) /3 3.8 Przykłady Pochoda sumy różcy fukcj f f f f ( ) l 3 3 / f f / 3 f 3. 8 f 5,7e 3 f / 3

33 PRZYKŁADY PROPAGACJI BŁĘDU l l l l l l v l t l v l t t t t At t At gt a a gt t gt t s l l s l l l l R R e 0 A/ T R R T 0 A e A/ T T I Pracowa fzycza IF UJ Marzec 07

34 PRZEDSTAWIENIE WYNIKÓW Wyk: 30, 3, 9, 3, 3, 8, 30 Wartość średa = 30,48574 Odchylee stadardowe S = 0, Zasady: ) Tylko dwe lczby zaczące w błędze. ) Błąd zawsze zaokrąglamy do góry. 3) Wartość średą podajemy z tą samą dokładoścą co epewość. 4) Odpowede mejsce zaokrąglamy. Zaps: = 30, ±,3 [mm] Δ =,447 0,5 = =,637,3 = 30, = 30,(3) [mm] I Pracowa fzycza IF UJ Marzec 07

35 Zaps epewośc prezetacja Wyk pomarów oblczeń ajlepej podawać w jedostkach, dla których wartość lczbowa zawarta jest przedzale od 0,0 do 000. Moża używać: przedrostków, [m, m, M, G] td. lub otacj potęgowej typu 0 6, 0-6 I = A A I = (3. 0.) ma I = (3. 0.) 0-6 A

36 ZAPIS WYNIKÓW Wygodym sposobem zapsu wyków eksperymetu jest przedstawee ch w tabel Wartośc jedej welkośc zapsujemy w kolume. Nagłówek kolumy powe zawerać symbol welkośc jej jedostkę. Welkość jedostk mary doberamy tak, aby zapsywae lczby meścły sę w zakrese 0, do 000. t [s] s [m] 0,3 0,6 0,7,3,,5 I Pracowa fzycza IF UJ Marzec 07

37 GRAFICZNE PRZEDSTAWIENIE WYNIKÓW Wyk eksperymetu wygode przedstawć przy pomocy wykresu Oglądowe przedstawee wyków, Grafcze przedstawee zależośc wyków pozwala a wyzaczee pewych zależośc, s vt U RI Na wykrese łatwej wychwycć pewe emprycze relacje mędzy welkoścam. I Pracowa fzycza IF UJ Marzec 07

38 ZAPIS WYNIKÓW. sera. sera t [s] s [m] 0,3 0,6 0,4 0,7 t=0,33± 0,06 s=0,66± 0,04 t [s] s [m],0,9,0,8 t=,03± 0,04 s=,83± 0,09 3. sera 4. sera t [s] s [m],5 3,,4,9 t=,4± 0,03 s=,99± 0,09 I Pracowa fzycza IF UJ t [s] s [m], 4,0,3 3,8 t=,3± 0, s=3,9± 0,0 Odpowedo doberamy ose je podpsujemy Naosmy pukty pomarowe Naosmy epewośc pomarowe Jeśl jest taka potrzeba dopasowujemy odpowedą fukcję Marzec 07

39 REGRESJA LINIOWA Wele zależośc ma charakter lowy s vt Ie awet jeśl take e są to mogą zostać zlearyzowae s at UWAGA!!! Trzeba pamętać o propagacj błędów I Pracowa fzycza IF UJ Marzec 07

40 REGRESJA LINIOWA Marzec 07 I Pracowa fzycza IF UJ Do zależośc lowej moża dopasować prostą w postac b a y a astępe współczyk kerukowy a oraz wyraz woly b zwązać z poszukwaą welkoścą Wzory a wartośc oczekwae a b oraz a ch odchylea stadardowe S a S b y y a a y b a y b y a y S S S a b

41 Wykresy: dopasowae ych zależośc fukcyjych a, V 0, 0

42 REGRESJA LINIOWA Na szczęśce steją programy przy pomocy których moża to zrobć automatycze p.: Ecel, Mathematca, Statstca, Matlab, Sgma Plus Org. I Pracowa fzycza IF UJ Marzec 07