Przetwarzanie sygnałów niestacjonarnych z wykorzystaniem koncepcji adaptacyjnej dopasowanej obserwacji

Transkrypt

1 POLIEHNIKA WARSZAWSKA WYDZIAŁ ELEKRONIKI I EHNIK INFORMAYJNYH INSYU SYSEMÓW ELEKRONIZNYH mgr iż. Korad Jędrzejewski Rozprawa doktorska Przetwarzaie sgałów iestacjoarch z wkorzstaiem kocepcji adaptacjej dopasowaej obserwacji Promotor: dr hab. iż. Jerz Szabati WARSZAWA 000

2 Składam podziękowaia wszstkim którz okazali swoją żczliwość w trakcie pisaia tej prac. Pragę gorąco podziękować Promotorowi Pau dr. hab. Jerzemu Szabatiowi za wszechstroą pomoc podczas przgotowwaia prac za wikliwe przestudiowaie tekstu prac w różch fazach jej powstawaia oraz wszelkie uwagi i wskazówki które przcził się do welimiowaia szeregu usterek. Szczególie serdeczie chciałbm podziękować Pau doc. dr. Aatolijowi Płatoowowi za wieloletią współpracę oraz wielogodzie dskusje które wpłęł a ostateczą formę i treść prac. Bez Jego cech uwag i sugestii jako autora kocepcji adaptacjej dopasowaej obserwacji praca ta ie mogłab powstać. Słowa podziękowaia kieruję także do wszstkich współpracowików z Zakładu eorii Obwodów i Sgałów. Korad Jędrzejewski

3 Spis treści Spis treści Wkaz ważiejszch ozaczeń... 3 Wkaz stosowach akroimów Wprowadzeie Podstawowe metod aaliz i przetwarzaia sgałów iestacjoarch el treść i układ prac Kocepcja adaptacjej dopasowaej obserwacji..... Podstawowe założeia kocepcji adaptacjej dopasowaej obserwacji..... Optmale algortm estmacji parametrów sgałów stacjoarch Wpłw sterowaia parametrami układu obserwacji a szbkość zbieżości algortmów estmacji Kocepcja adaptacjej dopasowaej obserwacji w przetwarzaiu sgałów iestacjoarch Estmacja parametrów sgałów regresjch w obecości zakłóceń tpu drftów i agłch zmia parametrów sgałów Aaliza prac algortmów estmacji w obecości zakłóceń tpu drftów Rozszerzoe algortm optmalej estmacji parametrów sgałów iestacjoarch Aaliza prac algortmów estmacji w przpadku agłch zmia parametrów sgałów Zmodfikowae algortm estmacji parametrów sgałów iestacjoarch Jedoczesa detekcja drftów i estmacja parametrów sgałów i zakłóceń harakterstka problemu Algortm jedoczesej detekcji drftów i estmacji parametrów Wiki badań smulacjch Filtracja sgałów iestacjoarch harakterstka problemu. Model zmia parametrów Optmale algortm filtracji sgałów iestacjoarch Podstawowe właściwości algortmów filtracji sgałów iestacjoarch Przkład zastosowań algortmów w przetwarzaiu iestacjoarch sgałów pomiarowch... 75

4 Spis treści 6.. Pomiar parametrów sgałów siusoidalch w obecości losowch drftów ich amplitud Filtracja i estmacja parametrów stacjoarch sgałów siusoidalch w obecości silch iestacjoarch zakłóceń Pomiar parametrów sgałów o złożoej strukturze składowch użteczch i zakłóceń w przpadku drftu puktu prac czujika oraz błędów zera jego charakterstki Uiwersale staowisko do fizczch i smulacjch badań sstemów pomiarowch Kocepcja i struktura staowiska badawczego Realizacja sprzętowa staowiska badawczego Badaia prototpu szerokozakresowego adaptacjego woltomierza Podsumowaie Dodatki... Bibliografia...

5 Wkaz ważiejszch ozaczeń B Wkaz ważiejszch ozaczeń - przesuięcie charakterstki układu obserwacji - czułość układu obserwacji D - poziom asceia układu obserwacji deta - wzaczik macierz A e - błąd predkcji E[] - smbol wartości oczekiwaej h L L - próg detekcji zakłóceń tpu drftów - macierz kowariacji błędów estmacji w przpadku zaego modelu zmia parametrów - macierz kowariacji błędów progoz w przpadku zaego modelu zmia parametrów N[ ] - rozkład ormal zmieej losowej o wartości średiej i wariacji p - fukcja gęstości prawdopodobieństwa - prawdopodobieństwo fałszwego alarmu P fa P d P - empircze prawdopodobieństwo poprawej detekcji drftu - macierz kowariacji błędów estmacji P - macierz kowariacji błędów jedokrokowej progoz Q R S - stosuek sgał-szum a wjściu układu obserwacji - średie rzko; błąd średiokwadratow filtracji - wariacja błędu estmacji S - wariacja błędu jedokrokowej progoz S - macierz kowariacji błędów estmacji tr A - ślad macierz A U - wektor zach determiistczch pobudzeń lub sterowań - wektor zach determiistczch sgałów - próbki sgału { } ŷ - estmata bieżącej wartości sgału { } w chwili - jedokrokowa progoza wartości sgału { } ˆ - ciąg próbek... sgału { } { } - sgał obserwowa { ~ } - sgał a wjściu układu obserwacji α - stała algortmu - szbkość arastaia liiowego drftu δ - dstrbucja Diraca - macierz wektor amplitud zmia parametrów sgałów $ - estmata wektora parametrów - wektor parametrów sgału $ - wektor zmiech w czasie parametrów sgału - estmata wektora parametrów sgału w chwili 3

6 Wkaz ważiejszch ozaczeń $ - jedokrokowa progoza wektora parametrów sgału - estmata wektora parametrów w przpadku zaego modelu zmia parametrów - jedokrokowa progoza wektora w przpadku zaego modelu zmia parametrów { η } - wektorow szum w modelu zmia parametrów sgału λ - stała zapomiaia algortmu λ mi A - ajmiejsza wartość własa macierz A { } - szum zewętrz obserwacji { } - szum wewętrz układu obserwacji ρ - fukcja strat ρ - macierz współczików korelacji - wariacja zmieej losowej Σ η - macierz kowariacji szumu { η } Φ - całka prawdopodobieństwa - orma euklidesowa wektora - traspozcja wektora macierz AR - model autoregresj Wkaz stosowach akroimów ARMA - model autoregresj z ruchomą średią ARMA - model autoregresjo-regresj z ruchomą średią AR - model autoregresjo-regresj EMSE - empircz błąd średiokwadratow FGP - fukcja gęstości prawdopodobieństwa GLR - uogólio iloraz wiargodości IMM - iterakcje sprzęgaie modeli LMS - algortm LMS ag. Least Mea Square MSE - błąd średiokwadratow R - model regresj RLS - rekursw algortm ajmiejszch kwadratów SNR - stosuek sgał-szum 4

7 Wprowadzeie. Wprowadzeie.. Podstawowe metod aaliz i przetwarzaia sgałów iestacjoarch Problematka przetwarzaia sgałów iestacjoarch jest obszera i zróżicowaa. W wielu różch dziedziach auki i techiki przciąga oa uwagę badacz zarówo ze względów teoretczch jak i praktczch. W ostatim czasie w liczch rozwiązaiach aplikacjch coraz częściej stosowae są różorode a zarazem coraz bardziej złożoe metod przetwarzaia sgałów iestacjoarch. W literaturze opiswae są kocepcje ich zastosowaia m.i. w takich dziedziach jak: przetwarzaie sgałów mow [] przetwarzaie sgałów biologiczch [3] telekomuikacja [4] mierictwo elektrcze i elektroicze [5] pomiar wagi ruchomch obiektów [6] elektroeergetka [7] geofizka i sejsmografia [] techika soarowa [8] radiolokacja [9-] automatka sterowaie i diagostka []. Do podstawowch metod przetwarzaia sgałów iestacjoarch ależ zaliczć: metod czasowo-częstotliwościowej aaliz sgałów [3] klascze algortm optmalej i adaptacjej filtracji sgałów śledzące zmia parametrów sgałów w czasie [4 5] metod rówoległej estmacji wielomodelowej [6] cz też metod detekcji zmia parametrów sgałów oparte a pojęciu uogólioego ilorazu wiargodości []. Iteswie rozwijae są także owoczese metod przetwarzaia sgałów iestacjoarch które wkorzstują osiągięcia z zakresu sztuczch sieci euroowch [7 8] algortmów geetczch [9] cz teorii zbiorów rozmtch [0 ]. Pierwszą z wmieioch grup metod stosowach w przetwarzaiu sgałów iestacjoarch są metod oparte a czasowo-częstotliwosciowej reprezetacji sgałów. Aaliza czasowo-częstotliwościowa której początki sięgają klasczej prac Gabora [] jest oparta a dwuwmiarowch przekształceiach sgałów w dwuwmiarową fukcję czasu i częstotliwości. Moża wróżić dwie podstawowe klas metod czasowoczęstotliwościowej reprezetacji sgałów: liiową i kwadratową ieliiową [3]. Wśród metod liiowch ajwiększą popularością ciesz się chwilowa trasformacja Fouriera SF która jest aturalm rozszerzeiem zwkłej trasformat Fouriera a przpadek sgałów iestacjoarch. Podstawową wadą chwilowej trasformacji Fouriera są ograiczeia czasowo-częstotliwościowej rozdzielczości SF zwae w literaturze zasadą ieozaczoości [3] zgodie z którą ie moża z dowolie dużą dokładością mierzć 5

8 Wprowadzeie zarówo częstotliwości sgału jak i czasu jego trwaia. Jedą z metod która umożliwia dokładiejsz iż SF pomiar częstotliwości sgału iestacjoarego w określom zakresie aalizowach częstotliwości jest trasformacja falkowa. rasformacja falkowa wkorzstuje wmiaę rozdzielczości czasowej a rozdzielczość częstotliwościową i vice versa. Prekursorami badań ad trasformacją falkową bli w latach osiemdziesiątch Grossma Morlet Mallat Meer i Dauberiches [3]. Uogólieiem pojęcia falki jest pakiet falow któr stwarza możliwość dostosowwaia rozdzielczości częstotliwościowej trasformacji do daego sgału [4]. Kompleksowe omówieie zarówo liiowch jak i kwadratowch metod czasowo-częstotliwościowej reprezetacji sgałów wraz z krtczm ich porówaiem moża zaleźć w artkule przeglądowm [3]. Alteratwm podejściem do przetwarzaia sgałów iestacjoarch jest reprezetacja sgałów za pomocą liiowch szeregów czasowch o zmiech w czasie parametrach. Modelowaie sgałów za pomocą liiowch szeregów czasowch jest w ostatim czasie wkorzstwae w wielu zagadieiach przetwarzaia sgałów m.i. jest podstawą różorodch metod stosowach w przetwarzaiu sgałów iestacjoarch. Na kocepcji modelowaia sgałów liiowmi szeregami czasowmi są oparte metod optmalej i adaptacjej filtracji sgałów. Zagadieiom optmalej i adaptacjej filtracji sgałów poświęcoch jest wiele moografii m.i. [ ]. Najpełiejsze omówieie większości optmalch i adaptacjch algortmów przetwarzaia sgałów wraz z przeglądem ich możliwch zastosowań jest zawarte w [4]. Klasczm rozwiązaiem zagadieia optmalej filtracji sgałów jest filtr Wieera [33 34]. Kluczowm założeiem teorii filtracji wieerowskiej jest stacjoarość przetwarzaego sgału użteczego i wstępującch zakłóceń. eorią która ie wmaga spełieia założeia o stacjoarości sgałów i zakłóceń jest teoria filtru Kalmaa [35 36]. Wczerpujące omówieie zagadień związach z filtracją kalmaowską moża zaleźć w prac [9]. Filtr Kalmaa często stosowa w praktce pozwala jedak rozwiązwać skuteczie tlko te zagadieia w którch model iestacjoarości jest ściśle zdefiiowa. Dopiero opracowaie algortmów filtracji adaptacjej umożliwiło zastosowaie metod przetwarzaia sgałów iestacjoarch które ie wmagają iformacji a priori o charakterstkach sgałów i zakłóceń. Podstawowmi tpami algortmów filtracji adaptacjej są algortm tpu gradietu stochastczego obejmujące ajprostszą i ajczęściej stosowaą rodzię algortmów LMS Least Mea Square [37] oraz algortm oparte a metodzie ajmiejszch kwadratów z którch ajpopulariejszm jest algortm RLS Recursive Least Squares [38]. W przpadku 6

9 Wprowadzeie sgałów o zmieiającch się w czasie parametrach algortm te potrafią podążać za zmiaami parametrów sgałów śledzić je jedak tlko wted kied szbkość tch zmia jest dostateczie mała w porówaiu z szbkością zbieżości algortmu. W przpadku szbkich zmia parametrów p. skokowch algortm te cechują się dużm spadkiem jakości estmat parametrów sgałów uzskiwach po wstąpieiu zmia. Efekt te jest wikiem tego że po uzskaiu wartości estmat bliskich prawdziwm wartościom parametrów współcziki wzmocieia sgału błędu progoz wstępujące w tch algortmach obliczae a podstawie określoch miar błędu estmacji osiągają a tle małe wartości że ie mogą spowodować dużch zmia wartości estmat. Powoduje to że algortm ie potrafi szbko zareagować a zmia parametrów. Aalizie właściwości śledzącch algortmów adaptacjch poświęcoo wiele publikacji m.i. [ ]. Okazuje się że jedoczese osiągięcie dużej szbkości reakcji a zmia parametrów oraz dużej dokładości estmacji parametrów są wmagaiami trudmi do pogodzeia. Wmagaia te próbuje się z reguł umiejętie pogodzić wprowadzając w algortmach estmacji mechaizm zapomiaia. Podawae w literaturze rozwiązaia kocetrują się wokół doboru liczb kolejch obserwacji które uwzględia się prz obliczaiu estmat parametrów w zależości od charakteru zmia parametrów oraz doboru odpowiedich współczików ważeia poszczególch obserwacji. Rozważaia dotczące aaliz jakości śledzeia zmia parametrów sgałów iestacjoarch wkorzstujące pojęcie pamięci estmatorów moża zaleźć m. i. w pracach [44-46]. Iteresujące rozwiązaia zagadieia optmalego sterowaia współczikami wzmocieia algortmów filtracji adaptacjej w przpadku przetwarzaia sgałów iestacjoarch zapropoowao w pracach [ ]. Ią ciekawą propozcją polepszeia właściwości algortmów filtracji adaptacjej w przpadku przetwarzaia sgałów iestacjoarch jest kocepcja rozszerzeia wmiaru klasczch algortmów przedstawioa dla algortmu RLS w prac [49] a astępie w moografii [4]. Rozwiięciem klasczch metod filtracji adaptacjej są metod rówoległej wielomodelowej estmacji parametrów sgałów [6 9 44] które umożliwiają estmację parametrów w przpadku zmieiającch się w trakcie obserwacji parametrów sgałów. W metodach tch proces estmacji jest przeprowadza dla wielu modeli daego sgału a końcow wik estmacji jest uzskiwa w efekcie uwzględieia iformacji o estmatach dla poszczególch modeli p. jako kombiacja liiowa wików uzskach dla poszczególch modeli w której współcziki wagowe kombiacji są prawdopodobieństwami a posteriori poszczególch modeli. Podstawową wadą optmalej wielomodelowej estmacji parametrów sgałów jest koszt obliczeiow któr jest 7

10 Wprowadzeie wkładiczo arastającą fukcją czasu przetwarzaia co wika z koieczości uwzględieia w procesie kształtowaia optmalch estmat wszstkich hipotez opisującch zmia parametrów. Koszt obliczeiow może bć zmiejszo przez wprowadzeie wmia iformacji międz poszczególmi estmatorami składowmi co umożliwia redukcję liczb hipotez brach pod uwagę prz wzaczaiu estmat. ego tpu metod estmacji są azwae metodami iterakcjego sprzęgaia modeli Iteractig Multiple Model - IMM [ ]. Im rozwijam iteswie kierukiem badań ad metodami przetwarzaia sgałów iestacjoarch jest wkorzstaie metod detekcji agłch zmia parametrów sgałów opartch a pojęciu uogólioego ilorazu wiargodości Geeralized Likelihood Ratio - GLR. W wielu praktczch zastosowaiach podjęcie deczji o wstąpieiu zmia parametrów m.i. detekcja agłch zakłóceń ag. fault detectio [5] segmetacja tj. wodrębiaie stacjoarch fragmetów sgałów iestacjoarch [3] jest kluczowm problemem przetwarzaia sgału. Umożliwia bowiem odpowiedią reakcję algortmu przetwarzaia dach a wkrtą zmiaę parametrów p. reiicjalizację algortmu lub kompesację wkrtch zmia. Jedą z pierwszch ważiejszch prac tego kieruku jest praca Willsk ego i Joesa [53] w której omówioo metodę GLR. Klasczm rezultatem badań ad tmi metodami jest algortm skumulowach sum Umulative SUM - USUM [54]. Iteresującm przczkiem do rozwoju tego urtu badań są prace Nikiforowa [55 56] w którch autor rozpatruje problem jedoczesej detekcji zmia parametrów sgałów i ich klasfikacji. Wczerpując opis rozpatrwach w ramach tego kieruku zagadień rezultatów a także zastosowań praktczch moża zaleźć w moografii []... el treść i układ prac elem iiejszej prac jest opracowaie owch metod i algortmów przetwarzaia iestacjoarch sgałów regresjch. W porówaiu ze zami metodami przetwarzaia sgałów iestacjoarch omówiomi w pukcie. zastosowae w prac podejście wróżia się tm iż wprowadzo został odmie od tradcjch adaptacj ieliiow model układu obserwacji sgału. Przjęcie tego modelu staowi jedo z fudametalch założeń kocepcji adaptacjej dopasowaej obserwacji [57-64] a której oparta jest stosowaa w prac metodologia. Zamierzeiem autora bło m.i. rozszerzeie badań ad algortmami przetwarzaia stacjoarch sgałów regresjch wikającmi z kocepcji adaptacjej obserwacji a przpadek sgałów iestacjoarch w którch iestacjoarość jest rozumiaa jako 8

11 Wprowadzeie zmia wartości parametrów sgału wstępujące w trakcie jego obserwacji. Opracowao i przeaalizowao czter tp owch algortmów przetwarzaia sgałów iestacjoarch. Pierwsz algortm jest rozszerzeiem podstawowego algortmu optmalej estmacji parametrów stacjoarch sgałów regresjch [64] a przpadek sgałów w którch wstępują drft parametrów. Drugim algortmem jest zmodfikowa podstawow algortm w którm wprowadzoo mechaizm zapomiaia umożliwiając szbszą reakcję algortmu a agłe zmia parametrów. Kolejm algortmem jest algortm jedoczesej detekcji zmia parametrów tpu drftów ag. drift-like faults i estmacji parametrów sgałów i zakłóceń opart a metodach werfikacji hipotez. Ostatim algortmem stosowam w prac do przetwarzaia sgałów iestacjoarch jest optmal algortm filtracji tpu Kalmaa. Działaie prezetowach w prac algortmów zostało zilustrowae przkładami ekspermetów smulacjch. Algortm te został zaimplemetowae w środowisku MALAB. Za pomocą badań smulacjch dokoao wszechstroej werfikacji rezultatów teoretczej aaliz podstawowch właściwości prezetowach algortmów oraz potwierdzoo ich wsoką efektwość w przetwarzaiu sgałów iestacjoarch. Opracowae program przezaczoe do smulacji i aaliz prac algortmów przetwarzaia sgałów iestacjoarch pozwalają a przeprowadzeie różorodch badań związach z zastosowaiami propoowach algortmów. Mogą oe bć pomoce prz wborze odpowiedich optmalch w dam zastosowaiu algortmów a także optmalch wartości poszczególch parametrów sstemów przetwarzaia sgałów w którch omawiae algortm mogą zostać wkorzstae. Zamierzeiem autora bło opracowaie takich metod przetwarzaia sgałów iestacjoarch które błb użtecze w zastosowaiach praktczch m.i. w metrologii. Główm rezultatem prac w kotekście zastosowań jest opracowaie kocepcji preczjego szerokozakresowego adaptacjego woltomierza umożliwiającego aalizę struktur sgałów użteczch i zakłóceń. W prac przedstawioo wstępe wiki badań ekspermetalch laboratorjego modelu aalogowej części woltomierza. W ramach prac ad wkorzstaiem kocepcji adaptacjej dopasowaej obserwacji do przetwarzaia sgałów iestacjoarch stworzoo uiwersale staowisko do fizczch i smulacjch badań sstemów pomiarowch działającch w oparciu o prezetowae w prac algortm optmalego przetwarzaia dach i sterowaia pomiarem. Staowisko to może bć traktowae jako wstępa wersja sstemu komputerowego wsparcia procesu wboru optmalej struktur i parametrów projektowach sstemów pomiarowch. 9

12 Wprowadzeie Praca jest podzieloa a osiem rozdziałów. W rozdziale podao w skrócie założeia kocepcji adaptacjej dopasowaej obserwacji. Wprowadzoo model matematcz ieliiowego układu obserwacji oraz sformułowao problem optmalej estmacji parametrów stacjoarch sgałów regresjch. Przedstawioo rekursw algortm estmacji parametrów sgałów opart a kocepcji adaptacjej dopasowaej obserwacji optmal w przpadku sgałów stacjoarch i azwa w prac algortmem podstawowm. Omówioo jego podstawowe właściwości m.i. możliwość osiągięcia wkładiczej szbkości zbieżości estmat parametrów w początkowm okresie obserwacji sgału. W rozdziale 3 przeprowadzoo aalizę zachowaia podstawowego optmalego algortmu estmacji parametrów sgałów w przpadku wstępowaia drftu i agłch zmia parametrów sgałów. Podao rozszerzo algortm estmacji parametrów sgałów iestacjoarch w którch wstępują drft parametrów sgałów bądź zakłóceń. Zapropoowao także modfikację algortmu podstawowego polegającą a wprowadzeiu mechaizmu zapomiaia umożliwiającego szbszą reakcję algortmu a agłe zmia parametrów. W rozdziale 4 przedstawioo algortm jedoczesej detekcji zakłóceń tpu drftów i estmacji parametrów sgałów i zakłóceń. W rozdziale tm przedstawioo wiki badań smulacjch potwierdzające wsoką efektwość zapropoowaej procedur detekcji wkorzstującej kocepcję adaptacjej dopasowaej obserwacji. Rozdział 5 jest poświęco zagadieiu przetwarzaia sgałów iestacjoarch którch zmia parametrów są opisae procesami Markowa. Wprowadzoo model zmia parametrów sgału oraz zaprezetowao optmal algortm filtracji sgału i estmacji parametrów tpu Kalmaa. Przedskutowao także jego podstawowe właściwości m.i. pokazao że podobie jak w przpadku estmacji parametrów sgałów stacjoarch optmale adaptacje sterowaie czułością układu obserwacji umożliwia osiągięcie początkowej wkładiczej szbkości zbieżości estmat rówież w przpadku estmacji parametrów sgałów iestacjoarch. Potwierdzeiem tego faktu są wiki smulacji komputerowch. Przkład zastosowaia omawiach w prac algortmów do przetwarzaia iestacjoarch sgałów pomiarowch przedstawioo w rozdziale 6. Przkład te potwierdzają m.i. tezę że prezetowae w prac metod i algortm są szczególie użtecze w aalizie złożoch iestacjoarch sgałów użteczch i zakłóceń. 0

13 Wprowadzeie Rozdział 7 zawiera opis uiwersalego staowiska do fizczch i smulacjch badań sstemów pomiarowch działającch w oparciu o prezetowae w prac algortm optmalego przetwarzaia dach i sterowaia pomiarem. Przedstawioe w im podejście do aaliz i stez sstemów pomiarowch stwarza owe możliwości rozwoju prac związach z projektowaiem owej klas optmalch adaptacjch sstemów pomiarowch pracującch w warukach różorodch zakłóceń i szumów. Możliwe staje się rówież zwiększeie efektwości istiejącch wzorców przrządów poprzez modfikację ich oprogramowaia. Jako przkład wkorzstaia staowiska przedstawioo kocepcję adaptacjego szerokozakresowego woltomierza umożliwiającego aalizę struktur sgału użteczego i zakłóceń. Przedstawioo wiki wstępch badań modelu laboratorjego aalogowej części woltomierza. Badaia adaptacjego woltomierza umożliwił określeie podstawowch wmagań co do sposobu realizacji i wzajemego dopasowaia aalogowch i cfrowch elemetów staowiska badawczego oraz sposobu orgaizacji doświadczeń. Wiki prac podsumowao w rozdziale 8.

14 Kocepcja adaptacjej dopasowaej obserwacji. Kocepcja adaptacjej dopasowaej obserwacji Główe rezultat prac są oparte a ie stosowaej do tej por w zagadieiach przetwarzaia sgałów iestacjoarch kocepcji adaptacjej dopasowaej obserwacji sgału opracowaej przez Płatoowa [57-64] i rozwijaej w Isttucie Sstemów Elektroiczch PW. Wiki różorodch badań dotczącch tej kocepcji uzskae w ostatich latach moża zaleźć w pracach [65-04]. Kocepcja ta umożliwiła owe spojrzeie a wiele zagadień praktczch i jest owm perspektwiczm kierukiem w dziedziie adaptacjch metod przetwarzaia sgałów... Podstawowe założeia kocepcji adaptacjej dopasowaej obserwacji W kocepcji adaptacjej dopasowaej obserwacji przjmuje się astępując regresj model aalizowaego sgału { }: L i i i gdzie [... L ].... jest wektorem losowch parametrów modelu L... - wektorem próbek determiistczch sgałów którch wartości są zae w każdej chwili czasu zaś L - rzędem modelu. iąg { v } opisuje addtwe zakłóceia dodające się do sgału użteczego azwae szumem zewętrzm obserwacji. Mogą bć oe iterpretowae p. jako losowe zakłóceia elektrcze mechaicze itp. a wejściu czujika lub układu pomiarowego. O szumie { v } zakłada się że jest szumem białm gaussowskim o zerowej wartości średiej i wariacji tj. opisam fukcją gęstości prawdopodobieństwa FGP: p N[ 0 ]. Model. jest szeroko stosowam modelem sgału w liczch badaiach teoretczch i zagadieiach praktczch. W zdecdowaej większości prac przjmuje się milcząco założeie że przetwarzaie sgału odbwa się z pomiięciem wpłwu czików towarzszącch procesowi obserwacji takich jak szum wewętrz układu obserwacji cz też ograiczoość jego zakresu wjściowego i związae z tm ziekształceia ieliiowe obserwacji. Problem te są poruszae tlko w ieliczch pracach m.i. [05-08].

15 Kocepcja adaptacjej dopasowaej obserwacji W klasczch metodach estmacji parametrów sgałów jak i w wielu zagadieiach teorii filtracji idetfikacji optmalego sterowaia itp. [5-30] domiuje liiow model układu obserwacji: ~ 0. gdzie { } jest aalizowam sgałem { ~ } - sgałem a wjściu układu obserwacji 0 jest stałą czułością często przjmowaą za rówą a { } szumem wewętrzm układu obserwacji. Szum { } może bć iterpretowa p. jako cieple elektrcze lub kwatowe zakłóceia wstępujące w rzeczwistch układach obserwacji. W modelu. zakłada się liiowość obserwacji sgału { } dla wszstkich jego wartości. Założeie to stwarza możliwość jawego aalitczego rozwiązaia odpowiedich zagadień optmalizacjch i wprowadzeia optmalch algortmów estmacji jedak w praktce igd ie jest spełioe poieważ każd real układ obserwacji ma ograiczo zakres liiowości sgału wjściowego p. [ D D ] poza którm próbki są ziekształcae ieliiowo bądź wręcz ograiczae. hcąc zapewić ab waruek liiowej obserwacji sgału bł spełio dla dużch wartości aalizowaego sgału { } ależ odpowiedio zmiejszć czułość 0. Zmiejszeie czułości układu obserwacji powoduje jedak wzrost wpłwu szumu wewętrzego a jakość estmacji parametrów sgałów i tm samm pogorszeie dokładości obliczach estmat. zęściowm praktczm rozwiązaiem tego problemu jest wprowadzeie kompesacji aalizowaego sgału która pozwala rozszerzć liiow zakres układu obserwacji bez zmia parametrów 0 i D. Ozacza to przjęcie astępującego modelu układu obserwacji: ~ e e B 0.3 gdzie ciąg { B } jest sgałem kompesującm któr opisuje sterowaie położeiem zera charakterstki układu obserwacji. Model.3 układu obserwacji ie różi się jedak pod względem teoretczm iczm istotm od modelu. i ie pozwala opiswać i aalizować efektów związach z ograiczeiem liiowego zakresu obserwacji. Kocepcja adaptacjej dopasowaej obserwacji umożliwia bezpośredie uwzględieie właściwości układu obserwacji w procesie opracowwaia algortmów przetwarzaia sgałów a zarazem zaczącą poprawę dokładości estmacji ich parametrów. W kocepcji tej przjmuje się że sgał { } jest obserwowa za pomocą układu obserwacji opisaego modelem bardziej adekwatm iż modele tradcjie stosowae o 3

16 Kocepcja adaptacjej dopasowaej obserwacji charakterstce liiowej w ograiczom zakresie obserwacji i z odcikami asceia poza tm zakresem rs..: ~ B Dsg B gd gd B B D > D..4 D E[ ~ e] D/ D/ e D e B Rs... harakterstka układu obserwacji opisaego modelem.4 Sgałem wejściowm układu obserwacji.4 jest sgał błędu kompesacji e B gdzie ciąg { B } jest sgałem kompesującm a ciąg { } określa czułość układu obserwacji. Jedm z podstawowch założeń kocepcji adaptacjej dopasowaej obserwacji jest możliwość adaptacjch zmia czułości. Stała D poziom asceia jest parametrem układu obserwacji któr charakterzuje zakres możliwch wartości sgału wjściowego i prz zaej czułości określa zakres sgału wejściowego e [ B D B D ] w którm obserwacja odbwa się bez ziekształceń ieliiowch. O szumie wewętrzm układu obserwacji { } wstępującm w modelu.4 zakłada się że jest białm szumem gaussowskim o FGP: p N[ 0 ]. Prz założeiu modeli.. lub.3 ie jest możliwe odseparowaie od siebie szumu zewętrzego { v } i szumu wewętrzego obserwacji } które są traktowae jako jede wpadkow szum. Nie jest zatem możliwe uwzględieie wpłwu samego procesu obserwacji a dokładość estmacji parametrów sgału. Kocepcja adaptacjej dopasowaej obserwacji stwarza taką możliwość a rozdzieleie szumów a szum wewętrz i zewętrz w modelach sgału. i układu obserwacji.4 jest uzasadioe ze względu a róże źródła ich pochodzeia i róże charakterstki oraz odmie wpłw obu szumów a jakość estmacji parametrów sgału [64]. { 4

17 Kocepcja adaptacjej dopasowaej obserwacji Wprowadzeie ieliiowości do modelu układu obserwacji powoduje możliwość wstąpieia ieliiowch ziekształceń sgału aalizowaego oraz zaczie komplikuje stezę i aalizę odpowiedich optmalch algortmów jego przetwarzaia. W kocepcji adaptacjej dopasowaej obserwacji iedogodości tch uika się wprowadzając waruek statstczego dopasowaia układu obserwacji do charakterstk probabilistczch aalizowaego sgału. Waruek te staowi kluczowe założeie całej kocepcji a jego przjęcie umożliwia praktcze usuięcie wpłwu ieliiowości układu obserwacji a ziekształceia sgału a jego wjściu przeprowadzeie wszechstroej aaliz i wprowadzeie wszstkich iezbędch rezultatów aalitczch. Waruek statstczego dopasowaia określa dla każdej chwili czasu zbiór wartości parametrów układu obserwacji B i dla którch prawdopodobieństwo pojawieia się ieliiowch ziekształceń ie przekracza zadaego małego progu µ 0< µ << tz. zgodie z tm warukiem parametr B i muszą przjmować takie wartości ab dla każdego spełioa bła ierówość: gdzie ~ B D D ~ ~ Pr B p d µ.5 BD ozacza ciąg próbek ~... ~ sgału a wjściu układu obserwacji. Wartość parametru µ jest ustalaa arbitralie w zależości od rozpatrwaego problemu i określa w każdej chwili czasu gwaratowae prawdopodobieństwo iearuszeia liiowego trbu prac układu obserwacji p. µ [0 0 4 ]. Układ obserwacji spełiając waruek.5 jest azwa układem statstczie dopasowam. Jeżeli waruek.5 jest spełio ozacza to że sgał jest obserwowa liiowo praktczie w całm zakresie zmia swoich wartości. Prawdopodobieństwo aruszeia liiowego trbu obserwacji w przedziale [ ] jest rówe µ µ tz. dla małch wartości parametru µ i dostateczie krótkich ciągów obserwacji przjmuje oo wartości bliskie zeru... Optmale algortm estmacji parametrów sgałów stacjoarch Prz założeiu modeli sgału. i układu obserwacji.4 opracowaie algortmów optmalej estmacji parametrów sgałów polega a wprowadzeiu zależości określającch w każdej chwili wartości estmat ˆ ˆ ~ oraz optmalch reguł adaptacjego sterowaia parametrami układu obserwacji ~ B B i ~. 5

18 Kocepcja adaptacjej dopasowaej obserwacji Optmale estmat oraz wartości parametrów { B } zajduje się miimalizując średie rzko błędu estmacji: R E[ ˆ ] ˆ... ρ ~ p ~ p d d ~ ρ.6 prz ograiczeiu.5. Norma we wzorze.6 jest zwkłą euklidesową ormą w przestrzei R L a fukcja strat ρ - dowolą fukcją spełiającą stadardowe waruki tz. fukcją smetrczą wpukłą różiczkowalą odcikami i mającą miimum w zerze. W celu wzaczeia optmalch estmat $ i reguł sterowaia parametrami B i ależ wzaczć jawą postać FGP a posteriori ~ p wstępującej w waruku.5. Wzaczeie tej fukcji jest zaś możliwe gd zae są rozkład szumów p p oraz rozkład a priori p wektora parametrów aalizowaego sgału. Ozacza to że do wprowadzeia optmalch algortmów przetwarzaia dach i sterowaia parametrami układu obserwacji w kocepcji adaptacjej dopasowaej obserwacji muszą bć stosowae baesowskie metod estmacji. Będziem zatem dalej zakładać że dspoujem pełą iformacją o rozkładzie a priori p losowego i stałego w każdej realizacji wektora oraz że rozkład te jest gaussowski o wartości średiej 0 i apriorczej macierz kowariacji P E[ ] tz. p N[ 0 P 0]. Rozwiązaie sformułowaego powżej zagadieia przebiega w dwóch krokach. W pierwszm kroku są wzaczae optmale estmat $ dla dowolch dopuszczalch ciągów parametrów układu obserwacji { B } tj. ciągów spełiającch waruek statstczego dopasowaia.5. Po zalezieiu optmalch estmat $ dla dowolch dopuszczalch ciągów { B } w drugim kroku są wzaczae optmale w każdej chwili wartości parametrów B i zapewiające osiągięcie globalego miimum średiego rzka.6 i jedocześie spełiające waruek.5. Szczegółowe rozwiązaie moża zaleźć w prac [64]. Peł algortm określając optmal sposób estmacji parametrów sgałów regresjch. oraz optmale reguł sterowaia parametrami układu obserwacji.4 przbierają w przpadku sgałów stacjoarch astępującą postać: 6

19 Kocepcja adaptacjej dopasowaej obserwacji Optmal algortm estmacji Rekursja dla estmat wektora parametrów: $ $ P ~ $ B..7 P Rekursja dla macierz kowariacji błędów estmacji P E[ $ $ ~ ] : Waruki początkowe: P P PP P..8 $ P P Optmale reguł sterowaia Sgał kompesując: zułość układu obserwacji: B α $..0 D P. gdzie wartość stałej α wika z założoej wartości parametru µ i jest rozwiązaiem rówaia zaś Φ α jest całką prawdopodobieństwa. α Φ α erf µ. Z reguł.0 wika że optmala kompesacja bieżącej próbki aalizowaego sgału jest określoa jedokrokową predkcją $ estmat $ wektora parametrów w chwili poprzediej. tej próbki obliczoą a podstawie Schemat blokow optmalego układu estmacji parametrów stacjoarch sgałów regresjch z adaptacjm sterowaiem parametrami układu obserwacji przedstawioo a rsuku.. 7

20 Kocepcja adaptacjej dopasowaej obserwacji ~ e e Blok estmacji $ i sterowaia $ $ Układ obserwacji Blok geeracji Rs... Schemat blokow układu estmacji parametrów stacjoarch sgałów regresjch Efekt ieliiowe wstępujące prz statstczie dopasowaej obserwacji sgału powodują pojawieie się w estmatach.7 poprawek rzędu O µ które dla µ << moża pomiąć [64]. Rówież rekursja określająca macierz kowariacji błędów estmacji.8 jest wzaczoa z dokładością O µ. Wika z tego że im miejsz jest ilocz µ tm rówości.7 i.8 są dokładiejsze. Jak zostaie pokazae dalej szbkość zbieżości estmat.7 do prawdziwch wartości wektora jest bardzo duża a więc rekursje wstarcz rozpatrwać dla iezbt dużch. m samm moża uzać że pojawiające się błęd wikające z odrzuceia ieliiowch człoów w rekursjach.7 i.8 mają zikom wpłw a dokładość estmacji [64]..3. Wpłw sterowaia parametrami układu obserwacji a szbkość zbieżości algortmów estmacji Algortm.7-. charakterzuje się bardzo szbką zbieżością estmat parametrów $ do ich prawdziwch wartości. Uzskuje się to dzięki optmalemu adaptacjemu sterowaiu czułością w trakcie obserwacji oraz optmalemu kształtowaiu sgału kompesującego B. W początkowch taktach prac algortmu sgał błędu kompesacji e B a wejściu układu obserwacji może przbierać duże wartości w związku z tm czułość przjmuje wówczas małe wartości zapewiające szeroki zakres liiowej obserwacji: e [ B D B D ]. W kolejch taktach w miarę wzrastaia dokładości kompesacji aalizowaego sgału błąd kompesacji maleje a co za tm idzie czułość układu może bć zwiększaa do wartości iearuszającch waruku statstczego dopasowaia. Wzrost czułości i dokładiejsza kompesacja powoduje z kolei szbszą zbieżość estmat $ do prawdziwch wartości. 8

21 Kocepcja adaptacjej dopasowaej obserwacji Ilościowej oce szbkości zbieżości algortmu.7-. moża dokoać przjmując kokretą miarę błędu estmacji $ i aalizując jak szbko miara ta maleje w fukcji czasu. Jako miarę błędu estmacji przjmuje się często w literaturze objętość elipsoid dspersji błędów estmacji [5]. Poieważ miara ta jest proporcjoala do pierwiastka kwadratowego z wzaczika det P macierz kowariacji błędów estmacji P zatem o szbkości zbieżości algortmu moża wioskować a podstawie aaliz szbkości z jaką maleje trajektoria wzaczika det P. Podejście takie obok aaliz trajektorii śladu tr P lub trajektorii stosuku λ max λ mi ajwiększej wartości własej tej macierz do jej wartości ajmiejszej jest często stosowam uproszczom ale skuteczm sposobem oce i porówaia zbieżości różch rekurecjch algortmów estmacji [6]. W prac [64] ilościową oceę szbkości zbieżości algortmu.7-. przeprowadzoo aalizując zachowaie wzaczika det P. Aaliza polegająca tlko a śledzeiu zmia wzaczika macierz P w czasie daje jedak iekomplet obraz zbieżości estmat wszstkich parametrów poieważ wzaczik det P L λ k k może ie zmieiając swej wartości zawierać róże kombiacje dużch i małch wartości własch macierz P. Jeda dobrze westmowaa składowa wektora może spowodować że wartość tego wzaczika będzie bliska zeru mimo że dokładość estmat ich składowch będzie iezadowalająca. aka stuacja odpowiada ierówomierej zbieżości estmat poszczególch parametrów. Z tego względu w [64] przeprowadzoo także aalizę trajektorii ajmiejszej wartości własej λ mi macierz P. Wkazao m.i. że dla dopuszczalch ciągów parametrów { B } spełiającch waruek statstczego dopasowaia.5 wzaczik macierz kowariacji błędów moża opisać rekursją: det P P det P.3 a ajmiejsza wartość własa macierz P spełia ierówość: mi mi mi mi mi k λ λ λ λ λ k 0 0 k k..4 Na podstawie tch zależości w [64] sformułowao i udowodioo twierdzeie charakterzujące szbkość zbieżości algortmu.7-.. wierdzeie to mówi że jeśli w 9

22 Kocepcja adaptacjej dopasowaej obserwacji pewm początkowm przedziale spełio jest waruek dostateczej różorodości obserwacji ag. persistec coditio wrażo astępującą ierówością: SNR ip Smax P > >> Q SNR out.5 oraz optmale estmat $ są obliczae zgodie z rekursjami.7-.9 a układ obserwacji jest sterowa według reguł.0-. to istieje taki przedział początkow mi w którm z dużą dokładością spełioa jest rówość: 0 detp Q gdzie chwila jest określoa w przbliżeiu wzorem * l mi λ 0 Emi l Q detp Wstępujące w zależościach.5-.7 wielkości są zdefiiowae astępująco: SNR ip jest stosukiem sgał-szum a wejściu układu obserwacji uśrediom względem rozkładu a priori parametrów a SNR out Q D α jest stosukiem sgał-szum a wjściu układu obserwacji. Wielkość Q D α możem iterpretować jako stosuek sgałszum a wjściu układu obserwacji poieważ jeśli czułość układu obserwacji.4 jest sterowaa zgodie z regułą. to wielkość ~ E[ e ] D/ α jest średią mocą składowej iformacjej bez uwzględieia szumu wewętrzego układu obserwacji a jego wjściu. Wielkość S max max Emax P max Emax P 0 λ max 0 E max jest maksmalą apriorczą dspersją moc składowej użteczej sgału { } a E max max i Emi mi > 0 sgału { }. maksmalą i miimalą sumarczą mocą W prac [64] udowodioo rówież astępującą ierówość dla ajmiejszej wartości własej macierz P potwierdzającą rówomierą zbieżość poszczególch składowch estmowaego wektora : λ mi Q λ mi..8 Z rówaia.6 wika że w pewm początkowm przedziale obserwacji wzaczik macierz kowariacji błędów estmacji det P maleje wkładiczo ze wzrostem. Moża zatem powiedzieć że algortm.7-. zbiega się w tm przedziale z 0

23 Kocepcja adaptacjej dopasowaej obserwacji szbkością wkładiczą. Należ podkreślić że jest to jed za dotąd rekursw algortm parametrczej estmacji sgałów którego początkowa szbkość zbieżości jest wkładicza. Szbkość zbieżości klasczch algortmów tego tpu jest co ajwżej hiperbolicza. Wkładicza szbkość zbieżości algortmu przechodzi stopiowo w hiperboliczą w okolicach chwili. Wówczas sterowaie czułością układu obserwacji ie wpłwa już a poprawę dokładości estmacji i może bć zaiechae. Jak podkreśloo wcześiej uzskaie wkładiczej szbkości zbieżości algortmu.7-. jest możliwe dzięki optmalemu sterowaiu czułością układu obserwacji prz odpowiediej kompesacji aalizowaego sgału. o właśie adaptacje sterowaie czułością umożliwia uzskaie zadowalającej dokładości estmacji w bardzo krótkim czasie. echa ta staowi ważą zaletę kocepcji adaptacjej dopasowaej obserwacji i ma bardzo istote zaczeie dla zastosowań praktczch w którch dspoujem jedie krótkimi ciągami obserwacji. Jest oa także istota dla zagadień rozpatrwach w iiejszej prac umożliwia bowiem szbsze wkrwaie i śledzeie zmia parametrów sgałów iestacjoarch. Wpłw sterowaia czułością układu obserwacji a poprawę szbkości zbieżości estmacji możem zbadać ilościowo porówując szbkość zbieżości algortmu.7-. z szbkością zbieżości algortmu w którm czułość układu obserwacji jest stała cost. W tm przpadku ajwiększa wartość stałej czułości dla której waruek statstczego dopasowaia.5 ie jest aruszo jest określoa wzorem [64]: D.9 α S max 0 gdzie S max max P0 jest maksmalą dspersją moc składowej użteczej sgału Emax { } E max max zaś α jest rozwiązaiem rówaia.. W przpadku stałej czułości układu obserwacji macierz kowariacji błędów estmacji jest opisaa zależością: P PE 0 I P 0 0 E O.0 gdzie E k k k. Ideks 0 we frakcji górej został doda dla podkreśleia że 0 macierz kowariacji P jest obliczaa prz założeiu stałej czułości układu obserwacji. 0

24 Kocepcja adaptacjej dopasowaej obserwacji Z porówaia wzorów.8 i.0 wika twierdzeie podae w prac [9] mówiące o tm że jeśli optmale estmat $ obliczae za pomocą algortmu.7-. z adaptacjie sterowaą czułością układu obserwacji osiągęł w pewej chwili dokładość scharakterzowaą przez wartość wzaczika det P to stosując algortm ze stałą czułością określoą wzorem.9 tę sama dokładość estmacji uzskuje się po zaczie dłuższm czasie ' prz czm chwile i ' są związae ierówością: L 0 ' det P0 E log 0 log Q ' log' < log Q L.. Nierówość. dowodzi że ze względu a szbkość zbieżości optmal algortm.7-. z adaptacjie sterowaą czułością układu obserwacji ma istotą przewagę ad optmalm algortmem w którm czułość jest stała. Podkreślm raz jeszcze że szbki początkow wzrost dokładości estmacji oraz sile tłumieie szumu wewętrzego układu obserwacji jest skutkiem wzrostu czułości układu obserwacji w pierwszch taktach prac algortmu co jest związae rówież ze wzrostem dokładości kompesacji aalizowaego sgału. Dzięki dokładiejszej progozie wartości próbek sgału możliw jest dalsz wzrost czułości układu obserwacji i w kosekwecji prawie całkowita elimiacja wpłwu szumu wewętrzego a dokładość estmacji parametrów. Z przedstawioej powżej aaliz szbkości zbieżości algortmów opartch a kocepcji adaptacjej dopasowaej obserwacji sgału wika że kocepcja ta umożliwia stezę efektwiejszch algortmów estmacji. W szczególości wkładicza początkowa szbkość zbieżości staowi o przewadze algortmów z adaptacjie sterowaą czułością układu obserwacji ad algortmami klasczmi. Zastosowaie optmalch algortmów wwodzącch się z kocepcji adaptacjej dopasowaej obserwacji stwarza zatem możliwość zwiększeia jakości sstemów przetwarzaia sgałów. W pracach [66-85] przeaalizowao możliwość wkorzstaia kocepcji adaptacjej dopasowaej obserwacji w różorodch zagadieiach praktczch m.i. opracowao [66-69] i opatetowao [83] zasadę fukcjoowaia owej klas aalogowo-cfrowch sstemów pomiarowch z adaptacjie sterowami czujikami i optmalm przetwarzaiem sgałów pomiarowch. Kocepcję adaptacjej dopasowaej obserwacji wkorzstao także do odporej idetfikacji sgałów regresjch [86-93]. Większość uzskach w tch pracach rezultatów dotcz jedak przetwarzaia sgałów stacjoarch.

25 Kocepcja adaptacjej dopasowaej obserwacji.4. Kocepcja adaptacjej dopasowaej obserwacji w przetwarzaiu sgałów iestacjoarch Kocepcja adaptacjej dopasowaej obserwacji umożliwia owe spojrzeie a zagadieie przetwarzaia sgałów iestacjoarch. Jak wspomiao wcześiej ograiczo zakres liiowości sgału a wjściu układu obserwacji poza którm aalizowa sgał jest ziekształca ieliiowo bądź ograicza jest cechą charakterstczą każdego realego układu obserwacji. echa ta abiera szczególego zaczeia w przpadku przetwarzaia sgałów iestacjoarch charakterzującch się zwkle dużm zakresem zmia wartości kied wejście sgału w zakres ieliiowch ziekształceń układu obserwacji jest bardziej prawdopodobe iż w przpadku sgałów stacjoarch. elowe staje się więc opracowaie takich algortmów przetwarzaia sgałów iestacjoarch i sterowaia parametrami układu obserwacji które pozwoliłb welimiować błęd związae z ieliiowm przetwarzaiem bądź ograiczaiem aalizowaego sgału. Nie jest to jedak możliwe w przpadku przjęcia klasczego modelu układu obserwacji tj. modelu liiowego w całm zakresie damiczm sgału. Możliwość taka pojawia się atomiast rówież dla sgałów iestacjoarch jeśli przjmie się podstawowe założeia kocepcji adaptacjej dopasowaej obserwacji tj. ieliiow model układu obserwacji oraz waruek statstczego dopasowaia układu obserwacji do charakterstk aalizowaego sgału. Przspieszoa zbieżość algortmów estmacji z optmalm sterowaiem parametrami układu obserwacji pozwala rówież a opracowaie efektwiejszch procedur detekcji zmia parametrów aalizowach sgałów. Wstępe badaia poświęcoe tm zagadieiom został przedstawioe w pracach [94-04]. Niiejsza praca uogólia i rozszerza rezultat tch badań m.i. przez wprowadzeie odpowiedich modeli iestacjoarości sgałów. W prac przjęto astępując ogól regresj model rozpatrwach sgałów iestacjoarch: gdzie L [... ].... jest wektorem losowch parametrów modelu które - w odróżieiu od modelu sgału stacjoarego. - są zmiee w czasie atomiast L [... ] są zami sgałami determiistczmi. Szum { } określo jak w modelu.. 3 v jest Pierwsz z prezetowach w prac algortmów jest rozszerzeiem podstawowego algortmu.7-. optmalej estmacji parametrów sgałów stacjoarch a

26 Kocepcja adaptacjej dopasowaej obserwacji przpadek sgałów iestacjoarch w którch wstępują losowe drft parametrów. Proces drftu parametrów może bć modelowa w róż sposób. W prac przjęto astępując model zmia parametrów obejmując zarówo drft tpu wielomiaowego jak i wkładiczego: gdzie α e γ γ... α e....3 L ] s [... [... L ]... [... L α α ] [... L α α ] 4 α α... są wartościami prędkości arastaia poszczególch składowch drftów o losowch iezach wartościach. Parametr γ... są dodatimi zami stałmi γ charakterzującmi drft wkładicze. Model.3 drftu parametrów sgału. obejmuje zarówo drft sgału użteczego jak i zakłóceń. Moża w im m.i. ująć drft wartości średiej szumu zewętrzego { v } oraz drft zera jego charakterstki.4. Ideks s we frakcji dolej wektora s został doda dla podkreśleia że jest to stała w czasie składowa wektora. Drugim prezetowam w prac algortmem jest zmodfikowaa wersja podstawowego algortmu estmacji parametrów sgałów stacjoarch w której wprowadzoo mechaizm zapomiaia umożliwiając szbszą reakcję algortmu a agłe skokowe zmia parametrów. Rozpatrwae zmia parametrów są opisae astępującm modelem: N N....4 L L gdzie [... ] [... ]... są losowmi amplitudami skoków parametrów odpowiedio w losowch iezach chwilach N N... a smbol we wzorze.4 ozacza fukcję jedostkową. rzecim algortmem jest algortm jedoczesej detekcji zakłóceń tpu drftów ag. drift-like faults i estmacji parametrów sgałów i zakłóceń opart a metodach werfikacji hipotez. W prac przjęto astępując model aalizowaego sgału z addtwm drftem liiowm: N0 N0.5 gdzie jest iezaą losową prędkością arastaia drftu a N 0 - iezam mometem pojawieia się drftu. Ostatim algortmem przetwarzaia sgałów iestacjoarch omawiam w prac jest optmal algortm filtracji tpu Kalmaa realizując jedocześie filtrację sgału tj. estmację bieżącch wartości sgału oraz estmację jego parametrów. Przjęto że

27 Kocepcja adaptacjej dopasowaej obserwacji parametr sgału. zmieiają się w sposób losow a ich zmia są opisae procesem Markowa: ρ U η.6 gdzie ρ jest zaą L L wmiarową macierzą współczików korelacji zakładam że det ρ < jest iezaą losową L K wmiarową macierzą a U [ U U... U ] jest wektorem zach determiistczch pobudzeń lub sterowań. Szum wektorow L [ η η... η ] η jest szumem gaussowskim o zerowej wartości średiej i macierz kowariacji Σ : N[ ] η p η η 0 Σ. η K 5

28 Estmacja parametrów sgałów regresjch w obecości zakłóceń tpu drftów Estmacja parametrów sgałów regresjch w obecości zakłóceń tpu drftów i agłch zmia parametrów sgałów Omówioe w rozdziale podstawowe algortm estmacji oparte a kocepcji adaptacjej dopasowaej obserwacji tj. algortm.7-. z adaptacjie sterowaą czułością oraz algortm ze stałą czułością układu obserwacji są optmale prz założeiu sgałów stacjoarch i gaussowskich rozkładów szumu wewętrzego i zewętrzego obserwacji. W liczch zagadieiach praktczch wstępują jedak stuacje w którch sgał użtecz lub jego zakłóceia bądź też jedocześie sgał użtecz i zakłóceia są iestacjoare. Niestacjoarość może bć prz tm rozumiaa w róż sposób m.i. jako zmia wartości parametrów sgałów użteczch i zakłóceń wstępujące w trakcie jego obserwacji. W takich stuacjach zachodzi potrzeba opracowaia odpowiedich modfikacji podstawowch optmalch algortmów otrzmach dla sgałów stacjoarch cz wręcz stez owch algortmów efektwch w przpadku wstąpieia iestacjoarości. W puktach 3. i 3.3 przeprowadzoa zostaie aaliza prac podstawowch algortmów.7-. oraz bez ich modfikacji w przpadku gd wstępują drft wartości parametrów aalizowaego sgału pukt 3. oraz w przpadku gd wartości parametrów sgału ulegają agłm zmiaom pukt 3.3. Wiki tej aaliz posłużą do zapropoowaia odpowiedich modfikacji podstawowch algortmów estmacji odpowiedio w puktach 3. i Aaliza prac algortmów estmacji w obecości zakłóceń tpu drftów W wielu praktczch zastosowaiach cfrowego przetwarzaia sgałów mam do czieia z problemem estmacji parametrów sgałów w stuacji gd wstępują losowe drft parametrów sgału użteczego bądź zakłóceń. Proces drftu parametrów sgału może bć modelowa w róż sposób. Będziem rozpatrwać sgał opisae ogólm modelem regresjm. w którch drft parametrów są modelowae rówaiem.3. Poiżej zostaą przedstawioe rezultat badań smulacjch dotczącch zachowaia się podstawowch algortmów.7-. oraz w przpadku przetwarzaia sgałów iestacjoarch w którch wstępują drft parametrów. 6

29 Estmacja parametrów sgałów regresjch w obecości zakłóceń tpu drftów... Ekspermet 3. Badaia smulacje przeprowadzoo dla ajprostszego przpadku sgału regresjego. zawierającego składową stałą która w trakcie obserwacji ulega losowemu drftowi. Przjęto liiow model zmieości drftu. Sgał aalizowa ma wówczas postać: 3. s gdzie jest estmowam parametrem s jest stałą w czasie losową składową parametru a jest losową prędkością arastaia liiowego drftu parametru. We wszstkich ekspermetach prezetowach w pukcie 3. przjęto astępujące wartości parametrów: wariacja szumu zewętrzego 0 ; parametr układu 4 obserwacji: D 05 ; 0 ; α 7 µ P 0 ; ; 0 oraz waruki początkowe: Wszstkie smulacje przeprowadzoo dla tch samch realizacji w przpadku pojedczch ekspermetów bądź tch samch zbiorów realizacji sgału { } w przpadku uśrediaia wików ekspermetów. Stosowao ajpierw optmal algortm z adaptacjie sterowaą czułością układu obserwacji a astępie w celu porówaia optmal algortm ze stałą czułością układu obserwacji. W celu ilustracji podstawowch właściwości algortmów estmacji omówioch w rozdziale ajpierw zostaą przedstawioe wiki badań smulacjch w przpadku estmacji parametru sgału stacjoarego w którm ie wstępuje losow drft tz. prz założeiu 0 w modelu 3.. Przjęto że wartość parametru s. Na rsuku s 3. przedstawioo przkładową trajektorię estmat ˆ parametru dla tego przpadku uzskaą prz zastosowaiu algortmu z adaptacjie sterowaą czułością układu obserwacji liia czerwoa oraz trajektorię uzskaą prz zastosowaiu algortmu ze stałą czułością liia różowa. Na rsuku 3. przedstawioo trajektorie empirczch błędów średiokwadratowch EMSE estmacji parametru uśredioe po zbiorze K 00 realizacji sgału { }: k K EMSE $ $ K k. 3. W przpadku obliczeń EMSE dla poszczególch realizacji sgału { } geerowao losowo róże wartości parametru s prz czm przjęto że rozkład zmieej losowej s jest gaussowski: p N[ - ]. s s 0 7

30 Estmacja parametrów sgałów regresjch w obecości zakłóceń tpu drftów... Rs. 3.. rajektorie estmat parametru obliczach za pomocą algortmu ze stałą czułością liia różowa oraz algortmu z adaptacjie sterowaą czułością układu obserwacji liia czerwoa; liia czara prawdziwa wartość parametru Rs. 3.. rajektorie empirczego błędu średiokwadratowego EMSE estmacji parametru otrzmae w przpadku zastosowaia algortmu ze stałą czułością liia różowa oraz algortmu z adaptacjie sterowaą czułością układu obserwacji liia czerwoa Rezultat ekspermetów świadczą o istotm polepszeiu jakości estmacji parametru w wiku wprowadzeia optmalego sterowaia czułością układu obserwacji. Zarówo wkres trajektorii estmat rs. 3. jak i wkres trajektorii empirczch błędów średiokwadratowch rs. 3. potwierdzają iż algortm z adaptacjie sterowaą czułością układu obserwacji ma szczególie wraźą przewagę ad algortmem ze stałą czułością w początkowm okresie prac w którm szbkość jego zbieżości jest wkładicza. I tak a przkład empircz błąd średiokwadratow estmacji parametru od chwili 5 jest o 8

31 Estmacja parametrów sgałów regresjch w obecości zakłóceń tpu drftów... blisko rząd miejsz dla algortmu z adaptacjie sterowaą czułością w porówaiu z empirczm błędem średiokwadratowm dla algortmu ze stałą czułością por. rs. 3.. Polepszeie jakości estmacji w początkowm okresie prac ilustruje także w przekoując sposób rsuek 3. a którm wartości estmat parametru obliczae za pomocą algortmu z adaptacjie sterowaą czułością przjmują od około 5 próbki wartości bliskie prawdziwej wartości parametru s podczas gd w przpadku algortmu ze stałą czułością wartości estmat $ różią się zaczie od prawdziwej wartości parametru do około 30 próbki. ak więc zgodie z przewidwaiami teoretczmi z wkresów zamieszczoch a rsukach 3. i 3. wika że optmal algortm z adaptacjie sterowaa czułością umożliwia dokoaie estmacji iezaej stałej wartości parametru s prz zadam poziomie dokładości estmacji w zaczie krótszm czasie iż optmal algortm w którm czułość układu obserwacji jest stała. W drugiej części ekspermetów przeprowadzoo aalizę prac podstawowch algortmów ze sterowaą czułością.7-. oraz ze stałą czułością w przpadku gd wstępuje drft parametru. Na rsuku 3.3 przedstawioo przkładowe trajektorie estmat parametru dla astępującch wartości parametrów: s 005. Rs rajektorie estmat parametru obliczach za pomocą algortmu ze stałą czułością liia różowa oraz algortmu z adaptacjie sterowaą czułością układu obserwacji liia czerwoa; liia czara prawdziwe wartości parametru Na rsuku 3.4 przedstawioo uśredioe po zbiorze K 00 realizacji sgału trajektorie EMSE parametru obliczae ze wzoru 3. prz założeiu tej samej wartości 005. Podobie jak w poprzedim ekspermecie w przpadku obliczeń EMSE geerowao losowo róże wartości parametru s sgału 3. w poszczególch 9

32 Estmacja parametrów sgałów regresjch w obecości zakłóceń tpu drftów... realizacjach prz czm przjęto że rozkład zmieej losowej s jest gaussowski: p N[ - ]. s s 0 Rs rajektorie EMSE estmacji parametru otrzmae w przpadku zastosowaia algortmu ze stałą czułością liia różowa oraz algortmu z adaptacjie sterowaą czułością układu obserwacji liia czerwoa Wkres trajektorii przedstawioe a rsukach 3.3 i 3.4 ilustrują słabą jakość estmacji iestacjoarego parametru dla prędkości arastaia drftu 005. Wraźie widać że od około 5 próbki oba algortm ie radzą sobie z drftem a estmat $ wraz ze wzrostem czasu obserwacji zaczają coraz bardziej odbiegać od prawdziwch wartości parametru. W dalszej części ekspermetu przeaalizowao zachowaie trajektorii EMSE parametru dla różch wartości prędkości arastaia drftu. Na rsuku 3.5 przedstawioo powierzchie złożoe z trajektorii EMSE wzaczach dla wartości zmieiach od 0 do 0 z krokiem 00. Aalogiczie jak w przpadku ekspermetów dla sgału stacjoarego każda z realizacji sgału { } bła przetwarzaa przez algortm ze stałą czułością rs. 3.5a oraz przez algortm z adaptacjie sterowaą czułością rs 3.5b układu obserwacji. 30

33 Estmacja parametrów sgałów regresjch w obecości zakłóceń tpu drftów... a b Rs rajektorie EMSE estmacji parametru otrzmae w przpadku zastosowaia algortmu ze stałą czułością rs. a oraz algortmu z adaptacjie sterowaą czułością układu obserwacji rs. b dla różch wartości prędkości arastaia liiowego drftu Uzskae rezultat ekspermetów zarówo w przpadku zastosowaia algortmu z adaptacjie sterowaą czułością jak i algortmu ze stałą czułością układu obserwacji pokazują że w przpadku gd wstępują drft parametrów algortm te ie potrafią poprawie śledzić awet dość wolch zmia parametru. Na rsuku 3.5 już dla małch wartości 00 dla obu algortmów widać wzrost EMSE od około 40 próbki w stosuku do przpadku gd drft ie wstępuje. Z rsuku 3.5 wika iż dokładość estmacji parametru obu algortmów maleje proporcjoalie do prędkości arastaia drftu. Podobe ekspermet smulacje przeprowadzoo także dla ich iż liiow γ drftów: m.i. kwadratowch oraz wkładiczch opisach modelem α e gdzie α jest estmowam parametrem drfu a γ 0 γ jest zaą stałą charakterzującą drft. Otrzmae rezultat prowadzą do idetczch wiosków. Podstawowe algortm estmacji parametrów sgałów optmale dla sgałów stacjoarch ie są skuteczm arzędziem gd wstępują awet iewielkie drft parametrów aalizowaego sgału. W związku z tm istieje koieczość opracowaia algortmów które umożliwiałb estmację parametrów sgałów w przpadkach wstępowaia drftów parametrów. 3.. Rozszerzoe algortm optmalej estmacji parametrów sgałów iestacjoarch W pukcie tm omówim rozszerzoe algortm optmalej estmacji parametrów sgałów iestacjoarch w którch wstępują losowe drft parametrów opisae modelem.3. Rozszerzeie optmalch algortmów estmacji parametrów sgałów 3

34 Estmacja parametrów sgałów regresjch w obecości zakłóceń tpu drftów... stacjoarch opartch a kocepcji adaptacjej dopasowaej obserwacji a przpadek sgałów iestacjoarch polega a sprowadzeiu zagadieia estmacji parametrów iestacjoarego wektora do zagadieia estmacji parametrów rozszerzoego stałego w czasie wektora. Aalizowa sgał przedstawim w astępującej postaci: γ γ [... α e α e s...] 3.3 gdzie [ s... α α...] jest rozszerzom wektorem iezach stałch parametrów sgału a γ γ [... e e...] jest rozszerzom wektorem składowch determiistczch. Wektor s zawiera stałe w czasie składowe iestacjoarego wektora. Zadaie polega a wzaczeiu optmalch estmat rozszerzoego wektora $ złożoego z estmat wektora s oraz estmat odpowiedich wektorów parametrów drftu... α α... a astępie obliczeiu a ich podstawie estmat $ iestacjoarego $ $ wektora parametrów. Rozszerzoa macierz kowariacji P E[ ~ ] błędów estmacji wektora $ ma postać: P P Σ 3.4 Σ S gdzie macierz P jest macierzą kowariacji estmat $ s wektora s S jest macierzą kowariacji estmat wektora parametrów drftu [... α α...] a Σ Σ są odpowiedimi macierzami kowariacji. Zakładam że wektor s i wektor parametrów drftu... α α... są wzajemie iezależe. Optmal rozszerzo algortm estmacji parametrów sgałów iestacjoarch przbiera w przpadku wstępowaia drftów parametrów astępującą postać: Optmal rozszerzo algortm estmacji Rekursja dla estmat rozszerzoego wektora parametrów : $ $ P ~ $ $ B. 3.5 P 3

35 Estmacja parametrów sgałów regresjch w obecości zakłóceń tpu drftów... Rekursja dla rozszerzoej macierz kowariacji błędów estmacji: P P P P P. 3.6 Waruki początkowe: ˆ...] 0 [ s α0 α0 P 0 P0 S0 diag. 3.7 Estmat parametrów wektora : $ $ $ $... α$ e γ γ α$ e... s. 3.8 Optmale reguł sterowaia Sgał kompesując: zułość układu obserwacji: B α $. D Dla algortmu ze stałą czułością układu obserwacji P. 3.0 D 3. α S max gdzie S max max P0 por. wzór.9. Wartość stałej α jest rozwiązaiem rówaia.. Emax Poiżej przedstawioo wiki badań smulacjch rozszerzoch algortmów estmacji. Podobie jak w pukcie 3. smulacje przeprowadzao dla sgału opisaego modelem 3. z liiowm drftem stałej składowej. Wszstkie ekspermet prezetowae w tm pukcie przeprowadzoo dla idetczch realizacji sgału { } jak w pukcie 3.. Umożliwia to porówaie właściwości propoowach rozszerzoch algortmów estmacji z właściwościami podstawowch algortmów estmacji stosowami w pukcie 3.. Ekspermet 3. W ekspermecie przeprowadzoo aalizę prac rozszerzoch algortmów ze sterowaą czułością oraz ze stałą czułością w przpadku gd wstępuje drft parametru sgału 3.. Rozszerzom wektorem parametrów jest wektor [ s ] a rozszerzo wektor składowch determiistczch ma postać: [ ]. 33

36 Estmacja parametrów sgałów regresjch w obecości zakłóceń tpu drftów... W ekspermetach smulacjch przjęto astępujące waruki początkowe dla rozszerzoch algortmów estmacji: 0 [ 00 ] ; P 0 diag ; 5;. Na rsuku 3.6 przedstawioo przkładowe trajektorie estmat parametru dla astępującch wartości parametrów: s 005. Rs rajektorie estmat parametru obliczach za pomocą rozszerzoego algortmu ze stałą czułością liia jasoiebieska oraz rozszerzoego algortmu z adaptacjie sterowaą czułością układu obserwacji liia iebieska; liia czara prawdziwe wartości parametru Wkres trajektorii estmat $ obliczach za pomocą rozszerzoch algortmów estmacji zarówo z adaptacjie sterowaą czułością jak i ze stałą czułością układu obserwacji pokazują że estmat te zbiegają się do prawdziwch wartości parametru. Przpomijm że w przpadku podstawowch algortmów estmat $ uzskae dla tej samej realizacji sgału { } ie adążają za zmiaami parametru por. rs Jak widać a rsuku 3.6 w przpadku rozszerzoego algortmu z adaptacjie sterowaą czułością układu obserwacji szbkość zbieżości estmat $ do prawdziwch wartości parametru jest wraźie większa iż rozszerzoego algortmu ze stałą czułością. Wartości estmat $ obliczach za pomocą algortmu z adaptacjie sterowaą czułością przjmują od około 7 próbki wartości bliskie prawdziwej wartości parametru podczas gd w przpadku zastosowaia algortmu ze stałą czułością wartości estmat $ różią się zaczie od prawdziwej wartości parametru do 50 próbki. Na rsuku 3.7 przedstawioo trajektorie EMSE estmacji parametru obliczae zgodie ze wzorem 3. i uśredioe po zbiorze K 00 realizacji sgału. Wkorzstao te 34

37 Estmacja parametrów sgałów regresjch w obecości zakłóceń tpu drftów... same realizacje co w ekspermecie 3. w którm geerowao losowo róże wartości parametru s sgału { } przjmując że rozkład zmieej losowej s jest gaussowski: p N[ - ] oraz że prędkość arastaia liiowego drftu s s 0 Rs rajektorie EMSE estmacji parametru otrzmae w przpadku zastosowaia rozszerzoego algortmu ze stałą czułością liia jasoiebieska oraz rozszerzoego algortmu z adaptacjie sterowaą czułością układu obserwacji liia iebieska Porówując trajektorie EMSE uzskae dla rozszerzoch algortmów z trajektoriami EMSE uzskami dla podstawowch algortmów przedstawiomi a rsuku 3.4 widzim że rozszerzoe algortm zapewiają zbieżość estmat $ do prawdziwch wartości parametru podczas gd w przpadku podstawowch algortmów estmat $ ie zbiegają się do prawdziwch wartości o czm świadczą rosące w trakcie obserwacji empircze błęd średiokwadratowe estmacji parametru por. rs rajektorie EMSE zamieszczoe a rsuku 3.7 potwierdzają większą szbkość zbieżości estmat $ obliczach za pomocą rozszerzoego algortmu z adaptacjie sterowaą czułością układu obserwacji w porówaiu z szbkością zbieżości rozszerzoego algortmu ze stałą czułością. Jest to szczególie wraźe w początkowm okresie prac w którm wstępuje $ wkładicza szbkość zbieżości estmat. Jak widać a rsuku 3.7 empircz błąd estmacji parametru już od chwili 5 jest o blisko rząd miejsz dla algortmu z adaptacjie sterowaą czułością w porówaiu z empirczm błędem średiokwadratowm wzaczom dla algortmu ze stałą czułością. W dalszej części ekspermetu przeaalizowao zachowaie trajektorii EMSE parametru dla różch wartości prędkości arastaia liiowego drftu. Na rsuku

38 Estmacja parametrów sgałów regresjch w obecości zakłóceń tpu drftów... przedstawioo powierzchie złożoe z trajektorii EMSE wzaczach dla wartości zmieiach od 0 do 0 z krokiem 00 uzskae prz zastosowaiu rozszerzoch algortmów estmacji dla tch samch realizacji sgału { } co w ekspermecie 3.. a b Rs rajektorie EMSE estmacji parametru otrzmae w przpadku zastosowaia rozszerzoch algortmów estmacji dla różch wartości prędkości arastaia drftu Wkres trajektorii empirczego błędu średiokwadratowego uzskae dla różch wartości prędkości arastaia liiowego drftu wkreśloe a rsuku 3.8 potwierdzają że dokładość estmacji parametru rozszerzoch algortmów ie zależ od wartości parametru. W przpadku podstawowch algortmów dokładość estmacji malała wraz ze wzrostem prędkości arastaia drftu por. rs W celu uzupełieia wików smulacji a kolejch rsukach przedstawioo trajektorie estmat $ oraz trajektorie empirczego błędu średiokwadratowego prędkości arastaia drftu będącej składową rozszerzoego wektora parametrów [ ]. Wiki przedstawioe a rsukach otrzmao s dla tch samch realizacji sgału { } co w przpadku ekspermetów którch wiki przedstawioo odpowiedio a rsukach

39 Estmacja parametrów sgałów regresjch w obecości zakłóceń tpu drftów... Rs rajektorie estmat prędkości arastaia drftu obliczach za pomocą rozszerzoego algortmu ze stałą czułością liia jasoiebieska oraz rozszerzoego algortmu z adaptacjie sterowaą czułością układu obserwacji liia iebieska; liia czara - prawdziwa wartość parametru Rs rajektorie EMSE estmacji prędkości arastaia drftu otrzmae prz zastosowaiu rozszerzoego algortmu ze stałą czułością liia jasoiebieska oraz rozszerzoego algortmu z adaptacjie sterowaą czułością układu obserwacji liia iebieska 37

40 Estmacja parametrów sgałów regresjch w obecości zakłóceń tpu drftów... a b Rs. 3.. rajektorie EMSE estmacji prędkości arastaia drftu w przpadku zastosowaia rozszerzoch algortmów estmacji dla różch wartości prędkości arastaia rajektorie przedstawioe a rsukach świadczą o tm że algortm z adaptacjie sterowaą czułością potrafi dokładiej westmować prędkość arastaia drftu w porówaiu z algortmem ze stałą czułością układu obserwacji. Szczególie wraźie widać to a rsuku 3.0 gdzie EMSE parametru dla algortmu z adaptacjie sterowaą czułością jest od około 0 próbki o blisko rząd miejsz od EMSE otrzmaego w przpadku zastosowaia algortmu ze stałą czułością. Dokładiejsza estmacja prędkości arastaia drftu zwiększa skuteczość rozszerzoch algortmów i pozwala a dokładiejszą estmację iestacjoarego wektora parametrów co zilustrowao a rsukach Na rsukach 3. i 3.3 przedstawioo trajektorie estmat parametru oraz EMSE uzskae prz zastosowaiu rozszerzoch algortmów estmacji w przpadku estmacji parametru sgału stacjoarego tj. dla przpadku gd w sgale 3. ie wstępuje losow drft 0. Badaia przeprowadzoo dla tch samch realizacji sgału { } dla którch otrzmao wiki przedstawioe a rsukach 3. i 3. prz zastosowaiu podstawowch algortmów estmacji. Wkres z rsuków 3. i 3.3 potwierdzają przewidwaia teoretcze zgodie z którmi rozszerzeie wmiaru modelu regresji w aalizowam sgale 3.3 związae z uwzględieiem parametrów drftów powoduje zmiejszeie szbkości zbieżości estmat obliczach za pomocą rozszerzoch algortmów z adaptacjie sterowaą czułością oraz ze stałą czułością układu obserwacji por. rs. 3. i 3.. Podobie jak we wszstkich algortmach adaptacjego przetwarzaia sgału także w rozpatrwam przpadku wzrost rzędu modelu prowadzi do zmiejszeia szbkości zbieżości estmat. Algortm z adaptacjie 38 s

41 Estmacja parametrów sgałów regresjch w obecości zakłóceń tpu drftów... sterowaą czułością układu obserwacji zachowuje jedak podstawową cechę świadczącą o jego atrakcjości i decdującą o jego przewadze ad rozszerzom algortmem ze stałą czułością a miaowicie początkową wkładiczą szbkość zbieżości. Rs. 3.. rajektorie estmat parametru obliczach za pomocą rozszerzoego algortmu ze stałą czułością liia jasoiebieska oraz rozszerzoego algortmu z adaptacjie sterowaą czułością układu obserwacji liia iebieska; liia czara - prawdziwa wartość parametru Rs rajektorie EMSE estmacji parametru otrzmae w przpadku zastosowaia rozszerzoego algortmu ze stałą czułością liia jasoiebieska oraz rozszerzoego algortmu z adaptacjie sterowaą czułością układu obserwacji liia iebieska Podsumowując otrzmae wiki badań smulacjch rozszerzoch algortmów estmacji parametrów sgałów iestacjoarch ależ stwierdzić że rozszerzo algortm z adaptacjie sterowaą czułością układu obserwacji jest efektwm arzędziem estmacji parametrów sgałów iestacjoarch w którch wstępują drft parametrów. Poadto umożliwia o jedoczesą estmację parametrów drftu co ma istote 39

42 Estmacja parametrów sgałów regresjch w obecości zakłóceń tpu drftów... zaczeie w wielu zagadieiach praktczch. Podobe ekspermet smulacje przeprowadzoo także dla bardziej złożoch sgałów m.i. w przpadku drftu amplitud sgału siusoidalego - por. pukt 6. oraz ich drftów. Uzskae wiki potwierdzają sformułowae powżej wioski. Prezetowae rozszerzoe algortm estmacji pozwalają a otrzmaie prawidłowch estmat parametrów tlko w przpadku sgałów w którch charakter drftu parametrów jest dokładie za tz. wiadomo cz jest to drft liiow kwadratow cz wkładicz i są zae dokładie wszstkie składowe determiistcze rozszerzoego wektora wstępującego w modelu aalizowaego sgału 3.3. W zagadieiach praktczch mam często do czieia z sgałami w którch za jest charakter drftu ie jest atomiast za momet pojawieia się drftu. Ozacza to faktczie że w takich przpadkach składowe wektora ie są zae dokładie i w kosekwecji rozszerzoe algortm przestają bć optmale. Dla sgałów w którch ie zam mometów pojawiaia się drftów parametrów steza optmalch algortmów estmacji pozostaje problemem otwartm. Podkreślm a zakończeie że zapropoowae rozszerzoe algortm estmacji parametrów sgałów wwodzące się z kocepcji adaptacjej dopasowaej obserwacji dają jedocześie ajlepsze estmat zarówo parametrów sgałów użteczch jak i zakłóceń w zależości od iterpretacji poszczególch składowch wektora parametrów. Przkład zastosowaia rozszerzoch algortmów estmacji w zagadieiach przetwarzaia iestacjoarch sgałów pomiarowch przedstawioo w rozdziale Aaliza prac algortmów estmacji w przpadku agłch zmia parametrów sgałów W pukcie tm przedstawioo rezultat badań smulacjch zachowaia się podstawowch optmalch algortmów estmacji.7-. oraz w przpadku wstąpieia agłch skokowch zmia wartości parametrów sgału w iezach chwilach czasu. Poszukiwaie odpowiedich algortmów estmacji w takich stuacjach jest w pełi uzasadioe poieważ w praktce często mam do czieia z tego tpu iestacjoarością. Przjmiem ogól model agłch zmia parametrów sgału. w postaci: N N

43 Estmacja parametrów sgałów regresjch w obecości zakłóceń tpu drftów... L L gdzie [... ] [... ]... są losowmi amplitudami skoków parametrów odpowiedio w iezach chwilach N N... a jest fukcją jedostkową. Ekspermet 3.3 Ekspermet smulacje przeprowadzoo dla ajprostszego przpadku stałego sgału użteczego którego wartość zmieia się w chwili N. Sgał aalizowa ma wówczas postać: N. 3.3 s Przjęto astępujące wartości parametrów: wariacja szumu zewętrzego 0 ; 4 parametr układu obserwacji: D 05 ; 0 ; α 7 µ początkowe: 0 0; P 0 ; 0 oraz waruki 5. Wszstkie smulacje przeprowadzoo dla tch samch realizacji sgału { } stosując ajpierw optmal algortm z adaptacjie sterowaą czułością układu obserwacji.7-. a astępie w celu porówaia optmal algortm ze stałą czułością układu obserwacji We wszstkich omawiach dalej ekspermetach przjmowao że skok parametru wstępuje w dziesiątej próbce N 0 i ma wartość. Na rsuku 3.4 przedstawioo przkładowe trajektorie estmat parametru. Przjęto że wartość parametru s. Rs rajektorie estmat parametru obliczach za pomocą algortmu ze stałą czułością liia różowa oraz algortmu z adaptacjie sterowaą czułością układu obserwacji liia czerwoa; liia czara prawdziwe wartości parametru 4

44 Estmacja parametrów sgałów regresjch w obecości zakłóceń tpu drftów... Na rsuku 3.5 przedstawioo trajektorie empirczch błędów średiokwadratowch estmacji parametru obliczae zgodie ze wzorem 3. i uśredioe po zbiorze K 00 realizacji sgału. W przpadku obliczeń EMSE w poszczególch realizacjach sgału { } geerowao losowo róże wartości parametru s prz czm przjęto że rozkład zmieej losowej s jest gaussowski: p N[ - ]. s s 0 Rs rajektorie EMSE estmacji parametru otrzmae w przpadku zastosowaia algortmu ze stałą czułością liia różowa oraz algortmu z adaptacjie sterowaą czułością układu obserwacji liia czerwoa Przedstawioe a rsukach 3.4 i 3.5 rezultat badań smulacjch wskazują że wstąpieie skoku parametru powoduje że zarówo w przpadku zastosowaia algortmu z adaptacjie sterowaa czułością jak i algortmu ze stałą czułością układu obserwacji estmat $ bardzo powoli zbiegają do owej wartości parametru. Jak widać a rsuku 3.4 po wstąpieiu skoku estmat $ długo odbiegają od prawdziwch wartości parametru. Słabą jakość estmacji iestacjoarch parametrów potwierdzają rówież trajektorie empirczego błędu średiokwadratowego przedstawioe a rsuku 3.5. Podobe ekspermet przeprowadzoo także dla większch wartości skoku oraz ich chwil N pojawieia się skoku parametru. Dla większch wartości i N błęd estmacji po wstąpieiu skoku są większe a proces dochodzeia estmat do owej wartości parametru jest dłuższ. Rezultat wszstkich przeprowadzoch ekspermetów świadczą o słabej skuteczości algortmów.7-. oraz w przpadku wstąpieia agłch zmia wartości parametrów sgału. 4

45 Estmacja parametrów sgałów regresjch w obecości zakłóceń tpu drftów Zmodfikowae algortm estmacji parametrów sgałów iestacjoarch Z rezultatów poprzediego ekspermetu wika że w przpadku algortmów estmacji z adaptacjie sterowaą czułością.7-. oraz ze stałą czułością układu obserwacji optmalch w przpadku sgałów stacjoarch szbkość reakcji estmat a skoki wartości estmowach parametrów jest iezadowalająca. Z tego względu w prac podjęto próbę modfikacji tch algortmów w celu przspieszeia szbkości reakcji estmat a agłe zmia parametrów. Klasczm rozwiązaiem problemów przetwarzaia sgałów iestacjoarch jest wprowadzeie do algortmów estmacji i filtracji mechaizmu zapomiaia. Mechaizm taki umożliwia zróżicowaie wpłwu poszczególch obserwacji a wartości obliczach estmat adając obserwacjom pochodzącm z przeszłości miejszą wagę iż obserwacjom bieżącm. Najczęściej spotkam w literaturze mechaizmem zapomiaia jest metoda ważeia wkładiczego która sprowadza się do modfikacji rekursji dla macierz kowariacji błędów estmacji P określoej w przpadku rozważach w prac algortmów wzorem.8. Moża łatwo pokazać że odwrotość macierz kowariacji P.8 ma postać: P P 0 l l l l. 3.4 Wprowadzając ważeie wkładicze poszczególch składików sum wstępującej w wrażeiu 3.4 otrzmujem rekursję: P l l l l λp0 λ l l l 3.5 gdzie stała λ λ jest azwaa stałą zapomiaia. Rekursję 3.5 moża zapisać w rówoważej postaci: P λp. 3.6 Stosując do wzoru 3.6 lemat o rekurecjm odwracaiu macierz por. p. [4] i dokoując odpowiedich przekształceń otrzmujem rekursję dla macierz kowariacji P ze stałą zapomiaia λ: P P P P. 3.7 λ λ λ P 43

46 Estmacja parametrów sgałów regresjch w obecości zakłóceń tpu drftów... Wkorzstując rekursję 3.7 możem zapisać pełą postać zmodfikowaego algortmu estmacji parametrów sgałów iestacjoarch: Zmodfikowa algortm estmacji Rekursja dla estmat wektora parametrów: $ $ P Rekursja dla macierz kowariacji błędów estmacji: P Waruki początkowe: Optmale reguł sterowaia Sgał kompesując: zułość układu obserwacji: ~ $ B. 3.8 P P P P. 3.9 λ λ λ P $ P P B α $. 3. D P 3. W przpadku układu obserwacji ze stałą czułością wzór 3. przjmuje postać: 0 D. α S max 3.3 gdzie wielkość S max jest określoa jak w zależości.9. Wartość stałej α jest rozwiązaiem rówaia.. Poiżej przedstawioo wiki badań smulacjch przeprowadzoe dla zmodfikowach algortmów estmacji parametrów sgałów iestacjoarch. Ekspermet 3.4 W ekspermecie przeprowadzoo aalizę prac zmodfikowach algortmów estmacji w przpadku gd wstępuje skok parametru sgału 3.3. Badao zachowaie estmat parametru dla różch wartości stałej zapomiaia λ wstępującej w zmodfikowach algortmach. Podobie jak w pukcie 3.3 smulacje przeprowadzao dla sgału opisaego modelem 3.3 w którm skok parametru wstępuje w chwili N 0 i ma wartość. Przjęto takie same wartości pozostałch parametrów 44

47 Estmacja parametrów sgałów regresjch w obecości zakłóceń tpu drftów... sgału i zakłóceń oraz parametrów algortmów co w ekspermecie 3.3. Wszstkie smulacje przeprowadzoo dla tch samch realizacji sgału { } które bł wkorzstwae w pukcie 3.3. Każd z ekspermetów przeprowadzoo stosując ajpierw zmodfikowa algortm z adaptacjie sterowaą czułością układu obserwacji a astępie w celu porówaia zmodfikowa algortm ze stałą czułością układu obserwacji Na rsukach 3.6 i 3.7 przedstawioo przkładowe trajektorie estmat parametru uzskae prz zastosowaiu zmodfikowach algortmów estmacji odpowiedio ze stałą czułością oraz z adaptacjie sterowaą czułością układu obserwacji. Przjęto że wartość parametru s. Ekspermet przeprowadzoo dla trzech wartości stałej zapomiaia: λ 05 - trajektoria żółta algortm ze stałą czułością i trajektoria zieloa algortm z adaptacjie sterowaą czułością λ odpowiedio trajektorie jasoiebieska i iebieska λ 09 - odpowiedio trajektorie różowa i czerwoa. Porówując trajektorie estmat uzskae dla tej samej realizacji sgału { } w przpadku zastosowaia podstawowch algortmów rs. 3.4 widzim że wprowadzeie odpowiediej stałej zapomiaia λ do algortmów estmacji może zaczie przspieszć otrzmaie prawidłowch wartości estmat parametru po wstąpieiu skoku parametru. Rs rajektorie estmat parametru obliczach za pomocą zmodfikowaego algortmu ze stałą czułością układu obserwacji dla różch wartości stałej λ; liia czara prawdziwe wartości parametru 45

48 Estmacja parametrów sgałów regresjch w obecości zakłóceń tpu drftów... Rs rajektorie estmat parametru obliczach za pomocą zmodfikowaego algortmu z adaptacjie sterowaą czułością układu obserwacji dla różch wartości stałej λ; liia czara prawdziwe wartości parametru Wkres trajektorii z rsuków 3.6 i 3.7 wskazują a zaczą przewagę zmodfikowaego algortmu z adaptacjie sterowaą czułością układu obserwacji ad algortmem ze stałą czułością dla wszstkich rozważach wartości stałch zapomiaia λ. rajektorie estmat otrzmae dla algortmu z adaptacjie sterowaą czułością rs. 3.7 zaczie szbciej osiągają wartości bliskie prawdziwm wartościom parametru po wstąpieiu skoku w porówaiu z algortmem ze stałą czułością rs Na rsukach 3.8 i 3.9 przedstawioo trajektorie EMSE estmacji parametru uśredioe po zbiorze K 00 realizacji sgału. rajektorie t bł obliczae prz zastosowaiu zmodfikowach algortmów estmacji ze stałą czułością rs. 3.8 oraz z adaptacjie sterowaą czułością układu obserwacji rs rajektorie EMSE uzskae dla poszczególch wartości stałej zapomiaia λ 0 5 λ 075 i λ 09 wkreśloo idetczmi kolorami jak w przpadku trajektorii z rsuków 3.6 i 3.7. Porówując te trajektorie z trajektoriami EMSE otrzmami prz zastosowaiu podstawowch wersji algortmów rs. 3.5 widzim że błęd estmacji parametru po wstąpieiu skoku parametru otrzmae dla zmodfikowach algortmów estmacji z adaptacjie sterowaą czułością układu obserwacji maleją zaczie szbciej iż w przpadku podstawowch wersji algortmów. Szbkość z jaką maleją błęd estmacji zależ oczwiście od wartości stałej zapomiaia λ. 46

49 Estmacja parametrów sgałów regresjch w obecości zakłóceń tpu drftów... Rs rajektorie EMSE estmacji parametru otrzmae w przpadku zastosowaia zmodfikowaego algortmu ze stałą czułością układu obserwacji dla różch wartości stałej λ Rs rajektorie EMSE estmacji parametru otrzmae w przpadku zastosowaia zmodfikowaego algortmu z adaptacjie sterowaą czułością układu obserwacji dla różch wartości stałej λ Dla wszstkich aalizowach wartości stałej zapomiaia λ dokładość estmacji parametru zarówo przed skokiem parametrów jak i po skoku jest w przpadku zastosowaia zmodfikowaego algortmu z adaptacjie sterowaą czułością układu obserwacji rs. 3.9 zaczie większa iż w przpadku zastosowaia algortmu ze stałą czułością rs Adaptacje sterowaie czułością umożliwia zatem estmację iezaej wartości parametru po jego skoku prz zadam poziomie dokładości w zaczie krótszm czasie iż w przpadku algortmu w którm czułość układu obserwacji jest stała. Przedstawioe rezultat badań smulacjch ilustrują zaą w teorii algortmów adaptacjch sprzeczość wmagań pomiędz dokładością estmacji algortmów w 47

50 Estmacja parametrów sgałów regresjch w obecości zakłóceń tpu drftów... okresach w którch parametr sgału są stałe a ich wrażliwością a zmia parametrów przetwarzach sgałów por. p. [44]. W rozpatrwam przpadku wmagaia te moża próbować umiejętie pogodzić wprowadzając odpowiedio dobraą stałą zapomiaia λ w rekursji 3.9 dla macierz kowariacji P. Wartości stałej zapomiaia λ bliskie jedości pozwalają osiągąć dużą dokładość estmat parametrów w okresach obserwacji w którch parametr sgału są stałe por. rs. 3.8 i 3.9 atomiast charakterzują się małą wrażliwością a zmia parametrów por. rs. 3.6 i 3.7. Miejsze wartości λ pozwalają a szbką reakcję estmat a zmia parametrów ale dokładość uzskiwach estmat jest miejsza. Dobór odpowiediej w dam zastosowaiu wartości stałej zapomiaia λ jest więc uzależio od tego cz bardziej zależ am a większej dokładości estmat parametrów cz a większej szbkości reakcji estmat a zmia parametrów. Przkład zastosowaia zmodfikowaego algortmu estmacji wraz z wikami ekspermetów dla bardziej złożoego sgału w którm wstępują skokowe zmia parametrów zostaie przedstawio w rozdziale 7. Wiki przeprowadzoch badań smulacjch świadczą o tm że optmal adaptacj algortm estmacji.7-. z adaptacjie sterowaą czułością wkazuje wsoką efektwość w zastosowaiach przezaczoch do prac z sgałami stacjoarmi jedak w przpadku agłch zmia parametrów algortm te charakterzuje się bardzo małą szbkością zbieżości do owch wartości parametrów. Przedstawioa modfikacja tego algortmu rozszerza możliwości jego stosowaia także a przpadek sgałów iestacjoarch w którch wstępują agłe zmia parametrów. Na zakończeie ależ podkreślić że omawiae w prac zmodfikowae wersje algortmów ie są jedm opartm a kocepcji adaptacjej dopasowaej obserwacji rozwiązaiem problemu estmacji parametrów sgałów w przpadku wstąpieia agłch zmia parametrów. Pewe modfikacje podstawowch algortmów estmacji optmalch dla sgałów stacjoarch polegające a zastąpieiu w algortmie optmalej rekursji dla macierz kowariacji błędów estmacji P jej empirczm odpowiedikiem obliczam a podstawie obserwacji przedstawioo w prac [65]. Im rozwiązaiem jest detekcja zmia i reiicjalizacja algortmu estmacji optmalego dla sgałów stacjoarch. ematka zastosowaia kocepcji adaptacjej dopasowaej obserwacji do wkrwaia agłch zmia wartości parametrów sgałów bła przedmiotem rozważań w pracach [94-96]. W prac [96] przedstawioo wwodząc się z tej kocepcji algortm detekcji agłch zmia parametrów sgałów opart a pojęciu uogólioego ilorazu wiargodości GLR. 48

51 Jedoczesa detekcja drftów i estmacja parametrów sgałów i zakłóceń 4. Jedoczesa detekcja drftów i estmacja parametrów sgałów i zakłóceń W rozdziale tm przedstawioo algortm jedoczesej detekcji drftów i estmacji parametrów sgałów i zakłóceń opart a kocepcji adaptacjej dopasowaej obserwacji. Zapropoowao efektwą i skuteczą procedurę detekcji drftów której właściwości przedskutowao a podstawie rezultatów badań smulacjch. ematka wczesej detekcji zakłóceń tpu drftów ag. drift-like faults lub icipiet faults jest przedmiotem zaiteresowaia specjalistów z różch dziedzi i ma kluczowe zaczeie w różorodch zastosowaiach praktczch p. w elektroeergetce sejsmologii badaiach biomedczch. Wczesa detekcja drftu w jego stadium początkowm umożliwia bowiem podjęcie odpowiediej reakcji co pozwala uikąć katastrofalch strat jakie mogą astąpić wskutek rozwiięcia się procesu drftu. 4.. harakterstka problemu liiowm: Rozważm astępując model aalizowaego sgału z addtwm drftem N0 N0 4. gdzie [... L ] jest wektorem losowch parametrów modelu L [... ] wektorem determiistczch sgałów którch wartości są zae w każdej chwili czasu jest iezaą losową prędkością arastaia liiowego drftu a N 0 jest iezam mometem pojawieia się drftu. Przjmujem założeie że dspoujem pełą iformacją o rozkładzie a priori p losowego i stałego w każdej realizacji wektora oraz że rozkład te jest gaussowski o wartości średiej 0 i macierz kowariacji P 0 : p N[ 0 P 0]. Zakładam że losow współczik drftu ie jest skorelowa z sgałem użteczm i szumem { v } a jego rozkład jest gaussowski o zerowej wartości średiej i wariacji : p N[ ] 0. O szumie zewętrzm obserwacji { v } zakładam że jest białm szumem gaussowskim o zerowej wartości średiej i wariacji tj.: p N[ 0 ] 49 0 Aalogiczie jak w poprzedich rozdziałach zakładam że sgał { } jest obserwowa za pomocą układu obserwacji.4 opisaego modelem o charakterstce liiowej w ograiczom zakresie obserwacji i z odcikami asceia poza tm zakresem. 0

52 Jedoczesa detekcja drftów i estmacja parametrów sgałów i zakłóceń rs... Przjmujem rówież założeie że szum wewętrz układu obserwacji { } jest białm szumem gaussowskim o FGP: p N[ 0 ]. Zakładam poadto że układ obserwacji jest statstczie dopasowa tz. parametr układu obserwacji B i w każdej chwili spełiają waruek statstczego dopasowaia.5. Zadaie polega a obliczeiu optmalch estmat $ parametrów sgału użteczego oraz podjęciu optmalej deczji o braku lub obecości drftu w sgale { } i - w tm drugim przpadku - obliczeiu optmalej estmat parametru drftu $. Rozwiązaie zagadieia estmacji parametrów sgałów i zakłóceń tpu drftów zostało omówioe w pukcie 3. dlatego też w tm rozdziale skocetrowao się a przedstawieiu procedur detekcji drftu i skostruowaiu odpowiediej reguł deczjej. Zagadieie detekcji zakłóceń tpu drftów polega a podjęciu deczji o przjęciu hipotez o braku drftu w realizacji sgału hipoteza H 0 albo przjęciu hipotez o jego obecości w realizacji hipoteza H. Deczja o obecości lub braku drftu w aalizowam sgale jest podejmowaa a podstawie zajomości estmat $ dla każdej chwili. Problem detekcji drftu sprowadza się do rozstrzgięcia dla każdej chwili prawdziwości jedej z dwóch hipotez: H H 0 : : ˆ < h ˆ h brak drftu obecość drftu 4. gdzie h jest zmiem w trakcie obserwacji progiem detekcji wzaczam a bieżąco a podstawie rozkładu estmat $ oraz zadaego prawdopodobieństwa fałszwego alarmu tj. prawdopodobieństwa przjęcia hipotez H o obecości drftu kied w realizacji sgału drft ie wstąpił a więc kied prawdziwa jest hipoteza H Algortm jedoczesej detekcji drftów i estmacji parametrów Wkorzstując rozszerzo model aalizowaego sgału por. pukt 3. i zakładając że momet pojawieia drftu N 0 jest za sgał 4. moża przedstawić w astępującej postaci: 4.3 gdzie [ ] jest rozszerzom wektorem iezach parametrów sgałów a [ N0 N0] jest wektorem składowch determiistczch. 50

53 Jedoczesa detekcja drftów i estmacja parametrów sgałów i zakłóceń Dostosowaie algortmu estmacji do prac w obecości drftów polega a odpowiedim rozszerzeiu wektorów i o składowe związae z drftem parametrów sgału w sposób opisa w pukcie 3. i modfikacji podstawowego optmalego algortmu estmacji parametrów sgałów.7-. z uwzględieiem estmacji parametru drftu. Zadaie polega więc a wzaczeiu optmalch estmat ˆ wektora złożoego z estmat ˆ wektora parametrów sgału użteczego oraz estmat ˆ $ $ parametru drftu. Rozszerzoa macierz kowariacji P E[ ~ ] błędów estmacji wektora ma wówczas postać: P P Σ 4.4 Σ S gdzie macierz P jest macierzą kowariacji estmat $ wektora a S jest wariacją estmat $ parametru drftu. Σ Σ są odpowiedimi macierzami kowariacji. Procedura detekcji drftu polega a sprawdzeiu ierówości ˆ < > h i przjęciu jedej z hipotez 4. dotczącch obecości lub braku drftu. Wartość progu detekcji drftu h wstępującego w regule deczjej 4. określam w zależości od przjętego prawdopodobieństwa fałszwego alarmu P fa i wzaczam dla każdej chwili a podstawie astępującej formuł: P fa ˆ Pr{ H ˆ H0} Pr{ h H0} p 0 d. 4.5 h h Ze wzoru 4.5 wika że prz zadam prawdopodobieństwie P fa próg detekcji h jest w każdej chwili uzależio od rozkładu a posteriori estmat $ pod warukiem że 0. Jeśli estmat ˆ rozszerzoego wektora parametrów są wzaczae za pomocą rekursji to moża wkazać por. p. [65 9] że rozkład estmat warukowch ˆ ma postać: p ˆ N[ ˆ PP P PP P]

54 Jedoczesa detekcja drftów i estmacja parametrów sgałów i zakłóceń Uwzględiając wrażeia 4.6 oraz 4.4 i przjmując założeie że 0 0 FGP p ˆ 0 wstępująca we wzorze 4.5 ma zerową wartość średią i wariację S S S S S gdzie 0 0 S tj.: p ˆ 0 N[ ˆ 0 S ] N[ ˆ 0S SS S]. 4.7 Ideks 0 we frakcji górej został doda dla podkreśleia że wariacja prz założeiu : 0 0 S jest obliczaa Dspoując rozkładem 4.7 zajdujem wrażeie dla prawdopodobieństwa P fa P fa h 0 ˆ h Φ Φ h p 0 d S S S0 S gdzie Φ jest całką prawdopodobieństwa. Próg detekcji drftu h w regule 4. moża zatem wzaczć ze wzoru 4.8 w zależości od przjętego prawdopodobieństwa fałszwego alarmu P fa. Poiżej przedstawioo peł algortm jedoczesej detekcji drftu oraz estmacji parametrów sgału użteczego i współczika drftu. Algortm jedoczesej detekcji drftów i estmacji parametrów sgałów i zakłóceń ˆ Rekursja dla estmat [ ˆ ˆ rozszerzoego wektora parametrów [ ] : ] ~ ˆ ˆ ˆ B P. 4.9 P Rekursja dla rozszerzoej macierz kowariacji błędów estmacji: P P P P P. 4.0 Waruki początkowe: ˆ 0 [ 0 0] P 0 diag P0 S0 Optmale reguł sterowaia Sgał kompesując: B $

55 Jedoczesa detekcja drftów i estmacja parametrów sgałów i zakłóceń zułość układu obserwacji: α D P. 4.3 Dla algortmu ze stałą czułością układu obserwacji D 4.4 α S max 0 gdzie S max max P0 por. wzór.9. Wartość stałej α jest rozwiązaiem Emax rówaia.. Detekcja drftu Reguła deczja detekcji drftu: H H 0 gd gd ˆ < h ˆ h. 4.5 Rówaie dla obliczeia optmalego progu deczjego h : Φ h S S 0 P S fa. 4.6 Schemat blokow układu detekcji drftów i estmacji parametrów sgałów i zakłóceń z adaptacjm sterowaiem parametrami układu obserwacji przedstawioo a rs. 4.. Blok geeracji e ~ e $ $ Blok estmacji i sterowaia B $ B Blok detekcji ˆ h H0 H Rs. 4.. Schemat sstemu jedoczesej detekcji drftu i estmacji parametrów sgału Podkreślm a zakończeie że w przpadku podjęcia deczji o obecości drftu w chwili odpowiedie estmat $ współczika arastaia drftu mogą zostać atchmiast użte w celu detekcji mometu pojawieia się drftu progoz jego rozwoju 53

56 Jedoczesa detekcja drftów i estmacja parametrów sgałów i zakłóceń cz też wprowadzeia korekt w sstemie przetwarzaia sgału. Prz podejmowaiu deczji dotczącej obecości drftu zgodie z regułą 4.5 wkorzstwae są estmat $ współczika arastaia drftu. Mając a uwadze że optmale adaptacje sterowaie czułością układu obserwacji zapewia przspieszoą zbieżość estmat $ możem przpuszczać że umożliwi to szbsze podjęcie deczji o wkrciu lub braku drftu iż w przpadku algortmów ze stałą czułością układu obserwacji Wiki badań smulacjch Wiki badań smulacjch prezetowae w iiejszm pukcie mają a celu empircze potwierdzeie wsokiej efektwości opisaej w pukcie 4. procedur jedoczesej detekcji drftów i estmacji parametrów sgałów użteczch i zakłóceń wkorzstującej adaptacje sterowaie czułością układu obserwacji. Do badań wbrao ajprostsz model sgału zawierającego składową stałą i liiow drft opisa rówaiem: N0 N Badaia smulacje przeprowadzoo także dla bardziej złożoch sgałów. M.i. w prac [03] przedstawioo wiki badań algortmu jedoczesej detekcji drftów i estmacji parametrów sgałów i zakłóceń w przpadku przetwarzaia sgałów siusoidalch w obecości liiowego drftu. Ab zilustrować podstawowe prawidłowości w zachowaiu się tego algortmu wstarcz jedak zbadać przpadek sgału 4.7. We wszstkich ekspermetach prezetowach w pukcie 4.3 przjęto astępujące wartości parametrów: wariacja szumu zewętrzego 0 ; parametr układu 4 obserwacji: D 05 ; 0 ; α 7 µ 0 ; waruki początkowe: 0 00 [ ] ; P 0 diag P 0 S 0 P 0 5 S 0 ; prawdopodobieństwo fałszwego alarmu P fa 0 6. Poieważ zagadieie estmacji parametrów sgałów w obecości drftu ie różi się istotie od zagadieia opisaego w puktach 3. i 3. zatem przedstawiając wiki badań smulacjch skocetrowao się a problemie detekcji drftu. W pierwszej części ekspermetów zbadao jak zmieia się w czasie próg detekcji drftu h któr jest wzacza a podstawie wzoru 4.6. Na rsuku 4. przedstawioo trajektorie progu detekcji h dla zadaego prawdopodobieństwa fałszwego alarmu w przpadku gd N 0 0 tz. prz założeiu obecości drftu od początku obserwacji. 54

57 Jedoczesa detekcja drftów i estmacja parametrów sgałów i zakłóceń Rs. 4.. rajektorie progu detekcji h w przpadku algortmu ze stałą czułością liia jasoiebieska oraz algortmu z adaptacjie sterowaą czułością układu obserwacji liia iebieska Z rsuku 4. wika że w przpadku adaptacjego sterowaia czułością próg detekcji h prz ustaloej wartości prawdopodobieństwa fałszwego alarmu maleje zaczie szbciej iż w przpadku gd czułość układu obserwacji jest stała. Związae jest to z szbszm zmiejszaiem się wariacji błędów estmacji prędkości arastaia drftu. Miejsza wartość progu detekcji prz zadam prawdopodobieństwie fałszwego alarmu w przpadku adaptacjego sterowaia czułością ozacza że procedura detekcji jest bardziej wrażliwa co ma istote zaczeie zwłaszcza wted kied drft jest mał. Jeśli drft wstępuje wartość $ może przekroczć próg detekcji h dla daej wartości parametru zaczie wcześiej iż dla procedur ze stałą czułością układu obserwacji. Umożliwia to szbszą detekcję drftów. Większa skuteczość procedur detekcji drftów z adaptacjie sterowaą czułością układu obserwacji wika z przspieszoej zbieżości algortmu estmacji parametrów. W drugiej części ekspermetu zbadao jak zmieia się empircze prawdopodobieństwo P d poprawej detekcji drftu tj. empircza częstość zdarzeń ˆ h w fukcji wartości parametru drftu i czasu dla N 0 0. Wartości prędkości arastaia drftu zmieiao w zakresie od 0 do 0 z krokiem 00. Prawdopodobieństwa detekcji drftu obliczao a podstawie K 00 realizacji dla każdej wartości parametru. W poszczególch realizacjach sgału { } geerowao losowo róże wartości parametru prz czm przjęto że rozkład zmieej losowej jest gaussowski: p N[ - P]

58 Jedoczesa detekcja drftów i estmacja parametrów sgałów i zakłóceń Ekspermet przeprowadzoo stosując algortm ze stałą czułością rs. 4.3a i z adaptacjie sterowaą czułością układu obserwacji rs. 4.3b. a b Rs Wkres empirczego prawdopodobieństwa poprawej detekcji drftu jako fukcji wartości parametru drftu i czasu w przpadku algortmu ze stałą czułością rs. a oraz algortmu z adaptacjie sterowaą czułością układu obserwacji rs. b Rsuek 4.3 a którm porówao powierzchie empirczch prawdopodobieństw detekcji drftu ilustruje korzści jakie daje wprowadzeie adaptacjego sterowaia czułością układu obserwacji Prawdopodobieństwo detekcji w przpadku zastosowaia procedur ze stałą czułością osiąga zadaą wartość po zaczie większm czasie iż w przpadku zastosowaia procedur z adaptacjie sterowaą czułością. Algortm jedoczesej detekcji drftów i estmacji parametrów w którm czułość jest sterowaa adaptacjie umożliwia więc zaczie szbszą detekcję i dokładiejszą estmację małch drftów. Efekt te jest obserwowa dla wszstkich wartości współczika drftu i jest tm siliejsz im miejsza jest wartość. W trzeciej części ekspermetów porówao działaie algortmu ze sterowaą adaptacjie czułością oraz algortmu ze stałą czułością układu obserwacji w przpadku kied chwila N 0 pojawieia się drftu ie jest zaa. Podobie jak dla przpadku N 0 0 zbadao empircze prawdopodobieństwo P d poprawej detekcji drftu w fukcji wartości parametru drftu i czasu dla różch chwil N 0 pojawieia się drftu. Na rsukach 4.4 i 4.5 przedstawioo powierzchie P d dla N 0 i odpowiedio N 0. Algortm zaimplemetowao przjmując N 0 0 w rozszerzom wektorze [ N0 N0]