Lokalizacja Andersona solitonów w kondensacie Bosego - Einsteina

Transkrypt

1 Uniwersytet Jagielloński Wydział Fizyki, Astronomii i Informatyki Stosowanej Instytut Fizyki im. Mariana Smoluchowskiego Lokalizacja Andersona solitonów w kondensacie Bosego - Einsteina Autor: Marcin Płodzień Praca magisterska wykonana pod kierunkiem dr. hab. Krzysztofa Sachy Kraków,

2 Pracę tę dedykuję Rodzicom. Składam serdeczne podziękowania dr. hab. Krzysztofowi Sacha za poświęcony czas i cenne wskazówki. Dziękuję również Angeli za wyrozumiałość i cierpliwość.

3 Streszczenie W pracy przedstawiono wyprowadzenie potencjału U oddziaływania dwóch jasnych solitonów w potencjale przypadkowym V (z w jednym wymiarze. Następnie traktując U jako małe zaburzenie zbadano w ramach stacjonarnego rachunku zaburzeń lokalizację Andersona dwóch jasnych solitonów w kondensacie Bosego - Einsteina.

4 Spis treści Wstęp. Równanie Grossa - Pitajewskiego Rozwiązania solitonowe w D Lokalizacja Andersona Lokalizacja Andersona ultrazimnych atomów w D Potencjał przypadkowy Dynamika solitonu w potencjale przypadkowym Podejście nieperturbacyjne Wyniki 8. Postać potencjału przypadkowego V (z oraz potencjału V r Potencjał oddziaływania U między solitonami Kwantowanie układu Rachunek zaburzeń Poprawki do energii i stanu Analiza numeryczna Zagadnienie własne Rozkład gęstości prawdopodobieństwa Wyniki symulacji Częstość lasera ω > ω Częstość lasera ω < ω Wnioski Podsumowanie 8 A 9

5 Rozdział Wstęp. Równanie Grossa - Pitajewskiego Kondensat Bosego - Einsteina to układ N bozonów znajdujących się w tym samym jednocząstkowym stanie kwantowym Ψ( r,..., r N ψ ( r...ψ ( r N. (.. W obecności oddziaływań między atomami powyższa postać funkcji falowej układu jest jedynie przybliżeniem rzeczywistego stanu podstawowego. Chcemy, aby w obecności oddziaływań (oddziaływania kontaktowe nasz wybór funkcji ψ jak najlepiej przybliżał stan podstawowy. Korzystając z metody wariacyjnej minimalizujemy energię układu. [ Ψ Ĥ Ψ = m ψ ( r + Ṽ ( r ψ ( r + g ] ψ ( r 4 d 3 r, (.. g = 4π m a, a - długość rozpraszania, m - masa atomu, Ṽ ( r - zewnętrzny potencjał. Uwzględniając (poprzez metodę mnożników Lagrange a normalizację ψ do N i dokonując wariacji względem ψ dostajemy równanie Grossa - Pitajewskiego (GP [ 3]: m ψ ( r + Ṽ ( rψ ( r + g ψ ( r ψ ( r = µψ ( r. (..3 Mnożnik Lagrange a µ jest potencjałem chemicznym, co łatwo sprawdzić z definicji: µ = E N. (..4 Równanie GP w swojej strukturze przypomina równanie Schröedingera z nieliniowym członem odpowiadającym za oddziaływanie pojedynczego atomu z potencjałem pochodzącym od chmury atomowej g ψ. Gdy g < to potencjał jest przyciągający, w przeciwnym wypadku mamy do czynienia z potencjałem odpychającym [4]. Zewnętrzny potencjał pułapkujący ma postać Ṽ ( r = m ω (x + y + ωzz, (..5 gdzie ω, ω z to częstości pułapki. Gdy pułapkę uwolnimy w kierunku osi z i równocześnie ściśniemy w kierunkach prostopadłych do niej tak aby ω µ (wzbudzenie poprzecznych stopni swobody nie jest dostępne energetycznie to uzyskamy układ jednowymiarowy i takim będziemy się zajmować w niniejszej pracy. Wówczas możemy zapisać ψ ( r = ψ (x, y, z = ϕ (x, yψ (z, (..6 gdzie ϕ (x, y oznacza stan podstawowy w pułapce w kierunkach x i y.

6 Rysunek.: Reprezentacja położeniowa i pędowa fali niezlokalizowanej i zlokalizowanej. Rysunek pochodzi z pracy [6]. Przepiszmy równanie (.. dla układu jednowymiarowego z przyciągającymi oddziaływaniami w nowych jednostkach energii, długości i czasu:.. Rozwiązania solitonowe w D Równanie GP E = 4mω a, l =, a mω (..7 t = 4a mω, [ E = zψ ] ψ 4 µ ψ 4 dz. (..8 i t ψ = zψ ψ ψ, (..9 jest nieliniowym równaniem falowym, zatem możemy poszukiwać rozwiązań solitonowych opisujących propagację zaburzeń o kształcie stałym w czasie. Możliwość istnienia solitonów związana jest z członem nieliniowym, który może kompensować efekt dyspersji odpowiedzialny za rozpływanie się pakietu falowego. W pracy rozważać będziemy tzw. jasne stacjonarne solitony ψ = e iµt ψ, gdzie ψ ma postać [5]: ψ (z r = e iφ N cosh[n(z r/], (.. gdzie r to położenie środka masy, /N jest szerokością solitonu, a ψ jest znormalizowane do liczby cząstek N. Należy zwrócić uwagę na fakt, iż rozwiązanie solitonowe jest stanem podstawowym równania GP.. Lokalizacja Andersona Klasyczna teoria przewodnictwa opiera się na modelu, w którym elektrony rozpraszane są na jonach w sieci krystalicznej. W ramach mechaniki kwantowej elektron znajdujący się w potencjale periodycznym może tunelować z jednej studni potencjału do drugiej. Rozwiązaniami równania Schröedingera w takim potencjale są rozwiązania Blocha. Anderson założył, że pojawienie się oporu elektrycznego związane jest z rozpraszaniem elektronu na niedoskonałościach sieci. Model Andersona opiera się na wprowadzeniu nieporządku do potencjału periodycznego. Funkcja falowa propagując w ośrodku ulega wieloktrotnemu rozproszeniu, po czym wielokrotnie inteferuje w kierunku propagacji i sumuje się z falą początkową. Gdy liczba rozproszeń jest odpowiednio duża to intefrerencja jest destruktywna i amplituda fali gaśnie eksponencjalnie wzdłuż kierunku propagacji - fala jest zlokalizowana (rys... [7 ] 3

7 Rysunek.: Po przejściu wiązki laserowej przez matówkę atomy odczuwają potencjał przypadkowy. Po wyłączeniu pułapki magnetycznej wzdłuż osi z atomy propagują w potencjale przypadkowym i potencjale pochodzącym od wiązki prowadzącej. Rysunek pochodzi z pracy [6]... Lokalizacja Andersona ultrazimnych atomów w D Lokalizację Andersona można badać dla ultrazimnych atomów, o ile oddziaływania między nimi będą zaniedbywalnie małe. Ultrazimne atomy uwięzione w silnej wiązce laserowej wzdłuż np. osi z (atomy odczuwają padającą falę jak pułakę cylindryczną, mogą swobodnie propagować w tym kierunku. Prostopadła do osi z dodatkowa wiązka laserowa przechodząca przez matówkę tworzy przypadkowy potencjał odczuwany przez atomy. Gdy atomy kondensatu zostaną uwolnione z początkowo włączonej pułapki magnetycznej to będą mogły swobodnie propagować wzdłuż osi z w potencjale pochodzącym z matówki. Po czasie.5s ekspansja zatrzymuje się i w profilu gęstości kondensatu obserwujemy eksponencjalnie zanikające ogony - zaszła lokalizacja Andersona (rys... [6, 4].. Potencjał przypadkowy Przeanalizujmy własności statystyczne potencjału użytego w eksperymentach [, 4]. Taki potencjał założymy w dalszej części pracy. Amplituda pola elektrycznego ε(r dla monochromatycznego i spolaryzowanego światła rozproszonego na matowej powierzchni, obserwowana w położeniu r, jest liniową superpozycją nieskorelowanych przyczynków od K pojedyńczych rozproszeń o amplitudach a l i fazach φ l (wybranych losowo z jednorodnym rozkładem na przedziale [, π] [5, 6] tzn.: ε(r = K a l e iφ l = R[ε(r] + ii[ε(r]. (.. l= W granicy K rozkład prawdopodobieństwa części rzeczywistej i urojonej ε(r wynosi (centralne twierdzenie graniczne P (R[ε(r], I[ε(r] = ε(r πσ e σ. (.. Dwupunktowa funkcja korelacji natężenia światła laserowego ma postać: gdzie I(rI(r = ε(r ε(r = I ( + w(r r, (..3 I(r = ε(r, (..4 I = I(r = ε(r, (..5 4

8 to odpowiednio natężenie i średnie natężenie światła, natomiast funkcja w(r ma postać: w(r = ε (r + r ε(r. (..6 ε(r Gdy natężenie I(r zapiszemy jako I(r = I + J(r, gdzie J(r opisuje fluktuacje wokół średniej wartości natężenia światła oraz średnia wartość tych fluktuacji wynosi J(r =, wtedy dwupunktowa funkcja korelacji natężenia ma postać: I(rI(r = I + J(rJ(r. (..7 Porównując (..3 z (..7 otrzymujemy dwupunktową funkcję korelacji fluktuacji natężenia światła: J(rJ(r = I w(r r, (..8 co nadaje interpretację funkcji w(r..3 Dynamika solitonu w potencjale przypadkowym Poniżej zostanie krótko przedstawione podejście pozwalające opisać pojedynczy soliton w potencjale przypadkowym. Szczegóły w pracach [7, 8]. Spodziewamy się, iż obecność potencjału V (z wpłynie na energię solitonu, spowoduje jego zmarszczenie się. Interesuje nas zbadanie zaburzenia solitonu - δψ. Chcąc zbadać dynamikę zaburzenia w potencjale przypadkowym dokonujemy linearyzacji równania Grossa-Pitajewskiego poprzez wstawienie anzatzu ψ = e iµt [ψ + δψ], (.3. gdzie ψ (z r jest rozwiązaniem (.. równania GP w jednym wymiarze: i t ψ = zψ ψ ψ µψ, (.3. co daje nam równania Bogoliubowa: ( ( ( δψ δψ S i t δψ = L δψ + S gdzie L = ( z ψ µ ψ ψ z + ψ + µ S = V (zψ (z r,, (.3.3 w pierwszym rzędzie w δψ i V. Rozwiązań poszukujemy w bazie prawych wektorów własnych operatora L. Wszystkie wektory własne (u n, v n do niezerowych energii mają swoje mody sprzężone, które są lewymi wektorami własnymi operatora L, natomiast dwa mody zerowe ( uφ v φ mają swoje mody sprzężone postaci: ( u sp φ v sp φ = i φ ( ψ ψ ( ur v r = i r ( ψ ψ ( u sp r v sp r = N ( ψ ψ = i z r N ( ψ ψ,, (.3.4, (.3.5, (.3.6. (.3.7 5

9 Zaburzenie solitonu możemy rozłożyć w kompletnej bazie własnej ( ( δψ δψ = φ φ ( uφ u sp i v + P φ φ φ v sp φ + r r i + n,e n > ( ur v r ( u + P sp r r vr sp [ ( ( un b n + b v n v n n u n ] (.3.8 (φ i r są przesunięciami fazy i położenia i po wstawieniu do funkcjonału energii anzatzu (.3. (gdzie ψ to rozwiązanie równania (.3. otrzymujemy postać energii wzbudzonego solitonu: [ E = z(ψ + δψ ] ψ + δψ 4 µ ψ + δψ dz. (.3.9 Po ograniczeniu się do wyrazów kwadratowych w δψ i δψ energia ma postać: E = E + ( (δψ δψ, δψl δψ dz, (.3. gdzie E = N 3 4 µn jest energią stanu podstawowego ψ. Deformacja kształtu solitonu opisana jest zmiennymi zespolonymi b n w równaniu (.3.8. Wstawiając (.3.8 do (.3.3 i rzutując na wektory bazowe otrzymujemy równanie ruchu dla b n : i t b n = E n b n + s n, (.3. s n = u n S + v n S. (.3. Rozwiązując powyższe równania z założeniem, że początkowo soliton jest niezaburzony, tzn. b( = otrzymujemy: δψ = n,e n> s n E n [ (e ie n t u n (z r + (e ie nt v n(z r ]. (.3.3 Najniższa energia modów Bogoliubowa wynosi E = µ = N 8. Jak widać pomiędzy stanem podstawowym, a pierwszym stanem wzbudzonym solitonu jest duża przerwa energetyczna. Mody Bogoliubowa są zdelokalizowane i mają charakter radiacyjny, zatem ich spektrum energetyczne możemy przybliżyć poprzez relację dyspersji dla swobodnej cząstki: E n π L n + µ, (.3.4 gdzie L to rozmiar pudła, w którym rozważamy nasz system. Ponieważ mody mają charakter radiacyny, możemy dokonać oszacowania: u n + v n L. (.3.5 Przybliżając kształt solitonu prostokątem o szerokości N i wysokości N szacujemy: Pamiętając, że sin ( E nt i n E n dn E n s n V. (.3.6 L otrzymujemy oszacowanie: ψ δψ + ψ δψ 4 V. (.3.7 Chcemy, aby powyższe było dużo mniejsze od ψ µ, zatem warunkiem na to, aby zaburzenie kształtu solitonu pod wpływem obecności potencjału przypadkowego było zaniedbywalne, jest: V µ. (.3.8 6

10 .3. Podejście nieperturbacyjne Rozłożenie zaburzenia solitonu w bazie własnej operatora L było podejściem perturbacyjnym. Nieperturbacyjnym opisem przemieszczenia solitonu jest podejście J. Dziarmagi [9], w którym nie przygotowujemy liniowego rozwinięcia zaburzenia wokół δφ = φ φ oraz δr = r r, ale traktujemy φ i r jak zmienne dynamiczne. ( ψ ψ = ( ψ ψ + n,e n> + P φ ( u sp φ v sp φ [ b n ( un v n ( u sp + P r r + b n ( v n u n vr sp ]. (.3.9 Wstawiając (.3.9 do funkcjonału energii i ograniczając się do wyrazów kwadratowych w P φ, P r i b n otrzymujemy hamiltonian solitonu w potencjale przypadkowym: H = P r + m r V (z ψ (z r dz + P φ m φ (.3. +P φ N ψ V ψ + n,e n > (E n b nb n + (b n + b ns n, gdzie m r = N jest masą solitonu (równą liczbie cząstek, a m φ = 4 N masą związaną z fazą. Przechodząc do kwantowomechanicznego hamiltonianu Ĥ widzimy, że [ ˆP φ, Ĥ] =, gdzie ˆP φ = ˆN N = i φ, zatem możemy wybrać stan z ustaloną liczbą cząstek N taki, że ˆP φ N =. Następnie obliczając wartość oczekiwaną hamiltonianiu Ĥ dla N w stanie próżni Bogoliubowa (tzn. bez wzbudzeń kwazicząstkowych N; B Ĥ N; B otrzymujemy hamiltonian efektywny dla środka masy solitonu: Ĥ r = ˆP r N + V (z ψ (z r dz. (.3. Środek masy solitonu odczuwa potencjał będący splotem potencjału przypadkowego z własnym profilem. Podkreślić należy, że dla pełnego hamiltonianu Ĥ istnieją człony będące sprzężeniem modów Bogoliubowa z ruchem środka masy solitonu w potencjale V (z. W pierwszym rzędzie rachunku zaburzeń człony z kwazicząstkami znikają, gdyż B ˆb + ˆb B =, gdzie B jest próżnią Bogoliubowa. Drugi rząd możemy zaniedbać, pod warunkiem, że V µ = N 8. Szczegółowe rachunki przedstawione są w [7, 8]. 7

11 Rozdział Wyniki. Postać potencjału przypadkowego V (z oraz potencjału V r Potencjał zewnętrzny pochodzi od padającego na kondensat światła laserowego odstrojonego od rezonansu, który jest proporcjonalny do natężenia pola elektrycznego, tzn. V I ω ω, gdzie I to natężenie światła, a ω jest częstością lasera, ω jest częstością przejścia pomiędzy stanem podstawowym a stanem wzbudzonym []. Każdy potencjał przypadkowy scharakteryzowany jest poprzez funkcje korelacji. Załóżmy średnią wartość potencjału V (z =. Dwupunktowa funkcja korelacji V (z V (z + z = V C V (z/σ gdzie σ jest długością korelacji, V amplitudą potencjału (tzn. odchyleniem standardowym, C V (y zależy od sposobu wytworzenia potencjału. Załóżmy, że na matówkę nałożono przesłonę, dzięki której średnie natężenie światła po przejściu przez nią wynosi: I(ξ = Θ(R ξθ(r + ξ[cos( π ξ + ]. (.. R Pozwoli to rozważyć trochę inny nieporządek niż był badany dla przypadku gdy, I(ξ = Θ(R ξθ(r + ξ, dla którego C V (y miało postać [7, 8] :. Funkcja w(y zależy od I(ξ: ( sin(y C V (y =. (.. y w(y = I(ξei kl z yξ dξ I(ξdξ, (..3 gdzie R jest szerokością matówki, a z jest odległością pomiędzy nią i obszarem obserwacji, k L jest liczbą falową padającego światła. Długość korelacji definiuje się jako σ = k LR z []. Funkcja korelacji rozważanego potencjału V (z ma postać: ( sin(y C V (y = w(y π = y π y, (..4 gdzie y = z σ. Jak można zauważyć, nałożenie przesłony (.. na matówkę powoduje zmianę funkcji C V (y. Funkcja (.. jest domnożona przez czynnik (π /(π y, który jest osobliwy dla y = π, jednak osobliwość ta usuwana jest przez zerowanie się funkcji sin(y w π. Obecność dodatkowego członu wpływa na wolniejsze gaśnięcie funkcji (..4 w stosunku do funkcji (.. (rys... Lokalizacja Andersona w jednym wymiarze przejawia się w fakcie, iż funkcje własne hamiltonianu są zlokalizowane eksponencjalnie, tzn. mają charakterystyczną obwiednię χ e γ(k r r, (..5 8

12 ,8,5 C V (y,6,4 C V (y,,5, y y Rysunek.: Linia przerywana to wykres funkcji (.., linia ciągła to (..4 gdzie r jest miejscem lokalizacji, a γ(k jest odwrotnością długości lokalizacji fali o pędzie k = NE. W przybliżeniu Borna odwrotność długości lokalizacji wynosi ( π V γ(k = (kσ Ĉ V (k, (..6 8σ E gdzieˆoznacza transformatę Fouriera. Soliton znajdujący się w potencjale V (z, tak jak to zostało powiedziane wcześniej, odczuwa wygładzony potencjał V r = V (z ψ (z r dz będący splotem V (z i kwadratu modułu funkcji falowej solitonu (rys... Zatem w naszym przypadku γ(k = π 5 Ĉ Vr (k = ĈV (k ( ˆψ (k (..7 (NV σ 3 sin(πkσ + π( + cos(πkσ ( k σ sinh(πk/n Θ( k σ. (..8 Odwrotność długości lokalizacji dla funkcji korelacji postaci (.. w przybliżeniu Borna ma postać: γ(k = 4π 3 (NV σ k σ sinh(πk/n Θ( k σ. (..9 W naszych rachunkach ustalamy N = 5, co daje µ = 3.5 oraz ustalamy V = 3. 4 µ. (w naszych jednostkach (..7. Szczegóły dotyczące potencjałów od światła laserowego można znaleźć w [5, 6, ]. 9

13 , POTENCJAŁ, -, -,5 - -,5,5,5 Z Rysunek.: Przerywana linia przedstawia potencjał przypadkowy V(z o V (z = i V (zv (z + r = V C V (r, gdzie C V (r ma postać jak w (..4. Ciągła linia przedstawia splot potencjału V (z z profilem solitonu podzielonym przez liczbę cząstek (N = 5, tzn. V r (z/n. V r (z = dz V (z ψ (z z jest potencjałem odczuwanym przez środek masy solitonu.. Potencjał oddziaływania U między solitonami Rozważmy dwa solitony (rys..3 położone w punktach r i r (r < r oddalonych od siebie na tyle daleko, że wzajemne oddziaływanie odbywa się jedynie poprzez przekrywające się ogony w obszarze r ρ r, gdzie ρ jest arbitralnie wybranym położeniem w obszarze oddziaływania (jak okaże się później wyniki rachunków są niezależne od wyboru ρ. Funkcjonał energii składa się z sumy dwóch członów H = H I + H II. [ H I = zψ I ] ψ I 4 µ ψ I + V (z ψ I dz, (.. H II = [ zψ II ] ψ II 4 µ ψ II + V (z ψ II dz, (.. przy czym ψ I = ψ + δψ oraz ψ II = ψ + δψ, gdzie δψ, oznaczają ogony solitonów. ψ = e iφ N cosh[n(z r /], (..3 δψ = e iφ Ne N(z r /, (..4 ψ = e iφ N cosh[n(z r /], (..5 δψ = e iφ Ne N(z r/. (..6 H I zawiera oddziaływanie solitonu położonego w r z ogonem solitonu położonego w r. Analogicznie dla H II. Wstawiając postaci funkcji falowych do hamiltonianiu układu oraz ograniczając się do wyrazów liniowych w δψ, i następnie całkując przez części (zarówno w H I jak i w H II

14 r -/N r r +/N ρ r -/N r r +/N Rysunek.3: Gęstość prawdopodobieństwa dwóch jasnych solitonów oddalonych od siebie o r r N ( N to szerokość jednego solitonu. otrzymujemy: przy czym ρ H = H + H, = +H + ρ V (z ψ + δψ dz (..7 V (z ψ + δψ dz +Re[δψ z ψ ] ρ + Re[δψ z ψ ] + ρ, [ zψ, ] ψ, 4 µ ψ, dz (..8 to hamiltoniany swobodnych solitonów. Człony zawierające V (z w H odpowiadają za oddziaływanie układu z potencjałem przypadkowym, natomiast ostatnia linia w H odpowiada za oddziaływanie pomiędzy swobodnymi solitonami. Oznaczmy je kolejno: I ρ V (z ψ + δψ dz + ρ V (z ψ + δψ dz, (..9 U Re[δψ z ψ ] ρ + Re[δψ z ψ ] + ρ (.. Po dokonaniu prostych rachunków potencjał oddziaływania swobodnych solitonów (bez potencjału zewnętrznego V (z przyjmuje następującą postać []: U U(r, r, φ, φ = N 3 cos(φ φ e N(r r /. (.. Rozwińmy I do członów liniowych w δψ, i następnie oznaczmy: I I + cos(φ φ (I + I, I I I ρ ρ V (z ψ dz + V (z ψ δψ dz, V (z ψ δψ dz. V (z ψ dz,

15 Stosunek I + I U jest rzędu V ( N + σ N (przy V <, N, σ, a zatem I + I możemy zaniedbać [Dodatek A], co ostatecznie doprowadza nas do hamiltonianu dwóch oddziałujących solitonów w potencjale przypadkowym: H = H r + H r + U, (.. U = N 3 cos(φ φ e N(r r /. (..3 Hamiltonian rozseparował się na dwie charakterystyczne częsci. H r i H r opisują ruch środków mas dwóch solitonów (..8 w potencjale przypadkowym V (z niezależnie od siebie ((.3. i [7, 8]: H r, = P r, + P φ, + V (z ψ, (z r, dz, (..4 m r, m φ, gdzie m r, = N są masami solitonów, a m φ, = 4/N masami związanymi z fazami solitonów. U sprzęga ze sobą solitony poprzez zależność od różnicy faz i wzajemnej odległości..3 Kwantowanie układu Równanie GP wynika z równań Eulera dla funkcji Lagrange a postaci: L = (iψ t ψ z ψ ψ 4 + µ ψ dz. (.3. Kanonicznym pędem sprzężonym do fazy funkcji falowej jest liczba cząstek. W zagadnieniu Bogoliubowa pędem sprzężonym do fazy jest N N. Zapiszmy hamiltonian układu (.. w wersji kwantowej: gdzie ˆP r ˆP r Ĥ = ˆP φ + ˆP r + m φ m ˆV ˆP φ r + + ˆP r + r m φ m ˆV r + Û, (.3. r = i r, ˆPφ = i φ = ˆN N, = i r, ˆPφ = i φ = ˆN N, m φ, = 4 N, m r, = N, ˆV r = V (z ψ (z r dz, ˆVr = Û = N 3 cos(φ φ e N(r r/, V (z ψ (z r dz, przy czym m r jest masą solitonu (czyli liczbą cząstek w solitonie, natomiast m φ, = 4 N jest masą związaną z fazą każdego z solitonów. [7, 8] Przejdźmy z dwóch niezależnych faz φ, φ do fazy globalnej oraz względnej, tzn.: φ = φ φ, ˆPφ = m φ ˆPφ m φ ˆPφ = ˆP φ ˆP φ m Φ m Φ Φ = m φ φ + m φ = φ + φ, ˆPΦ = m Φ m Φ ˆP φ + ˆP φ, m Φ = m φ + m φ = 8 N, m φ = m φ m φ m Φ = N. Zatem hamiltonian układu ma następującą postać: Ĥ = ˆP r N + ˆP r N + ˆP φ m φ + ˆP Φ + m ˆV r (r + ˆV r (r + Û(φ, r r Ĥ + Û. (.3.3 Φ W tym miejscu możemy w pełni sformułować badany problem - analizę lokalizacji Andersona układu dwóch jasnych solitonów w obecności potencjału oddziaływania między nimi. Zagadnienie,

16 lokalizacji pojedynczego solitonu zostało zbadane m.in. w [7, 8]. W niniejszej pracy krótko przedstawimy jak wygląda lokalizacja Andersona pojedynczego solitonu w przypadku potencjału o dwupunktowej funkcji korelacji (..4, innego niż to miało miejsce w [7, 8]. Następnie badamy jak zachowują się zlokalizowane stany własne H r, w obecności potencjału oddziaływania U. Zatem stan własny układu w zerowym rzędzie w U jest stanem produktowym dwóch zlokalizowanych solitonów, tzn. funkcja falowa oraz energia układu niezaburzonego potencjałem U mają postać: ψ n n n φ n Φ (r, r, φ, Φ = χ n (r χ n (r ξ nφ (φζ nφ (Φ, (.3.4 E n n n φ n Φ = E n + E n + E nφ + E nφ, (.3.5 gdzie χ n (r i χ n (r są rozwiązaniami równań Schröedingera dla środków mas dwóch solitonów w potencjałach V r i V r : ( ˆP r N + V r χ n (r = E n χ n (r, ( (.3.6 ˆP r N + V r χ n (r = E n χ n (r, natomiast ˆP φ M φ ξ nφ (φ = E nφ ξ nφ (φ, ξ nφ (φ = ein φφ π, E nφ = n φ m φ, ˆP Φ M Φ ζ nφ (Φ = E nφ ζ nφ, ζ nφ (Φ = ein ΦΦ π, E nφ = n Φ m Φ. Naszym celem jest zbadanie zagadnienia własnego pełnego hamiltonianu, tzn. z uwzględnieniem potencjału U: Ĥψ = Eψ. (.3.7 Zagadnienie rozwiążemy w ramach stacjonarnego rachunku zaburzeń..4 Rachunek zaburzeń Wiemy, że U nie zależy od fazy globalnej, zatem operator pędu ˆP Φ komutuje z pełnym hamiltonianem Ĥ, [ ˆP Φ, Ĥ] =, co oznacza, że ˆP Φ i Ĥ mają wspólną bazę wektorów własnych. ˆP Φ = ˆN N + ˆN N, zatem wybierając stan własny ζ nφ, taki że ˆP Φ ζ nφ =, ustalamy sumę liczby cząstek w obydwu solitonach, jednak nie wiemy ile cząstek jest w każdym z osobna. Innymi słowy - całkowita liczba cząstek w naszym układzie jest ustalona ( N oraz energia związana z fazą globalną wynosi zero. Inaczej przedstawia się sytuacja dla ˆP φ. Potencjał oddziaływania U jest funkcją φ, zatem [Ĥ, ˆP φ ]. Jedynie [Ĥ, ˆP φ ] =, czyli niezbaurzony hamiltonian układu i ˆP φ mają wspólną bazę własną. Wiemy, że ˆP φ ˆN ˆN, czyli wybierając stan ξ nφ (w zerowym rzędzie dla niezaburzonego układu, taki że ˆP φ ξ nφ =, ustalamy tę samą liczbę cząstek w każdym z solitonów równą N. Biorąc pod uwagę powyższą argumentację, stan własny układu dwóch solitonów niezaburzonych potencjałem U przedstawia się jako ψ ( n n = χ n (r χ n (r ξ (φζ (Φ, (.4. E n n = E n + E n. (.4. 3

17 Energia tego stanu jest równa sumie energii pojedynczych solitonów w potencjale przypadkowym V r (z. Następnym krokiem jest zbadanie zachowania stanu własnego układu w obecności potencjału oddziaływania U..4. Poprawki do energii i stanu Poprawka do energii w pierwszym rzędzie rachunku zaburzeń wynosi: E ( n = n ψ( n n Û ψ( n n. (.4.3 Jednak poprawka ta znika, ponieważ Û cos(φ, tzn.: E ( n n π π e iφ cos(φe iφ dφ =. (.4.4 Fakt iż U cos(φ implikuje wartości jakie może przyjmować n φ, aby element macierzowy potencjału oddziaływania nie znikał, mianowicie: ξ (φ Û ξ n φ (φ = (δ n φ, + δ n φ,, (.4.5 czyli n φ = ±, a energia związana z fazą względną wynosi E n φ =± = N 4. Musimy przejść do drugiego rzędu, w którym poprawka do energii wynosi (pamiętając, że [Ĥ, ˆP Φ ] =, wybieramy n Φ = : E ( n n = n,n,n φ =± ψ n n n φ Û ψ n n Poprawka do stanu w najniższym dostępnym rzędzie ma postać: ψ ( n n = n,n,n φ =± Podsumowując powyższe rozważania: E n n E n n n φ. (.4.6 ψ n n n φ Û ψ n n E n n E n n n φ ψ n n n φ. (.4.7 ψ n n = π χ n (r χ n (r, E n n = E n + E n, (.4.8 ψ n n ±, = π e±iφ χ n (r χ n (r, E n n ±, = E n + E n N 4. ( Analiza numeryczna.5. Zagadnienie własne Pierwszym krokiem jest rozwiązanie zagadnienia własnego ( ˆP Ĥ r χ n (r = r N + V r χ n (r = E n χ n (r. (.5. Dyskretyzujemy zmienną r ( L/, L/ na siatce o T punktach numerowanych indeksem i =,.., T. Gęstość siatki oznaczmy przez b = ( L T. Dyskretna wersja operatora ˆP = d dr ma postać d dr χ n(i = χ n(i + χ n (i + χ n (i b. (.5. Możemy zapisać macierzową (T T postać zdyskretyzowanego operatora różniczkowego z (.5.. V r (. H r =. V r (... Nb V r ( (

18 Zagadnienie własne (.5. sprowadza się do numerycznego wyznaczania wektorów i wartości własnych macierzy H r (.5.3. Zbiór wektorów i wartości własnych ma T elementów, co dla satysfakcjonującej liczby punktów siatki (rzędu 5 i więcej jest ogromną ilością. Musimy w jakiś sposób określić zbiór wektorów własnych, do którego się ograniczymy. Poprawka do stanu w pierwszym rzędzie (.4.7 zawiera sumowanie po wszystkich parach wektorów własnych χ n. Oczywistym jest, że nie możemy uwzględnić każdej pary. Interesują nas człony mające największy wkład do sumy w (.4.7, czyli takie dla których licznik jest największy, a mianownik E n n E n n ± jest najbliższy zeru. Chcemy oszacować z góry licznik z (.4.7. Jest on maksymalny gdy obliczamy przekrycie stanu z samym sobą: χ n (r χ n (r Udr dr N 3 χ n (r χ n (r e N r r / dr dr δ (.5.4 W tym miejscu zajmijmy się mianownikiem z (.4.7. Wartość poprawki będzie tym większa, im mianownik będzie bliższy zeru. Zatem interesuje nas przypadek, gdy: E nn E n n ±, E n + E n E n + E n N 4. (.5.5 Lewa strona ostatniego wyrażenia jest energią wybranego stanu początkowego. Przyjmujemy, że energia E n jest minimalną wartością potencjału V r, co rozumiemy jako najniższą możliwą energię stanu własnego. Zatem górna granica energetyczna zakresu, w którym będziemy szukać stanów własnych (.5. wynosi: E n = E n + E n min(v r + N + ɛ, ( gdzie ɛ > za chwilę dookreślimy. Podsumowując: wybieramy energię E nn = E n + E n stanu, który chcemy badać i następnie numerycznie rozwiązujemy zagadnienie własne dla (.5., szukając wektorów własnych do wartości własnych z przedziału: E n (min(v r, E nn min(v r + N + ɛ. ( Gdy już mamy wszystkie wektory własne (.5. o energiach w wybranym zakresie, do sumy (.4.7 wybieramy tylko pary wektorów, których energie spełniają warunek: E nn E n n ±, < ɛ. (.5.8 Oznacza to, że pominęliśmy przyczynki od wektorów, których moduły amplitud spełniają: ψ n n ±, U ψ n n E n n E n n ±, δ Ω. (.5.9 ɛ Innymi słowy, mamy pewność, że człony, które odrzuciliśmy nie są większe od Ω. Analizować będziemy tylko stany ψ nn, dla których można stosować rachunek zaburzeń, tzn. dla których cała poprawka ma normę..5. Rozkład gęstości prawdopodobieństwa Wiemy, że ψ n n n φ jest funkcją trzech zmiennych, r, r, φ. ψ n n n φ = ψ ( + ψ ( = χ n (r χ n (r + cos(φ α n π n χ n (r χ n (r. {n,n } Chcąc przedstawić uzyskane wyniki w formie graficznej całkujemy po fazie globalnej Φ i względnej φ kwadrat modułu ψ n n n φ : ρ(r, r = χ n (r χ n (r + α n n χ n (r χ n (r. (.5. {n,n } 5

19 Następnie całkując ρ(r, r odpowiednio po r i r i pamiętając, że wektory są znormalizowane do jedności, otrzymamy rozkład gęstości prawdopodobieństwa znalezienia każdego z solitonów po uwzględnieniu oddziaływania między nimi: gdzie: κ n (r κ n (r ρ(r, r dr = χ n (r + n ρ(r, r dr = χ n (r + n α n n χ n (r, (.5. n α n n χ n (r, (.5. n α n n = ψ n n ± U ψ n n E nn E n n ±. (.5.3 κ n (r i κ n (r to jednocząstkowe gęstości prawdopodobieństwa znalezienia każdego z solitonów. 6

20 8 γ(k γ(k,, k k Rysunek.4: Zielona przerywana linia - odwrotność długości lokalizacji (..8 dla rozważanego potencjału dla dwupunktowej funkcji korelacji (..4 (o długości korelacji σ =. i amplitudzie V =. w przybliżeniu Borna w funkcji pędów k. Niebieska ciągła linia - odwrotność długości lokalizacji (..9 dla dwupunktowej funkcji korelacji (.. (o tej samej długości korelacji σ i amplitudzie V w przybliżeniu Borna. Punkty otrzymane zostały poprzez diagonalizację hamiltonianu (.5., gdzie dla każdego logarytmu kwadratu modułu stanu własnego hamiltonianu (.5. dofitowano prostą y = γ(kr + b, a następnie γ(k uśredniono po wszystkich stanach własnych zawartych w przedziale (E δe, E + δe, gdzie δe =.. Kwadraty (kolor czerwony odpowiadają częstości ω > ω (V =., natomiast kółka (kolor czarny częstości ω < ω (V =.. Na wewnętrznym wykresie te same wielkości w skali logarytmicznej..6 Wyniki symulacji W pierwszej kolejności dokonano diagonalizacji hamiltonianu (.5. w pudle o długości L = 6 na siatce o T = 6 punktach dla energii o pędach z zakresu k = NE (, 6 dla potencjału przypadkowego wytworzonego przez falę elektromagnetyczną o częstości ω < ω i ω > ω, o amplitudach odpowiednio V =. i V = +. o N = 5 atomach w jednym solitonie. Następnie dla stanów własnych o energiach z zakresu (E δe, E +δe, gdzie δe =., obliczono odwrotność długości lokalizacji γ(e i uśredniono po wszystkich stanach z danego przedziału energetycznego (E δe, E + δe. Uzyskane wyniki przedstawiono na rysunku (rys..4. Na rysunku (rys..4 kolorem niebieskim narysowano odwrotność długości lokalizacji w przybliżeniu Borna dla potencjału o dwupunktowej funkcji korelacji (.., a zieloną przerywaną linią odwrotność długości lokalizacji w przybliżeniu Borna dla dwupunktowej funkcji korelacji postaci (..4. Jak widzimy funkcje te wyraźnie różnią się dla pędów z zakresu k (, 5, a dla wyższych pędów funkcje przebiegają dość podobnie, co wynika z faktu, że czynnik / sinh(πk/n dominuje w (..8 i (..9. Jak widać na rysunku (rys..4 odwrotność długości lokalizacji dla potencjału pochodzącego od światła laserowego o częstości ω > ω wyraźnie różni się od potencjału pochodzącego od światła laserowego o częstości ω < ω. Widać też, że przybliżenie Borna (..9 nie zgadza się z symulacjami numerycznymi. 7

21 .6. Częstość lasera ω > ω Następnym krokiem było zdiagonalizowanie hamiltonianu (.5. w pudle o długości L = 5 na siatce o T = 6 punktów dla energii z zakresu E n ( 4.67, 3 dla potencjału przypadkowego o amplitudzie V =. pochodzącego od światła laserowego o częstości ω > ω. Po otrzymaniu stanów własnych z zadanego zakresu energetycznego wybraliśmy jeden stan własny χ n o n = 95 i energii E n =.8. Następnie wybraliśmy 4 stany χ n o energiach mniejszych od energii E n (wybrane energie E n są porównywalne względem siebie oraz 4 stany χ n o energiach większych od energii E n (w tym przypadku wybrane energie E n również są porównywalne. Wybór stanów χ n o energiach spełniających powyższe warunki związany jest z faktem, iż chcemy zbadać efekt oddziaływania układu dwóch solitonów (o ustalonej energii układu E = E n + E n w obecności potencjału U w funkcji ich wzajemnej odległości r. Zatem dla ustalonej energii E oraz ustalonej energii E n musimy wybrać stany n o niewiele różniących się energiach E n, aby E była możliwe stałą wartością dla każdej pary (χ n,χ n. Oddziaływanie ze stanami o energiach E n < E n Dla ustalonego stanu χ n o n = 95 i energii E n =.8 zbadano oddziaływanie z czterema różnymi stanami χ n w obecności potencjału oddziaływania U między nimi. Stany są przedstawione na rysunkich (rys..5, logarytmy kwadratów modułów na rysunku (rys..6, a na rysunku (rys..7 ln(κ n po uwzględnieniu oddziaływania stanu χ n z różnymi stanami χ n. W tabeli (tab.. zestawiono uzyskane poprawki energetyczne. Oddziaływanie ze stanami o energiach E n > E n Podobnie jak poprzednio, dla tego samego ustalonego stanu χ n o n = 95 i energii E n =.8 zbadano oddziaływanie z czterema różnymi stanami χ n w obecności potencjału oddziaływania U między nimi. Stany są przedstawione na rysunku (rys..8, na rysunku (rys..9 przedstawione są logarytmy kwadratów modułów stanów, natomiast na rysunku (rys.. ln(κ n po uwzględnieniu oddziaływania stanu χ n z różnymi stanami χ n. Uzyskane poprawki energetyczne przedstawione są w tabeli (tab Częstość lasera ω < ω Hamiltonian (.5. zdiagonalizowano w pudle o długości L = 5 na siatce o T = 6 punktów dla energii z zakresu E n ( 7, 37 dla potencjału przypadkowego o amplitudzie V =. pochodzącego od światła laserowego o częstości ω < ω. Po otrzymaniu stanów własnych z zadanego zakresu energetycznego wybraliśmy jeden stan własny χ n o n = 97 i energii E n =.63. Następnie, tak jak to miało miejsce w przypadku gdy ω > ω, wybraliśmy 4 stany χ n o energiach mniejszych od energii E n (wybrane energie E n są porównywalne względem siebie oraz 4 stany χ n o energiach większych od energii E n (w tym przypadku energie E n również są porównywalne. Oddziaływanie ze stanami o energiach E n < E n Dla ustalonego stanu χ n o n = 97 i energii E n =.63 zbadano oddziaływanie z czterema różnymi stanami χ n w obecności potencjału oddziaływania U między nimi. Stany są przedstawione na rysunkich (rys.., logarytmy kwadratów modułów na rysunku (rys.., a na rysunku (rys..3 ln(κ n po uwzględnieniu oddziaływania stanu χ n z różnymi stanami χ n. W tabeli (tab..3 zestawiono uzyskane poprawki energetyczne. Oddziaływanie ze stanami o energiach E n > E n Podobnie jak poprzednio, dla tego samego ustalonego stanu χ n o n = 97 i energii E n =.63 zbadano oddziaływanie z czterema różnymi stanami χ n w obecności potencjału oddziaływania U między nimi. Stany są przedstawione na rysunku (rys..4, na rysunku (rys..5 przedstawione są logarytmy kwadratów modułów stanów, natomiast na rysunku (rys..6 ln(κ n po uwzględnieniu oddziaływania stanu χ n z różnymi stanami χ n. Uzyskane poprawki energetyczne przedstawione są w tabeli (tab..4. 8

22 (a (b χ n,χ n χ n,χ n (c r,r (d r,r χ n,χ n χ n,χ n r,r r,r Rysunek.5: Na każdym panelu (a-(d kolorem czerwonym narysowano stan χ n (n = 95, E n =.8. Kolorem czarnym przedstawiono stany χ n : (n = 985, E n =.43 (a, (n = 3, E n =.6 (b, (n = 63, E n =.79 (c i (n = 7, E n =.8 (d. (a (b ln χ n,ln χ n ln χ n,ln χ n (c r,r (d r,r ln χ n,ln χ n ln χ n,ln χ n r,r r,r Rysunek.6: Na każdym panelu (a-(d kolorem czerwonym narysowano logarytm kwadratu modułu stanu χ n (n = 95, E n =.8. Kolorem czarnym przedstawiono logarytmy kwadratów modułów stanów χ n : (n = 985, E n =.43 (a, (n = 3, E n =.6 (b, (n = 63, E n =.79 (c i (n = 7, E n =.8 (d. 9

23 (a (b ln χ n, ln(κ n ln χ n, ln(κ n (c 3 r (d r ln χ n, ln(κ n ln χ n, ln(κ n r r Rysunek.7: Na panelach (a-(d logarytm kwadratu modułu stanu χ n ln(κ n (kolor fioletowy. (kolor czerwony oraz (a (b χ n,χ n χ n,χ n (c r,r (d r,r χ n,χ n χ n,χ n r,r r,r Rysunek.8: Na każdym panelu (a-(d kolorem czerwonym narysowano stan χ n (n = 95, E n =.8. Kolorem czarnym przedstawiono stany χ n : (n = 46, E n = 3.69 (a, (n = 47, E n = 3.7 (b, (n = 55, E n = 4. (c i (n = 587, E n = 4.3 (d.

24 ln χ n,ln χ n ln χ n,ln χ n (a (c r,r r,r ln χ n,ln χ n ln χ n,ln χ n (b (d r,r r,r Rysunek.9: Na każdym panelu (a-(d kolorem czerwonym narysowano logarytm kwadratu modułu stanu χ n (n = 95, E n =.8. Kolorem czarnym przedstawiono logarytmy kwadratów modułów stanów χ n : (n = 46, E n = 3.69 (a, (n = 47, E n = 3.7 (b, (n = 55, E n = 4. (c i (n = 587, E n = 4.3 (d. ln χ n,ln(κ n ln χ n,ln(κ n (a (c 3 r r ln χ n,ln(κ n ln χ n,ln(κ n (b (d 3 r r Rysunek.: Na panelach (a-(d logarytm kwadratu modułu stanu χ n ln(κ n (kolor zielony. (kolor czerwony oraz

25 (a (b χ n,χ n χ n,χ n (c r,r - - (d r,r χ n,χ n χ n,χ n r,r - - r,r Rysunek.: Na każdym panelu (a-(d kolorem czerwonym narysowano stan χ n (n = 97, E n =.63. Kolorem czarnym przedstawiono stany χ n : (n = 764, E n =.3 (a, (n = 777, E n =.36 (b, (n = 838, E n =.6 (c i (n = 86, E n =.68 (d. ln χ n,ln χ n ln χ n,ln χ n (a -4-4 (c r,r -4-4 r,r ln χ n,ln χ n ln χ n,ln χ n (b -4-4 (d r,r -4-4 r,r Rysunek.: Na każdym panelu (a-(d kolorem czerwonym narysowano logarytm kwadratu modułu stanu χ n (n = 97, E n =.63. Kolorem czarnym przedstawiono logarytmy kwadratów modułów stanów χ n : (n = 764, E n =.3 (a, (n = 777, E n =.36 (b, (n = 838, E n =.6 (c i (n = 86, E n =.68 (d.

26 ln χ n, ln(κ n ln χ n, ln(κ n (a (c r r ln χ n, ln(κ n ln χ n, ln(κ n (b -4-4 (d -4-4 r r Rysunek.3: Na panelach (a-(d logarytm kwadratu modułu stanu χ n ln(κ n (kolor żółty. (kolor czerwony oraz (a (b χ n,χ n χ n,χ n (c r,r (d r,r χ n,χ n χ n,χ n r,r r,r Rysunek.4: Na każdym panelu (a-(d kolorem czerwonym narysowano stan χ n (n = 97, E n =.63. Kolorem czarnym przedstawiono stany χ n : (n = 86, E n = 3.3 (a, (n = 9, E n = 3.33 (b, (n = 39, E n = 3.5 (c i (n = 366, E n = 3.6 (d. 3

27 (a (b - - ln χ n,ln χ n ln χ n,ln χ n (c r,r (d r,r - - ln χ n,ln χ n ln χ n,ln χ n r,r r,r Rysunek.5: Na każdym panelu (a-(d kolorem czerwonym narysowano logarytm kwadratu modułu stanu χ n (n = 97, E n =.63. Kolorem czarnym przedstawiono logarytmy kwadratów modułów stanów χ n : (n = 86, E n = 3.3 (a, (n = 9, E n = 3.33 (b, (n = 39, E n = 3.5 (c i (n = 366, E n = 3.6 (d. (a (b - - ln χ n,ln(κ n ln χ n,ln(κ n (c r (d r - - ln χ n,ln(κ n ln χ n,ln(κ n r r Rysunek.6: Na panelach (a-(d logarytm kwadratu modułu stanu χ n ln(κ n (kolor niebieski. (kolor czerwony oraz 4

28 Tabela.: ω > ω, E n < E n =.8. Wyniki rachunku zaburzeń dla stanu ψ nn = π χ n χ n + ψ (, gdzie χ n jest ustalone, a zmieniamy χ n. r to odległość pomiędzy maksimami χ n i χ n, natomiast E to procentowa poprawka energetyczna (.4.6 względem stanu niezaburzonego o energii E = E n + E n, tzn. E = E( n n E n +E n %. Ω zdefiniowane jest w (.5.9. n E n r E(% Ω (a (b (c (d Tabela.: ω > ω, E n > E n =.8. Wyniki rachunku zaburzeń dla stanu ψ n n = π χ n χ n + ψ (, gdzie χ n jest ustalone, a zmieniamy χ n. r to odległość pomiędzy maksimami χ n i χ n, natomiast E to procentowa poprawka energetyczna (.4.6 względem stanu niezaburzonego o energii E = E n + E n, tzn. E = E( n n E n +E n %. Ω zdefiniowane jest w (.5.9. n E n r E(% Ω (a (b (c (d Tabela.3: ω < ω, E n < E n =.63. Wyniki rachunku zaburzeń dla stanu ψ n n = π χ n χ n + ψ (, gdzie χ n jest ustalone, a zmieniamy χ n. r to odległość pomiędzy maksimami χ n i χ n, natomiast E to procentowa poprawka energetyczna (.4.6 względem stanu niezaburzonego o energii E = E n + E n, tzn. E = E( n n E n +E n %. Ω zdefiniowane jest w (.5.9. n E n r E(% Ω (a (b (c (d Tabela.4: ω < ω, E n > E n =.63. Wyniki rachunku zaburzeń dla stanu ψ nn = π χ n χ n + ψ (, gdzie χ n jest ustalone, a zmieniamy χ n. r to odległość pomiędzy maksimami χ n i χ n, natomiast E to procentowa poprawka energetyczna (.4.6 względem stanu niezaburzonego o energii E = E n + E n, tzn. E = E( n n E n +E n %. Ω zdefiniowane jest w (.5.9. n E n r E(% Ω (a (b (c (d

29 Rysunek.7: Zakresy energetyczne, w których zbadano zagadnienie własne dla (.5.3 oraz wykonano rachunek zaburzeń. Większy prostokąt odpowiada zakresowi energetycznemu, w którym dokonano diagonalizacji macierzy (.5.3 dla potencjału przypadkowego pochodzącego od światła laserowego o częstości ω < ω, a zielony prostokąt zakresowi energetycznemu dla potencjału przypadkowego pochodzącego od światła laserowego o częstości ω > ω. Powyżej energii E p =.56 stany własne (.5.3 dla potencjału od światła laserowego o częstości ω < ω są bardziej zdelokalizowane od tych dla potencjału od światła laserowego o częstości ω > ω..7 Wnioski Jak można zauważyć, pomimo faktu, iż poprawki energetyczne są bardzo małe (praktycznie zaniedbywalne to obserwujemy dramatycznie zmodyfikowany obraz. W początkowo zlokalizowanych stanach, pod wpływem wzajemnego oddziaływania poprzez potencjał U, efekt lokalizacji Andersona znika. Załóżmy, że potencjał Û nie zależy od fazy, wtedy dwa stany, układu niezaburzonego, ψ n n, ψ nn do energii E nn = E nn = E n + E n tworzą zdegenerowaną podprzestrzeń, w ramach której zagadnienie własne pełnego układu dla Ĥ = Ĥ + Û odpowiada macierzy: ( ψn n Ĥ ψ n n ψ n n Ĥ ψ n n ψ nn Ĥ ψ n n ψ nn Ĥ ψ n n = ( En n (.7. E nn ( ψnn + Û ψ n n ψ nn Û ψ n n ψ n n Û ψ n n ψ n n Û ψ n n Następnie należałoby zdiagonalizować macierz zaburzenia Û w tej podprzestrzeni. Rozwiązanie zagadnienia własnego pełnego hamiltonianiu uwzględniającego oddziaływanie Û byłoby kombinacją liniową stanów ψ nn i ψ nn. W naszym przypadku zniknięcie andersonowskiej lokalizacji stanów ma inne pochodzenie, które wynika ze sprzęgnięcia stanów zlokalizowanych ze stanami zdelokalizowanymi w poprawce (.4.7, co jest bezpośrednią implikacją faktu posiadania przez soliton dodatkowego stopnia swobody (oprócz położenia środka masy: fazy, która daje przyczynek do jego energii kinetycznej poprzez człon ˆP φ m φ, gdzie ˆP φ = ˆN N = i φ, m φ = 4 N jest masą związaną z fazą, a N jest liczbą cząstek. Oddziaływanie pomiędzy solitonami zależy od ich wzajemnej odległości oraz od cos(φ φ (gdzie φ i φ to fazy każdego z solitonów. Ponieważ stany ψ n n i ψ n n mają tę samą energię E n n = E n n = E n + E n i należą do tej samej podprzestrzeni denegeracji, tak samo jak zostało to opisane powyżej, w ramach rachunku zaburzeń należałoby zdiagonalizować macierz operatora Û w tej podprzestrzeni. Jednak z powodu zależności potencjału Û od cos(φ φ elementy macierzowe operatora Û w tej podprzestrzeni znikają, a ψ n n i ψ n n nie zostają ze sobą sprzęgnięte tak jak to by było w przypadku gdyby Û zależał jedynie od odległości między solitonami. W rachunku zaburzeń poprawka do stanu ψ nn (.4.7, zawiera m.in. takie człony ψ n n ±,, w których χ n lub χ n są zdelokalizowane (lub mają długość lokalizacji znacznie większą niż rozmiar naszego układu. Zatem jednocząstkowa gęstość prawdopodobieństwa znalezienia jednego solitonu κ n (r = ψ ( n n + ψ( n n dφdφdr, (.7. nie jest andersonowsko zlokalizowana. 6

30 Zakresy energetyczne w których rozwiązywaliśmy zagadnienie własne dla (.5.3 zostały wybrane, tak jak to zostało opisane w (.5.7 i przedstawiliśmy je na rysunku (rys..7. Jak możemy zaobserwować na rysunku (rys..4 dla pędów k > k p = 6 (czyli energii E > E p = Nkp =.56 stany własne pochodzące od światła laserowego o częstości ω < ω mają mniejszą odwrotność długość lokalizacji od stanów dla przypadku światła o częstości ω > ω (rys..4, czyli są bardziej zdelokalizowane. Chieliśmy zbadać wzajemne oddziaływanie dwóch solitonów w funkcji ich odległości. Oddzielnie dla przypadku ω > ω i ω < ω wybraliśmy jeden stan χ n o energii E n (energie stanów χ n dla przypadków ω > ω i ω < ω staraliśmy się wybrać w taki sposób aby były porównywalne do E p (E n =.8 dla ω > ω i E n =.63 dla ω < ω, tzn. aby miały podobną długość lokalizacji i badaliśmy jego oddziaływanie z różnymi stanami χ n położonymi w różnych odległościach od χ n. Staraliśmy się dopierać stany χ n tak by ich energie były jak najbardziej zbliżone do siebie. Wyniki numeryczne nie wykazują monotoniczności procentowych poprawek energetycznych (.4.6 w funkcji wzajemnej odległości r między solitonami. Związane jest to z faktem, że energie wybranych stanów χ n nie były takie same ( zawierały się w zbyt dużym zakresie zmienności, a różne r były zbyt zbliżone do siebie. Czynnikiem, który zawęża nam wybór stanów χ n jest ich odległość od stanu χ n, ponieważ potencjał U zależy eksponencjalnie od wzajemnej odległości, więc nie możemy szukać stanów oddalonych zbyt od siebie, bo wtedy poprawki będą niezauważalne, ale też nie możemy wybierać stanów zbyt blisko siebie, bo wtedy wyszlibyśmy poza rachunek zaburzeń. Aby pracować w rachunku zaburzeń stany χ n musieliśmy wybierać w większej odległości od χ n dla przypadku ω < ω niż dla ω > ω. Oznacza to, że w przypadku ω < ω oddziaływanie daje większe poprawki. Gdyby rozmiar L naszego układu był bardzo duży oraz obliczeń dokonywalibyśmy na większej siatce to mielibyśmy bardzo wiele różnych stanów i mielibyśmy większą elastyczność w wyborze stanów o porównywalnych energiach (a o różnych położeniach. Wtedy dokładniej można by zbadać ich oddziaływanie z ustalonym stanem χ n w funkcji ich wzajemnej odległości, jednak wiązałoby się to ze znacznym wzrostem czasu obliczeń numerycznych. Parametr Ω określa maksymalną amplitudę członów, które odrzuciliśmy w (.4.6 i (.4.7. Jak możemy zauważyć średni ustalony poziom ogonów κ n jest mniejszy od Ω, np. na rysunku (rys..6 na panelu (a asymptotyczna wartość ogonów κ n jest na poziomie 3, a człony które odrzuciliśmy dla tego przypadku mają kwadrat amplitudy mniejszy lub równy Ω = Oznacza to, że nasze ograniczenie się co do wyboru stanów ψ n n ±, jest słuszne. Jak widać, zagadnienie jest wielowymiarowe, zależy od częstości światła laserowego, energii badanych solitonów oraz odległości między nimi, co całość czyni trudnym do pełnego zbadania. Dokładniejsze symulacje dla większego rozmiaru pudła są w planach. 7

31 Rozdział 3 Podsumowanie W niniejszej pracy otrzymaliśmy potencjał oddziaływania U pomiędzy dwoma jasnymi solitonami w Kondensacie Bosego - Einsteina w jednowymiarowym potencjale przypadkowym pochodzącym od światła laserowego przechodzącego przez matówkę. Następnie w ramach stacjonarnego rachunku zaburzeń zbadaliśmy lokalizację Andersona dwóch jasnych solitonów w obecności otrzymanego potencjału oddziaływania U. Otrzymaliśmy następujące rezultaty:. Wprowadzenie przesłony na matówce powoduje zmianę funkcji korelacji potencjału przypadkowego pochodzącego od światła laserowego przechodzącego przez tę matówkę. Wprowadzenie przesłony postaci I(ξ = Θ(R ξθ(r + ξ[cos( π Rξ + ] powoduje wolniejsze gaśnięcie funkcji korelacji niż w przypadku braku przesłony.. Odwrotność długości lokalizacji dla pojedynczego solitonu w potencjale odczuwanym przez jego środek masy (tzn. splotu potencjału przypadkowego od światła laserowego po przejściu przez matówkę z kwadratem modułu funkcji falowej solitonu w ramach przybliżenia Borna ma postać: γ(k = π 5 (NV σ 3 sin(πkσ + π( + cos(πkσ ( k σ sinh(πk/n Θ( k σ, gdzie V to amplituda potencjału przypadkowego, σ - długość korelacji potencjału, N - liczba cząstek w solitonie. 3. Potencjał oddziaływania U ma postać: U = N 3 cos(φ φ e N(r r/, r > r, gdzie φ, i r, są odpowiednio fazą i położeniem każdego z solitonów, a N liczbą cząstek w każdym z nich. 4. Sprzężenie między solitonami zależy od różnicy faz i odległości w jakiej znajdują się środki ich mas. 5. Obecność oddziaływania między zlokalizowanymi solitonami powoduje zniszczenie andersonowskiej lokalizacji ich ogonów, które jest wynikiem sprzęgnięcia stanów zlokalizowanych ze stanami niezlokalizowanymi. Rachunki zostały przeprowadzone przy założeniu, że solitony są oddalone od siebie na odległość dużo większą niż ich szerokość, a wzajemne oddziaływanie odbywa się jedynie w wyniku przekrywania się ich ogonów w obszarze znajdującym się między nimi. Następnym krokiem jaki można poczynić jest zbadanie układu solitonów dla pełnej diagonalizacji hamiltonianu (.3.. 8

32 Dodatek A Rozważmy część związaną z oddziaływaniem układu z potencjałem przypadkowym: I = V (z ψ + ψ dz = V (z( ψ + ψ + ψ ψ + ψ ψ dz. Podzielmy przedział całkowania (, + na podprzedziały (, ρ (ρ, +, tak że r < ρ < r. Dla członów mieszanych w pierwszym podprzedziale funkcję falową solitonu ψ przybliżamy ogonem δψ, natomiast w drugim przedziale ψ przybliżamy ogonem δψ, zatem możemy zapisać: I = = ρ + V (z ψ dz + V (z ψ dz V (z(ψ δψ + ψ δψ dz + V (z ψ dz + ρ V (z ψ dz ( ρ + cos(φ φ V (z ψ δψ dz + V (z(δψ ψ + δψ ψ dz ρ V (z δψ ψ dz. Oznaczmy: I I + cos(φ φ (I + I, I I I ρ ρ V (z ψ dz + V (z ψ δψ dz, V (z ψ δψ dz. V (z ψ dz, W I obszar całkowania (, ρ dzielimy na dwa przedziały (, r + N (r + N, ρ i dla z > r + N soliton przybliżamy jego ogonem δψ. Całkę po obszarze (, r + N możemy przybliżyć całką po przedziale (r N, r + N, bo dla z (, r N pojawiający się człon typu δψ δψ można zaniedbać. Łącznie: I = ρ V (z ψ δψ dz r+ N r N Analogiczne rozumowanie przeprowadzamy dla I. I = Zatem: ρ I + I = V (z ψ δψ dz r + N r N r + N r N V (z ψ δψ dz + V (z ψ δψ dz + N e N(r r/ ρ r + N r V (z ψ δψ dz + N e N(r N r / r + N r N ρ V (zdz. V (zdz. r V (z ψ δψ dz + N e N(r N r / r + N V (zdz. 9

33 Ostatnią całkę w I + I możemy oszacować jako V σ zatem współczynnik przy ostatnim członie jest rzędu V N σ. Pozostaje jeszcze oszacować wielkość dwóch całek. r + N r N V (z ψ δψ dz = N r + N r N e N(z r / V (z cosh[n(z r /] dz. Na przedziale (r N, r + N, z = r ± z, gdzie z N. Oszacujmy eksponentę z góry: N r+ N r N e N(z r/ V (z cosh[n(z r /] dz Analogicznie dla drugiej całki: r+ N V (z ψ δψ dz r N < N r+ N ee N(r r / r N V (z cosh[n(z r /] dz < N ee N(r r / V N = V N ee N(r r/. N r+ N < ee N(r r / V (z r cosh[n(z r N /] dz < N ee N(r r / V N = V N ee N(r r/. Łącznie I + I jest rzędu V N(+Nσ e N(r r /, zatem I + I U jest rzędu V ( N + σ N, co przy V <, σ i N jest dużo mniejsze od, zatem I + I jest zaniedbywalne wobec U. 3

34 Bibliografia [] A. J. Legget. Rev. Mod. Phys., 73:37,. [] F. Dalfovo, S. Giorgini, L. P. Pitajevskii, and S. Stringari. Rev. Mod. Phys., 7:463, 999. [3] C. J. Pethick and H. Smith. Bose-Einstein Condensation in Dilute Gases. Cambridge University Press,. [4] K. Sacha. Kondensat Bosego - Einsteina. Kraków, 4. [5] P. G. Drazin and R. S. Johnson. Soliton: an introduction. Cambridge University Press, 989. [6] A. Aspect and M. Inguscio. Physics Today, page 3, August 9. [7] S. Fishman, D. R. Grempel, and R. E. Prange. Phys. Rev. Lett., 49(8, August 98. [8] P. W. Anderson. Phys. Rev., 9(5:49, March 958. [9] P. Lugan. Phys. Rev. A, 8:365, August 9. [] G. Roati et al. Nature, 453:895, June 8. [] A. Lagendijk, B. van Tiggelen, and D. S. Wiersma. Physics Today, page 3, August 9. [] L. Sanchez - Palencia, D. Clement, P. Lugan, G.V. Shlyapnikov, and A. Aspect. Phys. Rev. Lett., 98:4, May 7. [3] J. Chabe et al. arxiv:79.43v, August 8. [4] J. Billy et al. Nature, 453:89, June 8. [5] J. W. Goodman. Statistical properties of laser speckle patterns. Springer Berlin, 975. [6] J. C. Dainty. Laser speckle and related phenomena. Springer-Verlag, 975. [7] K. Sacha, D. Delande, and J. Zakrzewski. Acta Physica Polonica A, 6:77, September 9. [8] K. Sacha, C.A. Muller, D. Delande, and J. Zakrzewski. Phys. Rev. Lett., 3:4, 9. [9] J. Dziarmaga. Phys. Rev. A, 7:6366, December 4. [] P. L. Knight and C. C. Gerry. Wstȩp do optyki kwantowej. PWN, 7. [] R. Kuhn. Coherent Transport of Matter Waves in Disordered Optical Potentials. PhD thesis. [] B. A. Malomed. Phys. Rev. E, 58(6:798, December