Rozkład normalny, niepewność standardowa typu A

Transkrypt

1 Podstawy Metrologii i Technik Eksperymentu Laboratorium Rozkład normalny, niepewność standardowa typu A Instrukcja do ćwiczenia nr 1 Zakład Miernictwa i Ochrony Atmosfery Wrocław, listopad 2010 r.

2 Podstawy Metrologii i Technik Eksperymentu Ćwiczenie laboratoryjne nr 1 ROZKŁAD NORMALNY, NIEPEWNOŚĆ STANDARDOWA TYPU A 1. CEL ĆWICZENIA Celem ćwiczenia jest sporządzenie histogramu wartości wielkości mierzonych, a następnie analityczne wyznaczenie parametrów funkcji Gaussa dla pojedynczego pomiaru i średniej oraz graficzne przedstawienie wyników w raz z ich interpretacją. 2. POJEDYNCZY POMIAR [1,2,3] Na rysunkach 1 i 2 przedstawiono [1] histogram 100 i 1000 pomiarów tej samej wielkości fizycznej. Po wykonaniu 1000 pomiarów histogram staje się dość gładki i regularny. Gdy ilość pomiarów dąży do nieskończoności ich rozkład zbliża się do tzw. krzywej granicznej, która przypomina swoim kształtem dzwon i jest symetryczna względem wartości prawdziwej X wielkości mierzonej. Częstość Rys.1. Histogram przedstawiający 100 pomiarów pewnej wielkości fizycznej [1] Częstość krzywa graniczna Wartość prawdziwa X Rys.2. Histogram przedstawiający 1000 pomiarów wielkości fizycznej z rysunku 1 [1] Taka sytuacja występuje jeżeli wynik pomiaru jest narażony na wpływ błędów przypadkowych, a błędy systematyczne są zaniedbywalne. Błędy przypadkowe z równym prawdopodobieństwem zaniżają i zawyżają otrzymane wartości. Jeżeli wszystkie błędy są przypadkowe to powinniśmy z takim samym prawdopodobieństwem uzyskać tyle samo wyników poniżej jak i powyżej wartości prawdziwej. Błędy systematyczne przesuwają wszystkie mierzone wartości w jednym kierunku i powodują, że środek rozkładu oddala się od wartości prawdziwej.[1] 2

3 Krzywa graniczna nazywa się funkcją Gaussa i ma postać: f X,σ () = 1 σ 2π e ( X)2 /2σ 2 gdzie: X wartość prawdziwa (środek rozkładu) σ szerokość rozkładu Pomiary, których rozkładem jest funkcja Gaussa są to pomiary, które mają rozkład normalny. Funkcja f X,σ nazywa się funkcją gęstości prawdopodobieństwa, a jej znaczenie przedstawia rysunek 3. (1) f() f()d= częstość pomiarów w przedziale od do +d +d a b b f() - częstość pomiarów w przedziale od a = a do = b Rys.3. Interpretacja rozkładu granicznego Rozkład graniczny f() pomiarów pewnej wielkości fizycznej oznacza również prawdopodobieństwo uzyskania wyniku pojedynczego pomiaru w przedziale a b. Co to jest wartość X ora z σ? Wartość średnia pomiarów przy nieskończonej ilości powtórzeń wyraża się równaniem: = f()d Wstawiając do tego równania wartość f() z równania (1) otrzymamy: = f X,σ ()d = 1 σ 2π Podstawiając y = -X otrzymujemy d=dy oraz e ( X)2 2σ 2 d (3) = 1 (y + X) e (y)2 2σ 2 dy (4) σ 2π i dalej = 1 e (y)2 y σ 2π 2σ 2 dy + X e (y)2 2σ 2 dy (5) (2) = 1 X σ 2π 0 (y) 2 e 2σ 2 dy (6) σ 2π Stąd = X Wynika z tego, że wartość prawdziwa wielkości mierzonej dla nieskończonej liczby powtórzeń równa się wartości średniej. 3

4 Odchylenie standardowe przy nieskończonej liczbie powtórzeń wyraża się równaniem: σ 2 = ( ) 2 f X,σ ()d (7) Ponieważ X = oraz podstawiając - X= y i y/σ = z, a następnie całkując przez części otrzymamy: σ 2 = σ 2. (8) Oznacza, że dla nieskończonej ilości pomiarów szerokość funkcji Gaussa jest równa odchyleniu standardowemu. Równania 2 i 7 oznaczają również to, że znając funkcję f() potrafimy obliczyć średnią oraz odchylenie standardowe σ dla nieskończenie długiej serii pomiarów, czyli poznalibyśmy wartość prawdziwą X. W rzeczywistości dysponujemy skończoną liczbą pomiarów: 1, 2,..., N. Jak określić zatem najlepsze przybliżenie wartości prawdziwej X oraz szerokości rozkładu σ? Jeżeli wyniki pomiarów podlegają rozkładowi normalnemu f X,σ () to możemy określić prawdopodobieństwo otrzymania wyniku w pobliżu 1, mieszczącego się w przedziale d 1. Wynosi ono [1]: P( w przedziale od 1 do 1 +d 1 )= Prawdopodobieństwo otrzymania wyniku w pobliżu 2 wynosi: P( w przedziale od 2 do 2 +d 2 )= Prawdopodobieństwo otrzymania wyniku w pobliżu N wynosi: P( w przedziale od N do N +d N )= (1 X) 1 2 σ 2π e 2σ 2 d 1 (9) (2 X) 1 2 σ 2π e 2σ 2 d 2 (10) 1 N X 2 σ 2π e 2σ 2 d N (11) Prawdopodobieństwo, że otrzymamy cały zbiór N wartości jest iloczynem poszczególnych prawdopodobieństw i wyraża się równaniem: P X,σ (1,, N )= P( 1 )P( 2 ) P( N ). (12) Można zatem napisać, że : P X,σ (1,, N )~ 1 σ N e ( i X) 2 /2σ 2 (13) Za najlepsze przybliżenie X i σ przyjmujemy takie, które daje największe prawdopodobieństwo wynikające z równania (13). Równanie to osiąga maksimum gdy ( i X) 2 /2σ 2 ma wartość minimalną. Po obliczeniu pochodnej po X i przyrównaniu jej do 0 otrzymamy: 1 N 2σ 2 i=1 i NX = 0 (14) i dalej X = N i=1 i N (15) 4

5 Oznacza to, że najlepszym przybliżeniem wartości prawdziwej X jest średnia z N pomiarów. W celu znalezienia najlepszego przybliżenia σ należy dokonać operacji pochodnej równania 13 względem σ i przyrównania ją do zera,. Po obliczeniach otrzymamy: σ = 1 N ( N 1 i=1 i ) 2 (16) Szerokość rozkładu określa, zatem odchylenie standardowe pojedynczego pomiaru. Podsumowując, jeżeli dysponujemy zbiorem N mierzonych wartości 1, 2, N najlepszym przybliżeniem wartości prawdziwej jest średnia wyników, a najlepszym przybliżeniem szerokości rozkładu Gaussa jest odchylenie standardowe pojedynczego pomiaru. Obliczmy dalej jakie jest prawdopodobieństwo, że wynik pojedynczego pomiaru leży w przedziale jednego odchylenia standardowego σ od wartości prawdziwej X jeżeli rozkładem granicznym jest funkcja Gaussa f X,σ (). Prawdopodobieństwo to wyraża równanie: P(w promieniu σ) = X+σ X σ f X,σ () = 1 X+σ σ 2π e ( X)2 /2σ 2 X σ Graficzną interpretację całki z równania (17) pokazuje rysunek 4. f() d (17) X-σ X X+σ Rys.4. Prawdopodobieństwo otrzymania wyniku pomiaru w przedziale X±σ Podstawiając z = (-X)/σ otrzymamy dz = d/σ oraz: P(w promieniu σ) = = 1 1 2π e z2 /2 1 dz (18) Ogólnie prawdopodobieństwa znalezienia się pojedynczego wyniku pomiaru w promieniu tσ, gdzie t jest dowolną liczbą stała przedstawia równanie: P(w promieniu tσ) = 1 t 2π e z2 /2 t którego interpretację przedstawia rysunek 5. f() dz, (19) X-tσ X X+tσ Rys.5. Prawdopodobieństwo otrzymania wyniku pomiaru w przedziale X±σ 5

6 Całka w równaniu (19) nazywa się funkcją błędu i nie można ją obliczyć arytmetyczne. Graficzne jej rozwiązanie jej przedstawia rysunek 6 oraz zamieszczona po nim tabela. P 100% 68% 95,4% 99,7% 50% t 0 0,25 0,5 0,75 1 1,25 1,5 1,75 2 2,5 3 3,5 4 P,% ,4 98,8 99,7 99,95 99,99 Rys.6. Rozwiązanie równania (19) [1] Z rysunku 6 wynika, że prawdopodobieństwo uzyskania wyniku pojedynczego pomiaru w przedziale o promieniu σ wynosi 68% a o promieniu 3σ wynosi 99,7%. Inaczej mówiąc, jeżeli wykonamy na przykład 10 pomiarów pewnej wielkości fizycznej i obliczymy wartość średnią i odchylenie standardowe, a następnie wykonamy 11 pomiar to możemy stwierdzić z prawdopodobieństwem równym 68%, że znajdzie się on w przedziale wartość średnia ± σ albo z prawdopodobieństwem 99,7%, że znajdzie się on w przedziale wartość średnia ± 3σ. 3. ROZKŁAD GAUSSA DLA ŚREDNIEJ [1,2,3] Zakładamy, że wykonujemy wielokrotnie serię N pomiarów tej samej wielkości fizycznej, tzn. otrzymamy zbiory wyników pomiarów: { 11, 12, 13,, 1N } { 21, 22, 23,, 2N } { 31, 32, 33,, 3N }. { M1, M2, M3,, MN } Każda seria opisana jest przez rozkład normalny o wartości prawdziwej X i szerokości rozkładu σ. Obliczymy ile wynosi średnia oraz odchylenie standardowe sredniej σ. Średnia z tak przeprowadzonych pomiarów wyraża się równaniem: = N N 0, = NX N = X (20) w którym: i srednia dla i-tej serii pomiarowej. Odchylenie standardowe średniej σ,zgodnie z regułą kwadratowego przenoszenia błędów, wyraża się ogólnym równaniem: σ = 11 σ σ N σ 1N 2 (21) t 6

7 w którym: σ 1i odchylenie standardowe pojedynczego pomiaru. Po przekształceniach otrzymamy: σ = 1 N σ N σ N σ 1N 2 (22) Ponieważ szerokości rozkładów są takie same: σ 11 = σ 12 = σ 13 = = σ 1N = σ to otrzymamy: σ = 1 N σ N σ N σ 2 (23) i dalej: σ = N 1 N σ 2 = σ N Oznacza to, że w wyniku wielokrotnego powtarzania pomiaru wartości średniej podlegają σ rozkładowi normalnemu z wartością prawdziwą X i szerokością rozkładu, w którym σ wyznaczone jest równaniem (17). Równanie Gaussa dla średniej ma zatem postać: N (24) f X,σ () = 1 σ /2 σ 2π e ( X)2 N 2 Interpretację którego przedstawia rysunek 7 dla N=10 [1] (25) Rys.7. Funkcje Gaussa dla pojedynczego pomiaru i średniej z 10 pomiarów [1] Jeżeli zatem wielokrotnie obliczymy średnią z 10 pomiarów do średniej opisane będą przez rozkład normalny wokół X z szerokością σ = σ. Albo i inaczej jeżeli znamy rozkład średniej i następnie jednokrotnie wyznaczymy średnią na podstawie N pomiarów to możemy z 68% prawdopodobieństwem stwierdzić, że średnia znajduje się w przedziale X±σ. N 4. NIEPEWNOŚĆ STANDARDOWA TYPU A u A Jeżeli wyniki pomiarów podlegają rozkładowi normalnemu to niepewność standardowa tupu A jest odchyleniem standardowe średniej i wyznacza je równanie: u A = σ = 1 N ( N N(N 1) i=1 i ) 2 (26) W którym: N- liczba pomiarów, i pojedynczy pomiar, - wartość średnia N pomiarów 7

8 5. SPOSÓB REALIZACJI ĆWICZENIA 1. Zmierzyć za pomocą stopera 30 razy czas wyłączenia świecącej lampy za pomocą, stopera 2. Narysować histogram otrzymanych wyników pomiarowych przyjmując przedział na osi czasu δt= 0,2 s. 3. Policzyć średnią oraz odchylenie standardowe średniej oraz pojedynczego pomiaru. 4. Narysować funkcję Gaussa dla pojedynczego pomiaru i średniej oraz przedstawić analitycznie równanie Gaussa 5. Zaznaczyć obszar wewnątrz którego znajduje się 95% wszystkich wyników dla pojedynczego pomiaru i średniej i zapisać poprawnie wynik. 6. PRZYKŁADOWE PYTANIA SPRAWDZAJĄCE 1. Równanie Gaussa dla pojedynczego pomiaru i znaczenie wielkości wchodzących w skład tego równania 2. Narysować przykładową funkcje Gaussa i zaznaczyć częstość pomiarów w przedziale <a b> 3. Interpretacja fizyczna równania Gaussa 4. Różnica miedzy krzywą Gaussa dla pojedynczego pomiaru i średniej 5. Interpretacja fizyczna równania Gaussa dla średniej 6. Co oznacza odchylenie standardowe σ, 2σ, 3σ dla pojedynczego pomiaru 7. Co to jest niepewność standardowa typu A 7. LITERATURA 1. John.R. Taylor: Wstęp do analizy błędu pomiarowego, PWN, Warszawa Danuta Turzeniecka: Ocena niepewności wyniku pomiaru, Wydawnictwo Politechniki Poznańskiej Jerzy Arendarski: Niepewność pomiarów, Oficyna Wydawnicza Politechniki Warszawskiej 2006 Data wykonania instrukcji: