Wykład X. ZASADA SUPERPOZYCJI. PRZENOSZENIE ŹRÓDEŁ W OBWODZIE. TWIERDZENIA: THEVENINA, NORTONA, O WZAJEMNOŚCI, O KOMPENSACJI

Transkrypt

1 4. oziązyaie obodó prądu stałego 8 Wyład X. ZSD SUPPOZYCJ. PZNOSZN ŹÓDŁ W OBWODZ. TWDZN: THVNN, NOTON, O WZJMNOŚC, O KOMPNSCJ Zasada superpozyci Zgodie z róaiami (4. i (4.7, liioy obód eletryczy o g gałęziach i h pseudogałęziach est opisay róaiem ogólym X B, (4.7 g g g g gdzie: macierz parametró, ziązaa z elemetami pasyymi gałęzi i grafem obodu, B etor ymuszeń (pobudzeń), ziązay z apięciami źródłoymi (gałęzi) oraz prądami źródłoymi (gałęzi i pseudogałęzi), X etor odpoiedzi, t. prądó lub apięć gałęzioych. Wyrazy etora X, będące roziązaiem róaia (4.7, maą astępuącą postać: X det det det M g L L ( ) g ( ) B B g L L g gg det g ( ) + M B, (4.7 gdzie M est -tym miorem (podyzacziiem) macierzy, zaś (-) + M est -tym dopełieiem algebraiczym te macierzy. Wartość -te zmiee X, staoiąca odpoiedź uładu liioego a ymuszeie B, est sumą odpoiedzi a sładii B tego ymuszeia, zależe od źródłoych apięć i prądó, tórych działaie moża rozpatryać oddzielie. Zachodzi ięc tu superpozyca (aładaie się) odpoiedzi, będących reacą a poszczególe pobudzeia. Właściość poyższa osi azę zasady superpozyci i est yorzystyaa do obliczaia prądu lub apięcia ybrae gałęzi obodu liioego, tórym ystępue ila źródeł iezależych. Wartość prądu lub apięcia doole gałęzi taiego obodu, będąca odpoiedzią a szystie działaące dae chili pobudzeia, est sumą artości prądu lub apięcia, aie yołałyby teże gałęzi, z osoba, ażde z działaących tym czasie pobudzeń. Przy prądzie stałym zapisue się to astępuąco: g + h, + U U g h, (4.7c, d) gdzie: prąd gałęzi -te; sładi prądu gałęzi -te, ymuszoy przez źródła ystępuące gałęzi lub pseudogałęzi -te; U apięcie a gałęzi -te, U sładi apięcia a gałęzi -te, ymuszoy przez źródła ystępuące gałęzi lub pseudogałęzi -te. Szuaąc sładió odpoiedzi, moża posługiać się doolymi metodami. Moża też doolie grupoać sładii e zorach (4.7c) lub (4.7d), tz. yzaczać roziązyaia przy działaących edocześie, odpoiedich ymuszeiach. Przyład. Obliczaa est a da sposoby artość prądu obodzie poazaym a rys. a. Ω Ω Ω b ) Ω Ω Ω b ) b ) Ω Ω Ω Ω Ω Ω

2 8 Wyład X sposób: roziązaie obodó z poedyczymi źródłami rys. b, b, b Na rys. b ystępue dzieli prądu źródłoego (a prądy gałęziach o rezystacach Ω przy czym zrot szuaego prądu est przeciy do zrotu założoego), ięc '. Na rys. b ystępue dzieli prądu pobieraego ze źródła apięcioego ( obodzie o rezystaci zastępcze,5 Ω; a prądy gałęziach o rezystacach Ω), ięc ''. 6,5 Na rys. b ystępue dzieli prądu pobieraego ze źródła apięcioego ( obodzie o rezystaci zastępcze,5 Ω; a prądy gałęziach o rezystacach Ω), ięc '''.,5 Szuaa artość: + +. c ) Ω o o Ω sposób: roziązaie obodu z dołączoymi oboma źródłami apięcioymi (stosuąc metodę oczoą) oraz obodu z dołączoych źródłem prądoym (metoda ęzło rys. c, c Ocza obrao tai sposób, że szuay prąd est róy prądoi oczoemu rys. c : o o ; ' - o. Jest tylo ede ęzeł iezależy, artości odutaci trzech gałęzi są edaoe; zapisaie róaia ęzłoego est formalością rys. c : (++) V ; V V; '' (0 ). Szuaa artość:. Ω Przeoszeie źródeł do iych gałęzi Jeśli obodzie ystępuą ideale źródła apięcioe bez dołączoe szeregoo rezystaci gałęzioe, to ie moża stosoać bezpośredio metody ęzłoe. Jeśli obodzie ystępuą ideale źródła prądoe ie zboczioae rezystacą gałęzioą, to ie moża stosoać bezpośredio metody oczoe. Wymieioe trudości moża eda omiąć przeosząc ideale źródła do iych gałęzi. Przeoszeie to polega a dołączeiu taich samych, odpoiedio sieroaych źródeł idealych. Miesca dołączeia i zroty źródeł muszą być taie, aby ie zmieiały się: przypadu idealych źródeł apięcioych artości oczoych apięć źródłoych, a a rys. a, przypadu idealych źródeł prądoych artości ydaości źródeł prądoych ęzłach, a a rys. b i c. Przy przeoszeiu idealych źródeł apięcioych ie ulega zmiaie rozpły prądó, ale zmieiaą się, ziązae ze sobą, rozłady: potecałó ęzłach oraz apięć gałęzioych (rys. a ). Przy przeoszeiu idealych źródeł prądoych ie ulega zmiaie rozład apięć gałęzioych (potecałó ęzłoych), a eśli prądy źródłoe są tratoae ao zeętrze prądy gałęzi, to ie zmieia się taże rozpły prądó gałęzioych (rys. b ). c ) S S S V 0 0 V

3 4. oziązyaie obodó prądu stałego 8 V V V 0 V V 0 V V V 0 V V V V V V a ) 4 V 5 V V V 5 V 5 V 4 V V 5 V V. źr źr źr źr źr. źr źr źr źr. źr źr c) źr źr źr źr b ) V V V źr V V V źr źr Przyład. Przy zastosoaiu metody ęzłoe obliczaa est a da sposoby artość prądu x obodzie z rys. a. Usuąszy źródła apięcioe gałęziach bezrezystacyych daego obodu otrzymao obody ariatoe (rys. b i c). Ω V c) V Ω V Ω V V V x Ω Ω V Ω x Ω V V V V x Ω Ω V

4 84 Wyład X ariat roziązaia (rys. : przeształcoym obodzie są ęzły (a rańcach róoległych gałęzi); przyęto 0 i zamieiaąc myśli źródła apięcioe a prądoe zapisao róaie ęzłoe ( + + ) V 6 +, stąd V V oraz x x ( V4 V ) (0 + ). ariat roziązaia (rys. c): przeształcoym obodzie są róież ęzły (a rańcach róoległych gałęzi); przyęto V 0 i zamieiaąc myśli źródła apięcioe a prądoe zapisao róaie ęzłoe ( + + ) V , stąd V 7 V oraz V 0 +, V 7, 4 4 ( ) x x ( V V ). Przyład. Przy zastosoaiu metody oczoe obliczaa est a da sposoby artość prądu x obodzie z rys. a. Usuąszy pseudogałąź daym obodzie otrzymao obody ariatoe (rys. b i c), tórych zamieioo źródła prądoe a apięcioe (arto przypomieć, że róoległe dołączeie aiegoolie elemetu do idealego źródła apięcioego ie ma płyu a ego apięcie; est to tz. połączeie ieistote), po czym obrao ocza tai sposób, że szuay prąd x lub x est róy prądoi oczoemu (rys. b i c ). c) Ω Ω x Ω Ω x Ω Ω Ω x Ω Ω b ) Ω c ) Ω o o x Ω o o x Ω Ω Ω ariat roziązaia (rys. b i b ): róaie oczoe ariat roziązaia (rys. c i c ): róaie oczoe o o o o, stąd x 0 o. -, stąd x ' o oraz x x ' +. -

5 4. oziązyaie obodó prądu stałego 85 Kodutace międzygałęzioe i eścioe. Tierdzeie Theveia Prąd yróżioe -te gałęzi o postaci apięcioe (rys., ależące do obodu z szystimi gałęziami sproadzoymi do postaci apięcioe (rys. a ), moża aiązuąc do ogólych zależości (4.7 i (4.7c) yrazić astępuąco: g g ' +, (4.8) gdzie: -te odutace międzygałęzioe (między -tą gałęzią zeętrzą i -tymi gałęziami eętrzymi), odutaca eścioa, zastępcze źródłoe apięcia -tych U gałęzi, źródłoe apięcie -te gałęzi. Zgodie z oecą strzałoaia i gałęzi ormale, otrzymue się dodatią artość. Wartości są atomiast dodatie lub ueme, zależie od zrotó -te i -tych gałęzi. Wartości odutaci i yzacza się dośiadczalie lub oblicza a podstaie schematu obodu, badaąc efety działaia poedyczych źródeł:,. (4.9a, ' Wzór (4.8) odosi się do obodu, tórym ie ystępuą pseudogałęzie (a metodzie oczoe), zatem yzaczaie odutaci dotyczy tylo taie sytuaci. Jeśli eątrz obodu ystępuą pseudogałęzie, to a iadomo moża przeieść źródła pseudogałęzi do ietórych gałęzi, co ie płya a prąd gałęzi zeętrze. Napięcia są tedy zastępczymi sem przeształcoych -tych gałęzi, zaś odutacami między -tą gałęzią zeętrzą i przeształcoymi -tymi gałęziami eętrzymi c) d) a ) uład gałęzi e. U 0 0 U.0 U.0 U uład gałęzi e. co pozala apisać U.0 U. Jeśli 0 oraz U.0 (rys., to g ' U.0, (4.0) obec czego zależość (4.8) przymue postać ( U + ) U , (4. przy czym rezystaca eścioa (rys. c):. (4. Wproadza się ielości (rys. d): - rezystacę eętrzą źródła zastępczego, (4. - źródłoe apięcie (sem) źródła zastępczego U.0, (4. + oraz U. + (4.a, dy -ta gałąź est pasya, to oraz U U.. (4.4a, +

6 86 Wyład X Formuły (4. i (4.4 yrażaą tierdzeie Theveia (o zastępczym źródle apięcioym): obód liioy atyy, baday od ybrae pary zacisó (od stroy yróżioe gałęzi zeętrze atye lub pasye), est róoaży gałęzi atye, złożoe z idealego źródła apięcioego i szeregoe rezystaci, przy czym apięcie źródłoe (azyae sem zastępczego źródł est róe apięciu ałoemu a tych zacisach (apięciu, aie ystąpi między imi po odłączeiu yróżioe gałęzi), a szeregoa rezystaca (azyaa rezystacą eętrzą zastępczego źródł ilorazoi apięcia ałoego przez prąd zarcia tychże zacisó (prąd, ai ystąpi idealym przeodzie zieraącym te zacisi). Zgodie ze zorami (4.9, (4. i (4., rezystaca eętrza est rezystacą między ybraą. parą zacisó badaego obodu, przy odłączoe gałęzi zeętrze i zeroych ymuszeiach ( 0 ozacza zarcie; źr. 0 ozacza rozarcie). Przyład. W daym obodzie (rys. obliczae są artości: prądu x, apięcia U x oraz odutaci x i x między gałęzią zeętrzą x i gałęziami, tórych zaduą się źródła apięcioe i (przy założeiu zrotó gałęzi zgodych ze zrotami ich apięć źródłoych). Ω U x x Ω Ω Ω U 0 Ω b ) b ) Ω,5 Ω,5 U 0 Ω U 0 Parametry zastępczego źródła apięcioego (dla gałęzi x, odłączoe przy yzaczaiu tych parametró): - g rys. b, b i b, z zasady superpozyci U ' +,5 4,5 V; U '',5, 5 V; 0 U 4,5,5, g rys. c (rezystaca uładu pasyego, idziaa od stroy odłączoe gałęzi x) 0, 5 Ω. Szuae artości prądu i apięcia (g rys. d): x ; + 0,5 + x U V. x x x Wartości prądu gałęzi x, pochodzące od i (g rys. e): 6 x, x.,5,5 Szuae artości odutaci międzygałęzioych: x x x S, x S. Uaga. Przez aalogię moża zdefiioać stosue prądó x i źr. ao prądoą trasmitacę międzygałęzioą T.x. Wtedy x x + x + T. x źr. (superpozyc. x Z rys. f yia: T. x. źr. c) d) e) f) Ω 0,5 Ω Ω Ω U x Ω x Ω x Ω Ω Ω Ω Ω x Ω Ω x Ω

7 4. oziązyaie obodó prądu stałego 87 ezystace międzygałęzioe i eścioe. Tierdzeie Nortoa Napięcie a yróżioe -te gałęzi o postaci prądoe (rys., ależące do obodu z szystimi gałęziami sproadzoymi do postaci prądoe (rys. a ), moża aiązuąc do ogólych zależości (4.7 i (4.7d) yrazić astępuąco: g+ h g+ h U U źr. ' źr., (4.5) gdzie: -te rezystace międzygałęzioe (między -tą gałęzią zeętrzą i -tymi gałęziami lub pseudogałęziami e- źr. ętrzymi), rezystaca eścioa, źr. zastępcze źródłoe prądy -tych gałęzi (rys. a ) lub pseudogałęzi, źr. źró- U dłoy prąd -te gałęzi. Zgodie z przyętą oecą strzałoaia U i źr. gałęzi ormale, otrzymue się dodatią artość. Wartości są atomiast dodatie lub ueme, zależie od zrotó -te gałęzi oraz -tych gałęzi lub pseudogałęzi. Wartości rezystaci i yzacza się dośiadczalie lub oblicza a podstaie schematu obodu, badaąc efety działaia poedyczych źródeł: U U,. (4.6a, ' źr. Wzór (4.5) odosi się do obodu, tórym ie ystępuą gałęzie będące idealymi źródłami apięcioymi (a metodzie ęzłoe), zatem yzaczaie rezystaci dotyczy tylo taie sytuaci. Jeśli eątrz obodu ystępuą gałęzie będące idealymi źródłami apięcioymi, to a iadomo moża przeieść te źródła do iych gałęzi, co ie płya a apięcie gałęzi zeętrze. Do przeształcoego ta obodu moża uż stosoać zór (4.5); prądy źr. są im zastępczymi źródłoymi prądami przeształcoych gałęzi. Jeśli U 0 oraz źr. z (rys., to g h z. ', (4.7) c) d) a ) uład gałęzi e. z źr. U U. 0 z U uład gałęzi e. U co pozala apisać dy -ta gałąź est pasya, to. z z U. 0 źr. U U + źr. źr obec czego zależość (4.5) przymue postać z źr. U ( z źr. ), (4.8 przy czym odutaca eścioa (rys. c): (4.8 Wproadza się ielości (rys. d): - odutacę eętrzą źródła zastępczego, (4.9 - źródłoy prąd źródła zastępczego źr z, (4.9 źr źr. oraz U + źr.. (4.40a, + źr. źr oraz + z. U. (4.4a,

8 88 Wyład X Formuły (4.40 i (4.4 yrażaą tierdzeie Nortoa (o zastępczym źródle prądoym): obód liioy atyy, baday od ybrae pary zacisó (od stroy yróżioe gałęzi zeętrze atye lub pasye), est róoaży gałęzi atye, złożoe z idealego źródła prądoego źr i róoległe odutaci, przy czym prąd źródłoy źr (azyay prądem źródłoym zastępczego źródł est róe prądoi zarcia tych zacisó (prądoi, ai ystąpi idealym przeodzie zieraącym te zacisi), a róoległa odutaca (azyaa odutacą eętrzą zastępczego źródł ilorazoi prądu zarcia przez apięcie ałoe między tymi zacisami (apięciu, aie ystąpi między imi po odłączeiu yróżioe gałęzi). Zgodie ze zorami (4.6, (4.8 i (4.9, odutaca eętrza est odutacą między ybraą. parą zacisó badaego obodu, przy odłączoe gałęzi zeętrze i zeroych ymuszeiach. Zastępcze źródło prądoe yzaczoe a podstaie tierdzeia Nortoa est róoaże zastępczemu źródłu apięcioemu yzaczoemu a podstaie tierdzeia Theveia. Przyład. W daym obodzie, tym samym, co poprzedim przyładzie (rys., obliczae są artości: apięcia U x, prądu x oraz rezystaci x między gałęzią zeętrzą x i pseudogałęzią. Ω Parametry zastępczego źródła prądoego (dla gałęzi x): - g rys. b, b, b i b, z zasady superpozyci z ' 6 ; z '' ; z ''' ; 6 + 6, źr z U x - g rys. c (odutaca uładu pasyego, idziaa od stroy odłączoe gałęzi x) S. Szuae artości apięcia i prądu (g rys. d): źr 6 U x V; + + x x x U x. Wartość apięcia gałęzi x, pochodząca od źr. (g rys. e): U x V. Szuaa artość rezystaci międzygałęzioe: U x x Ω. źr. x Ω Ω Przyład yzaczeia ogóle zależości a podstaie tierdzeia Theveia Zostaie yzaczoy arue róoagi mosta Wheatstoe a (rys. obo). Zachodzi oa óczas, gdy gałęzi z miroamperomierzem ie płyie prąd, czyli U CD 0. Odpoiada temu arue U CD.0 0, tz. zeroa artość apięcia stau ałoego źródła zastępczego (uładu eętrzego) dla gałęzi CD (zeętrze). Otrzymue się zależość: Ω źr z Ω b ) b ) b ) c) d) e) Ω z Ω Ω Ω S źr S U x S z Ω z Ω U x S S S źr. µ x C 4 D S B

9 4. oziązyaie obodó prądu stałego 89 U U CB U DB ( + ) ( + 4 ) CD. 0 0, stąd 0, albo 4. (4.4a, Zae są artości trzech rezystaci, a yzacza się artość czarte. Mosta zróoażoego użya się doładych pomiarach rezystaci. ezystaca eętrza źródła zastępczego (idziaa z zacisó CD przy odłączoym miroamperomierzu) ie ma zaczeia dla stau róoagi, ięc ie została yzaczoa. Wpłya oa eda a czułość uładu. Przy duże liczbie pomiaró ażą rolę odgrya czas doproadzeia mosta do róoagi. ezystace mieszczące się ąsim przedziale artości mierzy się szybo, ale mie doładie, użyaąc mosta iezróoażoego. Miarą odchyleia od ustaloe artości rezystaci est tedy artość prądu miroamperomierza (yzaczaa aalityczie z tierdzeia Thevei. Przyład yzaczeia ogóle zależości a podstaie tierdzeia Nortoa Uład róolegle połączoych źródeł apięcioych zostaie zastąpioy poedyczym źródłem prądoym lub apięcioym: 4... ( ) ( )... U 0 źr ( ) U 0 ( ) U 0 Zgodie z zależością (4.9, zastępczy prąd źródłoy est róy prądoi zarcia gałęzi zeętrze: źr z. Prąd zarcia z moża yzaczyć orzystaąc z zasady superpozyci: z z... ( ) ( )... ( ) z z +... ( ) z Kodutaca eętrza źródła zastępczego est róa sumie odutaci poszczególych źródeł: :... ( ) ( ) ( ) Otrzymue się zatem astępuące parametry źródeł zastępczych: źr źr,, ; (4.4a, a ). (4.4b, b ) Wzory (4.4b, b ) odpoiadaą zorom (.0a,, otrzymaym rozdz.. ao yi przeształcaia uładu.

10 90 Wyład X Tierdzeie o zaemości Z róości elemetó macierzy rezystaci oczoych (4.): l l, gdzie:, l umery ocze, oraz elemetó macierzy odutaci ęzłoych (4.6):, gdzie:, umery ęzłó, yiaą róości odutaci oraz rezystaci międzygałęzioych o zamieioych miescami umerach gałęzi:,, gdzie:, umery gałęzi (tz. zeętrze i eętrze). Ozacza to, że: przy zmiaie miesca dołączeia do obodu edye- uład uład go źródła z gałęzi -te do -te pasyy pasyy efet prądoy od źródła apięcioego (rys., bądź apięcioy od źródła prądoego (rys., est tai uład uład sam gałęzi -te, ai był cześie źr. pasyy U U U pasyy źr. źr. -te. Tierdzeie o ompesaci Tierdzeie o ompesaci dotyczy zmia prądó i apięć obodzie, yołaych zmiaą rezystaci (odutaci) ede gałęzi. Mói się tu o ompesaci zmia apięcia lub prądu te gałęzi. Napięciu a przyroście rezystaci gałęzi z prądem odpoiada źródłoe apięcie ompesuące (rys.. Prądoi a przyroście odutaci gałęzi o apięciu U odpoiada źródłoy prąd ompesuący U (rys.. Na podstaie zasady superpozyci yazue się, że obodzie pasyym, odpoiadaącym liioemu obodoi atyemu: popłyą prądy przyrostoe, gdy do -te gałęzi, tóre ystąpił przyrost rezystaci, zostaie łączoe (szeregoo) apięcie źródłoe o zrocie przeciym do zrotu prądu (rys. a ), albo poaią się apięcia przyrostoe, gdy do -te gałęzi, tóre ystąpił przyrost odutaci, zostaie dołączoy (róolegle) prąd źródłoy U o zrocie przeciym do zrotu apięcia U (rys. b ). a ) uład atyy + uład atyy uład pasyy U U 0 U b ) u- + u- u- U + U ład U ład aty- U + U U U U ład y aty- U pa- sy- U y y Przyład. Wyzaczoo zmiay artości prądó dóch gałęzi daego obodu po zięszeiu rezystaci ede z ich (o 0,5 Ω), oraz zmiay artości apięć po zięszeiu odutaci (o S). Obód z prądami Obód z przyrostami Obód z apięciami Obód z przyrostami gałęzi: prądó gałęzi: gałęzi: apięć gałęzi: Ω (,5 Ω) Ω S ( S) (0,75 ) (,875 ) Ω Ω 0,5 0,5 Ω 0,5 V 0,5 Ω Ω S V (0,75 V) V (,5 V) S S S 0,5 V S 0,5 V S