ROZDZIAŁ 4 I 3 U 2 U 3 U V 180 V U 4 4,6 A. Elektrotechnika podstawowa 57

Transkrypt

1 Eletrotechnia podstaoa 57 OZDZŁ oziązyanie obodó p rądu stałego Ω Ω Ω Ω, Przez roziązanie obodu rozumie się zyle yznaczenie artości prądó bądź napięć gałęzioych, gdy znane są artości parametró elementó pasynych i atynych. Czynniiem ymuszającym działanie uładu są tedy napięcia i prądy źródłoe (parametry idealnych elementó atynych), zaś odpoiedzią uładu na te ymuszenie prądy i napięcia gałęzioe. Możlie jest też inne postaienie zadania: ymuszenie to prąd lub napięcie jednej z gałęzi, zaś odpoiedź prądy lub napięcia pozostałych gałęzi albo parametry ybranej gałęzi (rónież jej prąd lub napięcie źródłoe), przy znanych artościach pozostałych parametró obodu. W tym ypadu problemy mają charater szczególny i na ogół są łatiejsze do roziłania. oziązyanie obodó nierozgałęzionych prądu stałego nie starza poażniejszych trudności. Do opisania strutury linioych obodó rozgałęzionych służą spółczynnii (macierze) incydencji. Dzięi nim uzysuje się ogólne, macierzoe postaci rónań obodó. Z rónań Kirchhoffa yniają bezpośrednio rónania rónoagi (zględem prądó albo zględem napięć gałęzioych). Posługując się pojęciem prądó oczoych otrzymuje się rónanie oczoe obodu, zaś dochodząc do zależności zględem potencjałó ęzłoych obodu jego rónanie ęzłoe. Z linioością obodu iąże się możliość stosoania zasady superpozycji. Przy yznaczaniu prądu (napięcia) jednej, ybranej gałęzi można sorzystać z tierdzenia Thevenina (tierdzenia Nortona). by yznaczyć artości prądó (napięć) przyrostoych przy zmianach rezystancji (ondutancji) jednej gałęzi, orzysta się z tierdzenia o ompensacji.

2 5 Eletrotechnia podstaoa Oznaczenia ielości ystępujących rozdziale E napięcie źródłoe E etor źródłoych napięć gałęzioych E etor zastępczych źródłoych napięć gałęzioych E o etor źródłoych napięć oczoych E o etor zastępczych źródłoych napięć oczoych g liczba gałęzi obodzie G ondutancja G jj ondutancja ejścioa j-tej gałęzi G j ondutancja międzygałęzioa gałęzi j-tej i gałęzi -tej G ondutancja enętrzna źródła G przyrost ondutancji -tej gałęzi G diagonalna macierz ondutancji gałęzioych G i macierz ondutancji gałęzioych ęzłach G macierz ondutancji ęzłoych (łasnych i zajemnych) h liczba pseudogałęzi obodzie prąd gen prąd generatoroy odb prąd odbiornioy ej prąd ejścioy gałęzi (pseudogałęzi) z prąd zarcia, tj. prąd między zartymi zacisami źr prąd źródłoy przyrost prądu -tej gałęzi etor prądó gałęzioych etor zastępczych prądó gałęzioych o etor prądó oczoych etor ydajności źródeł prądoych do ęzłó etor zastępczych ydajności źródeł do ęzłó etor prądó ejścioych gałęzi ej ej.c ej.h.h źr całoity etor prądó ejścioych etor prądó ejścioych pseudogałęzi etor ydajności pseudogałęzi do ęzłó etor prądó źródłoych gałęzi źr źr.h źr.c źr.c m n P gen P odb jj j l o gen odb δ l δ λ i λ λ h λ c etor zastępczych źródłoych prądó gałęzioych etor prądó źródłoych pseudogałęzi całoity etor prądó źródłoych etor zastępczych źródłoych prądó gałęzi i pseudogałęzi liczba niezależnych ęzłó obodu (rząd grafu) liczba niezależnych ocze obodu (zeroość grafu) moc generatoroa moc odbiornioa rezystancja (opór eletryczny) rezystancja ejścioa j-tej gałęzi rezystancja międzygałęzioa j-tej gałęzi i -tej gałęzi lub pseudogałęzi rezystancja enętrzna źródła przyrost rezystancji -tej gałęzi diagonalna macierz rezystancji gałęzioych macierz rezystancji gałęzioych oczach macierz rezystancji oczoych (łasnych i zajemnych) napięcie napięcie generatoroe napięcie odbiornioe napięcie stanie jałoym, tj. napięcie na rozartych zacisach przyrost napięcia na -tej gałęzi etor napięć gałęzioych potencjał etor potencjałó ęzłoych liczba ęzłó obodzie spółczynni incydencji -tej gałęzi i l-tego ocza macierz incydencji gałęzi i ocze spółczynni incydencji -tej gałęzi (lub pseudogałęzi) i i-tego ęzła macierz incydencji gałęzi i ęzłó macierz incydencji pseudogałęzi i ęzłó całoita macierz incydencji ęzłó Literatura do rozdziału [], [], [], []

3 . oziązyanie obodó prądu stałego 59 Wyład. NLZ OBWODÓW NEOZGŁĘZONYCH PĄD STŁEGO. ELEMENTY TOPOLOG OBWODÓW ELEKTYCZNYCH Obód linioy nierozgałęziony, bez źródeł prądoych Jeśli obód jest linioy i nie ma nim rzeczyistych źródeł prądoych, to sumuje się napięcia źródłoe oraz rezystancje oczu, a następnie oblicza prąd z praa Ohma: n = = n = E, (.) gdzie n - liczba gałęzi szeregoych oczu (zaierających źródła i rezystancje). Zrot prądu odpoiada zrotoi obiegu ocza, zgodnie z tórym sumoane są napięcia źródłoe. ezystancje są tratoane obodzie jao elementy supione, mimo to rysuje się czasami poglądoe yresy rozładu potencjału obodzie jao funcje rezystancji, rosnącej zgodnie z przyjętym zrotem obiegu ocza. Przyład. Należy obliczyć artość prądu i sporządzić yres rozładu potencjałó obodzie poazanym na rys. a. a) Za ęzeł odniesienia (potencjał = ) obrano punt. Obliczenia: E = =, = + + = Ω, = = ; ' =, = =, = albo = ; = = =, =, ' = = = albo = + ; = = ; = = = albo =. = = ozład potencjałó obodzie poazano na rys. b. Obód linioy nierozgałęziony, z rzeczyistymi źródłami prądoymi Jeśli obód jest linioy i ystępują nim rzeczyiste źródła prądoe, to można: zamienić rzeczyiste źródła prądoe na napięcioe i postępoać ja poprzednio (pamiętając na ońcu o yznaczeniu prądó enętrznych rezystancjach źródeł prądoych), zastosoać zasadę superpozycji odniesieniu do szystich, ziętych razem, źródeł napięcioych oraz ażdego, ziętego z osobna, idealnego źródła prądoego (chodzącego sład źródła rzeczyistego). Przyład. Należy obliczyć na da sposoby - artości prądu obodzie poazanym na rys. a.. Po zamianie źródła otrzymuje się uład (rys. b) znany z poprzedniego przyładu, zatem =. b) = () () () Ω Ω a) b) Ω () Ω

4 Wyład Wracając do schematu zadanego (rys. a), yznacza się artość prądu rezystancji źródła prądoego: = =.. Po zastosoaniu zasady superpozycji otrzymuje się da obody (rys. c i c ). c ) c ) Oblicza się sładnii prądó tych obodach: Ω ' = = 9, ' = = ; Ω ' ' = =, ' ' = ; a następnie dodaje, otrzymując prądy obodzie zadanym (rys. a): = 9 + =, = =. Obód z rezystorem nielinioym - roziązanie analityczne Jeśli jeden z rezystoró ystępujących obodzie nierozgałęzionym jest nielinioy i dana jest jego charaterystya postaci zależności analitycznej, to otrzymuje się nielinioe rónanie obodu. Przyład. Należy obliczyć artość prądu obodzie poazanym na rys. a. Charaterystya statyczna () rezystora nielinioego jest monotoniczna (rys. b) i yraża się zorem liczboym: a) b) c) =, < Ω [] =, [] =. Po zgrupoaniu elementó tego samego rodza- ( s ) ( s ) ju, otrzymuje się obód B B poazany na rys. c. Przy zgodnych zrotach E i zachodzi przypade: >, =. ónanie liczboe obodu ma postać: + =, inaczej: + =. oziązaniem tego rónania, spełniającym arune >, jest =. aga. Postać rónania obodu nielinioego jest zyle bardziej somplioana. oziązanie analityczne może starzać dużą trudność albo być ogóle niosiągalne, często ięc nie podejmuje się ogóle taiej próby, a stosuje od razu metodę graficzną lub numeryczną. Obód z rezystorem nielinioym - roziązanie graficzne Jeśli jeden z rezystoró ystępujących obodzie nierozgałęzionym jest nielinioy i dana jest jego charaterystya postaci yresu, to stosuje się metodę graficzną, nazyaną metodą przecięcia charaterysty. Polega ona na tym, że pozostała część obodu atyna, linioa zostaje przedstaiona jao zastępcze źródło napięcioe lub prądoe i charaterystyę tego źródła (charaterystyę zenętrzną źródła, odpoiadająca jego rónaniu) rysouje się do uładu spółrzędnych, tórym przedstaiona jest charaterystya rezystancji nielinioej. Obód słada się zatem z dóch gałęzi: źródłoej (linioej) i odbiorczej (nielinioej lub szczególnym przypadu linioej). Dla odróżnienia zapisu zależności (charaterysty): () oraz (), odnoszących się do gałęzi źródłoej i do gałęzi odbiorczej, posłużono się symbolami, odpoiednio: gen () i odb () oraz gen () i odb ().

5 . oziązyanie obodó prądu stałego a) gen odb E b) źr Jeśli dana jest charaterystya gałęzi odbiorczej odb (), to sporządzony yres zastępczej gałęzi źródłoej odpoiada rónaniu: ( ) = E, (.a) gen gdzie: E, oraz z = E parametry zastępczego źródła napięcioego. Przecięcie yresó funcji odb () i gen () yznacza roziązanie = gen = odb (rys. a). Jeśli dana jest charaterystya gałęzi odbiorczej odb (), to sporządzony yres zastępczej gałęzi źródłoej odpoiada rónaniu: ( ) = G, (.b) gen gdzie: źr, G oraz = źr G parametry zastępczego źródła prądoego. Przecięcie yresó funcji odb () i gen () yznacza roziązanie = gen = odb (rys. b). aga. Zaróno gałąź źródłoa, ja i odbiorcza, może być gałęzią zastępczą uładu o ięszej liczbie elementó: gałąź źródłoa rezystoró linioych i źródeł, gałąź odbiorcza rezystoró linioych oraz nielinioych, i - eentualnie - źródeł. Gałąź odbiorcza może ięc być zaróno gałęzią pasyną, ja i atyną (odbiorniiem atynym). by można było zastosoać metodę przecięcia charaterysty, trzeba znać rónanie gałęzi źródłoej i yres () lub () gałęzi odbiorczej. Przyład. Zostanie rozpatrzony obód nielinioy, tóry był poprzednio roziązany analitycznie. Obód poazany obo otrzymano, ja poprzednio, po zgrupoaniu elementó tego samego rodzaju, ystępujących gałęzi linioej (źródłoej). Wzór liczboy tej gałęzi ma postać: gen () = ; napięcie stanie jałoym ynosi ięc, a prąd zarcia. Ω Charaterystya gałęzi nielinioej jest dana postaci yresu odb (). azem z nim przedstaiono yres charaterystyi gen (). Punt przecięcia obu yresó yznacza roziązanie =. Obód z rezystorem linioym zadanym parametrycznie - roziązanie graficzne Metoda przecięcia charaterysty ma zastosoanie, szczególności, do obodu linioego. Przyład. Linioą gałąź źródłoą (z poprzedniego przyładu) połączono ze zmienną rezystancją. Na rysunu poazano schemat obodu i yjaśniono sposób yreślnego sporządzenia zależności (). Ω gen G odb ( s ) ( s ) 5 5 E gen odb z źr gen odb =Ω Ω Ω Ω Ω Ω Ω Ω Ω ( s ) źr gen odb Ω

6 Wyład Wstęp topologiczny do analizy rozgałęzionych obodó eletrycznych W ogólnej teorii sieci obodoi eletrycznemu zostaje przyporządoany graf struturalny (inaczej: niesieroany, niezorientoany), a po zaznaczeniu na nim zrotó, odpoiadających przyjętym zrotom prądu gałęziach obodu graf sieroany (inaczej: zorientoany). Graf struturalny pozala oreślić cechy geometryczne obodu, graf sieroany umożliia zapisanie ogólnych zależności (rónań obodu), służących do yznaczenia artości prądó i napięć gałęzioych. Węzłom obodu eletrycznego odpoiadają ęzły (inaczej: ierzchołi) grafu, gałęziom obodu gałęzie (inaczej: raędzie) grafu. Wszystie gałęzie są przedstaiane przy tym jednaoej, tz. normalnej (uogólnionej) postaci. Węzły grafu oznacza się ropami (zaczernionymi ółeczami). Gałęzie grafu są przedstaiane jao odcini linii z ęzłami na jego ońcach. Węzły te noszą miano ęzłó gałęzi. Dla rozróżnienia ęzłó gałęzi sieroanej oreśla się je jao jej począte i oniec. Zrot gałęzi sieroanej od jej początu do jej ońca zaznacza się na rysunu strzałą otartą (rys. obo). (, ęzły gałęzi ( począte gałęzi, oniec gałęzi ) Bez obu ęzłó gałąź nie istnieje; jest zasze z nimi ziązana. Taą relację ziązania przyjęto nazyać incydencją. Każda gałąź jest zatem incydentna ze symi ęzłami. Węzeł jest torem autonomicznym, mogącym ystępoać bez gałęzi (poza nią). Tai ęzeł nazya się izoloanym. Węzeł izoloany nie jest incydentny z żadną gałęzią. Gałąź incydentna z jednym ęzłem, tzn. taa, tórej ęzły są złączone, nazya się pętlą. Gałęzie incydentne z tą samą parą ęzłó, tzn. taie, tórych ęzły są złączone parami, nazyają się gałęziami rónoległymi. Die nierónoległe pętla gałęzie rónoległe gałęzie incydentne ze spólnym ęzłem, tzn. taie, tóre mają złączone ze sobą po jednym ęźle, nazyają gałęzie przyległe się gałęziami przyległymi (rys. obo). Graf bez pętli łasnych i gałęzi rónoległych nazya się grafem prostym. Liczbę gałęzi i ęzłó grafu ojarzy się z liczbą nieiadomych prądó lub napięć gałęzioych. dealne źródła prądoe nie torzą same gałęzi grafie obodu (prądy źródłoe są z założenia znane). Samotne idealne źródła prądoe nie są zatem gałęziami, ale tratuje się jao elementy autonomiczne. Taie źródła będą nazyane pseudogałęziami i zaznaczane na grafie obodu linią przeryaną. Zorientoanie pseudoga- 5 5 łęzi będzie przyjmoane zgodnie ze zrotem 7 jej prądu źródłoego. Przyładoy obód prądu stałego i jego graf sieroany poazano obo. dentyczność grafó nie zależy od sposobu rysoania gałęzi i rozmieszczenia ęzłó, tylo od incydencji gałęzi z ęzłami, czego ilustracją jest poniższy przyład.

7 . oziązyanie obodó prądu stałego Graf, tóry można narysoać tai sposób, że gałęzie nie mają żadnych puntó spólnych poza ęzłami, nazya się planarnym (inaczej: płasim), przecinym zaś ypadu nieplanarnym (inaczej: przestrzennym). Obo przedstaiono przyłady. graf planarny graf nieplanarny Droga jest yznaczona przez ciąg gałęzi przyległych, nie ystępujących ięcej niż jeden raz (ęzły mogą się potarzać). Jeśli na rańcach drogi są różne droga otarta droga zamnięta od do B od do ęzły, to taa droga nazya się drogą otartą, jeśli natomiast B jest ten sam ęzeł, to nazya się zamniętą (rys. obo). Jeśli między szystimi ęzłami grafu istnieje droga, to tai graf oraz obód eletryczny, tóry on obrazuje, noszą nazy jednospójnych (inaczej: jednoczęścioych), jeśli natomiast nie ma taiej drogi, to ogólnie nazya się je niespójnymi, a szczególności, jeśli są spójne sych częściach niejednospójnymi. Graf spójny, tórym istnieje taa gałąź, że po jej usunięciu staje się on niespójnym, nazya się słabo spójnym. Poniżej przedstaiono przyłady. graf jednospójny graf niejednospójny graf słabo spójny Obody eletryczne noszą taie same nazy, ja grafy obrazujące ich struturę. Z reguły mamy do czynienia z obodami planarnymi, jednospójnymi, bez pętli łasnych. Ścieżą nazya się taą drogę, na tórej żaden z ęzłó nie ystępuje ięcej niż jeden raz; ocziem nazya się ścieżę będącą drogą zamniętą (rys. obo). ścieża oczo Drzeo g definicji jest to graf spójny, tórym nie ystępują ocza. Na ogół chodzi o drzeo, tóre jest podgrafem grafu spójnego i zaiera szystie jego ęzły (podzbiór gałęzi zaierających szystie ęzły, będący grafem spójnym bez ocze). Taie drzeo nazya się drzeem grafu lub dendrytem (inaczej: najięszym drzeem, drzeem rozpierającym). Graf spójny ma zyle iele dendrytó. W ypadu grafu niejednospójnego mói się o drzeach jego części spójnych i zbiorze torzonym przez te drzea: lesie dendrytó. Gałęzie drzea nazyane są onarami. Gałąź grafu, tórej dodanie do drzea torzy doładnie jedno oczo, nazya się cięcią (inaczej: łączniiem, struną, gałęzią dopełniającą, gałęzią zamyającą). Kila drze przyładoego grafu, z onarami narysoanymi grubymi liniami i cięciami narysoanymi cienimi liniami, poazano na rysunu obo. Liczba gałęzi dendrytu (lasu dendrytó) oreśla rząd grafu. ząd grafu obodu eletrycznego odpoiada liczbie m jego ęzłó niezależnych. ząd grafu zeroego (bez gałęzi) jest róny zeru, ponieaż z ęzłem izoloanym nie są ziązane zmienne gałęzioe. ząd ażdego grafu spójnego o ęzłach jest zatem róny m =, a liczba ta jest róna liczbie gałęzi dendrytu grafu spójnego. ząd grafu niejednospójnego, złożonego z p części spójnych, jest róny m = p.

8 Wyład Liczba cięci dendrytu (lasu dendrytó) oreśla zeroość grafu. Zeroość grafu obodu eletrycznego odpoiada liczbie n jego ocze niezależnych. Liczba cięci dendrytu o m gałęziach grafie spójnym o g gałęziach jest róna n = g m = g +. Liczba cięci dendrytu o m gałęziach grafie niejednospójnym o g gałęziach, złożonym z p części spójnych jest róna n = g m = g - + p. Torzenie ocze niezależnych dobrze jest iązać z ybranym dendrytem. Jedna z gałęzi ażdym oczu jest tedy cięcią, zaś pozostałe onarami. Ocza taie nazyają się podstaoymi. Obo przedstaiono przyłady z różnymi dendrytami tego samego grafu (onary linie grube, cięciy linie cienie, ocza podstaoe linie ropoane). Pseudogałąź (linia przeryana) nie torzy ocza! Współczynnii incydencji Z ęzłami obodu eletrycznego ziązane są prądoe rónania rónoagi, yniające z praa Kirchhoffa dla prądó gałęzi zbiegających się ęzłach niezależnych. W zapisie ogólnym tych rónań ystępują spółczynnii incydencji gałęzi sieroanej (lub pseudogałęzi) i ęzła, tórych artości oreślone zgodnie z zasadą oboiązującą teorii grafó ynoszą: + jeśli i - ty ęzeł jest początiem - tej gałęzi (pseudogałęzi), λ i = jeśli i - ty ęzeł nie jest incydentny z - tą gałęzią (pseudogałęzią), (.a) jeśli i - ty ęzeł jest ońcem - tej gałęzi (pseudogałęzi), gdzie: i numer ęzła, numer gałęzi lub pseudogałęzi, λ i spółczynni incydencji -tej gałęzi (lub pseudogałęzi) i i-tego ęzła. i i Obo przedstaiono poglądoy rysune. Zna λ i jest przeciny do znau, z jaim tradycyjnym λ i = λ i = zapisie praa Kirchhoffa dla sumy prądó i-tym i ęźle ystępuje prąd -tej gałęzi (tradycyjnie pisze > > i się prądy dopłyające ze znaiem plus, zaś odpłyające ze znaiem minus ). ( ) = ( λ i ) (+ ) = ( λ i ) Z oczami obodu eletrycznego ziązane są napięcioe rónania rónoagi, yniające z praa Kirchhoffa dla napięć gałęzi torzących ocza niezależne. W zapisie ogólnym tych rónań ystępują spółczynnii incydencji gałęzi sieroanej i ocza, tórych artości oreślone zgodnie z zasadą oboiązującą teorii grafó ynoszą: + jeśli - ta gałąź jest incydentna z l - tym ocziem, a zrot jej jest zgodny ze zrotem obiegu ocza, δ l = jeśli - ta gałąź nie jest incydentna z l - tym ocziem, (.b) jeśli - ta gałąź jest incydentna z l - tym ocziem, a zrot jej jest przeciny do zrotu obiegu ocza. gdzie: numer gałęzi, l numer ocza, δ l spółczynni incydencji -tej gałęzi i l-tego ocza. Obo przedstaiono poglądoy rysune. Obiegoi zgodnemu ze zrotem prądu odpoiada napięcie o znau przecinym do napięcia odbiornioego, a obiegoi ze zrotem przecinym napięcie o znau zgodnym (przy sumoaniu napięć gałęzioych zgodnie z ich zrotem, zrot obiegu poinien l > δ l = l > δ l = być przeciny do zrotu δ l ). ( ) = ( δ l ) (+ ) = ( δ l )