Uogólnione modele uk ladów sterowania
|
|
- Antoni Wójcik
- 4 lat temu
- Przeglądów:
Transkrypt
1 Uogólnione modele uk ladów sterowania Różniczkowo-algebraiczne modele uk ladów sterowania Analiza w lasności wielu uk ladów sterowania wymaga uogólnienia modeli procesów zachodz acych w tych uk ladach. Wprowadzane jest pojȩcie uogólnionego stanu obiektu sterowania ( ) x r (t) x(t) =, x a (t) który posiada sk ladow a w postaci stanu różniczkowego x r (t) oraz sk ladow a w postaci stanu algebraicznego x a (t). Stan różniczkowy może być zwi azany z wolnozmiennymi sk ladowymi procesu, zaś stan algebraiczny może być zwi azany z szybkozmienne sk ladowymi procesu. Uogólniony model obiektu sterowania obejmuje równanie różniczkowo-algebraiczne (RA) stanu uogólnionego ẋ r (t) = f r (x r (t), x a (t), u(t), ξ(t), t), t [t 0, t f ], x r (t 0 ) = x r 0, oraz równanie wyjścia f a (x r (t), x a (t), u(t), ξ(t), t) = 0, t [t 0, t f ] y(t) = g(x r (t), x a (t), u(t), ξ(t), t), t [t 0, t f ]. gdzie stan różniczkowy x r (t) R n x r spe lnia równanie różniczkowe jego dynamiki, stan algebraiczny x a (t) R n x a spe lnia równanie algebraiczne jego dynamiki, u(t) R n u jest sterowaniem obiektu, ξ(t) jest zak lóceniem obiektu, a y(t) jest wyjściem obiektu. 1
2 Proces sterowania sterowanie u(t) zak lócenie ξ(t) stan różniczkowy x r (t) stan algebraiczny x a (t) wyjście y(t) Stan różniczkowy zwany stanem wolnozmiennym opisuje np. ewolucjȩ inercyjnej ciek lej fazy chemicznego procesu produkcyjnego, a stan algebraiczny zwany stanem szybkozmiennym opisuje ewolucjȩ jego bezinercyjnej fazy gazowej. Równanie algebraiczne może określać charakterystyczne warunki prowadzenia procesu np. postulat równowagi termodynamicznej procesu lub jego elektroneutralności. W innych przypadkach odzwierciedla ono algebraiczne zależności matematyczne miȩdzy zmiennymi procesowymi. Model różniczkowo-algebraiczny może być reinterpretacj a modelu różniczkowego. W niektórych przypadkach równanie RA odnosi siȩ tylko do stanu różniczkowego, a stan algebraiczny nie jest określony lub jest wyeliminowany. Równanie algebraiczne jest w tym przypadku narzucone na zmienne różniczkowe i determinuje charakterystyczny sposób funkcjonowania procesu. W literaturze anglojȩzycznej modele procesów sterowania w postaci równań różniczkowych zwyczajnych nazywane s a modelami typu ODE (Ordinary Differential Equation), zaś modele procesów sterowania w postaci równań różniczkowo-algebraicznych nazywane s a modelami typu DAE (Differential Algebraic Equation). Z przyk ladami uogólnionych modeli procesów sterowania i problemów sterowania nimi mamy do czynienia w wielu dziedzinach techniki i technologii takich jak np. uk lady elektryczne i elek- 2
3 troniczne, uk lady mechaniczne, chemiczne procesy produkcyjne, procesy biotechnologiczne, a także systemy z lożone. W każdej z tych dziedzin stosowane s a różne zwyczajowe oznaczenia wielkości fizyko-chemicznych charakteryzuj acych proces. Przeprowadzimy stadaryzacjȩ opisu różnych problemów sterowania z wielu dziedzin pokazuj ac, że z punktu widzenia teorii sterowania s a one szczególnymi przypadkami ogólnego problemu optymalizacji procesów różniczkowo-algebraicznych. Modele obwodów elektrycznych i elektronicznych przybieraj a w wielu przypadkach postać równań różniczkowo-algebraicznych. Niech bȩdzie dany obwód elektryczny ze źród lem napiȩcia e(t), rezystancj a R, kondensatorami C 1 i C 2 oraz z indukcyjności a L. Sk lada siȩ on z dwóch szeregowo po l aczonych podobwodów erc 1 oraz C 1 LC 2. Zmiennymi stanu s a napiȩcia U 1 (t) i U 2 (t) na kondensatorach oraz natȩżenia pr adu I 1 i I 2 w rezystancji i w indukcyjności. Wyjściem jest napiȩcie U 2 (t) na kondensatorze C 2. obwód elektryczny erc 1 LC 2 R L e(t) I 1 (t) C 1 = U 1 (t) I 2 (t) C 2 = U 2 (t) Na podstawie praw Kirchhoffa zapisujemy równania dla napiȩć U i i pr adów I i (i = 1, 2) dla t t 0 : U 1 (t) = 1 C 1 I 1 (t), 3
4 U 2 (t) = 1 C 2 I 2 (t), I 2 (t) = 1 L (U 1(t) U 2 (t)), U 1 (t) + RI 1 (t) = e(t). Uzyskujemy trzy równania różniczkowe i jedno równanie algebraiczne. Celem sterowania może być zapewnienie przebiegu napiȩcia U 2 (t) zgodnego z programem jego zmienności U 20 (t) przy minimalnych stratach energetycznych źród la napiȩciowego (zak ladany jest d lugi horyzont czasowy sterowania [t 0, t f ] [0, ]) 0 ((U 2 (t) U 20 (t)) 2 + E 2 (t))dt Zmiennymi różniczkowymi stanu s a napiȩcia x r 1(t). = U 1 (t) i x r 2(t). = U 2 (t) oraz pr ad x r 3(t). = I 2 (t). Zmienn a algebraiczn a stanu jest pr ad x a (t). = I 1 (t), sterowaniem jest napiȩcie źród la u(t). = e(t), a wyjściem jest napiȩcie y(t). = U 2 (t) na kondensatorze C 2. Zapisujemy model uk ladu w postaci standardowej ẋ r 1(t) = 1 C 1 x a (t), ẋ r 2(t) = 1 x r C 3(t), 2 ẋ r 3(t) = 1 L (xr 1(t) x r 2(t)), x r 1(t) + Rx a (t) u(t) = 0. Równanie algebraiczne jest bilansem napiȩć w podobwodzie ze źród lem napiȩciowym. Cel sterowania oznacza minimalizacjȩ funkcjona lu kwadratowego Q(x r, x a, u) =. 0 ((x r 2(t) x r 20(t)) 2 + u 2 (t))dt, 4
5 a problem minimalizacji tego funkcjona lu z uwzglȩdnieniem równań stanu można określić mianem liniowo-kwadratowej optymalizacji różniczkowo-algebraicznej (linear-quadratic DAE optimization). W uk ladach mechanicznych analizowany jest ruch wahad lowy cia la o masie m podwieszonego za pomoc a prȩta (linki, sprȩżyny) o d lugości l. Niech (p 1, p 2 ) bȩd a wspó lrzȩdnymi pozycyjnymi cia la m (poziom a i pionow a), zaś (v 1, v 2 ) niech bȩd a jego prȩdkościami w kartezjańskim uk ladzie wyróżnionej p laszczyzny jego ruchu. Równania wahad lowego ruchu cia la m pod wp lywem si ly F (t) (oddzia lywanie elektromagnetyczne, naprȩżenie sprȩżyny) maj a postać dla t t 0 ṗ 1 (t) = v 1 (t), ṗ 2 (t) = v 2 (t), v 1 (t) = p 1(t) m F (t), v 2 (t) = p 2(t) F (t) g, m gdzie g jest sta l a grawitacyjn a. Równania te uzupe lniamy warunkiem poruszania siȩ cia la m po trajektorii ko lowej p 2 1(t) + p 2 2(t) = l 2. Celem sterowania dla rozważanego uk ladu mechanicznego może być spe lnienie zadanego programu zmian prȩdkości ruchu wahad lowego przy minimalnych stratach na sterowanie tf t 0 ((v 1 (t) v 10 (t)) 2 + (v 2 (t) v 20 (t)) 2 + F 2 (t))dt. Oznaczaj ac różniczkowe zmienne stanu przez x r 1(t). = p 1 (t), x r 2(t). = p 2 (t), x r 3(t). = v 1 (t), x r 4(t). = v 2 (t), 5
6 a przez u(t). = F (t) sterowanie, przekszta lcamy model uk ladu do postaci standardowej ẋ r 1(t) = x r 3(t), ẋ r 2(t) = x r 4(t), ẋ r 3(t) = xr 1(t) m u(t), ẋ r 4(t) = xr 2(t) u(t) g, m x r 1(t) 2 + x r 2(t) 2 = l 2. Uzyskujemy wiȩc dla opisu ko lowego ruchu wahad la m uk lad równań różniczkowo-algebraicznych określony wy l acznie przez różniczkowe zmienne stanu, na które jest jednak na lożony warunek algebraiczny. Cel sterowania oznacza minimalizacjȩ funkcjona lu kwadratowego Q(x r, u). = 0 ((x r 3(t) x r 30(t)) 2 + (x r 4(t) x r 40(t)) 2 + u 2 (t))dt z uwzglȩdnieniem liniowo-kwadratowych ograniczeń (generalized linear-quadratic DAE optimization). W dziedzinie chemicznych procesów produkcyjnych analizowane s a procesy realizowane w reaktorach przep lywowych i wsadowych. Niech w przep lywowym reaktorze chemicznym bȩdzie prowadzony proces produkcyjny przemiany substratu A B C w 6
7 produkt użyteczny C z produktem pośrednim B. izotermiczny przep lywowy reaktor chemiczny A proces przemiany A B C A,B,C Określone jest zmienne w czasie zapotrzebowanie na produkt użyteczny s(t), t [t 0, t f ], przy czym s(t 0 ) = 0. Model procesu przybiera postać ċ A (t) = q(c A0 (t) c A (t)) k 1 c 2 A(t), t [t 0, t f ], c A (t 0 ) = 1, ċ B (t) = qc B (t) + k 1 c 2 A(t) k 2 c B (t), t [t 0, t f ], c B (t 0 ) = 0, c A (t) + c B (t) + c C (t) = 1, t [t 0, t f ], c C (t) = s(t), t [t 0, t f ], gdzie c A (t), c B (t), c C (t) oznaczaj a stȩżenia substacji A, B, C w reaktorze w chwili t, c A0 oznacza stȩżenie wejściowe substratu, q jest natȩżeniem przep lywu mieszaniny reaguj acej przez reaktor, zaś k 1 i k 2 s a wspó lczynnikami szybkości reakcji. Proces ma charakter izotermiczny. W modelu tym zmiennymi różniczkowymi stanu s a c A (t) i c B (t). Spe lniaj a one dwa równania różniczkowe dynamiki procesu. Rolȩ algebraicznej zmiennej stanu odgrywa w rozważanym modelu zmienna c C (t) pojawiaj aca siȩ w dwóch równaniach algebraicznych. Równanie trzecie jest tzw. równaniem zamykaj acym procesu, które wprowadza normalizacjȩ zmiennych procesowych -suma stȩżeń sk ladników jest sta la i znormalizowana na poziomie jednostkowym. 7
8 Warunek pocz atkowy dla algebraicznej zmiennej stanu powinien być zgodny z warunkami pocz atkowymi dla różniczkowych zmiennych stanu. W rozważanym przyk ladzie określenie tego warunku jest oczywiste c C (t 0 ) = 0, co oznacza, że w momencie pocz atkowym nie dysponujemy produktem użytecznym - bȩdzie on wytwarzany w trakcie prowadzenia procesu. W innych przyk ladach określenie warunku zgodności równania algebraicznego może być trudnym zadaniem wymagaj acym zastosowania metody Newtona do rozwi azywania nieliniowych równań algebraicznych. Cel sterowania dla rozpatrywanego procesu może być określony jako zapewnienie zadanego programu produkcji sk ladnika użytecznego z równoczesn a minimalizacj a sumarycznego zużycia surowca tf t 0 qc A0 (t)dt. Wprowadzaj ac oznaczenia x r 1(t). = c A (t), x r 2(t). = c B (t) dla różniczkowych zmiennych stanu i x a (t). = c C (t) dla algebraicznej zmiennej stanu, zaś u(t). = c A0 (t) dla sterowania, przedstawimy rozpatrywany model w standardowej postaci ẋ r 1(t) = q(u(t) x r 1(t)) k 1 x r 1(t) 2, t [t 0, t f ], ẋ r 2(t) = qx r 2(t) + k 1 x r 1(t) 2 k 2 x r 2(t), t [t 0, t f ], x r 1(t) + x r 2(t) + x a (t) = 1, t [t 0, t f ], x a (t) = s(t), t [t 0, t f ]. Podstawiaj ac zmienn a algebraiczn a stanu z czwartego równania do trzeciego równania uzyskujemy model zredukowany ẋ r 1(t) = q(u(t) x r 1(t)) k 1 x r 1(t) 2, t [t 0, t f ], ẋ r 2(t) = qx r 2(t) + k 1 x r 1(t) 2 k 2 x r 2(t), t [t 0, t f ], x r 1(t) + x r 2(t) = 1 s(t), t [t 0, t f ]. 8
9 W ostatnim modelu mamy do czynienia tylko z różniczkowymi zmiennymi stanu. Oprócz równań różniczkowych spe lniaj a one dynamiczne równanie algebraiczne określaj ace dodatkowy warunek prowadzenia procesu gwarantuj acy uzyskiwanie produktu użytecznego zgodnie z określonym programem. Cel optymalizacji procesu przybiera postać Q(x r, x a, u) =. tf t 0 qu(t)dt. Za lóżmy, że w rozpatrywanym przyk ladzie reakcje A B i B C s a egzotermiczne z ciep lami reakcji h 1 i h 2, a temperatura procesu T (t) jest kontrolowana za pomoc a czynnika ch lodz acego przep lywaj acego przez p laszcz ch lodz acy reaktora z natȩżeniem q c (t) i temperatur a T c (t). Chwilowe zapotrzebowanie na produkt użyteczny nie jest zadane. nieizotermiczny przep lywowy reaktor chemiczny A proces przemiany A B C A,B,C obwód grzejny T Model procesu zapisujemy jako uk lad równań różniczkowoalgebraicznych rozpatrywany w przedziale [t 0, t f ] ċ A (t) = q(c A0 (t) c A (t)) k 1 e β 1 T (t) c 2 A (t), ċ B (t) = qc B (t) + k 1 e β 1 T (t) c 2 A (t) k 2 e β 2 T (t) cb (t), T (t) = q(t 0 T (t))+h 1 e β 1 T (t) c 2 A (t)+h 2 e β 2 T (t) cb (t) q c (t)(t (t) T c ), c A (t) + c B (t) + c C (t) = 1, 9
10 gdzie trzecie równanie opisuje bilans cieplny reactora. W tym przypadku równania różniczkowe procesu określone s a za pomoc a skomplikowanych nieliniowych eksponencjalno-potȩgowych wyrażeń znacznie komplikuj acych ich rozwi azywanie. Nasila siȩ zjawisko propagacji b lȩdu i pojawiaj a siȩ niestabilne przebiegi zmiennych stanu. Dlatego celowe może być wprowadzenie algebraicznych zmiennych stanu oznaczaj acych szybkości reakcji κ 1 (t) i κ 2 (t). Model procesu przepisujemy w postaci równoważnej ċ A (t) = q(c A0 (t) c A (t)) κ 1 (t), ċ B (t) = qc B (t) + κ 1 (t) κ 2 (t), T (t) = q(t 0 T (t)) + h 1 k 1 κ 1 (t) + h 2 k 2 κ 2 (t) q c (t)(t (t) T c ), c A (t) + c B (t) + c C (t) = 1, κ 1 (t) = k 1 e β 1 T (t) c 2 A (t), κ 2 (t) = k 2 e β 2 T (t) cb (t). Równania różniczkowe w przekszta lconym modelu s a liniowe wzglȩdem zmiennych stanu, co istotnie u latwia ich rozwi azywanie. Nieliniowości przerzucone s a do równań algebraicznych. Wskaźnik jakości procesu obejmuje sumaryczne koszty surowca i ch lodzenia oraz sumaryczn a wartość produktu użytecznego tf t 0 (α 1 qc A0 (t) + α 2 q c (t) βc C (t))dt, gdzie α 1 i α 2 s a wspó lczynnikami kosztów surowca i czynnika ch lodz acego, a β jest wspó lczynnikiem wartości produktu. Wprowadzaj ac oznaczenia x r 1(t). = c A (t), x r 2(t). = c B (t), x r 3(t). = T (t) dla różniczkowych zmiennych stanu oraz x a 1(t). = c C (t), x a 2(t). = κ 1 (t), x a 3(t). = κ 2 (t) dla algebraicznych zmiennych stanu, zaś u 1 (t). = 10
11 c A0 (t), u 2 (t). = q c (t) dla zmiennych steruj acych, przedstawimy rozpatrywany model w standardowej postaci ẋ r 1(t) = q(u 1 (t) x r 1(t)) x a 1(t), t [t 0, t f ], ẋ r 2(t) = qx r 2(t) + x a 1(t) x a 2(t), t [t 0, t f ], ẋ r 3(t) = q(t 0 x r 3(t)) + h 1 k 1 x a 2(t) + h 2 k 2 x r 3(t) u 2 (t)(x r 3(t) T c ), x r 1(t) + x r 2(t) + x a 1(t) = 1, x a 1(t) = k 1 e β 1 x r 3 (t) x r 1(t) 2, x a 2(t) = k 2 e β 2 x a 3 (t) x r 2(t). Tak wiȩc czȩść różniczkowa równań stanu zosta la zasadniczo uproszczona, a czȩść algebraiczna uleg la komplikacji. Liczba algebraicznych zmiennych stanu zosta la zwiȩkszona do trzech zmiennych, a równania algebraiczne przybra ly postać nieliniow a. Możliwe jest też podejście pośrednie upraszczaj ace niektóre nieliniowości czȩści różniczkowej modelu. Wyróżnimy funkcje wp lywu temperatury na szybkość reakcji θ 1 (t). = k 1 e β 1 T (t), θ2 (t). = k 2 e β 2 T (t) jako algebraiczne zmienne stanu. Prowadzi to do równań różniczkowych stanu z nieliniowościami multiplikatywnymi ċ A (t) = q(c A0 (t) c A (t)) θ 1 (t)c 2 A(t), ċ B (t) = qc B (t) + θ 1 (t)c 2 A(t) θ 2 (t)c B (t), T (t) = q(t 0 T (t))+ h 1 k 1 θ 1 (t)c 2 A(t)+ h 2 k 2 θ 2 (t)c B (t) q c (t)(t (t) T c ), c A (t) + c B (t) + c C (t) = 1, θ 1 (t) = k 1 e β 1 T (t), θ 2 (t) = k 2 e β 2 T (t). Wprowadzaj ac oznaczenia x r 1(t). = c A (t), x r 2(t). = c B (t), x r 3(t). = T (t) dla różniczkowych zmiennych stanu oraz x a 1(t). = c C (t), x a 2(t). = 11
12 θ 1 (t), x a 3(t). = θ 2 (t) dla algebraicznych zmiennych stanu, zaś u 1 (t). = c A0 (t), u 2 (t). = q c (t) dla zmiennych steruj acych, przedstawimy rozpatrywany model w standardowej postaci ẋ r 1(t) = q(u 1 (t) x r 1(t)) x a 1(t)x a 1(t) 2, t [t 0, t f ], ẋ r 2(t) = qx r 2(t) + x a 1(t)x r 1(t) 2 x a 2(t)x r 2(t), t [t 0, t f ], ẋ r 3(t) = q(t 0 x r 3(t))+ h 1 k 1 x a 2(t)x r 2(t) 2 + h 2 k 2 x a 3(t)x r 2(t) u 2 (t)(x r 3(t) T c ), x r 1(t) + x r 2(t) + x a 1(t) = 1, x a 1(t) = k 1 e β 1 x r 3 (t), x a 2(t) = k 2 e β 2 x r 3 (t). Od sposobu wyróżnienia czȩści różniczkowej i algebraicznej modelu procesu może istotnie zależeć efektywność procedur numerycznych dla l acznego rozwi azywania równań różniczkowo-algebraicznych. Podkreślimy to jeszcze na przyk ladzie procesów biotechnologicznych, które w wielu przypadkach modelowane s a z wykorzystaniem skomplikowanych funkcji wymiernych. Do przep lywowego bioreaktora doprowadzany jest substrat S(t) (pożywka, odpady, ścieki), a w bioreaktorze zainstalowane s a dwie konkuruj ace populacje mikrobiologiczne P 1 (t) i P 2 (t) przetwarzajçe substrat na biomasȩ B(t). Chociaż wymienione wielkości traktowane s a jako stȩżenia, to oznaczaj a one odmienne wielkości biofizyczne i nie s a normalizowane na poziomie jednostkowym. S a one natomiast skalowane za pomoc a odpowiednich wspó lczynników. Zależności miȩdzy wielkościami biofizycznymi procesu: szybkości zmiany stȩżenia substratu i populacji s a określone przez wielkości dop lywu i odp lywu biosk ladników procesu oraz przez szybkość przetwarzania substratu przez populacje Ṡ(t) = q(s 0 (t) S(t)) a 1 12 S(t) b 10 + b 11 S(t) P 1(t)
13 a 2 S(t) b 20 + b 21 S(t) + b 22 S 2 (t) P 2(t), P 1 (t) = qp 1 (t) + ā 1 P 2 (t) = qp 2 (t) + ā 2 Ḃ(t) = qb(t) + ã 1 S(t) b 10 + b 11 S(t) P 1(t), S(t) b 20 + b 21 S(t) + b 22 S 2 (t) P 2(t), S(t) b 10 + b 11 S(t) P 1(t) +ã 2 S(t) b 20 + b 21 S(t) + b 22 S 2 (t) P 2(t), gdzie a i, ā i, ã i i b ij s a parametrami funkcji przyrostu populacji, zaś q jest natȩżeniem przep lywu biomieszaniny przez bioreaktor. Model powyższy jest modelem różniczkowym z czterema różniczkowymi zmiennymi stanu. Prawe strony równań stanu maj a charakterystyczn a dla procesów biotechnologicznych skomplikowan a postać funkcji wymiernych. Model ten można przekszta lcić do nastȩpuj acej postaci różniczkowo-algebraicznej: Ṡ(t) = q(s 0 (t) S(t)) a 1 h 1 (t)p 1 (t) a 2 h 2 (t)p 2 (t), P 1 (t) = qp 1 (t) + ā 1 h 1 P 1 (t), P 2 (t) = qp 2 (t) + ā 2 h 2 P 2 (t), Ḃ(t) = qb(t) + ã 1 h 1 (t)p 1 (t) + ã 2 h 2 (t)p 2 (t), h 2 (t). = h 1 (t). = S(t) b 10 + b 11 S(t), S(t) b 20 + b 21 S(t) + b 22 S 2 (t), gdzie h 1 (t) i h 2 (t) s a funkcjami przyrostu populacji. Optymalizacji podlega wartość średnia uzysku biomasy 1 τ t0 +τ t 0 qb(t)dt, gdzie τ jest d lugości a cyklu sterowania procesem. 13
14 Definiujemy różniczkowe zmienne stanu x r 1(t) =. S(t), x r 2(t) =. P 1 (t), x r. 3(t) = P 2 (t), x r. 4(t) = B(t), algebraiczne zmienne stanu x a 1(t) =. h 1 (t), x a. 2 = h 2 (t) i sterowanie u(t) =. S 0 (t). Wprowadzamy różniczkowo-algebraiczn a standaryzacjȩ opisu ẋ r 1(t) = q(u(t) x a 1(t)) a 1 x a 1(t)x r 2(t) a 2 x a 2(t)x r 3(t), ẋ r 2(t) = qx r 2(t) + ā 1 x a 1(t)x r 2(t), ẋ r 3(t) = qx r 3(t) + ā 2 x a 2(t)x r 3(t), ẋ r 4(t) = qx r 4(t) + ã 1 x a 1(t)x r 2(t) + ã 2 x a 2(t)x r 3(t), x a 2(t) = x a 1(t) = x r 1(t) b 10 + b 11 x r 1 (t), x r 1(t) b 20 + b 21 x r 1 (t) + b 22x r 1 (t)2. Uśredniony cel sterowania przybiera postać 1 τ τ 0 qx r 4(t)dt. Dalszym ważnym przyk ladem równań różniczkowo-algebraicznych s a równania dynamiki systemów z lożonych z interakcjami. Niech x i (t) oznacza zmienn a stanu i-tego podsystemu, v i (t) - jego zmienn a interakcyjn a, zaś u i (t) - jego zmienn a steruj ac a. Dla uk ladu N powi azanych podsystemów zapisujemy ich równania stanu ẋ i (t) = f i (x i (t), v i (t), u i (t), t), t [t 0, t f ] (i = 1,..., N) oraz ich równania interakcji v i (t) = N h ij (x j (t), v j (t), u j (t), t), t [t 0, t f ], (i = 1,..., N). j=1 14
15 Celem sterowania jest globalny zysk z prowadzenia procesu w systemie z lożonym N Q i (x i (t), v i (t), u i (t))dt, i=1 gdzie Q i s a funkcjami zysku dla poszczególnych podsystemów. Definiujemy zmienne różniczkowe stanu jako zmienne stanu podsystemów x r i (t) =. x i (t) oraz zmienne algebraiczne jako zmienne interakcyjne podsystemów x a i (t) =. v i (t). Model systemu z lożonego zapisujemy jako uk lad równań różniczkowo-algebraicznych ẋ r i (t) = f i (x r i (t), x a i (t), u i (t), t), t [t 0, t f ] (i = 1,..., N) N x a i (t) = h ij (x r j(t), x a j(t), u j (t), t), t [t 0, t f ], (i = 1,..., N). j=1 Funkcja celu przybiera postać N Q i (x r i (t), x a i (t), u i (t))dt. i=1 Problem nie zawiera już zmiennych interakcyjnych. Zosta ly one zast apione algebraicznymi zmiennymi stanu. Problem przybra l postać z lożonej optymalizacji różniczkowo-algebraicznej (large scale DAE optimization). 15
16 Przekszta lcanie i rozwi azywanie równań różniczkowo-algebraicznych Równania różniczkowo-algebraiczne można przekszta lcić do postaci różniczkowej różniczkuj ac równanie algebraiczne i wyznaczaj ac pochodn a zmiennej algebraicznej w funkcji pozosta lych zmiennych: d dt f a (x r (t), x a (t), u(t)) = 0 f a x r (t)ẋr (t) + f a x a (t)ẋa (t) + f a (t) u(t) = 0 u [ f ẋ a a ] 1 (t) = x (t) f a ( a x r (t)ẋr (t) + f a (t) u(t)). u Takie przekszta lcenie jest zawsze możliwe jeśli macierz f a x (t) jest a kwadratowa i nieosobliwa dla każdego t [t 0, t f ]. W tym przypadku jednokrotne różniczkowanie równania algebraicznego wystarcza do sprowadzenia modelu do postaci różniczkowej. ogólnym przypadku trzeba wykonać wiele takich różniczkowań, gdyż macierz f a x a (t) może być osobliwa lub osobliwa dla niektórych t [t 0, t f ], lub też może ona być macierz a prostok atn a. Definicja: Najmniejsza liczba różniczkowań równania algebraicznego procesu pozwalaj aca sprowadzić równanie RA do postaci różniczkowej nazywa siȩ indeksem równania RA. Rozważany przypadek z nieosobliw a macierz a f a x a (t) oznacza, że równanie RA jest indeksu pierwszego. Określenie indeksu jest stosowane do określania stopnia trudności rozwi azywania równania RA. Równanie takie jest uważane za tym trudniejsze, im wyższy jest jego indeks. Do wyznaczania rozwi azań równań różniczkowo-algebraicznych stosowana jest metoda Newtona w różnych wersjach. Wersje te uogólniaj a podstawowy wariant metody Newtona dla rozwi azywa- W 16
17 nia nieliniowych równań skalarnych f(x) = 0. Równanie to linearyzujemy w punkcie pocz atkowym x 0 f(x) f(x 0 ) + f (x 0 )(x x 0 ) x x 0 = (f (x 0 )) 1 f(x 0 ). Obliczamy nowe przybliżenie rozwi azania na podstawie jego linearyzacji w punkcie pocz atkowym x 1 = x 0 (f (x 0 )) 1 f(x 0 ). Dokonujemy linearyzacji równania w punkcie kolejnym x 1 f(x 1 ) + f (x 1 )(x x 1 ) x x 1 = (f (x 1 )) 1 f(x 1 ). Obliczamy nowe przybliżenie rozwi azania x 2 = x 1 (f (x 1 )) 1 f(x 1 )... Wynika st ad iteracyjna metoda Newtona x κ+1 = x κ (f (x κ )) 1 f(x κ ), κ = 0, 1, 2,.... Dla równań z argumentem wektorowym x R n f (x κ ) oznacza macierz Jacobiego, tj. pochodna f (x κ ) = ( f (i) x (j) (x κ )) i,j=1,...,n, gdzie obliczane s a pochodne cz astkowe kolejnych sk ladowych równania f (i) wzglȩdem kolejnych sk ladowych argumentu x (i). Metoda Newtona jest zbieżna jeśli znane jest dobre przybliżenie pocz atkowe. Takie przybliżenie wyznaczane jest na podstawie minimalizacji kwadratowej min f 2 (x). x R n 17
18 Dla równania posiadaj acego rozwi azanie minimalna wartość funkcji celu ostatniego problemu jest zerowa. Zastosowanie do tego problemu np. gradientowego algorytmu optymalizacji pozwala oszacować jakość osi agniȩtego przybliżenia. W literaturze anglojȩzycznej numeryczne procedury rozwi azywania równań różniczkowych określane s a mianem ODE Solvers, a równań różniczkowo-algebraicznych mianem DAE Solvers. Stosuj a one dyskretyzacjȩ czasu t 0 < t 1 <... < t k 1 < t k <... < t f z d lugości a kroku h k = t k t k 1. Proste jednokrokowe procedury tego rodzaju stosuj a jawn a aproksymacjȩ Eulera dla równań różniczkowych x(t k ) x(t k 1 ) h k f(x(t k 1 ), u(t k 1 ), t k 1 ) = 0, k = 1, 2,..., gdzie k jest numerem iteracji. Tak wiȩc pochodn a aproksymujemy lewostronnym ilorazem różnicowym. Przy zadanym stanie pocz atkowym x(t 0 ) wyznaczamy stan x(t 1 ) z jawnej aproksymacji. Znaj ac x(t 1 ) w podobny sposób wyznaczamy x(t 2 ) itd. Taka procedura jest ma lo dok ladna i może być praktyczna dla bardzo prostych równań. Celem uzyskania dok ladniejszych wyników stosujemy niejawn a (wsteczn a) aproksymacjȩ Eulera dla równań różniczkowych x(t k ) x(t k 1 ) h κ f(x(t k ), u(t k ), t k ) = 0, k = 1, 2,..., Przy zadanym stanie pocz atkowym x(t 0 ) wyznaczamy stan x(t 1 ) rozwi azuj ac równanie aproksymuj ace tego stanu metod a Newtona. Znaj ac x(t 1 ) w podobny sposób wyznaczamy x(t 2 ) itd. Dla równań różniczkowo-algebraicznych jawna aproksymacja 18
19 Eulera przybiera postać x r (t k ) x r (t k 1 ) h k f r (x r (t k 1 ), x a (t k 1 ), u(t k 1 ), t k 1 ) = 0, k = 1, 2,... f a (x r (t k 1 ), x a (t k 1 ), u(t k 1 ), t k 1 ) = 0, k = 1, 2,... W momencie pocz atkowym wyznaczamy stan algebraiczny x a (t 0 ) zgodny z zadanym pocz atkowym stanem różniczkowym x r (t 0 ). Ogólnie bior ac wykorzystujemy w tym celu metodȩ Newtona. Nastȩpnie określamy x(t 1 ) z jawnej aproksymacji równania różniczkowego. Postȩpowanie to powtarzamy dla k = 2, 3... Celem uzyskania dok ladniejszych wyników stosujemy niejawn a (wsteczn a) aproksymacjȩ Eulera dla równań różniczkowo-algebraicznych x r (t k ) x r (t k 1 ) h k = f r (x r (t k ), x a (t k ), u(t k ), t k ), k = 1, 2,... f a (x r (t k ), x a (t k ), u(t k ), t k ), k = 1, 2,... Równania RA rozwi azujemy l acznie metod a Newtona wzglȩdem l acznego stanu (x r (t k ), x a (t k )). Oczywiście takie postȩpowanie daje siȩ zrealizować przy spe lnieniu odpowiednich warunków dla realizowalności metody Newtona (dostatecznie dobre przybliżenia pocz atkowe, odwracalność macierzy Jacobiego). Metody wielokrokowe stosuj a dodatkow a dyskretyzacjȩ czasu pomiȩdzy punktami t k 1 i t k z drobnym krokiem h kl. = tkl t k 1,l t k 1 = t k 1,0 < t k 1,1 < t k 1,2 <... < t k 1,l <... < t k 1,m < t k. Jawna wielokrokowa metoda aproksymacji równania różniczkowego wyznacza wartość x r (t k ) na podstawie znajomości x r (t k 1 ) oraz wielu wartości pośrednich x r (t k 1,l ) m x r (t k ) = x r (t k 1 ) + h kl φ kl, n = 1, 2,..., l=1 19
20 . φ kl = f r (x r (t k 1,l ), u r (t k 1,l ), t k 1,l ), l = 1, 2,..., m, gdzie pośrednie wartości stanu różniczkowego obliczane s a w punktach t k 1,l x r (t k 1,l ) = x r (t k 1 ) + h kl φ k,l 1, l = 1, 2,..., m. W szczególności zak ladaj ac m = 4 uzyskujemy przy pewnym wyborze drobnych kroków h kl szeroko stosowan a metodȩ Rungego-Kutty czwartego rzȩdu dla numerycznego rozwi azywania nieliniowych równań różniczkowych. Jawna wielokrokowa metoda aproksymacji równania różniczkowoalgebraicznego wyznacza wartość x r (t k ) na podstawie znajomości x r (t k 1 ) oraz wielu wartości pośrednich stanu różniczkowego x r (t k 1,l ) i algebraicznego x a (t k 1,l ) x r (t k ) = x r (t k 1 ) + m h kl φ kl, k = 1, 2,..., l=1. φ kl = f r (x r (t k 1,l ), x a (t k 1,l ), u r (t k 1,l ), t k 1,l ), l = 1, 2,..., m, gdzie poŕednie wartości stanu różniczkowego i stanu algebraicznego obliczane s a w punktach t k 1,l x r (t k 1,l ) = x r (t k 1 ) + h kl φ k,l 1,. φ k,l 1 = f r (x r (t k 1,l 1 ), x a (t k 1,l 1, u r (t k 1,l 1 ), t k 1,l 1 ), f a (x r (t k 1,l 1 ), x a (t k 1,l 1, u r (t k 1,l 1 ), t k 1,l 1 ) = 0, l = 1, 2,..., m. Równanie algebraiczne rozwi azywane jest wzglȩdem x a (t k 1,l 1 ) przy zadanym x r (t k 1,l 1 ). Można wiȩc powiedzieć, że ostatnia metoda jest pó ljawna. Jawne i pó ljawne metody wielokrokowe daj a dobre wyniki dla szerokiej klasy równań różniczkowych stanu i równań różniczkowo-algebraicznych stanu. 20
21 W niejawnych metodach wartości pośrednie zmiennych stanu wyznaczane s a w rezultacie l acznego rozwi azywania niejawnych równań różniczkowych i algebraicznych wzglȩdem l acznego argumentu (x r (t k 1,l ), x a (t k 1,l )) obejmuj acego stan różniczkowy i algebraiczny x r (t k 1,l ) = x r (t k 1 ) + h kl φ k,l,. φ k,l = f r (x r (t k 1,l ), x a (t k 1,l, u r (t k 1,l ), t k 1,l ), f a (x r (t k 1,l ), x a (t k 1,l, u r (t k 1,l ), t k 1,l ) = 0, l = 1, 2,..., m. Metody takie mog a dawać bardzo dok ladne wyniki. Wymagaj a jednak dużego nak ladu obliczeń. Stosowane s a m.in. do rozwi azywania tzw. sztywnych uk ladów różniczkowo-algebraicznych o ma lo stabilnych przebiegach. Numeryczne procedury typu ODE Solver i DAE Solver s a zawarte w uniwersalnych programach obliczeniowych takich jak MATLAB i MATHEMATICA. Istnieje także wiele zaawansowanych wersji tych procedur powi azanych z metodami optymalizacji np. program MUSCOD. Szerokie omówienie takich procedur prezentuj a w swoich monografiach Biegler i Betts. Pozwalaj a one rozwi azywać problemy typu DAE Optimization z dziesi atkami, a nawet setkami tysiȩcy zmiennych. 21
22 Singularne modele procesów sterowania Modele różniczkowo-algebraiczne procesów sterowania s a szczególnym przypadkiem modeli singularnych. Niech bȩdzie dany różniczkowo-algebraiczny model procesu sterowania ẋ r (t) = f r (x r (t), x a (t), u(t), ξ(t), t), t [t 0, t f ], x r (t 0 ) = x r 0, f a (x r (t), x a (t), u(t), ξ(t), t) = 0, t [t 0, t f ]. Zestaw stanu różniczkowego i algebraicznego zapisywany jest w postaci stanu uogólnionego procesu ( ) x r (t) x(t) =. x a (t) Niech funkcja f ma w charakterze sk ladowych prawe strony równania różniczkowo-algebraicznego ( ) f r (x r (t), x a (t), u(t), ξ(t), t) f(x(t), u(t), ξ(t), t) = f a (x r (t), x a (t), u(t), ξ(t), t) i niech macierz E przyjmuje postać osobliw a ( ) I O1 E =, O 2 O 3 przy czym I jest macierz a jednostkow a o wymiarach n x r n x r, zaś zerowe macierze O 1, O 2 i O 3 maj a wymiary odpowiednio n x r n x a, n x a n x r i n x a n x a. Równanie różniczkowo-algebraiczne procesu można przepisać w równoważnej postaci singularnej Eẋ(t) = f(x(t), u(t), ξ(t), t), t [t 0, t f ]. 22
23 Ogólne singularne modele s a charakterystyczne dla elektrycznych i elektronicznych uk ladów sterowania, dla uk ladów ze sprzȩżeniem zwrotnym i dla uk ladów z lożonych. Macierz E nie musi mieć struktury zero-jedynkowej zwi azanej z modelami różniczkowoalgebraicznymi. Osobliwość macierzy E może oznaczać, że model uk ladu przybiera postać, która nie jest rozwik lywalna wzglȩdem pochodnych. Model taki nazywany jest też uwik lanym modelem procesu sterowania. Niech bȩdzie dany obwód elektryczny ze źród lem napiȩcia e(t), rezystancj a R, kondensatorami C 1 i C 2 oraz z indukcyjności a L. Sk lada siȩ on z dwóch szeregowo po l aczonych podobwodów RLC 1 oraz C 1 ec 2. Zmiennymi stanu uogólnionego s a napiȩcia U 1 (t) i U 2 (t) na kondensatorach oraz natȩżenie pr adu I(t) w indukcyjności. Sterowaniem jest napiȩcie źród lowe e(t). Wyjściem jest napiȩcie U 2 (t) na kondensatorze C 2. obwód elektryczny RLC 1 ec 2 L e(t) C R I 1 (t) 1 C = U I 2 (t) 2 1 (t) = U 2 (t) Na podstawie praw Kirchhoffa zapisujemy równania dla podobwodów RI(t) + L I(t) + U 1 (t) = 0, U 1 (t) + e(t) U 2 (t) = 0, C 1 U 1 (t) + C 2 U 2 (t)) = I(t). 23
24 Równania te zapisujemy w postaci równoważnej 0 0 L U 1 (t) 1 0 R U 1 (t) 0 C 1 C 2 0 U 2 (t) = U 2 (t) + 0 e(t) I(t) I(t) 1 Macierz pojawiaj aca siȩ przy wektorze stanu uogólnionego jest osobliwa, lecz nie ma struktury zero-jedynkowej charakterystycznej dla uk ladów różniczkowo-algebraicznych. Odzwierciedla ona uwik lane równania zmiennych stanu uogólnionego w rozpatrywanym obwodzie elektrycznym. Oznaczamy zmienne stanu uogólnionego jako x 1 (t) = U 1 (t), x 2 (t) = U 2 (t), x 3 (t) = I(t), wektor stanu uogólnionego jako x 1 (t) x(t) = x 2 (t), x 3 (t) sterowanie jako u(t) = e(t), a macierze uogólnionego równania stanu jako 0 0 L 1 0 R 0 E = C 1 C 2 0, A = 0 0 1, B = Zapisujemy model rozpatrywanego uk ladu w postaci liniowego singularnego równania stanu w którym dete = 0. Eẋ(t) = Ax(t) + Bu(t), Innym źród lem uk ladów singularnych s a uk lady z uogólnionym sprzȩżeniem zwrotnym. W przypadku podstawowym równania 24
25 uk ladu ze sprzȩżeniem zwrotnym maj a postać ẋ(t) = Ax(t) + Bu(t), y(t) = Cx(t), u(t) = Ky(t), co prowadzi do równania zamkniȩtego uk ladu sterowania ẋ(t) = (A + BKC)x(t). Sterowanie jest ca lkowicie eliminowane przez sprzȩżenie zwrotne. Jeśli natomiast wprowadzane jest nowe sterowanie zewnȩtrzne v(t), a sprzȩżenie zwrotne zależy nie tylko od wyjścia obiektu lecz także od jego pochodnej przyspieszaj acej dzia lanie uk ladu, to równania uk ladu przybieraj a postać ẋ(t) = Ax(t)+Bu(t), y(t) = Cx(t), u(t) = v(t) K 1 y(t) K 2 ẏ(t). Prowadzi to do równania zamkniȩtego uk ladu sterowania (I + BK 2 C)ẋ(t) = (A BK 1 C)x(t) lub Jeżeli Eẋ(t) = (A BK 1 C)x(t), E. = I + BK 2 C. dete = det(i + BK 2 C) = 0, to uk lad zamkniȩty staje siȩ singularnym uk ladem sterowania. Rozważane s a również singularne uk lady sterowania z czasem dyskretnym. Mog a one być bezpośrednim wynikiem modelowania uk ladu funkcjonuj acego z pewnym taktem zmienności (okresem zmienności) lub mog a być wynikiem dyskretyzacji uk ladu singularnego z czasem ci ag lym. Liniowe singularne uk lady sterowania modelowane s a za pomoc a równań Ex(k + 1) = Ax(k) + Bu(k), k = k 0, k 0 + 1, k 0 + 2,... 25
26 Przyk ladem singularnego modelu procesu sterowania w dziedzinie ekonomii jest model Leontiefa N-sektorowego procesu produkcyjnego spe lniaj acego równanie dynamiki x(k) = F x(k) + E(x(k + 1) x(k)) + u(k), k = 0, 1,..., gdzie wektor x(k) = (x T 1 (k), x T 2 (k),..., x T N(k)) T opisuje poziomy produkcji w poszczególnych sektorach w okresie k-tym (miesi ac, kwarta l, rok) w jednostkach monetarnych, macierz F opisuje nak lady na bież ac a produkcjȩ, macierz E opisuje nak lady na rozwój produkcji w poszczególnych sektorach, a wektor u(k) = (u T 1 (k), u T 2 (k),..., u T N(k)) T oznacza zewnȩtrzne zapotrzebowanie. Uzyskujemy st ad po prostych przekszta lceniach równanie singularnego procesu sterowania Ex(k + 1) = (I + E F )x(k) u(k), k = 0, 1,..., gdyż macierz miȩdzysektorowych przep lywów kapita lowych E jest w wielu przypadkach osobliwa dete = 0 (macierz E ma z regu ly wiele elementów zerowych ponieważ kapita l rozwoju produkcji pochodzi zwykle tylko z niektórych sektorów). Bardzo ogólny opis uk ladu sterowania w nieliniowej postaci uwik lanej wzglȩdem pochodnych określany jest mianem równania deskryptorowego f(ẋ(t), x(t), u(t), t) = 0, a uogólniony stan uk ladu nazywany jest deskryptorem uk ladu. 26
Sterowalność liniowych uk ladów sterowania
Sterowalność liniowych uk ladów sterowania W zadaniach sterowania docelowego należy przeprowadzić obiekt opisywany za pomoc a równania stanu z zadanego stanu pocz atkowego ẋ(t) = f(x(t), u(t), t), t [t,
Bardziej szczegółowoMnożniki funkcyjne Lagrange a i funkcje kary w sterowaniu optymalnym
Mnożniki funkcyjne Lagrange a i funkcje kary w sterowaniu optymalnym Sprowadzanie zadań sterowania optymalnego do zadań wariacyjnych metod a funkcji kary i mnożników Lagrange a - zadania sterowania optymalnego
Bardziej szczegółowoSterowanie optymalne dla uk ladów nieliniowych. Zasada maksimum Pontriagina.
Sterowanie optymalne dla uk ladów nieliniowych. Zasada maksimum Pontriagina. Podstawowy problem sterowania optymalnego dla uk ladów nieliniowych W podstawowym problemie sterowania optymalnego minimalizacji
Bardziej szczegółowoMnożniki funkcyjne Lagrange a i funkcje kary w sterowaniu optymalnym
Mnożniki funkcyjne Lagrange a i funkcje kary w sterowaniu optymalnym Sprowadzanie zadań sterowania optymalnego do zadań wariacyjnych metod a funkcji kary i mnożników Lagrange a - zadania sterowania optymalnego
Bardziej szczegółowoLiniowe uk lady sterowania.
Liniowe uk lady sterowania Rozwi azywanie liniowych rownań stanu Uk lady z czasem ci ag lym Liniowe stacjonarne równania stanu Przyk lad: Uk lad sterowania tarcz a obrotow a prȩt sprȩżysty tarcza obrotowa
Bardziej szczegółowoSynteza optymalnego regulatora stanu. Uk lady z czasem ci ag lym.
Synteza optymalnego regulatora stanu. Uk lady z czasem ci ag lym. Po wyznaczeniu optymalnego nominalnego) procesu sterowania x o, u o nasuwa siȩ kwestia podtrzymywania tego procesu w warunkach ma lych
Bardziej szczegółowoWprowadzenie do teorii sterowania
Wprowadzenie do teorii sterowania Literatura podstawowa T. Kaczorek i inni, Podstawy teorii sterowania, WNT, Warszawa 2005. T. Kaczorek, Teoria sterowania i systemów, PWN, Warszawa 1996. T. Kaczorek, Teoria
Bardziej szczegółowoSterowanie minimalnoczasowe dla uk ladów liniowych. Krzywe prze l aczeń.
Sterowanie minimalnoczasowe dla uk ladów liniowych. Krzywe prze l aczeń. Sprowadzanie zadań sterowania optymalnego do zadań wariacyjnych metod a funkcji kary i mnożników Lagrange a - zadania sterowania
Bardziej szczegółowoWprowadzenie do teorii sterowania. Procesy sterowania o parametrach skupionych.
Dr hab. inż. Krystyn Styczeń, prof. PWr Wprowadzenie do teorii sterowania. Procesy sterowania o parametrach skupionych. http://staff.iiar.pwr.wroc.pl/krystyn.styczen/ http://krystyn.styczen.staff.iiar.pwr.wroc.pl/
Bardziej szczegółowoliniowych uk ladów sterowania
Sterowalność i obserwowalność liniowych uk ladów sterowania W zadaniach sterowania docelowego należy przeprowadzić obiekt opisywany za pomoc a równania stanu z zadanego stanu pocz atkowego ẋ(t) = f(x(t),
Bardziej szczegółowoWprowadzenie do teorii sterowania. Procesy o parametrach skupionych
Politechnika Wroc lawska Wydzia l Elektroniki Katedra K8 Prof. dr hab. inż. Krystyn Styczeń http://staff.iiar.pwr.wroc.pl/krystyn.styczen/ Wprowadzenie do teorii sterowania. Procesy o parametrach skupionych
Bardziej szczegółowoZasada optymalności Bellmana. Uogólniony optymalny regulator stanu.
Zasada optymalności Bellmana. Uogólniony optymalny regulator stanu. Podstawowy problem sterowania optymalnego dla uk ladów nieliniowych z czasem ci ag lym W podstawowym problemie sterowania optymalnego
Bardziej szczegółowoEkonomia matematyczna i dynamiczna optymalizacja
Ekonomia matematyczna i dynamiczna optymalizacja Ramy wyk ladu i podstawowe narz edzia matematyczne SGH Semestr letni 2012-13 Uk lady dynamiczne Rozwiazanie modelu dynamicznego bardzo czesto można zapisać
Bardziej szczegółowoDyskretne modele populacji
Dyskretne modele populacji Micha l Machtel Adam Soboczyński 19 stycznia 2007 Typeset by FoilTEX Dyskretne modele populacji [1] Wst ep Dyskretny opis modelu matematycznego jest dobry dla populacji w których
Bardziej szczegółowoPOCHODNA KIERUNKOWA. DEFINICJA Jeśli istnieje granica lim. to granica ta nazywa siȩ pochodn a kierunkow a funkcji f(m) w kierunku osi l i oznaczamy
POCHODNA KIERUNKOWA Pochodne cz astkowe funkcji f(m) = f(x, y, z) wzglȩdem x, wzglȩdem y i wzglȩdem z wyrażaj a prȩdkość zmiany funkcji w kierunku osi wspó lrzȩdnych; np. f x jest prȩdkości a zmiany funkcji
Bardziej szczegółowoWyk lad 14 Formy kwadratowe I
Wyk lad 14 Formy kwadratowe I Wielomian n-zmiennych x 1,, x n postaci n a ij x i x j, (1) gdzie a ij R oraz a ij = a ji dla wszystkich i, j = 1,, n nazywamy forma kwadratowa n-zmiennych Forme (1) można
Bardziej szczegółowoDyskretne modele populacji
Dyskretne modele populacji Micha l Machtel Adam Soboczyński 17 stycznia 2007 Typeset by FoilTEX Dyskretne modele populacji [1] Wst ep Dyskretny opis modelu matematycznego jest dobry dla populacji w których
Bardziej szczegółowoZagadnienie Dualne Zadania Programowania Liniowego. Seminarium Szkoleniowe Edyta Mrówka
Zagadnienie Dualne Zadania Programowania Liniowego Seminarium Szkoleniowe Edyta Mrówka Ogólne zagadnienie PL Znajdź taki wektor X = (x 1, x 2,..., x n ), który minimalizuje kombinacje liniow a przy ograniczeniach
Bardziej szczegółowoMetoda Simplex bez użycia tabel simplex 29 kwietnia 2010
R. Rȩbowski 1 WPROWADZENIE Metoda Simplex bez użycia tabel simplex 29 kwietnia 2010 1 Wprowadzenie Powszechnie uważa siȩ, że metoda simplex, jako uniwersalny algorytm pozwalaj acyznaleźć rozwi azanie optymalne
Bardziej szczegółowoPolitechnika Wrocławska, Wydział Informatyki i Zarządzania. Modelowanie
Politechnika Wrocławska, Wydział Informatyki i Zarządzania Modelowanie Zad Wyznacz transformaty Laplace a poniższych funkcji, korzystając z tabeli transformat: a) 8 3e 3t b) 4 sin 5t 2e 5t + 5 c) e5t e
Bardziej szczegółowoStabilność liniowych uk ladów sterowania
Stabilność liniowych uk ladów sterowania Stabilność uk ladów z czasem ci ag lym W teorii stabilności uk ladów sterowania badamy wrażliwość trajektorii stanu na zaburzenia stanu pocz atkowego. Interesuje
Bardziej szczegółowoOpis systemów dynamicznych w przestrzeni stanu. Wojciech Kurek , Gdańsk
Opis systemów dynamicznych Mieczysław Brdyś 27.09.2010, Gdańsk Rozważmy układ RC przedstawiony na rysunku poniżej: wejscie u(t) R C wyjście y(t)=vc(t) Niech u(t) = 2 + sin(t) dla t t 0 gdzie t 0 to chwila
Bardziej szczegółowoRównania różniczkowe cz astkowe rzȩdu pierwszego
Równania różniczkowe cz astkowe rzȩd pierwszego 1 Równania liniowe jednorodne Rozważmy równanie a 1 ( 1,..., n ) 1 +... + a n ( 1,..., n ) n = 0, (1) gdzie a i, i = 1,..., n s a dane, a fnkcja = ( 1,...,
Bardziej szczegółowoMetody kierunków poprawy dla nieliniowych problemów sterowania optymalnego
Metody kierunków poprawy dla nieliniowych problemów sterowania optymalnego Problem optymalnego sterowania procesem dynamicznym może polegać na polega na minimalizacji wskaźnika jakości obejmuj acego koszty
Bardziej szczegółowoProjektowanie uk ladów sterowania z wykorzystaniem ich postaci kanonicznych
Projektowanie uk ladów sterowania z wykorzystaniem ich postaci kanonicznych Niech bȩdzie dany uk lad sterowania taki, że nie wszystkie jego zmienne stanu s a bezpośrednio dostȩpne (mierzalne. Uk lad pozwalaj
Bardziej szczegółowoMetody rzutowania i funkcji barierowych dla problemów sterowania optymalnego
Metody rzutowania i funkcji barierowych dla problemów sterowania optymalnego Problem optymalnego sterowania procesem dynamicznym z ograniczeniami zasobowymi może polegać na polega na minimalizacji wskaźnika
Bardziej szczegółowoWyk lad 7 Metoda eliminacji Gaussa. Wzory Cramera
Wyk lad 7 Metoda eliminacji Gaussa Wzory Cramera Metoda eliminacji Gaussa Metoda eliminacji Gaussa polega na znalezieniu dla danego uk ladu a x + a 2 x 2 + + a n x n = b a 2 x + a 22 x 2 + + a 2n x n =
Bardziej szczegółowoWyk lad 8 macierzy i twierdzenie Kroneckera-Capellego
Wyk lad 8 Rzad macierzy i twierdzenie Kroneckera-Capellego 1 Określenie rz edu macierzy Niech A bedzie m n - macierza Wówczas wiersze macierzy A możemy w naturalny sposób traktować jako wektory przestrzeni
Bardziej szczegółowoWyk lad 9 Przekszta lcenia liniowe i ich zastosowania
Wyk lad 9 Przekszta lcenia liniowe i ich zastosowania 1 Przekszta lcenia liniowe i ich w lasności Definicja 9.1. Niech V i W bed przestrzeniami liniowymi. Przekszta lcenie f : V W spe lniajace warunki:
Bardziej szczegółowoLiczby zespolone, liniowa zależność i bazy Javier de Lucas. a d b c. ad bc
Liczby zespolone, liniowa zależność i bazy Javier de Lucas Ćwiczenie. Dowieść, że jeśli µ := c d d c, to homografia h(x) = (ax+b)/(cx+d), a, b, c, d C, ad bc, odwzorowuje oś rzeczywist a R C na okr ag
Bardziej szczegółowoSZKO LA PODSTAWOWA HELIANTUS WARSZAWA ul. BAŻANCIA 16. Hyperbola 1 x FUNKCJE ELEMENTARNE WYMIERNE POTȨGOWE LOGARYTMICZNE.
1 SZKO LA PODSTAWOWA HELIANTUS 0-89 WARSZAWA ul. BAŻANCIA 16 1 0 3 1 x Hyperbola 1 x FUNKCJE ELEMENTARNE WYMIERNE POTȨGOWE LOGARYTMICZNE Prof. dr. Tadeusz STYŠ Warszawa 018 1 1 Projekt dziesi aty Contents
Bardziej szczegółowoPo wprowadzeniu zmiennych uzupe lniaj acych otrzymamy równoważny mu problem w postaci kanonicznej:
ROZDZIA L Metoda sympleksowa Motto: Matematyka nie może wype lnić życia ale jej nieznajomość już niejednemu je wype lni la H Steinhaus Tablica sympleksowa Rozważmy ZPL w postaci klasycznej maksymalizować
Bardziej szczegółowoWyk lad 4 Dzia lania na macierzach. Określenie wyznacznika
Wyk lad 4 Dzia lania na macierzach Określenie wyznacznika 1 Określenie macierzy Niech K bedzie dowolnym cia lem oraz niech n i m bed a dowolnymi liczbami naturalnymi Prostokatn a tablice a 11 a 12 a 1n
Bardziej szczegółowoAsymptota pozioma: oṡ x, gdy y = 0 Asymptota pionowa: oṡ y, gdy x = 0. Hyperbola 1 x
1 SZKO LA PODSTAWOWA HELIANTUS 02-892 WARSZAWA ul. BAŻANCIA 16 Asymptota pozioma: oṡ x, gdy y = 0 Asymptota pionowa: oṡ y, gdy x = 0 2 1 0 3 1 2 x Hyperbola 1 x FUNKCJE ELEMENTARNE WYMIERNE POTȨGOWE LOGARYTMICZNE
Bardziej szczegółowoCia la i wielomiany Javier de Lucas
Cia la i wielomiany Javier de Lucas Ćwiczenie 1. Za lóż, że (F, +,, 1, 0) jest cia lem i α, β F. w laściwości s a prawd a? Które z nastȩpuj acych 1. 0 α = 0. 2. ( 1) α = α. 3. Każdy element zbioru F ma
Bardziej szczegółowoZestaw nr 7 Ekstremum funkcji jednej zmiennej. Punkty przegiȩcia wykresu. Asymptoty
Zestaw nr 7 Ekstremum funkcji jednej zmiennej. Punkty przegiȩcia wykresu. Asymptoty November 20, 2009 Przyk ladowe zadania z rozwi azaniami Zadanie 1. Znajdź równanie asymptot funkcji f jeśli: a) f(x)
Bardziej szczegółowoWNIOSKOWANIE W MODELU REGRESJI LINIOWEJ
WNIOSKOWANIE W MODELU REGRESJI LINIOWEJ Dana jest populacja generalna, w której dwuwymiarowa cecha (zmienna losowa) (X, Y ) ma pewien dwuwymiarowy rozk lad. Miara korelacji liniowej dla zmiennych (X, Y
Bardziej szczegółowoNiesimpleksowe metody rozwia zywania zadań PL. Seminarium Szkoleniowe Edyta Mrówka
Niesimpleksowe metody rozwia zywania zadań PL Seminarium Szkoleniowe Metoda Simplex: wady i zalety Algorytm SIMPLEX jest szeroko znany i stosowany do rozwi azywania zadań programowania liniowego w praktyce.
Bardziej szczegółowoPierwsze kolokwium z Matematyki I 4. listopada 2013 r. J. de Lucas
Pierwsze kolokwium z Matematyki I 4. listopada 03 r. J. de Lucas Uwagi organizacyjne: Każde zadanie rozwi azujemy na osobnej kartce, opatrzonej imieniem i nazwiskiem w lasnym oraz osoby prowadz acej ćwiczenia,
Bardziej szczegółowoWyk lad 5 W lasności wyznaczników. Macierz odwrotna
Wyk lad 5 W lasności wyznaczników Macierz odwrotna 1 Operacje elementarne na macierzach Bardzo ważne znaczenie w algebrze liniowej odgrywaja tzw operacje elementarne na wierszach lub kolumnach macierzy
Bardziej szczegółowoFunkcje wielu zmiennych
Funkcje wielu zmiennych Zbiory na p laszczyźnie Przestrzeni a dwuwymiarow a (p laszczyzn a) nazywamy zbiór wszystkich par uporz adkowanych (x, y), gdzie x, y R. Przestrzeń tȩ oznaczamy symbolem R 2 : R
Bardziej szczegółowoWyk lad 4 Macierz odwrotna i twierdzenie Cramera
Wyk lad 4 Macierz odwrotna i twierdzenie Cramera 1 Odwracanie macierzy I n jest elementem neutralnym mnożenia macierzy w zbiorze M n (R) tzn A I n I n A A dla dowolnej macierzy A M n (R) Ponadto z twierdzenia
Bardziej szczegółowoObliczenia iteracyjne
Lekcja Strona z Obliczenia iteracyjne Zmienne iteracyjne (wyliczeniowe) Obliczenia iteracyjne wymagają zdefiniowania specjalnej zmiennej nazywanej iteracyjną lub wyliczeniową. Zmienną iteracyjną od zwykłej
Bardziej szczegółowoCHEMIA KWANTOWA MONIKA MUSIA L. Ćwiczenia. mm
CHEMIA KWANTOWA MONIKA MUSIA L Ćwiczenia METODY PRZYBLIŻONE ROZWIA ZYWANIA RÓWNANIA SCHRÖDINGERA METODA WARIACYJNA metoda wariacyjna ĤΨ n = E n Ψ n Ψ n ortonormalne Szukamy rozwi azań dla stanu podstawowego,
Bardziej szczegółowoy 1 y 2 = f 2 (t, y 1, y 2,..., y n )... y n = f n (t, y 1, y 2,..., y n ) f 1 (t, y 1, y 2,..., y n ) y = f(t, y),, f(t, y) =
Uk lady równań różniczkowych Pojȩcia wsȩpne Uk ladem równań różniczkowych nazywamy uk lad posaci y = f (, y, y 2,, y n ) y 2 = f 2 (, y, y 2,, y n ) y n = f n (, y, y 2,, y n ) () funkcje f j, j =, 2,,
Bardziej szczegółowoNiech X bȩdzie dowolnym zbiorem. Dobry porz adek to relacja P X X (bȩdziemy pisać x y zamiast x, y P ) o w lasnościach:
Teoria miary WPPT IIr semestr zimowy 2009 Wyk lad 4 Liczby kardynalne, indukcja pozaskończona DOBRY PORZA DEK 14/10/09 Niech X bȩdzie dowolnym zbiorem Dobry porz adek to relacja P X X (bȩdziemy pisać x
Bardziej szczegółowostosunek przyrostu funkcji y do odpowiadajacego dy dx = lim y wielkości fizycznej x, y = f(x), to pochodna dy v = ds edkości wzgl edem czasu, a = dv
Matematyka Pochodna Pochodna funkcji y = f(x) w punkcie x nazywamy granice, do której daży stosunek przyrostu funkcji y do odpowiadajacego mu przyrostu zmiennej niezaleźnej x, g przyrost zmiennej daży
Bardziej szczegółowoSuma i przeciȩcie podprzestrzeń, suma prosta, przestrzeń ilorazowa Javier de Lucas
Suma i przeciȩcie podprzestrzeń suma prosta przestrzeń ilorazowa Javier de Lucas Ćwiczenie 1 W zależności od wartości parametru p podaj wymiar przestrzeni W = v 1 v v 3 gdzie p 0 v 1 = 1 + p 3 v = 5 3
Bardziej szczegółowow = w i ξ i. (1) i=1 w 1 w 2 :
S. D. G lazek, www.fuw.edu.pl/ stglazek, 11.III.2005 1 I. MACIERZ LINIOWEGO ODWZOROWANIA PRZESTRZENI WEKTOROWYCH Wyobraźmy sobie, że przestrzeń wektorowa W jest zbudowana z kombinacji liniowych n liniowo
Bardziej szczegółowoZestaw nr 6 Pochodna funkcji jednej zmiennej. Styczna do krzywej. Elastyczność funkcji. Regu la de l Hospitala
Zestaw nr 6 Pochodna funkcji jednej zmiennej. Styczna do krzywej. Elastyczność funkcji. Regu la de l Hospitala November 12, 2009 Przyk ladowe zadania z rozwi azaniami Zadanie 1. Oblicz pochodne nastȩpuj
Bardziej szczegółowoUKŁADY ALGEBRAICZNYCH RÓWNAŃ LINIOWYCH
Transport, studia I stopnia rok akademicki 2011/2012 Instytut L-5, Wydział Inżynierii Lądowej, Politechnika Krakowska Ewa Pabisek Adam Wosatko Uwagi wstępne Układ liniowych równań algebraicznych można
Bardziej szczegółowoWyk lad 11 1 Wektory i wartości w lasne
Wyk lad 11 Wektory i wartości w lasne 1 Wektory i wartości w lasne Niech V bedzie przestrzenia liniowa nad cia lem K Każde przekszta lcenie liniowe f : V V nazywamy endomorfizmem liniowym przestrzeni V
Bardziej szczegółowoSystemy. Krzysztof Patan
Systemy Krzysztof Patan Systemy z pamięcią System jest bez pamięci (statyczny), jeżeli dla dowolnej chwili t 0 wartość sygnału wyjściowego y(t 0 ) zależy wyłącznie od wartości sygnału wejściowego w tej
Bardziej szczegółowoWyk lad 9 Baza i wymiar przestrzeni liniowej
Wyk lad 9 Baza i wymiar przestrzeni liniowej 1 Operacje elementarne na uk ladach wektorów Niech α 1,..., α n bed dowolnymi wektorami przestrzeni liniowej V nad cia lem K. Wyróżniamy nastepuj ace operacje
Bardziej szczegółowoSTATYSTYKA MATEMATYCZNA dla ZPM I dr inż Krzysztof Bryś wyk lad 1,2 KLASYCZNY RACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA
1 STATYSTYKA MATEMATYCZNA dla ZPM I dr inż Krzysztof Bryś wyk lad 1,2 KLASYCZNY RACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA 1. Pojȩcia wstȩpne. Doświadczeniem losowym nazywamy doświadczenie, którego wynik nie jest znany.
Bardziej szczegółowoSTYSTYSTYKA dla ZOM II dr inż Krzysztof Bryś Wykad 1
1 STYSTYSTYKA dla ZOM II dr inż Krzysztof Bryś Wykad 1 Klasyczny Rachunek Prawdopodobieństwa. 1. Pojȩcia wstȩpne. Doświadczeniem losowym nazywamy doświadczenie, którego wynik nie jest znany. Posiadamy
Bardziej szczegółowoFunkcje wielu zmiennych
Funkcje wielu zmiennych 8 Pochodna kierunkowa funkcji Definicja Niech funkcja f określona bȩdzie w otoczeniu punktu P 0 = (x 0, y 0 ) oraz niech v = [v x, v y ] bȩdzie wektorem. Pochodn a kierunkow a funkcji
Bardziej szczegółowona p laszczyźnie kartezjaṅskiej prowadzimy prost a o rȯwnaniu s 1. (1.1) s 0 + t 1 t 0
Chapter 1 Interpolacja 1.1 Interpolacja liniowa Zacznijmy opis pojȩcia inter-polacji od prostego przyk ladu. Przyk lad 1.1 Oblicz ile kilometrȯw przejecha l samochȯd po 3 godzinach jazdy, jeżeli po jednej
Bardziej szczegółowoWyk lad 7 Baza i wymiar przestrzeni liniowej
Wyk lad 7 Baza i wymiar przestrzeni liniowej 1 Baza przestrzeni liniowej Niech V bedzie przestrzenia liniowa. Powiemy, że podzbiór X V jest maksymalnym zbiorem liniowo niezależnym, jeśli X jest zbiorem
Bardziej szczegółowoElementy analizy funkcjonalnej PRZESTRZENIE LINIOWE
Elementy analizy funkcjonalnej PRZESTRZENIE LINIOWE Niech K = R lub K = C oraz X - dowolny zbiór. Określmy dwa dzia lania: dodawanie + : X X X i mnożenie przez liczbȩ : K X X, spe lniaj ace nastȩpuj ace
Bardziej szczegółowoStatystyka w analizie i planowaniu eksperymentu
22 marca 2011 Przestrzeń statystyczna - podstawowe zadania statystyki Zdarzeniom losowym określonym na pewnej przestrzeni zdarzeń elementarnych Ω można zazwyczaj na wiele różnych sposobów przypisać jakieś
Bardziej szczegółowoMetody Obliczeniowe w Nauce i Technice
9 - Rozwiązywanie układów równań nieliniowych Marian Bubak Department of Computer Science AGH University of Science and Technology Krakow, Poland bubak@agh.edu.pl dice.cyfronet.pl Contributors Anna Marciniec
Bardziej szczegółowoWstęp do równań różniczkowych
Wstęp do równań różniczkowych Wykład 1 Lech Sławik Instytut Matematyki PK Literatura 1. Arnold W.I., Równania różniczkowe zwyczajne, PWN, Warszawa, 1975. 2. Matwiejew N.M., Metody całkowania równań różniczkowych
Bardziej szczegółowoStatystyka w analizie i planowaniu eksperymentu
29 marca 2011 Przestrzeń statystyczna - podstawowe zadania statystyki Zdarzeniom losowym określonym na pewnej przestrzeni zdarzeń elementarnych Ω można zazwyczaj na wiele różnych sposobów przypisać jakieś
Bardziej szczegółowoFunkcje wielu zmiennych
Funkcje wielu zmiennych 13 Zbiory w przestrzeni Definicja Przestrzeni a trójwymiarow a (przestrzeni a) nazywamy zbiór wszystkich trójek uporz adkowanych (x y z) gdzie x y z R. Przestrzeń tȩ oznaczamy symbolem
Bardziej szczegółowoWyk lad 9 Podpierścienie, elementy odwracalne, dzielniki zera
Wyk lad 9 Podpierścienie, elementy odwracalne, dzielniki zera Określenie podpierścienia Definicja 9.. Podpierścieniem pierścienia (P, +,, 0, ) nazywamy taki podzbiór A P, który jest pierścieniem ze wzgledu
Bardziej szczegółowoStatystyka w analizie i planowaniu eksperymentu
31 marca 2014 Przestrzeń statystyczna - podstawowe zadania statystyki Zdarzeniom losowym określonym na pewnej przestrzeni zdarzeń elementarnych Ω można zazwyczaj na wiele różnych sposobów przypisać jakieś
Bardziej szczegółowoMATEMATYKA DZIELENIE LICZB Z RESZTA CECHY PODZIELNOṠCI
1 SZKO LA PODSTAWOWA HELIANTUS 02-892 WARSZAWA ul. BAŻANCIA 16 Opercja modulo a b( mod c) MATEMATYKA DZIELENIE LICZB Z RESZTA CECHY PODZIELNOṠCI Prof. dr. Tadeusz STYŠ WARSZAWA 2018 1 1 Projekt pi aty
Bardziej szczegółowoAnaliza dla informatyków 2 DANI LI2 Pawe l Domański szkicowe notatki do wyk ladu
Analiza dla informatyków 2 DANI LI2 Pawe l Domański szkicowe notatki do wyk ladu Wyk lad 5 1. Iloczyn ortogonalny funkcji Wróćmy na chwilȩ do dowodu wzorów Eulera-Fouriera. Kluczow a rolȩ odgrywa l wzór:
Bardziej szczegółowoInżynierskie metody analizy numerycznej i planowanie eksperymentu / Ireneusz Czajka, Andrzej Gołaś. Kraków, Spis treści
Inżynierskie metody analizy numerycznej i planowanie eksperymentu / Ireneusz Czajka, Andrzej Gołaś. Kraków, 2017 Spis treści Od autorów 11 I. Klasyczne metody numeryczne Rozdział 1. Na początek 15 1.1.
Bardziej szczegółowoGeometria odwzorowań inżynierskich Zadania 02
Scriptiones Geometrica Volumen I (2007), No. Z2, 1 3. Geometria odwzorowań inżynierskich Zadania 02 1. Odwzorowania w rzucie równoleg lym. Przekroje cd. Konstrukcje p laskie 1.1. Przekszat lcenia na p
Bardziej szczegółowo2. Równania nieliniowe i ich uk lady
Metoda Newtona stycznych dla równania f(x) 0: x n+ x n f(x n) f (x n ) Chcemy rozwia ι zać uk lad N równań dla N niewiadomych f (x,x,,x N ) 0 f (x,x,,x N ) 0, f N (x,x,,x N ) 0 krócej: Czy jest jakaś analogia?
Bardziej szczegółowoKomputerowa analiza zagadnień różniczkowych 10. Dwupunktowe problemy brzegowe (BVP, Boundary Value Problems)
Komputerowa analiza zagadnień różniczkowych 10. Dwupunktowe problemy brzegowe (BVP, Boundary Value Problems) P. F. Góra http://th-www.if.uj.edu.pl/zfs/gora/ semestr letni 2007/08 Wprowadzenie Rozważmy
Bardziej szczegółowoCHEMIA KWANTOWA MONIKA MUSIA L METODA HÜCKLA. Ćwiczenia. http://zcht.mfc.us.edu.pl/ mm
CHEMIA KWANTOWA MONIKA MUSIA L METODA HÜCKLA Ćwiczenia Zwi azki organiczne zawieraj ace uk lady π-elektronowe Sprzȩżony uk lad wi azań podwójnych: -C=C-C=C-C=C-C=C- Skumulowany uk lad wi azań podwójnych:
Bardziej szczegółowoRozdzia l 11. Przestrzenie Euklidesowe Definicja, iloczyn skalarny i norma. iloczynem skalarnym.
Rozdzia l 11 Przestrzenie Euklidesowe 11.1 Definicja, iloczyn skalarny i norma Definicja 11.1 Przestrzenia Euklidesowa nazywamy par e { X K,ϕ }, gdzie X K jest przestrzenia liniowa nad K, a ϕ forma dwuliniowa
Bardziej szczegółowoMetody numeryczne Wykład 7
Metody numeryczne Wykład 7 Dr inż. Michał Łanczont Instytut Elektrotechniki i Elektrotechnologii E419, tel. 4293, m.lanczont@pollub.pl, http://m.lanczont.pollub.pl Plan wykładu Rozwiązywanie równań algebraicznych
Bardziej szczegółowoWyk lad 9 Baza i wymiar przestrzeni liniowej
Wyk lad 9 Baza i wymiar liniowej Baza liniowej Niech V bedzie nad cia lem K Powiemy, że zbiór wektorów {α,, α n } jest baza V, jeżeli wektory α,, α n sa liniowo niezależne oraz generuja V tzn V = L(α,,
Bardziej szczegółowoWstęp do równań różniczkowych
Wstęp do równań różniczkowych Wykład 1 Lech Sławik Instytut Matematyki PK Literatura 1. Arnold W.I., Równania różniczkowe zwyczajne, PWN, Warszawa, 1975. 2. Matwiejew N.M., Metody całkowania równań różniczkowych
Bardziej szczegółowoprzy warunkach początkowych: 0 = 0, 0 = 0
MODELE MATEMATYCZNE UKŁADÓW DYNAMICZNYCH Podstawową formą opisu procesów zachodzących w członach lub układach automatyki jest równanie ruchu - równanie dynamiki. Opisuje ono zależność wielkości fizycznych,
Bardziej szczegółowoNiezb. ednik matematyczny. Niezb. ednik matematyczny
Niezb ednik matematyczny Niezb ednik matematyczny Liczby zespolone I Rozważmy zbiór R R (zbiór par liczb rzeczywistych) i wprowadźmy w nim nastepuj ace dzia lania: z 1 + z 2 = (x 1, y 1 ) + (x 2, y 2 )
Bardziej szczegółowoWprowadzenie do metod sterowania optymalnego
Wprowadzenie do metod sterowania optymalnego Pojȩcie procesu sterowania obejmuje zestaw trajektorii stanu i sterowania (x, u) X U, gdzie X jest przestrzeni a trajektorii stanu, a U jest przestrzeni a sterowania.
Bardziej szczegółowoZaawansowane metody numeryczne Komputerowa analiza zagadnień różniczkowych 4. Równania różniczkowe zwyczajne podstawy teoretyczne
Zaawansowane metody numeryczne Komputerowa analiza zagadnień różniczkowych 4. Równania różniczkowe zwyczajne podstawy teoretyczne P. F. Góra http://th-www.if.uj.edu.pl/zfs/gora/ semestr letni 2005/06 Wstęp
Bardziej szczegółowoMetody Numeryczne Wykład 4 Wykład 5. Interpolacja wielomianowa
Sformułowanie zadania interpolacji Metody Numeryczne Wykład 4 Wykład 5 Interpolacja wielomianowa Niech D R i niech F bȩdzie pewnym zbiorem funkcji f : D R. Niech x 0, x 1,..., x n bȩdzie ustalonym zbiorem
Bardziej szczegółowoRys Mo liwe postacie funkcji w metodzie regula falsi
5.3. Regula falsi i metoda siecznych 73 Rys. 5.1. Mo liwe postacie funkcji w metodzie regula falsi Rys. 5.2. Przypadek f (x), f (x) > w metodzie regula falsi 74 V. Równania nieliniowe i uk³ady równañ liniowych
Bardziej szczegółowoWYK LAD 5: GEOMETRIA ANALITYCZNA W R 3, PROSTA I P LASZCZYZNA W PRZESTRZENI R 3
WYK LAD 5: GEOMETRIA ANALITYCZNA W R 3, PROSTA I P LASZCZYZNA W PRZESTRZENI R 3 Definicja 1 Przestrzenia R 3 nazywamy zbiór uporzadkowanych trójek (x, y, z), czyli R 3 = {(x, y, z) : x, y, z R} Przestrzeń
Bardziej szczegółowoUKŁADY ALGEBRAICZNYCH RÓWNAŃ LINIOWYCH
Transport, studia niestacjonarne I stopnia, semestr I Instytut L-5, Wydział Inżynierii Lądowej, Politechnika Krakowska Ewa Pabisek Adam Wosatko Postać układu równań liniowych Układ liniowych równań algebraicznych
Bardziej szczegółowoSposoby modelowania układów dynamicznych. Pytania
Sposoby modelowania układów dynamicznych Co to jest model dynamiczny? PAScz4 Modelowanie, analiza i synteza układów automatyki samochodowej równania różniczkowe, różnicowe, równania równowagi sił, momentów,
Bardziej szczegółowoSuma i przeciȩcie podprzestrzeni, przestrzeń ilorazowa Javier de Lucas
Suma i przeciȩcie podprzestrzeni, przestrzeń ilorazowa Javier de Lucas Ćwiczenie 1. Dowieść, że jeśli U i V s a podprzestrzeniami n-wymiarowej przestrzeni wektorowej oraz dim U = r i dim V = s, to max(0,
Bardziej szczegółowoTematyka egzaminu z Podstaw sterowania
Tematyka egzaminu z Podstaw sterowania Rafał Trójniak 6 września 2009 Spis treści 1 Rozwiązane tematy 1 1.1 Napisać równanie różniczkowe dla zbiornika z odpływem grawitacyjnym...............................
Bardziej szczegółowoUkłady równań nieliniowych (wielowymiarowa metoda Newtona-Raphsona) f(x) = 0, gdzie. dla n=2 np.
Układy równań nieliniowych (wielowymiarowa metoda Newtona-Raphsona f(x 0, f ( f, f,..., f n gdzie 2 x ( x, x 2,..., x n dla n2 np. f ( x, y 0 g( x, y 0 dla każdej wielowymiarowej rozwinięcie w szereg Taylora
Bardziej szczegółowoTransmitancje układów ciągłych
Transmitancja operatorowa, podstawowe człony liniowe Transmitancja operatorowa (funkcja przejścia, G(s)) stosunek transformaty Laplace'a sygnału wyjściowego do transformaty Laplace'a sygnału wejściowego
Bardziej szczegółowoMATEMATYKA REPREZENTACJA LICZB W KOMPUTERZE
1 SZKO LA PODSTAWOWA HELIANTUS 02-892 WARSZAWA ul. BAŻANCIA 16 B l ad bezwzglȩdny zaokr aglenia liczby ɛ = fl() B l ad wzglȩdny zaokr aglenia liczby 0 δ = fl() B l ad procentowy zaokr aglenia liczby 0
Bardziej szczegółowo1 Metody rozwiązywania równań nieliniowych. Postawienie problemu
1 Metody rozwiązywania równań nieliniowych. Postawienie problemu Dla danej funkcji ciągłej f znaleźć wartości x, dla których f(x) = 0. (1) 2 Przedział izolacji pierwiastka Będziemy zakładać, że równanie
Bardziej szczegółowoStabilność II Metody Lapunowa badania stabilności
Metody Lapunowa badania stabilności Interesuje nas w sposób szczególny system: Wprowadzamy dla niego pojęcia: - stabilności wewnętrznej - odnosi się do zachowania się systemu przy zerowym wejściu, czyli
Bardziej szczegółowoLOGIKA ALGORYTMICZNA
LOGIKA ALGORYTMICZNA 0.0. Relacje. Iloczyn kartezjański: A B := (a, b) : a A i b B} (zak ladamy, że (x, y) i (u, v) s a równe wtedy i tylko wtedy gdy x = u i y = v); A n := (x 1,..., x n ) : x i A}; R
Bardziej szczegółowoANALIZA II 15 marca 2014 Semestr letni. Ćwiczenie 1. Czy dan a funkcjȩ da siȩ dookreślić w punkcie (0, 0) tak, żeby otrzymana funkcja by la ci ag la?
Ci ag lość i norma Ćwiczenie. Czy dan a funkcjȩ da siȩ dookreślić w punkcie (0, 0) tak, żeby otrzymana funkcja by la ci ag la? f (x, y) = x2 y 2 x 2 + y 2, f 2(x, y) = x2 y x 2 + y 2 f 3 (x, y) = x2 y
Bardziej szczegółowoRegulator liniowo kwadratowy na przykładzie wahadła odwróconego
Regulator liniowo kwadratowy na przykładzie wahadła odwróconego kwiecień 2012 Sterowanie Teoria Przykład wahadła na wózku Dany jest system dynamiczny postaci: ẋ = f (x, u) (1) y = h(x) (2) Naszym zadaniem
Bardziej szczegółowoWyk lad 6 Podprzestrzenie przestrzeni liniowych
Wyk lad 6 Podprzestrzenie przestrzeni liniowych 1 Określenie podprzestrzeni Definicja 6.1. Niepusty podzbiór V 1 V nazywamy podprzestrzeni przestrzeni liniowej V, jeśli ma on nastepuj ace w lasności: (I)
Bardziej szczegółowoVII. Elementy teorii stabilności. Funkcja Lapunowa. 1. Stabilność w sensie Lapunowa.
VII. Elementy teorii stabilności. Funkcja Lapunowa. 1. Stabilność w sensie Lapunowa. W rozdziale tym zajmiemy się dokładniej badaniem stabilności rozwiązań równania różniczkowego. Pojęcie stabilności w
Bardziej szczegółowoCałkowanie numeryczne
Całkowanie numeryczne Poniżej omówione zostanie kilka metod przybliżania operacji całkowania i różniczkowania w szczególności uzależnieniu pochodnej od jej różnic skończonych gdy równanie różniczkowe mamy
Bardziej szczegółowo