INDEKS FINANSISTY. Monika Skrzydłowska. PWSZ w Chełmie. wrzesień Projekt dofinansowała Fundacja mbanku
|
|
|
- Mateusz Kamiński
- 4 lat temu
- Przeglądów:
Transkrypt
1 INDEKS FINANSISTY Monika Skrzydłowska PWSZ w Chełmie wrzesień 2017 Projekt dofinansowała Fundacja mbanku Monika Skrzydłowska (PWSZ w Chełmie) INDEKS FINANSISTY wrzesień / 40
2 Spis treści 1 Wprowadzenie Co powinien każdy wiedzieć o procentach Procent prosty Zasada oprocentowania prostego 2 Procent składany Kapitalizacja Zasada oprocentowania złożonego Porównanie oprocentowania prostego i złożonego Kapitalizacja niezgodna Monika Skrzydłowska (PWSZ w Chełmie) INDEKS FINANSISTY wrzesień / 40
3 Co powinien każdy wiedzieć o procentach W matematyce procent oznacza setną część całości. Monika Skrzydłowska (PWSZ w Chełmie) INDEKS FINANSISTY wrzesień / 40
4 Co powinien każdy wiedzieć o procentach W matematyce procent oznacza setną część całości. Znak % po łacinie czyta się pro centum i oznacza na sto. Monika Skrzydłowska (PWSZ w Chełmie) INDEKS FINANSISTY wrzesień / 40
5 Co powinien każdy wiedzieć o procentach W matematyce procent oznacza setną część całości. Znak % po łacinie czyta się pro centum i oznacza na sto. Procent jest to ułamek o mianowniku 100. Monika Skrzydłowska (PWSZ w Chełmie) INDEKS FINANSISTY wrzesień / 40
6 Co powinien każdy wiedzieć o procentach W matematyce procent oznacza setną część całości. Znak % po łacinie czyta się pro centum i oznacza na sto. Procent jest to ułamek o mianowniku 100. Zapisujemy 1% = = 0, 01. Monika Skrzydłowska (PWSZ w Chełmie) INDEKS FINANSISTY wrzesień / 40
7 Zamiana procentów na ułamek Przy zamianie procentów na ułamek należy pamiętać, że wykonujemy dzielenie przez 100. Monika Skrzydłowska (PWSZ w Chełmie) INDEKS FINANSISTY wrzesień / 40
8 Zamiana procentów na ułamek Przy zamianie procentów na ułamek należy pamiętać, że wykonujemy dzielenie przez 100. Przykłady: Monika Skrzydłowska (PWSZ w Chełmie) INDEKS FINANSISTY wrzesień / 40
9 Zamiana procentów na ułamek Przy zamianie procentów na ułamek należy pamiętać, że wykonujemy dzielenie przez 100. Przykłady: 27% = 27 = 0, Monika Skrzydłowska (PWSZ w Chełmie) INDEKS FINANSISTY wrzesień / 40
10 Zamiana procentów na ułamek Przy zamianie procentów na ułamek należy pamiętać, że wykonujemy dzielenie przez 100. Przykłady: 27% = 27 = 0, , 5% = 1, 5 = 0, Monika Skrzydłowska (PWSZ w Chełmie) INDEKS FINANSISTY wrzesień / 40
11 Zamiana ułamków na procenty Zamieniając ułamek na procent, wystarczy pomnożyć ten ułamek przez 100 i dopisać znak %. Monika Skrzydłowska (PWSZ w Chełmie) INDEKS FINANSISTY wrzesień / 40
12 Zamiana ułamków na procenty Zamieniając ułamek na procent, wystarczy pomnożyć ten ułamek przez 100 i dopisać znak %. Przykład: Monika Skrzydłowska (PWSZ w Chełmie) INDEKS FINANSISTY wrzesień / 40
13 Zamiana ułamków na procenty Zamieniając ułamek na procent, wystarczy pomnożyć ten ułamek przez 100 i dopisać znak %. Przykład: 3 20 = % = % = 15%. Monika Skrzydłowska (PWSZ w Chełmie) INDEKS FINANSISTY wrzesień / 40
14 Zamiana ułamków na procenty Zamieniając ułamek na procent, wystarczy pomnożyć ten ułamek przez 100 i dopisać znak %. Przykład: 3 20 = % = % = 15%. Można też rozszerzyć ułamek, tak aby w mianowniku było 100. Monika Skrzydłowska (PWSZ w Chełmie) INDEKS FINANSISTY wrzesień / 40
15 Obliczanie procentu danej liczby Aby obliczyć procent danej liczby, należy procent przedstawić w postaci ułamka i pomnożyć przez daną liczbę. Monika Skrzydłowska (PWSZ w Chełmie) INDEKS FINANSISTY wrzesień / 40
16 Obliczanie procentu danej liczby Aby obliczyć procent danej liczby, należy procent przedstawić w postaci ułamka i pomnożyć przez daną liczbę. Przykład: Monika Skrzydłowska (PWSZ w Chełmie) INDEKS FINANSISTY wrzesień / 40
17 Obliczanie procentu danej liczby Aby obliczyć procent danej liczby, należy procent przedstawić w postaci ułamka i pomnożyć przez daną liczbę. Przykład: 30% 250 = 0, = 75. Monika Skrzydłowska (PWSZ w Chełmie) INDEKS FINANSISTY wrzesień / 40
18 ZADANIE 1 Wpłacasz do mbanku na lokatę kwotę 400zł. Oprocentowanie tej lokaty wynosi 4% w stosunku rocznym. Ile pieniędzy będziesz miał po upływie roku? a)560zł b)416zł c)4016zł d)16zł Monika Skrzydłowska (PWSZ w Chełmie) INDEKS FINANSISTY wrzesień / 40
19 ZADANIE 1 Wpłacasz do mbanku na lokatę kwotę 400zł. Oprocentowanie tej lokaty wynosi 4% w stosunku rocznym. Ile pieniędzy będziesz miał po upływie roku? a)560zł b)416zł c)4016zł d)16zł 4% 400zł = 4 400zł = 16zł 100 Monika Skrzydłowska (PWSZ w Chełmie) INDEKS FINANSISTY wrzesień / 40
20 ZADANIE 1 Wpłacasz do mbanku na lokatę kwotę 400zł. Oprocentowanie tej lokaty wynosi 4% w stosunku rocznym. Ile pieniędzy będziesz miał po upływie roku? a)560zł b)416zł c)4016zł d)16zł 4% 400zł = 4 400zł = 16zł zł + 16zł = 416zł Monika Skrzydłowska (PWSZ w Chełmie) INDEKS FINANSISTY wrzesień / 40
21 ZADANIE 1 Wpłacasz do mbanku na lokatę kwotę 400zł. Oprocentowanie tej lokaty wynosi 4% w stosunku rocznym. Ile pieniędzy będziesz miał po upływie roku? a)560zł b) 416 zł c)4016zł d)16zł 4% 400zł = 4 400zł = 16zł zł + 16zł = 416zł Monika Skrzydłowska (PWSZ w Chełmie) INDEKS FINANSISTY wrzesień / 40
22 Procent prosty W matematyce finansowej pojęcie procentu jest używane do określenia korzyści płynących z użytkowania kapitału. Procent (Odsetki) jest to dochód, który wierzyciel otrzymuje od dłużnika za wypożyczenie kapitału. Oznaczenia: I - odsetki (procent) (ang. interest) I = F P (1) F - kapitał końcowy (ang. future value), końcowa wartość inwestycji P - kapitał początkowy (ang. present value, principal), początkowa wartość inwestycji. Monika Skrzydłowska (PWSZ w Chełmie) INDEKS FINANSISTY wrzesień / 40
23 Stopa procentowa Stosunek procentu do początkowej wartości kapitału nazywamy stopą procentową i = I P (2) i - stopa procentowa (ang. interest rate), stopa zwrotu, stopa rentowności. Monika Skrzydłowska (PWSZ w Chełmie) INDEKS FINANSISTY wrzesień / 40
24 ZADANIE 2 Deponujemy w banku kwotę 200 zł, a po roku wycofujemy ją, otrzymując 240 zł. Jakie są odsetki, ile wynosi roczna stopa procentowa? Monika Skrzydłowska (PWSZ w Chełmie) INDEKS FINANSISTY wrzesień / 40
25 ZADANIE 2 Deponujemy w banku kwotę 200 zł, a po roku wycofujemy ją, otrzymując 240 zł. Jakie są odsetki, ile wynosi roczna stopa procentowa? Odsetki: Monika Skrzydłowska (PWSZ w Chełmie) INDEKS FINANSISTY wrzesień / 40
26 ZADANIE 2 Deponujemy w banku kwotę 200 zł, a po roku wycofujemy ją, otrzymując 240 zł. Jakie są odsetki, ile wynosi roczna stopa procentowa? Odsetki: I = F P = 240zł 200zł = 40zł. Monika Skrzydłowska (PWSZ w Chełmie) INDEKS FINANSISTY wrzesień / 40
27 ZADANIE 2 Deponujemy w banku kwotę 200 zł, a po roku wycofujemy ją, otrzymując 240 zł. Jakie są odsetki, ile wynosi roczna stopa procentowa? Odsetki: Roczna stopa procentowa: I = F P = 240zł 200zł = 40zł. Monika Skrzydłowska (PWSZ w Chełmie) INDEKS FINANSISTY wrzesień / 40
28 ZADANIE 2 Deponujemy w banku kwotę 200 zł, a po roku wycofujemy ją, otrzymując 240 zł. Jakie są odsetki, ile wynosi roczna stopa procentowa? Odsetki: Roczna stopa procentowa: I = F P = 240zł 200zł = 40zł. i = I P = 40 = 0, 2 = 20%. 200 Monika Skrzydłowska (PWSZ w Chełmie) INDEKS FINANSISTY wrzesień / 40
29 ZADANIE 3 Młode małżeństwo zaciąga u rodziców pożyczkę w wysokości 1000 zł na zakup lodówki. Po upływie pół roku zwraca pożyczkę, dodając do słów podziękowania butelkę whisky Johnnie Walker za 100 zł. Jaka jest końcowa wartość kapitału; jaka jest półroczna stopa procentowa? Monika Skrzydłowska (PWSZ w Chełmie) INDEKS FINANSISTY wrzesień / 40
30 ZADANIE 3 Młode małżeństwo zaciąga u rodziców pożyczkę w wysokości 1000 zł na zakup lodówki. Po upływie pół roku zwraca pożyczkę, dodając do słów podziękowania butelkę whisky Johnnie Walker za 100 zł. Jaka jest końcowa wartość kapitału; jaka jest półroczna stopa procentowa? Końcowa wartość kapitału: Monika Skrzydłowska (PWSZ w Chełmie) INDEKS FINANSISTY wrzesień / 40
31 ZADANIE 3 Młode małżeństwo zaciąga u rodziców pożyczkę w wysokości 1000 zł na zakup lodówki. Po upływie pół roku zwraca pożyczkę, dodając do słów podziękowania butelkę whisky Johnnie Walker za 100 zł. Jaka jest końcowa wartość kapitału; jaka jest półroczna stopa procentowa? Końcowa wartość kapitału: F = P + I = 1000zł + 100zł = 1100zł. Monika Skrzydłowska (PWSZ w Chełmie) INDEKS FINANSISTY wrzesień / 40
32 ZADANIE 3 Młode małżeństwo zaciąga u rodziców pożyczkę w wysokości 1000 zł na zakup lodówki. Po upływie pół roku zwraca pożyczkę, dodając do słów podziękowania butelkę whisky Johnnie Walker za 100 zł. Jaka jest końcowa wartość kapitału; jaka jest półroczna stopa procentowa? Końcowa wartość kapitału: Półroczna stopa procentowa: F = P + I = 1000zł + 100zł = 1100zł. Monika Skrzydłowska (PWSZ w Chełmie) INDEKS FINANSISTY wrzesień / 40
33 ZADANIE 3 Młode małżeństwo zaciąga u rodziców pożyczkę w wysokości 1000 zł na zakup lodówki. Po upływie pół roku zwraca pożyczkę, dodając do słów podziękowania butelkę whisky Johnnie Walker za 100 zł. Jaka jest końcowa wartość kapitału; jaka jest półroczna stopa procentowa? Końcowa wartość kapitału: Półroczna stopa procentowa: F = P + I = 1000zł + 100zł = 1100zł. i = I P = 100 = 0, 1 = 10% Monika Skrzydłowska (PWSZ w Chełmie) INDEKS FINANSISTY wrzesień / 40
34 ZADANIE 4 Rolnik wypożyczył od sąsiada traktor Ursus (wartość traktora 50 tys. zł), który był mu niezbędny do zebrania buraków cukrowych z pola. Po miesiącu rolnik zwrócił sąsiadowi traktor, dodając buraki cukrowe o wartości 1000 zł jako ekwiwalent za używanie traktora. Jaka jest miesięczna stopa amortyzacji? Monika Skrzydłowska (PWSZ w Chełmie) INDEKS FINANSISTY wrzesień / 40
35 ZADANIE 4 Rolnik wypożyczył od sąsiada traktor Ursus (wartość traktora 50 tys. zł), który był mu niezbędny do zebrania buraków cukrowych z pola. Po miesiącu rolnik zwrócił sąsiadowi traktor, dodając buraki cukrowe o wartości 1000 zł jako ekwiwalent za używanie traktora. Jaka jest miesięczna stopa amortyzacji? Miesięczna stopa amortyzacji (miesięczna stopa procentowa): Monika Skrzydłowska (PWSZ w Chełmie) INDEKS FINANSISTY wrzesień / 40
36 ZADANIE 4 Rolnik wypożyczył od sąsiada traktor Ursus (wartość traktora 50 tys. zł), który był mu niezbędny do zebrania buraków cukrowych z pola. Po miesiącu rolnik zwrócił sąsiadowi traktor, dodając buraki cukrowe o wartości 1000 zł jako ekwiwalent za używanie traktora. Jaka jest miesięczna stopa amortyzacji? Miesięczna stopa amortyzacji (miesięczna stopa procentowa): i = I P = 1000 = 0, 02 = 2% Monika Skrzydłowska (PWSZ w Chełmie) INDEKS FINANSISTY wrzesień / 40
37 Okres stopy procentowej Czas uwzględniony w stopie procentowej nazywamy okresem stopy procentowej Okres bazowy Okresem bazowym nazywamy umowną jednostkę czasu, względem której mierzymy upływ czasu. Bazowa stopa procentowa Stopę procentową, której okres jest równy okresowi bazowemu nazywamy bazową stopą procentową Monika Skrzydłowska (PWSZ w Chełmie) INDEKS FINANSISTY wrzesień / 40
38 Zasada Oprocentowania Prostego Podstawą obliczania procentu za kolejny n-ty okres bazowy jest kapitał początkowy. Procent należny za każdy okres bazowy jest równy iloczynowi bazowej stopy procentowej i kapitału początkowego. Przyjmując zasadę oprocentowania prostego, wyprowadzimy odpowiadające tym założeniom równania matematyczne. P - początkowa wartość kapitału (present value), i - bazowa stopa procentowa, n - czas liczony w okresach bazowych, F - przyszła wartość kapitału (future value) na końcu n-tego okresu (wartość kapitału początkowego po n-okresach). Monika Skrzydłowska (PWSZ w Chełmie) INDEKS FINANSISTY wrzesień / 40
39 Na końcu pierwszego okresu wartość kapitału początkowego P wynosi: Monika Skrzydłowska (PWSZ w Chełmie) INDEKS FINANSISTY wrzesień / 40
40 Na końcu pierwszego okresu wartość kapitału początkowego P wynosi: F 1 = P + ip = P(1 + i). Monika Skrzydłowska (PWSZ w Chełmie) INDEKS FINANSISTY wrzesień / 40
41 Na końcu pierwszego okresu wartość kapitału początkowego P wynosi: Na końcu drugiego okresu mamy: F 1 = P + ip = P(1 + i). Monika Skrzydłowska (PWSZ w Chełmie) INDEKS FINANSISTY wrzesień / 40
42 Na końcu pierwszego okresu wartość kapitału początkowego P wynosi: F 1 = P + ip = P(1 + i). Na końcu drugiego okresu mamy: F 2 = F 1 + ip = P(1 + i) + ip = P(1 + 2i). Monika Skrzydłowska (PWSZ w Chełmie) INDEKS FINANSISTY wrzesień / 40
43 Na końcu pierwszego okresu wartość kapitału początkowego P wynosi: F 1 = P + ip = P(1 + i). Na końcu drugiego okresu mamy: F 2 = F 1 + ip = P(1 + i) + ip = P(1 + 2i). a na końcu trzeciego okresu: Monika Skrzydłowska (PWSZ w Chełmie) INDEKS FINANSISTY wrzesień / 40
44 Na końcu pierwszego okresu wartość kapitału początkowego P wynosi: F 1 = P + ip = P(1 + i). Na końcu drugiego okresu mamy: F 2 = F 1 + ip = P(1 + i) + ip = P(1 + 2i). a na końcu trzeciego okresu: F 3 = F 2 + ip = P(1 + 2i) + ip = P(1 + 3i). Monika Skrzydłowska (PWSZ w Chełmie) INDEKS FINANSISTY wrzesień / 40
45 Prowadząc analogiczne rozumowanie dla kolejnych okresów bazowych, możemy uogólnić wyżej zapisane wzory, otrzymując dla, n-tego okresu bazowego równania: Monika Skrzydłowska (PWSZ w Chełmie) INDEKS FINANSISTY wrzesień / 40
46 Prowadząc analogiczne rozumowanie dla kolejnych okresów bazowych, możemy uogólnić wyżej zapisane wzory, otrzymując dla, n-tego okresu bazowego równania: F = F n+1 = F n + ip dla n = 0, 1, 2... Monika Skrzydłowska (PWSZ w Chełmie) INDEKS FINANSISTY wrzesień / 40
47 Prowadząc analogiczne rozumowanie dla kolejnych okresów bazowych, możemy uogólnić wyżej zapisane wzory, otrzymując dla, n-tego okresu bazowego równania: Zatem F = F n+1 = F n + ip dla n = 0, 1, 2... Monika Skrzydłowska (PWSZ w Chełmie) INDEKS FINANSISTY wrzesień / 40
48 otrzymujemy równanie F = (1 + ni) P dla n = 0, 1, 2... (3) Równanie (3) jest matematycznym modelem zasady oprocentowania prostego. Monika Skrzydłowska (PWSZ w Chełmie) INDEKS FINANSISTY wrzesień / 40
49 otrzymujemy równanie F = (1 + ni) P dla n = 0, 1, 2... (3) Równanie (3) jest matematycznym modelem zasady oprocentowania prostego. Zasada Oprocentowania Prostego. Wersja dyskretna. Końcowa wartość kapitału F jest n-tym wyrazem ciągu arytmetycznego o wyrazie początkowym P oraz różnicy i P. Monika Skrzydłowska (PWSZ w Chełmie) INDEKS FINANSISTY wrzesień / 40
50 Definicja Ciąg liczbowy (a n ) nazywamy ciągiem arytmetycznym, jeżeli istnieje taka liczba r (różnica), że każdy wyraz ciągu, oprócz pierwszego, powstaje przez dodanie tej liczby do wyrazu poprzedniego: a n+1 = a n + r, n N +. Monika Skrzydłowska (PWSZ w Chełmie) INDEKS FINANSISTY wrzesień / 40
51 Czynnik (1 + ni) występujący we wzorze (3) nazywamy czynnikiem oprocentowania prostego lub czynnikiem wartości przyszłej w oprocentowaniu prostym. Monika Skrzydłowska (PWSZ w Chełmie) INDEKS FINANSISTY wrzesień / 40
52 Czynnik (1 + ni) występujący we wzorze (3) nazywamy czynnikiem oprocentowania prostego lub czynnikiem wartości przyszłej w oprocentowaniu prostym. Jeżeli wartość procentu należnego za n początkowych okresów bazowych (n lat) oznaczymy symbolem I n, to, korzystając ze wzoru (3), otrzymujemy: Monika Skrzydłowska (PWSZ w Chełmie) INDEKS FINANSISTY wrzesień / 40
53 Czynnik (1 + ni) występujący we wzorze (3) nazywamy czynnikiem oprocentowania prostego lub czynnikiem wartości przyszłej w oprocentowaniu prostym. Jeżeli wartość procentu należnego za n początkowych okresów bazowych (n lat) oznaczymy symbolem I n, to, korzystając ze wzoru (3), otrzymujemy: I n = F P = P n i dla n = 0, 1, 2... (4) Monika Skrzydłowska (PWSZ w Chełmie) INDEKS FINANSISTY wrzesień / 40
54 ZADANIE 5 Jaką wartość osiągnie kapitał początkowy P = 200 zł po upływie 1, 2, 3, 4, 5, lat przy oprocentowaniu prostym oraz rocznej stopie procentowej i = 20%? Monika Skrzydłowska (PWSZ w Chełmie) INDEKS FINANSISTY wrzesień / 40
55 ZADANIE 5 Jaką wartość osiągnie kapitał początkowy P = 200 zł po upływie 1, 2, 3, 4, 5, lat przy oprocentowaniu prostym oraz rocznej stopie procentowej i = 20%? Na końcu pierwszego okresu wartość kapitału początkowego P wynosi: Monika Skrzydłowska (PWSZ w Chełmie) INDEKS FINANSISTY wrzesień / 40
56 ZADANIE 5 Jaką wartość osiągnie kapitał początkowy P = 200 zł po upływie 1, 2, 3, 4, 5, lat przy oprocentowaniu prostym oraz rocznej stopie procentowej i = 20%? Na końcu pierwszego okresu wartość kapitału początkowego P wynosi: F 1 = P(1 + i) = 200zł 1, 2 = 240zł. Monika Skrzydłowska (PWSZ w Chełmie) INDEKS FINANSISTY wrzesień / 40
57 ZADANIE 5 Jaką wartość osiągnie kapitał początkowy P = 200 zł po upływie 1, 2, 3, 4, 5, lat przy oprocentowaniu prostym oraz rocznej stopie procentowej i = 20%? Na końcu pierwszego okresu wartość kapitału początkowego P wynosi: Na końcu drugiego okresu mamy: F 1 = P(1 + i) = 200zł 1, 2 = 240zł. Monika Skrzydłowska (PWSZ w Chełmie) INDEKS FINANSISTY wrzesień / 40
58 ZADANIE 5 Jaką wartość osiągnie kapitał początkowy P = 200 zł po upływie 1, 2, 3, 4, 5, lat przy oprocentowaniu prostym oraz rocznej stopie procentowej i = 20%? Na końcu pierwszego okresu wartość kapitału początkowego P wynosi: Na końcu drugiego okresu mamy: F 1 = P(1 + i) = 200zł 1, 2 = 240zł. F 2 = P(1 + 2i) = 200zł 1, 4 = 280zł. Monika Skrzydłowska (PWSZ w Chełmie) INDEKS FINANSISTY wrzesień / 40
59 ZADANIE 5 Jaką wartość osiągnie kapitał początkowy P = 200 zł po upływie 1, 2, 3, 4, 5, lat przy oprocentowaniu prostym oraz rocznej stopie procentowej i = 20%? Na końcu pierwszego okresu wartość kapitału początkowego P wynosi: Na końcu drugiego okresu mamy: Na końcu trzeciego okresu: F 1 = P(1 + i) = 200zł 1, 2 = 240zł. F 2 = P(1 + 2i) = 200zł 1, 4 = 280zł. Monika Skrzydłowska (PWSZ w Chełmie) INDEKS FINANSISTY wrzesień / 40
60 ZADANIE 5 Jaką wartość osiągnie kapitał początkowy P = 200 zł po upływie 1, 2, 3, 4, 5, lat przy oprocentowaniu prostym oraz rocznej stopie procentowej i = 20%? Na końcu pierwszego okresu wartość kapitału początkowego P wynosi: Na końcu drugiego okresu mamy: Na końcu trzeciego okresu: F 1 = P(1 + i) = 200zł 1, 2 = 240zł. F 2 = P(1 + 2i) = 200zł 1, 4 = 280zł. F 3 = P(1 + 3i) = 200zł 1, 6 = 320zł. Monika Skrzydłowska (PWSZ w Chełmie) INDEKS FINANSISTY wrzesień / 40
61 ZADANIE 5 Jaką wartość osiągnie kapitał początkowy P = 200 zł po upływie 1, 2, 3, 4, 5, lat przy oprocentowaniu prostym oraz rocznej stopie procentowej i = 20%? Na końcu pierwszego okresu wartość kapitału początkowego P wynosi: Na końcu drugiego okresu mamy: Na końcu trzeciego okresu: F 1 = P(1 + i) = 200zł 1, 2 = 240zł. F 2 = P(1 + 2i) = 200zł 1, 4 = 280zł. F 3 = P(1 + 3i) = 200zł 1, 6 = 320zł. Na końcu czwartego okresu mamy: Monika Skrzydłowska (PWSZ w Chełmie) INDEKS FINANSISTY wrzesień / 40
62 ZADANIE 5 Jaką wartość osiągnie kapitał początkowy P = 200 zł po upływie 1, 2, 3, 4, 5, lat przy oprocentowaniu prostym oraz rocznej stopie procentowej i = 20%? Na końcu pierwszego okresu wartość kapitału początkowego P wynosi: Na końcu drugiego okresu mamy: Na końcu trzeciego okresu: F 1 = P(1 + i) = 200zł 1, 2 = 240zł. F 2 = P(1 + 2i) = 200zł 1, 4 = 280zł. F 3 = P(1 + 3i) = 200zł 1, 6 = 320zł. Na końcu czwartego okresu mamy: F 4 = P(1 + 4i) = 200zł 1, 8 = 360zł. Monika Skrzydłowska (PWSZ w Chełmie) INDEKS FINANSISTY wrzesień / 40
63 ZADANIE 5 Jaką wartość osiągnie kapitał początkowy P = 200 zł po upływie 1, 2, 3, 4, 5, lat przy oprocentowaniu prostym oraz rocznej stopie procentowej i = 20%? Na końcu pierwszego okresu wartość kapitału początkowego P wynosi: Na końcu drugiego okresu mamy: Na końcu trzeciego okresu: F 1 = P(1 + i) = 200zł 1, 2 = 240zł. F 2 = P(1 + 2i) = 200zł 1, 4 = 280zł. F 3 = P(1 + 3i) = 200zł 1, 6 = 320zł. Na końcu czwartego okresu mamy: Na końcu piątego okresu: F 4 = P(1 + 4i) = 200zł 1, 8 = 360zł. Monika Skrzydłowska (PWSZ w Chełmie) INDEKS FINANSISTY wrzesień / 40
64 ZADANIE 5 Jaką wartość osiągnie kapitał początkowy P = 200 zł po upływie 1, 2, 3, 4, 5, lat przy oprocentowaniu prostym oraz rocznej stopie procentowej i = 20%? Na końcu pierwszego okresu wartość kapitału początkowego P wynosi: Na końcu drugiego okresu mamy: Na końcu trzeciego okresu: F 1 = P(1 + i) = 200zł 1, 2 = 240zł. F 2 = P(1 + 2i) = 200zł 1, 4 = 280zł. F 3 = P(1 + 3i) = 200zł 1, 6 = 320zł. Na końcu czwartego okresu mamy: Na końcu piątego okresu: F 4 = P(1 + 4i) = 200zł 1, 8 = 360zł. F 5 = P(1 + 5i) = 200zł 2 = 400zł. Monika Skrzydłowska (PWSZ w Chełmie) INDEKS FINANSISTY wrzesień / 40
65 Niech t R + :=< 0, + ), wtedy: F (t) = P(1 + it) dla t R +, (5) gdzie: P- początkowa wartość kapitału, i - bazowa stopa procentowa, t - czas liczony w okresach bazowych, F (t) - przyszła wartość kapitału w momencie t R +. Zasada Oprocentowania Prostego. Wersja ciągła. Końcowa wartość kapitału F (t) jest funkcją liniową czasu oprocentowania o wyrazie wolnym P oraz współczynniku kierunkowym ip równym wartości procentu za jeden okres bazowy. Monika Skrzydłowska (PWSZ w Chełmie) INDEKS FINANSISTY wrzesień / 40
66 Kapitalizacja Kapitalizacja Dopisywanie procentu (odsetek) do pożyczonego (zainwestowanego) kapitału nazywamy kapitalizacją lub konwersją procentu (odsetek) Monika Skrzydłowska (PWSZ w Chełmie) INDEKS FINANSISTY wrzesień / 40
67 Kapitalizacja Kapitalizacja Dopisywanie procentu (odsetek) do pożyczonego (zainwestowanego) kapitału nazywamy kapitalizacją lub konwersją procentu (odsetek) Okres kapitalizacji Czas po którym procent (odsetki) zostaje dopisany do pożyczonego kapitału nazywamy okresem kapitalizacji Monika Skrzydłowska (PWSZ w Chełmie) INDEKS FINANSISTY wrzesień / 40
68 Kapitalizacja Kapitalizacja Dopisywanie procentu (odsetek) do pożyczonego (zainwestowanego) kapitału nazywamy kapitalizacją lub konwersją procentu (odsetek) Okres kapitalizacji Czas po którym procent (odsetki) zostaje dopisany do pożyczonego kapitału nazywamy okresem kapitalizacji Kapitalizacja zgodna Okres stopy procentowej jest równy okresowi kapitalizacji Monika Skrzydłowska (PWSZ w Chełmie) INDEKS FINANSISTY wrzesień / 40
69 Kapitalizacja Kapitalizacja Dopisywanie procentu (odsetek) do pożyczonego (zainwestowanego) kapitału nazywamy kapitalizacją lub konwersją procentu (odsetek) Okres kapitalizacji Czas po którym procent (odsetki) zostaje dopisany do pożyczonego kapitału nazywamy okresem kapitalizacji Kapitalizacja zgodna Okres stopy procentowej jest równy okresowi kapitalizacji Kapitalizacja niezgodna Okres stopy procentowej nie jest równy okresowi kapitalizacji Monika Skrzydłowska (PWSZ w Chełmie) INDEKS FINANSISTY wrzesień / 40
70 Zasada Oprocentowania Złożonego, kapitalizacja zgodna Podstawą obliczania procentu za kolejny n-ty okres bazowy jest wartość kapitału z okresu poprzedniego. Procent należny za n-ty okres bazowy jest równy iloczynowi bazowej stopy procentowej i wartości kapitału z okresu poprzedniego. Przyjmując zasadę oprocentowania złożonego, wyprowadzimy (podobnie jak w przypadku oprocentowania prostego) odpowiadające tym założeniom równania matematyczne. P - początkowa wartość kapitału (present value), i - bazowa stopa procentowa, n - czas liczony w okresach bazowych, F - przyszła wartość kapitału (future value) na końcu n-tego okresu (wartość kapitału początkowego po n-okresach). Monika Skrzydłowska (PWSZ w Chełmie) INDEKS FINANSISTY wrzesień / 40
71 Na końcu pierwszego okresu kapitalizacji wartość kapitału początkowego P wynosi: Monika Skrzydłowska (PWSZ w Chełmie) INDEKS FINANSISTY wrzesień / 40
72 Na końcu pierwszego okresu kapitalizacji wartość kapitału początkowego P wynosi: F 1 = P + ip = P(1 + i). Monika Skrzydłowska (PWSZ w Chełmie) INDEKS FINANSISTY wrzesień / 40
73 Na końcu pierwszego okresu kapitalizacji wartość kapitału początkowego P wynosi: F 1 = P + ip = P(1 + i). Na końcu drugiego okresu kapitalizacji mamy: Monika Skrzydłowska (PWSZ w Chełmie) INDEKS FINANSISTY wrzesień / 40
74 Na końcu pierwszego okresu kapitalizacji wartość kapitału początkowego P wynosi: F 1 = P + ip = P(1 + i). Na końcu drugiego okresu kapitalizacji mamy: F 2 = F 1 + if 1 = P(1 + i) + ip(1 + i) = P(1 + i)(1 + i) = P(1 + i) 2. Monika Skrzydłowska (PWSZ w Chełmie) INDEKS FINANSISTY wrzesień / 40
75 Na końcu pierwszego okresu kapitalizacji wartość kapitału początkowego P wynosi: F 1 = P + ip = P(1 + i). Na końcu drugiego okresu kapitalizacji mamy: F 2 = F 1 + if 1 = P(1 + i) + ip(1 + i) = P(1 + i)(1 + i) = P(1 + i) 2. Na końcu trzeciego okresu: Monika Skrzydłowska (PWSZ w Chełmie) INDEKS FINANSISTY wrzesień / 40
76 Na końcu pierwszego okresu kapitalizacji wartość kapitału początkowego P wynosi: F 1 = P + ip = P(1 + i). Na końcu drugiego okresu kapitalizacji mamy: F 2 = F 1 + if 1 = P(1 + i) + ip(1 + i) = P(1 + i)(1 + i) = P(1 + i) 2. Na końcu trzeciego okresu: F 3 = F 2 + if 2 = P(1 + i) 2 + ip(1 + i) 2 = P(1 + i) 2 (1 + i) = P(1 + i) 3. Monika Skrzydłowska (PWSZ w Chełmie) INDEKS FINANSISTY wrzesień / 40
77 Prowadząc analogiczne rozumowanie dla kolejnych okresów bazowych, możemy uogólnić wyżej zapisane wzory otrzymując dla n-tego okresu bazowego równania: Monika Skrzydłowska (PWSZ w Chełmie) INDEKS FINANSISTY wrzesień / 40
78 Prowadząc analogiczne rozumowanie dla kolejnych okresów bazowych, możemy uogólnić wyżej zapisane wzory otrzymując dla n-tego okresu bazowego równania: F =F n = F n 1 + if n 1 = P(1 + i) n 1 + ip(1 + i) n 1 Monika Skrzydłowska (PWSZ w Chełmie) INDEKS FINANSISTY wrzesień / 40
79 Prowadząc analogiczne rozumowanie dla kolejnych okresów bazowych, możemy uogólnić wyżej zapisane wzory otrzymując dla n-tego okresu bazowego równania: F =F n = F n 1 + if n 1 = P(1 + i) n 1 + ip(1 + i) n 1 =P(1 + i) n 1 (1 + i) Monika Skrzydłowska (PWSZ w Chełmie) INDEKS FINANSISTY wrzesień / 40
80 Prowadząc analogiczne rozumowanie dla kolejnych okresów bazowych, możemy uogólnić wyżej zapisane wzory otrzymując dla n-tego okresu bazowego równania: F =F n = F n 1 + if n 1 = P(1 + i) n 1 + ip(1 + i) n 1 =P(1 + i) n 1 (1 + i) =P(1 + i) n dla n = 1, 2... Monika Skrzydłowska (PWSZ w Chełmie) INDEKS FINANSISTY wrzesień / 40
81 Prowadząc analogiczne rozumowanie dla kolejnych okresów bazowych, możemy uogólnić wyżej zapisane wzory otrzymując dla n-tego okresu bazowego równania: Zatem F =F n = F n 1 + if n 1 = P(1 + i) n 1 + ip(1 + i) n 1 =P(1 + i) n 1 (1 + i) =P(1 + i) n dla n = 1, 2... Monika Skrzydłowska (PWSZ w Chełmie) INDEKS FINANSISTY wrzesień / 40
82 otrzymujemy równanie F = P (1 + i) n dla n = 0, 1, 2... (6) Równanie (6) jest matematycznym modelem zasady oprocentowania złożonego. Monika Skrzydłowska (PWSZ w Chełmie) INDEKS FINANSISTY wrzesień / 40
83 otrzymujemy równanie F = P (1 + i) n dla n = 0, 1, 2... (6) Równanie (6) jest matematycznym modelem zasady oprocentowania złożonego. Zasada Oprocentowania Złożonego. Wersja dyskretna. Końcowa wartość kapitału F jest n-tym wyrazem ciągu geometrycznego o wyrazie początkowym P oraz ilorazie (1 + i). Monika Skrzydłowska (PWSZ w Chełmie) INDEKS FINANSISTY wrzesień / 40
84 Definicja Ciąg liczbowy (a n ) nazywamy ciągiem geometrycznym, jeżeli istnieje taka liczba q (iloraz), że każdy wyraz ciągu, oprócz pierwszego, powstaje przez pomnożenie wyrazu poprzedniego przez tę liczbę: a n+1 = a n q, n N + {0}. Monika Skrzydłowska (PWSZ w Chełmie) INDEKS FINANSISTY wrzesień / 40
85 Jeżeli wartość procentu należnego za n początkowych okresów bazowych (n lat) oznaczymy symbolem I n, to, korzystając ze wzoru (6), otrzymujemy: Monika Skrzydłowska (PWSZ w Chełmie) INDEKS FINANSISTY wrzesień / 40
86 Jeżeli wartość procentu należnego za n początkowych okresów bazowych (n lat) oznaczymy symbolem I n, to, korzystając ze wzoru (6), otrzymujemy: I n = P [(1 + i) n 1] dla n = 0, 1, 2... (7) Monika Skrzydłowska (PWSZ w Chełmie) INDEKS FINANSISTY wrzesień / 40
87 ZADANIE 6 Jaką wartość osiągnie kapitał początkowy P = 200 zł po upływie 1, 2, 3, 4, 5, lat przy oprocentowaniu złożonym i kapitalizacji rocznej oraz rocznej stopie procentowej i = 20%? Monika Skrzydłowska (PWSZ w Chełmie) INDEKS FINANSISTY wrzesień / 40
88 ZADANIE 6 Jaką wartość osiągnie kapitał początkowy P = 200 zł po upływie 1, 2, 3, 4, 5, lat przy oprocentowaniu złożonym i kapitalizacji rocznej oraz rocznej stopie procentowej i = 20%? Na końcu pierwszego okresu wartość kapitału początkowego P wynosi: Monika Skrzydłowska (PWSZ w Chełmie) INDEKS FINANSISTY wrzesień / 40
89 ZADANIE 6 Jaką wartość osiągnie kapitał początkowy P = 200 zł po upływie 1, 2, 3, 4, 5, lat przy oprocentowaniu złożonym i kapitalizacji rocznej oraz rocznej stopie procentowej i = 20%? Na końcu pierwszego okresu wartość kapitału początkowego P wynosi: F 1 = P(1 + i) = 200zł 1, 2 = 240zł. Monika Skrzydłowska (PWSZ w Chełmie) INDEKS FINANSISTY wrzesień / 40
90 ZADANIE 6 Jaką wartość osiągnie kapitał początkowy P = 200 zł po upływie 1, 2, 3, 4, 5, lat przy oprocentowaniu złożonym i kapitalizacji rocznej oraz rocznej stopie procentowej i = 20%? Na końcu pierwszego okresu wartość kapitału początkowego P wynosi: Na końcu drugiego okresu mamy: F 1 = P(1 + i) = 200zł 1, 2 = 240zł. Monika Skrzydłowska (PWSZ w Chełmie) INDEKS FINANSISTY wrzesień / 40
91 ZADANIE 6 Jaką wartość osiągnie kapitał początkowy P = 200 zł po upływie 1, 2, 3, 4, 5, lat przy oprocentowaniu złożonym i kapitalizacji rocznej oraz rocznej stopie procentowej i = 20%? Na końcu pierwszego okresu wartość kapitału początkowego P wynosi: Na końcu drugiego okresu mamy: F 1 = P(1 + i) = 200zł 1, 2 = 240zł. F 2 = P(1 + i) 2 = 200zł 1, 44 = 288zł. Monika Skrzydłowska (PWSZ w Chełmie) INDEKS FINANSISTY wrzesień / 40
92 ZADANIE 6 Jaką wartość osiągnie kapitał początkowy P = 200 zł po upływie 1, 2, 3, 4, 5, lat przy oprocentowaniu złożonym i kapitalizacji rocznej oraz rocznej stopie procentowej i = 20%? Na końcu pierwszego okresu wartość kapitału początkowego P wynosi: Na końcu drugiego okresu mamy: Na końcu trzeciego okresu: F 1 = P(1 + i) = 200zł 1, 2 = 240zł. F 2 = P(1 + i) 2 = 200zł 1, 44 = 288zł. Monika Skrzydłowska (PWSZ w Chełmie) INDEKS FINANSISTY wrzesień / 40
93 ZADANIE 6 Jaką wartość osiągnie kapitał początkowy P = 200 zł po upływie 1, 2, 3, 4, 5, lat przy oprocentowaniu złożonym i kapitalizacji rocznej oraz rocznej stopie procentowej i = 20%? Na końcu pierwszego okresu wartość kapitału początkowego P wynosi: Na końcu drugiego okresu mamy: Na końcu trzeciego okresu: F 1 = P(1 + i) = 200zł 1, 2 = 240zł. F 2 = P(1 + i) 2 = 200zł 1, 44 = 288zł. F 3 = P(1 + i) 3 = 200zł 1, 728 = 345, 6zł. Monika Skrzydłowska (PWSZ w Chełmie) INDEKS FINANSISTY wrzesień / 40
94 ZADANIE 6 Jaką wartość osiągnie kapitał początkowy P = 200 zł po upływie 1, 2, 3, 4, 5, lat przy oprocentowaniu złożonym i kapitalizacji rocznej oraz rocznej stopie procentowej i = 20%? Na końcu pierwszego okresu wartość kapitału początkowego P wynosi: Na końcu drugiego okresu mamy: Na końcu trzeciego okresu: F 1 = P(1 + i) = 200zł 1, 2 = 240zł. F 2 = P(1 + i) 2 = 200zł 1, 44 = 288zł. F 3 = P(1 + i) 3 = 200zł 1, 728 = 345, 6zł. Na końcu czwartego okresu mamy: Monika Skrzydłowska (PWSZ w Chełmie) INDEKS FINANSISTY wrzesień / 40
95 ZADANIE 6 Jaką wartość osiągnie kapitał początkowy P = 200 zł po upływie 1, 2, 3, 4, 5, lat przy oprocentowaniu złożonym i kapitalizacji rocznej oraz rocznej stopie procentowej i = 20%? Na końcu pierwszego okresu wartość kapitału początkowego P wynosi: Na końcu drugiego okresu mamy: Na końcu trzeciego okresu: F 1 = P(1 + i) = 200zł 1, 2 = 240zł. F 2 = P(1 + i) 2 = 200zł 1, 44 = 288zł. F 3 = P(1 + i) 3 = 200zł 1, 728 = 345, 6zł. Na końcu czwartego okresu mamy: F 4 = P(1 + i) 4 = 200zł 2, 0736 = 414, 72zł. Monika Skrzydłowska (PWSZ w Chełmie) INDEKS FINANSISTY wrzesień / 40
96 ZADANIE 6 Jaką wartość osiągnie kapitał początkowy P = 200 zł po upływie 1, 2, 3, 4, 5, lat przy oprocentowaniu złożonym i kapitalizacji rocznej oraz rocznej stopie procentowej i = 20%? Na końcu pierwszego okresu wartość kapitału początkowego P wynosi: Na końcu drugiego okresu mamy: Na końcu trzeciego okresu: F 1 = P(1 + i) = 200zł 1, 2 = 240zł. F 2 = P(1 + i) 2 = 200zł 1, 44 = 288zł. F 3 = P(1 + i) 3 = 200zł 1, 728 = 345, 6zł. Na końcu czwartego okresu mamy: Na końcu piątego okresu: F 4 = P(1 + i) 4 = 200zł 2, 0736 = 414, 72zł. Monika Skrzydłowska (PWSZ w Chełmie) INDEKS FINANSISTY wrzesień / 40
97 ZADANIE 6 Jaką wartość osiągnie kapitał początkowy P = 200 zł po upływie 1, 2, 3, 4, 5, lat przy oprocentowaniu złożonym i kapitalizacji rocznej oraz rocznej stopie procentowej i = 20%? Na końcu pierwszego okresu wartość kapitału początkowego P wynosi: Na końcu drugiego okresu mamy: Na końcu trzeciego okresu: F 1 = P(1 + i) = 200zł 1, 2 = 240zł. F 2 = P(1 + i) 2 = 200zł 1, 44 = 288zł. F 3 = P(1 + i) 3 = 200zł 1, 728 = 345, 6zł. Na końcu czwartego okresu mamy: Na końcu piątego okresu: F 4 = P(1 + i) 4 = 200zł 2, 0736 = 414, 72zł. F 5 = P(1 + i) 5 = 200zł 2, = 497, 664zł. Monika Skrzydłowska (PWSZ w Chełmie) INDEKS FINANSISTY wrzesień / 40
98 Niech t R + :=< 0, + ), wtedy: F (t) = P(1 + i) t dla t R +, (8) gdzie: P- początkowa wartość kapitału, i - bazowa stopa procentowa, t - czas liczony w okresach bazowych, F (t) - przyszła wartość kapitału w momencie t R +. Zasada Oprocentowania Złożonego. Wersja ciągła. Końcowa wartość kapitału F (t) jest iloczynem początkowej wartości kapitału P oraz funkcji wykładniczej czasu oprocentowania o podstawie (1 + i) i wykładniku t. Monika Skrzydłowska (PWSZ w Chełmie) INDEKS FINANSISTY wrzesień / 40
99 Porównanie oprocentowania prostego i złożonego Monika Skrzydłowska (PWSZ w Chełmie) INDEKS FINANSISTY wrzesień / 40
100 Dla ułamkowego czasu oprocentowania, t (0, 1), procent złożony jest mniejszy od procentu prostego: (1 + i) t < (1 + it) dla t (0, 1). Monika Skrzydłowska (PWSZ w Chełmie) INDEKS FINANSISTY wrzesień / 40
101 Dla ułamkowego czasu oprocentowania, t (0, 1), procent złożony jest mniejszy od procentu prostego: (1 + i) t < (1 + it) dla t (0, 1). Dla czasu oprocentowania równego 1, t = 1, procent złożony jest równy procentowi prostemu: (1 + i) t = (1 + it) dla t = 1. Monika Skrzydłowska (PWSZ w Chełmie) INDEKS FINANSISTY wrzesień / 40
102 Dla ułamkowego czasu oprocentowania, t (0, 1), procent złożony jest mniejszy od procentu prostego: (1 + i) t < (1 + it) dla t (0, 1). Dla czasu oprocentowania równego 1, t = 1, procent złożony jest równy procentowi prostemu: (1 + i) t = (1 + it) dla t = 1. Dla czasu oprocentowania większego od 1, t (1, + ), procent złożony jest większy od procentu prostego: (1 + i) t > (1 + it) dla t (1, + ). Monika Skrzydłowska (PWSZ w Chełmie) INDEKS FINANSISTY wrzesień / 40
103 Kapitalizacja w podokresach Okres oprocentowania dzielimy na m 1 równych podokresów W matematyce finansowej przyjmuje się dla rocznego okresu stopy procentowej standardowe podokresy kapitalizacji: Monika Skrzydłowska (PWSZ w Chełmie) INDEKS FINANSISTY wrzesień / 40
104 Kapitalizacja w podokresach Okres oprocentowania dzielimy na m 1 równych podokresów W matematyce finansowej przyjmuje się dla rocznego okresu stopy procentowej standardowe podokresy kapitalizacji: kapitalizacja roczna (m = 1) Monika Skrzydłowska (PWSZ w Chełmie) INDEKS FINANSISTY wrzesień / 40
105 Kapitalizacja w podokresach Okres oprocentowania dzielimy na m 1 równych podokresów W matematyce finansowej przyjmuje się dla rocznego okresu stopy procentowej standardowe podokresy kapitalizacji: kapitalizacja roczna (m = 1) kapitalizacja półroczna (m = 2) Monika Skrzydłowska (PWSZ w Chełmie) INDEKS FINANSISTY wrzesień / 40
106 Kapitalizacja w podokresach Okres oprocentowania dzielimy na m 1 równych podokresów W matematyce finansowej przyjmuje się dla rocznego okresu stopy procentowej standardowe podokresy kapitalizacji: kapitalizacja roczna (m = 1) kapitalizacja półroczna (m = 2) kapitalizacja kwartalna (m = 4) Monika Skrzydłowska (PWSZ w Chełmie) INDEKS FINANSISTY wrzesień / 40
107 Kapitalizacja w podokresach Okres oprocentowania dzielimy na m 1 równych podokresów W matematyce finansowej przyjmuje się dla rocznego okresu stopy procentowej standardowe podokresy kapitalizacji: kapitalizacja roczna (m = 1) kapitalizacja półroczna (m = 2) kapitalizacja kwartalna (m = 4) kapitalizacja miesięczna (m = 12) Monika Skrzydłowska (PWSZ w Chełmie) INDEKS FINANSISTY wrzesień / 40
108 Kapitalizacja w podokresach Okres oprocentowania dzielimy na m 1 równych podokresów W matematyce finansowej przyjmuje się dla rocznego okresu stopy procentowej standardowe podokresy kapitalizacji: kapitalizacja roczna (m = 1) kapitalizacja półroczna (m = 2) kapitalizacja kwartalna (m = 4) kapitalizacja miesięczna (m = 12) kapitalizacja tygodniowa (m = 52) Monika Skrzydłowska (PWSZ w Chełmie) INDEKS FINANSISTY wrzesień / 40
109 Kapitalizacja w podokresach Okres oprocentowania dzielimy na m 1 równych podokresów W matematyce finansowej przyjmuje się dla rocznego okresu stopy procentowej standardowe podokresy kapitalizacji: kapitalizacja roczna (m = 1) kapitalizacja półroczna (m = 2) kapitalizacja kwartalna (m = 4) kapitalizacja miesięczna (m = 12) kapitalizacja tygodniowa (m = 52) kapitalizacja dobowa (m = 360 lub m = 365) Monika Skrzydłowska (PWSZ w Chełmie) INDEKS FINANSISTY wrzesień / 40
110 W matematyce finansowej przyjmuje się dla rocznego okresu stopy procentowej standardowe podokresy kapitalizacji: kapitalizacja roczna (m = 1) kapitalizacja półroczna (m = 2) kapitalizacja kwartalna (m = 4) kapitalizacja miesięczna (m = 12) kapitalizacja tygodniowa (m = 52) kapitalizacja dobowa (m = 360 lub m = 365) kapitalizacja godzinna (m = 8640 lub m = 8760) Monika Skrzydłowska (PWSZ w Chełmie) INDEKS FINANSISTY wrzesień / 40 Kapitalizacja w podokresach Okres oprocentowania dzielimy na m 1 równych podokresów
111 W przypadku kapitalizacji niezgodnej posługujemy się pojęciem nominalnej stopy procentowej. Monika Skrzydłowska (PWSZ w Chełmie) INDEKS FINANSISTY wrzesień / 40
112 W przypadku kapitalizacji niezgodnej posługujemy się pojęciem nominalnej stopy procentowej. Stopę procentową nazywamy nominalną, jeżeli okres stopy procentowej jest różny od okresu kapitalizacji Monika Skrzydłowska (PWSZ w Chełmie) INDEKS FINANSISTY wrzesień / 40
113 W przypadku kapitalizacji niezgodnej posługujemy się pojęciem nominalnej stopy procentowej. Stopę procentową nazywamy nominalną, jeżeli okres stopy procentowej jest różny od okresu kapitalizacji Nominalną stopę procentową oznaczamy symbolem i (m), gdzie m 1 oznacza liczbę kapitalizacji w jednym okresie stopy procentowej. Monika Skrzydłowska (PWSZ w Chełmie) INDEKS FINANSISTY wrzesień / 40
114 W przypadku kapitalizacji niezgodnej posługujemy się pojęciem nominalnej stopy procentowej. Stopę procentową nazywamy nominalną, jeżeli okres stopy procentowej jest różny od okresu kapitalizacji Nominalną stopę procentową oznaczamy symbolem i (m), gdzie m 1 oznacza liczbę kapitalizacji w jednym okresie stopy procentowej. Jeżeli i (m) jest nominalną stopą procentową, to stopę procentową i (m) m nazywamy względną (proporcjonalną) stopą procentową kapitalizacji w podokresach Monika Skrzydłowska (PWSZ w Chełmie) INDEKS FINANSISTY wrzesień / 40
115 W przypadku kapitalizacji niezgodnej posługujemy się pojęciem nominalnej stopy procentowej. Stopę procentową nazywamy nominalną, jeżeli okres stopy procentowej jest różny od okresu kapitalizacji Nominalną stopę procentową oznaczamy symbolem i (m), gdzie m 1 oznacza liczbę kapitalizacji w jednym okresie stopy procentowej. Jeżeli i (m) jest nominalną stopą procentową, to stopę procentową i (m) m nazywamy względną (proporcjonalną) stopą procentową kapitalizacji w podokresach Okres względnej (proporcjonalnej) stopy procentowej jest równy okresowi kapitalizacji Monika Skrzydłowska (PWSZ w Chełmie) INDEKS FINANSISTY wrzesień / 40
116 WAŻNY WZÓR!!! Wartość przyszła kapitału początkowego przy kapitalizacji niezgodnej wyraża się wzorem: F (t) = P ( 1 + i (m) m ) m t, dla t R +. (9) Monika Skrzydłowska (PWSZ w Chełmie) INDEKS FINANSISTY wrzesień / 40
117 ZADANIE 7 Wyznaczyć przyszłą wartość 100 zł po pięciu latach przy a) oprocentowaniu prostym, b) oprocentowaniu złożonym i przy nominalnej stopie procentowej i = 20% dla rocznych, półrocznych, kwartalnych i miesięcznych okresów kapitalizacji. Monika Skrzydłowska (PWSZ w Chełmie) INDEKS FINANSISTY wrzesień / 40
118 Stopa efektywna Stopą efektywną nazywa się stopę oprocentowania rocznego równoważną danej stopie oprocentowania składanego. Stopa efektywna oznacza o ile procent zwiększa się wartość kapitału w ciągu jednego roku F (t) = F (t) ( (1 + i ef ) t = 1 + i (m) m ( i ef = 1 + i (m) ) m 1 m ) m t m - liczba kapitalizacji w okresie stopy procentowej. Monika Skrzydłowska (PWSZ w Chełmie) INDEKS FINANSISTY wrzesień / 40
119 ZADANIE 8 Wyznaczyć efektywność oprocentowania dla danych z zadania 7. Monika Skrzydłowska (PWSZ w Chełmie) INDEKS FINANSISTY wrzesień / 40
120 Bibliografia Maria Podgórska, Joanna Klimkowska Matematyka Finansowa, PWN, 2005 Marian Matłoka, Jakub Światłowski Matematyka Finansowa i funkcje finansowe arkusza kalkulacyjnego, Wyższa Szkoła Bankowa, 2004 Mieczysław Sobczyk Kalkulacje Finansowe, Placet, 2007 Portal Wikipedia Portal Wikipedia Portal Wikipedia Monika Skrzydłowska (PWSZ w Chełmie) INDEKS FINANSISTY wrzesień / 40
121 DZIĘKUJEMY ZA UWAGĘ Monika Skrzydłowska (PWSZ w Chełmie) INDEKS FINANSISTY wrzesień / 40
INDEKS FINANSISTY. Monika Skrzydłowska. PWSZ w Chełmie. październik Projekt dofinansowała Fundacja mbanku
INDEKS FINANSISTY Monika Skrzydłowska PWSZ w Chełmie październik 2017 Projekt dofinansowała Fundacja mbanku Monika Skrzydłowska (PWSZ w Chełmie) INDEKS FINANSISTY październik 2017 1 / 19 Spis treści 1
Matematyka bankowa 1 1 wykład
Matematyka bankowa 1 1 wykład Dorota Klim Department of Nonlinear Analysis, Faculty of Mathematics and Computer Science, University of Łódź, Banacha 22, 90-238 Łódź, Poland E-mail address: klimdr@math.uni.ldz.pl
Czym jest ciąg? a 1, a 2, lub. (a n ), n = 1,2,
Ciągi liczbowe Czym jest ciąg? Ciąg liczbowy, to funkcja o argumentach naturalnych, której wartościami są liczby rzeczywiste. Wartość ciągu dla liczby naturalnej n oznaczamy symbolem a n i nazywamy n-tym
Dariusz Wardowski Katedra Analizy Nieliniowej. Bankowość i metody statystyczne w biznesie - zadania i przykłady
Wydział Matematyki Uniwersytetu Łódzkiego w Łodzi Dariusz Wardowski Katedra Analizy Nieliniowej Bankowość i metody statystyczne w biznesie - zadania i przykłady Łódź 2006 Rozdział 1 Oprocentowanie lokaty
Zajęcia 1. Pojęcia: - Kapitalizacja powiększenie kapitału o odsetki, które zostały przez ten kapitał wygenerowane
Zajęcia 1 Pojęcia: - Procent setna część całości; w matematyce finansowej korzyści płynące z użytkowania kapitału (pojęcie używane zamiennie z terminem: odsetki) - Kapitalizacja powiększenie kapitału o
INDEKS FINANSISTY. Monika Skrzydłowska. PWSZ w Chełmie. październik Projekt dofinansowała Fundacja mbanku
INDEKS FINANSISTY Monika Skrzydłowska PWSZ w Chełmie październik 2017 Projekt dofinansowała Fundacja mbanku Monika Skrzydłowska (PWSZ w Chełmie) INDEKS FINANSISTY październik 2017 1 / 23 Spis treści 1
Arytmetyka. Działania na liczbach, potęga, pierwiastek, logarytm
Arytmetyka Działania na liczbach, potęga, pierwiastek, logarytm Zbiory liczbowe Zbiór liczb naturalnych N = {1,2,3,4, }. Zbiór liczb całkowitych Z = {, 3, 2, 1,0,1,2,3, }. Zbiory liczbowe Zbiór liczb wymiernych
System finansowy gospodarki. Zajęcia nr 5 Matematyka finansowa
System finansowy gospodarki Zajęcia nr 5 Matematyka finansowa Wartość pieniądza w czasie 1 złoty posiadany dzisiaj jest wart więcej niż 1 złoty posiadany w przyszłości, np. za rok. Powody: Suma posiadana
Zadania do wykładu Matematyka bankowa 2
Zadania do wykładu Matematyka bankowa 2 Dorota Klim Department of Nonlinear Analysis, Faculty of Mathematics and Computer Science, University of Łódź, Banacha 22, 90-238 Łódź, Poland E-mail address: klimdr@math.uni.ldz.pl
MODELOWANIE RYNKÓW FINANSOWYCH (MAP1171)
Przedmiot: MODELOWANIE RYNKÓW FINANSOWYCH (MAP1171) Prowadzący wykład: dr Krzysztof Samotij, e-mail: krzysztof.samotij@pwr.edu.pl Czas i miejsce wykładu: poniedziałki (wg definicji J.M. Rektora) g. 9:15-11:00,
Dariusz Wardowski Katedra Analizy Nieliniowej. Bankowość i metody statystyczne w biznesie - zadania i przykłady część II
Wydział Matematyki i Informatyki Uniwersytetu Łódzkiego w Łodzi Dariusz Wardowski Katedra Analizy Nieliniowej Bankowość i metody statystyczne w biznesie - zadania i przykłady część II Łódź 2008 Rozdział
koordynator: nauczyciele wspomagający: mgr Jadwiga Greszta mgr Magdalena Kosiorska mgr Iwona Pałka
koordynator: mgr Jadwiga Greszta nauczyciele wspomagający: mgr Magdalena Kosiorska mgr Iwona Pałka Opracowanie słownictwa dotyczącego bankowości i finansów. Od Grosika do Złotówki rozwiązywanie łamigłówek
Paulina Drozda WARTOŚĆ PIENIĄDZA W CZASIE
Paulina Drozda WARTOŚĆ PIENIĄDZA W CZASIE Zmianą wartości pieniądza w czasie zajmują się FINANSE. Finanse to nie to samo co rachunkowość. Rachunkowość to opowiadanie JAK BYŁO i JAK JEST Finanse zajmują
LICZBY - Podział liczb
1 LICZBY - Podział liczb Liczby naturalne (N) to liczby, za pomocą których rachujemy. Podział liczb na diagramie prezentuje się następująco 0, 1, 2, 3, 4, 5,, 99, 100, 101,, 999, 1000, Liczby całkowite
Matematyka podstawowa V. Ciągi
Matematyka podstawowa V Ciągi Teoria ciąg arytmetyczny - pierwszy wyraz ciągu - różnica Kolejny wyraz ciągu arytmetycznego powstaje przez dodanie do poprzedniego różnicy. = + Np. =2,=3 :2,5,8,11 = 4,=2
Wartość przyszła pieniądza
O koszcie kredytu nie można mówić jedynie na podstawie wysokości płaconych odsetek. Dla pożyczającego pieniądze najważniejszą kwestią jest kwota, jaką będzie musiał zapłacić za korzystanie z cudzych środków
2a. Przeciętna stopa zwrotu
2a. Przeciętna stopa zwrotu Grzegorz Kosiorowski Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie Matematyka finansowa rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 2a. Przeciętna stopa zwrotu Matematyka
WARTOŚĆ PIENIĄDZA W CZASIE WPROWADZENIE
WARTOŚĆ PIENIĄDZA W CZASIE WPROWADZENIE PYTANIA KONTROLNE Różnica pomiędzy: inwestycją, projektem inwestycyjnym, przedsięwzięciem inwestycyjnym Rodzaje inwestycji ze względu na cel Wartość pieniądza w
Akademia Młodego Ekonomisty
Akademia Młodego Ekonomisty Matematyka Finansowa dla liderów dr Aneta Kaczyńska Uniwersytet Ekonomiczny w Poznaniu 30 listopada 2017 r. Dr Tomaszie Projektami EKONOMICZNY UNIWERSYTET DZIECIĘCY Copywrite
STOPA PROCENTOWA I STOPA ZWROTU
Piotr Cegielski, MAI, MRICS, CCIM STOPA PROCENTOWA I STOPA ZWROTU (Wybrane fragmenty artykułu opublikowanego w C.H. Beck Nieruchomości, numer 9 z 2011 r. Całość dostępna pod adresem internetowym: www.nieruchomosci.beck.pl)
Zajęcia 8 - Równoważność warunków oprocentowania
Zajęcia 8 - Równoważność warunków oprocentowania Zadanie 1 Mając roczną stopę oprocentowania prostego 18% wyznaczyć równoważną stopę: 1. miesięczną. 2. tygodniową. 3. 2-letnią. Uzasadnić wyniki. Czy czas
11. Liczby rzeczywiste
. Liczby rzeczywiste Zdający: Wymagania, jakie stawia przed Tobą egzamin maturalny z przedstawia liczby rzeczywiste w różnych postaciach (np. ułamka zwykłego, ułamka dziesiętnego okresowego, z użyciem
Jak wybrać kredyt? Waldemar Wyka Instytut Matematyki Politechniki Łódzkiej. 22 listopada 2014
Waldemar Wyka Instytut Matematyki Politechniki Łódzkiej 22 listopada 2014 Plan prezentacji 1 Powtórzenie 2 3 Plany spłaty długu - stałe raty Plany spłaty długu - stałe raty kapitałowe Plany spłaty długu
Akademia Młodego Ekonomisty
Akademia Młodego Ekonomisty Matematyka finansowa wokół nas Michał Trzęsiok Uniwersytet Ekonomiczny w Katowicach 20 października 2014 r. Czym jest pieniądz? Pieniądz - dobro, które jest powszechnie akceptowane
Elementy matematyki finansowej w programie Maxima
Maxima-03_windows.wxm 1 / 8 Elementy matematyki finansowej w programie Maxima 1 Wartość pieniądza w czasie Umiejętność przenoszenia kwot pieniędzy w czasie, a więc obliczanie ich wartości na dany moment,
2b. Inflacja. Grzegorz Kosiorowski. Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie. Matematyka finansowa
2b. Inflacja Grzegorz Kosiorowski Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie Matematyka finansowa rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 2b. Inflacja Matematyka finansowa 1 / 22 1 Motywacje i
I = F P. P = F t a(t) 1
6. Modele wartości pieniądza w czasie. Współczynnik akumulacji kapitału. Kapitalizacja okresowa, kapitalizacja ciągła. Wartość bieżąca, wartość przyszła. Pojęcia kredytu, renty, renty wieczystej, zadłużenia
Matematyka z kluczem. Szkoła podstawowa nr 18 w Sosnowcu. Przedmiotowe zasady oceniania klasa 7
Matematyka z kluczem Szkoła podstawowa nr 18 w Sosnowcu Przedmiotowe zasady oceniania klasa 7 KlasaVII wymagania programowe- wymagania na poszczególne oceny ROZDZIAŁ I LICZBY 1. rozpoznaje cyfry używane
[1 ] M. Podgórska, J. Klimkowska, Matematyka finansowa, PWN
![[1 ] M. Podgórska, J. Klimkowska, Matematyka finansowa, PWN](/thumbs/63/48894660.jpg "[1 ] M. Podgórska, J. Klimkowska, Matematyka finansowa, PWN")
LITERATURA: [1 ] M. Podgórska, J. Klimkowska, Matematyka finansowa, PWN [2 ] E. Smaga, Arytmetyka finansowa, PWN [3 ] M. Sobczyk, Matematyka finansowa, Placet [4 ] M. Szałański, Podstawy matematyki finansowej,
mgr Katarzyna Niewińska; Wydział Zarządzania UW Ćwiczenia 2
Ćwiczenia 2 Wartość pieniądza w czasie Zmienna wartość pieniądza w czasie jest pojęciem, które pozwala porównać wartość różnych sum pieniężnych otrzymanych w różnych okresach czasu. Czy 1000 PLN otrzymane
System finansowy gospodarki. Zajęcia nr 6 Matematyka finansowa
System finansowy gospodarki Zajęcia nr 6 Matematyka finansowa Rachunek rentowy (annuitetowy) Mianem rachunku rentowego określa się regularne płatności w stałych odstępach czasu przy założeniu stałej stopy
WYMAGANIA NA POSZCZEGÓLNE OCENY MATEMATYKA KL.VII
WYMAGANIA NA POSZCZEGÓLNE OCENY MATEMATYKA KL.VII ROZDZIAŁ I LICZBY 1. rozpoznaje cyfry używane do zapisu liczb w systemie rzymskim w zakresie do 3000 2. odczytuje liczby naturalne dodatnie zapisane w
Procent prosty Def.: Procent prosty Zad. 1. Zad. 2. Zad. 3
Procent prosty Zakładając konto w banku, decydujesz się na określone oprocentowanie tego rachunku. Zależy ono między innymi od czasu, w jakim zobowiązujesz się nie naruszać stanu konta, czyli tzw. lokaty
Zadania do wykładu Matematyka bankowa 2
Zadania do wykładu Matematyka bankowa 2 Dorota Klim Instytut Matematyki i Informatyki, PWSZ w Płocku E-mail address: klimdr@math.uni.ldz.pl http://math.uni.lodz.pl/ klimdr/ Bibliografia [1] M. Podgórska,
Licz i zarabiaj matematyka na usługach rynku finansowego
Licz i zarabiaj matematyka na usługach rynku finansowego Przedstawiony zestaw zadań jest przeznaczony dla uczniów szkół ponadgimnazjalnych i ma na celu ukazanie praktycznej strony matematyki, jej zastosowania
PAŃSTWOWA WYŻSZA SZKOŁA ZAWODOWA W NOWYM SĄCZU SYLABUS PRZEDMIOTU. Obowiązuje od roku akademickiego: 2010/2011
PAŃSTWOWA WYŻSZA SZKOŁA ZAWODOWA W NOWYM SĄCZU SYLABUS Obowiązuje od roku akademickiego: 2010/2011 Instytut Ekonomiczny Kierunek studiów: Ekonomia Kod kierunku: 04.9 Specjalność: Finanse i rachunkowość
Arkusz kalkulacyjny MS EXCEL ĆWICZENIA 3
Arkusz kalkulacyjny MS EXCEL ĆWICZENIA 3 Uwaga! Każde ćwiczenie rozpoczynamy od stworzenia w katalogu Moje dokumenty swojego własnego katalogu roboczego, w którym będziecie Państwo zapisywać swoje pliki.
5. Strumienie płatności: renty
5. Strumienie płatności: renty Grzegorz Kosiorowski Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie Matematyka finansowa rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 5. Strumienie płatności: renty Matematyka
Procenty zadania maturalne z rozwiązaniami
Każde zadanie 1 punkt. 1. Cena towaru bez podatku VAT jest równa 60 zł. Towar ten wraz z podatkiem VAT w wysokości 22% kosztuje 0,22 60 = 13,20 kwota VAT 60 + 13,20 = 73,20 Odp. A 2. Wskaż liczbę, której
2) R stosuje w obliczeniach wzór na logarytm potęgi oraz wzór na zamianę podstawy logarytmu.
ZAKRES ROZSZERZONY 1. Liczby rzeczywiste. Uczeń: 1) przedstawia liczby rzeczywiste w różnych postaciach (np. ułamka zwykłego, ułamka dziesiętnego okresowego, z użyciem symboli pierwiastków, potęg); 2)
Wymagania edukacyjne z matematyki w klasie VII szkoły podstawowej
Wymagania edukacyjne z matematyki w klasie VII szkoły podstawowej ROZDZIAŁ I LICZBY Uczeń otrzymuje ocenę dopuszczającą jeśli: 1. rozpoznaje cyfry używane do zapisu liczb w systemie rzymskim w zakresie
Wymagania dla klasy siódmej. Treści na 2 na 3 na 4 na 5 na 6 Uczeń: Uczeń: Uczeń: Uczeń: Uczeń: DZIAŁ 1. LICZBY
Wymagania dla klasy siódmej Treści na 2 na 3 na 4 na 5 na 6 Uczeń: Uczeń: Uczeń: Uczeń: Uczeń: DZIAŁ 1. LICZBY Rzymski sposób zapisu liczb Liczby pierwsze i złożone. Dzielenie z resztą Rozwinięcia dziesiętne
KRYTERIA OCEN Z MATEMATYKI DLA KLASY VII
KRYTERIA OCEN Z MATEMATYKI DLA KLASY VII Na ocenę dopuszczającą uczeń powinien : Na ocenę dostateczną uczeń powinien: Na ocenę dobrą uczeń powinie: Na ocenę bardzo dobrą uczeń powinien: Na ocenę celującą
Wymagania edukacyjne z matematyki dla klasy I gimnazjum wg programu Matematyka z plusem
Wymagania edukacyjne z matematyki dla klasy I gimnazjum wg programu Matematyka z plusem pojęcie liczby naturalnej, całkowitej, wymiernej rozszerzenie osi liczbowej na liczby ujemne sposób i potrzebę zaokrąglania
OPŁACALNOŚĆ INWESTYCJI
3/27/2011 Ewa Kusideł ekusidel@uni.lodz.pl 1 OPŁACALNOŚĆ INWESTYCJI www.kep.uni.lodz.pl\ewakusidel 3/27/2011 Inwestycje i ryzyko na rynku nieruchomości 2 Inwestycja Inwestycja Nakład na zwiększenie lub
Wymagania na poszczególne oceny szkolne Klasa 7
1 Wymagania na poszczególne oceny szkolne Klasa 7 Ocena postępów ucznia jest wynikiem oceny stopnia opanowania jego umiejętności podstawowych i ponadpodstawowych. W poniższej tabeli umiejętności te przypisane
Matematyka bankowa 2
1. Katedra Analizy Nieliniowej Wydział Matematyki i Informatyki Uniwersytet Łódzki 2. Instytut Nauk Ekonomicznych i Informatyki Państwowa Wyższa Szkoła Zawodowa w Płocku Matematyka bankowa 2 średnio- i
WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI DLA KLASY VII SZKOŁY PODSTAWOWEJ
WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI DLA KLASY VII SZKOŁY PODSTAWOWEJ Ocenę niedostateczną otrzymuje uczeń, jeśli nie opanował wiadomości i umiejętności na ocenę dopuszczającą, nie wykazuje chęci poprawy
1. Jaką kwotę zgromadzimy po 3 latach na lokacie bankowej jeśli roczna NSP wynosi 4%, pierwsza wpłata wynosi 300 zl i jest dokonana na poczatku
1. Jaką kwotę zgromadzimy po 3 latach na lokacie bankowej jeśli roczna NSP wynosi 4%, pierwsza wpłata wynosi 300 zl i jest dokonana na poczatku miesiąca a każda następna miesięczna wpłata jest (a) Większa
Liczby. Wymagania programowe kl. VII. Dział
Wymagania programowe kl. VII Dział Liczby rozpoznaje cyfry używane do zapisu liczb w systemie rzymskim w zakresie do 3000 odczytuje liczby naturalne dodatnie zapisane w systemie rzymskim w zakresie do
Zadania do wykładu Matematyka bankowa 1 i 2
Zadania do wykładu Matematyka bankowa 1 i 2 Dorota Klim Department of Nonlinear Analysis, Faculty of Mathematics and Computer Science, University of Łódź, Banacha 22, 90-238 Łódź, Poland E-mail address:
Rachunek rent. Pojęcie renty. Wartość początkowa i końcowa renty. Renty o stałych ratach. Renta o zmiennych ratach. Renta uogólniona.
Temat: Rachunek rent. Pojęcie renty. Wartość początkowa i końcowa renty. Renty o stałych ratach. Renta o zmiennych ratach. Renta uogólniona. Zadanie Przez 2 lata na koniec każdego miesiąca wpłacamy 200
Akademia Młodego Ekonomisty
Akademia Młodego Ekonomisty Matematyka finansowa dla liderów Matematyka finansowa wokół nas dr Agnieszka Bem Uniwersytet Ekonomiczny we Wrocławiu 20 listopada 2017 r. Wartość pieniądzaw czasie Wartość
Arkusz kalkulacyjny MS EXCEL ĆWICZENIA 3. Zadanie 1 Amortyzacja środków trwałych
Arkusz kalkulacyjny MS EXCEL ĆWICZENIA 3 Uwaga! Każde ćwiczenie rozpoczynamy od stworzenia w katalogu Moje dokumenty swojego własnego katalogu roboczego, w którym będziecie Państwo zapisywać swoje pliki.
WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI KLASA VII
WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI KLASA VII Ocena Dopuszczający Osiągnięcia ucznia rozpoznaje cyfry używane do zapisu liczb w systemie rzymskim w zakresie do 3000 odczytuje liczby naturalne dodatnie zapisane
1940, 17 = K 4 = K 2 (1, 05)(1 + x 200 )3. Stąd, po wstawieniu K 2 dostaję:
Poniższe rozwiązania są jedynie przykładowe. Każde z tych zadań da się rozwiązać na wiele sposobów, ale te na pewno są dobre (i prawdopodobnie najprostsze). Komentarze (poza odpowiedziami) są zbędne -
KRYTERIA OCENIANIA Z MATEMATYKI W OPARCIU O PODSTAWĘ PROGRAMOWĄ I PROGRAM NAUCZANIA MATEMATYKA 2001 DLA KLASY DRUGIEJ
KRYTERIA OCENIANIA Z MATEMATYKI W OPARCIU O PODSTAWĘ PROGRAMOWĄ I PROGRAM NAUCZANIA MATEMATYKA 2001 DLA KLASY DRUGIEJ TREŚCI KSZTAŁCENIA WYMAGANIA PODSTAWOWE WYMAGANIA PONADPODSTAWOWE Liczby wymierne i
WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI KLASA I GIMNAZJUM Małgorzata Janik
WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI KLASA I GIMNAZJUM Małgorzata Janik DOPUSZCZAJĄCY DOSTATECZNY DOBRY BARDZO DOBRY LICZBY I DZIAŁANIA zna pojęcie liczby naturalnej, całkowitej, wymiernej. rozumie rozszerzenie
Elementy matematyki finansowej
ROZDZIAŁ 2 Elementy matematyki finansowej 1. Procent składany i ciągły Stopa procentowa i jest związana z podstawową jednostką czasu, jaką jest zwykle jeden rok. Jeśli pożyczamy komuś 100 zł na jeden rok,
zaliczenie na ocenę z elementarnej matematyki finansowej I rok MF, 21 czerwca 2012 godz. 8:15 czas trwania 120 min.
zaliczenie na ocenę z elementarnej matematyki finansowej I rok MF, 21 czerwca 2012 godz. 8:15 czas trwania 120 min. Imię nazwisko:... numer indeksu:... nr zadania zad.1 zad.2 zad.3 zad.4 zad.5 zad.6 zad.7
Matematyka I dla DSM zbiór zadań
I Sumowanie skończone W zadaniach -4 obliczyć podaną sumę. Matematyka I dla DSM zbiór zadań do użytku wewnętrznego dr Leszek Rudak Uniwersytet Warszawski Wydział Zarządzania. 5 i. i= 4 i 3. i= 5 ( ) i
MATEMATYKA WYKAZ UMIEJĘTNOŚCI WYMAGANYCH NA POSZCZEGÓLNE OCENY DLA KLASY DRUGIEJ
MATEMATYKA WYKAZ UMIEJĘTNOŚCI WYMAGANYCH NA POSZCZEGÓLNE OCENY 1. SUMY ALGEBRAICZNE DLA KLASY DRUGIEJ 1. Rozpoznawanie jednomianów i sum algebraicznych Obliczanie wartości liczbowych wyrażeń algebraicznych
Wymagania edukacyjne z matematyki na poszczególne do klasy VII szkoły podstawowej na rok szkolny 2018/2019
Wymagania edukacyjne z matematyki na poszczególne do klasy VII szkoły podstawowej na rok szkolny 2018/2019 LICZBY Uczeń otrzymuje ocenę dopuszczającą, jeśli: rozpoznaje cyfry używane do zapisu liczb w
Ekonomika i Logistyka w Przedsiębiorstwach Transportu Morskiego wykład 06 MSTiL niestacjonarne (II stopień)
dr Adam Salomon Ekonomika i Logistyka w Przedsiębiorstwach Transportu Morskiego wykład 06 MSTiL niestacjonarne (II stopień) program wykładu 06. Rola współczynnika procentowego i współczynnika dyskontowego
WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI KLASA III ZAKRES ROZSZERZONY (90 godz.) , x
WYMAGANIA EDUACYJNE Z MATEMATYI LASA III ZARES ROZSZERZONY (90 godz.) Oznaczenia: wymagania konieczne (dopuszczający); P wymagania podstawowe (dostateczny); R wymagania rozszerzające (dobry); D wymagania
Podstawy teorii oprocentowania. Łukasz Stodolny Radosław Śliwiński Cezary Kwinta Andrzej Koredczuk
Podstawy teorii oprocentowania Łukasz Stodolny Radosław Śliwiński Cezary Kwinta Andrzej Koredczuk Cykl produkcyjny zakładów ubezpieczeń Ryzyko działalności zakładu ubezpieczeń Ryzyko finansowe działalności
Sprawdzian diagnozujący umiejętności matematyczne z zakresu gimnazjum. Kartoteka
Sprawdzian diagnozujący umiejętności matematyczne z zakresu gimnazjum Kartoteka Nr zad. 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. Sprawdzana umiejętność Uczeń: Oblicza potęgi liczb wymiernych o wykładnikach naturalnych
Plan wynikowy z wymaganiami edukacyjnymi z matematyki w zakresie podstawowym dla klasy 1 zsz Katarzyna Szczygieł
Plan wynikowy z wymaganiami edukacyjnymi z matematyki w zakresie podstawowym dla klasy 1 zsz Katarzyna Szczygieł Lp. Temat Kształcone umiejętności 1 Zasady pracy na lekcjach matematyki. Dział I. LICZBY
konieczne (ocena dopuszczająca) Temat podstawowe (ocena dostateczna) dopełniające (ocena bardzo dobra) rozszerzające (ocena dobra)
Wymagania na poszczególne oceny szkolne Klasa 7 Ocena postępów ucznia jest wynikiem oceny stopnia opanowania jego umiejętności podstawowych i ponadpodstawowych. W poniższej tabeli umiejętności te przypisane
rozszerzające (ocena dobra) podstawowe (ocena dostateczna)
Wymagania na poszczególne oceny szkolne Klasa 7 Ocena postępów ucznia jest wynikiem oceny stopnia opanowania jego umiejętności podstawowych i ponadpodstawowych. W poniższej tabeli umiejętności te przypisane
mgr Katarzyna Niewińska; Wydział Zarządzania UW Ćwiczenia 3
Ćwiczenia 3 Rachunek rentowy Jako rachunek rentowy traktuje się regularne płatności płacone w stałych przedziałach czasu przy czym towarzyszy temu stała stopa procentowa. Wykorzystanie: renty; płatności
konieczne (ocena dopuszczająca) Temat podstawowe (ocena dostateczna) dopełniające (ocena bardzo dobra) rozszerzające (ocena dobra)
Wymagania na poszczególne oceny szkolne Klasa 7 Ocena postępów ucznia jest wynikiem oceny stopnia opanowania jego umiejętności podstawowych i ponadpodstawowych. W poniższej tabeli umiejętności te przypisane
4. Postęp arytmetyczny i geometryczny. Wartość bezwzględna, potęgowanie i pierwiastkowanie liczb rzeczywistych.
Jarosław Wróblewski Matematyka dla Myślących, 008/09. Postęp arytmetyczny i geometryczny. Wartość bezwzględna, potęgowanie i pierwiastkowanie liczb rzeczywistych. 15 listopada 008 r. Uwaga: Przyjmujemy,
Wymagania edukacyjne klasa pierwsza.
Wymagania edukacyjne klasa pierwsza. TEMAT WYMAGANIA SZCZEGÓŁOWE Z PODSTAWY PROGRAMOWEJ 1. LICZBY I DZIAŁANIA Liczby Rozwinięcia dziesiętne liczb wymiernych Zaokrąglanie liczb. Szacowanie wyników Dodawanie
konieczne (ocena dopuszczająca) Temat rozszerzające (ocena dobra)
Wymagania na poszczególne oceny szkolne Klasa 7 Ocena postępów ucznia jest wynikiem oceny stopnia opanowania jego umiejętności podstawowych i ponadpodstawowych. W poniższej tabeli umiejętności te przypisane
konieczne (ocena dopuszczająca) Temat podstawowe (ocena dostateczna) rozszerzające (ocena dobra) dopełniające (ocena bardzo dobra)
Wymagania na poszczególne oceny szkolne Klasa 7 Ocena postępów ucznia jest wynikiem oceny stopnia opanowania jego umiejętności podstawowych i ponadpodstawowych. W poniższej tabeli umiejętności te przypisane
Zakres tematyczny - PINGWIN. Klasa IV szkoły podstawowej 1. Zakres treści programowych z I etapu kształcenia. 2. Liczby naturalne i działania:
Zakres tematyczny - PINGWIN Klasa IV szkoły podstawowej 1. Zakres treści programowych z I etapu kształcenia. 2. Liczby naturalne i działania: zapisywanie i porównywanie liczb rachunki pamięciowe porównywanie
Wymagania edukacyjne z matematyki dla klasy VII
Wymagania edukacyjne z matematyki dla klasy VII Szkoły Podstawowej nr 100 w Krakowie Na podstawie programu Matematyka z plusem Na ocenę dopuszczającą Uczeń: rozumie rozszerzenie osi liczbowej na liczby
2.1 Wartość Aktualna Renty Stałej
2.1 Wartość Aktualna Renty Stałej Zakładamy że dana osoba ma dostać kwotę o stałej wartości nominalnej x przez N okresów (zwykle miesięcznie lub rocznie), np. stała renta/emerytura. Zakładamy że pierwsza
Uczeń: -podaje przykłady ciągów liczbowych skończonych i nieskończonych oraz rysuje wykresy ciągów
Wymagania edukacyjne PRZEDMIOT: Matematyka KLASA: III Th ZAKRES: zakres podstawowy Poziom wymagań Lp. Dział programu Konieczny-K Podstawowy-P Rozszerzający-R Dopełniający-D Uczeń: 1. Ciągi liczbowe. -zna
Ciągi. Kurs matematyki w Oratorium (http://www.salezjanie.rumia.pl/math)
Ciągi Kurs matematyki w Oratorium (http://www.salezjanie.rumia.pl/math) Spis treści 1 Ciągi liczbowe 1 1.1 Podstawowe własności ciągów................... 2 1.2 Granica ciągu............................
ocena dopuszczająca ocena dostateczna ocena dobra ocena bardzo dobra ocena celująca
Wymagania na poszczególne oceny szkolne z matematyki dla klas siódmych ''Matematyka" Szkoła Podstawowa im. Jana Pawła II w Mętowie Rok szkolny 2017/2018 Klasa 7a, 7b Nauczyciel: Małgorzata Łysakowska Ocena
Zadania do wykładu Rachunek efektywności projektów inwestycyjnych
Zadania do wykładu Rachunek efektywności projektów inwestycyjnych Dorota Klim Instytut Nauk Ekonomicznych i Informatyki, Państwowa Wyższa Szkoła Zawodowa w Płocku E-mail address: klimdr@math.uni.ldz.pl
Wartość przyszła pieniądza: Future Value FV
Wartość przyszła pieniądza: Future Value FV Jeśli posiadamy pewną kwotę pieniędzy i mamy możliwość ulokowania ich w banku na ustalony czas i określony procent, to kwota w przyszłości (np. po 1 roku), zostanie
WYMAGANIA EGZAMINACYJNE DLA KLASY III GIMNAZJUM
WYMAGANIA EGZAMINACYJNE DLA KLASY III GIMNAZJUM TEMAT WYMAGANIA SZCZEGÓŁOWE 1. LICZBY I WYRAŻENIA ALGEBRAICZNE 2. System dziesiątkowy 1. Liczby wymierne dodatnie. Uczeń: 1) zaokrągla rozwinięcia dziesiętne
Rachunek rent. Pojęcie renty. Wartość początkowa i końcowa renty. Renty o stałych ratach. Renta o zmiennych ratach. Renta uogólniona.
Temat: Rachunek rent Pojęcie renty Wartość początkowa i końcowa renty Renty o stałych ratach Renta o zmiennych ratach Renta uogólniona Zadanie 1 Przez 2 lata na koniec każdego miesiąca wpłacamy 1 000 PLN
Wymagania edukacyjne z matematyki dla klasy pierwszej zasadniczej szkoły zawodowej
Wymagania edukacyjne z matematyki dla klasy pierwszej zasadniczej szkoły zawodowej ocena dopuszczająca ocena dostateczna ocena dobra ocena bardzo dobra ocena celująca Dział I. LICZBY RZECZYWISTE I DZIALANIA
Ekonomika Transportu Morskiego wykład 08ns
Ekonomika Transportu Morskiego wykład 08ns dr Adam Salomon, Katedra Transportu i Logistyki Wydział Nawigacyjny, Akademia Morska w Gdyni Wykład 8ns : tematyka 1. Oprocentowanie, dyskontowanie, współczynnik
Akademia Młodego Ekonomisty
Akademia Młodego Ekonomisty Matematyka finansowa wokół nas Michał Trzęsiok Uniwersytet Ekonomiczny w Katowicach 6 listopada 2017 r. Czym jest pieniądz? Pieniądz - dobro, które jest powszechnie akceptowane
METODY OCENY PROJEKTÓW INWESTYCYJNYCH WPROWADZENIE WARTOŚĆ PIENIĄDZA W CZASIE. Ćwiczenia nr 1 i 2
METODY OCENY PROJEKTÓW INWESTYCYJNYCH WPROWADZENIE WARTOŚĆ PIENIĄDZA W CZASIE Ćwiczenia nr 1 i 2 - Cel ćwiczeń - Komunikacja email: i.ratuszniak@efficon.pl, w temacie - mopi - Konsultacje: pokój: 428,
Próbny egzamin z matematyki dla uczniów klas II LO i III Technikum. w roku szkolnym 2012/2013
Próbny egzamin z matematyki dla uczniów klas II LO i III Technikum w roku szkolnym 2012/2013 I. Zakres materiału do próbnego egzaminu maturalnego z matematyki: 1) liczby rzeczywiste 2) wyrażenia algebraiczne
MATEMATYKA Z KLUCZEM WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI DLA KLASY SIÓDMEJ
MATEMATYKA Z KLUCZEM WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI DLA KLASY SIÓDMEJ ocena dopuszczająca (wymagania konieczne), : rozpoznaje cyfry używane do zapisu liczb w systemie rzymskim w zakresie 3000, porównuje
Granice ciągów liczbowych
Granice ciągów liczbowych Obliczyć z definicji granicę ciągu o wyrazie, gdzie jest pewną stałą liczbą. Definicja: granicą ciągu jest liczba, jeśli Sprawdzamy, czy i kiedy granica rozpatrywanego ciągu wynosi
Darmowa publikacja dostarczona przez ebooki24.org
Powered by TCPDF (www.tcpdf.org) Ten ebook zawiera darmowy fragment publikacji "Finanse dla każdego" Darmowa publikacja dostarczona przez ebooki24.org Copyright by Złote Myśli &, rok 2008 Autor: Tytuł:
LUBELSKA PRÓBA PRZED MATURĄ 2018 poziom podstawowy
LUELSK PRÓ PRZED MTURĄ 08 poziom podstawowy Schemat oceniania Zadania zamknięte (Podajemy kartotekę zadań, która ułatwi Państwu przeprowadzenie jakościowej analizy wyników). Zadanie. (0 ). Liczby rzeczywiste.
LUBELSKA PRÓBA PRZED MATURĄ 2017 poziom podstawowy
LUELSK PRÓ PRZE MTURĄ 07 poziom podstawowy Schemat oceniania Uwaga: kceptowane są wszystkie odpowiedzi merytorycznie poprawne i spełniające warunki zadania (podajemy kartotekę zadań, gdyż łatwiej będzie
WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI DLA KLASY VII
WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI DLA KLASY VII Ocenę niedostateczną otrzymuje uczeń, który nie spełnia warunków poziomu koniecznego z poszczególnych działów. Ocenę dopuszczającą otrzymuje uczeń, który