(U.18) Metoda wariacyjna
|
|
- Wacława Anna Tomczak
- 5 lat temu
- Przeglądów:
Transkrypt
1 U.8 Metod wricyjn 8 Rozdził 39 U.8 Metod wricyjn 39. Metod wricyjn 39.. Uwgi wstępne Rchunek zburzeń stosujemy wtedy, gdy hmiltonin ukłdu możn zpisć w postci H = H + V, przy czym umiemy rozwiązć zgdnienie włsne dl H, tj. znmy stny { ϕ n } i energie {E n } spełnijące H ϕ n = E n ϕ n. zburzenie V jest "młe". Sens tego stwierdzeni dyskutowliśmy w rozdzile o rchunku zburzeń. W wielu prktycznych zgdnienich przynjmniej jedno z tych złożeń nie jest spełnione i rchunek zburzeń jest tym smym niestosowlny. Potrzebujemy innych metod przybliżonych. Niech H będzie przestrzenią stnów pewnego ukłdu fizycznego, zś H jego hmiltoninem. Weźmy stn φ H niekoniecznie unormowny i utwórzmy liczbę Eφ = φ H φ. 39. Liczb t oczywiście zleży od wyboru stnu φ, dltego Eφ nzywmy funkcjonłem funkcjonł odwzorowuje przestrzeń funkcji, w tym wypdku przestrzeń stnów, w ciło liczb, tu rzeczywistych. Tk zbudowny funkcjonł m brdzo pożyteczne włsności, które sformułujemy jko twierdzeni Twierdzeni pomocnicze Twierdzenie 39. Funkcjonł Eφ m ze względu n dobór stnu φ ekstremum wtedy i tylko wtedy, gdy φ jest stnem włsnym hmiltoninu H, tj., gdy H φ = Eφ φ. Dowód. Rozpoczynmy od obliczeni wricji funkcjonłu Eφ. Z 39. mmy + φ H φ δ δeφ = δ φ H φ = δ φ H φ skąd wynik, że Eφ δ, 39. δeφ = δ φ H φ Eφ δ S.Kryszewski MECHANIKA KWANTOWA 8
2 U.8 Metod wricyjn 8 Obliczmy skłdniki tej formuły. Biorąc pod uwgę, że hmiltonin H jest ustlony δ φ H φ = δ φ + δφ H φ + δφ φ H φ = φ H φ + δφ H φ + φ H δφ + δφ H δφ φ H φ 39.4 gdzie δφ jest dowolną, infinitezymlną zminą wricją stnu φ. Pierwszy i osttni skłdnik znoszą się. Zniedbujemy skłdnik czwrty, jko młą wyższego rzędu. Ztem δ φ H φ = δφ H φ + φ H δφ Anlogicznie obliczymy δ = δφ φ + φ δφ Wykorzystując 39.5 i 39.6 w 39.3 otrzymujemy δeφ = δφ H φ + φ H δφ Eφ δφ φ Eφ φ δφ = δφ H Eφ φ + φ H Eφ δφ Złóżmy terz, że funkcjonł m ekstremum. Wobec tego δeφ = i z 39.7 wynik, że = δφ H Eφ φ + φ H Eφ δφ = δφ H Eφ φ + δφ H Eφ φ = Re δφ H Eφ φ Wricj δφ jest dowoln. Zstąpimy ją przez iδφ. Wówczs, zmist 39.8 dostniemy = i δφ H Eφ φ + φ H Eφ i δφ = i δφ H Eφ φ + i φ H Eφ δφ = i δφ H Eφ φ + i δφ H Eφ φ = Im δφ H Eφ φ Opuszczjąc prim i zestwijąc osttni równość z 39.8 stwierdzmy, że δφ H Eφ φ =. 39. Ze względu n dowolność wricji δφ z 39. wynik H Eφ φ = = H φ = Eφ φ, 39. więc stn φ jest stnem włsnym hmiltoninu H z wrtością włsną Eφ. Pierwsz cześć twierdzeni jest udowodnion. Dowód w odwrotną stronę wychodzi z złożeni H φ = Eφ φ. Rozumownie powyższe prowdzimy "z dołu w górę" i otrzymmy, że wricj funkcjonłu eφ musi znikć. Fkt że δeφ = ozncz, że Eφ m ekstremum. Dowód twierdzeni jest zkończony Funkcjonł Eφ szcuje energię od góry Zgdnieni włsnego dl hmiltoninu z wyjątkiem kilku szczególnych przypdków nie umiemy rozwiązć w sposób ścisły. Mimo to jednk wiemy, że posid on energie włsne {E n }, które możemy zwsze ponumerowć tk, by E < E < E 3 < S.Kryszewski MECHANIKA KWANTOWA 8
3 U.8 Metod wricyjn 83 Energie te mogą być zdegenerowne, wówczs energii E n odpowid podprzestrzeń H n o wymirze g n równym stopniowi degenercji energii E n. Niech P n ozncz opertor rzutowni n podprzestrzeń włsną H n. Dowolny stn φ H możn zpisć jko sumę rzutów φ = n P n φ, 39.3 przy czym P n φ jest stnem włsnym hmiltoninu, tj., H P n φ = E n P n φ Zbdjmy terz różnicę Eφ E = φ H φ Poniewż zchodzą relcje 39.3 i 39.4 więc E φ H φ = φ H n P n φ = φ n E n P n φ = n φ E n P n φ 39.6 Ntomist z rozkłdu jedynki n P n = ˆ, ztem E = φ E φ = φ E n P n φ = n φ E P n φ Podstwijąc 39.6 i 39.7 do 39.5 dostjemy n Eφ E = φ E n P n φ n φ E P n φ n = φ E n E Pn φ = φ P n φ En E n = φ P n φ En E, 39.8 n bo z sumy wypd skłdnik z n =. Szcujemy terz kolejne czynniki. W myśl złożeni 39. mmy E n E >. Stn φ jest niezerowy, więc φ = >. Z idempotentności i hermitowskości projektorów φ P n φ = φ P n P n φ = φ P n P n φ = P n φ Tu mmy nierówność nieostrą, bo może się zdrzyć P n φ =, tj., stn φ może być ortogonlny do podprzestrzeni H n. Wobec tego, prw stron wyrżeni 39.8 jest sumą nieujemnych skłdników, więc cł jest nieujemn. Nieujemn jest więc i lew stron, to jest Eφ E = Eφ E. 39. Wykzliśmy więc nstępujące S.Kryszewski MECHANIKA KWANTOWA 83
4 U.8 Metod wricyjn 84 Twierdzenie 39. Niech H będzie hmiltoninem pewnego ukłdu fizycznego i niech H ozncz odpowiednią przestrzeń stnów. Wówczs dl dowolnego stnu φ H funkcjonł Eφ spełni nierówność Eφ = φ H φ E, 39. to znczy dje oszcownie energii stnu podstwowego bdnego ukłdu od góry prwdziw wrtość energii E jest nie większ niż wrtość Eφ. Równość zchodzi wtedy i tylko wtedy, gdy stn φ jest stnem włsnym hmiltoninu H. Dowód. Pierwsz część tezy jest wyprowdzon powyżej. Drug wynik z twierdzeni pomocniczego udowodnionego nieco wcześniej. Zstosowne rozwżni dotyczyły stnu podstwowego o njniższej energii. Możn jednk kontynuowć nsze rozwżni. Niech stn φ, z pomocą którego zbudujemy funkcjonł Eφ, będzie ortogonlny do podprzestrzeni H odpowidjącej energii stnu podstwowego, to jest niech φ P φ =. 39. terz zmist różnicy 39.5 budujemy Eφ E = φ H φ φ φ W zupełnie identyczny sposób zmist 39.8 dostniemy E Eφ E = n φ P n φ En E φ φ Oczywiście zeruje się człon n =, le również n mocy 39. znik skłdnik n =. Ztem terz Eφ E = n 3 φ P n φ En E φ φ Anlogiczne rozumownie pozwl terz stwierdzić, że Eφ E = Eφ E A więc po oszcowniu od góry energii stnu podstwowego, możemy powtórzyć obliczeni odpowiednio wybierjąc drugi stn φ i oszcowć od góry energię E pierwszego stnu wzbudzonego. Wybierjąc dlej stn φ ortogonlny do podprzestrzeni H i H oszcujemy od góry energię E 3 drugiego stnu wzbudzonego. W zsdzie możemy kontynuowć tkie postępownie bez ogrniczeń. Oczywiście od strony technicznej, niezbędne obliczeni mogą być niezmiernie skomplikowne Procedur obliczeń metodą wricyjną Przeprowdzoną formlną dyskusję ujmiemy w konkretną procedurę obliczeniową. Rozwżmy ukłd fizyczny, którego hmiltonin znmy, le nie potrfimy rozwiązć odpowiedniego zgdnieni włsnego. S.Kryszewski MECHANIKA KWANTOWA 84
5 U.8 Metod wricyjn 85 Wybiermy pewien stn próbny φα zleżny od prmetru α R. Wybór ten jest czsem prosty, czsem trudny. W reprezentcji położeniowej będzie to pewn funkcj flow φα, r również jkoś zleżn od prmetru α. Obliczmy wrtość funkcjonłu Eφ α = φ α H φ α, 39.7 φ α φ α więc obliczmy wrtość oczekiwną hmiltoninu w stnie ψ α i normę tego stnu. Funkcjonł ten proksymuje z góry to zpewni nierówność 39. energię E stnu podstwowego ukłdu. Obliczoną wrtość Eφ α trktujemy jko funkcję prmetru α. Szukmy jej minimum, by jk njlepiej dopsowć oszcownie. Im mniejsz jest wrtość Eφ α tym brdziej zbliżmy się od góry do poszukiwnej energii E. Używmy tu zwykłych nrzędzi nlizy mtemtycznej szuknie ekstremów funkcji. W rezultcie znjdujemy pewne α, dl którego Eφ α osiąg minimum. Stn φ α funkcję flową φα, r uznjemy z przybliżenie stnu podstwowego ukłdu, zś minimlną wrtość Eφ α z przybliżoną wrtość energii tego stnu. Wybierjąc nowy stn próbny φ ortogonlny do przybliżonego stnu podstwowego, możemy kontynuowć procedurę dl kolejnych stnów wzbudzonych o corz wyższych energich. Ewentuln degenercj niestety często utrudni obliczeni, bo komplikuje wybory stnów próbnych. Schemt ten przedstwi zsdnicze kroki przybliżonej techniki obliczeniowej zwnej metodą wricyjną Ritz. Procedurę tę możn n różne sposoby rozwijć i uogólnić. Możn n przykłd brć funkcje próbne zleżne od kilku czy kilkunstu lub więcej prmetrów. Konstrukcj tkich funkcji próbnych wymg n ogól wielkiego doświdczeni. Odpowiednie obliczeni i optymlizcj uzysknego funkcjonłu njczęściej wymgją złożonych obliczeń numerycznych. Innym sposobem uogólnieni jest tworzenie funkcji próbnych jko kombincji liniowych innych, znnych funkcji flowych, co zwykle dje się efektywnie przeprowdzić jedynie numerycznie. Metody tkie bywją często stosowne w fizyce tomowej i molekulrnej, gdzie możn stosunkowo łtwo wypisć hmiltonin, którego digonlizcj rozwiąznie zgdnieni włsnego jest nlitycznie niewykonln. Nie będziemy tu dyskutowć tkich uogólnień metody wricyjnej. Przedstwimy jeden przykłd, który wydje się być koncepcyjnie prosty, mimo to wymg dość prcochłonnych obliczeń. 39. Przykłd: energi stnu podstwowego tomu helopodobnego 39.. Omówienie problemu Atom helopodobny skłd się z jądr o łdunku Ze i dwóch elektronów. Ukłd odniesieni zwiążemy ze środkiem jądr co prktycznie odpowid środkowi msy i wypiszemy hmiltonin Ĥ = p µ Z r + p µ Z r + r r, = e 4πε Skłdniki p k µ odpowidją energii kinetycznej obu elektronów, człony Z/r k ich energii potencjlnej oddziływni coulombowskiego z jądrem. Osttni skłdnik hmiltoninu to energi S.Kryszewski MECHANIKA KWANTOWA 85
6 U.8 Metod wricyjn 86 odpychni coulombowskiego pomiędzy dwom elektronmi. Zuwżmy, że hmiltonin ten w żden sposób nie zleży od spinów elektronów. Odpychnie coulombowskie pomiędzy elektronmi wcle nie musi być młe. Jest ono dl niezbyt dużych Z podobnego rzędu, co energi potencjln oddziływni z jądrem, tk więc stosowlność rchunku zburzeń budzi wątpliwości. Nrzuc się więc zstosownie metody wricyjnej. Pierwszy krok procedury wricyjnej poleg n wyborze funkcji próbnej. Gdyby elektrony nie odpychły się, wówczs zmist hmiltoninu 39.8 mielibyśmy Ĥ no rep. = Ĥ + Ĥ, 39.9 gdzie indeks "no rep." ozncz brk odpychni elektronów ng. no repulsion, zś Ĥ k jest hmiltoninem pojedynczego elektronu, identycznym z hmiltoninem tomu wodoropodobnego. Energi stnu podstwowego tomu helopodobnego byłby równ podwojonej energii stnu podstwowego tomu wodoropodobnego ptrz 5.6 E He no rep. = E H = Z Stny funkcje włsne hmiltoninu 39.9 byłyby iloczynem dobrze nm znnych funkcji flowych ψ nlm r tomu wodoropodobnego ptrz 5.3. Dl tomu helopodobnego mielibyśmy więc φ r, r no rep. = ψ r ψ r Funkcje flowe ψ tomu wodoropodobnego są znne Z 3/ ψ r = R r Y θ, ϕ = exp Zr, π wobec czego, przy brku odpychni między elektronmi mielibyśmy φ r, r no rep. = π Z 3 exp Zr + r Niestety jednk elektrony fktycznie oddziłują między sobą, ztem powyższe rozwżni stnowią zbyt grube przybliżenie Wybór funkcji próbnej. Konstrukcj funkcjonłu Eφ Odpychnie pomiędzy elektronmi m znk +. Zmniejsz ono efektywną energię ujemną przyciągni przez jądro. Spójrzmy więc tk: jeden elektron ekrnuje jądro, przez co drugi elektron "widzi" łdunek jądr nieco mniejszy niż rzeczywisty. Dltego zmist "grubej" funkcji flowej weźmy funkcję próbną w postci φ α r, r = π α 3 exp αr + r, gdzie α jest prmetrem rzeczywistym niekoniecznie cłkowitym zstępującym Z. A więc α wyzncz efektywny łdunek αe jądr tomu helopodobnego, tki jki "widzi" jeden elektron ze względu n to, że drugi ekrnuje jądro. Spodziewmy się więc, że ów łdunek efektywny będzie mniejszy od rzeczywistego, tj. spodziewmy się α < Z. Prmetr α musimy terz dopsowć, by zgodnie z omówioną procedurą, otrzymć jk njlepsze przybliżenie. S.Kryszewski MECHANIKA KWANTOWA 86
7 U.8 Metod wricyjn 87 Rozpoczynmy od zbdni normy funkcji próbnej φ α φ α = d r d r φ α r, r =, bowiem funkcj próbn jest iloczynem unormownych funkcji flowych tomu wodoropodobnego, których normownie nie zleży od tego, czy łdunek jądr jest dny przez Z, czy też przez α. Wobec tego funkcjonł Eφ α, który oznczymy jko Eα to po prostu element mcierzowy Eα Eφ α = φ α Ĥ φ α Do tej pory nie wspominliśmy o spinch elektronów. Oczywiście funkcję próbną φ α możn uzupełnić odpowiednimi stnmi spinowymi. Jednk hmiltonin Ĥ od spinów nie zleży. Stny spinowe wchodzące w skłd elementu mcierzowego są oddzielnie unormowne, dłyby dodtkowy czynnik równy jedności. Istnienie spinu elektronów nie jest więc tu istotne i możemy iść dlej nie myśląc więcej o spinch. Obliczeni elementu mcierzowego są żmudne. Njpierw podstwimy hmiltonin Eα = φ α Ĥ + Ĥ + r r Hmiltonin elektronu H k możemy zpisć jko ptrz 4.6 H k = µr k r k r k r k + L k µr k φ α Z r k Bdmy stn podstwowy, w którym liczby kwntowe związne z orbitlnym momentem pędu są równe zeru. Dltego opertory L k nie ddzą wkłdu do elementu Pozostną jedynie części rdilne, ztem [ Eα = φ α µr r Z r r r µr r Z + φ α r r r r r Obliczmy w reprezentcji położeniowej jeden z członów różniczkowych µr r φ α r, r r r = µ r + α 3 exp αr + r r r π [ = α + α φ α r, r µ µ r Anlogiczny wynik dostniemy dl drugiego członu różniczkowego, przy czym r zostnie zstąpione przez r. Wobec tego z dostniemy [ Eα = φ α α + α + µ µ r r Z + + φ α r r r r S.Kryszewski MECHANIKA KWANTOWA 87
8 U.8 Metod wricyjn 88 Pierwszy człon w środku elementu mcierzowego jest liczbą, funkcje φ α są unormowne, więc [ Eα = α α + φ α Z + + φ α µ µ r r r r Możemy jeszcze uprościć zpis, zuwżjąc, że = /µ, czyli = /µ Eα = [ α + φ α α Z + + φ α, r r r r co w końcu sprowdz się do wyrżeni Eα = α + α Z φ α r + r φ α + φ α r r φ α, którego efektywne wyliczenie wymg obliczeni trzech tk nprwdę dwóch elementów mcierzowych cłek. Pierwsz cłk Aby znleźć element mcierzowy φ α r + r φ α wystrczy obliczyć tylko cłkę φ α φ α = d r d r φ α r, r r r = d r d r r π α 6 exp αr + r Widć, że zmin r n r nie zmieni wrtości cłki. Ztem poszukiwny element mcierzowy jest równy podwojonej wrtości powyższej cłki. Funkcj podcłkow nie zleży od orientcji wektorów r k. Przechodząc do współrzędnych sferycznych od rzu wykonujemy cłki po kątch, w ten sposób mmy φ α α 3 φ α = 6 dr r exp αr r α 3 dr r exp αr Zmienimy zmienne cłkowni x k = αr k / i dostjemy φ α α φ α = 6 dx x e x dx x e x r Cłki bierzemy z tblic cłek oznczonych. Otrzymujemy φ α α! φ α = 6 r! 3 = α Poszukiwny element mcierzowy jest, zgodnie z powyższą dyskusją, równy podwojonej wrtości obliczonej cłki, ztem φ α + φ α = α r r Podstwimy tą wrtość do funkcjonłu i mmy Eα = α + α Z α + φ α r r φ α, 39.5 Pozostje więc obliczyć osttni skłdnik drugą cłkę. S.Kryszewski MECHANIKA KWANTOWA 88
9 U.8 Metod wricyjn 89 Drug cłk Drugą cłkę w oznczymy przez J α i piszemy J α = φ α r r φ α = α 6 π d r d r r r exp αr + r Njpierw ustlmy r i obliczmy cłkę względem r J α = π α 6 d r exp α r d r r r exp α r Wektor r wyrżmy we współrzędnych sferycznych tk, by oś z był równoległ do r. Wobec tego kąt sferyczny θ jest kątem pomiędzy wektormi r r, ztem z twierdzeni cosinusów r r = i cłk J α przybier postć J α = π α 6 r + r r r cos θ exp α r d r dr r π π dϕ dθ sin θ exp r + r r r cos θ α r Cłk po ϕ jest trywiln. Dokonując zminy zmiennej cłkowni x = cos θ dostjemy J α = α 6 d r exp α r dr r π exp α r dx r + r r r x N podstwie tblic cłek nieoznczonych mmy terz dx b x = b x + = b + b Wobec tego z otrzymujemy dlej J α = π α 6 d r [ exp α r dr r r r r + r + r r exp α r r r r + r r r Cłość funkcji podcłkowej nie zleży od orientcji wektor r. Przechodzimy w cłce po d r do współrzędnych sferycznych i cłk po kątch dje czynnik 4π. Czynnik r r skrc się, ztem α 6 J α = 8 dr r exp α r dr r exp α r [ r + r r r S.Kryszewski MECHANIKA KWANTOWA 89
10 U.8 Metod wricyjn 9 Znk modułu r r zleży od tego, czy r jest większe, czy mniejsze od r. Z tego powodu cłkę po dr rozdzielmy n dwie α 6 J α = 8 dr r exp α r { r dr r exp α r [ r + r r + r + dr r exp α r [ r + r + r r }, r bowiem w pierwszej cłce po dr mmy r r czyli r r, zś w drugiej r r czyli r r. Porządkując, otrzymujemy dlej α 6 J α = 6 dr r exp α r { r dr r exp α r + r dr r exp α r } Cłki w nwisie klmrowym obliczmy z pomocą tblic cłek nieoznczonych r dr r exp α r = exp α r r = exp α r [ r α [ r α r α 3 4α 3 r α 3 4α 3 r + 3 4α r dr r exp α r = exp α r = exp α r [ r α + 4α [ r α r 4α r 39.6 Podstwimy wyliczone cłki do 39.6 α 6 J α = 6 dr r exp α r { 3 4α 3 + exp α r + exp α r [ r α r α 3 4α 3 } [ r α + r 4α Po elementrnych uproszczenich wewnątrz nwisu klmrowego otrzymujemy α 6 J α = 6 dr r exp α r α 3 = 4 { 3 4α 3 exp α r dr r exp { exp α r α r [ r } 4α + 3 4α [ } α r S.Kryszewski MECHANIKA KWANTOWA 9
11 U.8 Metod wricyjn 9 Wprowdzmy nową zmienną cłkowni x = α r / i mmy α [ J α = 4 dx x e x e x x + = 4 [ α dx x e x dx x e 4x Cłki w nwisie obliczmy n podstwie tblic cłek oznczonych [ α! J α = 4! 4 3! 4 = 5 8 co kończy obliczeni drugiej z potrzebnych nm cłek Dyskusj wyników dx x e 4x α, Żmudnie obliczoną drugą cłkę podstwimy do 39.5 i otrzymujemy funkcjonł Eα w postci Eα = α α + α Z + 5 α 8 = α Zα α Wyrżenie to musimy zminimlizowć, by funkcjonł Eα = φ α Ĥ φ α jk njlepiej przybliżł od góry energię stnu podstwowego tomu helopodobnego. Eα jest funkcją kwdrtową prmetru α i oczywiście m minimum, gdy α Z 5 8 =, co zchodzi dl wrtości α = Z Minimln wrtość bdnego funkcjonłu wynosząc Eα njlepiej w rmch przyjętego modelu ekrnowni jądr przez elektrony przybliż energię stnu podstwowego tomu helopodobnego. Obliczmy więc z i Eα = E Z 5 [ Z 6 = 5 6 Z Z 5 6 = [ Z Z Z 5 6 = Z Wynik ten wrto porównć z grubym oszcowniem 39.3, w którym zniedbliśmy wzjemne oddziływnie odpychnie pomiędzy elektronmi. Podsumowując stwierdzmy, że w nszym modelu ekrnownie jądr mmy: njlepsze oszcownie energii stnu podstwowego tomu helopodobnego E Z 5 = Z 5Z = Z 5 8Z Z gdzie = e /4πε orz = /µ; 39.7 S.Kryszewski MECHANIKA KWANTOWA 9
12 U.8 Metod wricyjn 9 przybliżoną funkcję flową dl tego stnu φ α r, r = π α gdzie prmetr α = Z r + r exp α, 39.7 Przybliżon wrtość energii stnu podstwowego 39.7 "poprwi" się dl dużych Z. Wrto zdć sobie sprwę z wrtości liczbowych uzysknych rezulttów. Przypomnijmy, że energi jonizcji tomu wodoru wynosi E I = / = 3.6 ev. Wobec tego ilorz / = 7. ev. Ztem, z 39.7 dl tomu helu Z = otrzymujemy E 7. 7 ev ev 77.5 ev, co zupełnie nieźle zgdz się z wrtością zmierzoną eksperymentlnie wynoszącą 78.6 ev. Błąd względny wynosi w przybliżeniu.4. Możn pokzć, że dl cięższych tomów np. dl jonu tlenu O +6, nlogiczny błąd względny jest mniejszy niż. Jk się okzuje, czym zjmiemy się z chwilę, rchunek zburzeń w pierwszym rzędzie dje gorszą zgodność z doświdczeniem Pierwszy rząd rchunku zburzeń Ponownie rozwżymy stn podstwowy tomu helopodobnego, le tym rzem w rmch rchunku zburzeń pierwszego rzędu. Zrobimy to, choć jego stosowlność może wydwć się wątpliw. Hmiltonin niezburzony przyjmiemy w postci 39.9 jko sumę dwóch hmiltoninów "wodoropodobnych". W związku z tym, niezburzon funkcj flow m postć 39.33, to jest φ r, r = Z 3 exp Zr + r π Energi niezburzonego stnu podstwowego jest sumą dwóch energii "wodoropodobnych" i jest dn w 39.3, co tutj zpiszemy jko E = Z Elektrony są obdrzone spinem, więc powinniśmy uzupełnić funkcję flową stnmi spinowymi określonymi liczbmi kwntowymi m s i m s równymi ±. Stny spinowe tworzą 4 możliwe kombincje, więc stn podstwowy jest 4-krotnie zdegenerowny. Zburzeniem będzie oczywiście coulombowskie odpychnie pomiędzy elektronmi. Hmiltonin zburzeni to V = r r. Stn podstwowy jest zdegenerowny, więc musimy zbudowć mcierz zburzeni W = φ,m s,m s V φ,m s,m s, o wymirze 4 4, bowiem uzupełniliśmy funkcję flową stnmi spinowymi. Oddziływnie V nie zleży od spinów, stny spinowe są niezleżne od orbitlnych orz ortonormlne. Tym smym, mcierz W, której elementy są numerowne liczbmi spinowymi jest digonln. Co więcej, n digonli mmy tylko jeden element mcierzowy φ V φ. Wszystkie cztery wrtości S.Kryszewski MECHANIKA KWANTOWA 9
13 U.8 Metod wricyjn 93 włsne mcierzy zburzeni są równe temu elementowi zburzenie nie usuw degenercji, spin nie jest w tym problemie istotny. Omwiny element mcierzowy jest po prostu poprwką pierwszego rzędu do energii stnu podstwowego E = φ V φ Trzeb terz obliczyć tę poprwkę. Podstwijąc funkcję flową φ według i hmiltonin zburzeni, dostjemy E = d r d r r r Z 6 π exp Zr + r Cłk t z dokłdnością do czynnik jest formlnie identyczn z cłką J α określoną w 39.5 tyle, że tutj Z zstąpiło prmetr α. Obliczeni są więc zupełnie tkie sme. Korzystjąc z wyniku 39.66, mmy od rzu E = 5 8 Z, 39.8 co kończy obliczeni. Poprwion w pierwszym rzędzie energi stnu podstwowego tomu helopodobnego wynosi więc E = E + E = Z + 5 Z 8 = Z 5Z = Z Z Dyskusj przebieg tu podobnie jk w przypdku wricyjnym. Porównując ten wynik z energią 39.7 uzyskną metodą wricyjną widzimy, że E zb > E wr, 39.8 wiemy zś, że metod wricyjn przybliż prwdziwą wrtość energii od góry. Wynik otrzymny w rmch rchunku zburzeń pierwszego rzędu m większą wrtość, jest więc rzeczywiście gorszym przybliżeniem niż rezultt wricyjny. Wynik 39.8 możn poprwić w drugim rzędzie rchunku zburzeń, mjąc ndzieję n otrzymnie lepszego przybliżeni. Ale i metodę wricyjną możn tkże ulepszć. * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * S.Kryszewski MECHANIKA KWANTOWA 93
Realizacje zmiennych są niezależne, co sprawia, że ciąg jest ciągiem niezależnych zmiennych losowych,
Klsyczn Metod Njmniejszych Kwdrtów (KMNK) Postć ć modelu jest liniow względem prmetrów (lbo nleży dokonć doprowdzeni postci modelu do liniowości względem prmetrów), Zmienne objśnijące są wielkościmi nielosowymi,
Bardziej szczegółowoRównania i nierówności kwadratowe z jedną niewiadomą
50 REPETYTORIUM 31 Równni i nierówności kwdrtowe z jedną niewidomą Równnie wielominowe to równość dwóch wyrżeń lgebricznych Kżd liczb, któr po podstwieniu w miejscu niewidomej w równniu o jednej niewidomej
Bardziej szczegółowoWykład 6 Dyfrakcja Fresnela i Fraunhofera
Wykłd 6 Dyfrkcj Fresnel i Frunhofer Zjwisko dyfrkcji (ugięci) świtł odkrył Grimldi (XVII w). Poleg ono n uginniu się promieni świetlnych przechodzących w pobliżu przeszkody (np. brzeg szczeliny). Wyjśnienie
Bardziej szczegółowoWykład 2. Pojęcie całki niewłaściwej do rachunku prawdopodobieństwa
Wykłd 2. Pojęcie cłki niewłściwej do rchunku prwdopodobieństw dr Mriusz Grządziel 4 mrc 24 Pole trpezu krzywoliniowego Przypomnienie: figurę ogrniczoną przez: wykres funkcji y = f(x), gdzie f jest funkcją
Bardziej szczegółowof(x)dx (1.7) b f(x)dx = F (x) = F (b) F (a) (1.2)
Cłk oznczon Cłkę oznczoną będziemy zpisywli jko f(x)dx (.) z fnkcji f(x), któr jest ogrniczon w przedzile domkniętym [, b]. Jk obliczyć cłkę oznczoną? Obliczmy njpierw cłkę nieoznczoną z fnkcji f(x), co
Bardziej szczegółowoMetody Lagrange a i Hamiltona w Mechanice
Metody Lgrnge i Hmilton w Mechnice Mriusz Przybycień Wydził Fizyki i Informtyki Stosownej Akdemi Górniczo-Hutnicz Wykłd 3 M. Przybycień (WFiIS AGH) Metody Lgrnge i Hmilton... Wykłd 3 1 / 15 Przestrzeń
Bardziej szczegółowoCAŁKOWANIE NUMERYCZNE
Wprowdzenie Kwdrtury węzły równoodległe Kwdrtury Guss Wzory sumcyjne Trnsport, studi niestcjonrne I stopni, semestr I rok kdemicki 01/013 Instytut L-5, Wydził Inżynierii Lądowej, Politechnik Krkowsk Ew
Bardziej szczegółowoMaciej Grzesiak. Iloczyn skalarny. 1. Iloczyn skalarny wektorów na płaszczyźnie i w przestrzeni. a b = a b cos ϕ. j) (b x. i + b y
Mciej Grzesik Iloczyn sklrny. Iloczyn sklrny wektorów n płszczyźnie i w przestrzeni Iloczyn sklrny wektorów i b określmy jko b = b cos ϕ. Bezpośrednio z definicji iloczynu sklrnego mmy, że i i = j j =
Bardziej szczegółowoCałki niewłaściwe. Rozdział Wprowadzenie Całki niewłaściwe I rodzaju
Rozdził 3 Cłki niewłściwe 3. Wprowdzenie Omwine w poprzednim rozdzile cłki oznczone są cłkmi funkcji ciągłych n przedzile domkniętym, więc funkcji ogrniczonych n przedzile skończonym. Wiele zgdnień prktycznych
Bardziej szczegółowoWyznacznikiem macierzy kwadratowej A stopnia n nazywamy liczbę det A określoną następująco:
Def.8. Wyzncznikiem mcierzy kwdrtowej stopni n nzywmy liczbę det określoną nstępująco:.det.det dl n n det det n det n, gdzie i j ozncz mcierz, którą otrzymujemy z mcierzy przez skreślenie i- tego wiersz
Bardziej szczegółowoO pewnych zgadnieniach optymalizacyjnych O pewnych zgadnieniach optymalizacyjnych
Spis tresci 1 Spis tresci 1 W wielu zgdnienich prktycznych brdzo wżne jest znjdownie optymlnego (czyli njlepszego z jkiegoś punktu widzeni) rozwiązni dnego problemu. Dl przykłdu, gdybyśmy chcieli podróżowć
Bardziej szczegółowoNotatki z Analizy Matematycznej 4. Jacek M. Jędrzejewski
Nottki z Anlizy Mtemtycznej 4 Jcek M. Jędrzejewski ROZDZIAŁ 7 Cłk Riemnn 1. Cłk nieoznczon Definicj 7.1. Niech f : (, b) R będzie dowolną funkcją. Jeżeli dl pewnej funkcji F : (, b) R spełnion jest równość
Bardziej szczegółowoCAŁKOWANIE NUMERYCZNE
Wprowdzenie Kwdrtury węzły równoodległe Kwdrtury Guss Wzory sumcyjne Trnsport, studi niestcjonrne I stopni, semestr I Instytut L-5, Wydził Inżynierii Lądowej, Politechnik Krkowsk Ew Pbisek Adm Wostko Wprowdzenie
Bardziej szczegółowoGrażyna Nowicka, Waldemar Nowicki BADANIE RÓWNOWAG KWASOWO-ZASADOWYCH W ROZTWORACH ELEKTROLITÓW AMFOTERYCZNYCH
Ćwiczenie Grżyn Nowick, Wldemr Nowicki BDNIE RÓWNOWG WSOWO-ZSDOWYC W ROZTWORC ELETROLITÓW MFOTERYCZNYC Zgdnieni: ktywność i współczynnik ktywności skłdnik roztworu. ktywność jonów i ktywność elektrolitu.
Bardziej szczegółowoMatematyka stosowana i metody numeryczne
Ew Pbisek Adm Wostko Piotr Pluciński Mtemtyk stosown i metody numeryczne Konspekt z wykłdu 0 Cłkownie numeryczne Wzory cłkowni numerycznego pozwlją n obliczenie przybliżonej wrtości cłki: I(f) = f(x) dx
Bardziej szczegółowoMacierz. Wyznacznik macierzy. Układ równań liniowych
Temt wykłdu: Mcierz. Wyzncznik mcierzy. Ukłd równń liniowych Kody kolorów: żółty nowe pojęcie pomrńczowy uwg kursyw komentrz * mterił ndobowiązkowy Ann Rjfur, Mtemtyk Zgdnieni. Pojęci. Dziłni n mcierzch.
Bardziej szczegółowoZadania. I. Podzielność liczb całkowitych
Zdni I. Podzielność liczb cłkowitych. Pewn liczb sześciocyfrow kończy się cyfrą 5. Jeśli tę cyfrę przestwimy n miejsce pierwsze ze strony lewej to otrzymmy nową liczbę cztery rzy większą od poprzedniej.
Bardziej szczegółowoZADANIA OTWARTE. Są więc takie same. Trzeba jeszcze pokazać, że wynoszą one 2b, gdyż taka jest długość krawędzi dwudziestościanu.
ZADANIA OTWARTE ZADANIE 1 DWUDZIESTOŚCIAN FOREMNY Wiemy, że z trzech złotych prostokątów możn skonstruowć dwudziestościn foremny. Wystrczy wykzć, że długości boków trójkąt ABC n rysunku obok są równe.
Bardziej szczegółowo1 Definicja całki oznaczonej
Definicj cłki oznczonej Niech dn będzie funkcj y = g(x) ciągł w przedzile [, b]. Przedził [, b] podzielimy n n podprzedziłów punktmi = x < x < x
Bardziej szczegółowoCAŁKA OZNACZONA JAKO SUMA SZEREGU
CAŁKA OZNACZONA JAKO SUMA SZEREGU Rozwżmy funkcję ciągłą x f(x) o wrtościch nieujemnych określoną n przedzile [, b]. Ustlmy [będzie to problem sttystyczny polegjący n dokłdnym sprecyzowniu informcji o
Bardziej szczegółowoMatematyka dla biologów Zajęcia nr 7.
Mtemtyk dl biologów Zjęci nr 7. Driusz Wrzosek 21 listopd 2018 Mtemtyk dl biologów Zjęci 7. 21 listopd 2018 1 / 20 Przypomnienie: funkcj pierwotn Niech F : D, gdzie D to odcinek otwrty lub cł prost ).
Bardziej szczegółowoMacierz. Wyznacznik macierzy. Układ równań liniowych
Temt wykłdu: Mcierz. Wyzncznik mcierzy. Ukłd równń liniowych Kody kolorów: Ŝółty nowe pojęcie pomrńczowy uwg kursyw komentrz * mterił ndobowiązkowy Ann Rjfur, Mtemtyk n kierunku Biologi w SGGW Zgdnieni.
Bardziej szczegółowousuwa niewymierność z mianownika wyrażenia typu
Wymgni edukcyjne n poszczególne oceny z mtemtyki Kls pierwsz zkres podstwowy. LICZBY RZECZYWISTE podje przykłdy liczb: nturlnych, cłkowitych, wymiernych, niewymiernych, pierwszych i złożonych orz przyporządkowuje
Bardziej szczegółowoRedukcja układów sił działających na bryły sztywne
1 Redukcj ukłdów sił dziłjących n bryły sztywne W zdnich tego rozdziłu wykorzystuje się zsdy redukcji ukłdów sił wykłdne w rmch mechniki ogólnej i powtórzone w tomie 1 podręcznik. Zdnie 1 Zredukowć ukłd
Bardziej szczegółowoElementy rachunku wariacyjnego
Wykłd 13 Elementy rchunku wricyjnego 13.1 Przykłdowe zgdnieni Rchunek wricyjny zjmuje się metodmi wyznczni wrtości ekstremlnych funkcjonłów określonych n pewnych przestrzenich funkcyjnych. Klsyczn teori
Bardziej szczegółowoRACHUNEK CAŁKOWY. Funkcja F jest funkcją pierwotną funkcji f na przedziale I R, jeżeli. F (x) = f (x), dla każdego x I.
RACHUNEK CAŁKOWY Funkcj F jest funkcją pierwotną funkcji f n przedzile I R, jeżeli F (x) = f (x), dl kżdego x I. Przykłd. Niech f (x) = 2x dl x (, ). Wtedy funkcje F (x) = x 2 + 5, F (x) = x 2 + 5, F (x)
Bardziej szczegółowoWektor kolumnowy m wymiarowy macierz prostokątna o wymiarze n=1 Wektor wierszowy n wymiarowy macierz prostokątna o wymiarze m=1
Rchunek mcierzowy Mcierzą A nzywmy funkcję 2-zmiennych, któr prze liczb nturlnych (i,j) gdzie i = 1,2,3,4.,m; j = 1,2,3,4,n przyporządkowuje dokłdnie jeden element ij. 11 21 A = m1 12 22 m2 1n 2n mn Wymirem
Bardziej szczegółowoWYKŁAD 5. Typy macierzy, działania na macierzach, macierz układu równań. Podstawowe wiadomości o macierzach
Mtemtyk I WYKŁD. ypy mcierzy, dziłni n mcierzch, mcierz ukłdu równń. Podstwowe widomości o mcierzch Ogóln postć ukłdu m równń liniowych lgebricznych z n niewidomymi x x n xn b x x n xn b, niewidome: x,
Bardziej szczegółowoWykład 2. Granice, ciągłość, pochodna funkcji i jej interpretacja geometryczna
1 Wykłd Grnice, ciągłość, pocodn unkcji i jej interpretcj geometryczn.1 Grnic unkcji. Grnic lewostronn i grnic prwostronn unkcji Deinicj.1 Mówimy, że liczb g jest grnicą lewostronną unkcji w punkcie =,
Bardziej szczegółowoWYZNACZANIE OGNISKOWEJ SOCZEWEK CIENKICH ZA POMOCĄ ŁAWY OPTYCZNEJ
Ćwiczenie 9 WYZNACZANIE OGNISKOWEJ SOCZEWEK CIENKICH ZA POMOCĄ ŁAWY OPTYCZNEJ 9.. Opis teoretyczny Soczewką seryczną nzywmy przezroczystą bryłę ogrniczoną dwom powierzchnimi serycznymi o promienich R i
Bardziej szczegółowo2. FUNKCJE WYMIERNE Poziom (K) lub (P)
Kls drug poziom podstwowy 1. SUMY ALGEBRAICZNE Uczeń otrzymuje ocenę dopuszczjącą lub dostteczną, jeśli: rozpoznje jednominy i sumy lgebriczne oblicz wrtości liczbowe wyrżeń lgebricznych redukuje wyrzy
Bardziej szczegółowoAnaliza Matematyczna (część II)
Anliz Mtemtyczn (część II) Krzysztof Trts Witold Bołt n podstwie wykłdów dr. Piotr Brtłomiejczyk 25 kwietni 24 roku 1 Rchunek cłkowy jednej zmiennej. 1.1 Cłk nieoznczon. Definicj 1.1.1 (funkcj pierwotn)
Bardziej szczegółowo4. RACHUNEK WEKTOROWY
4. RACHUNEK WEKTOROWY 4.1. Wektor zczepiony i wektor swoodny Uporządkowną prę punktów (A B) wyznczjącą skierowny odcinek o początku w punkcie A i końcu w punkcie B nzywmy wektorem zczepionym w punkcie
Bardziej szczegółowoLaboratorium z metod numerycznych.
Lbortorium z metod numerycznych.. ĆWICZENIA Z PODSTAW OBSŁUGI MATHCAD- Uwg: Instrukcj do ćwiczeń sporządzon jest w progrmie MthCd, nleży wygenerowć w rmch ćwiczeni podobny dokument zwierjący: Opisy, Obliczeni,
Bardziej szczegółowoLaboratorium z metod numerycznych. = ewaluacja (wyliczenie) wyrażenia - wyświetlenie wyniku
(C) - by &J. Wąs & L.Dutkiewicz & Lbortorium z metod numerycznych.. ĆWICZENIA Z PODSTAW OBSŁUGI MATHCAD- Uwg: Instrukcj do ćwiczeń sporządzon jest w progrmie MthCd, nleży wygenerowć w rmch ćwiczeni podobny
Bardziej szczegółowoPierwiastek z liczby zespolonej
Pierwistek z liczby zespolonej Twierdzenie: Istnieje dokłdnie n różnych pierwistków n-tego stopni z kżdej liczby zespolonej różnej od zer, tzn. rozwiązń równni w n z i wszystkie te pierwistki dją się zpisć
Bardziej szczegółowo(U.12) Potencjał centralny
3..24 33. U.2 Potencjł centrlny 9 Rozdził 33 U.2 Potencjł centrlny 33. Ukłd środk msy i ruch względny. Przypomnienie z fizyki klsycznej Rozwżmy dw cił o msch m i m 2. Zkłdmy, że n ten ukłd dwóch cił nie
Bardziej szczegółowoN(0, 1) ) = φ( 0, 3) = 1 φ(0, 3) = 1 0, 6179 = 0, 3821 < t α 1 e t dt α > 0. f g = fg. f = e t f = e t. U nas: g = t α 1 g = (α 1)t α 2
Zdnie X,..., X 5 N(6, 5 ) Y,..., Y 6 N(7, 5 ) X N(6, 5 6 ) Ȳ N(7, 5 6 ) Przy złożeniu niezleżności zmiennych mmy: X Ȳ N(, ) po stndryzcji otrzymmy: Ȳ X N(, ) Pr(Ȳ X < ) = Pr(Ȳ X < ) = φ(, 3) = φ(, 3) =,
Bardziej szczegółowoO RELACJACH MIĘDZY GRUPĄ OBROTÓW, A GRUPĄ PERMUTACJI
ZESZYTY NAUKOWE 7-45 Zenon GNIAZDOWSKI O RELACJACH MIĘDZY GRUPĄ OBROTÓW, A GRUPĄ PERMUTACJI Streszczenie W prcy omówiono grupę permutcji osi krtezjńskiego ukłdu odniesieni reprezentowną przez mcierze permutcji,
Bardziej szczegółowoModelowanie i obliczenia techniczne. Metody numeryczne w modelowaniu: Różniczkowanie i całkowanie numeryczne
Modelownie i obliczeni techniczne Metody numeryczne w modelowniu: Różniczkownie i cłkownie numeryczne Pochodn unkcji Pochodn unkcji w punkcie jest deiniown jko grnic ilorzu różnicowego (jeżeli istnieje):
Bardziej szczegółowo< f g = fg. f = e t f = e t. U nas: e t (α 1)t α 2 dt = 0 + (α 1)Γ(α 1)
Zdnie X,..., X 5 N(6, 5 ) Y,..., Y 6 N(7, 5 ) X N(6, 5 6 ) Ȳ N(7, 5 6 ) Przy złożeniu niezleżności zmiennych mmy: X Ȳ N(, ) po stndryzcji otrzymmy: Ȳ X N(, ) Pr(Ȳ X < ) = Pr(Ȳ X < ) = φ(, 3) = φ(, 3) =,
Bardziej szczegółowoWyrównanie sieci niwelacyjnej
1. Wstęp Co to jest sieć niwelcyjn Po co ją się wyrównje Co chcemy osiągnąć 2. Metod pośrednicząc Wyrównnie sieci niwelcyjnej Metod pośrednicząc i metod grpow Mmy sieć skłdjącą się z szereg pnktów. Niektóre
Bardziej szczegółowoW. Guzicki Zadanie 19 z Informatora Maturalnego poziom rozszerzony 1
W. Guzicki Zdnie 19 z Informtor turlnego poziom rozszerzony 1 Zdnie 19. Rmię D trpezu D (w którym D) przedłużono do punktu E tkiego, że E 3 D. unkt leży n podstwie orz 4. Odcinek E przecin przekątną D
Bardziej szczegółowoWyk lad 1 Podstawowe wiadomości o macierzach
Wyk ld 1 Podstwowe widomości o mcierzch Oznczeni: N {1 2 3 } - zbiór liczb nturlnych N 0 {0 1 2 } R - ci lo liczb rzeczywistych n i 1 + 2 + + n i1 1 Określenie mcierzy Niech m i n bed dowolnymi liczbmi
Bardziej szczegółowoWEKTORY skalary wektory W ogólnym przypadku, aby określić wektor, należy znać:
WEKTORY Wśród wielkości fizycznych występujących w fizyce możn wyróżnić sklry i wektory. Aby określić wielkość sklrną, wystrczy podć tylko jedną liczbę. Wielkościmi tkimi są ms, czs, tempertur, objętość
Bardziej szczegółowoWymagania edukacyjne matematyka klasa 2 zakres podstawowy 1. SUMY ALGEBRAICZNE
Wymgni edukcyjne mtemtyk kls 2 zkres podstwowy 1. SUMY ALGEBRAICZNE Uczeń otrzymuje ocenę dopuszczjącą lub dostteczną, jeśli: rozpoznje jednominy i sumy lgebriczne oblicz wrtości liczbowe wyrżeń lgebricznych
Bardziej szczegółowoPochodne i całki, macierze i wyznaczniki
Cłk oznczon Cłk niewłściw Wzór Tylor Mcierze Pochodne i cłki, mcierze i wyznczniki Stnisłw Jworski Ktedr Ekonometrii i Sttystyki Zkłd Sttystyki Stnisłw Jworski Pochodne i cłki, mcierze i wyznczniki Cłk
Bardziej szczegółowoPODSTAWY ALGEBRY MACIERZY. Operacje na macierzach
PODSTWY LGEBRY MCIERZY WIERSZ i, KOLUMN (j) Mcierz m,n, gdzie m to ilość wierszy, n ilość kolumn i,j element mcierzy z itego wiersz, jtej kolumny Opercje n mcierzch Równość mcierzy m,n = B m,n. def i,j
Bardziej szczegółowoAnaliza matematyczna i algebra liniowa
Anliz mtemtyczn i lgebr liniow Mteriły pomocnicze dl studentów do wykłdów Mcierze liczbowe i wyznczniki. Ukłdy równń liniowych. Mcierze. Wyznczniki. Mcierz odwrotn. Równni mcierzowe. Rząd mcierzy. Ukłdy
Bardziej szczegółowoMaciej Grzesiak Instytut Matematyki Politechniki Poznańskiej. Całki oznaczone. lim δ n = 0. σ n = f(ξ i ) x i. (1)
Mciej Grzesik Instytut Mtemtyki Politechniki Poznńskiej Cłki oznczone. Definicj cłki oznczonej Niech dn będzie funkcj f ciągł w przedzile [, b]. Przedził [, b] podziey n n podprzedziłów punktmi = x < x
Bardziej szczegółowoVI. Rachunek całkowy. 1. Całka nieoznaczona
VI. Rchunek cłkowy. Cłk nieoznczon Niech F : I R i f : I R będą funkcjmi określonymi n pewnym przedzile I R. Definicj. Funkcję F nzywmy funkcją pierwotną funkcji f n przedzile I, gdy F (x) = f(x) dl x
Bardziej szczegółowoAlgebra Boola i podstawy systemów liczbowych. Ćwiczenia z Teorii Układów Logicznych, dr inż. Ernest Jamro. 1. System dwójkowy reprezentacja binarna
lger Bool i podstwy systemów liczowych. Ćwiczeni z Teorii Ukłdów Logicznych, dr inż. Ernest Jmro. System dwójkowy reprezentcj inrn Ukłdy logiczne operują tylko n dwóch stnch ozncznymi jko zero (stn npięci
Bardziej szczegółowoMATeMAtyka 3 inf. Przedmiotowy system oceniania wraz z określeniem wymagań edukacyjnych. Zakres podstawowy i rozszerzony. Dorota Ponczek, Karolina Wej
Dorot Ponczek, Krolin Wej MATeMAtyk 3 inf Przedmiotowy system ocenini wrz z określeniem wymgń edukcyjnych Zkres podstwowy i rozszerzony Wyróżnione zostły nstępujące wymgni progrmowe: konieczne (K), podstwowe
Bardziej szczegółowoRozwiązania maj 2017r. Zadania zamknięte
Rozwiązni mj 2017r. Zdni zmknięte Zd 1. 5 16 5 2 5 2 Zd 2. 5 2 27 2 23 2 2 2 2 Zd 3. 2log 3 2log 5log 3 log 5 log 9 log 25log Zd. 120% 8910 1,2 8910 2,2 8910 $%, 050 Zd 5. Njłtwiej jest zuwżyć że dl 1
Bardziej szczegółowoWartość bezwzględna. Proste równania i nierówności.
Wrtość bezwzględn Proste równni i nierówności Dl liczb rzeczywistych możemy zdefiniowć opercję zwną wrtością bezwzględną lub modułem liczby Definicj 7,, Sens powyższej definicji jest nstępujący Jeżeli
Bardziej szczegółowoWprowadzenie: Do czego służą wektory?
Wprowdzenie: Do czego służą wektory? Mp połączeń smolotowych Isiget pokzuje skąd smoloty wyltują i dokąd doltują; pokzne jest to z pomocą strzłek strzłki te pokzują przemieszczenie: skąd dokąd jest dny
Bardziej szczegółowoSZTUCZNA INTELIGENCJA
SZTUCZNA INTELIGENCJA WYKŁAD 9. ZBIORY ROZMYTE Częstochow 204 Dr hb. inż. Grzegorz Dudek Wydził Elektryczny Politechnik Częstochowsk ZBIORY ROZMYTE Klsyczne pojęcie zbioru związne jest z logiką dwuwrtościową
Bardziej szczegółowoPODSTAWY BAZ DANYCH Wykład 3 2. Pojęcie Relacyjnej Bazy Danych
PODSTAWY BAZ DANYCH Wykłd 3 2. Pojęcie Relcyjnej Bzy Dnych 2005/2006 Wykłd "Podstwy z dnych" 1 Rozkłdlno dlność schemtów w relcyjnych Przykłd. Relcj EGZ(U), U := { I, N, P, O }, gdzie I 10 10 11 N f f
Bardziej szczegółowocz. 2 dr inż. Zbigniew Szklarski
Wykłd 11: Elektrosttyk cz. 2 dr inż. Zbigniew Szklrski szkl@gh.edu.pl http://lyer.uci.gh.edu.pl/z.szklrski/ Pole elektryczne przewodnik N powierzchni metlicznej (przewodzącej) cły łdunek gromdzi się n
Bardziej szczegółowoWYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI W KLASIE IIc ZAKRES PODSTAWOWY I ROZSZERZONY
WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI W KLASIE IIc ZAKRES PODSTAWOWY I ROZSZERZONY. JĘZYK MATEMATYKI oblicz wrtość bezwzględną liczby rzeczywistej stosuje interpretcję geometryczną wrtości bezwzględnej liczby
Bardziej szczegółowoa a a b M. Przybycień Matematyczne Metody Fizyki I
Relcje równowr wnowżności i klsy Definicj: Relcją określoną n zbiorze A nzywmy dowolny test porównwczy pomiędzy uporządkownymi prmi elementów elementów zbioru A. Jeśli pr (, b) œ A ä A spełni ten test,
Bardziej szczegółowoKodowanie liczb. Kodowanie stałopozycyjne liczb całkowitych. Niech liczba całkowita a ma w systemie dwójkowym postać: Kod prosty
Kodownie licz Kodownie stłopozycyjne licz cłkowitych Niech licz cłkowit m w systemie dwójkowym postć: nn 0 Wtedy może yć on przedstwion w postci ( n+)-itowej przy pomocy trzech niżej zdefiniownych kodów
Bardziej szczegółowoNiewymierność i przestępność Materiały do warsztatów na WWW6
Niewymierność i przestępność Mteriły do wrszttów n WWW6 Piotr Achinger 23 sierpni 2010 1 Wstęp 1.1 Liczby wymierne i niewymierne Pytnie 1. Czy istnieją liczby niewymierne? Zdnie 1. Wykzć, że 1. 2 / Q,
Bardziej szczegółowoTemat lekcji Zakres treści Osiągnięcia ucznia
ln wynikowy kls 2c i 2e - Jolnt jąk Mtemtyk 2. dl liceum ogólnoksztłcącego, liceum profilownego i technikum. sztłcenie ogólne w zkresie podstwowym rok szkolny 2015/2016 Wymgni edukcyjne określjące oceny:
Bardziej szczegółowo( ) Lista 2 / Granica i ciągłość funkcji ( z przykładowymi rozwiązaniami)
List / Grnic i ciągłość funkcji ( z przykłdowymi rozwiąznimi) Korzystjąc z definicji grnicy (ciągowej) funkcji uzsdnić podne równości: sin ) ( + ) ; b) ; c) + 5 Obliczyć grnice funkcji przy orz : + ) f
Bardziej szczegółowoPrace Koła Matematyków Uniwersytetu Pedagogicznego w Krakowie (2014)
Prce Koł Mt. Uniw. Ped. w Krk. 1 014), 1-5 edgogicznego w Krkowie PKoło Mtemtyków Uniwersytetu Prce Koł Mtemtyków Uniwersytetu Pedgogicznego w Krkowie 014) Bet Gwron 1 Kwdrtury Newton Cotes Streszczenie.
Bardziej szczegółowoKombinowanie o nieskończoności. 4. Jak zmierzyć?
Kombinownie o nieskończoności.. Jk zmierzyć? Projekt Mtemtyk dl ciekwych świt spisł: Michł Korch 9 kwietni 08 Trochę rzeczy z wykłdu Prezentcj multimediln do wykłdu. Nieskończone sumy Będzie nm się zdrzć
Bardziej szczegółowoZastosowanie multimetrów cyfrowych do pomiaru podstawowych wielkości elektrycznych
Zstosownie multimetrów cyfrowych do pomiru podstwowych wielkości elektrycznych Cel ćwiczeni Celem ćwiczeni jest zpoznnie się z możliwościmi pomirowymi współczesnych multimetrów cyfrowych orz sposobmi wykorzystni
Bardziej szczegółowoWymagania na ocenę dopuszczającą z matematyki klasa II Matematyka - Babiański, Chańko-Nowa Era nr prog. DKOS 4015-99/02
Wymgni n ocenę dopuszczjącą z mtemtyki kls II Mtemtyk - Bbiński, Chńko-Now Er nr prog. DKOS 4015-99/02 Temt lekcji Zkres treści Osiągnięci uczni WIELOMIANY 1. Stopień i współczynniki wielominu 2. Dodwnie
Bardziej szczegółowoWymagania kl. 2. Uczeń:
Wymgni kl. 2 Zkres podstwowy Temt lekcji Zkres treści Osiągnięci uczni. SUMY ALGEBRAICZNE. Sumy lgebriczne definicj jednominu pojęcie współczynnik jednominu porządkuje jednominy pojęcie sumy lgebricznej
Bardziej szczegółowoOznaczenia: K wymagania konieczne; P wymagania podstawowe; R wymagania rozszerzające; D wymagania dopełniające; W wymagania wykraczające
Wymgni edukcyjne z mtemtyki ls 2 b lo Zkres podstwowy Oznczeni: wymgni konieczne; wymgni podstwowe; R wymgni rozszerzjące; D wymgni dopełnijące; W wymgni wykrczjące Temt lekcji Zkres treści Osiągnięci
Bardziej szczegółowoO SZEREGACH FOURIERA. T (x) = c k e ikx
O SZEREGACH FOURIERA Funkcję postci. Wielominy i szeregi trygonometryczne. T x = N k= N c k e ikx nzywmy wielominem trygonometrycznym. Jk widć, wielomin trygonometryczny jest funkcją okresową o podstwowym
Bardziej szczegółowoMateriały diagnostyczne z matematyki poziom podstawowy
Mteriły dignostyczne z mtemtyki poziom podstwowy czerwiec 0 Klucz odpowiedzi do zdń zmkniętych orz schemt ocenini Mteriły dignostyczne przygotowł Agt Siwik we współprcy z nuczycielmi mtemtyki szkół pondgimnzjlnych:
Bardziej szczegółowoPierwiastek z liczby zespolonej
Pierwistek z liczby zespolonej Twierdzenie: Istnieje dokłdnie n różnych pierwistków n-tego stopni z kżdej liczby zespolonej różnej od zer, tzn. rozwiązń równni w n z i wszystkie te pierwistki dją się zpisć
Bardziej szczegółowoEGZAMIN MATURALNY OD ROKU SZKOLNEGO 2014/2015 MATEMATYKA POZIOM ROZSZERZONY ROZWIĄZANIA ZADAŃ I SCHEMATY PUNKTOWANIA (A1, A2, A3, A4, A6, A7)
EGZAMIN MATURALNY OD ROKU SZKOLNEGO 01/015 MATEMATYKA POZIOM ROZSZERZONY ROZWIĄZANIA ZADAŃ I SCHEMATY PUNKTOWANIA (A1, A, A, A, A6, A7) GRUDZIEŃ 01 Klucz odpowiedzi do zdń zmkniętych Nr zdni 1 5 Odpowiedź
Bardziej szczegółowoModelowanie 3 D na podstawie fotografii amatorskich
Edwrd Nowk 1, Jonn Nowk Modelownie D n podstwie fotogrfii mtorskich 1. pecyfik fotogrmetrycznego oprcowni zdjęć mtorskich wynik z fktu, że n ogół dysponujemy smymi zdjęcimi - nierzdko są to zdjęci wykonne
Bardziej szczegółowonazywamy odpowiednio dolną oraz górną sumą Darboux funkcji f w przedziale [a, b] wyznaczoną przez podział P.
Rozdził 10 Cłk Drboux 10.1 Doln i górn sum Drboux Definicj podziłu. Niech, b R, < b. Kżdy skończony ciąg P postci (10.1) P = (x 0,..., x n ), gdzie n N, = x 0 < x 1
Bardziej szczegółowoKOMPENDIUM MATURZYSTY Matematyka poziom podstawowy
KOMPENDIUM MATURZYSTY Mtemtyk poziom podstwowy Publikcj dystrybuown bezpłtnie Dostępn n stronie: Kompendium do pobrni n stronie: SPIS TREŚCI. Potęgi i pierwistki... W tym:. Wykorzystnie wzorów;. Przeksztłcnie
Bardziej szczegółowoIII. Rachunek całkowy funkcji jednej zmiennej.
III. Rchunek cłkowy funkcji jednej zmiennej. 1. Cłki nieoznczone. Niech f : I R, I R - przedził n prostej. Definicj 1.1. (funkcji pierwotnej) Funkcję F nzywmy funkcją pierwotną funkcji f n przedzile I,
Bardziej szczegółowoUkłady równań liniowych Macierze rzadkie
wr zesie ń SciLb w obliczenich numerycznych - część Sljd Ukłdy równń liniowych Mcierze rzdkie wr zesie ń SciLb w obliczenich numerycznych - część Sljd Pln zjęć. Zdnie rozwiązni ukłdu równń liniowych..
Bardziej szczegółowoKONKURS MATEMATYCZNY dla uczniów gimnazjów w roku szkolnym 2012/13. Propozycja punktowania rozwiązań zadań
KONKURS MATEMATYCZNY dl uczniów gimnzjów w roku szkolnym 0/ II etp zwodów (rejonowy) 0 listopd 0 r. Propozycj punktowni rozwiązń zdń Uwg: Z kżde poprwne rozwiąznie inne niż przewidzine w propozycji punktowni
Bardziej szczegółowoPRÓBNA MATURA Z MATEMATYKI Z OPERONEM LISTOPAD ,0. 3x 6 6 3x 6 6,
Zdnie PRÓBNA MATURA Z MATEMATYKI Z OPERONEM LISTOPAD 04 Zbiorem wszystkich rozwiązń nierówności x 6 6 jest: A, 4 0, B 4,0 C,0 4, D 0,4 Odpowiedź: C Rozwiąznie Sposób I Nierówność A 6 jest równowżn lterntywie
Bardziej szczegółowoWymagania edukacyjne matematyka klasa 2b, 2c, 2e zakres podstawowy rok szkolny 2015/2016. 1.Sumy algebraiczne
Wymgni edukcyjne mtemtyk kls 2b, 2c, 2e zkres podstwowy rok szkolny 2015/2016 1.Sumy lgebriczne N ocenę dopuszczjącą: 1. rozpoznje jednominy i sumy lgebriczne 2. oblicz wrtości liczbowe wyrżeń lgebricznych
Bardziej szczegółowoWymagania edukacyjne z matematyki
Wymgni edukcyjne z mtemtyki LICEUM OGÓLNOKSZTAŁCĄCE Kls II Poniżej przedstwiony zostł podził wymgń edukcyjnych n poszczególne oceny. Wiedz i umiejętności konieczne do opnowni (K) to zgdnieni, które są
Bardziej szczegółowoPropozycja przedmiotowego systemu oceniania wraz z określeniem wymagań edukacyjnych (zakres podstawowy)
Propozycj przedmiotowego systemu ocenini wrz z określeniem wymgń edukcyjnych (zkres podstwowy) Proponujemy, by omwijąc dne zgdnienie progrmowe lub rozwiązując zdnie, nuczyciel określł do jkiego zkresu
Bardziej szczegółowoRachunek prawdopodobieństwa i statystyka matematyczna.
Rchunek rwdoodobieństw i sttystyk mtemtyczn. Zd 8. {(, : i } Zleżność tą możn rzedstwić w ostci nstęującej interretcji grficznej: Arkdiusz Kwosk Rfł Kukliński Informtyk sem.4 gr. Srwdźmy, czy odne zmienne
Bardziej szczegółowo5.4.1. Ruch unoszenia, względny i bezwzględny
5.4.1. Ruch unozeni, zględny i bezzględny Przy ominiu ruchu punktu lub bryły zkłdliśmy, że punkt lub brył poruzły ię zględem ukłdu odnieieni x, y, z użnego z nieruchomy. Możn rozptrzyć tki z przypdek,
Bardziej szczegółowoSFORMUŁOWANIE WARIACYJNE
SFORMUŁOWANIE WARIACYJNE Abstrkt Ktrzyn Miller 1, Krolin Pelcer grup projektow 6 Zgdnienie Sformułownie wricyjne zjmuje się szukniem ekstremlnych wrtości funkcjonłów i m zstosownie w rozwiązywniu równń
Bardziej szczegółowoWymagania edukacyjne na poszczególne oceny z matematyki w klasie II poziom rozszerzony
Wymgni edukcyjne n poszczególne oceny z mtemtyki w klsie II poziom rozszerzony N ocenę dopuszczjącą, uczeń: rysuje wykres funkcji f ( x) x i podje jej włsności; sprwdz lgebricznie, czy dny punkt nleży
Bardziej szczegółowoLISTA02: Projektowanie układów drugiego rzędu Przygotowanie: 1. Jakie własności ma równanie 2-ego rzędu & x &+ bx&
LISTA: Projektownie ukłdów drugiego rzędu Przygotownie: 1. Jkie włsności m równnie -ego rzędu & &+ b + c u jeśli: ) c>; b) c; c) c< Określ położenie biegunów, stbilność, oscylcje Zdni 1: Wyzncz bieguny.
Bardziej szczegółowoCząsteczki. Opis termodynamiczny Opis kwantowy. Dlaczego atomy łącz. 2.Jak atomy łącz. 3.Co to jest wiązanie chemiczne? typy wiąza.
Cząsteczki 1.Dlczego tomy łącz czą się w cząsteczki?.jk tomy łącz czą się w cząsteczki? 3.Co to jest wiąznie chemiczne? Co to jest rząd d wiązni? Dlczego tomy łącz czą się? Opis termodynmiczny Opis kwntowy
Bardziej szczegółowoWymagania edukacyjne z matematyki FUNKCJE dopuszczającą dostateczną dobrą bardzo dobrą
Wymgni edukcyjne z mtemtyki Kls IIC. Rok szkolny 013/014 Poziom podstwowy FUNKCJE Uczeń otrzymuje ocenę dopuszczjącą lub dostteczną, jeśli: rozpoznje przyporządkowni będące funkcjmi określ funkcję różnymi
Bardziej szczegółowoEGZAMIN MATURALNY W ROKU SZKOLNYM 2014/2015
EGZAMIN MATURALNY W ROKU SZKOLNYM 0/05 FORMUŁA DO 0 ( STARA MATURA ) MATEMATYKA POZIOM PODSTAWOWY MODEL ODPOWIEDZI I SCHEMAT OCENIANIA ARKUSZE MMA-P SIERPIEŃ 05 Nr zd Klucz punktowni zdń zmkniętych 3 5
Bardziej szczegółowoWYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI DLA KLASY VIII w roku szkolnym 2015/2016
WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI DLA KLASY VIII w roku szkolnym 015/016 oprcowł: Dnut Wojcieszek n ocenę dopuszczjącą rysuje wykres funkcji f ( ) i podje jej włsności sprwdz lgebricznie, czy dny punkt
Bardziej szczegółowoKlucz odpowiedzi do zadań zamkniętych oraz schemat oceniania
Klucz odpowiedzi do zdń zmkniętych orz schemt ocenini sierpień 0 Poziom Podstwowy Schemt ocenini sierpień Poziom podstwowy Klucz punktowni zdń zmkniętych Nr zdni 4 5 6 7 8 9 0 4 5 6 7 8 9 0 4 5 Odpowiedź
Bardziej szczegółowoR + v 10 R0, 9 k v k. a k v k + v 10 a 10. k=1. Z pierwszego równania otrzymuję R 32475, 21083. Dalej mam: (R 9P + (k 1)P )v k + v 10 a 10
Zdnie. Zkłd ubezpieczeń n życie plnuje zbudownie portfel ubezpieczeniowego przy nstępujących złożenich: ozwiąznie. Przez P k będę oznczł wrtość portfel n koniec k-tego roku. Szukm P 0 tkie by spełnił:
Bardziej szczegółowoFizyka. Kurs przygotowawczy. na studia inżynierskie. mgr Kamila Haule
Fizyk Kurs przygotowwczy n studi inżynierskie mgr Kmil Hule Dzień 3 Lbortorium Pomir dlczego mierzymy? Pomir jest nieodłączną częścią nuki. Stopień znjomości rzeczy często wiąże się ze sposobem ich pomiru.
Bardziej szczegółowoBADANIE ZALEŻNOŚCI PRZENIKALNOŚCI MAGNETYCZNEJ
ADANIE ZAEŻNOŚCI PRZENIKANOŚCI MAGNETYCZNEJ FERRIMAGNETYKÓW OD TEMPERATURY 1. Teori Włściwości mgnetyczne sstncji chrkteryzje współczynnik przeniklności mgnetycznej. Dl próżni ten współczynnik jest równy
Bardziej szczegółowoMATURA 2014 z WSiP. Zasady oceniania zadań
MATURA z WSiP Mtemtyk Poziom podstwowy Zsdy ocenini zdń Copyright by Wydwnictw Szkolne i Pedgogiczne sp. z o.o., Wrszw Krtotek testu Numer zdni 6 7 8 9 6 7 8 9 Uczeń: Sprwdzn umiejętność (z numerem stndrdu)
Bardziej szczegółowoWyznacznik macierzy. - wyznacznik macierzy A
Wzncznik mcierz Uwg Wzncznik definiujem tlko dl mcierz kwdrtowch:,,,,,, =,,,,,, n n n n nn n,,, det = n,,, n n nn - mcierz - wzncznik mcierz Wzncznik mcierz to wzncznik n wektorów, które stnowią kolumn
Bardziej szczegółowo