(U.12) Potencjał centralny

Transkrypt

1 U.2 Potencjł centrlny 9 Rozdził 33 U.2 Potencjł centrlny 33. Ukłd środk msy i ruch względny. Przypomnienie z fizyki klsycznej Rozwżmy dw cił o msch m i m 2. Zkłdmy, że n ten ukłd dwóch cił nie dziłją żdne siły zewnętrzne, zś cił oddziływują przez pole centrlne o energii V V r 2 = V r r Dopuszczmy tu siły newtonowskie dziłjące wzdłuż linii łączącej obie cząstki. Niekoniecznie muszą to być siły centrlne zleżne tylko od odległości pomiędzy cząstkmi. Hmiltonin tkiego ukłdu będzie mieć oczywiście postć Rys. 33.: Dwie cząstki i ich położenie względne r 2 = r r 2. H = p2 2m + p2 2 2m 2 + V r 2, 33.2 gdzie p j = m j v j = m j rj. Hmiltonin ten jest niezleżny jwnie od czsu czs jest zmienną cykliczną, więc energi jest stłą ruchu jest zchown. Hmiltonowskie równni ruchu r j = p j m j, pj = V r 2, 33.3 ze względu n obecność energii potencjlnej nie dją się w ogólnym przypdku rozseprowć. Powyższy opis wiążemy z ukłdem odniesieni, który nzwiemy lbortoryjnym LAB. Aby rozseprowć powyższe równni wygodnie jest dokonć przejści do ukłdu odniesieni związnego ze środkiem msy rozwżnego ukłdu dwóch cząstek. Położenie środk msy względem ukłdu LAB dne jest wektorem R cm = m r + m 2 r 2 m + m Ukłd odniesieni związny ze środkiem msy oznczymy jko CM center of mss. Położeni wyrżone w LAB tj. r i r 2 związne są z położenimi x orz x 2 w CMS, z pomocą relcji r = x + R cm = m 2 r 2 m + m 2 + R cm 33.5 r 2 = x 2 + R cm = m r 2 m + m 2 + R cm. 33.5b S.Kryszewski MECHANIKA KWANTOWA 9

2 U.2 Potencjł centrlny Rys. 33.2: Ukłd środk msy znjdującego się w punkcie CM. R cm położenie środk msy względem ukłdu lbortoryjnego LAB. r, r 2 położeni cząstek w LAB. x, x 2 położeni cząstek względem środk msy. Położenie względne cząstek r 2 = r r 2 = x x 2. Biorąc pochodne czsowe w relcjch 33.5 obliczmy prędkości cząstek w LAB z pomocą ich odpowiedników w CMS. Nstępnie budujemy energię kinetyczną, któr okzuje się być postci E kin = 2 µ r m + m 2 R 2 cm, 33.6 gdzie µ = m m 2 /m + m 2 jest tzw. msą zredukowną ukłdu dwóch cząstek. Nietrudno sprwdzić, że cłkowity pęd obu cząstek w ukłdzie CMS: m x + m 2 x2 =. Wygodnie jest jednk jko zmienne knoniczne wybrć: położenie względne : r r 2, 33.7 położenie środk msy : R Rcm. 33.7b Odpowiednie pędy knoniczne otrzymmy przez różniczkownie energii kinetycznej względem r i R p = µ r, = m 2 p m p 2 m + m 2 = µ m p µ m 2 p P = m + m 2 R = p + p b Energię ukłdu hmiltonin możemy wówczs zpisć jko H = p2 2µ + P 2 2M + V r, 33.9 gdzie M = m + m 2 jest cłkowitą msą ukłdu dwóch cząstek. Hmiltonin ten prowdzi do równń ruchu r = r V r, R =. 33. Omówiony w skrócie formlizm pozwl n nstępujące wnioski: S.Kryszewski MECHANIKA KWANTOWA

3 U.2 Potencjł centrlny Z drugiego równni 33. wynik, że R = const., co ozncz, że ruch środk msy jest jednostjny, prostoliniowy n ukłd nie dziłją żdne siły zewnętrzne. Fkt ten wynik tkże ze stwierdzeni, że zmienn knoniczn R jest cykliczn nie występuje w hmiltoninie, więc odpowidjący jej pęd knoniczny jest stłą ruchu. Ukłd CMS porusz się ruchem jednostjnym względem LAB. Jeśli więc LAB był ukłdem inercjlnym, to tkim też jest CMS. Wyrżenie P 2 /2M jest energią kinetyczną ukłdu jko cłości. W myśl poprzedniego punktu jest to stł. A więc drugi skłdnik hmiltoninu 33.9 jest stłą, nie wpływ n ksztłt równń ruchu i dltego też, bez strty ogólności, możn go pominąć, pisząc H = p2 2µ + V r. 33. Innymi słowy jest to hmiltonin ukłdu dwóch cząstek w inercjlnym ukłdzie odniesieni jkim jest CMS. Oczywiście w tym ukłdzie środek msy spoczyw. Hmiltonin 33. opisuje ruch fikcyjnej cząstki względem nieruchomego centrum siły. Jest on energią ruchu względnego. Rozwiązując problem ruchu względnego w CMS i dokonując odpowiednich trnsformcji, możemy ponownie wrócić do ukłdu LAB Model molekuły dwutomowej. Potencjł Krtzer Wprowdzenie Jednym z modeli potencjłu oddziływni dwóch tomów tworzących molekułę jest tzw. potencjł Krtzer V r = 2 V r 2 2r 2, 33.2 gdzie V i są stłymi dodtnimi. Jest to dość uproszczony model, bowiem nie opisuje on wewnętrznej struktury tomów. Są tu one "w przybliżeniu" cząstkmi punktowymi o msch m i M. Potencjł ten możn stosowć do opisu molekuł, w których jeden z tomów jest zncznie cięższy np. molekuł jo dowodoru HJ. Wówczs ms zredukown ukłdu µ = mm/m + m prktycznie pokryw się z msą lżejszego tomu. Cięższy tom leży wówczs w środku ukłdu współrzędnych i z dobrym przybliżeniem jest nieruchomy. Złożenie M m nie jest jednk konieczne i będziemy się posługiwć msą zredukowną µ opisując molekułę w ukłdzie środk msy. Nie będziemy tu wnikć w przesłnki fizyczne pozwljące wyprowdzić, czy też uzsdnić postć poten- Rys. 33.3: Potencjł Krtzer cjłu Przyjmiemy, że potencjł ten może być modelem oddziływni międzytomowego w molekule dwutomowej. Zjmiemy się rozwiązywniem odpowiedniego równni Schrödinger. Problem m oczywiście symetrię sferyczną, więc stosowć będziemy rdilne równnie Schrödinger. Znim tym się zjmiemy poczynimy kilk uwg n temt potencjłu S.Kryszewski MECHANIKA KWANTOWA

4 U.2 Potencjł centrlny 2 Prmetry określjące potencjł Krtzer możn powiązć co omówimy dokłdniej nieco dlej z nstępującymi wielkościmi fizycznymi częstością drgń molekuły ω = 2V µ 2, 33.3 gdzie µ ms zredukown dwóch tomów µ = mm/m + m; momentem bezwłdności molekuły I = µ 2, 33.4 przy czym możn pokzć, że w relnych wypdkch doświdczlnych zchodzi nierówność Iω = 2V µ Potencjł Krtzer m oczywiste włsności lim V r r = +, V r =. lim r Co więcej, potencjł ten m minimum, bowiem pochodn d V r = 2 V dr r r 3 = 2 V r 2 r 33.6, 33.7 znik w punkcie r =. Wrtość V r w minimum wynosi V = V ptrz rysunek. Fkty te określją sens fizyczny prmetrów stłych V i. Są one wyznczne doświdczlnie, ich konkretne wrtości zleżą od tego jkie tomy jkich pierwistków chemicznych wchodzą w skłd bdnej molekuły Rdilne równnie Schrödinger Potencjł Krtzer jest potencjłem centrlnym, więc stosują się do niego wszelkie poczynione uprzednio uwgi. Równnie Schrödinger w ukłdzie środk msy 2 2µ 2 + V r ψ r = E ψ r, 33.8 sprowdz się do równni rdilnego 4.48, tj. { d 2 ur 2µ dr E + 2V r 2 2r 2 ll + r 2 } ur = Pełn funkcj flow we współrzędnych sferycznych jest postci ψ r = ψr, θ, ϕ = ur r przy czym funkcj rdiln ur musi spełnić wrunek ur r. Y lm θ, ϕ, Funkcj rdiln ur n pewno będzie zleżeć od orbitlnej liczby kwntowej l, tkże jk się spodziewmy od jeszcze jkieś innej. N rzie jednk nie zznczmy jwnie tych zleżności. S.Kryszewski MECHANIKA KWANTOWA 2

5 U.2 Potencjł centrlny 3 Zmienne bezwymirowe Znim przystąpimy do rozwiązni równni rdilnego, dokonmy zminy zmiennych. Wprowdzmy bezwymirową zmienną x = r = d dr = d dx = Równnie rdilne zpisne w zmiennej x przyjmuje postć d 2 ux dx 2 + 2µ 2 E µ2 V 2 x 2x 2 d 2 dr 2 = d 2 2 dx ll + x 2 Wygodnie jest wprowdzić dodtkowe bezwymirowe wielkości pomocnicze ur = β 2 = 2µ2 2 E, orz 2 = 2µ2 2 V, Liczb 2 jest w myśl poczynionych złożeń dodtni, więc R. Znk prmetru β 2 zleży od znku energii E. Stny związne do bdni których się tutj ogrniczmy odpowidją energii ujemnej E = E. Wówczs wielkość β 2 jest dodtni i możemy npisć β = 2µ 2 2 E >, co utomtycznie ustl znk liczby β. Stosując wprowdzone oznczeni w równniu sprowdzmy rdilne równnie Schrödinger do d 2 ux dx 2 + β x 2 + ll + x 2 ur = Musimy terz rozwiązć to równnie. Rozwiązni symptotyczne dl x Dl dosttecznie dużych wrtości rgumentu x możemy w równniu zniedbć człony zwierjące x w minownikch. Równnie to redukuje się wtedy do d 2 ux dx 2 β 2 ur Rozwiąznie tego równni jest nstępujące co łtwo sprwdzić ux x e βx + e βx Poniewż bet jest prmetrem dodtnim, więc rozwiąznie e βx jko nienormowlne możemy odrzucić. Wobec tego oczekujemy, że rdiln funkcj flow dl dużych x to ux x e βx S.Kryszewski MECHANIKA KWANTOWA 3

6 U.2 Potencjł centrlny 4 Rozwiązni symptotyczne dl x W tym przypdku dominuje człon zwierjący x 2. Równnie sprowdz się więc do d 2 ux dx ll + x 2 ur = Rozwiązni szukmy terz w postci ux = x s. Postult ten, po podstwieniu do 33.3 dje związek ss 2 + ll + = Jest to trójmin kwdrtowy względem niewidomej s. Jego rozwiązni to s ± = 2 ± 2 + l Prmetr jest dodtni, więc wyrżenie pod pierwistkiem jest większe niż 2. Wobec tego rozwiąznie, w którym s <, jest fizycznie niedopuszczlne, bo jest rozbieżne w zerze. A ztem jedynie możliwe jest rozwiąznie z s +, bowiem zpewni, że funkcj rdiln znik w zerze. A więc dl młych odległości międzytomowych rdiln funkcj flow powinn zchowywć się jk ux x x s, gdzie s = l > Równnie dl pomocniczej funkcji fx Biorąc pod uwgę zchownie symptotyczne i szukmy funkcji rdilnej ux w postci ux = x s e βx fx, gdzie fx jest funkcją nieznną. Musi on jednk zchowywć się "przyzwoicie", by nie popsuć przedyskutownych wyżej zchowń symptotycznych. Poszukiwn funkcj fx musi spełnić równnie, które znjdujemy, podstwijąc postult do równni rdilnego Wykonując niezbędne różniczkowni i skrcjąc czynnik x s e βx otrzymujemy x d2 fx dx 2 + 2s 2βx dfx dx βs fx = Równnie to przypomin konfluentne równnie hipergeometryczne. Aby lepiej to zobczyć, dokonmy ponownie zminy zmiennej. Tym rzem wprowdzmy ξ = 2βx = d dx = 2β d dξ = d 2 dx 2 = 4β 2 d2 dξ Po prostych przeksztłcenich, z dostjemy ξ d2 fξ dξ 2 + 2s ξ d2 fξ s 2 dξ β fξ = Rzeczywiście więc mmy równnie konfluentne hipergeometryczne ptrz Dodtki mtemtyczne z prmetrmi = s 2, orz c = 2s β S.Kryszewski MECHANIKA KWANTOWA 4

7 U.2 Potencjł centrlny 5 Możemy skorzystć ze znnych rozwiązń A.2 pisząc wrcjąc od rzu do zmiennej x fx = A F s 2, 2s, 2βx β + B x 2s F s 2 2s, 2 2s, 2βx, β gdzie do stłej B wciągnęliśmy czynnik 2β 2s. Drugi skłdnik rozwiązni po podstwieniu do wyprodukuje czynnik x s x 2s = x s. Poniewż s >, więc czynnik tki d osobliwe zchownie funkcji ux w okolicch zer. Wobec tego t część rozwiązni jest niefizyczn. Trzeb więc przyjąć B =, dzięki czemu w zostje tylko pierwszy skłdnik. Tk obliczoną funkcję fx podstwimy do otrzymując funkcję rdilną w postci ux = A x s e βx F s 2, 2s, 2βx β 33.4 Konieczn jest dlsz dyskusj uzysknego rozwiązni. Wynik to stąd, że dl dużych rgumentów konfluentn funkcj hipergeometryczn ptrz A.9 zchowuje się jk F, c, 2βx x 2βx c e 2βx, 33.4 co w zestwieniu z 33.4 sprwi, że dl dużych x-ów funkcj rdiln rozbieg jk e βx i tym smym jest nienormowln. Jedyną możliwością jest zredukownie konfluentnej funkcji hipergeometrycznej do wielominu. Zchodzi to wtedy, gdy jej pierwszy prmetr jest niedodtnią liczbą cłkowitą, to jest gdy = s 2 β = n, gdzie n =,, 2, 3, Wrunek ten omówimy nieco dlej. Wrto jednk zuwżyć, że rdiln funkcj flow zleży terz od dwóch liczb kwntowych: od l poprzez prmetr s i od wprowdzonej tu liczby n rdilnej liczby kwntowej Pełn funkcj flow Pełn funkcj flow dl molekuły w ukłdzie środk msy i we współrzędnych sferycznych m postć 33.2, Przy czym funkcj rdiln dn jest w Łącząc te wyniki i wrcjąc do wyjściowych zmiennych mmy ψ nlm r, θ, ϕ = r A exp βr r s F n, 2s, 2βr Y lm θ, ϕ, gdzie jwnie zznczyliśmy liczby kwntowe od których zleży funkcj flow. Możemy jeszcze przedefiniowć stłą normlizcyjną A wciągjąc do niej wszelkie stłe prmetry, wówczs pełn funkcj flow przyjmuje postć ψ nlm r, θ, ϕ = A r s exp Przypominmy pondto, że βr F n, 2s, 2βr β 2 = 2µ2 2 E, 2 = 2µ2 2 V, orz s = 2 + Y lm θ, ϕ, l Rdiln liczb kwntow n jest związn z pozostłymi prmetrmi poprzez relcję 33.42, co musimy jeszcze przedyskutowć. S.Kryszewski MECHANIKA KWANTOWA 5

8 U.2 Potencjł centrlny Kwntownie energii Wyrżenie ścisłe Wrunek określjący dopuszczlne fizycznie funkcje flowe przy nieujemnych n 2 β s = n, określ również dozwolone energii molekuły bowiem prmetr β zleży od energii. Istotnie, biorąc go z dostjemy 2 2 2µ 2 = n + s E Anlizujemy z złożeni tylko stny związne, dl których energi jest ujemn, więc rozwikłując powyższą formułę mmy E nl = 2 2µ 2 4 n + s W myśl wprowdzonych oznczeń mmy 2 2 /2µ 2 = V, więc wstwijąc s dne w osttecznie piszemy 2 2 E nl = V 2 n l + 2 = V n l Stn podstwowy molekuły dwutomowej, tj. stn o njniższej energii odpowid liczbom kwntowym n = l =. Jego energi wynosi E = V = E dis Rozerwnie wiązni międzytomowego wymg dostrczeni molekule włśnie tkiej energii. Jest to więc, innymi słowy, energi dysocjcji molekuły. Powyższe wyniki są ścisłe, w tym sensie, że w rmch nszego modelu nie poczyniliśmy żdnych dodtkowych złożeń uprszczjących. Otrzymne poziomy energetyczne, są numerowne liczbmi kwntowymi n i l, które są nieujemnymi liczbmi cłkowitymi. Dl dnego l, mgnetyczn liczb kwntow m przyjmuje 2l + dozwolonych wrtości i tyle też wynosi degenercj poziomu E nl. Jest to, jk wiemy, degenercj o chrkterze zsdniczym, typow dl ukłdów fizycznych ze sferycznie symetrycznym potencjłem. Wyrżenie przybliżone Zuwżmy terz, że złożeni 33.5 wynik oszcownie Iω = µ 2V 2 2 =, 33.5 które przyjmiemy n rzie "n wirę", które uzsdnimy nieco dlej. Złożymy jeszcze, że liczby kwntowe n i l są niezbyt duże, tk że spełnione są wrunki dodtkowe n + 2, orz l S.Kryszewski MECHANIKA KWANTOWA 6

9 U.2 Potencjł centrlny 7 Przy tych złożenich możemy rozwinąć wyrżenie dl energii molekuły rozwinąć w szereg. Njpierw rozwiniemy pierwistek, korzystjąc ze wzoru + x + x/2 x 2 /8. Otrzymujemy wówczs E nl V + n l l Zgodnie z poczynionymi złożenimi, wszystkie wyrzy z wyjątkiem jedynki są brdzo młe. Możemy ponownie rozwinąć w szereg. Musimy jednk być ostrożni. Chcemy bowiem dokonć obliczeń z dokłdnością do wyrzów rzędu 3. Wobec tego że mmy tu skłdniki rzędu musimy w rozwinięciu uwzględnić wyrzy trzeciego rzędu. Korzystmy terz z rozwinięci + x 2 2x + 3x 2 4x 3. Stosując je do dostjemy E nl V n + 2 n + 2 n l l l l l l Wykonujemy terz wszelkie niezbędne mnożeni i potęgowni, pozostwimy jednk wyrzy co njwyżej rzędu 3. W rezultcie otrzymujemy E nl V + V 2n l n n + 2 l n Z wyrżeni tego bez trudu otrzymujemy przybliżoną wrtość energii dysocjcji E dis = E V V + V 2 2 V 8 3, co możn tkże otrzymć dokonując rozwinięci ścisłej formuły W uzysknych przybliżenich dl energii molekuły pierwszy wyrz jest równy minimlnej wrtości energii potencjlnej. Wskzuje to, że dokonliśmy rozwinięci w otoczeniu minimum energii potencjlnej V min = V. Rozwżymy to terz dokłdniej Rozwinięcie potencjłu w otoczeniu r min = Potencjł Krtzer 33.2 możemy przepisć w postci 2 V r = 2 V + r 2 + r 2 = 2 V + r 2 + r Oczywiście r jest odchyleniem odległości pomiędzy tommi tworzącymi molekułę od wrtości r min =, której odpowid minimln wrtość potencjłu. Wprowdźmy terz odchylenie bezwymirowe y i przyjmijmy, że jest ono młe, to jest y = r, orz y S.Kryszewski MECHANIKA KWANTOWA 7

10 U.2 Potencjł centrlny 8 Potencjł Krtzer zpiszemy z pomocą zmiennej y V r = 2 V + y 2 + y Ob ułmki dl młych y rozwijmy w szeregi z dokłdnością do y 2 i otrzymujemy V r = 2 V y + y 2 2 2y + 3y 2 = V + V y 2 = V + V r Widzimy więc, że potencjł Krtzer w otoczeniu minimum zchowuje się podobnie do potencjłu oscyltor hrmonicznego V osc = 2 µω2 y 2 = 2 µω2 r 2. Porównując to z wyrżeniem 33.6 odczytujemy V 2 = 2 µω2 skąd wynik ω = 2V µ 2, 33.6 co oczywiście uzsdni notcję 33.3 wprowdzoną n początku nszych rozwżń. Uzyskne przybliżenie hrmoniczne nie powinno być niczym nieoczekiwnym. Kżdą krzywą w okolicch jej minimum możn bowiem przybliżyć prbolą. Potencjł oscyltor wyzncz poziomy energetyczne rozłożone w równych odległościch wynoszących ω. Przybliżenie potencjłu Krtzer przez potencjł oscyltor jest dobre tylko w niewielkim otoczeniu minimum. Oczekujemy więc, że głębokość minimum powinn być duż w porównniu z odległościmi pomiędzy przybliżonymi poziommi oscyltorowymi. A więc powinn zchodzić relcj ω V to znczy Oczywiście relcj t jest równowżn nstępującej 2 2 V µ 2 V µ 2 V 2 2 = 2µ 2 V 2 2 = 2, ztem oszcownie por 33.5 wynik nie tylko z doświdczeni, le tkże z przybliżeni hrmonicznego. Mówiąc inczej, możemy stwierdzić, że doświdczenie potwierdz stosowlność przybliżeni hrmonicznego Dyskusj przybliżonego wyrżeni dl E nl Przybliżone wyrżenie możemy terz zpisć inczej. Z 33.6 mmy ω 2 = 2V /µ 2 orz I = µ 2, więc V = 2 Iω2 orz = 2µ 2 V 2 = 2I Iω = Iω S.Kryszewski MECHANIKA KWANTOWA 8

11 U.2 Potencjł centrlny 9 Z pomocą tych oznczeń możemy zpisć E nl w postci E nl V + Iω2 2 2 Iω n I 2 ω 2 l I 2 ω 2 n V + ω n I l I 3 ω 3 n + 2 l I 3 ω 3 n I n I 2 ω n + 2 l I 2 ω n Wyrżenie skłd się z sześciu członów, które terz po kolei omówimy. Pierwszy skłdnik to minimln wrtość potencjłu V = 2 Iω2. Nie jest on bezpośrednio mierzlny w doświdczenich typu spektroskopowego. Przy przejścich pomiędzy poziommi przy obliczniu różnic energii E = E n l E nl zwsze się on znosi. Drugi skłdnik ωn + 2 jest energią drgń hrmonicznych molekuły wzdłuż osi łączącej tomy. Liczbę kwntową n nzywmy dltego liczbą oscylcyjną. Skłdnik ten jest dodtni, więc wzbudzeni oscylcyjne podnoszą energię molekuły. Trzeci skłdnik o postci 2 2I l = 2 2I ll I wiążemy z energią rotcji molekuły wokół jej środk msy. Liczbę l nzywmy wówczs rotcyjną zmist orbitln. I ten skłdnik jest dodtni, więc tkże podnosi energię. Czwrty człon 3 2 n /2I jest ujemny. Prowdzi on do obniżeni energii drgń molekuły. Jest to typowy człon nhrmoniczny, jest to poprwk do przybliżeni hrmonicznego, bowiem potencjł Krtzer tylko w brdzo młym otoczeniu minimum jest hrmoniczny. Człon piąty o postci 3 3 n + 2 l /2I 2 ω opisuje sprzężenie pomiędzy oscylcjmi rotcją molekuły. Jest to znowu odzwierciedlenie fktycznej nhrmoniczności potencjłu Krtzer. I wreszcie człon szósty 2 3 I 2 ω n = 4 3Iω n I n Pierwszy czynnik 4 /3Iω zgodnie z złożeniem, zś n+ 2 jest niewielkie. Widzimy więc, że szósty skłdnik energii jest kolejną poprwką nhrmoniczną, n dodtek zncznie mniejszą niż poprwk kwdrtow dn czwrtym członem. Zzwyczj więc ten osttni skłdnik energii możn zniedbć. W świetle tej dyskusji przybliżoną energię molekuły w modelu Krtzer zpiszemy w postci E nl V + ω n I l I n I 2 ω n + 2 l + 2 2, choć przybliżenie to jest nieco "gorsze" niż rezultt Przypomnijmy, że rozwżni powyższe są słuszne dl liczb kwntowych n + 2 i l + 2 młych w porównniu z prmetrem = Iω/. Nsze przybliżenie, tkże i jego dyskusj zwodzą dl dużych wzbudzeń. Wtedy trzeb posługiwć się ścisłym wzorem S.Kryszewski MECHANIKA KWANTOWA 9

12 U.2 Potencjł centrlny Wrtość r w stnie podstwowym Wrtość oczekiwn r w stnie podstwowym jest po prostu średnią odległością między dwom tommi tworzącymi niewzbudzoną molekułę. Wrtość t wynosi r = ψ r ψ = dω r 2 dr ψr, θ, ϕ r ψ r, θ, ϕ, gdzie musimy podstwić funkcję flową wynikjącą z lub Aby tego dokonć, musimy ją jwnie skonstruowć i unormowć. Funkcj flow stnu podstwowego N podstwie wzoru 33.44, w którym kłdziemy n = l = m =. Prmetr s wynosi wówczs s = /4. Mmy więc ψ r, θ, ϕ = A r s exp βr F, 2s, 2βr Y θ, ϕ, 33.7 Konfluentn funkcj hipergeometryczn z pierwszym rgumentem równym niedodtniej liczbie cłkowitej jest, jk widomo, wielominem. W rozwżnym przypdku redukuje się do wielominu stopni zerowego, jest więc tożsmościowo równ ptrz tkże A.6. Hrmonik sferyczn Y = / 4π. Wobec tego funkcj flow m postć ψ r, θ, ϕ = A r s exp βr π i jej normownie nie przedstwi problemu. Obliczmy więc cłkę = dω r 2 dr ψ 2 = A 2 dω r 2 dr r 2s exp 2βr 4π = A 2 dr r 2s exp 2βr 2β 2s = A 2 Γ2s +, bowiem cłk kątow jest trywiln, zś cłkę rdilną bierzemy z tblic. Do obliczeni wrtości oczekiwnej potrzebujemy włśnie A 2, więc nie musimy zjmowć się fzą stłej normlizcyjnej i po prostu mmy A 2 = Γ2s + 2s β Obliczeni wrtości oczekiwnej odległości międzytomowej nie przedstwiją terz żdnych powżniejszych trudności. Do wzoru podstwimy funkcję flową dną w 33.7 i otrzymujemy r = A 2 dω r 2 dr r 2s exp 2βr r 4π = A 2 dr r 2s+ exp 2βr 2s+2 = A 2 Γ2s + 2, β Biorąc terz A 2 dną w dostjemy r = Γ2s + 2 Γ2s + 2β = 2s + 2β S.Kryszewski MECHANIKA KWANTOWA 2

13 U.2 Potencjł centrlny 2 Rozwżmy tutj stn podstwowy molekuły, w którym n =. Z wrunku kwntowni wynik, dl tego przypdku, że 2 = sβ. Dzięki temu z eliminujemy prmetr β, ztem r = 2s2 + s Nstępnie podstwimy s = /4 i porządkujemy otrzymne wyrżenie r = = , co stnowi wynik ścisły. Tk jk poprzednio przyjmujemy, że prmetr i rozwijmy w szereg wyrżenie pod pierwistkiem r = + 3 2Iω +, Iω gdzie podstwiliśmy = Iω/, ptrz Obliczon wrtość r jest średnią odległością pomiędzy tommi tworzącymi molekułę. jest on nieco większ niż odległość odpowidjąc minimum energii potencjlnej. * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * S.Kryszewski MECHANIKA KWANTOWA 2