(U.12) Potencjał centralny
|
|
- Agnieszka Smolińska
- 8 lat temu
- Przeglądów:
Transkrypt
1 U.2 Potencjł centrlny 9 Rozdził 33 U.2 Potencjł centrlny 33. Ukłd środk msy i ruch względny. Przypomnienie z fizyki klsycznej Rozwżmy dw cił o msch m i m 2. Zkłdmy, że n ten ukłd dwóch cił nie dziłją żdne siły zewnętrzne, zś cił oddziływują przez pole centrlne o energii V V r 2 = V r r Dopuszczmy tu siły newtonowskie dziłjące wzdłuż linii łączącej obie cząstki. Niekoniecznie muszą to być siły centrlne zleżne tylko od odległości pomiędzy cząstkmi. Hmiltonin tkiego ukłdu będzie mieć oczywiście postć Rys. 33.: Dwie cząstki i ich położenie względne r 2 = r r 2. H = p2 2m + p2 2 2m 2 + V r 2, 33.2 gdzie p j = m j v j = m j rj. Hmiltonin ten jest niezleżny jwnie od czsu czs jest zmienną cykliczną, więc energi jest stłą ruchu jest zchown. Hmiltonowskie równni ruchu r j = p j m j, pj = V r 2, 33.3 ze względu n obecność energii potencjlnej nie dją się w ogólnym przypdku rozseprowć. Powyższy opis wiążemy z ukłdem odniesieni, który nzwiemy lbortoryjnym LAB. Aby rozseprowć powyższe równni wygodnie jest dokonć przejści do ukłdu odniesieni związnego ze środkiem msy rozwżnego ukłdu dwóch cząstek. Położenie środk msy względem ukłdu LAB dne jest wektorem R cm = m r + m 2 r 2 m + m Ukłd odniesieni związny ze środkiem msy oznczymy jko CM center of mss. Położeni wyrżone w LAB tj. r i r 2 związne są z położenimi x orz x 2 w CMS, z pomocą relcji r = x + R cm = m 2 r 2 m + m 2 + R cm 33.5 r 2 = x 2 + R cm = m r 2 m + m 2 + R cm. 33.5b S.Kryszewski MECHANIKA KWANTOWA 9
2 U.2 Potencjł centrlny Rys. 33.2: Ukłd środk msy znjdującego się w punkcie CM. R cm położenie środk msy względem ukłdu lbortoryjnego LAB. r, r 2 położeni cząstek w LAB. x, x 2 położeni cząstek względem środk msy. Położenie względne cząstek r 2 = r r 2 = x x 2. Biorąc pochodne czsowe w relcjch 33.5 obliczmy prędkości cząstek w LAB z pomocą ich odpowiedników w CMS. Nstępnie budujemy energię kinetyczną, któr okzuje się być postci E kin = 2 µ r m + m 2 R 2 cm, 33.6 gdzie µ = m m 2 /m + m 2 jest tzw. msą zredukowną ukłdu dwóch cząstek. Nietrudno sprwdzić, że cłkowity pęd obu cząstek w ukłdzie CMS: m x + m 2 x2 =. Wygodnie jest jednk jko zmienne knoniczne wybrć: położenie względne : r r 2, 33.7 położenie środk msy : R Rcm. 33.7b Odpowiednie pędy knoniczne otrzymmy przez różniczkownie energii kinetycznej względem r i R p = µ r, = m 2 p m p 2 m + m 2 = µ m p µ m 2 p P = m + m 2 R = p + p b Energię ukłdu hmiltonin możemy wówczs zpisć jko H = p2 2µ + P 2 2M + V r, 33.9 gdzie M = m + m 2 jest cłkowitą msą ukłdu dwóch cząstek. Hmiltonin ten prowdzi do równń ruchu r = r V r, R =. 33. Omówiony w skrócie formlizm pozwl n nstępujące wnioski: S.Kryszewski MECHANIKA KWANTOWA
3 U.2 Potencjł centrlny Z drugiego równni 33. wynik, że R = const., co ozncz, że ruch środk msy jest jednostjny, prostoliniowy n ukłd nie dziłją żdne siły zewnętrzne. Fkt ten wynik tkże ze stwierdzeni, że zmienn knoniczn R jest cykliczn nie występuje w hmiltoninie, więc odpowidjący jej pęd knoniczny jest stłą ruchu. Ukłd CMS porusz się ruchem jednostjnym względem LAB. Jeśli więc LAB był ukłdem inercjlnym, to tkim też jest CMS. Wyrżenie P 2 /2M jest energią kinetyczną ukłdu jko cłości. W myśl poprzedniego punktu jest to stł. A więc drugi skłdnik hmiltoninu 33.9 jest stłą, nie wpływ n ksztłt równń ruchu i dltego też, bez strty ogólności, możn go pominąć, pisząc H = p2 2µ + V r. 33. Innymi słowy jest to hmiltonin ukłdu dwóch cząstek w inercjlnym ukłdzie odniesieni jkim jest CMS. Oczywiście w tym ukłdzie środek msy spoczyw. Hmiltonin 33. opisuje ruch fikcyjnej cząstki względem nieruchomego centrum siły. Jest on energią ruchu względnego. Rozwiązując problem ruchu względnego w CMS i dokonując odpowiednich trnsformcji, możemy ponownie wrócić do ukłdu LAB Model molekuły dwutomowej. Potencjł Krtzer Wprowdzenie Jednym z modeli potencjłu oddziływni dwóch tomów tworzących molekułę jest tzw. potencjł Krtzer V r = 2 V r 2 2r 2, 33.2 gdzie V i są stłymi dodtnimi. Jest to dość uproszczony model, bowiem nie opisuje on wewnętrznej struktury tomów. Są tu one "w przybliżeniu" cząstkmi punktowymi o msch m i M. Potencjł ten możn stosowć do opisu molekuł, w których jeden z tomów jest zncznie cięższy np. molekuł jo dowodoru HJ. Wówczs ms zredukown ukłdu µ = mm/m + m prktycznie pokryw się z msą lżejszego tomu. Cięższy tom leży wówczs w środku ukłdu współrzędnych i z dobrym przybliżeniem jest nieruchomy. Złożenie M m nie jest jednk konieczne i będziemy się posługiwć msą zredukowną µ opisując molekułę w ukłdzie środk msy. Nie będziemy tu wnikć w przesłnki fizyczne pozwljące wyprowdzić, czy też uzsdnić postć poten- Rys. 33.3: Potencjł Krtzer cjłu Przyjmiemy, że potencjł ten może być modelem oddziływni międzytomowego w molekule dwutomowej. Zjmiemy się rozwiązywniem odpowiedniego równni Schrödinger. Problem m oczywiście symetrię sferyczną, więc stosowć będziemy rdilne równnie Schrödinger. Znim tym się zjmiemy poczynimy kilk uwg n temt potencjłu S.Kryszewski MECHANIKA KWANTOWA
4 U.2 Potencjł centrlny 2 Prmetry określjące potencjł Krtzer możn powiązć co omówimy dokłdniej nieco dlej z nstępującymi wielkościmi fizycznymi częstością drgń molekuły ω = 2V µ 2, 33.3 gdzie µ ms zredukown dwóch tomów µ = mm/m + m; momentem bezwłdności molekuły I = µ 2, 33.4 przy czym możn pokzć, że w relnych wypdkch doświdczlnych zchodzi nierówność Iω = 2V µ Potencjł Krtzer m oczywiste włsności lim V r r = +, V r =. lim r Co więcej, potencjł ten m minimum, bowiem pochodn d V r = 2 V dr r r 3 = 2 V r 2 r 33.6, 33.7 znik w punkcie r =. Wrtość V r w minimum wynosi V = V ptrz rysunek. Fkty te określją sens fizyczny prmetrów stłych V i. Są one wyznczne doświdczlnie, ich konkretne wrtości zleżą od tego jkie tomy jkich pierwistków chemicznych wchodzą w skłd bdnej molekuły Rdilne równnie Schrödinger Potencjł Krtzer jest potencjłem centrlnym, więc stosują się do niego wszelkie poczynione uprzednio uwgi. Równnie Schrödinger w ukłdzie środk msy 2 2µ 2 + V r ψ r = E ψ r, 33.8 sprowdz się do równni rdilnego 4.48, tj. { d 2 ur 2µ dr E + 2V r 2 2r 2 ll + r 2 } ur = Pełn funkcj flow we współrzędnych sferycznych jest postci ψ r = ψr, θ, ϕ = ur r przy czym funkcj rdiln ur musi spełnić wrunek ur r. Y lm θ, ϕ, Funkcj rdiln ur n pewno będzie zleżeć od orbitlnej liczby kwntowej l, tkże jk się spodziewmy od jeszcze jkieś innej. N rzie jednk nie zznczmy jwnie tych zleżności. S.Kryszewski MECHANIKA KWANTOWA 2
5 U.2 Potencjł centrlny 3 Zmienne bezwymirowe Znim przystąpimy do rozwiązni równni rdilnego, dokonmy zminy zmiennych. Wprowdzmy bezwymirową zmienną x = r = d dr = d dx = Równnie rdilne zpisne w zmiennej x przyjmuje postć d 2 ux dx 2 + 2µ 2 E µ2 V 2 x 2x 2 d 2 dr 2 = d 2 2 dx ll + x 2 Wygodnie jest wprowdzić dodtkowe bezwymirowe wielkości pomocnicze ur = β 2 = 2µ2 2 E, orz 2 = 2µ2 2 V, Liczb 2 jest w myśl poczynionych złożeń dodtni, więc R. Znk prmetru β 2 zleży od znku energii E. Stny związne do bdni których się tutj ogrniczmy odpowidją energii ujemnej E = E. Wówczs wielkość β 2 jest dodtni i możemy npisć β = 2µ 2 2 E >, co utomtycznie ustl znk liczby β. Stosując wprowdzone oznczeni w równniu sprowdzmy rdilne równnie Schrödinger do d 2 ux dx 2 + β x 2 + ll + x 2 ur = Musimy terz rozwiązć to równnie. Rozwiązni symptotyczne dl x Dl dosttecznie dużych wrtości rgumentu x możemy w równniu zniedbć człony zwierjące x w minownikch. Równnie to redukuje się wtedy do d 2 ux dx 2 β 2 ur Rozwiąznie tego równni jest nstępujące co łtwo sprwdzić ux x e βx + e βx Poniewż bet jest prmetrem dodtnim, więc rozwiąznie e βx jko nienormowlne możemy odrzucić. Wobec tego oczekujemy, że rdiln funkcj flow dl dużych x to ux x e βx S.Kryszewski MECHANIKA KWANTOWA 3
6 U.2 Potencjł centrlny 4 Rozwiązni symptotyczne dl x W tym przypdku dominuje człon zwierjący x 2. Równnie sprowdz się więc do d 2 ux dx ll + x 2 ur = Rozwiązni szukmy terz w postci ux = x s. Postult ten, po podstwieniu do 33.3 dje związek ss 2 + ll + = Jest to trójmin kwdrtowy względem niewidomej s. Jego rozwiązni to s ± = 2 ± 2 + l Prmetr jest dodtni, więc wyrżenie pod pierwistkiem jest większe niż 2. Wobec tego rozwiąznie, w którym s <, jest fizycznie niedopuszczlne, bo jest rozbieżne w zerze. A ztem jedynie możliwe jest rozwiąznie z s +, bowiem zpewni, że funkcj rdiln znik w zerze. A więc dl młych odległości międzytomowych rdiln funkcj flow powinn zchowywć się jk ux x x s, gdzie s = l > Równnie dl pomocniczej funkcji fx Biorąc pod uwgę zchownie symptotyczne i szukmy funkcji rdilnej ux w postci ux = x s e βx fx, gdzie fx jest funkcją nieznną. Musi on jednk zchowywć się "przyzwoicie", by nie popsuć przedyskutownych wyżej zchowń symptotycznych. Poszukiwn funkcj fx musi spełnić równnie, które znjdujemy, podstwijąc postult do równni rdilnego Wykonując niezbędne różniczkowni i skrcjąc czynnik x s e βx otrzymujemy x d2 fx dx 2 + 2s 2βx dfx dx βs fx = Równnie to przypomin konfluentne równnie hipergeometryczne. Aby lepiej to zobczyć, dokonmy ponownie zminy zmiennej. Tym rzem wprowdzmy ξ = 2βx = d dx = 2β d dξ = d 2 dx 2 = 4β 2 d2 dξ Po prostych przeksztłcenich, z dostjemy ξ d2 fξ dξ 2 + 2s ξ d2 fξ s 2 dξ β fξ = Rzeczywiście więc mmy równnie konfluentne hipergeometryczne ptrz Dodtki mtemtyczne z prmetrmi = s 2, orz c = 2s β S.Kryszewski MECHANIKA KWANTOWA 4
7 U.2 Potencjł centrlny 5 Możemy skorzystć ze znnych rozwiązń A.2 pisząc wrcjąc od rzu do zmiennej x fx = A F s 2, 2s, 2βx β + B x 2s F s 2 2s, 2 2s, 2βx, β gdzie do stłej B wciągnęliśmy czynnik 2β 2s. Drugi skłdnik rozwiązni po podstwieniu do wyprodukuje czynnik x s x 2s = x s. Poniewż s >, więc czynnik tki d osobliwe zchownie funkcji ux w okolicch zer. Wobec tego t część rozwiązni jest niefizyczn. Trzeb więc przyjąć B =, dzięki czemu w zostje tylko pierwszy skłdnik. Tk obliczoną funkcję fx podstwimy do otrzymując funkcję rdilną w postci ux = A x s e βx F s 2, 2s, 2βx β 33.4 Konieczn jest dlsz dyskusj uzysknego rozwiązni. Wynik to stąd, że dl dużych rgumentów konfluentn funkcj hipergeometryczn ptrz A.9 zchowuje się jk F, c, 2βx x 2βx c e 2βx, 33.4 co w zestwieniu z 33.4 sprwi, że dl dużych x-ów funkcj rdiln rozbieg jk e βx i tym smym jest nienormowln. Jedyną możliwością jest zredukownie konfluentnej funkcji hipergeometrycznej do wielominu. Zchodzi to wtedy, gdy jej pierwszy prmetr jest niedodtnią liczbą cłkowitą, to jest gdy = s 2 β = n, gdzie n =,, 2, 3, Wrunek ten omówimy nieco dlej. Wrto jednk zuwżyć, że rdiln funkcj flow zleży terz od dwóch liczb kwntowych: od l poprzez prmetr s i od wprowdzonej tu liczby n rdilnej liczby kwntowej Pełn funkcj flow Pełn funkcj flow dl molekuły w ukłdzie środk msy i we współrzędnych sferycznych m postć 33.2, Przy czym funkcj rdiln dn jest w Łącząc te wyniki i wrcjąc do wyjściowych zmiennych mmy ψ nlm r, θ, ϕ = r A exp βr r s F n, 2s, 2βr Y lm θ, ϕ, gdzie jwnie zznczyliśmy liczby kwntowe od których zleży funkcj flow. Możemy jeszcze przedefiniowć stłą normlizcyjną A wciągjąc do niej wszelkie stłe prmetry, wówczs pełn funkcj flow przyjmuje postć ψ nlm r, θ, ϕ = A r s exp Przypominmy pondto, że βr F n, 2s, 2βr β 2 = 2µ2 2 E, 2 = 2µ2 2 V, orz s = 2 + Y lm θ, ϕ, l Rdiln liczb kwntow n jest związn z pozostłymi prmetrmi poprzez relcję 33.42, co musimy jeszcze przedyskutowć. S.Kryszewski MECHANIKA KWANTOWA 5
8 U.2 Potencjł centrlny Kwntownie energii Wyrżenie ścisłe Wrunek określjący dopuszczlne fizycznie funkcje flowe przy nieujemnych n 2 β s = n, określ również dozwolone energii molekuły bowiem prmetr β zleży od energii. Istotnie, biorąc go z dostjemy 2 2 2µ 2 = n + s E Anlizujemy z złożeni tylko stny związne, dl których energi jest ujemn, więc rozwikłując powyższą formułę mmy E nl = 2 2µ 2 4 n + s W myśl wprowdzonych oznczeń mmy 2 2 /2µ 2 = V, więc wstwijąc s dne w osttecznie piszemy 2 2 E nl = V 2 n l + 2 = V n l Stn podstwowy molekuły dwutomowej, tj. stn o njniższej energii odpowid liczbom kwntowym n = l =. Jego energi wynosi E = V = E dis Rozerwnie wiązni międzytomowego wymg dostrczeni molekule włśnie tkiej energii. Jest to więc, innymi słowy, energi dysocjcji molekuły. Powyższe wyniki są ścisłe, w tym sensie, że w rmch nszego modelu nie poczyniliśmy żdnych dodtkowych złożeń uprszczjących. Otrzymne poziomy energetyczne, są numerowne liczbmi kwntowymi n i l, które są nieujemnymi liczbmi cłkowitymi. Dl dnego l, mgnetyczn liczb kwntow m przyjmuje 2l + dozwolonych wrtości i tyle też wynosi degenercj poziomu E nl. Jest to, jk wiemy, degenercj o chrkterze zsdniczym, typow dl ukłdów fizycznych ze sferycznie symetrycznym potencjłem. Wyrżenie przybliżone Zuwżmy terz, że złożeni 33.5 wynik oszcownie Iω = µ 2V 2 2 =, 33.5 które przyjmiemy n rzie "n wirę", które uzsdnimy nieco dlej. Złożymy jeszcze, że liczby kwntowe n i l są niezbyt duże, tk że spełnione są wrunki dodtkowe n + 2, orz l S.Kryszewski MECHANIKA KWANTOWA 6
9 U.2 Potencjł centrlny 7 Przy tych złożenich możemy rozwinąć wyrżenie dl energii molekuły rozwinąć w szereg. Njpierw rozwiniemy pierwistek, korzystjąc ze wzoru + x + x/2 x 2 /8. Otrzymujemy wówczs E nl V + n l l Zgodnie z poczynionymi złożenimi, wszystkie wyrzy z wyjątkiem jedynki są brdzo młe. Możemy ponownie rozwinąć w szereg. Musimy jednk być ostrożni. Chcemy bowiem dokonć obliczeń z dokłdnością do wyrzów rzędu 3. Wobec tego że mmy tu skłdniki rzędu musimy w rozwinięciu uwzględnić wyrzy trzeciego rzędu. Korzystmy terz z rozwinięci + x 2 2x + 3x 2 4x 3. Stosując je do dostjemy E nl V n + 2 n + 2 n l l l l l l Wykonujemy terz wszelkie niezbędne mnożeni i potęgowni, pozostwimy jednk wyrzy co njwyżej rzędu 3. W rezultcie otrzymujemy E nl V + V 2n l n n + 2 l n Z wyrżeni tego bez trudu otrzymujemy przybliżoną wrtość energii dysocjcji E dis = E V V + V 2 2 V 8 3, co możn tkże otrzymć dokonując rozwinięci ścisłej formuły W uzysknych przybliżenich dl energii molekuły pierwszy wyrz jest równy minimlnej wrtości energii potencjlnej. Wskzuje to, że dokonliśmy rozwinięci w otoczeniu minimum energii potencjlnej V min = V. Rozwżymy to terz dokłdniej Rozwinięcie potencjłu w otoczeniu r min = Potencjł Krtzer 33.2 możemy przepisć w postci 2 V r = 2 V + r 2 + r 2 = 2 V + r 2 + r Oczywiście r jest odchyleniem odległości pomiędzy tommi tworzącymi molekułę od wrtości r min =, której odpowid minimln wrtość potencjłu. Wprowdźmy terz odchylenie bezwymirowe y i przyjmijmy, że jest ono młe, to jest y = r, orz y S.Kryszewski MECHANIKA KWANTOWA 7
10 U.2 Potencjł centrlny 8 Potencjł Krtzer zpiszemy z pomocą zmiennej y V r = 2 V + y 2 + y Ob ułmki dl młych y rozwijmy w szeregi z dokłdnością do y 2 i otrzymujemy V r = 2 V y + y 2 2 2y + 3y 2 = V + V y 2 = V + V r Widzimy więc, że potencjł Krtzer w otoczeniu minimum zchowuje się podobnie do potencjłu oscyltor hrmonicznego V osc = 2 µω2 y 2 = 2 µω2 r 2. Porównując to z wyrżeniem 33.6 odczytujemy V 2 = 2 µω2 skąd wynik ω = 2V µ 2, 33.6 co oczywiście uzsdni notcję 33.3 wprowdzoną n początku nszych rozwżń. Uzyskne przybliżenie hrmoniczne nie powinno być niczym nieoczekiwnym. Kżdą krzywą w okolicch jej minimum możn bowiem przybliżyć prbolą. Potencjł oscyltor wyzncz poziomy energetyczne rozłożone w równych odległościch wynoszących ω. Przybliżenie potencjłu Krtzer przez potencjł oscyltor jest dobre tylko w niewielkim otoczeniu minimum. Oczekujemy więc, że głębokość minimum powinn być duż w porównniu z odległościmi pomiędzy przybliżonymi poziommi oscyltorowymi. A więc powinn zchodzić relcj ω V to znczy Oczywiście relcj t jest równowżn nstępującej 2 2 V µ 2 V µ 2 V 2 2 = 2µ 2 V 2 2 = 2, ztem oszcownie por 33.5 wynik nie tylko z doświdczeni, le tkże z przybliżeni hrmonicznego. Mówiąc inczej, możemy stwierdzić, że doświdczenie potwierdz stosowlność przybliżeni hrmonicznego Dyskusj przybliżonego wyrżeni dl E nl Przybliżone wyrżenie możemy terz zpisć inczej. Z 33.6 mmy ω 2 = 2V /µ 2 orz I = µ 2, więc V = 2 Iω2 orz = 2µ 2 V 2 = 2I Iω = Iω S.Kryszewski MECHANIKA KWANTOWA 8
11 U.2 Potencjł centrlny 9 Z pomocą tych oznczeń możemy zpisć E nl w postci E nl V + Iω2 2 2 Iω n I 2 ω 2 l I 2 ω 2 n V + ω n I l I 3 ω 3 n + 2 l I 3 ω 3 n I n I 2 ω n + 2 l I 2 ω n Wyrżenie skłd się z sześciu członów, które terz po kolei omówimy. Pierwszy skłdnik to minimln wrtość potencjłu V = 2 Iω2. Nie jest on bezpośrednio mierzlny w doświdczenich typu spektroskopowego. Przy przejścich pomiędzy poziommi przy obliczniu różnic energii E = E n l E nl zwsze się on znosi. Drugi skłdnik ωn + 2 jest energią drgń hrmonicznych molekuły wzdłuż osi łączącej tomy. Liczbę kwntową n nzywmy dltego liczbą oscylcyjną. Skłdnik ten jest dodtni, więc wzbudzeni oscylcyjne podnoszą energię molekuły. Trzeci skłdnik o postci 2 2I l = 2 2I ll I wiążemy z energią rotcji molekuły wokół jej środk msy. Liczbę l nzywmy wówczs rotcyjną zmist orbitln. I ten skłdnik jest dodtni, więc tkże podnosi energię. Czwrty człon 3 2 n /2I jest ujemny. Prowdzi on do obniżeni energii drgń molekuły. Jest to typowy człon nhrmoniczny, jest to poprwk do przybliżeni hrmonicznego, bowiem potencjł Krtzer tylko w brdzo młym otoczeniu minimum jest hrmoniczny. Człon piąty o postci 3 3 n + 2 l /2I 2 ω opisuje sprzężenie pomiędzy oscylcjmi rotcją molekuły. Jest to znowu odzwierciedlenie fktycznej nhrmoniczności potencjłu Krtzer. I wreszcie człon szósty 2 3 I 2 ω n = 4 3Iω n I n Pierwszy czynnik 4 /3Iω zgodnie z złożeniem, zś n+ 2 jest niewielkie. Widzimy więc, że szósty skłdnik energii jest kolejną poprwką nhrmoniczną, n dodtek zncznie mniejszą niż poprwk kwdrtow dn czwrtym członem. Zzwyczj więc ten osttni skłdnik energii możn zniedbć. W świetle tej dyskusji przybliżoną energię molekuły w modelu Krtzer zpiszemy w postci E nl V + ω n I l I n I 2 ω n + 2 l + 2 2, choć przybliżenie to jest nieco "gorsze" niż rezultt Przypomnijmy, że rozwżni powyższe są słuszne dl liczb kwntowych n + 2 i l + 2 młych w porównniu z prmetrem = Iω/. Nsze przybliżenie, tkże i jego dyskusj zwodzą dl dużych wzbudzeń. Wtedy trzeb posługiwć się ścisłym wzorem S.Kryszewski MECHANIKA KWANTOWA 9
12 U.2 Potencjł centrlny Wrtość r w stnie podstwowym Wrtość oczekiwn r w stnie podstwowym jest po prostu średnią odległością między dwom tommi tworzącymi niewzbudzoną molekułę. Wrtość t wynosi r = ψ r ψ = dω r 2 dr ψr, θ, ϕ r ψ r, θ, ϕ, gdzie musimy podstwić funkcję flową wynikjącą z lub Aby tego dokonć, musimy ją jwnie skonstruowć i unormowć. Funkcj flow stnu podstwowego N podstwie wzoru 33.44, w którym kłdziemy n = l = m =. Prmetr s wynosi wówczs s = /4. Mmy więc ψ r, θ, ϕ = A r s exp βr F, 2s, 2βr Y θ, ϕ, 33.7 Konfluentn funkcj hipergeometryczn z pierwszym rgumentem równym niedodtniej liczbie cłkowitej jest, jk widomo, wielominem. W rozwżnym przypdku redukuje się do wielominu stopni zerowego, jest więc tożsmościowo równ ptrz tkże A.6. Hrmonik sferyczn Y = / 4π. Wobec tego funkcj flow m postć ψ r, θ, ϕ = A r s exp βr π i jej normownie nie przedstwi problemu. Obliczmy więc cłkę = dω r 2 dr ψ 2 = A 2 dω r 2 dr r 2s exp 2βr 4π = A 2 dr r 2s exp 2βr 2β 2s = A 2 Γ2s +, bowiem cłk kątow jest trywiln, zś cłkę rdilną bierzemy z tblic. Do obliczeni wrtości oczekiwnej potrzebujemy włśnie A 2, więc nie musimy zjmowć się fzą stłej normlizcyjnej i po prostu mmy A 2 = Γ2s + 2s β Obliczeni wrtości oczekiwnej odległości międzytomowej nie przedstwiją terz żdnych powżniejszych trudności. Do wzoru podstwimy funkcję flową dną w 33.7 i otrzymujemy r = A 2 dω r 2 dr r 2s exp 2βr r 4π = A 2 dr r 2s+ exp 2βr 2s+2 = A 2 Γ2s + 2, β Biorąc terz A 2 dną w dostjemy r = Γ2s + 2 Γ2s + 2β = 2s + 2β S.Kryszewski MECHANIKA KWANTOWA 2
13 U.2 Potencjł centrlny 2 Rozwżmy tutj stn podstwowy molekuły, w którym n =. Z wrunku kwntowni wynik, dl tego przypdku, że 2 = sβ. Dzięki temu z eliminujemy prmetr β, ztem r = 2s2 + s Nstępnie podstwimy s = /4 i porządkujemy otrzymne wyrżenie r = = , co stnowi wynik ścisły. Tk jk poprzednio przyjmujemy, że prmetr i rozwijmy w szereg wyrżenie pod pierwistkiem r = + 3 2Iω +, Iω gdzie podstwiliśmy = Iω/, ptrz Obliczon wrtość r jest średnią odległością pomiędzy tommi tworzącymi molekułę. jest on nieco większ niż odległość odpowidjąc minimum energii potencjlnej. * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * S.Kryszewski MECHANIKA KWANTOWA 2
Równania i nierówności kwadratowe z jedną niewiadomą
50 REPETYTORIUM 31 Równni i nierówności kwdrtowe z jedną niewidomą Równnie wielominowe to równość dwóch wyrżeń lgebricznych Kżd liczb, któr po podstwieniu w miejscu niewidomej w równniu o jednej niewidomej
Realizacje zmiennych są niezależne, co sprawia, że ciąg jest ciągiem niezależnych zmiennych losowych,
Klsyczn Metod Njmniejszych Kwdrtów (KMNK) Postć ć modelu jest liniow względem prmetrów (lbo nleży dokonć doprowdzeni postci modelu do liniowości względem prmetrów), Zmienne objśnijące są wielkościmi nielosowymi,
PRÓBNA MATURA Z MATEMATYKI Z OPERONEM LISTOPAD ,0. 3x 6 6 3x 6 6,
Zdnie PRÓBNA MATURA Z MATEMATYKI Z OPERONEM LISTOPAD 04 Zbiorem wszystkich rozwiązń nierówności x 6 6 jest: A, 4 0, B 4,0 C,0 4, D 0,4 Odpowiedź: C Rozwiąznie Sposób I Nierówność A 6 jest równowżn lterntywie
Grażyna Nowicka, Waldemar Nowicki BADANIE RÓWNOWAG KWASOWO-ZASADOWYCH W ROZTWORACH ELEKTROLITÓW AMFOTERYCZNYCH
Ćwiczenie Grżyn Nowick, Wldemr Nowicki BDNIE RÓWNOWG WSOWO-ZSDOWYC W ROZTWORC ELETROLITÓW MFOTERYCZNYC Zgdnieni: ktywność i współczynnik ktywności skłdnik roztworu. ktywność jonów i ktywność elektrolitu.
Zadania. I. Podzielność liczb całkowitych
Zdni I. Podzielność liczb cłkowitych. Pewn liczb sześciocyfrow kończy się cyfrą 5. Jeśli tę cyfrę przestwimy n miejsce pierwsze ze strony lewej to otrzymmy nową liczbę cztery rzy większą od poprzedniej.
Metody Lagrange a i Hamiltona w Mechanice
Metody Lgrnge i Hmilton w Mechnice Mriusz Przybycień Wydził Fizyki i Informtyki Stosownej Akdemi Górniczo-Hutnicz Wykłd 3 M. Przybycień (WFiIS AGH) Metody Lgrnge i Hmilton... Wykłd 3 1 / 15 Przestrzeń
usuwa niewymierność z mianownika wyrażenia typu
Wymgni edukcyjne n poszczególne oceny z mtemtyki Kls pierwsz zkres podstwowy. LICZBY RZECZYWISTE podje przykłdy liczb: nturlnych, cłkowitych, wymiernych, niewymiernych, pierwszych i złożonych orz przyporządkowuje
WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI W KLASIE IIc ZAKRES PODSTAWOWY I ROZSZERZONY
WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI W KLASIE IIc ZAKRES PODSTAWOWY I ROZSZERZONY. JĘZYK MATEMATYKI oblicz wrtość bezwzględną liczby rzeczywistej stosuje interpretcję geometryczną wrtości bezwzględnej liczby
2. FUNKCJE WYMIERNE Poziom (K) lub (P)
Kls drug poziom podstwowy 1. SUMY ALGEBRAICZNE Uczeń otrzymuje ocenę dopuszczjącą lub dostteczną, jeśli: rozpoznje jednominy i sumy lgebriczne oblicz wrtości liczbowe wyrżeń lgebricznych redukuje wyrzy
WYMAGANIA I KRYTERIA OCENIANIA Z MATEMATYKI W 3 LETNIM LICEUM OGÓLNOKSZTAŁCĄCYM
WYMAGANIA I KRYTERIA OCENIANIA Z MATEMATYKI W 3 LETNIM LICEUM OGÓLNOKSZTAŁCĄCYM Kls drug A, B, C, D, E, G, H zkres podstwowy 1. FUNKCJA LINIOWA rozpoznje funkcję liniową n podstwie wzoru lub wykresu rysuje
LISTA02: Projektowanie układów drugiego rzędu Przygotowanie: 1. Jakie własności ma równanie 2-ego rzędu & x &+ bx&
LISTA: Projektownie ukłdów drugiego rzędu Przygotownie: 1. Jkie włsności m równnie -ego rzędu & &+ b + c u jeśli: ) c>; b) c; c) c< Określ położenie biegunów, stbilność, oscylcje Zdni 1: Wyzncz bieguny.
Wymagania edukacyjne matematyka klasa 2 zakres podstawowy 1. SUMY ALGEBRAICZNE
Wymgni edukcyjne mtemtyk kls 2 zkres podstwowy 1. SUMY ALGEBRAICZNE Uczeń otrzymuje ocenę dopuszczjącą lub dostteczną, jeśli: rozpoznje jednominy i sumy lgebriczne oblicz wrtości liczbowe wyrżeń lgebricznych
Wymagania edukacyjne z matematyki FUNKCJE dopuszczającą dostateczną dobrą bardzo dobrą
Wymgni edukcyjne z mtemtyki Kls IIC. Rok szkolny 013/014 Poziom podstwowy FUNKCJE Uczeń otrzymuje ocenę dopuszczjącą lub dostteczną, jeśli: rozpoznje przyporządkowni będące funkcjmi określ funkcję różnymi
f(x)dx (1.7) b f(x)dx = F (x) = F (b) F (a) (1.2)
Cłk oznczon Cłkę oznczoną będziemy zpisywli jko f(x)dx (.) z fnkcji f(x), któr jest ogrniczon w przedzile domkniętym [, b]. Jk obliczyć cłkę oznczoną? Obliczmy njpierw cłkę nieoznczoną z fnkcji f(x), co
Wymagania edukacyjne na poszczególne oceny z matematyki w klasie II poziom rozszerzony
Wymgni edukcyjne n poszczególne oceny z mtemtyki w klsie II poziom rozszerzony N ocenę dopuszczjącą, uczeń: rysuje wykres funkcji f ( x) x i podje jej włsności; sprwdz lgebricznie, czy dny punkt nleży
Wykład 2. Pojęcie całki niewłaściwej do rachunku prawdopodobieństwa
Wykłd 2. Pojęcie cłki niewłściwej do rchunku prwdopodobieństw dr Mriusz Grządziel 4 mrc 24 Pole trpezu krzywoliniowego Przypomnienie: figurę ogrniczoną przez: wykres funkcji y = f(x), gdzie f jest funkcją
Rozwiązania maj 2017r. Zadania zamknięte
Rozwiązni mj 2017r. Zdni zmknięte Zd 1. 5 16 5 2 5 2 Zd 2. 5 2 27 2 23 2 2 2 2 Zd 3. 2log 3 2log 5log 3 log 5 log 9 log 25log Zd. 120% 8910 1,2 8910 2,2 8910 $%, 050 Zd 5. Njłtwiej jest zuwżyć że dl 1
Matematyka stosowana i metody numeryczne
Ew Pbisek Adm Wostko Piotr Pluciński Mtemtyk stosown i metody numeryczne Konspekt z wykłdu 0 Cłkownie numeryczne Wzory cłkowni numerycznego pozwlją n obliczenie przybliżonej wrtości cłki: I(f) = f(x) dx
Całki niewłaściwe. Rozdział Wprowadzenie Całki niewłaściwe I rodzaju
Rozdził 3 Cłki niewłściwe 3. Wprowdzenie Omwine w poprzednim rozdzile cłki oznczone są cłkmi funkcji ciągłych n przedzile domkniętym, więc funkcji ogrniczonych n przedzile skończonym. Wiele zgdnień prktycznych
< f g = fg. f = e t f = e t. U nas: e t (α 1)t α 2 dt = 0 + (α 1)Γ(α 1)
Zdnie X,..., X 5 N(6, 5 ) Y,..., Y 6 N(7, 5 ) X N(6, 5 6 ) Ȳ N(7, 5 6 ) Przy złożeniu niezleżności zmiennych mmy: X Ȳ N(, ) po stndryzcji otrzymmy: Ȳ X N(, ) Pr(Ȳ X < ) = Pr(Ȳ X < ) = φ(, 3) = φ(, 3) =,
Technikum Nr 2 im. gen. Mieczysława Smorawińskiego w Zespole Szkół Ekonomicznych w Kaliszu
Technikum Nr 2 im. gen. Mieczysłw Smorwińskiego w Zespole Szkół Ekonomicznych w Kliszu Wymgni edukcyjne niezbędne do uzyskni poszczególnych śródrocznych i rocznych ocen klsyfikcyjnych z obowiązkowych zjęć
WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI DLA KLASY VIII w roku szkolnym 2015/2016
WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI DLA KLASY VIII w roku szkolnym 015/016 oprcowł: Dnut Wojcieszek n ocenę dopuszczjącą rysuje wykres funkcji f ( ) i podje jej włsności sprwdz lgebricznie, czy dny punkt
Oznaczenia: K wymagania konieczne; P wymagania podstawowe; R wymagania rozszerzające; D wymagania dopełniające; W wymagania wykraczające
Wymgni edukcyjne z mtemtyki ls 2 b lo Zkres podstwowy Oznczeni: wymgni konieczne; wymgni podstwowe; R wymgni rozszerzjące; D wymgni dopełnijące; W wymgni wykrczjące Temt lekcji Zkres treści Osiągnięci
N(0, 1) ) = φ( 0, 3) = 1 φ(0, 3) = 1 0, 6179 = 0, 3821 < t α 1 e t dt α > 0. f g = fg. f = e t f = e t. U nas: g = t α 1 g = (α 1)t α 2
Zdnie X,..., X 5 N(6, 5 ) Y,..., Y 6 N(7, 5 ) X N(6, 5 6 ) Ȳ N(7, 5 6 ) Przy złożeniu niezleżności zmiennych mmy: X Ȳ N(, ) po stndryzcji otrzymmy: Ȳ X N(, ) Pr(Ȳ X < ) = Pr(Ȳ X < ) = φ(, 3) = φ(, 3) =,
Klucz odpowiedzi do zadań zamkniętych oraz schemat oceniania
Klucz odpowiedzi do zdń zmkniętych orz schemt ocenini sierpień 0 Poziom Podstwowy Schemt ocenini sierpień Poziom podstwowy Klucz punktowni zdń zmkniętych Nr zdni 4 5 6 7 8 9 0 4 5 6 7 8 9 0 4 5 Odpowiedź
Propozycja przedmiotowego systemu oceniania wraz z określeniem wymagań edukacyjnych (zakres podstawowy)
Propozycj przedmiotowego systemu ocenini wrz z określeniem wymgń edukcyjnych (zkres podstwowy) Proponujemy, by omwijąc dne zgdnienie progrmowe lub rozwiązując zdnie, nuczyciel określł do jkiego zkresu
Wymagania edukacyjne z matematyki Klasa IIB. Rok szkolny 2013/2014 Poziom podstawowy
Wymgni edukcyjne z mtemtyki Kls IIB. Rok szkolny 2013/2014 Poziom podstwowy FUNKCJA KWADRATOWA Uczeń otrzymuje ocenę dopuszczjącą lub dostteczną, jeśli: 2 rysuje wykres funkcji f ( ) i podje jej włsności
Wymagania kl. 2. Uczeń:
Wymgni kl. 2 Zkres podstwowy Temt lekcji Zkres treści Osiągnięci uczni. SUMY ALGEBRAICZNE. Sumy lgebriczne definicj jednominu pojęcie współczynnik jednominu porządkuje jednominy pojęcie sumy lgebricznej
Klucz odpowiedzi do zadań zamkniętych i schemat oceniania zadań otwartych
Klucz odpowiedzi do zdń zmkniętc i scemt ocenini zdń otwrtc Klucz odpowiedzi do zdń zmkniętc 4 7 9 0 4 7 9 0 D D D Scemt ocenini zdń otwrtc Zdnie (pkt) Rozwiąż nierówność x x 0 Oliczm wróżnik i miejsc
(U.18) Metoda wariacyjna
3..4 39. U.8 Metod wricyjn 8 Rozdził 39 U.8 Metod wricyjn 39. Metod wricyjn 39.. Uwgi wstępne Rchunek zburzeń stosujemy wtedy, gdy hmiltonin ukłdu możn zpisć w postci H = H + V, przy czym umiemy rozwiązć
Wymagania na poszczególne oceny z matematyki w Zespole Szkół im. St. Staszica w Pile. Kl. I poziom podstawowy
Wymgni n poszczególne oceny z mtemtyki w Zespole Szkół im. St. Stszic w Pile. LICZBY RZECZYWISTE Kl. I poziom podstwowy podje przykłdy liczb: nturlnych, cłkowitych, wymiernych, niewymiernych, pierwszych
WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI W KLASIE Ib ZAKRES PODSTAWOWY
. LICZBY RZECZYWISTE podje przykłdy liczb: nturlnych, cłkowitych, wymiernych, niewymiernych, pierwszych i złożonych orz przyporządkowuje liczbę do odpowiedniego zbioru liczb stosuje cechy podzielności
Redukcja układów sił działających na bryły sztywne
1 Redukcj ukłdów sił dziłjących n bryły sztywne W zdnich tego rozdziłu wykorzystuje się zsdy redukcji ukłdów sił wykłdne w rmch mechniki ogólnej i powtórzone w tomie 1 podręcznik. Zdnie 1 Zredukowć ukłd
EGZAMIN MATURALNY OD ROKU SZKOLNEGO 2014/2015 MATEMATYKA POZIOM ROZSZERZONY ROZWIĄZANIA ZADAŃ I SCHEMATY PUNKTOWANIA (A1, A2, A3, A4, A6, A7)
EGZAMIN MATURALNY OD ROKU SZKOLNEGO 01/015 MATEMATYKA POZIOM ROZSZERZONY ROZWIĄZANIA ZADAŃ I SCHEMATY PUNKTOWANIA (A1, A, A, A, A6, A7) GRUDZIEŃ 01 Klucz odpowiedzi do zdń zmkniętych Nr zdni 1 5 Odpowiedź
MATeMAtyka 3 inf. Przedmiotowy system oceniania wraz z określeniem wymagań edukacyjnych. Zakres podstawowy i rozszerzony. Dorota Ponczek, Karolina Wej
Dorot Ponczek, Krolin Wej MATeMAtyk 3 inf Przedmiotowy system ocenini wrz z określeniem wymgń edukcyjnych Zkres podstwowy i rozszerzony Wyróżnione zostły nstępujące wymgni progrmowe: konieczne (K), podstwowe
ZADANIA OTWARTE. Są więc takie same. Trzeba jeszcze pokazać, że wynoszą one 2b, gdyż taka jest długość krawędzi dwudziestościanu.
ZADANIA OTWARTE ZADANIE 1 DWUDZIESTOŚCIAN FOREMNY Wiemy, że z trzech złotych prostokątów możn skonstruowć dwudziestościn foremny. Wystrczy wykzć, że długości boków trójkąt ABC n rysunku obok są równe.
Wymagania edukacyjne matematyka klasa 2b, 2c, 2e zakres podstawowy rok szkolny 2015/2016. 1.Sumy algebraiczne
Wymgni edukcyjne mtemtyk kls 2b, 2c, 2e zkres podstwowy rok szkolny 2015/2016 1.Sumy lgebriczne N ocenę dopuszczjącą: 1. rozpoznje jednominy i sumy lgebriczne 2. oblicz wrtości liczbowe wyrżeń lgebricznych
WYMAGANIA NA OCENĘ DOPUSZCZAJĄCĄ DLA UCZNIÓW KLASY Ia TECHNIKUM
WYMAGANIA NA OCENĘ DOPUSZCZAJĄCĄ DLA UCZNIÓW KLASY I TECHNIKUM Egzmin poprwkowy n ocenę dopuszczjącą będzie obejmowł zdni zgodne z poniższymi wymgnimi n ocenę dopuszczjącą. Egzmin poprwkowy n wyższą ocenę
KONKURS MATEMATYCZNY dla uczniów gimnazjów w roku szkolnym 2012/13. Propozycja punktowania rozwiązań zadań
KONKURS MATEMATYCZNY dl uczniów gimnzjów w roku szkolnym 0/ II etp zwodów (rejonowy) 0 listopd 0 r. Propozycj punktowni rozwiązń zdń Uwg: Z kżde poprwne rozwiąznie inne niż przewidzine w propozycji punktowni
WYZNACZANIE OGNISKOWEJ SOCZEWEK CIENKICH ZA POMOCĄ ŁAWY OPTYCZNEJ
Ćwiczenie 9 WYZNACZANIE OGNISKOWEJ SOCZEWEK CIENKICH ZA POMOCĄ ŁAWY OPTYCZNEJ 9.. Opis teoretyczny Soczewką seryczną nzywmy przezroczystą bryłę ogrniczoną dwom powierzchnimi serycznymi o promienich R i
WEKTORY skalary wektory W ogólnym przypadku, aby określić wektor, należy znać:
WEKTORY Wśród wielkości fizycznych występujących w fizyce możn wyróżnić sklry i wektory. Aby określić wielkość sklrną, wystrczy podć tylko jedną liczbę. Wielkościmi tkimi są ms, czs, tempertur, objętość
Wymagania na ocenę dopuszczającą z matematyki klasa II Matematyka - Babiański, Chańko-Nowa Era nr prog. DKOS 4015-99/02
Wymgni n ocenę dopuszczjącą z mtemtyki kls II Mtemtyk - Bbiński, Chńko-Now Er nr prog. DKOS 4015-99/02 Temt lekcji Zkres treści Osiągnięci uczni WIELOMIANY 1. Stopień i współczynniki wielominu 2. Dodwnie
Wektor kolumnowy m wymiarowy macierz prostokątna o wymiarze n=1 Wektor wierszowy n wymiarowy macierz prostokątna o wymiarze m=1
Rchunek mcierzowy Mcierzą A nzywmy funkcję 2-zmiennych, któr prze liczb nturlnych (i,j) gdzie i = 1,2,3,4.,m; j = 1,2,3,4,n przyporządkowuje dokłdnie jeden element ij. 11 21 A = m1 12 22 m2 1n 2n mn Wymirem
Zastosowanie multimetrów cyfrowych do pomiaru podstawowych wielkości elektrycznych
Zstosownie multimetrów cyfrowych do pomiru podstwowych wielkości elektrycznych Cel ćwiczeni Celem ćwiczeni jest zpoznnie się z możliwościmi pomirowymi współczesnych multimetrów cyfrowych orz sposobmi wykorzystni
Katalog wymagań programowych na poszczególne stopnie szkolne. Matematyka. Poznać, zrozumieć
Ktlog wymgń progrmowych n poszczególne stopnie szkolne Mtemtyk. Poznć, zrozumieć Ksztłcenie w zkresie podstwowym. Kls 2 Poniżej podjemy umiejętności, jkie powinien zdobyć uczeń z kżdego dziłu, by uzyskć
CAŁKA OZNACZONA JAKO SUMA SZEREGU
CAŁKA OZNACZONA JAKO SUMA SZEREGU Rozwżmy funkcję ciągłą x f(x) o wrtościch nieujemnych określoną n przedzile [, b]. Ustlmy [będzie to problem sttystyczny polegjący n dokłdnym sprecyzowniu informcji o
Temat lekcji Zakres treści Osiągnięcia ucznia
ln wynikowy kls 2c i 2e - Jolnt jąk Mtemtyk 2. dl liceum ogólnoksztłcącego, liceum profilownego i technikum. sztłcenie ogólne w zkresie podstwowym rok szkolny 2015/2016 Wymgni edukcyjne określjące oceny:
Laboratorium z metod numerycznych.
Lbortorium z metod numerycznych.. ĆWICZENIA Z PODSTAW OBSŁUGI MATHCAD- Uwg: Instrukcj do ćwiczeń sporządzon jest w progrmie MthCd, nleży wygenerowć w rmch ćwiczeni podobny dokument zwierjący: Opisy, Obliczeni,
Równania różniczkowe cząstkowe - metoda Fouriera. Przykładowe rozwiązania i wskazówki
INSTYTUT MATEMATYKI POLITECHNIKA KRAKOWSKA Dr Mrgret Wicik e-mi: mwicik@pk.edu.p Równni różniczkowe cząstkowe - metod Fourier. Przykłdowe rozwiązni i wskzówki zd.1. Wyznczyć funkcję opisującą drgni podłużne
CAŁKOWANIE NUMERYCZNE
Wprowdzenie Kwdrtury węzły równoodległe Kwdrtury Guss Wzory sumcyjne Trnsport, studi niestcjonrne I stopni, semestr I rok kdemicki 01/013 Instytut L-5, Wydził Inżynierii Lądowej, Politechnik Krkowsk Ew
R + v 10 R0, 9 k v k. a k v k + v 10 a 10. k=1. Z pierwszego równania otrzymuję R 32475, 21083. Dalej mam: (R 9P + (k 1)P )v k + v 10 a 10
Zdnie. Zkłd ubezpieczeń n życie plnuje zbudownie portfel ubezpieczeniowego przy nstępujących złożenich: ozwiąznie. Przez P k będę oznczł wrtość portfel n koniec k-tego roku. Szukm P 0 tkie by spełnił:
W. Guzicki Zadanie 19 z Informatora Maturalnego poziom rozszerzony 1
W. Guzicki Zdnie 19 z Informtor turlnego poziom rozszerzony 1 Zdnie 19. Rmię D trpezu D (w którym D) przedłużono do punktu E tkiego, że E 3 D. unkt leży n podstwie orz 4. Odcinek E przecin przekątną D
Macierz. Wyznacznik macierzy. Układ równań liniowych
Temt wykłdu: Mcierz. Wyzncznik mcierzy. Ukłd równń liniowych Kody kolorów: żółty nowe pojęcie pomrńczowy uwg kursyw komentrz * mterił ndobowiązkowy Ann Rjfur, Mtemtyk Zgdnieni. Pojęci. Dziłni n mcierzch.
Wykład 6 Dyfrakcja Fresnela i Fraunhofera
Wykłd 6 Dyfrkcj Fresnel i Frunhofer Zjwisko dyfrkcji (ugięci) świtł odkrył Grimldi (XVII w). Poleg ono n uginniu się promieni świetlnych przechodzących w pobliżu przeszkody (np. brzeg szczeliny). Wyjśnienie
Metoda sił jest sposobem rozwiązywania układów statycznie niewyznaczalnych, czyli układów o nadliczbowych więzach (zewnętrznych i wewnętrznych).
Metod sił jest sposoem rozwiązywni ukłdów sttycznie niewyznczlnych, czyli ukłdów o ndliczowych więzch (zewnętrznych i wewnętrznych). Sprowdz się on do rozwiązni ukłdu sttycznie wyznczlnego (ukłd potwowy
CAŁKOWANIE NUMERYCZNE
Wprowdzenie Kwdrtury węzły równoodległe Kwdrtury Guss Wzory sumcyjne Trnsport, studi niestcjonrne I stopni, semestr I Instytut L-5, Wydził Inżynierii Lądowej, Politechnik Krkowsk Ew Pbisek Adm Wostko Wprowdzenie
MATURA 2014 z WSiP. Zasady oceniania zadań
MATURA z WSiP Mtemtyk Poziom podstwowy Zsdy ocenini zdń Copyright by Wydwnictw Szkolne i Pedgogiczne sp. z o.o., Wrszw Krtotek testu Numer zdni 6 7 8 9 6 7 8 9 Uczeń: Sprwdzn umiejętność (z numerem stndrdu)
Wartość bezwzględna. Proste równania i nierówności.
Wrtość bezwzględn Proste równni i nierówności Dl liczb rzeczywistych możemy zdefiniowć opercję zwną wrtością bezwzględną lub modułem liczby Definicj 7,, Sens powyższej definicji jest nstępujący Jeżeli
Laboratorium z metod numerycznych. = ewaluacja (wyliczenie) wyrażenia - wyświetlenie wyniku
(C) - by &J. Wąs & L.Dutkiewicz & Lbortorium z metod numerycznych.. ĆWICZENIA Z PODSTAW OBSŁUGI MATHCAD- Uwg: Instrukcj do ćwiczeń sporządzon jest w progrmie MthCd, nleży wygenerowć w rmch ćwiczeni podobny
Maciej Grzesiak. Iloczyn skalarny. 1. Iloczyn skalarny wektorów na płaszczyźnie i w przestrzeni. a b = a b cos ϕ. j) (b x. i + b y
Mciej Grzesik Iloczyn sklrny. Iloczyn sklrny wektorów n płszczyźnie i w przestrzeni Iloczyn sklrny wektorów i b określmy jko b = b cos ϕ. Bezpośrednio z definicji iloczynu sklrnego mmy, że i i = j j =
1 Definicja całki oznaczonej
Definicj cłki oznczonej Niech dn będzie funkcj y = g(x) ciągł w przedzile [, b]. Przedził [, b] podzielimy n n podprzedziłów punktmi = x < x < x
Struktura energetyczna ciał stałych-cd. Fizyka II dla Elektroniki, lato
Struktur energetyczn cił stłych-cd Fizyk II dl Elektroniki, lto 011 1 Fizyk II dl Elektroniki, lto 011 Przybliżenie periodycznego potencjłu sieci krystlicznej model Kronig- Penney potencjł rzeczywisty
Kombinowanie o nieskończoności. 4. Jak zmierzyć?
Kombinownie o nieskończoności.. Jk zmierzyć? Projekt Mtemtyk dl ciekwych świt spisł: Michł Korch 9 kwietni 08 Trochę rzeczy z wykłdu Prezentcj multimediln do wykłdu. Nieskończone sumy Będzie nm się zdrzć
Wymagania na poszczególne oceny z matematyki w Zespole Szkół im. St. Staszica w Pile. Kl. II poziom podstawowy
Wymgni n poszczególne oceny z mtemtyki w Zespole Szkół im. St. Stszic w Pile 1. SUMY ALGEBRAICZNE Kl. II poziom podstwowy Uczeń otrzymuje ocenę dopuszczjącą, jeśli: rozpoznje jednominy i sumy lgebriczne
Klucz odpowiedzi do zadań zamkniętych i schemat oceniania zadań otwartych
Klucz odpowiedzi do zdń zmkniętych i schemt ocenini zdń otwrtych Klucz odpowiedzi do zdń zmkniętych 4 5 6 7 8 9 0 4 5 6 7 8 9 0 D D D Schemt ocenini zdń otwrtych Zdnie (pkt) Rozwiąż nierówność x + x+ 0
Poniżej przedstawiony został podział wymagań na poszczególne oceny szkolne:
Kls technikum Przedmiotowy system ocenini wrz wymgnimi edukcyjnymi Wyróżnione zostły nstępujące wymgni progrmowe: konieczne (K), podstwowe (P), rozszerzjące (R), dopełnijące (D) i wykrczjące (W). Wymienione
Rozwiązywanie zadań z dynamicznego ruchu płaskiego część I 9
ozwiązywnie zdń z dyniczneo ruchu płskieo część I 9 Wprowdzenie ozwiązywnie zdń w oprciu o dyniczne równni ruchu (D pole n uwolnieniu z więzów kżdeo z cił w sposób znny ze sttyki. Wrunki równowi są zbliżone
mechanika analityczna 2 nierelatywistyczna L.D.Landau, E.M.Lifszyc Krótki kurs fizyki teoretycznej
mechnik nlityczn niereltywistyczn L.D.Lndu, E.M.Lifszyc Krótki kurs fizyki teoretycznej ver-8.06.07 środek msy w różnych ukłdch inercjlnych v = v ' u m v = P= P ' u m v ' m m u trnsformcj pędu istnieje
Niewymierność i przestępność Materiały do warsztatów na WWW6
Niewymierność i przestępność Mteriły do wrszttów n WWW6 Piotr Achinger 23 sierpni 2010 1 Wstęp 1.1 Liczby wymierne i niewymierne Pytnie 1. Czy istnieją liczby niewymierne? Zdnie 1. Wykzć, że 1. 2 / Q,
4. RACHUNEK WEKTOROWY
4. RACHUNEK WEKTOROWY 4.1. Wektor zczepiony i wektor swoodny Uporządkowną prę punktów (A B) wyznczjącą skierowny odcinek o początku w punkcie A i końcu w punkcie B nzywmy wektorem zczepionym w punkcie
PRZEGLĄD FUNKCJI ELEMENTARNYCH. (powtórzenie) y=f(x)=ax+b,
WYKŁAD 0 PRZEGLĄD FUNKCJI ELEMENTARNYCH (powtórzenie) 1. Funkcje liniowe Funkcją liniową nzywmy funkcję postci y=f()=+b, gdzie, b są dnymi liczbmi zwnymi odpowiednio: - współczynnik kierunkowy, b - wyrz
Notatki z Analizy Matematycznej 4. Jacek M. Jędrzejewski
Nottki z Anlizy Mtemtycznej 4 Jcek M. Jędrzejewski ROZDZIAŁ 7 Cłk Riemnn 1. Cłk nieoznczon Definicj 7.1. Niech f : (, b) R będzie dowolną funkcją. Jeżeli dl pewnej funkcji F : (, b) R spełnion jest równość
VI. Rachunek całkowy. 1. Całka nieoznaczona
VI. Rchunek cłkowy. Cłk nieoznczon Niech F : I R i f : I R będą funkcjmi określonymi n pewnym przedzile I R. Definicj. Funkcję F nzywmy funkcją pierwotną funkcji f n przedzile I, gdy F (x) = f(x) dl x
Wyrównanie sieci niwelacyjnej
1. Wstęp Co to jest sieć niwelcyjn Po co ją się wyrównje Co chcemy osiągnąć 2. Metod pośrednicząc Wyrównnie sieci niwelcyjnej Metod pośrednicząc i metod grpow Mmy sieć skłdjącą się z szereg pnktów. Niektóre
O SZEREGACH FOURIERA. T (x) = c k e ikx
O SZEREGACH FOURIERA Funkcję postci. Wielominy i szeregi trygonometryczne. T x = N k= N c k e ikx nzywmy wielominem trygonometrycznym. Jk widć, wielomin trygonometryczny jest funkcją okresową o podstwowym
Macierz. Wyznacznik macierzy. Układ równań liniowych
Temt wykłdu: Mcierz. Wyzncznik mcierzy. Ukłd równń liniowych Kody kolorów: Ŝółty nowe pojęcie pomrńczowy uwg kursyw komentrz * mterił ndobowiązkowy Ann Rjfur, Mtemtyk n kierunku Biologi w SGGW Zgdnieni.
WYKŁAD 5. Typy macierzy, działania na macierzach, macierz układu równań. Podstawowe wiadomości o macierzach
Mtemtyk I WYKŁD. ypy mcierzy, dziłni n mcierzch, mcierz ukłdu równń. Podstwowe widomości o mcierzch Ogóln postć ukłdu m równń liniowych lgebricznych z n niewidomymi x x n xn b x x n xn b, niewidome: x,
KRYTERIA OCENIANIA ODPOWIEDZI Próbna Matura z OPERONEM. Matematyka. Poziom rozszerzony. Listopad Wskazówki do rozwiązania zadania
Vdemecum i Testy GIELDAMATURALNA.PL ODBIERZ KOD DOSTĘPU* - Twój indywidulny klucz do wiedzy! *Kod n końcu klucz odpowiedzi Mtemtyk KRYTERIA OCENIANIA ODPOWIEDZI Próbn Mtur z OPERONEM Mtemtyk Poziom rozszerzony
Pierwiastek z liczby zespolonej
Pierwistek z liczby zespolonej Twierdzenie: Istnieje dokłdnie n różnych pierwistków n-tego stopni z kżdej liczby zespolonej różnej od zer, tzn. rozwiązń równni w n z i wszystkie te pierwistki dją się zpisć
O pewnych zgadnieniach optymalizacyjnych O pewnych zgadnieniach optymalizacyjnych
Spis tresci 1 Spis tresci 1 W wielu zgdnienich prktycznych brdzo wżne jest znjdownie optymlnego (czyli njlepszego z jkiegoś punktu widzeni) rozwiązni dnego problemu. Dl przykłdu, gdybyśmy chcieli podróżowć
Próbny egzamin maturalny MARZEC 2017 schemat oceniania. Klucz odpowiedzi do zadań zamkniętych C A D C C B C C C D C B A A A C A B D D C A C A C
Próbny egzmin mturlny MARZEC 7 schemt ocenini Klucz odpowiedzi do zdń zmkniętych 4 5 7 8 9 4 5 7 8 9 4 5 C A D C C B C C C D C B A A A C A B D D C A C A C Schemt ocenini zdń otwrtych Zdnie. (-) x Rozwiąż
WYMAGANIA I KRYTERIA OCENIANIA DO EGZAMINU POPRAWKOWEGO MATEMATYKA. Zakresie podstawowym i rozszerzonym. Klasa II rok szkolny 2011/2012
mgr Jolnt Chlebd mgr Mri Mślnk mgr Leszek Mślnk mgr inż. Rent itl mgr inż. Henryk Stępniowski Zespół Szkół ondgimnzjlnych Młopolsk Szkoł Gościnności w Myślenicch WYMAGANIA I RYTERIA OCENIANIA DO EGZAMINU
WYMAGANIA EDUKACYJNE NIEZBĘDNE DO UZYSKANIA POSZCZEGÓLNYCH ŚRÓDROCZNYCH I ROCZNYCH OCEN KLASYFIKACYJNYCH Z MATEMATYKI POZIOM PODSTAWOWY KLASA 2
WYMAGANIA EDUKACYJNE NIEZBĘDNE DO UZYSKANIA POSZCZEGÓLNYCH ŚRÓDROCZNYCH I ROCZNYCH OCEN KLASYFIKACYJNYCH Z MATEMATYKI POZIOM PODSTAWOWY KLASA 2 1. SUMY ALGEBRAICZNE rozpoznje jednominy i sumy lgebriczne
Elementy rachunku wariacyjnego
Wykłd 13 Elementy rchunku wricyjnego 13.1 Przykłdowe zgdnieni Rchunek wricyjny zjmuje się metodmi wyznczni wrtości ekstremlnych funkcjonłów określonych n pewnych przestrzenich funkcyjnych. Klsyczn teori
KRYTERIA OCENIANIA ODPOWIEDZI Próbna Matura z OPERONEM. Matematyka. Poziom rozszerzony. Listopad Wskazówki do rozwiązania zadania
Vdemecum i Testy GIELDAMATURALNA.PL ODBIERZ KOD DOSTĘPU* - Twój indywidulny klucz do wiedzy! *Kod n końcu klucz odpowiedzi Mtemtyk KRYTERIA OCENIANIA ODPOWIEDZI Próbn Mtur z OPERONEM Mtemtyk Poziom rozszerzony
EGZAMIN MATURALNY W ROKU SZKOLNYM 2014/2015
EGZAMIN MATURALNY W ROKU SZKOLNYM 0/05 FORMUŁA DO 0 ( STARA MATURA ) MATEMATYKA POZIOM PODSTAWOWY MODEL ODPOWIEDZI I SCHEMAT OCENIANIA ARKUSZE MMA-P SIERPIEŃ 05 Nr zd Klucz punktowni zdń zmkniętych 3 5
Część 2 7. METODA MIESZANA 1 7. METODA MIESZANA
Część 2 7. METODA MIESZANA 7. 7. METODA MIESZANA Metod mieszn poleg n jednoczesnym wykorzystniu metody sił i metody przemieszczeń przy rozwiązywniu ukłdów sttycznie niewyznczlnych. Nwiązuje on do twierdzeni
Analiza matematyczna i algebra liniowa
Anliz mtemtyczn i lgebr liniow Mteriły pomocnicze dl studentów do wykłdów Mcierze liczbowe i wyznczniki. Ukłdy równń liniowych. Mcierze. Wyznczniki. Mcierz odwrotn. Równni mcierzowe. Rząd mcierzy. Ukłdy
KOMPENDIUM MATURZYSTY Matematyka poziom podstawowy
KOMPENDIUM MATURZYSTY Mtemtyk poziom podstwowy Publikcj dystrybuown bezpłtnie Dostępn n stronie: Kompendium do pobrni n stronie: SPIS TREŚCI. Potęgi i pierwistki... W tym:. Wykorzystnie wzorów;. Przeksztłcnie
3. F jest lewostronnie ciągła
Def. Zmienną losową nzywmy funkcję X: tką, że x R : { : X( ) < x }. Ozn.: zmist pisd A = { : X( ) < x } piszemy A = { X < x } zdrzenie poleg n tym, że X( )
Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka matematyczna.
Rchunek rwdoodobieństw i sttystyk mtemtyczn. Zd 8. {(, : i } Zleżność tą możn rzedstwić w ostci nstęującej interretcji grficznej: Arkdiusz Kwosk Rfł Kukliński Informtyk sem.4 gr. Srwdźmy, czy odne zmienne
Dorota Ponczek, Karolina Wej. MATeMAtyka 2. Propozycja przedmiotowego systemu oceniania wraz z określeniem wymagań edukacyjnych.
Dorot Ponczek, Krolin Wej MATeMAtyk 2 Propozycj przedmiotowego systemu ocenini wrz z określeniem wymgń edukcyjnych Zkres podstwowy Wyróżnione zostły nstępujące wymgni progrmowe: konieczne (K), podstwowe
Załącznik nr 3 do PSO z matematyki
Złącznik nr 3 do PSO z mtemtyki Wymgni n poszczególne oceny szkolne z mtemtyki n poziomie podstwowym Chrkterystyk wymgń n poszczególne oceny: Wymgni n ocenę dopuszczjącą dotyczą zgdnień elementrnych, stnowiących
Wyznacznikiem macierzy kwadratowej A stopnia n nazywamy liczbę det A określoną następująco:
Def.8. Wyzncznikiem mcierzy kwdrtowej stopni n nzywmy liczbę det określoną nstępująco:.det.det dl n n det det n det n, gdzie i j ozncz mcierz, którą otrzymujemy z mcierzy przez skreślenie i- tego wiersz
RACHUNEK CAŁKOWY. Funkcja F jest funkcją pierwotną funkcji f na przedziale I R, jeżeli. F (x) = f (x), dla każdego x I.
RACHUNEK CAŁKOWY Funkcj F jest funkcją pierwotną funkcji f n przedzile I R, jeżeli F (x) = f (x), dl kżdego x I. Przykłd. Niech f (x) = 2x dl x (, ). Wtedy funkcje F (x) = x 2 + 5, F (x) = x 2 + 5, F (x)
PODSTAWY BAZ DANYCH Wykład 3 2. Pojęcie Relacyjnej Bazy Danych
PODSTAWY BAZ DANYCH Wykłd 3 2. Pojęcie Relcyjnej Bzy Dnych 2005/2006 Wykłd "Podstwy z dnych" 1 Rozkłdlno dlność schemtów w relcyjnych Przykłd. Relcj EGZ(U), U := { I, N, P, O }, gdzie I 10 10 11 N f f
Materiały diagnostyczne z matematyki poziom podstawowy
Mteriły dignostyczne z mtemtyki poziom podstwowy czerwiec 0 Klucz odpowiedzi do zdń zmkniętych orz schemt ocenini Mteriły dignostyczne przygotowł Agt Siwik we współprcy z nuczycielmi mtemtyki szkół pondgimnzjlnych:
EGZAMIN MATURALNY W ROKU SZKOLNYM 2014/2015
EGZAMIN MATURALNY W ROKU SZKOLNYM 04/05 FORMUŁA DO 04 ( STARA MATURA ) MATEMATYKA POZIOM ROZSZERZONY ZASADY OCENIANIA ROZWIĄZAŃ ZADAŃ ARKUSZ MMA-R CZERWIEC 05 Egzmin mturlny z mtemtyki str formuł Rozwiązni
2. Tensometria mechaniczna
. Tensometri mechniczn Wstęp Tensometr jk wskzywłby jego nzw to urządzenie służące do pomiru nprężeń. Jk jednk widomo, nprężeni nie są wielkościmi mierzlnymi i stnowią jedynie brdzo wygodne pojęcie mechniki