Metody Obliczeniowe w Nauce i Technice
|
|
- Kajetan Jankowski
- 5 lat temu
- Przeglądów:
Transkrypt
1 16. Szeregi i transformaty Fouriera Marian Bubak Department of Computer Science AGH University of Science and Technology Krakow, Poland bubak@agh.edu.pl dice.cyfronet.pl Contributors Maciej Trzebiński Mikołaj Biel Rafał Stachura
2 Outline 1 Wstęp 2 Podstawowe własności szeregów i transformat Fouriera 3 Interpolacja trygonometryczna 4 Szybka transformata Fouriera FFT dla n = 2 m 5 FFT dla przypadku ogólnego 6 Transformata Hartley a 7 Transformata Fouriera w internecie
3 Wstęp Wstęp Przykładowe zastosowania transformaty Fouriera: a) metody spektralne: badanie zjawisk okresowych: szeregi czasowe (np. sterowanie) badanie zjawisk nieokresowych: przedłużanie okresowe funkcji całki Fouriera b) algorytmy numeryczne: opracowanie analiza: badanie jakości algorytmów (np. dla MES) c) cyfrowe przetwarzanie sygnału badanie składowych harmonicznych filtracja obrazów i dźwięku kompresja
4 Podstawowe własności szeregów i transformat Fouriera Sposoby opisu procesu fizycznego I 1 w dziedzinie czasu (time domain) = A(t) t czas, A pewna wielkość } częstości(ω) 2 w dziedzinie: = Â(ω) ω = 2πf częstotliwości(f ) A(t), Â(ω) dwie różne reprezentacje tej samej funkcji (wielkości fizycznej) związane równaniami transformat Fouriera: lub równoważnie: A(t) = Â(ω) = dω 2π Â(ω) eiωt dt A(t) e iωt
5 Podstawowe własności szeregów i transformat Fouriera Sposoby opisu procesu fizycznego II A(t) = Â(f ) = df Â(f ) e2πift dt A(t) e 2πift korzystamy z: ω = 2πf nie trzeba pamiętać o czynniku 1 2π t czas ω częstość kołowa x położenie k = 2π λ wektor falowy (liczba falowa). A(t), Â(ω) ciągłe f. swych argumentów A(t) Â(ω); Â(ω) = Γ[A(t)]
6 Podstawowe własności szeregów i transformat Fouriera Definicje transformat Fouriera I a) FT - transformata Fouriera (Fourier Transform) x - ciągłe k - ciągłe A(x), Â(k) - f. ciągłe Â(k) = A(x) = dxa(x)e ikx (16.1) dk 2π Â(k)eikx
7 Podstawowe własności szeregów i transformat Fouriera Definicje transformat Fouriera II b) FS(i) - szereg Fouriera (Fourier Series) x - zmienna ciągła B(x) - f. okresowa ciągłej zmiennej x; okres: L (ciągła odcinkami wraz z pochodną: na tych odcinkach - szereg zbieżny do B(x), w punktach nieciągłości - do wartości średniej) l k - liczba całkowita - dyskretne B(k) = dxb(x)e ikx L B(x) = 1 (16.2) L B(k)e ikx l= k = 2π l = k 0 l }{{} L k 0
8 Podstawowe własności szeregów i transformat Fouriera Definicje transformat Fouriera III c) FS(ii) - szereg Fouriera x p - dyskretne o skoku H x p = p H p - liczba całkowita k - ciągła Ĉ(k) - periodyczna okres k g = 2π H Ĉ(k) = H C(x p ) = k g p= C(x p )e ikxp (16.3) dk 2π Ĉ(k)eikxp
9 Podstawowe własności szeregów i transformat Fouriera Definicje transformat Fouriera IV d) fft - skończona transformata Fouriera (finite FT) x p - dyskretne o skoku H x p = p H D(x p ) - okresowa; okres: L N - ilość punktów w okresie D(x p ) k - dyskretna, skok k 0 = 2π L ; k = l k 0 D(k) - okresowa, okres k g = 2π H D(k) = H N 1 D(x p ) = 1 L p=0 N 1 l=0 D(x p )e ikxp D(k)e ikxp (16.4)
10 Podstawowe własności szeregów i transformat Fouriera Związki między transformatami Fouriera Przez przejścia graniczne:
11 Podstawowe własności szeregów i transformat Fouriera Symetrie funkcji i jej transformaty I Transformaty Fouriera liniowe Oznaczenia: E - even (parzysty) O - odd (nieparzysty) r - real (rzeczywisty) i - imaginary (urojony) Wszystkie 4 transformaty Fouriera mają te same własności symetrii: f (x) = E r (x) + i E i (x) + O r (x) + i O i (x) (16.5) f (k) = E r (k) + i E i (k) + i O i (k) + O r (k) (16.6)
12 Podstawowe własności szeregów i transformat Fouriera Symetrie funkcji i jej transformaty II f (x) r E r E i E i E r i E O f (k) r E i E i E r E hermitowska antyherminowska E O
13 Podstawowe własności szeregów i transformat Fouriera Zestawienie własności transformat I poza własnościami dotyczącymi pochodnej - obowiązują dla wszystkich 4 transformat Z : f (x) f (k); g(x) ĝ(k) podobieństwo: f ( x a ) a f (k a) mnożenie przez stałą: suma: odwrotność: przesunięcie: pochodna: b f b f f + g f + ĝ jeżeli: f (x) f (k) = g(k) to: g(x) ĝ(k) = 2π f ( k) f (x + a) e ika f (k) df dx ik f (k) (16.7)
14 Podstawowe własności szeregów i transformat Fouriera Zestawienie własności transformat II Theorem (o mocy) f (x) g (x)dx = Analogicznie dla FS i fft f (x) ĝ (x) dk 2π (16.8)
15 Podstawowe własności szeregów i transformat Fouriera Splot (konwolucja) I f (x), g(x) funkcje ich splot: Własności: h(x) = dx f (x )g(x x ) f g (16.9) f g = g f f (g h) = (f g) h f (g + h) = f g + f h commutative associative distributive
16 Podstawowe własności szeregów i transformat Fouriera Splot (konwolucja) II Przykład operacji splotu dla dwóch wektorów kolumnowych: α 0 β 0 a IR n 1 ; b IR n 1 α 1 ; a =. ; b = β 1. α n 1 β n 1 [a b] k = k i=0 α i β k i ; a b IR 2n 1 α 0 α 1. α n 1 β n 1. β 1 β 0 a b = α 0 β 0 α 0 β 1 + α 1 β 0 α 0 β 2 + α 1 β 1 + α 2 β 0. α n 2 β n 1 + α n 1 β n 2 α n 1 β n 1 0
17 Podstawowe własności szeregów i transformat Fouriera Splot (konwolucja) III FT FS(i) FS(ii) fft Table: Splot i jego transformaty (16.10) x k dx f (x ) g(x x ) f (k) ĝ(k) dk f (x) g(x) 2π f (k ) ĝ(k k ) dx f (x ) g(x x ) f (k) ĝ(k) L 1 f (x) g(x) L f (k ) ĝ(k k ) L = H f (x p) g(x p x f (k) ĝ(k) p) p = dk 2π f (x p ) g(x p ) f (k ) ĝ(k k ) k g H f (x p) g(x p x f (k) ĝ(k) p) p =0 1 f (x p ) g(x p ) l N 1 f (k ) ĝ(k k ) l =0
18 Podstawowe własności szeregów i transformat Fouriera Transformaty 3-D i... Uogólnienie z 1-D na 3-D (i więcej) - bezpośrednie: 1-D 3-D x x = (x 1, x 2, x 3 ) k k = (k1, k 2, k 3 ) k x dx d k 2π k x d x dk (2π) 3 (16.11) L V b = L 1 L 2 L 3 H V c = H 1 H 2 H 3...
19 Interpolacja trygonometryczna Interpolacja trygonometryczna f. okresowe: g(y + L) = g(y); okres: L f. trygonometryczne: L 2π, x = 2π L szukamy wielomianu (trygonometrycznego) n 1 y, f (x) = g(x L 2π ) t n 1 (x) = c j e ijx (16.12) który w n punktach x k (0, 2π] przyjmuje te same wartości, co interpolowana funkcja t n 1 (x k ) = f (x), k = 0, 1,..., n 1 j=0
20 Interpolacja trygonometryczna Dowód I Theorem Zadanie interpolacji trygonometrycznej ma jednoznaczne rozwiązanie. Proof. n 1 j=0 c j (e ix k ) j }{{} = f (x k ), k = 0, 1,..., n 1 (16.13) Z k = macierz układu: macierz Vandermonde a jest nieosobliwa, jeżeli x k są różne, i: det Z = k L(Z k Z L ) (16.14)
21 Interpolacja trygonometryczna Dowód II Proof (Cont.) W praktyce - ważny przypadek szczególny: n węzłów równoodległych, x k = 2π n k, k = 0, 1,..., n - 1 funkcje e ijx, j = 0, 1,..., n - 1 tworzą układ ortogonalny w sensie iloczynu skalarnego zdefinowanego: n 1 f g = f (x k ) g (x k ), x k = 2π n k=0 k, k = 0, 1,..., n 1 (16.15) n 1 e ijx e ilx = e ijxk e ilx k = k=0 n 1 k=0 2πk i(j l) e n = (16.16)
22 Interpolacja trygonometryczna Dowód III Proof (Cont.) dla j = l dla j l n 1 = k=0 e 0 = n (16.17) n 1 = k=0 e i(j l)2π n k }{{} -szereg geom. -n-wyrazów a 0 = 1; q = e i(j l)2π n = a 0 a n q 1 q =1 {}}{ i(j l)2π = 1 e n n 1 e i(j l)2π n = 0 (16.18)
23 Interpolacja trygonometryczna Dowód IV Proof (Cont.) { n 1 e ijx e ilx = e ijxk e ilx k 0 j l = n j = l k=0 (16.19)
24 Interpolacja trygonometryczna Interpolacja trygonometryczna I Jakie powinny być współczynniki wielomianu interpolacyjnego c j? 1 t n 1 (x) e ilx = n 1 n 1 c j e ijx e ilx = j=0 j=0 c j n δ jl = = c l n = c l = 1 n t n 1(x) e ilx (16.20) 2 t n 1 (x) e ilx = n 1 }{{} ( ) n 1 k=0 t n 1 (x k ) e ilx k = }{{} =wartości funkcji = f (x k ) e ilx k = f (x) e ilx k=0
25 Interpolacja trygonometryczna Interpolacja trygonometryczna II - def. iloczynu (przypadek dyskretny) czyli: c j = 1 n n 1 k=0 f (x k ) e ijx k, j = 0, 1,..., n 1 (16.21) = analiza Fouriera: dla danych liczb zespolonych f (x k ), k = 0, 1,..., n 1 szukamy c j, j = 0, 1,..., n 1 synteza Fouriera: mając liczby c j, j = 0, 1,..., n 1 szukamy n 1 f (x) = c j e ij 2π n k, k = 0, 1,..., n 1 (16.22) j=0
26 Interpolacja trygonometryczna Interpolacja trygonometryczna III = obie: dyskretne wzajemnie odwrotne Podsumowanie: klasyczny algorytm: (f = A C) n 2 -zespolonych mnożeń, -zespolonych dodawań, -obliczeń e i 2πkj n (16.23) Wada duża złożoność operacji
27 Szybka transformata Fouriera FFT dla n = 2 m FFT I Danielson, Lanczos (1942) R.L.Garwin (IBM Yorktown Heights Researcg Center) James William Cooley, John Wilder Tukey (1962) Table: Złożoność obliczeniowa czasowa klasyczna FT: O(N 2 ) = 1.5 godziny FFT: O(N log 2 N) = 0.1 sekundy Założenia: rozmiar problemu: N = 10 6 CPU 100 MFLOPS
28 Szybka transformata Fouriera FFT dla n = 2 m FFT II Dane: f (x k ), x k = 2π n k, k = 0, 1,..., n 1 Szukamy: c j = 1 n 1 2πk i n f (x k ) e n j, j = 0, 1,..., n 1 k=0 gdy: a k = 1 n f (x k), ω = e i 2π n to: c j = n 1 a k ω jk, j = 0, 1,..., n 1 k=0 Założenie: ilość punktów: n = 2 m Fouriera. = tyleż współczynników
29 Szybka transformata Fouriera FFT dla n = 2 m FFT III Istota algorytmu: (k - numer punktu) gdy k parzyste k = 2 k 1 gdy k nieparzyste k = 2 k Dziedzina k: z dołu k 1 = 0 (parzyste k) z góry: n 1 = 2 m 1 = k - nieparzyste: 2k = n 1 = k 1 = n 2 1 Rozdzielamy wyznaczanie współczyników!!!: c j = n 2 1 k 1 =0 a 2k1 (ω 2 ) j k 1 + n 2 1 k 1 =0 a 2k1 +1 (ω 2 ) j k1 ω j (16.24)
30 Szybka transformata Fouriera FFT dla n = 2 m FFT IV Istota algorytmu: niesymetria: { 0 k1 n j n 1 (16.25) dla usunięcia niesymetrii: (j - numer współczynika c j ) j = ( 1 2 n) l + j 1, 0 j 1 n 2 1 jest to odpowiednik dzielenia j przez n 2 ; j 1 - reszta
31 Szybka transformata Fouriera FFT dla n = 2 m FFT V Istota algorytmu: z kolei: (ω 2 ) jk 1 = ω 2 [ n 2 l+j 1] k 1 = ω n l k 1+2j 1 k 1 = (e 2πi n ) (n l k 1 +2j 1 k 1 ) = (ω 2 ) j 1k 1 bo: ω nlk 1 = 1 i uzyskujemy: c j = n 2 1 a 2k1 (ω 2 ) j 1k 1 + k 1 =0 } {{ } ϕ(j 1 ) n 2 1 k 1 =0 } {{ } ψ(j 1 ) (16.26) a 2k1 +1 (ω 2 ) j 1k 1 ω j, 0 j 1 n 2 1 (16.27)
32 Szybka transformata Fouriera FFT dla n = 2 m FFT VI Istota algorytmu: Każdy z 2 członów jest transformatą Fouriera - zamiast pojedynczej transformaty w n punktach suma 2 transformat w n 2 punktach: c j = ϕ(j 1 ) + ω j ψ(j 1 ); j 1 = 0, 1,..., n 2 1 (16.28) itd... dokonując dalszych podziałów. złożoność obliczeniowa 2 Nlog 2 N Zasada dziel i zwyciężaj! Zadanie: Zrozumieć procedurę realizującą FFT dla N = 8 węzłów
33 Szybka transformata Fouriera FFT dla n = 2 m Rekurencyjny algorytm FFT Zadanie: Zapoznaj się z iteracyjną implementacją FFT 1 f u n c t i o n FFT( a ) n length[a] 3 i f n = 1 then r e t u r n a 5 ω n e 2π i n ω 1 7 a even (a 0, a 2,..., a n 2) a odd (a 1, a 3,..., a n 1) 9 y even FFT (a even) y odd FFT (a odd ) 11 f o r j 0 to n 1 2 y j y even j 13 y j+ n 2 yj even ω ω ω n 15 end r e t u r n 17 end y + ωy odd j ωy odd j
34 FFT dla przypadku ogólnego FFT dla przypadku ogólnego I c j = 1 n n 1 k=0 ω = e i 2π n, a k = 1 n f (x k) f (x k )e ijx k, x k = 2π n k; j = 0, 1,..., n 1 n 1 c j = a k ω jk, j = 0, 1,..., n 1 k=0 dla n = r 1 r 2... r p, r i liczby całkowite ( ) {}}{ n 1 c j = a k e i2π j k n (16.29) k=0 (*) wyrazić przez r 1, r 2,..., r p
35 FFT dla przypadku ogólnego FFT dla przypadku ogólnego II każda liczba całkowita j, 0 j n 1 ma jedyną reprezentację: j = α 1 (r 2 r 3 r p ) + α 2 (r 3 r 4 r p ) + + α p 1 r p + α p 1 co, dla uproszczenia, można zapisać: gdzie n p = 1, n 0 = n zaś współczynniki: p j = α i n i i=1 n r = r r+1 r r+2 r p = p i=(r+1) α i {0, 1,..., r i 1} r i
36 FFT dla przypadku ogólnego FFT dla przypadku ogólnego III Przydatne będą też: przy czym: j r = p i=(r+1) α i n i, j 0 = j } α i iloraz z dzielenia j i 1 j i reszta n i
37 FFT dla przypadku ogólnego FFT dla przypadku ogólnego IV Dla każdej liczby całkowitej k, 0 k n 1 istnieje jedyna reprezentacja ilorazu k n : k n = l l i+1 r 1 r 2 r p r 2 r 3 r p }{{}}{{} n 0 n 1 l 2 r i+1 r p }{{} n i l i {0, 1,..., r i 1} p 1 k r = n r k i iloraz l i reszta j k ( p ) n = j 0 k0 = α i n i n 0 i=1 i=r } l i+1, k 0 = k n i z dzielenia k i 1 ( p 1 r=0 r i ) p 1 l r+1 = n r + + l p 1 p l i+1 = r p n i=0 i p r=0 i=1 l r+1 α i ni n r =
38 FFT dla przypadku ogólnego FFT dla przypadku ogólnego V { n i l. całkowita, i r = n r ułamek, i > r p 1 ( l r+1 p = M + α i n i n r=0 r i=(r+1) }{{} j r ( ) ω jk i2π = e = p 1 r=0 p 1 M+ r=0 ( e i2π nr } {{ } ω r l r+1 jr nr ) = e ) l r+1 j r p 1 = r=0 p 1 l r+1 j r = M + n r=0 r p 1 l i2π r+1 jr nr r=0 ω l r+1 j r r =
39 FFT dla przypadku ogólnego FFT dla przypadku ogólnego: przykład Przykład p = 3, n = r 1 r 2 r 3 n 0 = r 1 r 2 r 3 ; n 1 = r 2 r 3 ; n 2 = r 3 ; n 3 = 1 j = α 1 (r 2 r 3 ) + α 2 r 3 + α 3 ; j 0 = j; j 1 = α 2 r 3 + α 3 ; j 2 = α 3 w miejsce k k(l 1, l 2, l 3 ) zgodnie z k n = p 1 oznaczamy: n 1 c j = a k ω jk = k=0 c (0) (l 1, l 2, l 3 ) = a k r 1 1 r 2 1 lr 3 1 l 1 =0 l 2 =0 l 3 =0 i=0 l i+1 n i c (0) (l 1, l 2, l 3 ) ω jl 1 ω j 1l 2 1 ωj 2l 3 2
40 FFT dla przypadku ogólnego FFT dla przypadku ogólnego: przykład cd Przykład cd wyliczamy sumy kolejno, poczynając od wewnętrznej: r 3 1 l 3 =0 r 2 1 l 2 =0 l 1, l 2 c (0) (l 1, l 2, l 3 )ω j 2l 3 = c (1) (l 1, l 2, α 3 ), ustalone; j 2 = j 2 (α 3 ) tylko c (1) (l 1, l 2, α 3 )ω j 1l 2 1 = c (2) (l 1, α 2, α 3 ), r 1 1 l 1 =0 (przyp. ogólny szczególny) c (2) (l 1, α 2, α 3 )ω jl 1 = c j.
41 Transformata Hartley a Transformata Hartley a I Tranformata Fouriera F (f ) = X (t)e i2πft dt X (t) = F (f )e i2πft df c j = 1 n n 1 k=0 X (t k )e i2πj k n n 1 X (t k ) = c j e i2πj k n k=0
42 Transformata Hartley a Transformata Hartley a II Transformata Hartley a H(f ) = X (t) cas(2πft)dt X (t) = H(f ) cas(2πft)dt gdzie: cas(x) = cos(x) + sin(x)
43 Transformata Hartley a Transformata Hartley a III Wersja dyskretna HT H j = 1 n 1 ( ) 2πjk f (t k ) cas n n k=0 n 1 ( ) 2πjk f (t k ) = H j cas n j=0
44 Transformata Hartley a Własności HT F r (j) = H(j) + H(n j) F i (j) = H(j) + H(n j) 2 power spectrum: P s (j) = [H 2 (j) + H 2 (n j)] f 1 (t) f 2 (t) = f 1 (τ) f 2 (t τ)dτ f 1 (t) f 2 (t) = F 1 (f ) F 2 (f ) f 1 (t) f 2 (t) = H 1 (f ) H 2e (f ) + H 1 ( f ) H 2o (f ) - splot dla oznaczeń: r - real, i - imaginary o - odd, e - even F, f - Fourier, H - Hartley
45 Transformata Hartley a Szybka Transformacja Hartley a Fourier 2πj i F j = F 1j + F 2j e n, n = n 2 Hartley H j = H 1j + H 2j cos ( ) ( ) 2πj 2πj n + H 2 (n 1) sin n
46 Transformata Hartley a Biliografia R.V.L. Hartley: A more symetrical Fourier analysis applied to transmission problems, Proc. IRE, 30 (1942) 144, R.N. Bracewell: The fast Hartley transform, Proc. IEEE 72 (1984) 1010 (No 8), M.A. O Neill: Faster than fast Fourier, Byte, April 1988, p.293. istotna różnica: zamiast e } x i {{} mamy cas(x) ( = }{{} zespolone rzeczywiste ilość operacji arytmetycznych i pamięć)
47 Transformata Hartley a FFT - przydatna w: 1 analiza spektralna 2 projektownie efektywnch algorytmów iloczyn wielomianów splot 2 wektorów szybki binarny algorytm mnożenia liczb całkowitych (m. Schönhagego - Strassena) 3 A.V. Aho, J.E. Hopcroft, J.D. Ullman: Projektowanie i analiza algorytmów komputerowych. PWN, 1983 (1974)
48 Transformata Fouriera w internecie Transformata Fouriera w internecie Biblioteki dla FFT w różnych językach: Transformata Fourier a w ujęciu Matlab a fourier-analysis-and-filtering.html Transformata Fourier a w języku C (GSL) https: // FFTPACK5 - biblioteka dla języka Fortran: sc.fsu.edu/ jburkardt/f_src/fftpack5/fftpack5.f90 NAG Library - The Numerical Algorithms Group FFT c07m01_fft_fn03.pdf
49 Transformata Fouriera w internecie Więcej o zastosowaniacj FT: Chemia i Medycyna: spektroskopowe badanie właściwości materii: Spektroskopia NMR: Bernhard J., Analytische Chemie IV-Structure determination by NMR, 1. Practical aspects of pulse Fourier transform NMR spectroscopy, FTIR (Fourier-transform infrared spectroscopy):
50 Transformata Fouriera w internecie Transformata Fouriera w internecie Informacje dodatkowe: Prosty poradnik wprowadzający do FT an-interactive-guide-to-the-fourier-transform/ Zastosowania Transformaty Fourier a(stanford University) book-fall-07.pdf
Transformata Fouriera. Sylwia Kołoda Magdalena Pacek Krzysztof Kolago
Transformata Fouriera Sylwia Kołoda Magdalena Pacek Krzysztof Kolago Transformacja Fouriera rozkłada funkcję okresową na szereg funkcji okresowych tak, że uzyskana transformata podaje w jaki sposób poszczególne
Bardziej szczegółowoSzybka transformacja Fouriera (FFT Fast Fourier Transform)
Szybka transformacja Fouriera (FFT Fast Fourier Transform) Plan wykładu: 1. Transformacja Fouriera, iloczyn skalarny 2. DFT - dyskretna transformacja Fouriera 3. FFT szybka transformacja Fouriera a) algorytm
Bardziej szczegółowoIII. Funkcje rzeczywiste
. Pojęcia podstawowe Załóżmy, że dane są dwa niepuste zbiory X i Y. Definicja. Jeżeli każdemu elementowi x X przyporządkujemy dokładnie jeden element y Y, to mówimy, że na zbiorze X została określona funkcja
Bardziej szczegółowoPrzekształcenie Fouriera obrazów FFT
Przekształcenie ouriera obrazów T 6 P. Strumiłło, M. Strzelecki Przekształcenie ouriera ourier wymyślił sposób rozkładu szerokiej klasy funkcji (sygnałów) okresowych na składowe harmoniczne; taką reprezentację
Bardziej szczegółowoFFT i dyskretny splot. Aplikacje w DSP
i dyskretny splot. Aplikacje w DSP Marcin Jenczmyk m.jenczmyk@knm.katowice.pl Wydział Matematyki, Fizyki i Chemii 10 maja 2014 M. Jenczmyk Sesja wiosenna KNM 2014 i dyskretny splot 1 / 17 Transformata
Bardziej szczegółowoMetody Obliczeniowe w Nauce i Technice
9 - Rozwiązywanie układów równań nieliniowych Marian Bubak Department of Computer Science AGH University of Science and Technology Krakow, Poland bubak@agh.edu.pl dice.cyfronet.pl Contributors Anna Marciniec
Bardziej szczegółowoTransformata Fouriera
Transformata Fouriera Program wykładu 1. Wprowadzenie teoretyczne 2. Algorytm FFT 3. Zastosowanie analizy Fouriera 4. Przykłady programów Wprowadzenie teoretyczne Zespolona transformata Fouriera Jeżeli
Bardziej szczegółowoTransformata Fouriera i analiza spektralna
Transformata Fouriera i analiza spektralna Z czego składają się sygnały? Sygnały jednowymiarowe, częstotliwość Liczby zespolone Transformata Fouriera Szybka Transformata Fouriera (FFT) FFT w 2D Przykłady
Bardziej szczegółowoMetody Obliczeniowe w Nauce i Technice
8. Wyznaczanie pierwiastków wielomianów Marian Bubak Department of Computer Science AGH University of Science and Technology Krakow, Poland bubak@agh.edu.pl dice.cyfronet.pl Contributors Magdalena Nowak
Bardziej szczegółowoTRANSFORMATA FOURIERA
TRANSFORMATA FOURIERA. Wzór całkowy Fouriera Wzór ten wykorzystujemy do analizy funkcji nieokresowych; funkcje te mogą opisywać np.przebiegi eleektryczne. Najpierw sformułujmy tzw. warunki Dirichleta.
Bardziej szczegółowoPrzetwarzanie i transmisja danych multimedialnych. Wykład 8 Transformaty i kodowanie cz. 2. Przemysław Sękalski.
Przetwarzanie i transmisja danych multimedialnych Wykład 8 Transformaty i kodowanie cz. 2 Przemysław Sękalski sekalski@dmcs.pl Politechnika Łódzka Katedra Mikroelektroniki i Technik Informatycznych DMCS
Bardziej szczegółowoMetody Obliczeniowe w Nauce i Technice
5. Aproksymacja Marian Bubak Department of Computer Science AGH University of Science and Technology Krakow, Poland bubak@agh.edu.pl dice.cyfronet.pl Contributors Paweł Urban Jakub Ptak Łukasz Janeczko
Bardziej szczegółowoTransformaty. Kodowanie transformujace
Transformaty. Kodowanie transformujace Kodowanie i kompresja informacji - Wykład 10 10 maja 2009 Szeregi Fouriera Każda funkcję okresowa f (t) o okresie T można zapisać jako f (t) = a 0 + a n cos nω 0
Bardziej szczegółowo9. Dyskretna transformata Fouriera algorytm FFT
Transformata Fouriera ma szerokie zastosowanie w analizie i syntezie układów i systemów elektronicznych, gdyż pozwala na połączenie dwóch sposobów przedstawiania sygnałów reprezentacji w dziedzinie czasu
Bardziej szczegółowoLista nr 1 - Liczby zespolone
Lista nr - Liczby zespolone Zadanie. Obliczyć: a) ( 3 i) 3 ( 6 i ) 8 c) (+ 3i) 8 (i ) 6 + 3 i + e) f*) g) ( 3 i ) 77 ( ( 3 i + ) 3i 3i h) ( + 3i) 5 ( i) 0 i) i ( 3 i ) 4 ) +... + ( 3 i ) 0 Zadanie. Przedstawić
Bardziej szczegółowoTransformacja Fouriera i biblioteka CUFFT 3.0
Transformacja Fouriera i biblioteka CUFFT 3.0 Procesory Graficzne w Zastosowaniach Obliczeniowych Karol Opara Warszawa, 14 kwietnia 2010 Transformacja Fouriera Definicje i Intuicje Transformacja z dziedziny
Bardziej szczegółowoRóżne reżimy dyfrakcji
Fotonika Wykład 7 - Sposoby wyznaczania obrazu dyfrakcyjnego - Przykłady obrazów dyfrakcyjnych w polu dalekim obliczonych przy użyciu dyskretnej transformaty Fouriera - Elementy dyfrakcyjne Różne reżimy
Bardziej szczegółowoLista 1. (e) z działaniem dodawania ciągów i mnożeniem ciągu przez liczbę. (f) z działaniem dodawania ciągów i mnożeniem ciągu przez liczbę
MATEMATYKA Lista 1 1. Zbadać liniową niezależność wektorów. (a) (1, 2, 3), (3, 4, 5), V = R 3 ; (b) (1, 2, 3), (3, 2, 1), (1, 1, 1), V = R 3 ; (c) (1, 0, 0, 0), ( 1, 1, 0, 0), (1, 1, 1, 0), ( 1, 1 1, 1),
Bardziej szczegółowoPropagacja w przestrzeni swobodnej (dyfrakcja)
Fotonika Wykład 7 - Sposoby wyznaczania obrazu dyfrakcyjnego - Przykłady obrazów dyfrakcyjnych w polu dalekim obliczonych przy użyciu dyskretnej transformaty Fouriera - Elementy dyfrakcyjne Propagacja
Bardziej szczegółowoLista. Przestrzenie liniowe. Zadanie 1 Sprawdź, czy (V, +, ) jest przestrzenią liniową nadr :
Lista Przestrzenie liniowe Zadanie 1 Sprawdź, czy (V, +, ) jest przestrzenią liniową nadr : V = R[X], zbiór wielomianów jednej zmiennej o współczynnikach rzeczywistych, wraz ze standardowym dodawaniem
Bardziej szczegółowoFunkcje. Część pierwsza. Zbigniew Koza. Wydział Fizyki i Astronomii
Funkcje Część pierwsza Zbigniew Koza Wydział Fizyki i Astronomii Wrocław, 2015 Co to są funkcje? y(x) x Co to są funkcje? y(x) x Co to są funkcje? Funkcja dla każdego argumentu ma określoną dokładnie jedną
Bardziej szczegółowoMetody Obliczeniowe w Nauce i Technice
Metody Obliczeniowe w Nauce i Technice 15. Obliczanie całek metodami Monte Carlo Marian Bubak Department of Computer Science AGH University of Science and Technology Krakow, Poland bubak@agh.edu.pl dice.cyfronet.pl
Bardziej szczegółowoInterpolacja funkcji
Interpolacja funkcji Interpolacja funkcji Interpolacja funkcji Wielomianowa Splajny Lagrange a Trygonometryczna Interpolacja Newtona (wzór I ) Czebyszewa Newtona (wzór II ) ( Wielomiany Czebyszewa ) Załóżmy,
Bardziej szczegółowoAlgebra liniowa II. Lista 1. 1 u w 0 1 v 0 0 1
Algebra liniowa II Lista Zadanie Udowodnić, że jeśli B b ij jest macierzą górnotrójkątną o rozmiarze m m, to jej wyznacznik jest równy iloczynowi elementów leżących na głównej przekątnej: det B b b b mm
Bardziej szczegółowoMaciej Grzesiak Instytut Matematyki Politechniki Poznańskiej. Całki nieoznaczone
Maciej Grzesiak Instytut Matematyki Politechniki Poznańskiej Całki nieoznaczone 1. Definicja całki nieoznaczonej Definicja 1. Funkcja F jest funkcją pierwotną funkcji f na przedziale I, jeżeli F (x) =
Bardziej szczegółowoZadania egzaminacyjne
Rozdział 13 Zadania egzaminacyjne Egzamin z algebry liniowej AiR termin I 03022011 Zadanie 1 Wyznacz sumę rozwiązań równania: (8z + 1 i 2 2 7 iz 4 = 0 Zadanie 2 Niech u 0 = (1, 2, 1 Rozważmy odwzorowanie
Bardziej szczegółowoPlan wykładu. Własności statyczne i dynamiczne elementów automatyki:
Plan wykładu Własności statyczne i dynamiczne elementów automatyki: - charakterystyka statyczna elementu automatyki, - sygnały standardowe w automatyce: skok jednostkowy, impuls Diraca, sygnał o przebiegu
Bardziej szczegółowoWstęp do metod numerycznych Dyskretna transformacja Fouriera. P. F. Góra
Wstęp do metod numerycznych Dyskretna transformacja Fouriera P. F. Góra http://th-www.if.uj.edu.pl/zfs/gora/ 01 Problem Majac dany szereg czasowy {x i } N i=1 = {x 1, x,..., x N } (zazwyczaj nieciekawy),
Bardziej szczegółowoInterpolacja. Marcin Orchel. Drugi przypadek szczególny to interpolacja trygonometryczna
Interpolacja Marcin Orchel 1 Wstęp Mamy daną funkcję φ (x; a 0,..., a n ) zależną od n + 1 parametrów a 0,..., a n. Zadanie interpolacji funkcji φ polega na określeniu parametrów a i tak aby dla n + 1
Bardziej szczegółowoRozdział 2. Liczby zespolone
Rozdział Liczby zespolone Zbiór C = R z działaniami + oraz określonymi poniżej: x 1, y 1 ) + x, y ) := x 1 + x, y 1 + y ), 1) x 1, y 1 ) x, y ) := x 1 x y 1 y, x 1 y + x y 1 ) ) jest ciałem zob rozdział
Bardziej szczegółowoMatematyka liczby zespolone. Wykład 1
Matematyka liczby zespolone Wykład 1 Siedlce 5.10.015 Liczby rzeczywiste Zbiór N ={0,1,,3,4,5, } nazywamy zbiorem Liczb naturalnych, a zbiór N + ={1,,3,4, } nazywamy zbiorem liczb naturalnych dodatnich.
Bardziej szczegółowoTransformacje Fouriera * podstawowe własności
Transformacje Fouriera * podstawowe własności * podejście mało formalne Funkcja w domenie czasowej Transformacja Fouriera - wstęp Ta sama funkcja w domenie częstości Transformacja Fouriera polega na rozkładzie
Bardziej szczegółowoFunkcje elementarne. Matematyka 1
Funkcje elementarne Matematyka 1 Katarzyna Trąbka-Więcław Funkcjami elementarnymi nazywamy: funkcje wymierne (w tym: wielomiany), wykładnicze, trygonometryczne, odwrotne do wymienionych (w tym: funkcje
Bardziej szczegółowoPODSTAWY AUTOMATYKI. MATLAB - komputerowe środowisko obliczeń naukowoinżynierskich - podstawowe operacje na liczbach i macierzach.
WYDZIAŁ ELEKTROTECHNIKI I AUTOMATYKI Katedra Inżynierii Systemów Sterowania PODSTAWY AUTOMATYKI MATLAB - komputerowe środowisko obliczeń naukowoinżynierskich - podstawowe operacje na liczbach i macierzach.
Bardziej szczegółowoINTERPOLACJA I APROKSYMACJA FUNKCJI
Transport, studia niestacjonarne I stopnia, semestr I Instytut L-5, Wydział Inżynierii Lądowej, Politechnika Krakowska Ewa Pabisek Adam Wosatko Wprowadzenie Na czym polega interpolacja? Interpolacja polega
Bardziej szczegółowoSzybka transformacja Fouriera
Szybka transformacja Fouriera (Opis i wydruki programów) Instytut Astronomii UMK, Toruń 1976 2 K. Borkowski PROGRAM OBLICZANIA TRANSFORMAT FOURIERA Wstęp Prezentowany tutaj program przeznaczony jest do
Bardziej szczegółowoPrzekształcenie Fouriera i splot
Zastosowania Procesorów Sygnałowych dr inż. Grzegorz Szwoch greg@multimed.org p. 732 - Katedra Systemów Multimedialnych Przekształcenie Fouriera i splot Wstęp Na tym wykładzie: przekształcenie Fouriera
Bardziej szczegółowo2 1 3 c c1. e 1, e 2,..., e n A= e 1 e 2...e n [ ] M. Przybycień Matematyczne Metody Fizyki I
Liniowa niezależno ność wektorów Przykład: Sprawdzić czy następujące wektory z przestrzeni 3 tworzą bazę: e e e3 3 Sprawdzamy czy te wektory są liniowo niezależne: 3 c + c + c3 0 c 0 c iei 0 c + c + 3c3
Bardziej szczegółowoFUNKCJE LICZBOWE. Na zbiorze X określona jest funkcja f : X Y gdy dowolnemu punktowi x X przyporządkowany jest punkt f(x) Y.
FUNKCJE LICZBOWE Na zbiorze X określona jest funkcja f : X Y gdy dowolnemu punktowi x X przyporządkowany jest punkt f(x) Y. Innymi słowy f X Y = {(x, y) : x X oraz y Y }, o ile (x, y) f oraz (x, z) f pociąga
Bardziej szczegółowoMetody Obliczeniowe w Nauce i Technice
12. Iteracyjne rozwiązywanie Ax=B Marian Bubak Department of Computer Science AGH University of Science and Technology Krakow, Poland bubak@agh.edu.pl dice.cyfronet.pl Contributors Anna Marciniec Radosław
Bardziej szczegółowoFunkcja f jest ograniczona, jeśli jest ona ograniczona z
FUNKCJE JEDNEJ ZMIENNEJ. PODSTAWOWE POJĘCIA. PODSTAWOWE FUNKCJE ELEMENTARNE R - zbiór liczb rzeczywistych, D R, P R Definicja. Jeżeli każdemu elementowi ze zbioru D jest przyporządkowany dokładnie jeden
Bardziej szczegółowodr Mariusz Grządziel 15,29 kwietnia 2014 Przestrzeń R k R k = R R... R k razy Elementy R k wektory;
Wykłady 8 i 9 Pojęcia przestrzeni wektorowej i macierzy Układy równań liniowych Elementy algebry macierzy dodawanie, odejmowanie, mnożenie macierzy; macierz odwrotna dr Mariusz Grządziel 15,29 kwietnia
Bardziej szczegółowo1 + x 1 x 1 + x + 1 x. dla x 0.. Korzystając z otrzymanego wykresu wyznaczyć funkcję g(m) wyrażającą liczbę pierwiastków równania.
10 1 Wykazać, że liczba 008 008 10 + + jest większa od Nie używając kalkulatora, porównać liczby a = log 5 log 0 + log oraz b = 6 5 Rozwiązać równanie x + 4y + x y + 1 = 4xy 4 W prostokątnym układzie współrzędnych
Bardziej szczegółowoAproksymacja. funkcji: ,a 2. ,...,a m. - są funkcjami bazowymi m+1 wymiarowej podprzestrzeni liniowej X m+1
Założenie: f(x) funkcja którą aproksymujemy X jest przestrzenią liniową Aproksymacja liniowa funkcji f(x) polega na wyznaczeniu współczynników a 0,a 1,a 2,...,a m funkcji: Gdzie: - są funkcjami bazowymi
Bardziej szczegółowo3 1 + i 1 i i 1 2i 2. Wyznaczyć macierze spełniające własność komutacji: [A, X] = B
1. Dla macierzy a) A = b) A = c) A = d) A = 3 1 + i 1 i i i 0 i i 0 1 + i 1 i 0 0 0 0 1 0 1 0 1 + i 1 i Wyznaczyć macierze spełniające własność komutacji: A, X = B. Obliczyć pierwiaski z macierzy: A =
Bardziej szczegółowoMetody numeryczne i statystyka dla in»ynierów
Kierunek: Automatyka i Robotyka, II rok Interpolacja PWSZ Gªogów, 2009 Interpolacja Okre±lenie zale»no±ci pomi dzy interesuj cymi nas wielko±ciami, Umo»liwia uproszczenie skomplikowanych funkcji (np. wykorzystywana
Bardziej szczegółowomacierze jednostkowe (identyczności) macierze diagonalne, które na przekątnej mają same
1 Macierz definicja i zapis Macierzą wymiaru m na n nazywamy tabelę a 11 a 1n A = a m1 a mn złożoną z liczb (rzeczywistych lub zespolonych) o m wierszach i n kolumnach (zamiennie będziemy też czasem mówili,
Bardziej szczegółowoFunkcja kwadratowa. f(x) = ax 2 + bx + c = a
Funkcja kwadratowa. Funkcją kwadratową nazywamy funkcję f : R R określoną wzorem gdzie a, b, c R, a 0. f(x) = ax + bx + c, Szczególnym przypadkiem funkcji kwadratowej jest funkcja f(x) = ax, a R \ {0}.
Bardziej szczegółowoRównania różniczkowe liniowe wyższych rzędów o stałych współcz
Równania różniczkowe liniowe wyższych rzędów o stałych współczynnikach Katedra Matematyki i Ekonomii Matematycznej SGH 12 maja 2016 Równanie liniowe n-tego rzędu Definicja Równaniem różniczkowym liniowym
Bardziej szczegółowoWłaściwości sygnałów i splot. Krzysztof Patan
Właściwości sygnałów i splot Krzysztof Patan Właściwości sygnałów Dla sygnału ciągłego x(t) można zdefiniować wielkości liczbowe charakteryzujące ten sygnał wartość średnia energia sygnału x sr = lim τ
Bardziej szczegółowo5. Rozwiązywanie układów równań liniowych
5. Rozwiązywanie układów równań liniowych Wprowadzenie (5.1) Układ n równań z n niewiadomymi: a 11 +a 12 x 2 +...+a 1n x n =a 10, a 21 +a 22 x 2 +...+a 2n x n =a 20,..., a n1 +a n2 x 2 +...+a nn x n =a
Bardziej szczegółowouzyskany w wyniku próbkowania okresowego przebiegu czasowego x(t) ze stałym czasem próbkowania t takim, że T = t N 1 t
4. 1 3. " P r ze c ie k " w idm ow y 1 0 2 4.13. "PRZECIEK" WIDMOWY Rozważmy szereg czasowy {x r } dla r = 0, 1,..., N 1 uzyskany w wyniku próbkowania okresowego przebiegu czasowego x(t) ze stałym czasem
Bardziej szczegółowoMatematyczne Metody Fizyki II
Matematyczne Metody Fizyki II Mariusz Przybycień Wydział Fizyki i Informatyki Stosowanej Akademia Górniczo-Hutnicza Wykład 7 M. Przybycień (WFiIS AGH) Matematyczne Metody Fizyki II Wykład 7 1 / 11 Reprezentacja
Bardziej szczegółowoWEKTORY I WARTOŚCI WŁASNE MACIERZY. = λ c (*) problem przybliżonego rozwiązania zagadnienia własnego dla operatorów w mechanice kwantowej
WEKTORY I WARTOŚCI WŁASNE MACIERZY Ac λ c (*) ( A λi) c nietrywialne rozwiązanie gdy det A λi problem przybliżonego rozwiązania zagadnienia własnego dla operatorów w mechanice kwantowej A - macierzowa
Bardziej szczegółowoKLUCZ PUNKTOWANIA ODPOWIEDZI
Egzamin maturalny maj 009 MATEMATYKA POZIOM ROZSZERZONY KLUCZ PUNKTOWANIA ODPOWIEDZI Zadanie. a) Wiadomości i rozumienie Matematyka poziom rozszerzony Wykorzystanie pojęcia wartości argumentu i wartości
Bardziej szczegółowoMetody Obliczeniowe w Nauce i Technice
7. Równania nieliniowe (non-linear equations) Marian Bubak Department of Computer Science AGH University of Science and Technology Krakow, Poland bubak@agh.edu.pl dice.cyfronet.pl Contributors Dawid Prokopek
Bardziej szczegółowoFunkcja kwadratowa. f(x) = ax 2 + bx + c,
Funkcja kwadratowa. Funkcją kwadratową nazywamy funkcję f : R R określoną wzorem gdzie a, b, c R, a 0. f(x) = ax 2 + bx + c, Szczególnym przypadkiem funkcji kwadratowej jest funkcja f(x) = ax 2, a R \
Bardziej szczegółowoIndukcja matematyczna
Indukcja matematyczna Zadanie. Zapisać, używając symboli i, następujące wyrażenia (a) n!; (b) sin() + sin() sin() +... + sin() sin()... sin(n); (c) ( + )( + /)( + / + /)... ( + / + / +... + /R). Zadanie.
Bardziej szczegółowoELEMENTY ANALIZY NUMERYCZNEJ ELEMENTY ANALIZY NUMERYCZNEJ. Egzamin pisemny zestaw 1 24 czerwca 2019 roku
Egzamin pisemny zestaw. ( pkt.) Udowodnić, że jeśli funkcja g interpoluje funkcję f w węzłach x 0, x, K, x n, a funk- cja h interpoluje funkcję f w węzłach x, x, K, x n, to funkcja x0 x gx ( ) + [ gx (
Bardziej szczegółowoPierścień wielomianów jednej zmiennej
Rozdział 1 Pierścień wielomianów jednej zmiennej 1.1 Definicja pierścienia wielomianów jednej zmiennej Definicja 1.1 Niech P będzie dowolnym pierścieniem. Ciąg nieskończony (a 0, a 1,..., a n,...) elementów
Bardziej szczegółowoMETODY MATEMATYCZNE I STATYSTYCZNE W INŻYNIERII CHEMICZNEJ
METODY MATEMATYCZNE I STATYSTYCZNE W INŻYNIERII CHEMICZNEJ Wykład 6 Transformata Laplace a Funkcje specjalne Przekształcenia całkowe W wielu zastosowaniach dużą rolę odgrywają tzw. przekształcenia całkowe
Bardziej szczegółowoPrzekształcenie całkowe Fouriera
Przekształcenie całkowe Fouriera Postać zespolona szeregu Fouriera Niech ana bęzie funkcja f spełniająca w przeziale [, ] warunki Dirichleta. Wtey szereg Fouriera tej funkcji jest o niej zbieżny, tj. przy
Bardziej szczegółowoRozwiązywanie układów równań liniowych metody dokładne Materiały pomocnicze do ćwiczeń z metod numerycznych
Rozwiązywanie układów równań liniowych metody dokładne Materiały pomocnicze do ćwiczeń z metod numerycznych Piotr Modliński Wydział Geodezji i Kartografii PW 13 stycznia 2012 P. Modliński, GiK PW Rozw.
Bardziej szczegółowoAnaliza szeregów czasowych: 2. Splot. Widmo mocy.
Analiza szeregów czasowych: 2. Splot. Widmo mocy. P. F. Góra http://th-www.if.uj.edu.pl/zfs/gora/ semestr letni 2006/07 Splot Jedna z najważniejszych własności transformaty Fouriera jest to, że transformata
Bardziej szczegółowoPolitechnika Gdańska Wydział Elektrotechniki i Automatyki Katedra Inżynierii Systemów Sterowania. Podstawy Automatyki
Politechnika Gdańska Wydział Elektrotechniki i Automatyki Katedra Inżynierii Systemów Sterowania Podsta Automatyki Transmitancja operatorowa i widmowa systemu, znajdowanie odpowiedzi w dziedzinie s i w
Bardziej szczegółowoKodowanie transformacyjne. Plan 1. Zasada 2. Rodzaje transformacji 3. Standard JPEG
Kodowanie transformacyjne Plan 1. Zasada 2. Rodzaje transformacji 3. Standard JPEG Zasada Zasada podstawowa: na danych wykonujemy transformacje która: Likwiduje korelacje Skupia energię w kilku komponentach
Bardziej szczegółowoĆwiczenie 3. Właściwości przekształcenia Fouriera
Politechnika Wrocławska Wydział Elektroniki Mikrosystemów i Fotoniki Przetwarzanie sygnałów laboratorium ETD5067L Ćwiczenie 3. Właściwości przekształcenia Fouriera 1. Podstawowe właściwości przekształcenia
Bardziej szczegółowoInstrukcja do laboratorium z cyfrowego przetwarzania sygnałów. Wybrane właściwości Dyskretnej Transformacji Fouriera
Instrukcja do laboratorium z cyfrowego przetwarzania sygnałów Wybrane właściwości Dyskretnej Transformacji Fouriera Przemysław Korohoda, KE, AGH Zawartość instrukcji: 1 Materiał z zakresu DSP 1.1 Macierzowy
Bardziej szczegółowoZagadnienia do małej matury z matematyki klasa II Poziom podstawowy i rozszerzony
Zagadnienia do małej matury z matematyki klasa II Poziom podstawowy i rozszerzony Uczeń realizujący zakres rozszerzony powinien również spełniać wszystkie wymagania w zakresie poziomu podstawowego. Zakres
Bardziej szczegółowoAnaliza numeryczna Kurs INP002009W. Wykład 8 Interpolacja wielomianowa. Karol Tarnowski A-1 p.223
Analiza numeryczna Kurs INP002009W Wykład 8 Interpolacja wielomianowa Karol Tarnowski karol.tarnowski@pwr.wroc.pl A-1 p.223 Plan wykładu Wielomian interpolujący Wzór interpolacyjny Newtona Wzór interpolacyjny
Bardziej szczegółowoWykład 14. Elementy algebry macierzy
Wykład 14 Elementy algebry macierzy dr Mariusz Grządziel 26 stycznia 2009 Układ równań z dwoma niewiadomymi Rozważmy układ równań z dwoma niewiadomymi: a 11 x + a 12 y = h 1 a 21 x + a 22 y = h 2 a 11,
Bardziej szczegółowoSIMR 2016/2017, Analiza 2, wykład 1, Przestrzeń wektorowa
SIMR 06/07, Analiza, wykład, 07-0- Przestrzeń wektorowa Przestrzeń wektorowa (liniowa) - przestrzeń (zbiór) w której określone są działania (funkcje) dodawania elementów i mnożenia elementów przez liczbę
Bardziej szczegółowoAkwizycja i przetwarzanie sygnałów cyfrowych
Akwizycja i przetwarzanie sygnałów cyfrowych Instytut Teleinformatyki ITI PK Kraków 21 luty 2011 Reprezentacje sygnału Jak reprezentujemy sygnał: wybieramy sygnały wzorcowe (bazę) rozwijamy sygnał w wybranej
Bardziej szczegółowoFunkcje: wielomianowa, wykładnicza, logarytmiczna wykład 2
Funkcje: wielomianowa, wykładnicza, logarytmiczna wykład 2 dr Mariusz Grządziel semestr zimowy 2013 Potęgowanie Dla dowolnej liczby dodatniej a oraz liczy wymiernej w = p/q definiujemy: a w (a 1/q ) p.
Bardziej szczegółowoELEMENTY ANALIZY NUMERYCZNEJ ELEMENTY ANALIZY NUMERYCZNEJ. Egzamin pisemny zestaw 1 26 czerwca 2017 roku
Egzamin pisemny zestaw czerwca 0 roku Imię i nazwisko:.... ( pkt.) Udowodnić, że jeśli funkcja g interpoluje funkcję f w węzłach x 0, x, K, x n, a funk- cja h interpoluje funkcję f w węzłach x, x, K, x
Bardziej szczegółowoZygmunt Wróbel i Robert Koprowski. Praktyka przetwarzania obrazów w programie Matlab
Zygmunt Wróbel i Robert Koprowski Praktyka przetwarzania obrazów w programie Matlab EXIT 2004 Wstęp 7 CZĘŚĆ I 9 OBRAZ ORAZ JEGO DYSKRETNA STRUKTURA 9 1. Obraz w programie Matlab 11 1.1. Reprezentacja obrazu
Bardziej szczegółowoAnaliza szeregów czasowych: 1. Dyskretna transformata Fouriera i zagadnienia pokrewne
Analiza szeregów czasowych: 1. Dyskretna transformata Fouriera i zagadnienia pokrewne P. F. Góra http://th-www.if.uj.edu.pl/zfs/gora/ semestr letni 007/08 Transformata Fouriera G(f) = g(t)e πift dt (1)
Bardziej szczegółowoFunkcje: wielomianowa, wykładnicza, logarytmiczna wykład 3
Funkcje: wielomianowa, wykładnicza, logarytmiczna wykład 3 dr Mariusz Grzadziel Katedra Matematyki, Uniwersytet Przyrodniczy we Wrocławiu semestr zimowy 2016/2017 Potęgowanie Dla dowolnej liczby dodatniej
Bardziej szczegółowoPrzekształcenia widmowe Transformata Fouriera. Adam Wojciechowski
Przekształcenia widmowe Transformata Fouriera Adam Wojciechowski Przekształcenia widmowe Odmiana przekształceń kontekstowych, w których kontekstem jest w zasadzie cały obraz. Za pomocą transformaty Fouriera
Bardziej szczegółowoZajęcia nr 1 (1h) Dwumian Newtona. Indukcja. Zajęcia nr 2 i 3 (4h) Trygonometria
Technologia Chemiczna 008/09 Zajęcia wyrównawcze. Pokazać, że: ( )( ) n k k l = ( n l )( n l k l Zajęcia nr (h) Dwumian Newtona. Indukcja. ). Rozwiązać ( ) ( równanie: ) n n a) = 0 b) 3 ( ) n 3. Znaleźć
Bardziej szczegółowo2. Próbkowanie Sygnały okresowe (16). Trygonometryczny szereg Fouriera (17). Częstotliwość Nyquista (20).
SPIS TREŚCI ROZDZIAŁ I SYGNAŁY CYFROWE 9 1. Pojęcia wstępne Wiadomości, informacje, dane, sygnały (9). Sygnał jako nośnik informacji (11). Sygnał jako funkcja (12). Sygnał analogowy (13). Sygnał cyfrowy
Bardziej szczegółowoROZKŁAD MATERIAŁU DO II KLASY LICEUM (ZAKRES ROZSZERZONY) A WYMAGANIA PODSTAWY PROGRAMOWEJ.
ROZKŁAD MATERIAŁU DO II KLASY LICEUM (ZAKRES ROZSZERZONY) A WYMAGANIA PODSTAWY PROGRAMOWEJ. LICZBA TEMAT GODZIN LEKCYJNYCH Potęgi, pierwiastki i logarytmy (8 h) Potęgi 3 Pierwiastki 3 Potęgi o wykładnikach
Bardziej szczegółowoModyfikacja schematu SCPF obliczeń energii polaryzacji
Modyfikacja schematu SCPF obliczeń energii polaryzacji Zakład Metod Obliczeniowych Chemii 11 kwietnia 2006 roku 1 Po co? Jak? 2 Algorytm Analiza zbieżności 3 dla układów symetrycznych 4 Fulleren 5 Po co?
Bardziej szczegółowoWielomiany. XX LO (wrzesień 2016) Matematyka elementarna Temat #2 1 / 1
XX LO (wrzesień 2016) Matematyka elementarna Temat #2 1 / 1 Definicja Definicja Wielomianem stopnia n zmiennej rzeczywistej x nazywamy funkcję W (x) = a n x n + a n 1 x n 1 + + a 2 x 2 + a 1 x + a 0 gdzie
Bardziej szczegółowoWYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI KLASA III ZAKRES ROZSZERZONY (90 godz.) , x
WYMAGANIA EDUACYJNE Z MATEMATYI LASA III ZARES ROZSZERZONY (90 godz.) Oznaczenia: wymagania konieczne (dopuszczający); P wymagania podstawowe (dostateczny); R wymagania rozszerzające (dobry); D wymagania
Bardziej szczegółowo6. FUNKCJE. f: X Y, y = f(x).
6. FUNKCJE Niech dane będą dwa niepuste zbiory X i Y. Funkcją f odwzorowującą zbiór X w zbiór Y nazywamy przyporządkowanie każdemu elementowi X dokładnie jednego elementu y Y. Zapisujemy to następująco
Bardziej szczegółowoTeoria sygnałów Signal Theory. Elektrotechnika I stopień (I stopień / II stopień) ogólnoakademicki (ogólno akademicki / praktyczny)
. KARTA MODUŁU / KARTA PRZEDMIOTU Kod modułu Nazwa modułu Nazwa modułu w języku angielskim Obowiązuje od roku akademickiego 2012/2013 Teoria sygnałów Signal Theory A. USYTUOWANIE MODUŁU W SYSTEMIE STUDIÓW
Bardziej szczegółowoDyskretne układy liniowe. Funkcja splotu. Równania różnicowe. Transform
Dyskretne układy liniowe. Funkcja splotu. Równania różnicowe. Transformata Z. March 20, 2013 Dyskretne układy liniowe. Funkcja splotu. Równania różnicowe. Transformata Z. Sygnał i system Sygnał jest opisem
Bardziej szczegółowoKLUCZ PUNKTOWANIA ODPOWIEDZI
Egzamin maturalny maj 009 MATEMATYKA POZIOM PODSTAWOWY KLUCZ PUNKTOWANIA ODPOWIEDZI Zadanie. a) Matematyka poziom podstawowy Wyznaczanie wartości funkcji dla danych argumentów i jej miejsca zerowego.
Bardziej szczegółowoTechnika audio część 2
Technika audio część 2 Wykład 12 Projektowanie cyfrowych układów elektronicznych Mgr inż. Łukasz Kirchner lukasz.kirchner@cs.put.poznan.pl http://www.cs.put.poznan.pl/lkirchner Wprowadzenie do filtracji
Bardziej szczegółowoWykład 6: Reprezentacja informacji w układzie optycznym; układy liniowe w optyce; podstawy teorii dyfrakcji
Fotonika Wykład 6: Reprezentacja informacji w układzie optycznym; układy liniowe w optyce; podstawy teorii dyfrakcji Plan: pojęcie sygnału w optyce układy liniowe filtry liniowe, transformata Fouriera,
Bardziej szczegółowoMatematyka stosowana i metody numeryczne
Ewa Pabisek Adam Wosatko Piotr Pluciński Matematyka stosowana i metody numeryczne Konspekt z wykładu 8 Interpolacja Interpolacja polega na budowaniu tzw. funkcji interpolujących ϕ(x) na podstawie zadanych
Bardziej szczegółowoPodstawy Automatyki. wykład 1 (26.02.2010) mgr inż. Łukasz Dworzak. Politechnika Wrocławska. Instytut Technologii Maszyn i Automatyzacji (I-24)
Podstawy Automatyki wykład 1 (26.02.2010) mgr inż. Łukasz Dworzak Politechnika Wrocławska Instytut Technologii Maszyn i Automatyzacji (I-24) Laboratorium Podstaw Automatyzacji (L6) 105/2 B1 Sprawy organizacyjne
Bardziej szczegółowoAnaliza szeregów czasowych: 2. Splot. Widmo mocy.
Analiza szeregów czasowych: 2. Splot. Widmo mocy. P. F. Góra http://th-www.if.uj.edu.pl/zfs/gora/ semestr letni 2007/08 Splot Jedna z najważniejszych własności transformaty Fouriera jest to, że transformata
Bardziej szczegółowoAnaliza obrazu. wykład 5. Marek Jan Kasprowicz Uniwersytet Rolniczy 2008
Analiza obrazu komputerowego wykład 5 Marek Jan Kasprowicz Uniwersytet Rolniczy 2008 Slajdy przygotowane na podstawie książki Komputerowa analiza obrazu R.Tadeusiewicz, P. Korohoda, oraz materiałów ze
Bardziej szczegółowo1 Funkcje elementarne
1 Funkcje elementarne Funkcje elementarne, które będziemy rozważać to: x a, a x, log a (x), sin(x), cos(x), tan(x), cot(x), arcsin(x), arccos(x), arctan(x), arc ctg(x). 1.1 Funkcje x a. a > 0, oraz a N
Bardziej szczegółowoTEORIA OBWODÓW I SYGNAŁÓW LABORATORIUM
EORI OBWODÓW I SYGNŁÓW LBORORIUM KDEMI MORSK Katedra eleomuniacji Morsiej Ćwiczenie nr 2: eoria obwodów i sygnałów laboratorium ĆWICZENIE 2 BDNIE WIDM SYGNŁÓW OKRESOWYCH. Cel ćwiczenia Celem ćwiczenia
Bardziej szczegółowoPOSTULATY MECHANIKI KWANTOWEJ cd i formalizm matematyczny
POSTULATY MECHANIKI KWANTOWEJ cd i formalizm matematyczny Funkcja Falowa Postulat 1 Dla każdego układu istnieje funkcja falowa (funkcja współrzędnych i czasu), która jest ciągła, całkowalna w kwadracie,
Bardziej szczegółowo6. Całka nieoznaczona
6. Całka nieoznaczona Grzegorz Kosiorowski Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 6. Całka nieoznaczona 1 / 35 Całka nieoznaczona - motywacja Wiemy
Bardziej szczegółowoTreści programowe. Matematyka 1. Efekty kształcenia. Literatura. Warunki zaliczenia. Ogólne własności funkcji. Definicja 1. Funkcje elementarne.
Treści programowe Matematyka 1 Katarzyna Trąbka-Więcław Funkcje elementarne. Granica funkcji, własności granic, wyrażenia nieoznaczone, ciągłość funkcji. Pochodna funkcji w punkcie i w przedziale, pochodne
Bardziej szczegółowo