Metody Obliczeniowe w Nauce i Technice
|
|
- Lech Kołodziej
- 5 lat temu
- Przeglądów:
Transkrypt
1 12. Iteracyjne rozwiązywanie Ax=B Marian Bubak Department of Computer Science AGH University of Science and Technology Krakow, Poland dice.cyfronet.pl Contributors Anna Marciniec Radosław Kazior Łukasz Janeczko
2 Plan wykładu Wady metod bezpośrednich Podział metod iteracyjnych Istota metod iteracyjnych dla Ax=b Zbieżność procesu iteracyjnego rozwiązywania Ax=b Sens procedury iteracyjnej dla Ax=b Metoda Jacobiego Metoda Gaussa-Seidla (G-S i S-R -successive relaxation) Metoda kolejnych nadrelaksacji - SOR (successive over-relaxation) Sposoby przeglądania węzłów siatki Metoda Czybyszewa Porównywanie jakości wybranych metod iteracyjnych
3 12.1 Wady metod bezpośrednich Wady metod bezpośrednich Złożoność obliczeniowa N 3 M = 1 3 n3 + n n (,/) D = 1 3 n n2 5 6 n (+) Np punktów siatki przestrzennej (mesh points) 100 x 100 (2 D) 20 x 20 x 20 (3 D) metoda eliminacji Gaussa to operacji 1 operacja trwa 10 8 s czyli 3 godziny
4 12.1 Wady metod bezpośrednich Zwykle czas symulacji 1h, liczba kroków czasowych 1000, cały krok - to rozwiązywanie układu równań, 1 operacja 10 8 s, liczba punktów siatki 10 4 ( liczba równań)
5 12.1 Wady metod bezpośrednich Potrzebne są metody o znacznie mniejszej złożoności Metody takie powinny być oparte na własnościach równań różniczkowych cząstkowych (zwykle - źródła równań liniowych): liniowość, wymiar, możliwość separacji zmiennych, zakres zmian współczynników, kształt geometryczny obszaru, warunki brzegowe - postać.
6 12.1 Wady metod bezpośrednich Metody bezpośrednie zaburzają strukturę macierzy rzadkich 2 - D operator pięciopunktowy
7 12.1 Wady metod bezpośrednich Metody bezpośrednie zaburzają strukturę macierzy rzadkich 5 N 2 współczynników 0 ale: po zastosowaniu metody eliminacji Gaussa znikają zera z wstęg (*) trzeba wtedy pamiętać 2 N 3 współczynników Macierz wstęgowa: m ij = 0 dla i j > k W metodach polegających na mnożeniu A x (t) w kroku t zamiast n 2 k n mnożeń wtedy łatwo o: s k n < n 3 gdzie s - liczba kroków, a n 3 - złożoność metod bezpośrednich.
8 12.2 Podział metod iteracyjnych Podział metod iteracyjnych Metody stacjonarne (stationary) stałe współczynniki macierzy iteracyjnej, starsze, proste w zrozumieniu i implementacji, na przykład metody Jacobiego, G S (SR), SOR, SSOR.
9 12.2 Podział metod iteracyjnych Metody niestacjonarne (nonstationary) współczynniki macierzy iteracyjnej zmieniają się w kolejnych krokach iteracji, oparte na idei ciągu wektorów ortogonalnych (CG, MINRES...), wielomianów ortogonalnych (metoda Czybyszewa), stosunkowo nowe, trudniejsze w zrozumieniu i implementacji, szybciej zbieżne.
10 12.2 Podział metod iteracyjnych iterate przybliżenie rozwiązania w kolejnej iteracji, residual r = Ay b, preconditioner, preconditioning matrix: macierz transformująca układ równań do postaci o lepszych własnościach spektralnych
11 12.3 Istota metod iteracyjnych dla Ax=b Istota metod iteracynych dla Ax = b A x = b gdzie A jest macierzą n x n, x wektor n niewiadomych, b wektor danych (źródeł).
12 12.3 Istota metod iteracyjnych dla Ax=b Rozkład: A = B + R B macierz dla, której łatwo stworzyć B 1 R pozostałość A x = (B + R) x = b B x = R x + b B x = (A B) x + b
13 12.3 Istota metod iteracyjnych dla Ax=b Metody iteracyjne dla Ax = b (mesh relaxation methods) polegają na: odgadnięciu wektora początkowego x (0) generowaniu ciągu iteracyjnego x (t) według postulowanego wzoru: B x (t+1) = (A B) x (t) + b x (t+1) = B 1 (A B) x (t) + B }{{}} 1 {{ b} I B 1 A=M M - iteration matrix W x (t+1) = M x (t) + B 1 b
14 12.3 Istota metod iteracyjnych dla Ax=b Różne B rodzina metod iteracyjnych: x (t+1) = M x (t) + B 1 b ( ) Warunek zgodności formuły iteracyjnej z szukanym rozwiązaniem lim t x (t+1) = lim t (M x (t) + B 1 b)
15 12.4 Zbieżność procesu iteracyjnego rozwiązywania Ax=b Zbieżność procesu iteracyjnego rozwiązywania Ax=b Twierdzenie: Zbieżność procesu iteracyjnego Teza: Ciąg ( ) z dowolnym wektorem startowym x (0) jest zbieżny do jedynego granicznego x (inf) wtedy i tylko wtedy, gdy promień spektralny (spectral radius) macierzy iteracji jest mniejszy od 1 ρ(m) < 1
16 12.4 Zbieżność procesu iteracyjnego rozwiązywania Ax=b Dowód ε (t) = x (t) x; wektor błędu w iteracji t x = M x + W oraz x }{{ (t+1) = M x } (t) + W ε (t+1) =M ε (t) ε (t) =Mt ε (0) (7) ε (0) - initial error vector gdy M zmienia się w procesie iteracji - to: ε (t) = M t ε (0) (8) Dla określenia zbieżności - potrzebny jest skalar ε (t). Chcemy, by dla pewnego t: ε (t+1) < ε (t)
17 12.4 Zbieżność procesu iteracyjnego rozwiązywania Ax=b Dowód M macierz iteracji ma n różnych wartości i wektorów własnych Ms i = ρ i s i (12.3) Rozkładamy (rzuty na inne osie): n ε (t) = M t α i s i, α i - amplituda kierunku s i i=1 (12.4) ε (t) = M t n α i s i = i=1 ε (t) = n i=1 α i M t 1 (Ms i }{{} ρ i s i ) =... = n α i ρ t i s i (12.5) i=1 n α i ρ t i s i i=1
18 12.4 Zbieżność procesu iteracyjnego rozwiązywania Ax=b Dowód lim t ε(t) = α m ρ t ms m gdzie: ρ m = max i ρ i = ρ promień spektralny macierzy iteracji ρ < 1 - warunek zbieżności ε (t) ε (0) M(t) - zadana dokładność ρ M (t ) = 10 p λ asymptotic convergence factor λ t = 10 p t = p ln10 lnλ - liczba iteracji
19 12.5 Sens procedury iteracyjnej dla Ax=b Sens procedury iteracyjnej dla Ax=b W każdym kroku następuje poprawianie rozwiązania. Przypadek, gdy źródłem Ax=b jest rozkład Poissona: 2 u(x, y) = ρ(x, y) ρ(x, y) funkcja rozkładu źródeł szybkość propagacji informacji 2 Operator Laplace a
20 12.5 Sens procedury iteracyjnej dla Ax=b Ale rozkład Poissona to graniczny (stacjonarny) przypadek równania dyfuzji: u t 2 u = ρ którego jawne sformułowanie różnicowe ma postać: siatka t : t p, u (p+1) = u (p) + t y (p) + ρ t }{{}}{{} t + t p + 1 Mu (p) W =B 1 b Procedura iteracyjna - jawne rozwiązanie zagadnienia opisującego zbieżność w wyimaginowanym czasie iteracji (pseudoczas)
21 12.6 Metoda Jacobiego Metoda Jacobiego A = D + (L + U) { M = I D 1 A W = D 1 b gdzie: L poddiagonalna; U naddiagonalna; D = B diagonalna, z diagonalnych elementów macierzy A. Ax = (D + (L + U))x = b = Dx = (L + U)x + b Korzystając z zależności otrzymujemy wzór roboczy: x (t+1) i Dx (t+1) = (L + U)x (t) + b = 1 a ii [b i n j=1,j i a ij x (t) j ] ; a ii 0, i 1,.., n
22 12.6 Metoda Jacobiego Procedura przestawiania wierszy 1) spośród kolumn z a ii = 0 wybieramy tę, która ma najwięcej zer, 2) w tej kolumnie wybieramy element o max a ji i przestawiamy wiersze tak, aby znalazł się on na diagonali, 3) powtarzamy 1) i 2).
23 12.6 Metoda Jacobiego Modelowe zadanie równanie Poissona 2-D w.b. φ 0 siatka przestrzenna N x N Dla modelowego zadania met. Jacobiego: ρ cos π N 10 π2 N 2, λ J = ρ
24 12.6 Metoda Jacobiego Charakterystyka metody Jacobiego prosta, ma znaczenie dydaktyczne, wolnozbieżna, nie wykorzystuje całej, dostępnej w danym kroku informacji, pamiętane x (t) i x (t+1), zbieżna dla A silnie diagonalnie dominujących, wierszowo : a ii > kolumnowo : a ii > n j=1,j i n j=1,j i a ij, a ji,
25 12.7 Metoda Gaussa-Seidla (G-S i S-R -successive relaxation) Metoda Gaussa-Seidla (G-S i S-R -successive relaxation) A = (L + D) +U }{{} B M = I B 1 A = I B 1 (B + U) = B 1 U, ( ) (*) Pamiętamy, że x (t+1) = B 1 Ux (t) + B 1 b (D + L)x (t+1) = Ux t + b Dx (t+1) = Lx (t+1) Ux (t) + b x (t+1) = Mx (t) + W, M = I B 1 A, W = B 1 b
26 12.7 Metoda Gaussa-Seidla (G-S i S-R -successive relaxation) Wzór roboczy: x (t+1) i i 1 = 1 [b i a ii a ij x (t+1) j j=1 } {{ } ( ) n a ij x (t) ] j j=i+1 }{{} ( ) gdzie: ( ) - otrzymujemy z rozwiązania poprzednich równań w bieżącej (t + 1) iteracji i w tym tkwi przewaga nad metodą Jacobiego i źródło wzrostu efektywności, ( ) - z poprzedniej iteracji (t).
27 12.7 Metoda Gaussa-Seidla (G-S i S-R -successive relaxation) Charakterystyka metody G-S elementy diagonali powinny być 0 przestawianie wystarczy pamiętać aktualne przybliżenie x (t+1) zbieżna dla A: * silnie diagonalnie dominujących wierszowo, kolumnowo, * symetrycznych, * dodatnio określonych (xax > O x 0).
28 12.7 Metoda Gaussa-Seidla (G-S i S-R -successive relaxation) Dla modelowego zadania: λ GS = ρ 2 λ GS = cos 2 ( π N 1 ( π2 N 2 ) t = ln10 π 2 (pn2 )...
29 12.8 Metoda kolejnych nadrelaksacji - SOR (successive over-relaxation) Metoda kolejnych nadrelaksacji - SOR (successive over-relaxation) Inaczej zapisany wzór roboczy SR(G-S): x (t+1) i = x (t) i Przyspieszenie zbieżności: x (t+1) i i [b i a ii a ij x (t+1) j n a ij x (t) j ] j=1 j=i }{{} r (t) i - poprawka do starego rozwiązania x (t) i = x (t) i + ωr (t) i, ω - pewna liczba
30 12.8 Metoda kolejnych nadrelaksacji - SOR (successive over-relaxation) Wzór roboczy a ii x (t+1) i = a ii }{{} x (t) i w zapisie macierzowym i 1 +ω[b i j=1 a ij x (t+1) j n j=i+1 a ij x (t) j ] ω a ii Dx (t+1) = (1 ω)dx (t) + ω[b Lx (t+1) Ux (t) ] po uporządkowaniu: }{{} x (t+1) = (D + ωl) 1 [D ω(d + U)] x (t) + ω(d + ωl) 1 b }{{}}{{} M W (=B 1 b) x (t) i
31 12.8 Metoda kolejnych nadrelaksacji - SOR (successive over-relaxation) Twierdzenie Założenia Dla dowolnej nieosobliwej macierzy A i dowolnej liczby ω zachodzi: Teza ρ(m) ω 1 Stąd: { ω (0, 1] - podrelaksacja ω (0, 2) ω (1, 2) - nadrelaksacja
32 12.8 Metoda kolejnych nadrelaksacji - SOR (successive over-relaxation) Interpretacja: Dla ważnych praktycznie klas macierzy znana jest optymalna wartość ω
33 12.8 Metoda kolejnych nadrelaksacji - SOR (successive over-relaxation) Twierdzenie Założenia Dla A - symetrycznej, dodatnio określonej o postacji blokowo - trójprzekątniowej: D 1 U 1 A = L 2 D 2 U L n 1 D n 1 U n 1 L n D n
34 12.8 Metoda kolejnych nadrelaksacji - SOR (successive over-relaxation) Teza ω opt = Dla równania modelowego ρ(m GS ) = ρ 2 (M J ) ρ(m GS ) λ SOR = ω opt 1 ρ = cos 2 ( π N ), ω opt 2(1 π N, λ SOR = 1 2π N )
35 12.9 Sposoby przeglądania węzłów siatki Sposoby przeglądania węzłów siatki
36 12.10 Metoda Czybyszewa Metoda Czybyszewa B 1 = W (A) - wielomian macierzowy M = 1 W (A)A. Znaleźć W (U) taki, by: min!max 1 W (U)U U Jest to klasyczny problem aproksymacji wielomiany Czybyszewa
37 12.10 Metoda Czybyszewa Przyspieszenie Czybyszewa metody SOR; odd-even ordering ρ = ρ(m J ) ω (0) = 1 ω = ρ2 ω (t+ 1 2 ) 1 = ρ2 ω (t), dla t=1 2, 1, 11 2,... ω ( ) = ω opt
38 12.10 Metoda Czybyszewa 1 ω=1.0 DO 2 t = 1, MAXIT ( 100, 1000) 3 Norm = 0. 0 DO 1 p= 1, n 5 DO 1 p= 1, n IF ( MOD( p+q, 2 ).EQ. MOD( t, 2 ) ) THEN 7 R e s i d u a l = a p,qφ p,q 1 + b p,1φ p,q+1 + c p,qφ p 1,q+ d p,qφ p+1,q + e p,qφ p,q f p,q 9 Norm = Norm + ( R e s i d u a l ) 2 φ p,q = φ pq ω R e s i d u a l /e p,q 11 ENDIF 1 CONTINUE 13 ( ) ω = 1.0/( ρ 2 ω) ( ) IF ( t.eq. 1) ω = 1.0/( ρ 2 ) 15 IF (Norm. LT. EPS f s o l u t i o n o b t a i n e d 2 CONTINUE Zadanie: Przećwiczyć na lab.
39 12.10 Metoda Czybyszewa Uwagi do algorytmu EPS 10 6, f obliczona wcześniej norma prawej strony, gdy usuniemy instrukcje (*) otrzymamy metodę G-S, jeżeli dodatkowo zastąpimy ω = 1 przez ω = ω opt - metodę SOR, (Dla r. Poissona: a = b = c = d = 1, e = 4)
40 12.11 Porównywanie jakości wybranych metod iteracyjnych Porównywanie jakości wybranych metod iteracyjnych A { r. Poissona, 2-D siatka 128 x 128
Zaawansowane metody numeryczne
Wykład 11 Ogólna postać metody iteracyjnej Definicja 11.1. (metoda iteracyjna rozwiązywania układów równań) Metodą iteracyjną rozwiązywania { układów równań liniowych nazywamy ciąg wektorów zdefiniowany
Bardziej szczegółowoMetody numeryczne. Janusz Szwabiński. Metody numeryczne I (C) 2004 Janusz Szwabiński p.1/50
Metody numeryczne Układy równań liniowych, część II Janusz Szwabiński szwabin@ift.uni.wroc.pl Metody numeryczne I (C) 2004 Janusz Szwabiński p.1/50 Układy równań liniowych, część II 1. Iteracyjne poprawianie
Bardziej szczegółowoUkłady równań liniowych. Krzysztof Patan
Układy równań liniowych Krzysztof Patan Motywacje Zagadnienie kluczowe dla przetwarzania numerycznego Wiele innych zadań redukuje się do problemu rozwiązania układu równań liniowych, często o bardzo dużych
Bardziej szczegółowoRozwiązywanie układów równań liniowych metody przybliżone Materiały pomocnicze do ćwiczeń z metod numerycznych
Rozwiązywanie układów równań liniowych metody przybliżone Materiały pomocnicze do ćwiczeń z metod numerycznych Piotr Modliński Wydział Geodezji i Kartografii PW 14 stycznia 2012 P. Modliński, GiK PW Rozw.
Bardziej szczegółowoRozwiązywanie algebraicznych układów równań liniowych metodami iteracyjnymi
Rozwiązywanie algebraicznych układów równań liniowych metodami iteracyjnymi Plan wykładu: 1. Przykłady macierzy rzadkich i formaty ich zapisu 2. Metody: Jacobiego, Gaussa-Seidla, nadrelaksacji 3. Zbieżność
Bardziej szczegółowoMetody Obliczeniowe w Nauce i Technice
9 - Rozwiązywanie układów równań nieliniowych Marian Bubak Department of Computer Science AGH University of Science and Technology Krakow, Poland bubak@agh.edu.pl dice.cyfronet.pl Contributors Anna Marciniec
Bardziej szczegółowoRozwiązywanie algebraicznych układów równań liniowych metodami iteracyjnymi. Plan wykładu:
Rozwiązywanie algebraicznych układów równań liniowych metodami iteracynymi Plan wykładu: 1. Przykłady macierzy rzadkich i formaty ich zapisu 2. Metody: Jacobiego, Gaussa-Seidla, nadrelaksaci 3. Zbieżność
Bardziej szczegółowoNumeryczna algebra liniowa. Krzysztof Banaś Obliczenia Wysokiej Wydajności 1
Numeryczna algebra liniowa Krzysztof Banaś Obliczenia Wysokiej Wydajności 1 Numeryczna algebra liniowa Numeryczna algebra liniowa obejmuje szereg algorytmów dotyczących wektorów i macierzy, takich jak
Bardziej szczegółowoUKŁADY ALGEBRAICZNYCH RÓWNAŃ LINIOWYCH
Transport, studia niestacjonarne I stopnia, semestr I Instytut L-5, Wydział Inżynierii Lądowej, Politechnika Krakowska Ewa Pabisek Adam Wosatko Postać układu równań liniowych Układ liniowych równań algebraicznych
Bardziej szczegółowoRozwiązywanie układów równań liniowych
Rozwiązywanie układów równań liniowych Marcin Orchel 1 Wstęp Jeśli znamy macierz odwrotną A 1, to możęmy znaleźć rozwiązanie układu Ax = b w wyniku mnożenia x = A 1 b (1) 1.1 Metoda eliminacji Gaussa Pierwszy
Bardziej szczegółowoPlan wykładu. Obliczenia równoległe w zagadnieniach inżynierskich. Wykład 6 p. Rozwiazywanie układów równań. metody bezpośrednie,
Plan wykładu Obliczenia równoległe w zagadnieniach inżynierskich Wykład 6 Dr inż. Tomasz Olas olas@icis.pcz.pl Układy równań liniowych i metody ich rozwiazywania Metoda sprzężonych gradientów Macierze
Bardziej szczegółowoMetody iteracyjne rozwiązywania układów równań liniowych (5.3) Normy wektorów i macierzy (5.3.1) Niech. x i. i =1
Normy wektorów i macierzy (5.3.1) Niech 1 X =[x x Y y =[y1 x n], oznaczają wektory przestrzeni R n, a yn] niech oznacza liczbę rzeczywistą. Wyrażenie x i p 5.3.1.a X p = p n i =1 nosi nazwę p-tej normy
Bardziej szczegółowoUKŁADY ALGEBRAICZNYCH RÓWNAŃ LINIOWYCH
Transport, studia I stopnia rok akademicki 2011/2012 Instytut L-5, Wydział Inżynierii Lądowej, Politechnika Krakowska Ewa Pabisek Adam Wosatko Uwagi wstępne Układ liniowych równań algebraicznych można
Bardziej szczegółowoZaawansowane metody numeryczne
Wykład 10 Rozkład LU i rozwiązywanie układów równań liniowych Niech będzie dany układ równań liniowych postaci Ax = b Załóżmy, że istnieją macierze L (trójkątna dolna) i U (trójkątna górna), takie że macierz
Bardziej szczegółowoMetody Obliczeniowe w Nauce i Technice
23. Rozwiązywanie równań różniczkowych cząstkowych Marian Bubak Department of Computer Science AGH University of Science and Technology Krakow, Poland bubak@agh.edu.pl dice.cyfronet.pl Contributors Magdalena
Bardziej szczegółowoWEKTORY I WARTOŚCI WŁASNE MACIERZY. = λ c (*) problem przybliżonego rozwiązania zagadnienia własnego dla operatorów w mechanice kwantowej
WEKTORY I WARTOŚCI WŁASNE MACIERZY Ac λ c (*) ( A λi) c nietrywialne rozwiązanie gdy det A λi problem przybliżonego rozwiązania zagadnienia własnego dla operatorów w mechanice kwantowej A - macierzowa
Bardziej szczegółowoNumeryczna algebra liniowa
Numeryczna algebra liniowa Numeryczna algebra liniowa obejmuje szereg algorytmów dotyczących wektorów i macierzy, takich jak podstawowe operacje na wektorach i macierzach, a także rozwiązywanie układów
Bardziej szczegółowoMatematyka stosowana i metody numeryczne
Ewa Pabisek Adam Wosatko Piotr Pluciński Matematyka stosowana i metody numeryczne Konspekt z wykładów Błędy obliczeń Błędy można podzielić na: modelu, metody, wejściowe (początkowe), obcięcia, zaokrągleń..
Bardziej szczegółowoMETODY NUMERYCZNE. wykład. konsultacje: wtorek 10:00-11:30 środa 10:00-11:30. dr inż. Grażyna Kałuża pokój
METODY NUMERYCZNE wykład dr inż. Grażyna Kałuża pokój 103 konsultacje: wtorek 10:00-11:30 środa 10:00-11:30 www.kwmimkm.polsl.pl Program przedmiotu wykład: 15 godzin w semestrze laboratorium: 30 godzin
Bardziej szczegółowoWstęp do metod numerycznych Uwarunkowanie Eliminacja Gaussa. P. F. Góra
Wstęp do metod numerycznych Uwarunkowanie Eliminacja Gaussa P. F. Góra http://th-www.if.uj.edu.pl/zfs/gora/ 2012 Uwarunkowanie zadania numerycznego Niech ϕ : R n R m będzie pewna funkcja odpowiednio wiele
Bardziej szczegółowo5. Rozwiązywanie układów równań liniowych
5. Rozwiązywanie układów równań liniowych Wprowadzenie (5.1) Układ n równań z n niewiadomymi: a 11 +a 12 x 2 +...+a 1n x n =a 10, a 21 +a 22 x 2 +...+a 2n x n =a 20,..., a n1 +a n2 x 2 +...+a nn x n =a
Bardziej szczegółowoObliczenia równoległe w zagadnieniach inżynierskich. Wykład 6
Wykład 6 p. 1/?? Obliczenia równoległe w zagadnieniach inżynierskich Wykład 6 Dr inż. Tomasz Olas olas@icis.pcz.pl Instytut Informatyki Teoretycznej i Stosowanej Politechnika Częstochowska Plan wykładu
Bardziej szczegółowoMetody Obliczeniowe w Nauce i Technice
7. Równania nieliniowe (non-linear equations) Marian Bubak Department of Computer Science AGH University of Science and Technology Krakow, Poland bubak@agh.edu.pl dice.cyfronet.pl Contributors Dawid Prokopek
Bardziej szczegółowoEgzamin z Metod Numerycznych ZSI, Egzamin, Gr. A
Egzamin z Metod Numerycznych ZSI, 06.2007. Egzamin, Gr. A Imię i nazwisko: Nr indeksu: Section 1. Test wyboru, max 33 pkt Zaznacz prawidziwe odpowiedzi literą T, a fałszywe N. Każda prawidłowa odpowiedź
Bardziej szczegółowoZagadnienia brzegowe dla równań eliptycznych
Temat 7 Zagadnienia brzegowe dla równań eliptycznych Rozważmy płaski obszar R 2 ograniczony krzywą. la równania Laplace a (Poissona) stawia się trzy podstawowe zagadnienia brzegowe. Zagadnienie irichleta
Bardziej szczegółowoAnaliza numeryczna Lista nr 3 (ćwiczenia) x x 2 n x.
Analiza numeryczna Lista nr 3 (ćwiczenia) Sprawdzić że macierz ma wartości własne2+ 222 2 2 Niechx R n Udowodnić że 2 0 0 x x 2 n x 3 NiechA R n n będzie macierzą symetryczną Wiadomo że wówczas istnieje
Bardziej szczegółowoWykład III Układy równań liniowych i dekompozycje macierzy
Wykład III Układy równań liniowych i dekompozycje macierzy Metody eliminacji i podstawienia wstecz Metoda dekompozycji LU i jej zastosowania Metody dla macierzy specjalnych i rzadkich Metody iteracyjne
Bardziej szczegółowoWprowadzenie Metoda bisekcji Metoda regula falsi Metoda siecznych Metoda stycznych RÓWNANIA NIELINIOWE
Transport, studia niestacjonarne I stopnia, semestr I Instytut L-5, Wydział Inżynierii Lądowej, Politechnika Krakowska Ewa Pabisek Adam Wosatko Postać ogólna równania nieliniowego Zazwyczaj nie można znaleźć
Bardziej szczegółowoRównania różniczkowe cząstkowe (RRCz) równanie eliptyczne równanie Poissona
Równania różniczkowe cząstkowe (RRCz) równanie eliptyczne równanie Poissona 1. Klasyfikacja RRCz, przykłady 2. Metody numerycznego rozwiązywania równania Poissona a) FFT (met. bezpośrednia) b) metoda różnic
Bardziej szczegółowoMetody numeryczne Wykład 4
Metody numeryczne Wykład 4 Dr inż. Michał Łanczont Instytut Elektrotechniki i Elektrotechnologii E419, tel. 4293, m.lanczont@pollub.pl, http://m.lanczont.pollub.pl Zakres wykładu Metody skończone rozwiązywania
Bardziej szczegółowoMetody Obliczeniowe w Nauce i Technice
5. Aproksymacja Marian Bubak Department of Computer Science AGH University of Science and Technology Krakow, Poland bubak@agh.edu.pl dice.cyfronet.pl Contributors Paweł Urban Jakub Ptak Łukasz Janeczko
Bardziej szczegółowo1 Równania nieliniowe
1 Równania nieliniowe 1.1 Postać ogólna równania nieliniowego Często występującym, ważnym problemem obliczeniowym jest numeryczne poszukiwanie rozwiązań równań nieliniowych, np. algebraicznych (wielomiany),
Bardziej szczegółowoWykład 5. Metoda eliminacji Gaussa
1 Wykład 5 Metoda eliminacji Gaussa Rozwiązywanie układów równań liniowych Układ równań liniowych może mieć dokładnie jedno rozwiązanie, nieskończenie wiele rozwiązań lub nie mieć rozwiązania. Metody dokładne
Bardziej szczegółowoMetody Obliczeniowe w Nauce i Technice
8. Wyznaczanie pierwiastków wielomianów Marian Bubak Department of Computer Science AGH University of Science and Technology Krakow, Poland bubak@agh.edu.pl dice.cyfronet.pl Contributors Magdalena Nowak
Bardziej szczegółowo1 Metody rozwiązywania równań nieliniowych. Postawienie problemu
1 Metody rozwiązywania równań nieliniowych. Postawienie problemu Dla danej funkcji ciągłej f znaleźć wartości x, dla których f(x) = 0. (1) 2 Przedział izolacji pierwiastka Będziemy zakładać, że równanie
Bardziej szczegółowoLista nr 1 - Liczby zespolone
Lista nr - Liczby zespolone Zadanie. Obliczyć: a) ( 3 i) 3 ( 6 i ) 8 c) (+ 3i) 8 (i ) 6 + 3 i + e) f*) g) ( 3 i ) 77 ( ( 3 i + ) 3i 3i h) ( + 3i) 5 ( i) 0 i) i ( 3 i ) 4 ) +... + ( 3 i ) 0 Zadanie. Przedstawić
Bardziej szczegółowoALGEBRA LINIOWA. ĆWICZENIA Układy Równań Liniowych
ALGEBRA LINIOWA ĆWICZENIA Układy Równań Liniowych ALEXANDER DENISIUK Najnowsza wersja tego dokumentu dostępna jest pod adresem http://userspjwstkedupl/~denisjuk/ Proponowane zadania powinny zostać zrealizowane
Bardziej szczegółowoRozwiązywanie układów równań liniowych metody dokładne Materiały pomocnicze do ćwiczeń z metod numerycznych
Rozwiązywanie układów równań liniowych metody dokładne Materiały pomocnicze do ćwiczeń z metod numerycznych Piotr Modliński Wydział Geodezji i Kartografii PW 13 stycznia 2012 P. Modliński, GiK PW Rozw.
Bardziej szczegółowo13 Układy równań liniowych
13 Układy równań liniowych Definicja 13.1 Niech m, n N. Układem równań liniowych nad ciałem F m równaniach i n niewiadomych x 1, x 2,..., x n nazywamy koniunkcję równań postaci a 11 x 1 + a 12 x 2 +...
Bardziej szczegółowodr Mariusz Grządziel 15,29 kwietnia 2014 Przestrzeń R k R k = R R... R k razy Elementy R k wektory;
Wykłady 8 i 9 Pojęcia przestrzeni wektorowej i macierzy Układy równań liniowych Elementy algebry macierzy dodawanie, odejmowanie, mnożenie macierzy; macierz odwrotna dr Mariusz Grządziel 15,29 kwietnia
Bardziej szczegółowox y
Przykłady pytań na egzamin końcowy: (Uwaga! Skreślone pytania nie obowiązują w tym roku.). Oblicz wartość interpolacji funkcjami sklejanymi (przypadek (case) a), dla danych i =[- 4 5], y i =[0 4 -]. Jaka
Bardziej szczegółowoAnaliza numeryczna Kurs INP002009W. Wykłady 6 i 7 Rozwiązywanie układów równań liniowych. Karol Tarnowski A-1 p.
Analiza numeryczna Kurs INP002009W Wykłady 6 i 7 Rozwiązywanie układów równań liniowych Karol Tarnowski karol.tarnowski@pwr.wroc.pl A-1 p.223 Plan wykładu Podstawowe pojęcia Własności macierzy Działania
Bardziej szczegółowoMetody numeryczne I Równania nieliniowe
Metody numeryczne I Równania nieliniowe Janusz Szwabiński szwabin@ift.uni.wroc.pl Metody numeryczne I (C) 2004 Janusz Szwabiński p.1/66 Równania nieliniowe 1. Równania nieliniowe z pojedynczym pierwiastkiem
Bardziej szczegółowoUkłady równań liniowych
Układy równań liniowych Niech K będzie ciałem. Niech n, m N. Równanie liniowe nad ciałem K z niewiadomymi (lub zmiennymi) x 1, x 2,..., x n K definiujemy jako formę zdaniową zmiennej (x 1,..., x n ) K
Bardziej szczegółowoRozwiązywanie równań nieliniowych
Rozwiązywanie równań nieliniowych Marcin Orchel 1 Wstęp Przykłady wyznaczania miejsc zerowych funkcji f : f(ξ) = 0. Wyszukiwanie miejsc zerowych wielomianu n-tego stopnia. Wymiar tej przestrzeni wektorowej
Bardziej szczegółowoWstęp do metod numerycznych Metody iteracyjne i metoda gradientów. P. F. Góra
Wstęp do metod numerycznych Metody iteracyjne i metoda gradientów sprzężonych P. F. Góra http://th-www.if.uj.edu.pl/zfs/gora/ 2012 Metody iteracyjne W metodach dokładnych otrzymane rozwiazanie jest dokładne
Bardziej szczegółowoKolejny krok iteracji polega na tym, że przechodzimy do następnego wierzchołka, znajdującego się na jednej krawędzi z odnalezionym już punktem, w
Metoda Simpleks Jak wiadomo, problem PL z dowolną liczbą zmiennych można rozwiązać wyznaczając wszystkie wierzchołkowe punkty wielościanu wypukłego, a następnie porównując wartości funkcji celu w tych
Bardziej szczegółowo1 Macierz odwrotna metoda operacji elementarnych
W tej części skupimy się na macierzach kwadratowych. Zakładać będziemy, że A M(n, n) dla pewnego n N. Definicja 1. Niech A M(n, n). Wtedy macierzą odwrotną macierzy A (ozn. A 1 ) nazywamy taką macierz
Bardziej szczegółowoa 11 a a 1n a 21 a a 2n... a m1 a m2... a mn x 1 x 2... x m ...
Wykład 15 Układy równań liniowych Niech K będzie ciałem i niech α 1, α 2,, α n, β K. Równanie: α 1 x 1 + α 2 x 2 + + α n x n = β z niewiadomymi x 1, x 2,, x n nazywamy równaniem liniowym. Układ: a 21 x
Bardziej szczegółowoMetody rozwiązywania równań nieliniowych
Metody rozwiązywania równań nieliniowych Rozwiązywanie równań nieliniowych Ogólnie równanie o jednej niewiadomej x można przedstawić w postaci f ( x)=0, x R, (1) gdzie f jest wystarczająco regularną funkcją.
Bardziej szczegółowoObliczenia iteracyjne
Lekcja Strona z Obliczenia iteracyjne Zmienne iteracyjne (wyliczeniowe) Obliczenia iteracyjne wymagają zdefiniowania specjalnej zmiennej nazywanej iteracyjną lub wyliczeniową. Zmienną iteracyjną od zwykłej
Bardziej szczegółowoElementy metod numerycznych
Wykład nr 5 i jej modyfikacje. i zera wielomianów Założenia metody Newtona Niech będzie dane równanie f (x) = 0 oraz przedział a, b taki, że w jego wnętrzu znajduje się dokładnie jeden pierwiastek α badanego
Bardziej szczegółowoZagdanienia do egzaminu z Inżynierskich Metod Numerycznych - semestr zimowy 2017/2018
Zagdanienia do egzaminu z Inżynierskich Metod Numerycznych - semestr zimowy 2017/2018 Tomasz Chwiej 22 stycznia 2019 1 Równania różniczkowe zwyczajne Zastosowanie szeregu Taylora do konstrukcji ilorazów
Bardziej szczegółowoOptymalizacja ciągła
Optymalizacja ciągła 5. Metody kierunków poparwy (metoda Newtona-Raphsona, metoda gradientów sprzężonych) Wojciech Kotłowski Instytut Informatyki PP http://www.cs.put.poznan.pl/wkotlowski/ 28.03.2019 1
Bardziej szczegółowoMetody numeryczne. Sformułowanie zagadnienia interpolacji
Ćwiczenia nr 4. Sformułowanie zagadnienia interpolacji Niech będą dane punkty x 0,..., x n i wartości y 0,..., y n, takie że i=0,...,n y i = f (x i )). Szukamy funkcji F (funkcji interpolującej), takiej
Bardziej szczegółowoSIMR 2016/2017, Analiza 2, wykład 1, Przestrzeń wektorowa
SIMR 06/07, Analiza, wykład, 07-0- Przestrzeń wektorowa Przestrzeń wektorowa (liniowa) - przestrzeń (zbiór) w której określone są działania (funkcje) dodawania elementów i mnożenia elementów przez liczbę
Bardziej szczegółowoWykład 6. Metoda eliminacji Gaussa: Eliminacja z wyborem częściowym Eliminacja z wyborem pełnym
1 Wykład 6 Metoda eliminacji Gaussa: Eliminacja z wyborem częściowym Eliminacja z wyborem pełnym ELIMINACJA GAUSSA Z WYBOREM CZĘŚCIOWYM ELEMENTÓW PODSTAWOWYCH 2 Przy pomocy klasycznego algorytmu eliminacji
Bardziej szczegółowo1. PODSTAWY TEORETYCZNE
1. PODSTAWY TEORETYCZNE 1 1. 1. PODSTAWY TEORETYCZNE 1.1. Wprowadzenie W pierwszym wykładzie przypomnimy podstawowe działania na macierzach. Niektóre z nich zostały opisane bardziej szczegółowo w innych
Bardziej szczegółowoINTERPOLACJA I APROKSYMACJA FUNKCJI
Transport, studia niestacjonarne I stopnia, semestr I Instytut L-5, Wydział Inżynierii Lądowej, Politechnika Krakowska Ewa Pabisek Adam Wosatko Wprowadzenie Na czym polega interpolacja? Interpolacja polega
Bardziej szczegółowoy i b) metoda różnic skończonych nadal problem nieliniowy 2 go rzędu z warunkiem Dirichleta
b) metoda różnic skończonych nadal problem nieliniowy 2 go rzędu z warunkiem Dirichleta przedział (a,b) dzielimy na siatkę, powiedzmy o stałym kroku: punkty siatki: u A y i w metodzie strzałów używamy
Bardziej szczegółowoMetoda dekompozycji przestrzeni i jej zastosowania
Uniwersytet Warszawski Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki Justyna Szatkowska Nr albumu: 77931 Metoda dekompozycji przestrzeni i jej zastosowania Praca magisterska na kierunku MATEMATYKA w zakresie
Bardziej szczegółowoUKŁADY RÓWNAŃ LINIOWYCH - Metody dokładne
UKŁADY RÓWNAŃ LINIOWYCH - Metody dokładne Układy równań liniowych Rozpatruje się układ n równań liniowych zawierających n niewiadomych: a11x1 a12x2... a1nxn b1 a21x1 a22x2... a2nxn b2... an 1x1 an2x2...
Bardziej szczegółowoD. Miszczyńska, M.Miszczyński KBO UŁ 1 GRY KONFLIKTOWE GRY 2-OSOBOWE O SUMIE WYPŁAT ZERO
D. Miszczyńska, M.Miszczyński KBO UŁ GRY KONFLIKTOWE GRY 2-OSOBOWE O SUMIE WYPŁAT ZERO Gra w sensie niżej przedstawionym to zasady którymi kierują się decydenci. Zakładamy, że rezultatem gry jest wypłata,
Bardziej szczegółowoZagdanienia do egzaminu z Inżynierskich Metod Numerycznych - semestr 1
Zagdanienia do egzaminu z Inżynierskich Metod Numerycznych - semestr 1 Tomasz Chwiej 6 czerwca 2016 1 Równania różniczkowe zwyczajne Zastosowanie szeregu Taylora do konstrukcji ilorazów różnicowych: iloraz
Bardziej szczegółowoWłasności wyznacznika
Własności wyznacznika Rozwinięcie Laplace a względem i-tego wiersza: n det(a) = ( 1) i+j a ij M ij (A), j=1 gdzie M ij (A) to minor (i, j)-ty macierzy A, czyli wyznacznik macierzy uzyskanej z macierzy
Bardziej szczegółowo1.1 Przegląd wybranych równań i modeli fizycznych. , u x1 x 2
Temat 1 Pojęcia podstawowe 1.1 Przegląd wybranych równań i modeli fizycznych Równaniem różniczkowym cząstkowym rzędu drugiego o n zmiennych niezależnych nazywamy równanie postaci gdzie u = u (x 1, x,...,
Bardziej szczegółowoWartości i wektory własne
Dość często przy rozwiązywaniu problemów naukowych czy technicznych pojawia się konieczność rozwiązania dość specyficznego układu równań: Zależnego od n nieznanych zmiennych i pewnego parametru. Rozwiązaniem
Bardziej szczegółowoEgzamin z Metod Numerycznych ZSI, Grupa: A
Egzamin z Metod Numerycznych ZSI, 06.2005. Grupa: A Nazwisko: Imię: Numer indeksu: Ćwiczenia z: Data: Część 1. Test wyboru, max 36 pkt Zaznacz prawidziwe odpowiedzi literą T, a fałszywe N. Każda prawidłowa
Bardziej szczegółowoWstęp do metod numerycznych SVD, metody iteracyjne i metoda gradientów. P. F. Góra
Wstęp do metod numerycznych SVD, metody iteracyjne i metoda gradientów sprzężonych P. F. Góra http://th-www.if.uj.edu.pl/zfs/gora/ 2011 Współczynnik uwarunkowania macierzy symetrycznej Twierdzenie 1. Niech
Bardziej szczegółowoRównania różniczkowe cząstkowe. Wojciech Szewczuk
Równania różniczkowe cząstkowe Równania różniczkowe cząstkowe - wstęp u x = lim x u(x + x, y) u(x, y) x u u(x, y + y) u(x, y) y = lim y y () (2) 2 u x 2 + 2xy 2 u y 2 + u = 3 u x 2 y + x 2 u + 8u = 5y
Bardziej szczegółowoBardzo łatwa lista powtórkowa
Analiza numeryczna, II rok inf., WPPT- 12 stycznia 2008 Terminy egzaminów Przypominam, że egzaminy odbędą się w następujących terminach: egzamin podstawowy: 30 stycznia, godz. 13 15, C-13/1.31 egzamin
Bardziej szczegółowo19 marzec, Łańcuchy Markowa z czasem dyskretnym. Procesy Stochastyczne, wykład 6, T. Byczkowski, Procesy Stochastyczne, PPT, Matematyka MAP1136
Procesy Stochastyczne, wykład 6, T. Byczkowski, Procesy Stochastyczne, PPT, Matematyka MAP1136 19 marzec, 2012 Przykłady procesów Markowa (i). P = (p ij ) - macierz stochastyczna, tzn. p ij 0, j p ij =
Bardziej szczegółowoProjekt 6: Równanie Poissona - rozwiązanie metodą algebraiczną.
Projekt 6: Równanie Poissona - rozwiązanie metodą algebraiczną. Tomasz Chwiej 9 sierpnia 18 1 Wstęp 1.1 Dyskretyzacja n y V V 1 V 3 1 j= i= 1 V 4 n x Rysunek 1: Geometria układu i schemat siatki obliczeniowej
Bardziej szczegółowoWYKŁAD 9 METODY ZMIENNEJ METRYKI
WYKŁAD 9 METODY ZMIENNEJ METRYKI Kierunki sprzężone. Metoda Newtona Raphsona daje dobre przybliżenie najlepszego kierunku poszukiwań, lecz jest to okupione znacznym kosztem obliczeniowym zwykle postać
Bardziej szczegółowoFunkcje charakterystyczne zmiennych losowych, linie regresji 1-go i 2-go rodzaju
Funkcje charakterystyczne zmiennych losowych, linie regresji -go i 2-go rodzaju Dr Joanna Banaś Zakład Badań Systemowych Instytut Sztucznej Inteligencji i Metod Matematycznych Wydział Informatyki Politechniki
Bardziej szczegółowoPrzekształcenia liniowe
Przekształcenia liniowe Zadania Które z następujących przekształceń są liniowe? (a) T : R 2 R 2, T (x, x 2 ) = (2x, x x 2 ), (b) T : R 2 R 2, T (x, x 2 ) = (x + 3x 2, x 2 ), (c) T : R 2 R, T (x, x 2 )
Bardziej szczegółowoModyfikacja schematu SCPF obliczeń energii polaryzacji
Modyfikacja schematu SCPF obliczeń energii polaryzacji Zakład Metod Obliczeniowych Chemii 11 kwietnia 2006 roku 1 Po co? Jak? 2 Algorytm Analiza zbieżności 3 dla układów symetrycznych 4 Fulleren 5 Po co?
Bardziej szczegółowoELEMENTY ANALIZY NUMERYCZNEJ ELEMENTY ANALIZY NUMERYCZNEJ. Egzamin pisemny zestaw 1 26 czerwca 2017 roku
Egzamin pisemny zestaw czerwca 0 roku Imię i nazwisko:.... ( pkt.) Udowodnić, że jeśli funkcja g interpoluje funkcję f w węzłach x 0, x, K, x n, a funk- cja h interpoluje funkcję f w węzłach x, x, K, x
Bardziej szczegółowoInżynierskie metody analizy numerycznej i planowanie eksperymentu / Ireneusz Czajka, Andrzej Gołaś. Kraków, Spis treści
Inżynierskie metody analizy numerycznej i planowanie eksperymentu / Ireneusz Czajka, Andrzej Gołaś. Kraków, 2017 Spis treści Od autorów 11 I. Klasyczne metody numeryczne Rozdział 1. Na początek 15 1.1.
Bardziej szczegółowoMetody Lagrange a i Hamiltona w Mechanice
Metody Lagrange a i Hamiltona w Mechanice Mariusz Przybycień Wydział Fizyki i Informatyki Stosowanej Akademia Górniczo-Hutnicza Wykład 9 M. Przybycień (WFiIS AGH) Metody Lagrange a i Hamiltona... Wykład
Bardziej szczegółowo3. Macierze i Układy Równań Liniowych
3. Macierze i Układy Równań Liniowych Rozważamy równanie macierzowe z końcówki ostatniego wykładu ( ) 3 1 X = 4 1 ( ) 2 5 Podstawiając X = ( ) x y i wymnażając, otrzymujemy układ 2 równań liniowych 3x
Bardziej szczegółowo2. Układy równań liniowych
2. Układy równań liniowych Grzegorz Kosiorowski Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie zima 2017/2018 rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 2. Układy równań liniowych zima 2017/2018 1 /
Bardziej szczegółowoWstęp do metod numerycznych Metody iteracyjne Algebraiczna metoda gradientów sprzężonych. P. F. Góra
Wstęp do metod numerycznych Metody iteracyjne Algebraiczna metoda gradientów sprzężonych P. F. Góra http://th-www.if.uj.edu.pl/zfs/gora/ 2017 Metody iteracyjne Rozwiazanie układu równań liniowych, uzyskane
Bardziej szczegółowoZadania egzaminacyjne
Rozdział 13 Zadania egzaminacyjne Egzamin z algebry liniowej AiR termin I 03022011 Zadanie 1 Wyznacz sumę rozwiązań równania: (8z + 1 i 2 2 7 iz 4 = 0 Zadanie 2 Niech u 0 = (1, 2, 1 Rozważmy odwzorowanie
Bardziej szczegółowoMetody dekompozycji macierzy stosowane w automatyce
Metody dekompozycji macierzy stosowane w automatyce Grzegorz Mzyk Politechnika Wrocławska, WydziałElektroniki 23 lutego 2015 Plan wykładu 1 Wprowadzenie 2 Rozkład LU 3 Rozkład spektralny 4 Rozkład Cholesky
Bardziej szczegółowoMetody numeryczne. Równania nieliniowe. Janusz Szwabiński.
Metody numeryczne Równania nieliniowe Janusz Szwabiński szwabin@ift.uni.wroc.pl nm_slides-9.tex Metody numeryczne Janusz Szwabiński 7/1/2003 20:18 p.1/64 Równania nieliniowe 1. Równania nieliniowe z pojedynczym
Bardziej szczegółowoALGEBRA z GEOMETRIA, ANALITYCZNA,
ALGEBRA z GEOMETRIA, ANALITYCZNA, MAT00405 PRZEKSZTAL CANIE WYRAZ EN ALGEBRAICZNYCH, WZO R DWUMIANOWY NEWTONA Uprościć podane wyrażenia 7; (b) ( 6)( + ); (c) a 5 6 8a ; (d) ( 5 )( 5 + ); (e) ( 45x 4 y
Bardziej szczegółowoModelowanie rynków finansowych z wykorzystaniem pakietu R
Modelowanie rynków finansowych z wykorzystaniem pakietu R Metody numeryczne i symulacje stochastyczne Mateusz Topolewski woland@mat.umk.pl Wydział Matematyki i Informatyki UMK Plan działania 1 Całkowanie
Bardziej szczegółowoLista. Algebra z Geometrią Analityczną. Zadanie 1 Przypomnij definicję grupy, które z podanych struktur są grupami:
Lista Algebra z Geometrią Analityczną Zadanie 1 Przypomnij definicję grupy, które z podanych struktur są grupami: (N, ), (Z, +) (Z, ), (R, ), (Q \ {}, ) czym jest element neutralny i przeciwny w grupie?,
Bardziej szczegółowoELEMENTY ANALIZY NUMERYCZNEJ ELEMENTY ANALIZY NUMERYCZNEJ. Egzamin pisemny zestaw 1 24 czerwca 2019 roku
Egzamin pisemny zestaw. ( pkt.) Udowodnić, że jeśli funkcja g interpoluje funkcję f w węzłach x 0, x, K, x n, a funk- cja h interpoluje funkcję f w węzłach x, x, K, x n, to funkcja x0 x gx ( ) + [ gx (
Bardziej szczegółowoLaboratorium 5 Przybliżone metody rozwiązywania równań nieliniowych
Uniwersytet Zielonogórski Wydział Informatyki, Elektrotechniki i Telekomunikacji Instytut Sterowania i Systemów Informatycznych Elektrotechnika niestacjonarne-zaoczne pierwszego stopnia z tyt. inżyniera
Bardziej szczegółowoPrawdopodobieństwo i statystyka
Wykład XV: Zagadnienia redukcji wymiaru danych 2 lutego 2015 r. Standaryzacja danych Standaryzacja danych Własności macierzy korelacji Definicja Niech X będzie zmienną losową o skończonym drugim momencie.
Bardziej szczegółowoMet Me ody numer yczne Wykład ykład Dr inż. Mic hał ha Łanc Łan zon Instyt Ins ut Elektr Elektr echn iki echn i Elektrot Elektr echn olo echn
Metody numeryczne Wykład 3 Dr inż. Michał Łanczont Instytut Elektrotechniki i Elektrotechnologii E419, tel. 4293, m.lanczont@pollub.pl, http://m.lanczont.pollub.pl Zakres wykładu Pojęcia podstawowe Algebra
Bardziej szczegółowoMatematyka stosowana i metody numeryczne
Ewa Pabisek Adam Wosatko Piotr Pluciński Matematyka stosowana i metody numeryczne Konspekt z wykładu 6 Rozwiązywanie równań nieliniowych Rozwiązaniem lub pierwiastkiem równania f(x) = 0 lub g(x) = h(x)
Bardziej szczegółowoWstęp do metod numerycznych Eliminacja Gaussa Równania macierzowe. P. F. Góra
Wstęp do metod numerycznych Eliminacja Gaussa Równania macierzowe P. F. Góra http://th-www.if.uj.edu.pl/zfs/gora/ 2015 Co można zrobić z układem równań... tak, aby jego rozwiazania się nie zmieniły? Rozważam
Bardziej szczegółowoMetody Obliczeniowe w Nauce i Technice
10. Numeryczna algebra liniowa wprowadzenie. Marian Bubak Department of Computer Science AGH University of Science and Technology Krakow, Poland bubak@agh.edu.pl dice.cyfronet.pl Contributors Magdalena
Bardziej szczegółowoPrzykładowe zadania na egzamin z matematyki - dr Anita Tlałka - 1
Przykładowe zadania na egzamin z matematyki - dr Anita Tlałka - 1 Zadania rozwiązywane na wykładzie Zadania rozwiązywane na ćwiczeniach Przy rozwiązywaniu zadań najistotniejsze jest wykazanie się rozumieniem
Bardziej szczegółowoIteracyjne rozwiązywanie równań
Elementy metod numerycznych Plan wykładu 1 Wprowadzenie Plan wykładu 1 Wprowadzenie 2 Plan wykładu 1 Wprowadzenie 2 3 Wprowadzenie Metoda bisekcji Metoda siecznych Metoda stycznych Plan wykładu 1 Wprowadzenie
Bardziej szczegółowoIII. Układy liniowe równań różniczkowych. 1. Pojęcie stabilności rozwiązań.
III. Układy liniowe równań różniczkowych. 1. Pojęcie stabilności rozwiązań. Analiza stabilności rozwiązań stanowi ważną część jakościowej teorii równań różniczkowych. Jej istotą jest poszukiwanie odpowiedzi
Bardziej szczegółowoStatystyka i eksploracja danych
Wykład XII: Zagadnienia redukcji wymiaru danych 12 maja 2014 Definicja Niech X będzie zmienną losową o skończonym drugim momencie. Standaryzacją zmiennej X nazywamy zmienną losową Z = X EX Var (X ). Definicja
Bardziej szczegółowo