Metody Obliczeniowe w Nauce i Technice

Transkrypt

1 8. Wyznaczanie pierwiastków wielomianów Marian Bubak Department of Computer Science AGH University of Science and Technology Krakow, Poland dice.cyfronet.pl Contributors Magdalena Nowak Paweł Taborowski Arkadiusz Placha

2 Plan wykładu 1 Wstęp 2 Deflacja dzielenie syntetyczne 3 Metoda Laguerre a znajdowania pierwiastków wielomianu 4 Techniki wygładzania pierwiastków (root polishing) 5 Bibliografia

3 Wstęp Wstęp f (x) = m a i x i = 0; a m 0 i=0 Wielomian stopnia m m pierwiastków, Jeżeli a i rzeczywiste, to ewentualne pierwiastki zespolone są parami sprzężone: α + i β, α i β Jeżeli a i zespolone, to brak związku między pierwiastkami.

4 Wstęp Szukanie zer dobór metody: Dowolny Ze względu na postać f (x) metody specjalne (zwłaszcza dla w. zespolonych). Trudności: Wielokrotne pierwiastki trudno obramować, łatwiej, gdy znana krotność, Blisko położone pierwiastki trudności jak wyżej. Nie wiadomo z góry, jaki typ patologii wykazuje wielomian. Uwaga Zadanie wyznaczania zer wielomianów może być źle uwarunkowane. (Wilkinson).

5 Wstęp

6 Deflacja dzielenie syntetyczne Deflacja dzielenie syntetyczne Deflacja bardzo użyteczny element wyznaczania pierwiastków wielomianów. Nested form (Horner) f (x) = m a i x i = ((... ((a m x+a m 1 ) x+a m 2 )... ) x+a 1 ) x+a 0 i=0

7 Deflacja dzielenie syntetyczne Rekurencyjny algorytm obliczania wartości wielomianu dla x = λ ma postać: Algorytm b m 1 = a m b i = a i+1 + λ b i+1, i = m 2, m 3,..., 0 f (λ) = a 0 + λ b 0

8 Deflacja dzielenie syntetyczne Twierdzenie Dowód: f (x) f (λ) x λ = m 1 i=0 b i x i mnożenie przez (x λ) b i 1 = a i + λ b i Zadanie: Przeprowadzić dowód.

9 Deflacja dzielenie syntetyczne Deflacja czynnikiem liniowym Deflacja czynnikiem liniowym m 1 f (x) = (x λ) b i x i i=0 }{{} g(x) Gdy f (λ) = 0, wtedy x = λ pierwiastek funkcji f. +f (λ) (1) Pozostałe m 1 zer w g(x) = m 1 i=0 b ix i deflated equation Uwaga Następuje kumulowanie błędów: λ z błędem, b i z błędem itd...

10 Deflacja dzielenie syntetyczne Deflacja czynnikiem liniowym Pochodna Różniczkując równanie (1) f (x) = (x λ) g (x) + g(x) f (λ) = g(λ) = m 1 i=0 b i λ i

11 Deflacja dzielenie syntetyczne Deflacja czynnikiem kwadratowym: x 2 + px + q Deflacja czynnikiem kwadratowym: x 2 + px + q f (x) = m i=0 m 2 a i x i = (x 2 + px + q) c i x i + Rx + S i=0 Dowód: Przez porównanie współczynników: c m 2 = a m c m 3 = a m 1 p c m 2 c i = a i+2 p c i+1 q c i+2, i = m 4, m 5,..., 0 R = a 1 p c 0 q c 1 S = a 0 q c 0

12 Deflacja dzielenie syntetyczne Deflacja czynnikiem kwadratowym: x 2 + px + q Można to zapisać wygodniej, przyjmując c m = c m 1 = 0, c 1 = R: { ci = a i+2 p c i+1 q c i + 2, i = m 2, m 3,..., 0, 1 S = a 0 q c 0 Zadanie: Sprawdzić. Oczywiście: c i, R, S zależne od wybranego p i q. Jeżeli p, q takie, że R = 0 i S = 0 to x 2 + px + q czynnik kwadratowy f, Z niego otrzymujemy dwa pierwiastki funkcji f (ewentualnie zespolone).

13 Deflacja dzielenie syntetyczne Przydatność deflacji Przydatność deflacji P(x) wielomian, r znaleziony pierwiastek wielomianu P. Realizujemy faktoryzację: P(x) = (x r) Q(x) Zmniejszenie złożoności obliczeniowej (Q niższego stopnia niż P) Uniknięcie pomyłki powrotu do pierwiastka już znalezionego.

14 Deflacja dzielenie syntetyczne Przydatność deflacji Stosowanie deflacji musi być ostrożne! Powód: pierwiastki są wyznaczane ze skończoną dokładnością (kilka deflacji pociąga kumulację błędu). Forward deflation nowe współczynniki Q(x) obliczane od najwyższych potęg x... Stabilna, gdy zaczynamy od pierwiastków o najmniejszej wartości bezwzględnej, Backward deflation współczynniki Q(x) wyznaczane poczynając od wyrazu wolnego... Stabilna, gdy zaczynamy od pierwiastków o największej wartości bezwzględnej. Zadanie: Dlaczego?

15 Deflacja dzielenie syntetyczne Przydatność deflacji Podejście minimalizujące błędy Kolejne pierwiastki uzyskane w procesie deflacji są próbnymi (tentative), Polishing (re-solving) wygładzanie z użyciem pełnego P(x) np. metodą Newtona-Raphsona, Niebezpieczeństwo zlanie się dwóch pierwiastków w jeden. Dodatkowa deflacja tylko jeden raz.

16 Metoda Laguerre a znajdowania pierwiastków wielomianu Met. Laguerre a znajdowania pierwiastków wielomianu Metoda ogólna dla pierwiastków rzeczywistych i zespolonych, dla pierwiastków pojedynczych i wielokrotnych, most straightforward, sure-fire.

17 Metoda Laguerre a znajdowania pierwiastków wielomianu Istota wynika z poniższych związków między: wielomianem, jego pierwiastkami, jego pochodnymi: I. P n (x) = (x x 1 ) (x x 2 )... (x x n ) II. ln P n (x) = ln x x 1 + ln x x ln x x n III. IV. d ln P n(x) dx = 1 x x x x x x n d2 ln P n(x) = 1 dx 2 (x x ) [ ] 2 P n (x) 2 P n(x) P n (x) P H n(x) (x x 2 ) = P n(x) P n(x) G (x x n) 2 =

18 Metoda Laguerre a znajdowania pierwiastków wielomianu W oparciu o te związki drastyczne założenie: Założenie x a = x x 1 b = x x i, i = 2, 3,..., n odgadnięte (bieżące) położenie pierwiastka odległość od pierwiastka odległość pozostałych pierwiastków Wniosek wtedy z III. 1 a + n 1 b 1 IV. + n 1 a 2 b 2 = G = H } G, H wyznaczone dla aktualnego x (z P, P, P )

19 Metoda Laguerre a znajdowania pierwiastków wielomianu Rozwiązanie układu a = n G ± (n 1)(nH G 2 ) Zadanie: Sprawdzić a odległość od szukanego pierwiastka. Bierzemy rozwiązanie dające mniejsze a, a może być zespolone metoda sama z siebie zaczyna przeszukiwać C, Rozpoczynamy od przybliżenia x, potem (x a), itd. aż do osiągnięcia żądanej bliskości.

20 Metoda Laguerre a znajdowania pierwiastków wielomianu Zaleta: Dla P(x) o współczynnikach rzeczywistych zbieżna niezależnie od wyboru początkowego x. Wada: Potrzebne P, P, P w każdym kroku. Więcej o metodzie przykłady konkretnych rozwiązań [ADAMS]

21 Techniki wygładzania pierwiastków (root polishing) Pierwiastki rzeczywiste metoda Newtona-Raphsona Techniki wygładzania pierwiastków (root polishing) Pierwiastki rzeczywiste metoda Newtona-Raphsona p wielomian stopnia n, Wykonujemy schemat Hornera dla punktu t. a i = b i b i+1 t, i = 0, 1,..., n 1 p(x) = a n x n + a n 1 x n a 0 = = b 0 + (x t)q(x) p (x) = q(x) + (x t)q (x) p (t) = q(t) Dla t pochodną p (t) można obliczyć przy wyliczaniu p(t).

22 Techniki wygładzania pierwiastków (root polishing) Pierwiastki rzeczywiste metoda Newtona-Raphsona Pojedynczy krok algorytmu: 1 // Horner b [ n ] := a [ n ] 3 c [ n ] := b [ n ] f o r k = n 1 downto 1 5 b [ k ] := a [ k ] + t b [ k + 1 ] c [ k ] := b [ k ] + t c [ k + 1 ] 7 b [ 0 ] := a [ 0 ] + t b [ 1 ] 9 //b [ 0 ] == p ( t ), // c [ 1 ] == p ( t ) 11 p := b [ 0 ] p1 := c [ 1 ] 13 i f p1 == 0 15 r a i s e e r r o r ( D e r i v a t i v e s h o u l d not v a n i s h. ) 17 //Newton Raphson s t e p t := t p / p1 19

23 Techniki wygładzania pierwiastków (root polishing) Pierwiastki zespolone metoda Bairstowa Pierwiastki zespolone metoda Bairstowa (Można użyć również metody N-R.) Metoda Bairstowa polega na szukaniu czynników kwadratowych x 1 = α + iβ, x 2 = α iβ (x x 1 )(x x 2 ) = x 2 2 αx + (α 2 + β 2 ) = x 2 + p x + q Czynnik kwadratowy może objąć 2 pierwiastki rzeczywiste lub zespolone. P(x) = (x 2 + p x + q) Q(x) + R x + S (2)

24 Techniki wygładzania pierwiastków (root polishing) Pierwiastki zespolone metoda Bairstowa R(p, q) = 0 S(p, q) = 0 } met. Newtona-Raphsona ( p (n+1) q (n+1) ) ( p (n) = q (n) ) ( R p S p R q S q ) 1 ( ) R (n) S (n)

25 Techniki wygładzania pierwiastków (root polishing) Pierwiastki zespolone metoda Bairstowa Pochodne znajdujemy w następujący sposób: P(x) nie zależy od p, q, Z równania (2) mamy: 0 = (x 2 + p x + q) Q q + Q + x R q + S q 0 = (x 2 + p x + q) Q p + x Q + x R p + S p (x 2 + p x + q) Q q + R q x + S q = Q(x) (x 2 + p x + q) Q p + R p x + S p = x Q(x) } ( ) P ( q ) P p } (3)

26 Techniki wygładzania pierwiastków (root polishing) Pierwiastki zespolone metoda Bairstowa (3) mają podobną strukturę jak (2) pochodne R p, R q, S p, S q mogą być uzyskane przez syntetyczne dzielenie wielomianów } Q(x) przez czynnik kwadratowy. xq(x)

27 Techniki wygładzania pierwiastków (root polishing) Procedura Maehly ego technika wygładzania pierwiastków Pro. Maehly ego technika wygładzania pierwiastków Zapobiega zlewaniu się w jeden dwóch różnych pierwiastków (na etapie wygładzania) równocześnie unikamy deflacji. Zredukowany wielomian P j (x) P(x) (x x 1 )... (x x j ) Wykorzystujemy znane pierwiastki do znalezienia kolejnych. P j (x) = P (x) (x x 1 )... (x x j ) P(x) (x x 1 )... (x x j ) j i=1 1 x x i

28 Techniki wygładzania pierwiastków (root polishing) Procedura Maehly ego technika wygładzania pierwiastków Pojedynczy krok metody Newtona-Raphsona można zapisać: x k+1 = x k P j(x k ) P j (x k) x k+1 = x k zero suppression. P(x k ) P (x k ) P(x k ) j i=1 1 (x k x i )

29 Bibliografia Bibliografia Adams, Arthur G. Remark on Algorithm 304 [S15]: Normal Curve Integral Commun. ACM, 1969