Metody Obliczeniowe w Nauce i Technice
|
|
- Ryszard Piasecki
- 6 lat temu
- Przeglądów:
Transkrypt
1 8. Wyznaczanie pierwiastków wielomianów Marian Bubak Department of Computer Science AGH University of Science and Technology Krakow, Poland dice.cyfronet.pl Contributors Magdalena Nowak Paweł Taborowski Arkadiusz Placha
2 Plan wykładu 1 Wstęp 2 Deflacja dzielenie syntetyczne 3 Metoda Laguerre a znajdowania pierwiastków wielomianu 4 Techniki wygładzania pierwiastków (root polishing) 5 Bibliografia
3 Wstęp Wstęp f (x) = m a i x i = 0; a m 0 i=0 Wielomian stopnia m m pierwiastków, Jeżeli a i rzeczywiste, to ewentualne pierwiastki zespolone są parami sprzężone: α + i β, α i β Jeżeli a i zespolone, to brak związku między pierwiastkami.
4 Wstęp Szukanie zer dobór metody: Dowolny Ze względu na postać f (x) metody specjalne (zwłaszcza dla w. zespolonych). Trudności: Wielokrotne pierwiastki trudno obramować, łatwiej, gdy znana krotność, Blisko położone pierwiastki trudności jak wyżej. Nie wiadomo z góry, jaki typ patologii wykazuje wielomian. Uwaga Zadanie wyznaczania zer wielomianów może być źle uwarunkowane. (Wilkinson).
5 Wstęp
6 Deflacja dzielenie syntetyczne Deflacja dzielenie syntetyczne Deflacja bardzo użyteczny element wyznaczania pierwiastków wielomianów. Nested form (Horner) f (x) = m a i x i = ((... ((a m x+a m 1 ) x+a m 2 )... ) x+a 1 ) x+a 0 i=0
7 Deflacja dzielenie syntetyczne Rekurencyjny algorytm obliczania wartości wielomianu dla x = λ ma postać: Algorytm b m 1 = a m b i = a i+1 + λ b i+1, i = m 2, m 3,..., 0 f (λ) = a 0 + λ b 0
8 Deflacja dzielenie syntetyczne Twierdzenie Dowód: f (x) f (λ) x λ = m 1 i=0 b i x i mnożenie przez (x λ) b i 1 = a i + λ b i Zadanie: Przeprowadzić dowód.
9 Deflacja dzielenie syntetyczne Deflacja czynnikiem liniowym Deflacja czynnikiem liniowym m 1 f (x) = (x λ) b i x i i=0 }{{} g(x) Gdy f (λ) = 0, wtedy x = λ pierwiastek funkcji f. +f (λ) (1) Pozostałe m 1 zer w g(x) = m 1 i=0 b ix i deflated equation Uwaga Następuje kumulowanie błędów: λ z błędem, b i z błędem itd...
10 Deflacja dzielenie syntetyczne Deflacja czynnikiem liniowym Pochodna Różniczkując równanie (1) f (x) = (x λ) g (x) + g(x) f (λ) = g(λ) = m 1 i=0 b i λ i
11 Deflacja dzielenie syntetyczne Deflacja czynnikiem kwadratowym: x 2 + px + q Deflacja czynnikiem kwadratowym: x 2 + px + q f (x) = m i=0 m 2 a i x i = (x 2 + px + q) c i x i + Rx + S i=0 Dowód: Przez porównanie współczynników: c m 2 = a m c m 3 = a m 1 p c m 2 c i = a i+2 p c i+1 q c i+2, i = m 4, m 5,..., 0 R = a 1 p c 0 q c 1 S = a 0 q c 0
12 Deflacja dzielenie syntetyczne Deflacja czynnikiem kwadratowym: x 2 + px + q Można to zapisać wygodniej, przyjmując c m = c m 1 = 0, c 1 = R: { ci = a i+2 p c i+1 q c i + 2, i = m 2, m 3,..., 0, 1 S = a 0 q c 0 Zadanie: Sprawdzić. Oczywiście: c i, R, S zależne od wybranego p i q. Jeżeli p, q takie, że R = 0 i S = 0 to x 2 + px + q czynnik kwadratowy f, Z niego otrzymujemy dwa pierwiastki funkcji f (ewentualnie zespolone).
13 Deflacja dzielenie syntetyczne Przydatność deflacji Przydatność deflacji P(x) wielomian, r znaleziony pierwiastek wielomianu P. Realizujemy faktoryzację: P(x) = (x r) Q(x) Zmniejszenie złożoności obliczeniowej (Q niższego stopnia niż P) Uniknięcie pomyłki powrotu do pierwiastka już znalezionego.
14 Deflacja dzielenie syntetyczne Przydatność deflacji Stosowanie deflacji musi być ostrożne! Powód: pierwiastki są wyznaczane ze skończoną dokładnością (kilka deflacji pociąga kumulację błędu). Forward deflation nowe współczynniki Q(x) obliczane od najwyższych potęg x... Stabilna, gdy zaczynamy od pierwiastków o najmniejszej wartości bezwzględnej, Backward deflation współczynniki Q(x) wyznaczane poczynając od wyrazu wolnego... Stabilna, gdy zaczynamy od pierwiastków o największej wartości bezwzględnej. Zadanie: Dlaczego?
15 Deflacja dzielenie syntetyczne Przydatność deflacji Podejście minimalizujące błędy Kolejne pierwiastki uzyskane w procesie deflacji są próbnymi (tentative), Polishing (re-solving) wygładzanie z użyciem pełnego P(x) np. metodą Newtona-Raphsona, Niebezpieczeństwo zlanie się dwóch pierwiastków w jeden. Dodatkowa deflacja tylko jeden raz.
16 Metoda Laguerre a znajdowania pierwiastków wielomianu Met. Laguerre a znajdowania pierwiastków wielomianu Metoda ogólna dla pierwiastków rzeczywistych i zespolonych, dla pierwiastków pojedynczych i wielokrotnych, most straightforward, sure-fire.
17 Metoda Laguerre a znajdowania pierwiastków wielomianu Istota wynika z poniższych związków między: wielomianem, jego pierwiastkami, jego pochodnymi: I. P n (x) = (x x 1 ) (x x 2 )... (x x n ) II. ln P n (x) = ln x x 1 + ln x x ln x x n III. IV. d ln P n(x) dx = 1 x x x x x x n d2 ln P n(x) = 1 dx 2 (x x ) [ ] 2 P n (x) 2 P n(x) P n (x) P H n(x) (x x 2 ) = P n(x) P n(x) G (x x n) 2 =
18 Metoda Laguerre a znajdowania pierwiastków wielomianu W oparciu o te związki drastyczne założenie: Założenie x a = x x 1 b = x x i, i = 2, 3,..., n odgadnięte (bieżące) położenie pierwiastka odległość od pierwiastka odległość pozostałych pierwiastków Wniosek wtedy z III. 1 a + n 1 b 1 IV. + n 1 a 2 b 2 = G = H } G, H wyznaczone dla aktualnego x (z P, P, P )
19 Metoda Laguerre a znajdowania pierwiastków wielomianu Rozwiązanie układu a = n G ± (n 1)(nH G 2 ) Zadanie: Sprawdzić a odległość od szukanego pierwiastka. Bierzemy rozwiązanie dające mniejsze a, a może być zespolone metoda sama z siebie zaczyna przeszukiwać C, Rozpoczynamy od przybliżenia x, potem (x a), itd. aż do osiągnięcia żądanej bliskości.
20 Metoda Laguerre a znajdowania pierwiastków wielomianu Zaleta: Dla P(x) o współczynnikach rzeczywistych zbieżna niezależnie od wyboru początkowego x. Wada: Potrzebne P, P, P w każdym kroku. Więcej o metodzie przykłady konkretnych rozwiązań [ADAMS]
21 Techniki wygładzania pierwiastków (root polishing) Pierwiastki rzeczywiste metoda Newtona-Raphsona Techniki wygładzania pierwiastków (root polishing) Pierwiastki rzeczywiste metoda Newtona-Raphsona p wielomian stopnia n, Wykonujemy schemat Hornera dla punktu t. a i = b i b i+1 t, i = 0, 1,..., n 1 p(x) = a n x n + a n 1 x n a 0 = = b 0 + (x t)q(x) p (x) = q(x) + (x t)q (x) p (t) = q(t) Dla t pochodną p (t) można obliczyć przy wyliczaniu p(t).
22 Techniki wygładzania pierwiastków (root polishing) Pierwiastki rzeczywiste metoda Newtona-Raphsona Pojedynczy krok algorytmu: 1 // Horner b [ n ] := a [ n ] 3 c [ n ] := b [ n ] f o r k = n 1 downto 1 5 b [ k ] := a [ k ] + t b [ k + 1 ] c [ k ] := b [ k ] + t c [ k + 1 ] 7 b [ 0 ] := a [ 0 ] + t b [ 1 ] 9 //b [ 0 ] == p ( t ), // c [ 1 ] == p ( t ) 11 p := b [ 0 ] p1 := c [ 1 ] 13 i f p1 == 0 15 r a i s e e r r o r ( D e r i v a t i v e s h o u l d not v a n i s h. ) 17 //Newton Raphson s t e p t := t p / p1 19
23 Techniki wygładzania pierwiastków (root polishing) Pierwiastki zespolone metoda Bairstowa Pierwiastki zespolone metoda Bairstowa (Można użyć również metody N-R.) Metoda Bairstowa polega na szukaniu czynników kwadratowych x 1 = α + iβ, x 2 = α iβ (x x 1 )(x x 2 ) = x 2 2 αx + (α 2 + β 2 ) = x 2 + p x + q Czynnik kwadratowy może objąć 2 pierwiastki rzeczywiste lub zespolone. P(x) = (x 2 + p x + q) Q(x) + R x + S (2)
24 Techniki wygładzania pierwiastków (root polishing) Pierwiastki zespolone metoda Bairstowa R(p, q) = 0 S(p, q) = 0 } met. Newtona-Raphsona ( p (n+1) q (n+1) ) ( p (n) = q (n) ) ( R p S p R q S q ) 1 ( ) R (n) S (n)
25 Techniki wygładzania pierwiastków (root polishing) Pierwiastki zespolone metoda Bairstowa Pochodne znajdujemy w następujący sposób: P(x) nie zależy od p, q, Z równania (2) mamy: 0 = (x 2 + p x + q) Q q + Q + x R q + S q 0 = (x 2 + p x + q) Q p + x Q + x R p + S p (x 2 + p x + q) Q q + R q x + S q = Q(x) (x 2 + p x + q) Q p + R p x + S p = x Q(x) } ( ) P ( q ) P p } (3)
26 Techniki wygładzania pierwiastków (root polishing) Pierwiastki zespolone metoda Bairstowa (3) mają podobną strukturę jak (2) pochodne R p, R q, S p, S q mogą być uzyskane przez syntetyczne dzielenie wielomianów } Q(x) przez czynnik kwadratowy. xq(x)
27 Techniki wygładzania pierwiastków (root polishing) Procedura Maehly ego technika wygładzania pierwiastków Pro. Maehly ego technika wygładzania pierwiastków Zapobiega zlewaniu się w jeden dwóch różnych pierwiastków (na etapie wygładzania) równocześnie unikamy deflacji. Zredukowany wielomian P j (x) P(x) (x x 1 )... (x x j ) Wykorzystujemy znane pierwiastki do znalezienia kolejnych. P j (x) = P (x) (x x 1 )... (x x j ) P(x) (x x 1 )... (x x j ) j i=1 1 x x i
28 Techniki wygładzania pierwiastków (root polishing) Procedura Maehly ego technika wygładzania pierwiastków Pojedynczy krok metody Newtona-Raphsona można zapisać: x k+1 = x k P j(x k ) P j (x k) x k+1 = x k zero suppression. P(x k ) P (x k ) P(x k ) j i=1 1 (x k x i )
29 Bibliografia Bibliografia Adams, Arthur G. Remark on Algorithm 304 [S15]: Normal Curve Integral Commun. ACM, 1969
Metody Obliczeniowe w Nauce i Technice
9 - Rozwiązywanie układów równań nieliniowych Marian Bubak Department of Computer Science AGH University of Science and Technology Krakow, Poland bubak@agh.edu.pl dice.cyfronet.pl Contributors Anna Marciniec
Metody Obliczeniowe w Nauce i Technice
7. Równania nieliniowe (non-linear equations) Marian Bubak Department of Computer Science AGH University of Science and Technology Krakow, Poland bubak@agh.edu.pl dice.cyfronet.pl Contributors Dawid Prokopek
Równania różniczkowe liniowe wyższych rzędów o stałych współcz
Równania różniczkowe liniowe wyższych rzędów o stałych współczynnikach Katedra Matematyki i Ekonomii Matematycznej SGH 12 maja 2016 Równanie liniowe n-tego rzędu Definicja Równaniem różniczkowym liniowym
Elementy metod numerycznych
Wykład nr 5 i jej modyfikacje. i zera wielomianów Założenia metody Newtona Niech będzie dane równanie f (x) = 0 oraz przedział a, b taki, że w jego wnętrzu znajduje się dokładnie jeden pierwiastek α badanego
Metody numeryczne I Równania nieliniowe
Metody numeryczne I Równania nieliniowe Janusz Szwabiński szwabin@ift.uni.wroc.pl Metody numeryczne I (C) 2004 Janusz Szwabiński p.1/66 Równania nieliniowe 1. Równania nieliniowe z pojedynczym pierwiastkiem
Zagadnienia - równania nieliniowe
Zagadnienia - równania nieliniowe Sformułowanie zadania poszukiwania pierwiastków. Przedział izolacji. Twierdzenia o istnieniu pierwiastków. Warunki zatrzymywania algorytmów. Metoda połowienia: założenia,
Wstęp do metod numerycznych 9. Miejsca zerowe wielomianów. P. F. Góra
Wstęp do metod numerycznych 9. Miejsca zerowe wielomianów P. F. Góra http://th-www.if.uj.edu.pl/zfs/gora/ 2014 Podstawowe Twierdzenie Algebry Rozwiazywanie równań wielomianowych P n (z) = a n z n + a n
Wykład 3 Równania rózniczkowe cd
7 grudnia 2010 Definicja Równanie różniczkowe dy dx + p (x) y = q (x) (1) nazywamy równaniem różniczkowym liniowym pierwszego rzędu. Jeśli q (x) 0, to równanie (1) czyli równanie dy dx + p (x) y = 0 nazywamy
Funkcja kwadratowa. f(x) = ax 2 + bx + c,
Funkcja kwadratowa. Funkcją kwadratową nazywamy funkcję f : R R określoną wzorem gdzie a, b, c R, a 0. f(x) = ax 2 + bx + c, Szczególnym przypadkiem funkcji kwadratowej jest funkcja f(x) = ax 2, a R \
Wielomiany. dr Tadeusz Werbiński. Teoria
Wielomiany dr Tadeusz Werbiński Teoria Na początku przypomnimy kilka szkolnych definicji i twierdzeń dotyczących wielomianów. Autorzy podręczników szkolnych podają różne definicje wielomianu - dla jednych
Biotechnologia, Chemia, Chemia Budowlana - Wydział Chemiczny - 1
Biotechnologia, Chemia, Chemia Budowlana - Wydział Chemiczny - 1 Równania różniczkowe pierwszego rzędu Równaniem różniczkowym zwyczajnym pierwszego rzędu nazywamy równanie postaci (R) y = f(x, y). Najogólniejszą
Metody Numeryczne w Budowie Samolotów/Śmigłowców Wykład I
Metody Numeryczne w Budowie Samolotów/Śmigłowców Wykład I dr inż. Tomasz Goetzendorf-Grabowski (tgrab@meil.pw.edu.pl) Dęblin, 11 maja 2009 1 Organizacja wykładu 5 dni x 6 h = 30 h propozycja zmiany: 6
Funkcja kwadratowa. f(x) = ax 2 + bx + c = a
Funkcja kwadratowa. Funkcją kwadratową nazywamy funkcję f : R R określoną wzorem gdzie a, b, c R, a 0. f(x) = ax + bx + c, Szczególnym przypadkiem funkcji kwadratowej jest funkcja f(x) = ax, a R \ {0}.
Projekt Era inżyniera pewna lokata na przyszłość jest współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego
Materiały dydaktyczne na zajęcia wyrównawcze z matematyki dla studentów pierwszego roku kierunku zamawianego Biotechnologia w ramach projektu Era inżyniera pewna lokata na przyszłość Projekt Era inżyniera
Iteracyjne rozwiązywanie równań
Elementy metod numerycznych Plan wykładu 1 Wprowadzenie Plan wykładu 1 Wprowadzenie 2 Plan wykładu 1 Wprowadzenie 2 3 Wprowadzenie Metoda bisekcji Metoda siecznych Metoda stycznych Plan wykładu 1 Wprowadzenie
Układy równań i równania wyższych rzędów
Rozdział Układy równań i równania wyższych rzędów Układy równań różniczkowych zwyczajnych Wprowadzenie W poprzednich paragrafach zajmowaliśmy się równaniami różniczkowymi y = f(x, y), których rozwiązaniem
Matematyka stosowana i metody numeryczne
Ewa Pabisek Adam Wosatko Piotr Pluciński Matematyka stosowana i metody numeryczne Konspekt z wykładu 6 Rozwiązywanie równań nieliniowych Rozwiązaniem lub pierwiastkiem równania f(x) = 0 lub g(x) = h(x)
Matematyka dyskretna dla informatyków
Matematyka dyskretna dla informatyków Część I: Elementy kombinatoryki Jerzy Jaworski Zbigniew Palka Jerzy Szymański Uniwersytet im. Adama Mickiewicza Poznań 2007 4 Zależności rekurencyjne Wiele zależności
Wielomiany podstawowe wiadomości
Rozdział Wielomiany podstawowe wiadomości Funkcję postaci f s = a n s n + a n s n + + a s + a 0, gdzie n N, a i R i = 0,, n, a n 0 nazywamy wielomianem rzeczywistym stopnia n; jeżeli współczynniki a i
Wykład 14 i 15. Równania różniczkowe. Równanie o zmiennych rozdzielonych. Definicja 1. Równaniem różniczkowym zwyczajnym rzędu n nazywamy równanie
Wykład 14 i 15 Równania różniczkowe Definicja 1. Równaniem różniczkowym zwyczajnym rzędu n nazywamy równanie F (x, y, y, y,..., y (n) ) = 0 (1) gdzie: y = y(x) niewiadoma funkcja zmiennej rzeczywistej
Metody Obliczeniowe w Nauce i Technice
5. Aproksymacja Marian Bubak Department of Computer Science AGH University of Science and Technology Krakow, Poland bubak@agh.edu.pl dice.cyfronet.pl Contributors Paweł Urban Jakub Ptak Łukasz Janeczko
RÓWNANIA NIELINIOWE Maciej Patan
RÓWNANIA NIELINIOWE Maciej Patan Uniwersytet Zielonogórski Przykład 1 Prędkość v spadającego spadochroniarza wyraża się zależnością v = mg ( 1 e c t) m c gdzie g = 9.81 m/s 2. Dla współczynnika oporu c
Rozwiązywanie zależności rekurencyjnych metodą równania charakterystycznego
Rozwiązywanie zależności rekurencyjnych metodą równania charakterystycznego WMS, 2019 1 Wstęp Niniejszy dokument ma na celu prezentację w teorii i na przykładach rozwiązywania szczególnych typów równań
ROZWIĄZYWANIE RÓWNAŃ NIELINIOWYCH
Transport, studia I stopnia Instytut L-5, Wydział Inżynierii Lądowej, Politechnika Krakowska Ewa Pabisek Adam Wosatko Postać ogólna równania nieliniowego Często występującym, ważnym problemem obliczeniowym
ELEMENTY ANALIZY NUMERYCZNEJ ELEMENTY ANALIZY NUMERYCZNEJ. Egzamin pisemny zestaw 1 26 czerwca 2017 roku
Egzamin pisemny zestaw czerwca 0 roku Imię i nazwisko:.... ( pkt.) Udowodnić, że jeśli funkcja g interpoluje funkcję f w węzłach x 0, x, K, x n, a funk- cja h interpoluje funkcję f w węzłach x, x, K, x
1 Równania nieliniowe
1 Równania nieliniowe 1.1 Postać ogólna równania nieliniowego Często występującym, ważnym problemem obliczeniowym jest numeryczne poszukiwanie rozwiązań równań nieliniowych, np. algebraicznych (wielomiany),
Rozwiązywanie równań nieliniowych i ich układów. Wyznaczanie zer wielomianów.
Rozwiązywanie równań nieliniowych i ich układów. Wyznaczanie zer wielomianów. Plan wykładu: 1. Wyznaczanie pojedynczych pierwiastków rzeczywistych równań nieliniowych metodami a) połowienia (bisekcji)
Metody rozwiązywania równań nieliniowych
Metody rozwiązywania równań nieliniowych Rozwiązywanie równań nieliniowych Ogólnie równanie o jednej niewiadomej x można przedstawić w postaci f ( x)=0, x R, (1) gdzie f jest wystarczająco regularną funkcją.
Wprowadzenie Metoda bisekcji Metoda regula falsi Metoda siecznych Metoda stycznych RÓWNANIA NIELINIOWE
Transport, studia niestacjonarne I stopnia, semestr I Instytut L-5, Wydział Inżynierii Lądowej, Politechnika Krakowska Ewa Pabisek Adam Wosatko Postać ogólna równania nieliniowego Zazwyczaj nie można znaleźć
ELEMENTY ANALIZY NUMERYCZNEJ ELEMENTY ANALIZY NUMERYCZNEJ. Egzamin pisemny zestaw 1 24 czerwca 2019 roku
Egzamin pisemny zestaw. ( pkt.) Udowodnić, że jeśli funkcja g interpoluje funkcję f w węzłach x 0, x, K, x n, a funk- cja h interpoluje funkcję f w węzłach x, x, K, x n, to funkcja x0 x gx ( ) + [ gx (
Analiza funkcjonalna w zastosowaniach praktycznych
Analiza funkcjonalna w zastosowaniach praktycznych Modelowanie stacjonarnych systemów liniowych dr hab. inż. Grzegorz Ciesielski, prof. PŁ, mgr inż. Rafał Wojciechowski, mgr inż. Andrzej Albrecht prof.
Równania różniczkowe liniowe II rzędu
Równania różniczkowe liniowe II rzędu Definicja równania różniczkowego liniowego II rzędu Warunki początkowe dla równania różniczkowego II rzędu Równania różniczkowe liniowe II rzędu jednorodne (krótko
KLASA II LO Poziom rozszerzony (wrzesień styczeń)
KLASA II LO Poziom rozszerzony (wrzesień styczeń) Treści nauczania wymagania szczegółowe: ZAKRES PODSTAWOWY: 1) na podstawie wykresu funkcji y = f(x) szkicuje wykresy funkcji y = f(x), y = c f(x), y =
Projekt Era inżyniera pewna lokata na przyszłość jest współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego
Materiały dydaktyczne na zajęcia wyrównawcze z matematyki dla studentów pierwszego roku kierunku zamawianego Inżynieria Środowiska w ramach projektu Era inżyniera pewna lokata na przyszłość Projekt Era
Metody numeryczne. Równania nieliniowe. Janusz Szwabiński.
Metody numeryczne Równania nieliniowe Janusz Szwabiński szwabin@ift.uni.wroc.pl nm_slides-9.tex Metody numeryczne Janusz Szwabiński 7/1/2003 20:18 p.1/64 Równania nieliniowe 1. Równania nieliniowe z pojedynczym
ALGEBRA z GEOMETRIA, ANALITYCZNA,
ALGEBRA z GEOMETRIA, ANALITYCZNA, MAT00405 PRZEKSZTAL CANIE WYRAZ EN ALGEBRAICZNYCH, WZO R DWUMIANOWY NEWTONA Uprościć podane wyrażenia 7; (b) ( 6)( + ); (c) a 5 6 8a ; (d) ( 5 )( 5 + ); (e) ( 45x 4 y
Metody numeryczne rozwiązywania równań różniczkowych
Metody numeryczne rozwiązywania równań różniczkowych Marcin Orchel Spis treści Wstęp. Metody przybliżone dla równań pierwszego rzędu................ Metoda kolejnych przybliżeń Picarda...................2
Całkowanie numeryczne przy użyciu kwadratur
Całkowanie numeryczne przy użyciu kwadratur Plan wykładu: 1. Kwadratury Newtona-Cotesa a) wzory: trapezów, parabol etc. b) kwadratury złożone 2. Ekstrapolacja a) ekstrapolacja Richardsona b) metoda Romberga
Aproksymacja. j<k. L 2 p[a, b] l 2 p,n X = Lemat 1. Wielomiany ortogonalne P 0,P 1,...,P n tworza przestrzeni liniowej Π n. Dowód.
Metody numeryczne Paweł Zieliński p. 1/19 Lemat 1. Wielomiany ortogonalne P 0,P 1,...,P n tworza bazę przestrzeni liniowej Π n. Dowód. Lemat 2. Dowolny wielomian Q j stopnia j niższego od k jest prostopadły
Obliczenia naukowe Wykład nr 6
Obliczenia naukowe Wykład nr 6 Paweł Zieliński Katedra Informatyki, Wydział Podstawowych Problemów Techniki, Politechnika Wrocławska Literatura Literatura podstawowa [1] D. Kincaid, W. Cheney, Analiza
Metody Numeryczne. Wojciech Szewczuk
Metody Numeryczne Równania nieliniowe Równania nieliniowe W tych równaniach jedna lub więcej zmiennych występuje nieliniowo, np równanie Keplera x a sin x = b. Zajmiemy się teraz lokalizacją pierwiastków
Równania różniczkowe. Notatki z wykładu.
Równania różniczkowe Notatki z wykładu http://robert.brainusers.net 17.06.2009 Notatki własne z wykładu. Są niekompletne, bez bibliografii oraz mogą zawierać błędy i usterki. Z tego powodu niniejszy dokument
VI. Równania różniczkowe liniowe wyższych rzędów
VI. 1. Równanie różniczkowe liniowe n-tego rzędu o zmiennych współczynnikach Niech podobnie jak w poprzednim paragrafie K = C lub K = R. Podobnie jak w dziedzinie rzeczywistej wprowadzamy pochodne wyższych
Interpolacja. Marcin Orchel. Drugi przypadek szczególny to interpolacja trygonometryczna
Interpolacja Marcin Orchel 1 Wstęp Mamy daną funkcję φ (x; a 0,..., a n ) zależną od n + 1 parametrów a 0,..., a n. Zadanie interpolacji funkcji φ polega na określeniu parametrów a i tak aby dla n + 1
Bardzo łatwa lista powtórkowa
Analiza numeryczna, II rok inf., WPPT- 12 stycznia 2008 Terminy egzaminów Przypominam, że egzaminy odbędą się w następujących terminach: egzamin podstawowy: 30 stycznia, godz. 13 15, C-13/1.31 egzamin
1. Wielomiany Podstawowe definicje i twierdzenia
1. Wielomiany Podstawowe definicje i twierdzenia Definicja wielomianu. Wielomianem stopnia n zmiennej rzeczywistej x nazywamy funkcję w określoną wzorem w(x) = a n x n + a n 1 x n 1 + + a 1 x + a 0, przy
Wielomiany. XX LO (wrzesień 2016) Matematyka elementarna Temat #2 1 / 1
XX LO (wrzesień 2016) Matematyka elementarna Temat #2 1 / 1 Definicja Definicja Wielomianem stopnia n zmiennej rzeczywistej x nazywamy funkcję W (x) = a n x n + a n 1 x n 1 + + a 2 x 2 + a 1 x + a 0 gdzie
5. Równania różniczkowe zwyczajne pierwszego rzędu
5. Równania różniczkowe zwyczajne pierwszego rzędu 5.1. Wstęp. Definicja 5.1. Niech V R 3 będzie obszarem oraz F : V R. Równaniem różniczkowym zwyczajnym rzędu pierwszego nazywamy równanie postaci Równanie
2. DZIAŁANIA NA WIELOMIANACH
WIELOMIANY 1. Stopieo wielomianu. Działania na wielomianach 2. Równość wielomianów. 3. Pierwiastek wielomianu. Rozkład wielomianu na czynniki 4. Równania wielomianowe. 1.STOPIEŃ WIELOMIANU Wielomian to
METODY NUMERYCZNE. Wykład 4. Numeryczne rozwiązywanie równań nieliniowych z jedną niewiadomą. prof. dr hab.inż. Katarzyna Zakrzewska
METODY NUMERYCZNE Wykład 4. Numeryczne rozwiązywanie równań nieliniowych z jedną niewiadomą prof. dr hab.inż. Katarzyna Zakrzewska Met.Numer. Wykład 4 1 Rozwiązywanie równań nieliniowych z jedną niewiadomą
Rozwiązywanie równań nieliniowych i ich układów. Wyznaczanie zer wielomianów.
Rozwiązywanie równań nieliniowych i ich układów. Wyznaczanie zer wielomianów. Plan wykładu: 1. Wyznaczanie pojedynczych pierwiastków rzeczywistych równań nieliniowych metodami a) połowienia (bisekcji)
Aproksymacja. funkcji: ,a 2. ,...,a m. - są funkcjami bazowymi m+1 wymiarowej podprzestrzeni liniowej X m+1
Założenie: f(x) funkcja którą aproksymujemy X jest przestrzenią liniową Aproksymacja liniowa funkcji f(x) polega na wyznaczeniu współczynników a 0,a 1,a 2,...,a m funkcji: Gdzie: - są funkcjami bazowymi
0.1 Pierścienie wielomianów
0.1 Pierścienie wielomianów Zadanie 1. Znaleźć w pierścieniu Z 5 [X] drugi wielomian określający tę samą funkcję, co wielomian X 2 X + 1. (Odp. np. X 5 + X 2 2X + 1). Zadanie 2. Znaleźć sumę i iloczyn
Analiza matematyczna dla informatyków 3 Zajęcia 14
Analiza matematyczna dla informatyków 3 Zajęcia 14 Metoda rozwiązywania (Jednorodne równanie różniczkowe liniowe rzędu n o stałych współczynnikach). gdzie a 0,..., a n 1 C. Wielomian charakterystyczny:
Pierścień wielomianów jednej zmiennej
Rozdział 1 Pierścień wielomianów jednej zmiennej 1.1 Definicja pierścienia wielomianów jednej zmiennej Definicja 1.1 Niech P będzie dowolnym pierścieniem. Ciąg nieskończony (a 0, a 1,..., a n,...) elementów
Wykład z równań różnicowych
Wykład z równań różnicowych 1 Wiadomości wstępne Umówmy się, że na czas tego wykładu zrezygnujemy z oznaczania n-tego wyrazu ciągu symbolem typu x n, y n itp. Zamiast tego pisać będziemy x (n), y (n) itp.
Egzamin z Metod Numerycznych ZSI, Egzamin, Gr. A
Egzamin z Metod Numerycznych ZSI, 06.2007. Egzamin, Gr. A Imię i nazwisko: Nr indeksu: Section 1. Test wyboru, max 33 pkt Zaznacz prawidziwe odpowiedzi literą T, a fałszywe N. Każda prawidłowa odpowiedź
Optymalizacja ciągła
Optymalizacja ciągła 5. Metoda stochastycznego spadku wzdłuż gradientu Wojciech Kotłowski Instytut Informatyki PP http://www.cs.put.poznan.pl/wkotlowski/ 04.04.2019 1 / 20 Wprowadzenie Minimalizacja różniczkowalnej
Zaawansowane metody numeryczne
Wykład 11 Ogólna postać metody iteracyjnej Definicja 11.1. (metoda iteracyjna rozwiązywania układów równań) Metodą iteracyjną rozwiązywania { układów równań liniowych nazywamy ciąg wektorów zdefiniowany
METODY NUMERYCZNE. Wykład 3. Plan. Aproksymacja Interpolacja wielomianowa Przykłady. dr hab.inż. Katarzyna Zakrzewska, prof.agh. Met.Numer.
METODY NUMERYCZNE Wykład 3. dr hab.inż. Katarzyna Zakrzewska, prof.agh Met.Numer. wykład 3 1 Plan Aproksymacja Interpolacja wielomianowa Przykłady Met.Numer. wykład 3 2 1 Aproksymacja Metody numeryczne
Rozwiązywanie równań nieliniowych i ich układów. Wyznaczanie zer wielomianów.
Rozwiązywanie równań nieliniowych i ich układów. Wyznaczanie zer wielomianów. Plan wykładu: 1. Wyznaczanie pojedynczych pierwiastków rzeczywistych równań nieliniowych metodami a) połowienia (bisekcji)
Metody numeryczne. Sformułowanie zagadnienia interpolacji
Ćwiczenia nr 4. Sformułowanie zagadnienia interpolacji Niech będą dane punkty x 0,..., x n i wartości y 0,..., y n, takie że i=0,...,n y i = f (x i )). Szukamy funkcji F (funkcji interpolującej), takiej
Rozwiązywanie równań nieliniowych
Rozwiązywanie równań nieliniowych Marcin Orchel 1 Wstęp Przykłady wyznaczania miejsc zerowych funkcji f : f(ξ) = 0. Wyszukiwanie miejsc zerowych wielomianu n-tego stopnia. Wymiar tej przestrzeni wektorowej
Wstęp do metod numerycznych Miejsca zerowe wielomianów Układy równań algebraicznych. P. F. Góra
Wstęp do metod numerycznych Miejsca zerowe wielomianów Układy równań algebraicznych P. F. Góra http://th-www.if.uj.edu.pl/zfs/gora/ 2010 Podstawowe Twierdzenie Algebry Rozwiazywanie równań wielomianowych
Równania różniczkowe liniowe rzędu pierwszego
Katedra Matematyki i Ekonomii Matematycznej SGH 21 kwietnia 2016 Wstęp Definicja Równanie różniczkowe + p (x) y = q (x) (1) nazywamy równaniem różniczkowym liniowym pierwszego rzędu. Jeśli q (x) 0, to
Wstęp do metod numerycznych Rozwiazywanie równań algebraicznych. P. F. Góra
Wstęp do metod numerycznych Rozwiazywanie równań algebraicznych P. F. Góra http://th-www.if.uj.edu.pl/zfs/gora/ 2010 Co to znaczy rozwiazać równanie? Przypuśmy, że postawiono przed nami problem rozwiazania
ANALIZA MATEMATYCZNA Z ELEMENTAMI STATYSTYKI MATEMATYCZNEJ
ANALIZA MATEMATYCZNA Z ELEMENTAMI STATYSTYKI MATEMATYCZNEJ FUNKCJE DWÓCH ZMIENNYCH RZECZYWISTYCH Definicja 1. Niech A będzie dowolnym niepustym zbiorem. Metryką w zbiorze A nazywamy funkcję rzeczywistą
Zaawansowane metody numeryczne
Wykład 6 Własności wielomianów ortogonalnych Wszystkie znane rodziny wielomianów ortogonalnych dzielą pewne wspólne cechy: 1) definicja za pomocą wzoru różniczkowego, jawnej sumy lub funkcji tworzącej;
Algorytmy i struktury danych. Wykład 4
Wykład 4 Różne algorytmy - obliczenia 1. Obliczanie wartości wielomianu 2. Szybkie potęgowanie 3. Algorytm Euklidesa, liczby pierwsze, faktoryzacja liczby naturalnej 2017-11-24 Algorytmy i struktury danych
Wielomiany podstawowe wiadomości
Rozdział Wielomiany podstawowe wiadomości Funkcję postaci f s) = s n + 1 s n 1 ++a 1 s+a 0, 1) gdzie n N, a i R i = 0,,n), 0 nazywamy wielomianem rzeczywistym stopnia n; jeżeli współczynniki a i i = 0,,n)
5. Rozwiązywanie układów równań liniowych
5. Rozwiązywanie układów równań liniowych Wprowadzenie (5.1) Układ n równań z n niewiadomymi: a 11 +a 12 x 2 +...+a 1n x n =a 10, a 21 +a 22 x 2 +...+a 2n x n =a 20,..., a n1 +a n2 x 2 +...+a nn x n =a
Liczby zespolone. Magdalena Nowak. 23 marca Uniwersytet Śląski
Uniwersytet Śląski 23 marca 2012 Ciało liczb zespolonych Rozważmy zbiór C = R R, czyli C = {(x, y) : x, y R}. W zbiorze C definiujemy następujące działania: dodawanie: mnożenie: (a, b) + (c, d) = (a +
Metody Obliczeniowe w Nauce i Technice
2. Arytmetyka komputerowa Marian Bubak Department of Computer Science AGH University of Science and Technology Krakow, Poland bubak@agh.edu.pl dice.cyfronet.pl Contributors Maciej Trzebiński Mikołaj Biel
5 Równania różniczkowe zwyczajne rzędu drugiego
5 Równania różniczkowe zwyczajne rzędu drugiego Definicja 5.1. Równaniem różniczkowym zwyczajnym rzędu drugiego nazywamy równanie postaci F ( x, y, y, y ) = 0, (12) w którym niewiadomą jest funkcja y =
Równania poziom podstawowy (opracowanie: Mirosława Gałdyś na bazie = Rozwiąż układ równań: (( + 1 ( + 2 = = 1
Równania poziom podstawowy (opracowanie: Mirosława Gałdyś na bazie http://www.zadania.info/). Rozwiąż układ równań: (( + ( + 2 = 3 = 4. http://www.zadania.info/d38/2287 2. Rozwiąż układ równań: ( + 2 (
Maciej Grzesiak Instytut Matematyki Politechniki Poznańskiej. Całki nieoznaczone
Maciej Grzesiak Instytut Matematyki Politechniki Poznańskiej Całki nieoznaczone 1. Definicja całki nieoznaczonej Definicja 1. Funkcja F jest funkcją pierwotną funkcji f na przedziale I, jeżeli F (x) =
3a. Wstęp: Elementarne równania i nierówności
3a. Wstęp: Elementarne równania i nierówności Grzegorz Kosiorowski Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie zima 2017/2018 Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 3a. Wstęp: w Krakowie) Elementarne równania
Wstęp do metod numerycznych Uwarunkowanie Eliminacja Gaussa. P. F. Góra
Wstęp do metod numerycznych Uwarunkowanie Eliminacja Gaussa P. F. Góra http://th-www.if.uj.edu.pl/zfs/gora/ 2012 Uwarunkowanie zadania numerycznego Niech ϕ : R n R m będzie pewna funkcja odpowiednio wiele
Układy równań liniowych. Krzysztof Patan
Układy równań liniowych Krzysztof Patan Motywacje Zagadnienie kluczowe dla przetwarzania numerycznego Wiele innych zadań redukuje się do problemu rozwiązania układu równań liniowych, często o bardzo dużych
Zagadnienia do małej matury z matematyki klasa II Poziom podstawowy i rozszerzony
Zagadnienia do małej matury z matematyki klasa II Poziom podstawowy i rozszerzony Uczeń realizujący zakres rozszerzony powinien również spełniać wszystkie wymagania w zakresie poziomu podstawowego. Zakres
Metody numeryczne. materiały do wykładu dla studentów
Metody numeryczne materiały do wykładu dla studentów 5. Przybliżone metody rozwiązywania równań 5.1 Lokalizacja pierwiastków 5.2 Metoda bisekcji 5.3 Metoda iteracji 5.4 Metoda stycznych (Newtona) 5.5 Metoda
METODY ROZWIĄZYWANIA RÓWNAŃ NIELINIOWYCH
METODY ROZWIĄZYWANIA RÓWNAŃ NIELINIOWYCH Jednym z zastosowań metod numerycznych jest wyznaczenie pierwiastka lub pierwiastków równania nieliniowego. W tym celu stosuje się szereg metod obliczeniowych np:
Metody numeryczne Wykład 7
Metody numeryczne Wykład 7 Dr inż. Michał Łanczont Instytut Elektrotechniki i Elektrotechnologii E419, tel. 4293, m.lanczont@pollub.pl, http://m.lanczont.pollub.pl Plan wykładu Rozwiązywanie równań algebraicznych
Kryteria oceniania z matematyki dla klasy M+ (zakres rozszerzony) Klasa II
Funkcja liniowa Kryteria oceniania z matematyki dla klasy M+ (zakres rozszerzony) Klasa II Zakres Dopuszczający Dostateczny Dobry Bardzo dobry - rozpoznaje funkcję liniową na podstawie wzoru - zna postać
Program zajęć pozalekcyjnych z matematyki poziom rozszerzony- realizowanych w ramach projektu Przez naukę i praktykę na Politechnikę
Program zajęć pozalekcyjnych z matematyki poziom rozszerzony- realizowanych w ramach projektu Przez naukę i praktykę na Politechnikę 1. Omówienie programu. Zaznajomienie uczniów ze źródłami finansowania
Zagadnienia na egzamin poprawkowy z matematyki - klasa I 1. Liczby rzeczywiste
Zagadnienia na egzamin poprawkowy z matematyki - klasa I 1. Liczby rzeczywiste Liczby naturalne Liczby całkowite. Liczby wymierne Liczby niewymierne Rozwinięcie dziesiętne liczby rzeczywistej Pierwiastek
1 Metody rozwiązywania równań nieliniowych. Postawienie problemu
1 Metody rozwiązywania równań nieliniowych. Postawienie problemu Dla danej funkcji ciągłej f znaleźć wartości x, dla których f(x) = 0. (1) 2 Przedział izolacji pierwiastka Będziemy zakładać, że równanie
Funkcje wymierne. Jerzy Rutkowski. Działania dodawania i mnożenia funkcji wymiernych określa się wzorami: g h + k l g h k.
Funkcje wymierne Jerzy Rutkowski Teoria Przypomnijmy, że przez R[x] oznaczamy zbiór wszystkich wielomianów zmiennej x i o współczynnikach rzeczywistych Definicja Funkcją wymierną jednej zmiennej nazywamy
MATeMAtyka klasa II poziom rozszerzony
MATeMAtyka klasa II poziom rozszerzony W klasie drugiej na poziomie rozszerzonym realizujemy materiał z klasy pierwszej tylko z poziomu rozszerzonego (na czerwono) oraz cały materiał z klasy drugiej. Rozkład
Optymalizacja ciągła
Optymalizacja ciągła 4. Metody kierunków poprawy (metoda spadku wzdłuż gradientu) Wojciech Kotłowski Instytut Informatyki PP http://www.cs.put.poznan.pl/wkotlowski/ 21.03.2019 1 / 41 Plan wykładu Minimalizacja
2) R stosuje w obliczeniach wzór na logarytm potęgi oraz wzór na zamianę podstawy logarytmu.
ZAKRES ROZSZERZONY 1. Liczby rzeczywiste. Uczeń: 1) przedstawia liczby rzeczywiste w różnych postaciach (np. ułamka zwykłego, ułamka dziesiętnego okresowego, z użyciem symboli pierwiastków, potęg); 2)
Kurs wyrównawczy - teoria funkcji holomorficznych
Kurs wyrównawczy - teoria funkcji holomorficznych wykład 1 Gniewomir Sarbicki 15 lutego 2011 Struktura ciała Zbiór par liczb rzeczywistych wyposażamy w działania: { + : (a, b) + (c, d) = (a + c, b + d)
METODY NUMERYCZNE. Wykład 4. Numeryczne rozwiązywanie równań nieliniowych z jedną niewiadomą. Rozwiązywanie równań nieliniowych z jedną niewiadomą
METODY NUMERYCZNE Wykład 4. Numeryczne rozwiązywanie równań nieliniowych z jedną niewiadomą dr hab.inż. Katarzyna Zakrzewska, prof.agh Met.Numer. Wykład 4 1 Rozwiązywanie równań nieliniowych z jedną niewiadomą
UKŁADY RÓWNAŃ LINIOWYCH -Metody dokładne
UKŁADY RÓWNAŃ LINIOWYCH -Metody dokładne Układy równań liniowych Rozpatruje się układ n równań liniowych zawierających n niewiadomych: a + a +... + ann b a + a +... + ann b... an + an+... + annn bn który
Równania wielomianowe
Instytut Matematyki Uniwersytetu Jagiellońskiego 20 marca 2009 Kraków Równanie z jedną niewiadomą Wielomian jednej zmiennej to wyrażenie postaci P(x) = a n x n + a n 1 x n 1 + + a 1 x + a 0, gdzie współczynniki
Kolorowa płaszczyzna zespolona
Kolorowa płaszczyzna zespolona Marta Szumańska MIMUW/IX LO w Warszawie Sielpia, 27 października 2018 p. 1 of 64 Liczby zespolone Przez i oznaczamy jednostkę urojoną. Jest to obiekt spełniający warunek
Obliczenia naukowe Wykład nr 2
Obliczenia naukowe Wykład nr 2 Paweł Zieliński Katedra Informatyki, Wydział Podstawowych Problemów Techniki, Politechnika Wrocławska Literatura Literatura podstawowa [1] D. Kincaid, W. Cheney, Analiza
VII. Elementy teorii stabilności. Funkcja Lapunowa. 1. Stabilność w sensie Lapunowa.
VII. Elementy teorii stabilności. Funkcja Lapunowa. 1. Stabilność w sensie Lapunowa. W rozdziale tym zajmiemy się dokładniej badaniem stabilności rozwiązań równania różniczkowego. Pojęcie stabilności w
Rozkład materiału z matematyki dla II klasy liceum i technikum zakres podstawowy (37 tyg. 3 godz. = 111 godz.)
Rozkład materiału z matematyki dla II klasy liceum i technikum zakres podstawowy (37 tyg. 3 godz. = godz.) Ramowy rozkład materiału I. Podstawowe własności figur geometrycznych na płaszczyźnie, cz. 2...
Rzut oka na współczesną matematykę spotkanie 3: jak liczy kalkulator i o źródłach chaosu
Rzut oka na współczesną matematykę spotkanie 3: jak liczy kalkulator i o źródłach chaosu P. Strzelecki pawelst@mimuw.edu.pl Instytut Matematyki, Uniwersytet Warszawski MISH UW, semestr zimowy 2011-12 P.