Przekształcenia widmowe Transformata Fouriera. Adam Wojciechowski

Transkrypt

1 Przekształcenia widmowe Transformata Fouriera Adam Wojciechowski

2 Przekształcenia widmowe Odmiana przekształceń kontekstowych, w których kontekstem jest w zasadzie cały obraz. Za pomocą transformaty Fouriera tworzony jest dwuwymiarowe widmo obrazu, następnie widmo podlega określonej modyfikacji (usuwane składowe o wysokich częstotliwościach), a na końcu dokonywana jest rekonstrukcja obrazu (odwrotna transformata Fouriera) Takie przetwarzanie obrazów pozwala na precyzyjne kontrolowanie skutków, jest obliczeniochłonne i nie wnosi znaczących różnic do jakości obrazów.

3 Transformata Fouriera Pojęcie transformaty Fouriera bardzo ściśle wiąże się z pojęciem częstotliwości i wywodzi się z obszaru badań dotyczącego akustyki. Obraz może być traktowany jako sygnał cyfrowy i do jego przetwarzania wykorzystuje się Dyskretną Transformatę Fouriera Trudno jest jednak powiązać praktycznie interpretację częstotliwościową z informacją wizualną zawartą w obrazie (krawędzie wysokie częstotliwości, obszary płaskie niskie częstotliwości, z takiej interpretacji nie wynika dużo rozwiązań konkretnych problemów)

4 Dlaczego zajmujemy się transformatą Fouriera Bo badania abstrahujące od interpretacji częstotliwościowej dają bardzo ciekawe rezultaty Bo ktoś może znaleźć, aczkolwiek nie jest to łatwe, nowe pożyteczne zastosowanie tej transformacji do przetwarzania obrazów Przed tym jednak należy poznać i dokładnie zrozumieć na czym polegają istotne cechy transformaty Fouriera w doniesieniu do obrazów

5 Transformata Fouriera dla cyfrowych sygnałów jednowymiarowych Cyfrowy sygnał jednowymiarowy można przedstawić jako uporządkowany i ponumerowany ciąg liczb. Ich wartości należą do pewnego dyskretnego zbioru będącego podzbiorem liczb wymiernych. Transformacja będzie miała również sens, gdy przeprowadzimy ją dla dowolnego ciągu liczb, które są opatrzone kolejnymi indeksami. ośmioelementowy ciąg pewnych liczb ciąg liczb całkowitych o parzystej liczbie elem. ciąg liczb całkowitych o nieparzystej liczbie elem.

6 Transformata Fouriera Transformatą Fouriera ciągu N elementowego będziemy nazywać następujące odwzorowanie: Jako wynik Transformacji Fouriera otrzymujemy inny ciąg o tej samej długości o wartościach zespolonych:

7 Transformata Fouriera Przykładowo dla ciągu: otrzymamy ciąg postaci: Wartości liczb zostały zaokrąglone do 4 miejsca po przecinku, ale zwykle dopasowane są do dokładności zmiennych wykorzystywanych do zapamiętywania liczb.

8 Przekształcenie odwrotne Transformata Fouriera jest odwracalna (z dokładnością do precyzji obliczeń) i jej postać jest następująca: Różnice pomiędzy transformatą i jej odwrotnością: -Znak w potędze eksponenty -Przed znakiem sumy znajdują się współczynniki β L i β F. Aby transformacje były odwrotne współczynniki powinny spełniać następującą zależność: Najczęściej współczynniki β L i β F przyjmują odpowiednio wartości:

9 Ciąg rzeczywisty L można przedstawić jako ważoną sumę pewnych specjalnych ciągów L k, które można nazwać ciągami składowymi lub bazowymi: Ciągi te muszą być tej samej długości N

10 Powyższe ciągi możemy rozpisać w następujący sposób: Gdzie k oznacza numer ciągu i jednocześnie wiąże się ze sposobem w jaki dany ciąg wygląda. L 0 składa się z samych jedynek. Ciąg L k zawiera wartości będące wartościami funkcji cosinus o amplitudzie 1, okresie T k i przesunięciu w fazie φ k, tak dobrany by najlepiej pasował do ciągu L.

11 Zwróćmy uwagę, że okres T k mieści się całkowitą liczbę razy w przedziale T. Dla k=0 to funkcja ma wartość 1 φ k ma sens dla k>0 i wtedy może mieć bardzo duży wpływ na wygląd ciągu L k.

12 Nie musimy martwić się o dobór wartości a k i φ k transformacja Fouriera to wyliczy. Ciąg F przedstawia bowiem informację jaki jest udział w ciągu L poszczególnych ciągów L k (współczynniki a k ) oraz jak dla każdego ciągu przesunięta była jego funkcja kosinus (argumenty φ k ). Zespolony k-ty element ciągu F można przedstawić jako część rzeczywistą i urojoną lub równoważnie jako amplitudę i fazę:

13 Amplituda A k jest bardzo ściśle powiązana ze współczynnikami a k.

14

15 Ponieważ ciąg N liczb rzeczywistych l n jest przekształcany w równoważny w dziedzinie Fouriera w postaci 2N liczb N amplitud i N faz musi pojawić się jakaś nadmiarowość. Ciągi Fouriera posiadają symetrie. Części urojone (fazy) są symetryczne względem osi poziomej Części rzeczywiste (amplitudy) są symetryczne względem osi pionowej

16 Zwiększona liczba parametrów jest pozorna i może zostać zastąpiona tylko połową parametrów, gdyż druga połowa się powtarza. Wymaga to tylko zmiany indeksów. Przed zastosowanie transformaty odwrotnej należy ponownie wszystko przeindeksować.

17 Transformata Fouriera dla obrazów cyfrowych Z matematycznego punktu widzenia zastosowanie dyskretnej transformacji Fouriera do obrazów cyfrowych jest stosunkowo prostym poszerzeniem odpowiedniej zależności o jeden wymiar. Obraz cyfrowy to uporządkowany i ponumerowany dwuwymiarowo zbiór liczb rzeczywistych: Najczęściej wartości punktów obrazu są liczbami naturalnymi oraz obraz cyfrowy jest kwadratowy (M=N)

18 Ogólna postać DTF dla obrazów cyfrowych Dodatkowo musi zachodzić warunek aby transformaty były odwracalne: w dalszych rozważaniach przyjęto:

19 Dwuwymiarowy ciąg F(i,k) przyjmujący wartości ze zbioru liczb zespolonych posiada dokładnie tyle samo elementów co dwuwymiarowy ciąg L(m,n) będący reprezentacją obrazu cyfrowego Dlatego ciąg w dziedzinie transformaty również można interpretować jako dwuwymiarowy obraz, lecz sama wizualizacja wymaga jeszcze dodatkowych zabiegów. Można obejrzeć obraz części: -Rzeczywistej -Urojonej -Amplitudy -Fazy Za każdym razem należy dostosować zakresy kolorów do głębokości bitowej, np.:

20 Aby uniknąć nieporozumień obrazy w dziedzinie transformacji Fouriera będziemy nazywać F-obrazami a ich piksele F- pikselami. Warto zwrócić również uwagę na własności transformaty dwuwymiarowej. Dwuwymiarowa transformata Fouriera jest operacją separowalną ze względu na wymiar: Wynika z tego, że możemy najpierw obliczyć sumy wewnętrzne (np.: dla wszystkich kolumn obrazu), a następnie sumy zewnętrzne (np.: dla kolumn obrazu). Kolejność jest dowolna

21 Wynikowe ciągi składowe dwuwymiarowe powstają na zasadzie kombinacji każdy z każdym ciągów jednowymiarowych.