Modelowanie i symulacja numeryczna procesów stick-slip z użyciem odwzorowań luz( ) i tar( )

Transkrypt

1 BIULETYN WAT VOL. LIX, NR, Modelowanie i symulacja numeryczna procesów sick-slip z użyciem odwzorowań luz( ) i ar( ) DARIUSZ ŻARDECKI Wojskowa Akademia Techniczna, Wydział Mechaniczny, Insyu Pojazdów Mechanicznych i Transporu, -98 Warszawa, ul. S. Kaliskiego Sreszczenie. W arykule przedsawiono meody modelowania i symulacji procesów sick-slip w dyskrenych układach mechanicznych z arciem. Cechą znamienną meody modelowania jes zasosowanie specjalnych przedziałami liniowych odwzorowań opologicznych luz( ) i ar( ) wraz z ich oryginalnym, dość prosym aparaem maemaycznym. Tworzone modele są przejrzyse, ławe do zasosowania w symulacyjnych programach kompuerowych MBS (Mulibody Sysems) wykorzysujących sandardowe procedury rozwiązywania równań różniczkowych zwyczajnych. Słowa kluczowe: mechanika eoreyczna, układy dyskrene z arciem, procesy sick-slip, modelowanie maemayczne, odwzorowania przedziałami liniowe, symulacja kompuerowa, procedury numeryczne Symbole UKD: Wsęp Procesy sick-slip (przyleganie-poślizg) wynikające z działania arcia (kineycznego i saycznego) są procesami silnie nieliniowymi wyrażanymi przez modele hybrydowe o zmiennej srukurze. Zmienność srukury modelu sick-slip spowodowana jes zmiennością liczby sopni swobody układu, w kórym dochodzi do sczepiania się (przyleganie) i rozczepiania (poślizg) rących elemenów. Generowanie zmiennych srukur modeli sick-slip oraz serowanie ich zmiennością przedsawiane jes szczegółowo w niewielu publikacjach. Najczęściej cyowanym przez innych badaczy pozosaje od la arykuł Karnoppa [], w kórym omówionych jes kilka dość prosych modeli hybrydowych odnoszących się do układów z arciem jedno- i dwumasowych. W meodzie przyjęej przez Karnoppa wykorzysuje

2 98 D. Żardecki się heurysyczne podejście, w kórym modele opare na klasycznych regułach mechaniki ciał szywnych, wzbogaca się o dodakowe elemeny umożliwiające ich numeryczną implemenację. Modele sick-slip układów wielomasowych z arciem pojawiają się w lieraurze poświęconej układom MBS. Doyczy o przede wszyskim układów mechanizmów dźwigniowych wysępujących w roboach i manipulaorach, rakowanych jako pewne łańcuchy kinemayczno-dynamiczne (np. Blajer, Markiewicz [3], Harlecki [8]). W arykule Borkowskiego i Żardeckiego [5] analizowany jes model szeregowego układu reologicznego z arciem, kóry opisuje proces prasowania dowolnej liczby przekładek we wspólnej obudowie. W pracy Grzesikiewicza i Wakulicza [7] funkcjonowanie podobnie kaskadowych wielomasowych srukur z arciem doyczy modelu dynamiki ruchu składu pociągu podczas hamowania. Przedsawiona am dyskusja przypadków ukazuje złożoność sanów ruchu, mimo zachowania względnie prosych zasad funkcjonowania modelu. Modele sick-slip rozwijane są akże przez projekanów oprogramowania animacyjnego 3D (np. dla analiz granulaów). Z uwagi na ogrom problemów związanych z modelowaniem arcia w ruchu wieloelemenowych układów brył przesrzennych, ich modele symulacyjne bazują głównie na procedurach heurysycznych (Baraff []). W niekórych pracach eoreycznych (por. prace przeglądowe Acary i inni [], Brogliao i inni [4], Pfeifer i Glocker [], Seward [3]), podejmuje się na gruncie ogólnych wariacyjnych zasad mechaniki próby uogólnień modeli z arciem na dowolnie złożone srukury wielomasowe. Bardzo ineresująca jes u rozprawa Grzesikiewicza [6] poświęcona eorii układów z więzami, gdzie zaproponowano uniwersalną meodę worzenia równań ruchu o zmiennej srukurze wywodzącą się z zasady Gausa i odwołującą się do meody programowania nieliniowego. Problemayka arcia i procesów sick-slip w układach wieloelemenowych komplikuje się szczególnie w syuacjach, gdy wysępują sany sczepień z niewyznaczalnymi rozkładami sił arcia. Taki problem jes przedyskuowany i rozwiązany w arykule Żardeckiego [7] w odniesieniu do układu dwumasowego z rzema skojarzeniami ciernymi. Wykazane jes, że mimo niewyznaczalności rozkładu sił arcia saycznego isnieją jednoznacznie określone równania ruchu opisujące procesy sick-slip w modelowanym układzie. W pracach Żardeckiego (np. [6-8]) sosowane są w modelowaniu procesów sick-slip specjalne odwzorowania przedziałami liniowe ar( ) i luz( ). Dzięki ym odwzorowaniom i ich zaskakująco prosym własnościom syneza modeli jes bardzo sformalizowana, a uzyskane modele pozwalają realizować redukcje w sposób parameryczny i asympoyczny, co ma oczywise znaczenie dla analiz wrażliwości i innych badań eoreycznych prakykowanych przez badaczy dynamiki nieliniowej. Celem niniejszego arykułu jes pokazanie rozwinięej meody modelowania i symulacji procesów sick-slip oparej na odwzorowaniach luz( ) i ar( ) z dopuszczeniem niesandardowych charakerysyk sił arcia.

3 Modelowanie i symulacja numeryczna procesów sick-slip Plan pracy jes nasępujący: W punkcie podane są syneyczne informacje na ema odwzorowań luz(...) i ar( ) oraz związanego z nimi aparau maemaycznego; W punkcie 3 przedsawia się elemenarny przedziałami liniowy model procesu sick-slip dla układu dwumasowego oraz modele dla srukur zdegenerowanych (przy bardzo dużej dysproporcji mas), w ym układu jednomasowego; W punkcie 4 przedsawia się zasosowanie algorymu eksrapolacyjnego Eulera do całkowania równań ruchu opisujących procesy sick-slip w układzie dwumasowym oraz jednomasowym. Uzyskane procedury symulacyjne nie zawierają uwikłań. Zaprezenowane są implemenacje numeryczne w sysemie Malab-Simulink; Punk 5 zawiera podsumowanie pracy.. Wybrane informacje na ema odwzorowań luz(...) i ar(...) Odwzorowania luz(...) i ar(...) są przedsawione szczegółowo w kilku arykułach Żardeckiego [4, 5, 7] i zbiorczo omówione w monografii [8]. Informacje prezenowane w niniejszym arykule sanowią minimum niezbędne dla wyjaśnienia maemaycznych aspeków meody modelowania procesów sick-slip. Definicja: dla < x < + i a luz( x, a) = x + x a x+ a dla x < ar( x, a) = x + a s( x) gdzie s( x) = s [,] dla x = dla x >. x+ a luz(, x a) ar(, x a) a a x x a a a x a x+ a x Rys.. Inerpreacja opologiczna odwzorowań luz( ) i ar( )

4 3 D. Żardecki Odwzorowania luz(...) i ar(...) mogą być wykorzysane w opisie innych odwzorowań przedziałami liniowych. Na przykład odwzorowanie nas(x, a) opisujące charakerysykę liniową z nasyceniem (rys. ) może być wyrażone w zwięzłej formie: (, ) = (, ) nas x a x luz x a nas(, x a) a a a x a Rys.. Inerpreacja opologiczna odwzorowania nas( ) Odwzorowania luz(...) i ar(...) posiadają szereg własności, kóre worzą oryginalny apara maemayczny obejmujący m.in. formuły podsawowe, formuły i wierdzenia doyczące rozwiązywania równań, minimalizacji funkcji z ograniczeniami, przekszałcania inkluzji w równania różniczkowe. W podanych u przykładowych formułach i wierdzeniach (wybranych z uwagi na ich reprezenaywność i znaczenie dla modeli procesów sick-slip), wszyskie sałe są nieujemne: ar( x, = luz ( x, ; k luz( xa) = luzk ( xk a) k ar( xa) = ar( k xk a) ( ( ) ) = + ( ) = +,, ;,, ; luz luz x, a, b luz( x, a b); ar ar( x, a), b ar( x, a b); k ar x a k ar x a k k k a + k ar x a (, ) + (, ) = ( + ), ; k + k k Jeśli luz( y, b) = k luz( x y, a), o luz( y, b) = luz( x, a + b); k + Jeśli f(x) jes funkcją wypukłą oraz x :min f( x), wówczas zadanie minimalizacji z ograniczeniem xˆ :min f( x) x x ma rozwiązanie ( ) xˆ = x luz x, x. x x

5 Modelowanie i symulacja numeryczna procesów sick-slip... 3 Inkluzja x () y() b ar( x(), a), dla kórej ar(, a) : min Q() x ar(,a) [ a, a], gdzie Q()... op ar(, a) wypukła, jes równoważna równaniu y() b ar( x(), a) gdy x() x () = luz( y( ), b a) gdy x( ) =. funkcja W monografii [8] podane są formuły i wierdzenia odnoszące się akże do układów równań i inkluzji z dwiema zmiennymi. 3. Modelowanie procesów sick-slip Modelowanie arcia oraz procesów sick-slip wymaga w pierwszej kolejności odniesienia się do charakerysyk siły arcia kineycznego, kóre wysępuje podczas poślizgu oraz do opisu działania siły arcia saycznego odpowiedzialnego za przyleganie. Zgodnie z klasyczną eorią arcia Amononsa i Coulomba siła arcia może być opisana przy pomocy charakerysyk ypu F T (V), gdzie F T siła arcia, V prędkość poślizgu. Są o charakerysyki przedziałami liniowe uwzględniające efek arcia suchego (składnik z signum ) i wiskoycznego (składnik liniowy). Klasyczna eoria dopuszcza przy ym skokową zmianę siły arcia suchego, gdy dochodzi do zerwania sanu przylegania ( sick ) i nasępuje san poślizgu ( slip ). Według nowszych badań (praca przeglądowa Ibrahima [9]) przejście ze sanu arcia saycznego do sanu arcia kineycznego ma fazę pośrednią (efek Sribecka), co może być uwzględnione w charakerysyce arcia jako wysąpienie ujemnego łumienia (!) dla małych prędkości poślizgu. Charakerysyki przedsawione na rysunku 3 pokazują najważniejsze różnice w sposobach modelowania siły arcia w sposób sayczny. Charakerysyka (a) FT( V) F T S =F C TK FT( V) FT( V) F F C F TK V V V Rys. 3. Typowe charakerysyki siły arcia

6 3 D. Żardecki eksponuje isoę zjawiska arcia. Paramer F T wyraża maksymalną siłę arcia suchego kineycznego, zaś C współczynnik łumienia. Linia przerywana pokazuje, iż w sanie zerowej prędkości, gdy może dochodzić do przylegania (sczepienia) elemenów, siła arcia (saycznego) wyznaczana jes na podsawie innych prawideł. Charakerysyka (b) eksponuje możliwość różnicy pomiędzy siłą arcia suchego kineycznego (paramer F TK ) oraz rozwijaną maksymalną siłą arcia suchego saycznego (paramer F ). Jak wiadomo z badań, paramery e silnie zależą od współczynników maeriałowych elemenów, kóre wysępują w skojarzeniu ciernym (np. dla skojarzenia sal/sal różnice sięgają 3%, zaś w skojarzeniu eflon/eflon nie wysępują). Charakerysyka (c) uwzględnia efek Sribecka. Waro w ym miejscu nadmienić, że w osanich laach rozwijane są akże bardziej złożone dynamiczne modele elemenarne sił arcia (np. Leine i inni []), w kórych siły wynikające z charakerysyk są dodakowo przewarzane w członach dynamicznych opisanych równaniami różniczkowymi (np. model LuGre ). Isoą każdego sposobu modelowania arcia pozosają jednak nieliniowe charakerysyki z członami ypu signum odpowiedzialnymi za skokową zmianę siły arcia przy zmianie kierunku ruchu. Srukura modelu zjawiska sick-slip zależy od srukury układu, w kórym arcie wysępuje, w ym zwłaszcza od liczby i powiązań skojarzeń ciernych, a nie zależy od samej posaci charakerysyki. Można naomias uznać jako generalną zasadę, iż rozwijana w sanie V = siła arcia F T jes liniowo zależna od siły F rozrywającej elemeny w skojarzeniu ciernym (rys. 4). Jej nasycenie wysępuje, gdy siła rozrywająca przekracza poziom siły arcia saycznego F, przy kórym rozpoczyna się poślizg i zaczyna działać arcie kineyczne. F T F F F Rys. 4. Charakerysyka siły arcia saycznego (linia przerywana oznacza włączenie się arcia kineycznego) Należy podkreślić, że wyznaczenie siły rozrywającej F może być niewykonalne w przypadku srukur wieloelemenowych (wspomniane wcześniej problemy saycznej niejednoznaczności rozkładu rozwijanych sił arcia). Nie oznacza o bynajmniej, iż proces sick-slip nie może być wówczas jednoznacznie opisany. W rozwiązaniu problemu bardzo pomocne okazuje się zasosowanie zasady Gaussa z minimalizacją zw. energii przyspieszeń w sanie V =.

7 Modelowanie i symulacja numeryczna procesów sick-slip W opisie charakerysyk arcia oraz w modelowaniu procesów sick-slip na plan pierwszy wysuwa się gwałowność zmian, kórą w pierwszym przybliżeniu mogą wyrażać akże zależności przedziałami liniowe. Zauważmy, że odwzorowanie ar(...) doskonale przysaje do opisu charakerysyki Coulomba, kóra sanowi podsawę modeli akże bardziej złożonych. Inkluzyjna formuła ar(, a) pozwala w zwięzły sposób wyrazić posula dookreślenia warości siły arcia saycznego w sanie zerowego poślizgu. Odwzorowanie luz(...) pozwala modyfikować charakerysykę Coulomba (np. poprzez przedziałami liniową aproksymację członów odzwierciedlających efek Sribecka). Na rysunku 5 przedsawiono przedziałami liniowe reprezenacje charakerysyk sił arcia kineycznego, dla kórych sformułowano zapis analiyczny. Zaleą ego zapisu jes m.in. ukazanie składników nieliniowego ujemnego łumienia, kóre przeprowadzają klasyczną charakerysykę Coulomba w charakerysykę z efekem Sribecka. F FTK( V) = F TK T C F FTK( V) = FT + F TK TK F T C ( C+ C) V V V Rys. 5. Przedziałami liniowe charakerysyki siły arcia kineycznego: a) charakerysyka Coulomba; b) charakerysyka Sribecka Opis charakerysyk siły arcia kineycznego: dla charakerysyki Coulomba: dla charakerysyki Sribecka: FT FTK () V = C ar V,. C FT +ΔFTK FTK () V = C ar V, + ( C+ΔC )( luz( V, V ) V), C gdzie Δ F = C+ C V = C+ΔC V. ( ) ( ) TK

8 34 D. Żardecki W podanych formułach wysępuje niezerowy paramer C (dzielenie przez C). W przypadku, gdy w modelu arcia kineycznego pomijane jes arcie wiskoyczne (C = ), wówczas w opisie charakerysyki z arciem suchym sosuje się wyrażenie F FTK V C ar V CV FT V C T () =, = sgn (). Wykorzysanie zasady Gaussa oraz aparau maemaycznego odwzorowań luz( ) i ar( ) w wyznaczaniu modeli sick-slip będzie przedsawione na reprezenaywnym przykładzie dwuelemenowego układu ciernego. W odróżnieniu wyprowadzeń podanych w poprzednich publikacjach auora, w niniejszej pracy dopuszcza się dowolny sposób opisu charakerysyki arcia kineycznego i dowolne relacje pomiędzy siłami arcia kineycznego F TK w sanach V = + oraz maksymalną siłą arcia saycznego F. Przykład F M F M z Rys. 6. Dwuelemenowy układ z arciem Oznaczenia: z, z współrzędne mas w układzie z; V = z z prędkość poślizgu; czas; F, F siły oddziaływań zewnęrznych (niebędące siłami arcia); F T siła arcia; F TK siła arcia kineycznego (jes wyrażona dowolną charakerysyką F TK (V)); F TK siła arcia kineycznego dla V = ± ; F siła arcia saycznego; F maksymalna siła arcia saycznego; M, M masy.

9 Modelowanie i symulacja numeryczna procesów sick-slip Równania ruchu: gdy z () z () ( ) ( ) Mz () + F z () z () = F(), TK Mz () F z () z () = F(). TK gdy z () = z () Mz () + F () = F(), Mz () F () = F(), gdzie F () [ F, F ]. Zgodnie z zasadą Gaussa w sanie z () = z () minimalizowana jes ze względu na F () (a więc z uwzględnieniem ograniczenia F () [ F, F ] ) zw. Mz Mz energia przyśpieszeń Q = +. F() F () F() + F () Ponieważ z() =, z() =, więc zadanie minima- M M lizacji z ograniczeniami ma posać: Fˆ : min Q F. F [ F, F ] M M ( ) ( ) ( ) F F F + F = + Minimalizowana funkcja jes wypukła, gdyż Q(F ) posiada pochodne ( ) ( ) QF F F F + F M + M MF MF = + = F = F M M M M M + M ( ) ( ) QF M + M F MM oraz = >. A więc na mocy przyoczonego w p. wierdzenia o minimalizacji funkcji ( ) Fˆ = F luz F, F, gdzie F jes rozwiązaniem zadania minimalizacji bez ograniczeń ( ) ( ) ( ) ˆ F F F + F MF MF F : min Q F = +, co daje F =. F M M M + M

10 36 D. Żardecki Rozwiązanie uwzględniające ograniczenie F () [ F, F ] wyraża formuła MF MF MF MF F luz F ˆ =,. M + M M + M Po podsawieniu do równań ruchu uzyskujemy model sick-slip w posaci: gdy z () z () gdy z () = z () ( ) ( ) Mz () + FTK z () z () = F(), Mz () F z () z () = F(). TK M MF() MF() M z() = ( F() + F() ) + luz, F, M + M M + M M M F() M F () M z () = ( F () + F () ) luz, F. M + M M + M Uzyskane równania o zmiennej srukurze w pełni wyrażają fizyczny sens zachodzących procesów i są ściśle kompaybilne z uznanym modelem sick-slip Karnoppa [] wyznaczonym w sposób klasyczny na podsawie prawa zachowania pędu. Zauważmy, gdy w sanie z () = z () siła rozrywająca F ( ) ( ) ( ) ( ) MF MF = M + M M + M M + M MF MF mieści cię w zakresie [ F, F ], wówczas luz, F = M M i + M M z () = F() + F (), czyli M + M z () = F() + F (), M M z () = F() + F (), czyli M + M z () = F() + F (). Są o równania idenyczne, wobec czego z() = z(). Uwzględniając, że również z () = z (), oznacza o przyleganie (sczepienie) elemenów, kóre rwa do momenu, aż siła rozrywająca F osiągnie kres [ F, F ]. Zaleą zasosowania formalizmu odwzorowań przedziałami liniowych są nie ylko zwięzłe i niezawierające uwikłań formy analiyczne (co uławia obliczenia numeryczne), ale przede wszyskim możliwość analiycznych przekszałceń modeli (co jes szczególnie ważne, gdy przeprowadzane są ich redukcje).

11 Modelowanie i symulacja numeryczna procesów sick-slip Problem paramerycznie realizowanych redukcji modeli sick-slip jes szczególnie isony w przypadku układów o dużym zróżnicowaniu mas. W doychczasowych publikacjach auora a kwesia jes omówiona dla modelu z charakerysyką Coulomba przy F TK = F = F T. Syuacja jes bardziej skomplikowana, gdy F TK F. Rozważymy eraz aką syuację. Gdy charakerysyka siły arcia kineycznego jes charakerysyką Coulomba, lecz F TK F, wówczas równania ruchu przyjmują formę: gdy z () z () FTK Mz () + Car ( z () z (), ) = F(), C FTK Mz () Car ( z () z (), ) = F(); C gdy z () = z () M MF() MF() M z() = ( F() + F() ) + luz, F, M + M M + M M M F() M F () M z () = ( F () + F () ) luz, F. M + M M + M Przeanalizowane będą dwa osobliwe przypadki: ) dla M << M i M ; ) dla M << M i M. Przypadek ) Załóżmy M << M i M. Wówczas: F TK = z () z () C ar z () z (), F() C (degeneracja) gdy ( ) F ( ) TK = Mz() Car z() z(), F(). C Przy C > prowadzi o naychmias do obniżenia rzędu modelu: z () z () = luz( F(), ) FTK ) (równanie więzów kinemaycznych), C Mz () = F () + F() (równanie ruchu). San przylegania osiągany jes auomaycznie jeśli ylko F() [ F, F ].

12 38 D. Żardecki Gdy ( ) z() = z() luz F(), F = Mz () = F () + F(). A więc osiągnięy san przylegania jes urzymywany, gdy F() [ F, F ]. Takie zróżnicowane warunki sick-slip można uwzględnić w procedurze numerycznej. Przypadek ) Załóżmy M << M i M. Wówczas: F TK + = z () z () M z () Car z () z (), F() C z () = oraz z () =. gdy ( ) gdy z = z M z = luz( F F ) () () () (), z () = oraz z () =. Oznacza o redukcję do modelu jednomasowego wyrażanego przez równania gdy F TK + = z () M z () Car z (), F(), C gdy () = () = ( (), ). z M z luz F F Zauważmy, że dla układu a priori jednomasowego równanie ruchu w sanie z () = miałoby formę Mz () + F () = F() i rozwiązywane byłoby zadanie minimalizacji: ˆ Mz ( F F ) F : min Q( F ) = =. F [ F, F ] M Dałoby o wynik F ˆ (, ), = F luz F F a po podsawieniu do równania ruchu równanie M z() = luz( F(), F ), a więc idenyczne z uzyskanym meodą redukcji paramerycznej. Orzymany wynik jes eż kompaybilny z modelem jednomasowym Karnoppa [] i ściśle odpowiada modelowi wyznaczonemu w pracy Żardeckiego [4], z użyciem wariacyjnej zasady najmniejszego działania. Zaproponowana meoda redukcji może być zaem sosowana w przypadku modelu wykorzysującego do opisu siły arcia kineycznego przedziałami liniową charakerysykę Coulomba z łumieniem niezerowym i dopuszczającego różne zakresy zmienności sił arcia kineycznego i saycznego. W innych bardziej ogólnych przypadkach, isonym dla meody redukcji (ale ylko redukcji przy M ) wydaje

13 Modelowanie i symulacja numeryczna procesów sick-slip się warunek wyznaczalności z zależności F TK (V) jej zależności odwronej V(F TK ). W przypadku charakerysyki z efekem Sribecka problem się komplikuje, niemniej jes rozwiązywalny z wykorzysaniem bardziej rozbudowanego opisu. 4. Procedury numeryczne symulacji procesów sick-slip Całkowanie numeryczne równań ruchu realizowane jes poprzez rozwiązanie ekwiwalennego układu równań sanu (równań pierwszego rzędu). Rozważmy zaem uogólniony model dynamiczny wyrażony przez układ równań sanu: ( ) x () = f x(),), gdzie: x wekor zmiennych sanu; czas; f... wekor funkcji prawych sron równań sanu. () Isnieje wiele algorymów numerycznego rozwiązywania równań sanu. Kluczowym algorymem jes u najprosszy algorym eksrapolacyjny Eulera, jako że wiele innych bardziej wyrafinowanych algorymów wykorzysuje go, czy o do obliczeń pomocniczych w każdym kroku (jak ma o miejsce w algorymach Runge-Kuy), czy nawe do obliczeń zasadniczych w krokach sarowych. Znaczenie algorymu eksrapolacyjnego Eulera wynika z faku, iż jes o algorym samosarujący oraz niewymagający dodakowych obliczeń ieracyjnych. Przy zasosowaniu ego algorymu rozwiązanie w chwili n jes zależne od rozwiązania w chwili n- w nasępujący sposób: ( ) x( ) = x( ) +Δ f x( ), gdzie Δ =. n n n n n n n n ( n ) Lokalny błąd obcięcia algorymu eksrapolacyjnego Eulera można oszacować jako o ( ) O ( ) ε n = Δ z zasrzeżeniem, że doyczy o syuacji, gdy isnieją pochodne funkcji prawych sron rzędu pierwszego. W przypadku gdy akie pochodne nie isnieją (nieliniowości progowe w modelu sick-slip) oszacowanie jes o o rząd niższe i wynosi ε ( n) = O( Δ n), co oznacza, że dąży do zera co najmniej ak szybko, jak krok obliczeń. Mankamenem algorymu eksrapolującego Eulera okazuje się znaczna podaność na przenoszenie błędu, jeśli ylko krok obliczeń nie jes dosaecznie mały. Badania opare na liniowym modelu wzorcowym wykazują, że dla zapewnienia sabilności numerycznej konieczne jes sosowanie kroków obliczeń spełniających warunek Δ < T, gdzie T min oznacza najmniejszą sałą czasową modelu. n min

14 3 D. Żardecki Wykorzysując algorym do układu z arciem, należy zwrócić na ę kwesię szczególną uwagę, wykonując esy i dobierając paramery numeryczne. Algorym eksrapolacyjny Eulera nie jes zaem w pełni zadowalający pod względem dokładności i sabilności. Jego zaleą jes niewąpliwa prosoa formuły, dzięki czemu unika się dodakowych obliczeń i ewenualnych wynikających z ego zaburzeń numerycznych, kóre w układach z nieliniowościami progowymi mogłyby powodować chaos numeryczny. Problemaykę symulacji numerycznej procesów sick-slip przedsawimy na przykładach odnoszących się do modelu dwumasowego oraz jednomasowego. Układ dwumasowy Wprowadzamy wekor zmiennych sanu x z x z =, x3 z x z 4 co oznacza akże x z x z =. x 3 z x z 4 Po sprowadzeniu do posaci równań sanu, model procesu sick-slip w układzie dwumasowym sanowią równania sanu (w ym przypadku równania, w kórych czas wysępuje jawnie w wymuszeniach F (), F ()): gdzie () x f ()... ()... ()... ()... x f = x 3 f3 x 4 f4 f... = x, ( F FTK ( x x4 ) gdy x x4 M f ()... = F + F MF MF + luz, F gdy x x4 =, M M M M M + +

15 Modelowanie i symulacja numeryczna procesów sick-slip... 3 f f () = x, ( F + FTK ( x x4 ) gdy x x4 M = F + F MF MF luz, F gdy x x4 =. M M M M M + + ()... Odnosząc e równania do algorymu eksrapolacyjnego Eulera i wprowadzając paramer δ jako zero numeryczne serujące zmianą srukury, orzymujemy: gdzie f (.., ) n f (.., ) 4 n x ( ) x ( ) x ( ) n n n x( ) (.., n x ( ) f n n ) = +Δ n x3( ) 3( ) x3( n ) n x n x4( ) 4( ) f4(.., n x n n ) ( F( n ) FTK( x( n ) x4( n ) ) gdy x( n ) x4( n ) > δ M = ( F( n ) + F( n ) ) MF ( n ) MF ( n ) + luz, F gdy x( n ) x4( n ) δ, M M M M M + + ( F( n ) + FTK( x( n ) x4( n ) ) gdy x( n ) x4( n ) > δ M = ( F( n ) + F( n ) ) MF ( n ) MF ( n ) luz, F gdy x( n ) x4( n ) δ. M M M M M + + Gdy znamy warunki począkowe oraz przebiegi wymuszeń od chwili począkowej, obliczenia przebiegają w sposób rekurencyjny. Układ jednomasowy Wprowadzamy wekor zmiennych sanu x z x z =, x z co oznacza akże. = x z Po sprowadzeniu do posaci równań sanu model procesu sick-slip w układzie jednomasowym sanowią równania sanu z wymuszeniem F():,

16 3 D. Żardecki TK ( ) ( ) x x F F x gdy x, gdzie f(...) x = f(...) = luz F, F gdy x =. Odnosząc e równania do algorymu eksrapolacyjnego Eulera, orzymujemy: x( n) x( n ) x( n ) n, x( ) = n x( ) +Δ n f(., ) n F ( n ) FTK( x( n ) ) gdy x( n ) > δ gdzie f(.., n ) = luz( F( n ), F) gdy x( n ) δ. Podane wyżej zależności określają algorym rekurencyjnego wyznaczania rozwiązania. Dobór kroku Δ n oraz parameru zera numerycznego δ, jakie wysępują w procedurach symulacyjnych procesów sick-slip, należy przeprowadzić mając na uwadze przede wszyskim błędy numeryczne generowane w ooczeniu punku progowego. Wówczas o dochodzi do najbardziej gwałownych w czasie oddziaływań i model jes najbardziej wrażliwy na zmianę warunków począkowych. W doborze warości paramerów Δ n oraz δ nieodzowne są rozległe esy numeryczne. W celu uławienia oprogramowania symulacyjnego wykorzysującego apara maemayczny odwzorowań luz( ) i ar( ) przygoowano biblioekę procedur (LUZTAR) w sysemie Malab-Simulink. luz(, x a) ar(, x a) -mas M.Tar Rys. 7. Wybrane moduły obliczeniowe biblioeki LUZTAR: ar(x, a), luz( ), -mas M.Tar (moduł symulacyjny procesu sick-slip w układzie jednomasowym)

17 Modelowanie i symulacja numeryczna procesów sick-slip Kluczowy dla zasosowań moduł symulacyjny -mas M.Tar poddano rozległym esom numerycznym pod kąem właściwego doboru paramerów numerycznych, a akże pod kąem wyboru algorymu całkowania numerycznego. W wyniku badań porównawczych, w kórych realizowano obliczenia kolejno z różnymi algorymami całkowania równań, powierdzono przydaność procedury oparej na meodzie eksrapolacyjnej Eulera. Opracowane moduły zosały użye w programach obliczeniowych, m.in. do symulacji procesów sick-slip zachodzących w samochodowych układach kierowniczych. Tesy numeryczne procedur oraz badania symulacyjne nieliniowej dynamiki układów kierowniczych z uwagi na luzy i arcia są szeroko naświelone w monografii (Żardecki [8]). 5. Uwagi końcowe Meoda modelowania procesów sick-slip opara na odwzorowaniach luz( ) i ar( ) dopuszcza sosowanie dowolnych przedziałami liniowych charakerysyk arcia. Za sprawą aparau maemaycznego odwzorowań redukcje modeli mogą być przeprowadzane w sposób parameryczny. Opracowane modele sick-slip mają zwarą przejrzysą formę przysającą do algorymu eksrapolacyjnego Eulera. Arykuł wpłynął do redakcji.7.9 r. Zweryfikowaną wersję po recenzji orzymano w październiku 9 r. LITERATURA [] V. Acary, B. Brogliao, A. Danilidis, C. Lemarechal, On he Equivalence Beween Complemenariy Sysems, Projeced Sysems and Unilaeral Differenial Inclusions, Rappor INRIA, 57, 4. [] D. Baraff, Fas Conac Force Compuaion for Non-penering Brigid Dobies, Kompuer Graphics Proceedings, Annual Conference Series, 994, [3] W. Blajer, A. Markiewicz, The effec of fricion on mulibody dynamics, European Journal of Mechanics, A/Solids, 4, 5, 995, [4] B. Brogliao, A. A. T. Dam, L. Paoli, F. Geno, M. Abadie, Numerical simulaion of finie dimensional mulibody nonsmooh mechanical sysem, Aplied Mechanical Review, 55,,, 7-5. [5] W. Borkowski, D. Żardecki, Modelowanie procesów dynamicznych w szeregowym układzie reologicznym, w kórym wysępują arcia pomiędzy obudową i elemenami ruchomymi, Biul. WAT, 9, 998, [6] W. Grzesikiewicz, Dynamika układów mechanicznych z więzami, Prace Naukowe Poliechniki Warszawskiej, Mechanika, 7, 99.

18 34 D. Żardecki [7] W. Grzesikiewicz, A. Wakulicz, Meody numeryczne wyznaczania sił arcia suchego w amoryzaorach pociągu, Prace Naukowe Poliechniki Warszawskiej, Mechanika, 63, 979, [8] A. Harlecki, Meoda analizy dynamicznej układów wieloczłonowych z arciem suchym w parach kinemaycznych, Zeszyy Naukowe ATH, Bielsko-Biała, Monografia,. [9] R. A. Ibrahim, Fricion-induced vibraion, chaer, squeal, and chaos, Par I: Mechanics of conac and fricion, Par II: Dynamics and modeling, Applied Mechanical Review, 47, 7, 994, [] D. Karnopp, Compuer Simulaion of Sick-Slip Fricion on Mechanical Dynamic Sysems, Transacions of he ASME, Journal of Dynamic Sysems, Measuremen, and Conrol, 7, March 985, -3. [] R. I. Leine, D. H. Van Campen, A. De Kraker, Sick-Slip Vibraions Induced by Alernae Fricion Models, Nonlinear Dynamics, 6, 998, [] F. Pfeiffer, C. Glocker, Mulibody Dynamics wih Unilaeral Conacs, Willey&Sons, N. York, 996. [3] D. E. Sewar, Rigid-Body Dynamics wih Fricion and Impac, SIAM Review, 4,,, [4] D. Żardecki, Odwzorowania luz(...) i ar(...) - podsawy eoreyczne oraz koncepcja zasosowań w modelowaniu dyskrenych układów mechanicznych zawierających luzy bądź arcia, Biul. WAT, 5, 5,, 5-6. [5] D. Żardecki, Piecewise Linear luz(...) and ar(...) Projecions. Par : Theoreical Background. Par : Applicaion in Modeling of Dynamic Sysems wih Freeplay and Fricion, Journal of Theoreical and Applied Mechanics, 44,, 6, 63-84, 85-. [6] D. Żardecki, Piecewise Linear Modeling of Fricion and Sick-Slip Phenomenon in Discree Dynamical Sysems, Journal of Theoreical and Applied Mechanics, 44,, 6, [7] D. Żardecki, Saic fricion indeerminacy problems and modeling of sick-slip phenomenon in discree dynamic sysems, Journal of Theoreical and Applied Mechanics, 45,, 7, [8] D. Żardecki, Modelowanie luzu i arcia opare na odwzorowaniach luz( ) i ar( ) podsawy eoreyczne i zasosowanie w symulacji drgań nieliniowych w układach kierowniczych samochodów, rozprawa habiliacyjna, Wyd. WAT, Warszawa, 7. D. ŻARDECKI Modelling and numerical simulaion of sick-slip phenomena wih luz( ) and ar( ) projecions Absrac. The paper describes a mehod of modelling and simulaion of sick-slip phenomena in mulibody mechanical sysem wih fricion. The mehod bases on special piecewise-linear luz( ) and ar( ) projecions and heir original mahemaical apparaus. The models are ransparen, easy o use in MBS (Mulibody Sysems) sofware wih sandard ODE (Ordinary Differenial Equaions) procedures. Keywords: heoreical mechanics, mulibody sysems wih fricion, sick-slip, mahemaical modelling, piecewise linear projecions, simulaion, numerical procedures Universal Decimal Classificaion: 53.43