Dynamiczne modele liniowe w badaniach okresowych

Transkrypt

1 Dynamiczne modele liniowe w badaniach okresowych Katedra Statystyki UE w Poznaniu

2 O czym będzie mowa? badamy zmienność pewnego parametru w czasie w pewnej populacji co pewien okres losujemy próbę na podstawie próby szacujemy badany parametr precyzja oszacowania zależy od wielkości próby co, gdy mamy za małą próbę?

3 Dynamiczne modele liniowe (DLM) Specyfikacja modelu gdzie Y t = F tθ t + ε t ε t N(0, σ 2 ε,t) - równanie pomiaru θ t = G tθ t 1 + η t η t N(0, W t) - równanie przejścia Y t - obserwowana wartość szeregu czasowego θ t - nieobserwowany wektor parametrów stanu F t i G t - wektor i macierz znanych współczynników liniowych ε t - zm. los. opisująca zmienność nieopisana przez parametry stanu / błąd obs. η t - wektor losowy opisujący stratę w czasie informacji o wartości wektora θ t W t - macierz kowariancji macierzy wektora losowego η t

4 Dynamiczne modele liniowe (DLM) Filtr Kalmana - filtrowanie D t informacje dostępne w okresie t, θ t D t N(m t, C t) prognoza 1 krok naprzód wektora θ t+1 na podstawie informacji D t ma rozkład normalny z parametrami: a t+1 = E(θ t+1 D t) = G t+1m t Z t+1 = Var(θ t+1 D t) = G t+1c tg t+1 + W t+1 prognoza 1 krok naprzód Y t+1 na podstawie informacji D t ma rozkład normalny z parametrami: f t+1 = E(Y t+1 D t) = F t+1a t Q t = Var(Y t+1 D t) = F t+1z t+1f t+1 + σ 2 ε,t+1

5 Dynamiczne modele liniowe (DLM) Filtr Kalmana - filtrowanie cd. D t+1 = {D t, Y t+1} informacje dostępne w okresie t oszacowanie wektora θ t+1 na podstawie informacji D t+1 ma rozkład normalny z parametrami: m t+1 = E(θ t+1 D t+1) = a t + Z t+1f t+1q 1 t+1(y t+1 f t+1) C t+1 = Var(θ t+1 D t+1) = Z t+1 Z t+1f t+1q 1 t+1f t+1z t+1 Potrzebna jest macierz W t Można ją oszacować za pomocą Metody Największej Wiarygodności

6 Dynamiczne modele liniowe Filtr Kalmana - filtrowanie cd. Źródło: Solhjell Ida Kjersem [2009] Bayesian Forecasting and Dynamic Models Applied to Strain Data from Gota River Bridge

7 Dynamiczne modele liniowe Filtr Kalmana - wygładzanie Jeżeli θ t+1 D t N(s t+1, S t+1, wtedy θ t D t N(s t, S t), gdzie: s t = m t + C tg t+1r 1 t+1(s t+1 a t+1) S t = C t + C tg t+1r 1 t+1(s t+1 R t+1)r 1 t+1g t+1c t

8 Idea wykorzystania DLM w badaniach okresowych Niech Y t - badany parametr populacji Ŷ t - oszacowanie bezpośrednie parametru populacji e t - błąd oszacowania, e t N(0, V t), V t = Var(Ŷ t) Wtedy Ŷ t = Y t + e t (1) Załóżmy, że: Y t = F tθ t + ε t ε t N(0, σε,t) 2 (2) θ t = G tθ t 1 + η t η t N(0, W t) (3) (2)-(3) (1), stąd Ŷ t = F tθ t + ε t + e t = F tθ t + v t v t N(0, σv 2 V t), σv 2 1 (4) θ t = G tθ t 1 + η t η t N(0, W t) (5)

9 Przykład Dane dane jednostkowe z Badania Aktywności Ekonomicznej Ludności Populacja osoby biorące udział w BAEL-u Badany parametr miesięczna stopa bezrobocia Y t = NB t N A t N B t N A t - liczba osób bezrobotnych w miesiącu t - liczba osób aktywnych zawodowo w miesiącu t Losowanie próby proste bez zwracania, wielkość próby - 500

10 Przykład Oszacowanie bezpośrednie Ŷ t = nb t n A t n B t n A t - liczba osób bezrobotnych w próbie wylosowanej w miesiącu t - liczba osób aktywnych zawodowo w próbie wylosowanej w miesiącu t Precyzja oszacowania bezpośredniego V t = (Nt nt )nt nt Var(Ŷt) B (na t nb t ) N t (n t 1) (nt A)3 N t - wielkość populacji w miesiącu t n t - wielkość próby wylosowanej w miesiącu t Var(Ŷt) Var(Ŷt ) Y t 0.125

11 Przykład Ŷ t = Y t + e t = e t N(0, σe,t) 2 = L t + S t + ε t + e t = ε t N(0, σε,t) 2 = L t + S t + v t v t = e t + ε t N(0, σv 2 V t) e t - błąd oszacowania, ε t - reszta modelu L t = L t 1 + R t 1 R t = R t 1 + ω R,t E(ω R,t ) = 0 Var(ω R,t ) = σ 2 R trend lokalnie liniowy S t = 6 j=1 St,j S t,j = cos ( ) jπ St 1,j + sin ( ) jπ 6 6 S t 1,j + ω S,t,j St,j = sin ( ) jπ St 1,j + cos ( ) jπ 6 6 S t 1,j + ωs,t,j E(ω S,t,j ) = E(ωS,t,j) = { 0 σ Cov(ω S,t,j, ωs,t,j ) 2 = S,j, t = t, j = j 0, wpp sezonowość trygonometryczna

12 Dynamiczne modele liniowe F t = (1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1) θ t = (L t, R t, S t,1, St,1,..., S t,6) T G t = blockdiag(g ( ) R t, G S1 t,..., G S6 t ) 1 1 G R t = ( 0 1 ) cos(jπ/6) sin(jπ/6) G Sj t = sin(jπ/6) cos(jπ/6) η t = (0, ω R,t, ω S,t,1, ωs,t,1,..., ω S,t,6) = Ŷt = Z t θ t + v t θ t = G t θ t 1 + η t

13 Dynamiczne Modele Liniowe w R Pakiet dlm Giovanni Petris, Sonia Petrone, Partizia Campagnoli [2007/2011] Dynamic Linear Models with R Giovanni Petris [2010] dlm - an R package for Bayesian analysis of Dynamic Linear Models

14

15 Dziękuję za uwagę