Ćwiczenie nr 4 WYZNACZANIE MOMENTU BEZWŁADNOŚCI WALCA Instrukcja dla studenta (wersja z dnia 20 VI 2018) A. Majhofer i R. Nowak
|
|
- Juliusz Wawrzyniak
- 5 lat temu
- Przeglądów:
Transkrypt
1 Ćwczene nr 4 WYZACZAIE MOMETU BEZWŁADOŚCI WALCA (wersja z dna VI 18) A. Majhofer R. owak WYMAGAIA TEORETYCZE ewtona równana ruchu bryły sztywnej. Średna ważona, nepewność zewnętrzna wewnętrzna, spójność danych. Defncja zmennej. Sformułowane metody najmnejszych kwadratów w przypadku znanych odchyleń standardowych oraz w przypadku neznanych, ale dentycznych. Wartość oczekwana warancja kombnacj lnowej statystyczne nezależnych zmennych losowych. Pearsona test zgodnośc modelowej zależnośc matematycznej modelowego rozkładu z danym dośwadczalnym. WSTĘP Celem ćwczena jest wyznaczene momentu bezwładnośc bryły o kształce zblżonym do walca (pełnego lub wydrążonego). Pomary pozwalają na wyznaczene momentu bezwładnośc walca na dwa sposoby. Perwszy sposób opera sę o pomary zależnośc położena walca od czasu podczas staczana go z równ pochyłej o znanym kące nachylena wyznaczene jego przyspeszena a stąd momentu bezwładnośc. Drug natomast polega na zmerzenu wymarów walca skorzystanu z teoretycznej zależnośc określającej moment bezwładnośc. Jak zwykle, poza samą wartoścą badanej welkośc, ustalmy także, jak dokładne tę wartość zmerzylśmy. Układ dośwadczalny wykorzystywany w ćwczenu prezentuj fotografa na Rys. 1. Rys.1. Wdok układu pomarowego (fot. T. owak) Pomary wykonują dwe osoby, wykorzystując do tego celu jedną równę, ale każda z osób wyznacza moment bezwładnośc przydzelonego jej walca. Przyspeszena a walca, o momence bezwładnośc I (względem os symetr) zewnętrznym promenu R, podczas staczana sę bez poślzgu z równ pochyłej o kące nachylena wynos mgr sn a, (1) mr I gdze m jest masą walca, a g przyspeszenem zemskm. adając wyrażenu na moment bezwładnośc postać I = mr, uzyskujemy g sn a. 1 W tym ćwczenu, w zakrese analzy danych, poznamy metodę najmnejszych kwadratów w zastosowanu do wyznaczane ocen parametrów zależnośc lnowej nepewnośc tych ocen. Poznamy także test zgodnośc postulowanej zależnośc funkcyjnej lub kształtu rozkładu prawdopodobeństwa z danym.
2 Zadane 1 (do domu do wykonana przed przystąpenem do pomarów) a) Wyprowadź równane (1). b) Wyprowadź wzór na współczynnk zdefnowany zwązkem I = mr dla jednorodnej powłok walcowej o mase m, promenu zewnętrznym R wewnętrznym r. Ile ten współczynnk wynos dla walca pełnego? c) ech symbol a oznacza długość podstawy równ, b jej wysokość, c jej długość, natomast jej kąt nachylena. Funkcję sn można wyznaczyć na trzy sposoby: sn b, sn c a, sn b, c c a b merząc dwe: (b,c), (a,c) lub (a,b) z trzech welkośc. Przypuśćmy, że każdą z długośc a, b c merzymy z taką samą nepewnoścą standardową u. Czy któraś z tych metod jest najlepsza, tj. pozwol wyznaczyć nepewność funkcj sn z najmnejszą nepewnoścą? POMIARY Masz do dyspozycj walec z metalu; suwmarkę pozwalającą na odczyt długośc z dokładnoścą do,1 mm; taśmę mernczą pozwalającą na odczyt długośc z dokładnoścą do 1 mm; równę pochyłą o regulowanym (w newelkm zakrese) kące nachylena; do równ przymocowane są dwe fotokomórk, które można wzdłuż nej przesuwać; walec, staczając sę z równ przysłanając perwszą z nch powoduje uruchomene pomaru czasu, a gdy dotrze do drugej ją przysłon, stosowany układ elektronczny zatrzymuje zegar wyśwetla, z dokładnoścą do,1 s, czas ruchu walca mędzy tym dwema fotokomórkam. Wykonane pomarów Podczas wykonywana pomarów pamętaj o szczegółowej dokumentacj, tj. o notowanu wszystkch nformacj mogących meć znaczene podczas analzowana uzyskanych wynków. Wytrzyj dokładne ręcznkem paperowym powerzchnę równ. Wypozomuj podstawę równ. Sprawdź, czy walec ne blokuje sę na szczyce równ walec przycśnęty do lstwy na szczyce równ pownen sam ruszać swobodne, bez popychana. Gdy tak ne jest, poproś asystenta prowadzącego ćwczene o nny walec. Przy każdym z nachyleń równ do pozomu zmerz wszystke nezbędne welkośc, które pozwolą C wyznaczyć kąt nachylena równ lub wybraną funkcję tego kąta. Oceń dokładność pomaru odległośc L mędzy fotokomórkam borąc pod uwagę ch rozmary, luzy umocowań dokładność taśmy mernczej. Zmerz wszystke nezbędne wymary walca. Wytrzyj dokładne ręcznkem paperowym walec jak równeż równę powtarzaj tę czynność za każdym razem przed rozpoczęcem ser pomarów przy nowej odległośc medzy fotokomórkam. Przy ustalonej odległośc mędzy fotokomórkam, wykonaj 1 pomarów czasu t staczana walca mędzy nm. Powtarzaj pomar dla różnych, łączne przynajmnej sedmu, odległośc L mędzy fotokomórkam. Zacznj od odległośc około 1 cm 15 cm. Fotokomórkę rozpoczynającą pomar czasu ustaw w odległośc 1 cm 15 cm od początku równ zmenaj jedyne położene fotokomórk kończącej czas pomaru. Pomary wykonaj dla dwóch różnych nachyleń równ. ezwykle stotnym jest, aby w momence, kedy uwalnamy walec pozwalamy mu na staczane sę, przylegał on całą swoją długoścą do ogranczena na szczyce równ. Gdy o to ne zadbamy, walec będze staczał sę pod katem do kerunku w dół wzdłuż równ wkrótce, natrafwszy w swym ruch na boczne krawędze równ, będze sę o ne objał. Spowoln to jego ruch doprowadz, w oczywsty sposób, do błędnej wartośc oceny momentu bezwładnośc. Aby tego unknąć, należy stanąć na przedłużenu równ, twarzą do jej szczytu. Walec należy docskać
3 w połowe jego długośc do blokady jednym palcem gdy jesteśmy gotow do pomaru, usunąć go zdecydowanym ruchem, bez poślzgu wzdłuż walca. Każdy pomar, w którym dostrzeżemy uderzene walca w boczną krawędź równ nm mne on dolną fotokomórkę, należy powtórzyć. W celu zmnmalzowana groźby takch błędów, dolną fotokomórkę ne należy ustawać dalej nż 1 m od szczytu równ. Gdy walec mne fotokomórkę zatrzymującą pomar czasu postaraj sę go złapać ne pozwalaj na to, by walec po stoczenu sę dół uderzał o ogranczene na dole równ. Powoduje to drgana całej równ, które mogą doprowadzć do przesunęć fotokomórek. Gdy pomar wykonywany jest w parach, to jedna osoba uruchama walec, a druga obsługuje zegar zapsuje zmerzony czas. Tak zebrane dane należą do osoby, która uruchama walec. AALIZA DAYCH a strone, z której pobrałaś/pobrałeś nnejszą Instrukcję, znajduje sę arkusz kalkulacyjny do programu Calc paketu Lbre Offce/Open Offce przygotowany do wykonana oblczeń będących przedmotem ponższych zadań. Arkusz ten lub równoważny będze nezbędny podczas ćwczeń rachunkowych może być pomocny podczas przygotowywana raportu końcowego. Jeśl masz własny komputer, możesz z nm przyjść na ćwczena rachunkowe, w przecwnym przypadku będze można skorzystać z jednego z komputerów na Pracown. Pamętaj jednak, że na Pracown ne ma dostępu do nternetu, węc arkusz kalkulacyjny mussz przyneść na zajęca na urządzenu pamęc zewnętrznej (typu pen-drve, do wypożyczena w sekretarace Pracown). Zadane (obowązkowe do domu do wykonanu przed ćwczenam rachunkowym) Uzupełnj w arkuszu wszystke brakujące dane. Jeśl uznasz to wygodnym, przepsz je do nstrukcj. Wykonaj punkt a) w Zadanu 5. Wykonaj punkt c) oraz d) w Zadanu 6. W nnejszym ćwczenu zajmujemy sę zagadnenam, których wspólnym manownkem jest suma kwadratów reszt zastosowanu tego podejśca do oceny welkośc fzycznej metodą średnej ważonej, ocen parametrów ln prostej metodą najmnejszych kwadratów zagadnenem testów statystycznych operających sę na rozkładze. Głównym celem zadań rachunkowych rozważanych ponżej jest opanowane zwązanych z tym technk rachunkowych. Głębszy wgląd w teoretyczne aspekty metody najmnejszych kwadratów pojaw sę w następnym ćwczenu. Przykłady lczbowe berzemy z Ćwczeń 1. Celowo ne odwołujemy sę do danych uzyskanych w częśc pomarowej obecnego ćwczena, gdyż w obecnym ćwczenu wybór właścwej metody analzy danych pozostawamy Tobe, a ćwczena rachunkowe mają C w tym wyborze dopomóc. Trafność tego wyboru będze ocenaną częścą raportu końcowego. ŚREDIA WAŻOA Zadane 3 (na ćwczenach) Tabela 1 podaje wynk pomaru gęstośc (Ćwczene ) uzyskane przez autorów nstrukcj. Posługując sę średną ważoną, wyznacz najlepszą ocenę gęstośc nepewność tej oceny. Skąd borą sę te wzory? Skorzystaj z arkusza kalkulacyjnego odwzorowanej tam Tabel 1. metoda [g/cm 3 ] u [g/cm 3 ] Tabela 1. Wyznaczane średnej ważonej 1 u [cm 6 /g ] u [cm 3 /g] w [g/cm 3 ] w [g /cm 6 ] A,6776, , ,78 B,6966,61 66, ,97 C,68667,14 514, , suma = 5848, ,75 suma = = u nt = u ext = w w u 3
4 Przypomnamy nezbędne wzory. Jeżel ta sama welkość została zmerzona nezależnym metodam otrzymano wartośc x wraz z nepewnoścam u, to najlepszą oceną poszukwanej welkośc jest x w, a za oceny nepewnośc przyjmujemy wększą z wartośc u nt u ext, gdze: x 1 u nt x x w xw unt, u nt, uext, 1 u u 1 u Dyskusja wyboru nepewnośc zostane przeprowadzona na wykładze. Zadane 4 (do domu dla trenngu) Pewen teoretyczny model głos, że dwa parametry: a oraz b uważane dotychczas za nezależne służące do opsu klasy zjawsk, których tenże model ma jakoby dotyczyć, mają tą samą wartość. W celu sprawdzena modelu wykonano eksperyment w dwu nezależnych pomarach znalezono wartośc parametrów: a = 1,,4 oraz b =,3,3. Co możesz powedzeć na temat słusznośc modelu, przyjmując, że każdy z pomarów opsany jest rozkładem normalnym? Jeśl uznasz słuszność modelu, jak wyznaczysz najlepszą eksperymentalną wartość postulowanego parametru jego nepewność? METODA AJMIEJSZYCH KWADRATÓW I TEST ZGODOŚCI DOPASOWAIA Jeden z przykładów zastosowana metody najmnejszych kwadratów napotykamy, gdy wyznaczamy krzywą kalbrującą układu pomarowego, kedy to wzorcujemy nasz układ, badając jego odpowedź na dokładne znany bodzec. Odpowada to sytuacj, w której dla dokładne znanej wartośc zmennej nezależnej x, wykonywany jest pomar zmennej zależnej = ax + b, w którego wynku otrzymujemy wartość y z nepewnoścą u (Zadane 5). W praktyce najczęścej spotykamy jednak problemy, w których obe wartośc: x oraz y są wyznaczane z nepewnoścam. Aby wtedy zastosować omawany w nnejszym ćwczenu warant metody najmnejszych kwadratów, za zmenną nezależną przyjmujemy welkość znaną dokładnej (Zadane 6). Zadane 5 (na ćwczenach) W Tabel podane są wynk pomarów wydłużena sprężyny pod wpływem zaweszanych na nej cężarków. Masy cężarków znane są bardzo dokładne, a wydłużene merzone było taśmą stalową z podzałką mlmetrową. Prawo Hooke a przewduje, że wydłużene sprężyny jest proporcjonalne do dzałającej sły, a węc w naszym przypadku do masy zaweszonych cężarków. Tabela. Wynk pomarów wydłużena sprężyny masa m [g] 65,1 118,47 171,59 4,75 78,7 wydłużene L [mm] Uwaga: Informacja o dokładnośc pomaru L (taśma z podzałką mlmetrową) tej samej dla wszystkch punktów, wyznacza ocenę wkładu dokładnośc przyrządu do nepewnośc pomaru. W ponższej analze ocenmy nepewnośc standardowej pomaru wydłużena na podstawe rozrzutu s (patrz nżej) punktów wokół dopasowywanej zależnośc funkcyjnej, której postać (lnowy charakter) uznajemy za ścsłą. Uzyskaną wartość nepewnośc należy porównać z wkładem od dokładnośc przyrządu. a) arysuj na paperze mlmetrowym wykres danych z Tabel na paperze. Sprawdź, za pomocą lnjk, czy dane układają sę na ln prostej, a jeśl tak, to wyznacz oceny parametrów tej prostej z wykresu. b) Poneważ ne wadomo na le ścśle podane wydłużena odnoszą sę do pomarów od długośc swobodnej sprężyny, przyjmj, że poszukwana zależność mędzy długoścą sprężyny a zaweszoną na nej masą ma postać L = am + b. Załóż też, że wszystke wartośc mas, jako wartośc wzorcowe, znane są dokładne, a pomary wydłużena wykonano z takm samym, neznanym, odchylenem standardowym. Sformułuj zagadnene wyznaczena ocen neznanych 4
5 współczynnków a b metodą najmnejszych kwadratów: podaj postać wyrażena, które ma osągnąć mnmalną wartość wyjaśnj względem jakch welkośc ma być ono mnmalzowane. c) Wyznacz oceny â ˆb parametrów a b oraz nepewnośc tych ocen. Skorzystaj z arkusza kalkulacyjnego odwzorowanej tam Tabel 3. Dla przypomnena podajemy stosowne wzory: m [g] L Lm m 1 aˆ, bˆ L am ˆ, m, m L L 1 1 m m s 1 s L am b s s m s m m ˆ ˆ, a, b a, 1 1 m m 1 Tabela 3. Schemat oblczeń przy wyznaczanu zależnośc lnowej L = am + b L [mm] m m m [g] Zdefnowana welkość s jest nepewnoścą standardową wydłużena ocena ona neznane odchylene standardowe w pomarze wydłużena sprężyny. Welkość s uzyskujemy ze średnego rozrzutu punków wokół założonej zależnośc funkcyjnej, zawerającej dwa swobodne parametry. Parametry te znajdujemy z dwóch równań metody najmnejszych kwadratów, które to równana wprowadzają dwa węzy łączące wszystke wartość y, co powoduje, że mamy jedyne nezależnych wynków stąd czynnk w manownku. UWAGA. Podejśce to zakłada, że badana zależność ma faktyczne postać L = am + b. d) a podstawe wynków oblczeń rozstrzygnj, stosując test 3, czy wydłużene merzono od długośc swobodnej sprężyny. e) Jeśl uznałaś/uznałeś, że wyraz wolny dopasowanej zależnośc lnowej jest zgodny z zerem, to sformułuj problem wyznaczena oceny neznanego współczynnka A w zależnośc L = Am metodą najmnejszych kwadratów: podaj postać wyrażena, które ma być mnmalzowane wyjaśnj względem jakch welkośc. Przyjmj, jak poprzedno, że wszystke wartośc mas, jako wartośc wzorcowe, znane są dokładne, a pomary wydłużena wykonano z takm samym, neznanym, odchylenem standardowym. f) Wyznacz ocenę Â neznanego parametru A nepewność tej oceny. Skorzystaj ze wzorów: L L L [mm] m L [gmm] ml ˆ s 1 A s s L Am 1,, ˆ A 1 1 m m 1 1 Welkość s nterpretujemy analogczne jak w punkce c). W oblczenach wzoruj sę na Tabel 4. Zadane 6 (na ćwczenach) W Ćwczenu 1, badając drgana wahadła, wyznaczyłaś/wyznaczyłeś pęcokrotne czas trwana 1 okresów dla klku różnych jego długośc. Dane te wykorzystamy teraz, aby za pomocą (m ) [g ]. m [g ] 65, ,34 118, ,148 11,4 5973,838 84, ,14 171,59 365,8,4,11,8 9443,13 4, ,13 113,6 635,795 83,94 551,56 78, ,45 6,6 41,3 1133,83 773,9 858,9 187 suma suma ,9 171, ,4 średna m 35113, aˆ sa bˆ s b s =,, L ˆ ˆ am b [mm ] na stopeń swobody
6 Tabela 4. Schemat oblczeń przy wyznaczanu zależnośc proporcjonalnej L = am m [g] L [mm] m L [gmm] m [g ] ˆ 65, ,98 45,34 118, , ,14 171, , ,13 4, ,5 551,56 78, ,44 773,9 sumy , ,1 Aˆ s A s = metody najmnejszych kwadratów wyznaczyć wysokość punktu zaweszena wahadła nad podłogą. Jak wadomo, dla małych wychyleń, okres drgań T wahadła o długośc L wynos L T, g gdze g to przyspeszene zemske. Jeśl wprowadzmy welkośc: H wysokość punktu zaweszena wahadła nad podłogą, h wysokość środka cężkośc wahadła na podłogą, kedy to L = H h, a wtedy znajdzemy, że: 4 4 H 4 T H h czyl ahb, gdze T, b, a. g g g Wdzmy, że wprowadzene welkośc zadanej kwadratem okresu pozwolło zapsać relację mędzy okresem a wysokoścą wahadła nad podłogą w prostszej postac. W naszym dośwadczenu zarówno welkość h jak pochodzą z pomaru, węc równe dobrze możemy rozważać zależność: g g h H T czyl h c d, gdze d H, a 4 4. Decyzja o wyborze dopasowywanej formy zależnośc wymaga stwerdzena, czy merzony był dokładnej kwadrat okresu czy wysokość. W tym celu: a) wyznacz nepewnośc u T pomaru okresu dla każdej z wysokośc kul wahadła nad podłogą; b) wyznacz wynkające z nch nepewnośc u kwadratów okresów; c) skorzystaj z Tabel 5 wykonaj na paperze mlmetrowym wykres zależnośc T od h; d) oszacuj wartość a współczynnka a zależnośc lnowej = ah + b na podstawe wykresu; e) porównaj przenesone wartośc = a u h nepewnośc u h z wartoścą u. Jeśl << u, to za zmenną nezależną możemy przyjąć h. Korzystając z arkusza kalkulacyjnego, uzupełnj odwzorowaną tam Tabelę 5 (tabela zawera dane uzyskane przez autorów nstrukcj) podejmj decyzję. Uwaga: W tabel przyjęlśmy dopuszczalny błąd granczny wskazań stopera t =, s (jak nektórzy z Państwa zaobserwowal, stoper ne wyśwetlał wszystkch możlwych wartośc). Zauważmy, że w wynku takej analzy może sę zdarzyć, że np. wyznaczając współczynnk lnowej rozszerzalnośc ceplnej próbk metalu w kształce odcnka drutu analzując relację mędzy temperaturą a długoścą tego odcnka umeszczonego w kąpel z regulowaną temperaturą, będzemy musel przyjąć temperaturę jako zmenną zależną, a długość odcnka drutu jako zmenną nezależną, choć, jako żywo, nkt z nas ne powe, że długość drutu decyduje o temperaturze kąpel, w jakej jest on utrzymywany. Jak wdzmy, podejśce to gnoruje relację przyczynowośc mędzy zmennym bynajmnej ne śwadczy to przecw metodze. Jest to mmanentna cecha statystyk matematycznej ne wnka ona w relacje determnstyczne mędzy badanym welkoścam ona tylko opsuje obserwowany obraz, a decyzja o stnenu lub braku zwązków przyczynowych pozostawona jest w ręku badacza. f) Przyjmj, że dana jest sera zadanych dokładne znanych wartośc x zmennej nezależnej 6 L Am [mm ] na stopeń swobody
7 Tabela 5. Wyznaczane domnującej nepewnośc wysokość h kul wahadła nad podłogą [m],4,69 1,4 1,7 numer pomaru czas t dzesęcu kolejnych okresów [s] 1 34,8 3, 5,3,34 34,35 3,19 4,97, ,31 3,19 4,97, ,8 3,15 4,9, ,5 3,13 5,3,5 średna t 1 okresów [s] 34,94 3,176 4,98,3 nepewność st średnej t [s],16,41,3 dopuszczalny błąd granczny t [s],,,, nepewność u [s],197,67,34 t st t 3 okres T =t/1 [s] 3,176,498,3 nepewność u T = u t /1 [s],197,67,34 = T [s ] 9,1591 6,4 4,987 nepewność T : u = Tu T [s ],1191,1334,144 h =,3 m, a stąd u h [m],173,173,173,173 nepewność = a u h z przenesena [s ] oraz zmerzonych, w punktach x, wartośc y zmennej zależnej. W swym modelowym podejścu metoda najmnejszych kwadratów wymaga znajomośc odchyleń standardowych welkośc y (w praktyce zastępowane nepewnoścam standardowym u ). Sformułuj problem wyznaczena ocen neznanych współczynnków a b pełnej ln prostej = ax + b metodą najmnejszych kwadratów, co oznacza: podaj postać wyrażena, które ma osągnąć mnmalną wartość wyjaśnj względem jakch welkośc ma być ono mnmalzowane. W zadanu rolę zmennej nezależnej x odgrywa wysokość h kul wahadła nad podłogą. g) Oblcz metodą najmnejszych kwadratów oceny parametrów a oraz b ln prostej = ah + b oraz nepewnośc tych ocen. Skorzystaj z arkusza kalkulacyjnego odwzorowanej tam Tabel 6. Dla kompletu nformacj podajemy stosowane wzory: x xwy yw ˆ 1 aˆu, ˆ a b y,,, w axw ua u b xwua 1 u x x w 1 u 1 x 1 y 1 x 1 xw, y,,. w x w S S u S u S u u h) Przeprowadź Pearsona test zgodnośc zależnośc modelowej w postac ln prostej z danym. ) (Do domu dla trenngu) Jeśl test dopuszcza ops danych za pomocą ln prostej, to wykorzystując wartość przyspeszena zemskego w Warszawe, wyznacz ocenę wysokośc H punktu zaczepena kul nad podłogą wraz z nepewnoścą tej oceny. j) (Do domu dla trenngu) Jeśl test dopuszcza ops danych za pomocą ln prostej, to skorzystaj z ocen wartośc parametrów ln prostej podaj swoją ocenę wartośc przyspeszena zemskego w Warszawe oraz nepewność tej oceny, wynkającą z przeprowadzonego eksperymentu. k) Załóżmy, że dopasowywana zależność lnowa mędzy kwadratem okresu a wysokoścą kul wahadła nad powerzchną podłog jest poprawna, ne jesteśmy jednak przekonan co do poprawność naszych nepewnośc standardowych pomaru czasu. Sądzmy jedyne, że właścwe odzwercedlone są ch wzajemne stosunk, ale ne jest nam znany wspólny czynnk multplkatywny. Oznacza to, że faktyczne nepewnośc pomaru kwadratu okresu to ne u lecz welkośc w = zu, gdze z jest neznanym współczynnkem. Wyznacz ocenę współczynnka z. 7
8 8 Tabela 6. Schemat oblczeń dla zależnośc T = ah + b z uwzględnenem nepewnośc welkośc T welkość numer pomaru wysokośc h suma średna x [m] (x = h),4,69 1,4 1,7 y [s ] (y = T ) 9,1591 6,4 4,987 u [s ],1191,1334,144 1/u 751,7 5616, ,89 = S x /u 4865, , ,5 xw y /u 641, , , yw x = (x x w )/u y = (y y w )/u Przedstawone w tym punkce zagadnene może wydawać sę sztuczne w kontekśce nnejszego zadana. Bywa ono jednak często wykorzystywane w analze danych natknemy sę na przykład jego zastosowana w następnym ćwczenu. Zwracamy uwagę, że jest ono neco rozwnętą formą analzy przeprowadzonej w Zadanu 5, gdze nepewnośc pomaru długośc sprężyny były dentyczne w całośc neznane. Przypomnamy sposób postępowana przy wykonywanu Pearsona testu zgodnośc modelu wyrażonego zależnoścą matematyczną f(x;), gdze to zbór parametrów, do danych zadanych w postac zestawu wartośc (x, y ) zmennej nezależnej x zmennej zależnej wraz z wartoścam odchyleń standardowych welkośc y : ustalamy dopuszczalne prawdopodobeństwo odrzucena prawdzwej hpotezy (błędu perwszego rodzaju, zwanego też pozomem zgodnośc testu); mnmalzując ważoną sumę kwadratów reszt y f x; 1 względem parametrów, wyznaczamy oceny ˆk tych parametrów zależnośc matematycznej, które ne są częścą testowanej hpotezy; ustalamy lczbę = m stopn swobody, gdze m jest lczbą parametrów w zależnośc matematycznej, których wartośc zostały wyznaczone w poprzednm kroku; korzystając z DODATKU A, wyznaczamy wartość krytyczną kr, dla zadanego prawdopodobeństwa lczby stopn swobody; x y (x ) x /u 3357,3 118,6 7119,3 x w wynk: aˆ ua bˆ u b ˆ y ˆ ax b u wykorzystując wcześnej wyznaczone oceny ˆk parametrów, oblczamy wartość mnmalnej, ważonej sumy kwadratów reszt: y ˆ f x; ˆ ; 1 porównujemy uzyskaną wartość, jeśl spełnony jest warunek: z wartoścą kr,, to odrzucamy testowaną hpotezę jako nezgodną z obserwacjam. W przecwnym przypadku ne uważamy, że udowodnlśmy słuszność hpotezy, lecz jedyne kr = P =
9 godzmy sę z ną, jako nesprzeczną z obserwowanym danym. UWAGA 1. Stosując metodę najmnejszych kwadratów wykorzystującą odchylene standardowe, jak wykonując Pearsona test, na ogół ne znamy jej wartośc dlatego w praktyce w ch mejsce stosujemy oszacowana u, czyl nepewnośc standardowe wynków pomaru. Wprowadza to dodatkową neoptymalność otrzymanych ocen parametrów ocen ch nepewnośc, a w odnesenu do testu osłaba kategoryczność jego konkluzj. UWAGA. Można by sądzć, że m mnejszą wartość otrzymamy, tym bardzej warogodną jest testowana hpoteza, jako że dopasowywana zależność wydają sę dobrze odtwarzać dane dośwadczalne. e jest to jednak prawda, bo mała wartość podpowada nam, że dane ne fluktuują wokół wyznaczanej zależnośc w skrajnym przypadku, gdy dopasowana zależność przechodz dokładne przez punkty pomarowe, welkość przyjmuje wartość zero. Mała wartość sumy kwadratów reszt w mnmum jest mało prawdopodobna, a węc wnna wzbudzć naszą czujność. Typowo, wartość pownna być zblżona do lczby stopn swobody, gdyż każdy z nezależnych składnków sumy defnującej welkość ma wartość oczekwaną równą jednośc, a węc wartość pownna być zblżona do jednośc. Oczywśce, przy wyborze wartośc krytycznej dopuszczamy dużą, znaczne wększą od jedność wartość, kr, jako że chcemy zmnmalzować ryzyko odrzucena hpotezy prawdzwej. Ale, jeśl chcemy sę ustrzec przed sytuacją, w której wyznaczana krzywa zbyt dobrze podąża za punktam, pownnśmy z podejrzlwoścą odnosć sę także do wartośc kr, 1. Przyczyn takej relacj może być klka. W modelowym podejścu formuła na sumę kwadratów reszt używa odchyleń standardowych welkośc merzonych y w praktyce wykorzystujemy nepewnośc standardowe u przyczyną małej wartośc mogą być przeszacowane wartośc nepewnośc. Możlwe jest także, że zmerzone wartośc y ne są nezależne, a to oznacza, że formuła wyznaczająca welkość ( ) ne jest poprawne skonstruowana, co może prowadzć do zanżena wartośc. W końcu pownnśmy także zawsze rozważyć możlwość zmanpulowana danych. Zadane 7 (do domu dla trenngu) W Tabel 7 podane są długośc L (w tzw. jednostkach astronomcznych) połowy welkej os orbt kolejnych cał nebeskch w ch ruchu wokół Słońca (E. Rybka, Astronoma ogólna, PW, Warszawa 1983, s. 154). Odkryj regułę Ttusa Bodego: L = an + b, gdze n =,1,,4,8,16,, robąc wykres zależnośc L od n. Wykonując dopasowane parametrów a oraz b metodą najmnejszych kwadratów, pokaż, że ch wartośc w przyblżenu wynoszą: a =,3 oraz b =,4. Tabela 7. Odległośc, w jednostkach astronomcznych, cał nebeskch od Słońca Merkury Wenus Zema Mars Ceres Jupter Saturn Uran eptun Pluton,39,7 1 1,5,77 5, 9,54 19, 3,1 39,5 Zadane 8 (do domu dla trenngu) Pokaż, że przy dopasowanu zależnośc proporcjonalnej = Ax, gdy uzyskane w punktach x wartośc y, = 1,,...,, określone odchylenam standardowym, wzory pozwalające ocenć neznany współczynnk A odchylene standardowe A tej oceny, mają postać: ˆ xy 1 A A, A. 1 x 1 Zadane 9 (do domu dla trenngu) Pokaż, że podane we wcześnejszych zadanach wzory na oceny ch warancje neznanych współczynnków a oraz b zależnośc = ax + b można przedstawć w równoważnej postac 9
10 gdze: aˆ SS S S, bˆ S S S S, S, S xy x y xx y x xy a b xx n 1 n x n n n, x, x, y y, x xx xy y, xx x , S S S S S SS S jeśl wynk y pomarów welkośc charakteryzują sę odchylenam standardowym. Jeśl odchylena te są take same w każdy punkce pomarowym, wnoszą, ale są neznane, to wyrażena na oceny parametrów pozostają bez zmany, przy czym n n n n x xx xy y xx x , S, S x, S x, S x y, S y, S S a wyrażena na kwadraty nepewnośc ocen parametrów a oraz b przyjmują postać: s s sa, sb Sxx, gdze welkość s to wyznaczona z rozrzutu ocena odchylene standardowe każdego z wynków y : 1 s y ˆ ˆ ax b. 1 PEARSOA TEST ZGODOŚCI Z MODELOWYM ROZKŁADEM (ten materał jest nadobowązkowy jego realzacja pozostawona jest decyzj asystenta) W Ćwczenu 3 dowedzelśmy sę, jak należy porównywać grafczne (jakoścowo) rozkład modelowy z rozkładem dośwadczalnym. Teraz poszerzymy tę wedzę o przykład metody (testu) loścowego sprawdzana zgodnośc obu rozkładów. Wykorzystamy, najczęścej stosowany, Pearsona test zgodnośc modelowego rozkład. W rozważanach naszych odwołujemy sę do tych samych danych, które wykorzystalśmy przy porównanu grafcznym, tzn. porównamy modelowy rozkład Gaussa z rozkładem zebranych danych dośwadczalnych. Zadane 1 (na ćwczenach) Przyjmując, że wynk T pomaru okresu drgań wahadła podlegają rozkładow Gaussa z wartoścą oczekwaną = 3,448 s dyspersją =,456 s, przeprowadź test Pearsona zgodnośc tego modelu z danym dośwadczalnym. Skorzystaj z arkusza kalkulacyjnego odwzorowanej tam Tabel 8 oraz DODATKU B, gdze podane są wartośc całek rozkładu Gaussa. Tabela 8. Test zgodnośc Pearsona krawędź dolna T k [s] 3,35 3,4 3,45 3,5 krawędź górna T k + [s] 3,35 3,4 3,45 3,5 suma obserwowana lczba n k danych zmenna standaryzowana z k = (T k )/ 1,991,8947,18 dystrybuanta F(z k ) rozkładu Gaussa,33,1855,5799 z k + 1 = (T k + 1 )/,8947,18 1,98 F(z k + 1 ),1855,5799,99 p k = P(z k < z < z k + 1 ) = F(z k + 1 ) F(z k ),16,3945,33 oczekwana lczba ˆ pˆ danych 35,4 85,1 69,76 n pˆ pˆ k k 1,87,394,655 k k k Przypomnamy sposób postępowana przy wykonywanu testu Pearsona zgodnośc modelowego rozkładu prawdopodobeństwa f(x;), określonego zestawem neznanych parametrów = ( 1,,, m ) ne będących częścą hpotezy, z rozkładem dośwadczalnym: 1,
11 ustalamy dopuszczane prawdopodobeństwo odrzucena prawdzwej hpotezy (błędu perwszego rodzaju, zwanego też pozomem zgodnośc testu); dzelmy cały teoretyczny zakres wartośc zmennej losowej na n przedzałów [x k, x k + k ], k = 1,,, n, (nekoneczne tej samej długośc) tak, aby lczba k oczekwanych wynków w każdym z przedzałów była ne mnejsza nż 5 w praktyce zadowalamy sę zaobserwowaną lczbą n k danych w przedzale ne mnejszą nż 5; konstruujemy ważoną sumę kwadratów reszt n nk pk, k 1 pk gdze k ; 11 xkk p f x dx to prawdopodobeństwo znalezena wynku x pomaru w przedzale [x k, x k + k ], a jest całkowtą lczbą danych; mnmalzujemy tę sumę względem neznanych parametrów, wyznaczając w ten sposób poszukwane oceny ˆ tych parametrów rozkładu, które ne są częścą testowanej hpotezy; oblczamy lczbę stopn swobody = n 1 m, gdze n jest lczbą przedzałów, zaś m lczbą parametrów, których wartośc zostały wyznaczone zgodne z zarysowana wyżej procedurą; korzystając z DODATKU A, wyznaczamy wartość krytyczną kr, odpowadającą zadanemu prawdopodobeństwu lczbe stopn swobody; na podstawe modelu wyznaczonych bądź zadanych wartośc parametrów oblczamy ocenę pˆ ˆ k p k prawdopodobeństwa p k znalezena wartośc zmennej losowej w przedzale o numerze k; oblczamy ocenę oczekwanej lczby ˆ pˆ danych w przedzale o numerze k; k oblczamy wartość ważonej sumy kwadratów w mnmum; n ˆ n ˆ k pk ; k1 pˆ k porównujemy uzyskaną wartość, jeśl spełnony jest warunek kr, k xk z wartoścą, to odrzucamy testowaną hpotezę jako nezgodną z obserwacjam. W przecwnym przypadku ne uważamy, że udowodnlśmy, ż dane stotne pochodzą z rozważanego rozkładu modelowego, a jedyne, że ne mamy podstaw do odrzucena takego stwerdzena jako sprzecznego z danym dośwadczalnym. Oczywśce, tu także ma zastosowane UWAGA umeszczona w częśc odnoszącej sę do testu zgodnośc dopasowana o małej wartośc. Zadane 11 (do domu dla trenngu) Zgromadzono dane (B. G. Mason, D. M. Pyle, W. B. Dade, and T. Jupp, Seasonalty of volcanc eruptons, J. Geophys. Res., 19, (4), B46) dotyczące czasu wystąpena każdej z 338 erupcj wulkanu, jake pojawły sę w latach Wydarzena te, zgodne z datam ch wystąpena, rozłożono mędzy 1 mesęcy roku, przy czym słowo mesąc oznacza tu dokładne dwunastą część roku. Lczby erupcj w każdym mesącu przedstawa Tabela 9. Przyjmując wartość błędu perwszego rodzaju = 1%, zweryfkuj hpotezę o tym, że wulkany wybuchając, ne preferują żadnego z mesęcy. Tabela 9. Lczba erupcj wulkanów w mesącu mesąc I II III IV V VI VII VIII IX X XI XII lczba k erupcj kr
12 RAPORT KOŃCOWY Wynk pomarów, w postac plku tekstowego, plku do programu Excel paketu MS Offce lub plku do programu Calc paketu Lbre/Open Offce proszę przesłać e-malem prowadzącemu zajęca nezwłoczne po złożenu raportu. Raport będze czekał na sprawdzene, aż to uczynsz. Psane raportu rozpocznj od ponownego przeczytana w nstrukcj do Ćwczena 1 uwag o tym, jak należy sporządzać raport. 1. Wyznacz, wraz z nepewnoścą, ocenę współczynnka, jaka wynka z pomarów geometrycznych (wzór w Zadanu 1, punkt b)).. Przedyskutuj dokładność pomarów drog L czasu t w pomarach na równ. W szczególnośc porównaj udzał dokładnośc odczytu rozrzutu statystycznego w pełnej nepewnośc pomaru czasu. Zwróć uwagę na realstyczny dobór nepewnośc pomaru drog. 3. Wykonaj wykres zależnośc drog L(t) oraz welkośc (t) = L(t)/t dla każdego z kątów nachylena równ. Co sugerują C te wykresy? Jak charakter ruchu jaka postać zależnośc matematycznej drog od czasu wynka z przyjętego modelu teoretycznego? 4. Aby zastosować metodę najmnejszych kwadratów w celu wyznaczena neznanych parametrów wybranego modelu teoretycznego, ustal, którą ze zmennych należy wybrać jako zmenną nezależną (odwołaj sę do wynków uzyskanych w punktach. 3.). 5. Zdecyduj, którą wersję metody najmnejszych kwadratów wykorzystasz, aby ocenć te neznane parametry podaj postać mnmalzowanej funkcj zadbaj, aby wszystke występujące w nej welkośc były precyzyjne zdefnowane. 6. Stosując wybraną metodę wyznacz, dla każdego z kątów nachylena równ, oceny neznanych parametrów nepewnośc tych ocen, a także zweryfkuj, metodą testu Pearsona, zgodnośc wybranego modelu ruchu z danym. 7. Dla jednego z kątów nachylena równ narysuj, jako funkcję welkośc x, wykres reszt ˆ ˆ y ax b, czyl różnc wartośc zmerzonych wartośc oblczonych z dopasowana. 8. Wyznacz ocenę wartośc przyspeszena w badanym ruchu wraz z jej nepewnoścą dla obu kątów nachylena równ. Dla każdej z wartośc przyspeszena podaj odpowadającą jej ocenę parametru nepewność tej oceny. 9. Rozważ możlwość uzyskana najlepszej oceny parametru z nnejszego dośwadczena drogą uśrednana wartośc z pomarów na równ, a następne uśrednena z wartoścą z pomarów geometrycznych lub też drogą uśrednena wartośc z pomarów geometrycznych z jedną z wartośc z pomarów na równ, a następne uśrednena wynku z drugą wartoścą z pomarów na równ. 1. Jeśl któryś ze sposobów uśrednana jest neuzasadnony, wskaż przyczynę (lub przyczyny) dla każdej z nch oszacuj (co do rzędu welkośc) jej wkład w obserwowaną rozbeżność. Raport końcowy pownen zawerać wszystke surowe wynk pomarów, aby można było, bez odwoływan sę do zapsków sporządzonych w trakce wykonywan dośwadczena, powtórzyć wszystke oblczena sprawdzć ch poprawność. Raport należy oddać, wraz z ostemplowanym arkuszem otrzymanym przy przystępowanu do częśc pomarowej, w Sekretarace Pracown na następnych zajęcach, po zakończenu ćwczeń rachunkowych do nnejszego dośwadczena. W raporce możesz wykorzystać jedyne własne dane. Raport ne może uzyskać pozytywnej oceny końcowej, jeśl choć jedna z wartośc lczbowych jest błędna z powodu błędów rachunkowych bądź wyboru błędnej metody analzy! 1
13 DODATEK A WARTOŚCI KRYTYCZE ROZKŁADU Tabela ponżej podaje wartośc krytyczne, kr zmennej dla nektórych wartośc ryzyka błędu perwszego rodzaju oraz lczb stopn swobody. Prawdopodobeństwo błędu perwszego rodzaju Wartośc krytyczne, 13 kr dla podanych lczb stopn swobody = 1 = = 3 = 4 = 5 = 6 = 7 = 8 = 9 = 1,1 1,83 13,8 16,7 18,47,51,46 4,3 6,1 7,88 9,59,3 9, 11,83 14,16 16,5 18,1,6 1,85 3,57 5,6 6,9,5 7,88 1,6 1,84 14,86 16,75 18,55,8 1,95 3,59 5,19,1 6,63 9,1 11,35 13,8 15,8 16,81 18,47,9 1,67 3,1,5 3,84 5,99 7,8 9,49 11,7 1,59 14,7 15,51 16,9 18,31,1,71 4,61 6,5 7,78 9,4 1,64 1, 13,36 14,68 15,99 Prawdopodobeństwo błędu perwszego rodzaju Wartośc krytyczne, kr dla podanych lczb stopn swobody = 11 = 1 = 13 = 14 = 15 = 16 = 17 = 18 = 19 =,1 31,6 3,91 34,53 36,1 37,7 39,5 4,79 4,31 43,8 45,31,3 8,51 3,1 31,66 33, 34,71 36, 37,7 39,17 4,63 4,8,5 6,76 8,3 9,8 31,3 3,8 34,7 35,7 37,16 38,58 4,,1 4,73 6, 7,69 9,14 3,58 3, 33,41 34,81 36,19 37,57,5 19,68 1,3,36 3,68 5, 6,3 7,59 8,87 3,14 31,41,1 17,8 18,55 19,81 1,6,31 3,54 4,77 5,99 7, 8,41 Prawdopodobeństwo błędu perwszego rodzaju Wartośc krytyczne, kr dla podanych lczb stopn swobody = 1 = = 3 = 4 = 5 = 6 = 7 = 8 = 9 = 3,1 46,8 48,7 49,73 51,18 5,6 54,5 55,48 56,89 58,3 59,7,3 43,5 44,94 46,36 47,76 49,16 5,55 51,93 53,31 54,68 56,4,5 41,4 4,8 44,18 45,56 46,93 48,9 49,65 5,99 5,34 53,67,1 38,93 4,9 41,64 4,98 44,31 45,64 46,96 48,8 49,59 5,89,5 3,67 33,9 35,17 36,4 37,65 38,89 4,11 41,34 4,56 43,77,1 9,6 3,81 3,1 33, 34,38 35,56 36,74 37,9 39,9 4,6 Uwaga: jeśl dysponujemy oprogramowanem, który umożlwa wyznaczane całek rozkładów prawdopodobeństwa, lepej jest, w mejsce wartośc krytycznej, podawać tzw. wartość p testu, czyl prawdopodobeństwo p, że zmenna u = przyjme wartość wększą nż wartość uzyskana z danych: gdze p : P u f u du, v 1 1 u fv u u exp v v to rozkład zmennej o stopnach swobody. Podejśce to ne zwalna Cę z obowązku podjęca decyzj co do zgodnośc wybranego modelu z danym, a dostarcza wększej lośc nformacj czytelnkow, umożlwając mu, nekedy, wyrażene własnej opn (jak równeż pozwala mu zorentować sę w jakośc rygoryzme Twych decyzj). Symbol powyżej oznacza funkcję gamma Eulera (z), zdefnowaną za pomocą całk z1 x z x e dx.
14 Wykres prawdopodobeństwa p jako funkcj obserwowanej wartośc lczby stopn swobody 14 dla nektórych wartośc
15 DODATEK B CAŁKI ROZKŁADU ORMALEGO (GAUSSA). Tabela ponżej podaje wartość całk standardowego rozkładu normalnego z 1 1 x Fz: P x z exp dx, z. Z uwag na symetrę rozkładu, wartość całk dla ujemnych wartośc argumentu można wyznaczyć ze zwązku F( z) = 1 F(z). Tabela 5. Wartośc całek rozkładu Gaussa z,,1,,3,4,5,6,7,8,9,,5,54,58,51,516,5199,539,579,5319,5359,1,5398,5438,5478,5517,5557,5596,5636,5675,5714,5753,,5793,583,5871,591,5948,5987,66,664,613,6141,3,6179,617,655,693,6331,6368,646,6443,648,6517,4,6554,6591,668,6664,67,6736,677,688,6844,6879,5,6915,695,6985,719,754,788,713,7157,719,74,6,757,791,734,7357,7389,74,7454,7486,7517,7549,7,758,7611,764,7673,774,7734,7764,7794,783,785,8,7881,791,7939,7967,7995,83,851,878,816,8133,9,8159,8186,81,838,864,889,8315,834,8365,8389 1,,8413,8438,8461,8485,858,8531,8554,8577,8599,861 1,1,8643,8665,8686,878,879,8749,877,879,881,883 1,,8849,8869,8888,897,895,8944,896,898,8997,915 1,3,93,949,966,98,999,9115,9131,9147,916,9177 1,4,919,97,9,936,951,965,979,99,936,9319 1,5,933,9345,9357,937,938,9394,946,9418,949,9441 1,6,945,9463,9474,9484,9495,955,9515,955,9535,9545 1,7,9554,9564,9573,958,9591,9599,968,9616,965,9633 1,8,9641,9649,9656,9664,9671,9678,9686,9693,9699,976 1,9,9713,9719,976,973,9738,9744,975,9756,9761,9767,,977,9778,9783,9788,9793,9798,983,988,981,9817,1,981,986,983,9834,9838,984,9846,985,9854,9857,,9861,9864,9868,9871,9875,9878,9881,9884,9887,989,3,9893,9896,9898,991,994,996,999,9911,9913,9916,4,9918,99,99,995,997,999,9931,993,9934,9936,5,9938,994,9941,9943,9945,9946,9948,9949,9951,995,6,9953,9955,9956,9957,9959,996,9961,996,9963,9964,7,9965,9966,9967,9968,9969,997,9971,997,9973,9974,8,9974,9975,9976,9977,9977,9978,9979,9979,998,9981,9,9981,998,998,9983,9984,9984,9985,9985,9986,9986 3,,9987,9987,9987,9988,9988,9989,9989,9989,999,999 3,1,999,9991,9991,9991,999,999,999,999,9993,9993 3,,9993,9993,9994,9994,9994,9994,9994,9995,9995,9995 3,3,9995,9995,9995,9996,9996,9996,9996,9996,9996,9997 3,4,9997,9997,9997,9997,9997,9997,9997,9997,9997,9998 3,5,9998,9998,9998,9998,9998,9998,9998,9998,9998,9998 3,6,9998,9998,9999,9999,9999,9999,9999,9999,9999,9999 3,7,9999,9999,9999,9999,9999,9999,9999,9999,9999,9999 3,8,9999,9999,9999,9999,9999,9999,9999,9999,9999,9999 3,9 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, Aby odczytać wartość całk dla np. z = 1,3 wyberz wersz odpowadający lczbe 1, kolumnę odpowadającą wartośc,3, a na ch przecęcu znajdzesz wartość F(z) =,
16
Ćwiczenie nr 4 WYZNACZANIE MOMENTU BEZWŁADNOŚCI WALCA Instrukcja dla studenta (wersja z dnia 8 X 2016) A. Majhofer i R. Nowak
Ćwczene 4 WYZACZAIE MOMETU BEZWŁADOŚCI Ćwczene nr 4 WYZACZAIE MOMETU BEZWŁADOŚCI WALCA (wersja z dna 8 X 6) A. Majhofer R. owak WYMAGAIA TEORETYCZE ewtona równana ruchu bryły sztywnej. Średna ważona, nepewność
Bardziej szczegółowo) będą niezależnymi zmiennymi losowymi o tym samym rozkładzie normalnym z następującymi parametrami: nieznaną wartością 1 4
Zadane. Nech ( X, Y ),( X, Y ), K,( X, Y n n ) będą nezależnym zmennym losowym o tym samym rozkładze normalnym z następującym parametram: neznaną wartoścą oczekwaną EX = EY = m, warancją VarX = VarY =
Bardziej szczegółowoSprawozdanie powinno zawierać:
Sprawozdane pownno zawerać: 1. wypełnoną stronę tytułową (gotowa do ćw. nr 0 na strone drugej, do pozostałych ćwczeń zameszczona na strone 3), 2. krótk ops celu dośwadczena, 3. krótk ops metody pomaru,
Bardziej szczegółowoW praktyce często zdarza się, że wyniki obu prób możemy traktować jako. wyniki pomiarów na tym samym elemencie populacji np.
Wykład 7 Uwaga: W praktyce często zdarza sę, że wynk obu prób możemy traktować jako wynk pomarów na tym samym elemence populacj np. wynk x przed wynk y po operacj dla tego samego osobnka. Należy wówczas
Bardziej szczegółowoStanisław Cichocki Natalia Nehrebecka. Zajęcia 4
Stansław Cchock Natala Nehrebecka Zajęca 4 1. Interpretacja parametrów przy zmennych zerojedynkowych Zmenne 0-1 Interpretacja przy zmennej 0 1 w modelu lnowym względem zmennych objaśnających Interpretacja
Bardziej szczegółowoNatalia Nehrebecka. Zajęcia 4
St ł Cchock Stansław C h k Natala Nehrebecka Zajęca 4 1. Interpretacja parametrów przy zmennych zerojedynkowych Zmenne 0 1 Interpretacja przy zmennej 0 1 w modelu lnowym względem zmennych objaśnających
Bardziej szczegółowo( ) ( ) 2. Zadanie 1. są niezależnymi zmiennymi losowymi o. oraz. rozkładach normalnych, przy czym EX. i σ są nieznane. 1 Niech X
Prawdopodobeństwo statystyka.. r. Zadane. Zakładamy, że,,,,, 5 są nezależnym zmennym losowym o rozkładach normalnych, przy czym E = μ Var = σ dla =,,, oraz E = μ Var = 3σ dla =,, 5. Parametry μ, μ σ są
Bardziej szczegółowoSTATYSTYKA MATEMATYCZNA WYKŁAD 5 WERYFIKACJA HIPOTEZ NIEPARAMETRYCZNYCH
STATYSTYKA MATEMATYCZNA WYKŁAD 5 WERYFIKACJA HIPOTEZ NIEPARAMETRYCZNYCH 1 Test zgodnośc χ 2 Hpoteza zerowa H 0 ( Cecha X populacj ma rozkład o dystrybuance F). Hpoteza alternatywna H1( Cecha X populacj
Bardziej szczegółowoWyznaczanie współczynnika sztywności zastępczej układu sprężyn
Wyznaczane zastępczej sprężyn Ćwczene nr 10 Wprowadzene W przypadku klku sprężyn ze sobą połączonych, można mu przypsać tzw. współczynnk zastępczej k z. W skrajnych przypadkach sprężyny mogą być ze sobą
Bardziej szczegółowoNatalia Nehrebecka. Wykład 2
Natala Nehrebecka Wykład . Model lnowy Postad modelu lnowego Zaps macerzowy modelu lnowego. Estymacja modelu Wartośd teoretyczna (dopasowana) Reszty 3. MNK przypadek jednej zmennej . Model lnowy Postad
Bardziej szczegółowoSZACOWANIE NIEPEWNOŚCI POMIARU METODĄ PROPAGACJI ROZKŁADÓW
SZACOWANIE NIEPEWNOŚCI POMIARU METODĄ PROPAGACJI ROZKŁADÓW Stefan WÓJTOWICZ, Katarzyna BIERNAT ZAKŁAD METROLOGII I BADAŃ NIENISZCZĄCYCH INSTYTUT ELEKTROTECHNIKI ul. Pożaryskego 8, 04-703 Warszawa tel.
Bardziej szczegółowoĆwiczenie nr 1 WAHADŁO MATEMATYCZNE Instrukcja dla studenta
Analza nepewnośc pomarowych w eksperymentach fzycznych dla specjalnośc Bofzyka molekularna Ćwczene nr WAHADŁO MATEMATYCZE Instrukcja dla studenta I. WSTĘP Celem ćwczena jest ukazane początkującemu eksperymentatorow
Bardziej szczegółowoAnaliza danych OGÓLNY SCHEMAT. http://zajecia.jakubw.pl/ Dane treningowe (znana decyzja) Klasyfikator. Dane testowe (znana decyzja)
Analza danych Dane trenngowe testowe. Algorytm k najblższych sąsadów. Jakub Wróblewsk jakubw@pjwstk.edu.pl http://zajeca.jakubw.pl/ OGÓLNY SCHEMAT Mamy dany zbór danych podzelony na klasy decyzyjne, oraz
Bardziej szczegółowoXXX OLIMPIADA FIZYCZNA ETAP III Zadanie doświadczalne
XXX OLIMPIADA FIZYCZNA ETAP III Zadane dośwadczalne ZADANIE D Nazwa zadana: Maszyna analogowa. Dane są:. doda półprzewodnkowa (krzemowa) 2. opornk dekadowy (- 5 Ω ), 3. woltomerz cyfrowy, 4. źródło napęca
Bardziej szczegółowoAnaliza danych. Analiza danych wielowymiarowych. Regresja liniowa. Dyskryminacja liniowa. PARA ZMIENNYCH LOSOWYCH
Analza danych Analza danych welowymarowych. Regresja lnowa. Dyskrymnacja lnowa. Jakub Wróblewsk jakubw@pjwstk.edu.pl http://zajeca.jakubw.pl/ PARA ZMIENNYCH LOSOWYCH Parę zmennych losowych X, Y możemy
Bardziej szczegółowoBadanie współzależności dwóch cech ilościowych X i Y. Analiza korelacji prostej
Badane współzależnośc dwóch cech loścowych X Y. Analza korelacj prostej Kody znaków: żółte wyróżnene nowe pojęce czerwony uwaga kursywa komentarz 1 Zagadnena 1. Zwązek determnstyczny (funkcyjny) a korelacyjny.
Bardziej szczegółowoTeoria niepewności pomiaru (Rachunek niepewności pomiaru) Rodzaje błędów pomiaru
Pomary fzyczne - dokonywane tylko ze skończoną dokładnoścą. Powodem - nedoskonałość przyrządów pomarowych neprecyzyjność naszych zmysłów borących udzał w obserwacjach. Podawane samego tylko wynku pomaru
Bardziej szczegółowoWYZNACZANIE WSPÓŁCZYNNIKA LEPKOŚCI CIECZY METODĄ STOKESA
WYZNACZANIE WSPÓŁCZYNNIKA LEPKOŚCI CIECZY METODĄ STOKESA. Ops teoretyczny do ćwczena zameszczony jest na strone www.wtc.wat.edu.pl w dzale DYDAKTYKA FIZYKA ĆWICZENIA LABORATORYJNE.. Ops układu pomarowego
Bardziej szczegółowoRachunek niepewności pomiaru opracowanie danych pomiarowych
Rachunek nepewnośc pomaru opracowane danych pomarowych Mędzynarodowa Norma Oceny Nepewnośc Pomaru (Gude to Epresson of Uncertanty n Measurements - Mędzynarodowa Organzacja Normalzacyjna ISO) http://physcs.nst./gov/uncertanty
Bardziej szczegółowoNatalia Nehrebecka. Zajęcia 3
St ł Cchock Stansław C h k Natala Nehrebecka Zajęca 3 1. Dobroć dopasowana równana regresj. Współczynnk determnacj R Dk Dekompozycja warancj zmennej zależnej ż Współczynnk determnacj R. Zmenne cągłe a
Bardziej szczegółowoTeoria niepewności pomiaru (Rachunek niepewności pomiaru) Rodzaje błędów pomiaru
Pomary fzyczne - dokonywane tylko ze skończoną dokładnoścą. Powodem - nedoskonałość przyrządów pomarowych neprecyzyjność naszych zmysłów borących udzał w obserwacjach. Podawane samego tylko wynku pomaru
Bardziej szczegółowoProjekt 6 6. ROZWIĄZYWANIE RÓWNAŃ NIELINIOWYCH CAŁKOWANIE NUMERYCZNE
Inormatyka Podstawy Programowana 06/07 Projekt 6 6. ROZWIĄZYWANIE RÓWNAŃ NIELINIOWYCH CAŁKOWANIE NUMERYCZNE 6. Równana algebraczne. Poszukujemy rozwązana, czyl chcemy określć perwastk rzeczywste równana:
Bardziej szczegółowoStatystyka Inżynierska
Statystyka Inżynerska dr hab. nż. Jacek Tarasuk AGH, WFIS 013 Wykład DYSKRETNE I CIĄGŁE ROZKŁADY JEDNOWYMIAROWE Zmenna losowa, Funkcja rozkładu, Funkcja gęstośc, Dystrybuanta, Charakterystyk zmennej, Funkcje
Bardziej szczegółowoBADANIA OPERACYJNE. Podejmowanie decyzji w warunkach niepewności. dr Adam Sojda
BADANIA OPERACYJNE Podejmowane decyzj w warunkach nepewnośc dr Adam Sojda Teora podejmowana decyzj gry z naturą Wynk dzałana zależy ne tylko od tego, jaką podejmujemy decyzję, ale równeż od tego, jak wystąp
Bardziej szczegółowoMECHANIKA 2 MOMENT BEZWŁADNOŚCI. Wykład Nr 10. Prowadzący: dr Krzysztof Polko
MECHANIKA Wykład Nr 10 MOMENT BEZWŁADNOŚCI Prowadzący: dr Krzysztof Polko Defncja momentu bezwładnośc Momentem bezwładnośc punktu materalnego względem płaszczyzny, os lub beguna nazywamy loczyn masy punktu
Bardziej szczegółowoKURS STATYSTYKA. Lekcja 1 Statystyka opisowa ZADANIE DOMOWE. www.etrapez.pl Strona 1
KURS STATYSTYKA Lekcja 1 Statystyka opsowa ZADANIE DOMOWE www.etrapez.pl Strona 1 Część 1: TEST Zaznacz poprawną odpowedź (tylko jedna jest prawdzwa). Pytane 1 W statystyce opsowej mamy pełne nformacje
Bardziej szczegółowoRozwiązywanie zadań optymalizacji w środowisku programu MATLAB
Rozwązywane zadań optymalzacj w środowsku programu MATLAB Zagadnene optymalzacj polega na znajdowanu najlepszego, względem ustalonego kryterum, rozwązana należącego do zboru rozwązań dopuszczalnych. Standardowe
Bardziej szczegółowoKURS STATYSTYKA. Lekcja 6 Regresja i linie regresji ZADANIE DOMOWE. www.etrapez.pl Strona 1
KURS STATYSTYKA Lekcja 6 Regresja lne regresj ZADANIE DOMOWE www.etrapez.pl Strona 1 Część 1: TEST Zaznacz poprawną odpowedź (tylko jedna jest prawdzwa). Pytane 1 Funkcja regresj I rodzaju cechy Y zależnej
Bardziej szczegółowo65120/ / / /200
. W celu zbadana zależnośc pomędzy płcą klentów ch preferencjam, wylosowano kobet mężczyzn zadano m pytane: uważasz za lepszy produkt frmy A czy B? Wynk były następujące: Odpowedź Kobety Mężczyźn Wolę
Bardziej szczegółowoPlanowanie eksperymentu pomiarowego I
POLITECHNIKA ŚLĄSKA W GLIWICACH WYDZIAŁ INŻYNIERII ŚRODOWISKA ENERGETYKI INSTYTUT MASZYN URZĄDZEŃ ENERGETYCZNYCH Plaowae eksperymetu pomarowego I Laboratorum merctwa (M 0) Opracował: dr ż. Grzegorz Wcak
Bardziej szczegółowoPrawdopodobieństwo i statystyka r.
Prawdopodobeństwo statystya.05.00 r. Zadane Zmenna losowa X ma rozład wyładnczy o wartośc oczewanej, a zmenna losowa Y rozład wyładnczy o wartośc oczewanej. Obe zmenne są nezależne. Oblcz E( Y X + Y =
Bardziej szczegółowoWeryfikacja hipotez dla wielu populacji
Weryfkacja hpotez dla welu populacj Dr Joanna Banaś Zakład Badań Systemowych Instytut Sztucznej Intelgencj Metod Matematycznych Wydzał Informatyk Poltechnk Szczecńskej 5. Parametryczne testy stotnośc w
Bardziej szczegółowo0 0,2 0, p 0,1 0,2 0,5 0, p 0,3 0,1 0,2 0,4
Zad. 1. Dana jest unkcja prawdopodobeństwa zmennej losowej X -5-1 3 8 p 1 1 c 1 Wyznaczyć: a. stałą c b. wykres unkcj prawdopodobeństwa jej hstogram c. dystrybuantę jej wykres d. prawdopodobeństwa: P (
Bardziej szczegółowoMIĘDZYNARODOWE UNORMOWANIA WYRAśANIA ANIA NIEPEWNOŚCI POMIAROWYCH
MIĘDZYNARODOWE UNORMOWANIA WYRAśANIA ANIA NIEPEWNOŚCI POMIAROWYCH Adam Mchczyńsk W roku 995 grupa nstytucj mędzynarodowych: ISO Internatonal Organzaton for Standardzaton (Mędzynarodowa Organzacja Normalzacyjna),
Bardziej szczegółowoZa: Stanisław Latoś, Niwelacja trygonometryczna, [w:] Ćwiczenia z geodezji II [red.] J. Beluch
Za: Stansław Latoś, Nwelacja trygonometryczna, [w:] Ćwczena z geodezj II [red.] J. eluch 6.1. Ogólne zasady nwelacj trygonometrycznej. Wprowadzene Nwelacja trygonometryczna, zwana równeż trygonometrycznym
Bardziej szczegółowoFunkcje i charakterystyki zmiennych losowych
Funkcje charakterystyk zmennych losowych Dr Joanna Banaś Zakład Badań Systemowych Instytut Sztucznej Intelgencj Metod Matematycznych Wydzał Informatyk Poltechnk Szczecńskej 5. Funkcje zmennych losowych
Bardziej szczegółowoStanisław Cichocki. Natalia Nehrebecka Katarzyna Rosiak-Lada. Zajęcia 3
Stansław Cchock Natala Nehrebecka Katarzyna Rosak-Lada Zajęca 3 1. Dobrod dopasowana równana regresj. Współczynnk determnacj R 2 Dekompozycja warancj zmennej zależnej Współczynnk determnacj R 2 2. Zmenne
Bardziej szczegółowo± Δ. Podstawowe pojęcia procesu pomiarowego. x rzeczywiste. Określenie jakości poznania rzeczywistości
Podstawowe pojęca procesu pomarowego kreślene jakośc poznana rzeczywstośc Δ zmerzone rzeczywste 17 9 Zalety stosowana elektrycznych przyrządów 1/ 1. możlwość budowy czujnków zamenających werne każdą welkość
Bardziej szczegółowoWOJSKOWA AKADEMIA TECHNICZNA ĆWICZENIA LABORATORYJNE Z FIZYKI. SPRAWOZDANIE Z PRACY LABORATORYJNEJ nr 0. Badanie rozkładu rzutu śnieżkami do celu
WOJSKOWA AKADEMIA TECHNICZNA ĆWICZENIA LABORATORJNE Z FIZKI trzec termn wpsu zalczena do USOSu upływa...prowadząc(a/y)... grupa... podgrupa... zespół... semestr... roku akademckego... student(ka)... SPRAWOZDANIE
Bardziej szczegółowoParametry zmiennej losowej
Eonometra Ćwczena Powtórzene wadomośc ze statysty SS EK Defncja Zmenną losową X nazywamy funcję odwzorowującą przestrzeń zdarzeń elementarnych w zbór lczb rzeczywstych, taą że przecwobraz dowolnego zboru
Bardziej szczegółowoRozkład dwupunktowy. Rozkład dwupunktowy. Rozkład dwupunktowy x i p i 0 1-p 1 p suma 1
Rozkład dwupunktowy Zmenna losowa przyjmuje tylko dwe wartośc: wartość 1 z prawdopodobeństwem p wartość 0 z prawdopodobeństwem 1- p x p 0 1-p 1 p suma 1 Rozkład dwupunktowy Funkcja rozkładu prawdopodobeństwa
Bardziej szczegółowoWOJSKOWA AKADEMIA TECHNICZNA ĆWICZENIA LABORATORYJNE Z FIZYKI. SPRAWOZDANIE Z PRACY LABORATORYJNEJ nr 0. Badanie rozkładu rzutu śnieżkami do celu
WOJSKOWA AKADEMIA TECHNICZNA ĆWICZENIA LABORATORJNE Z FIZKI trzec termn wpsu zalczena do USOSu upływa...prowadząca(y)... grupa... podgrupa... zespół... semestr roku akademckego... student(ka)... SPRAWOZDANIE
Bardziej szczegółowoStanisław Cichocki. Natalia Nehrebecka. Wykład 6
Stansław Cchock Natala Nehrebecka Wykład 6 1 1. Interpretacja parametrów przy zmennych objaśnających cągłych Semelastyczność 2. Zastosowane modelu potęgowego Model potęgowy 3. Zmenne cągłe za zmenne dyskretne
Bardziej szczegółowoRUCH OBROTOWY Można opisać ruch obrotowy ze stałym przyspieszeniem ε poprzez analogię do ruchu postępowego jednostajnie zmiennego.
RUCH OBROTOWY Można opsać ruch obrotowy ze stałym przyspeszenem ε poprzez analogę do ruchu postępowego jednostajne zmennego. Ruch postępowy a const. v v at s s v t at Ruch obrotowy const. t t t Dla ruchu
Bardziej szczegółowoI. Elementy analizy matematycznej
WSTAWKA MATEMATYCZNA I. Elementy analzy matematycznej Pochodna funkcj f(x) Pochodna funkcj podaje nam prędkość zman funkcj: df f (x + x) f (x) f '(x) = = lm x 0 (1) dx x Pochodna funkcj podaje nam zarazem
Bardziej szczegółowoStatystyka. Zmienne losowe
Statystyka Zmenne losowe Zmenna losowa Zmenna losowa jest funkcją, w której każdej wartośc R odpowada pewen podzbór zboru będący zdarzenem losowym. Zmenna losowa powstaje poprzez przyporządkowane każdemu
Bardziej szczegółowoMATEMATYKA POZIOM ROZSZERZONY Kryteria oceniania odpowiedzi. Arkusz A II. Strona 1 z 5
MATEMATYKA POZIOM ROZSZERZONY Krytera ocenana odpowedz Arkusz A II Strona 1 z 5 Odpowedz Pytane 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Odpowedź D C C A B 153 135 232 333 Zad. 10. (0-3) Dana jest funkcja postac. Korzystając
Bardziej szczegółowoSPRAWDZANIE PRAWA MALUSA
INSTYTUT ELEKTRONIKI I SYSTEMÓW STEROWANIA WYDZIAŁ ELEKTRYCZNY POLITECHNIKA CZĘSTOCHOWSKA LABORATORIUM FIZYKI ĆWICZENIE NR O- SPRAWDZANIE PRAWA MALUSA I. Zagadnena do przestudowana 1. Fala elektromagnetyczna,
Bardziej szczegółowoGrupa: Elektrotechnika, wersja z dn Studia stacjonarne, II stopień, sem.1 Laboratorium Techniki Świetlnej
ul.potrowo 3a http://lumen.ee.put.poznan.pl Grupa: Elektrotechnka, wersja z dn. 29.03.2016 Studa stacjonarne, stopeń, sem.1 Laboratorum Technk Śwetlnej Ćwczene nr 6 Temat: Badane parametrów fotometrycznych
Bardziej szczegółowoSTATYSTYCZNA ANALIZA WYNIKÓW POMIARÓW
Zakład Metrolog Systemów Pomarowych P o l t e c h n k a P o z n ańska ul. Jana Pawła II 4 60-965 POZAŃ (budynek Centrum Mechatronk, Bomechank anonżyner) www.zmsp.mt.put.poznan.pl tel. +48 61 665 5 70 fax
Bardziej szczegółowoModele wieloczynnikowe. Modele wieloczynnikowe. Modele wieloczynnikowe ogólne. α β β β ε. Analiza i Zarządzanie Portfelem cz. 4.
Modele weloczynnkowe Analza Zarządzane Portfelem cz. 4 Ogólne model weloczynnkowy można zapsać jako: (,...,,..., ) P f F F F = n Dr Katarzyna Kuzak lub (,...,,..., ) f F F F = n Modele weloczynnkowe Można
Bardziej szczegółowoStanisław Cichocki. Natalia Nehrebecka. Wykład 6
Stansław Cchock Natala Nehrebecka Wykład 6 1 1. Zastosowane modelu potęgowego Przekształcene Boxa-Coxa 2. Zmenne cągłe za zmenne dyskretne 3. Interpretacja parametrów przy zmennych dyskretnych 1. Zastosowane
Bardziej szczegółowo= σ σ. 5. CML Capital Market Line, Rynkowa Linia Kapitału
5 CML Catal Market Lne, ynkowa Lna Katału Zbór ortolo o nalny odchylenu standardowy zbór eektywny ozważy ortolo złożone ze wszystkch aktywów stnejących na rynku Załóży, że jest ch N A * P H P Q P 3 * B
Bardziej szczegółowoOBLICZANIE NIEPEWNOŚCI METODĄ TYPU B
OBLICZANIE NIEPEWNOŚCI METODĄ TYPU B W przypadku gdy e występuje statystyczy rozrzut wyków (wszystke pomary dają te sam wyk epewość pomaru wyzaczamy w y sposób. Główą przyczyą epewośc pomaru jest epewość
Bardziej szczegółowoZaawansowane metody numeryczne Komputerowa analiza zagadnień różniczkowych 1. Układy równań liniowych
Zaawansowane metody numeryczne Komputerowa analza zagadneń różnczkowych 1. Układy równań lnowych P. F. Góra http://th-www.f.uj.edu.pl/zfs/gora/ semestr letn 2006/07 Podstawowe fakty Równane Ax = b, x,
Bardziej szczegółowoNatalia Nehrebecka. Dariusz Szymański
Natala Nehrebecka Darusz Szymańsk . Sprawy organzacyjne Zasady zalczena Ćwczena Lteratura. Czym zajmuje sę ekonometra? Model ekonometryczny 3. Model lnowy Postać modelu lnowego Zaps macerzowy modelu dl
Bardziej szczegółowo1.1. Uprość opis zdarzeń: 1.2. Uprościć opis zdarzeń: a) A B A Uprościć opis zdarzeń: 1.4. Uprościć opis zdarzeń:
.. Uprość ops zdarzeń: a) A B, A \ B b) ( A B) ( A' B).. Uproścć ops zdarzeń: a) A B A b) A B, ( A B) ( B C).. Uproścć ops zdarzeń: a) A B A B b) A B C ( A B) ( B C).4. Uproścć ops zdarzeń: a) A B, A B
Bardziej szczegółowoZadane 1: Wyznacz średne ruchome 3-okresowe z następujących danych obrazujących zużyce energ elektrycznej [kwh] w pewnym zakładze w mesącach styczeń - lpec 1998 r.: 400; 410; 430; 40; 400; 380; 370. Zadane
Bardziej szczegółowoMETODY PLANOWANIA EKSPERYMENTÓW. dr hab. inż. Mariusz B. Bogacki
Metody Planowana Eksperymentów Rozdzał 1. Strona 1 z 14 METODY PLANOWANIA EKSPERYMENTÓW dr hab. nż. Marusz B. Bogack Marusz.Bogack@put.poznan.pl www.fct.put.poznan.pl/cv23.htm Marusz B. Bogack 1 Metody
Bardziej szczegółowoLaboratorium ochrony danych
Laboratorum ochrony danych Ćwczene nr Temat ćwczena: Cała skończone rozszerzone Cel dydaktyczny: Opanowane programowej metody konstruowana cał skończonych rozszerzonych GF(pm), poznane ch własnośc oraz
Bardziej szczegółowoSystemy Ochrony Powietrza Ćwiczenia Laboratoryjne
ś POLITECHNIKA POZNAŃSKA INSTYTUT INŻYNIERII ŚRODOWISKA PROWADZĄCY: mgr nż. Łukasz Amanowcz Systemy Ochrony Powetrza Ćwczena Laboratoryjne 2 TEMAT ĆWICZENIA: Oznaczane lczbowego rozkładu lnowych projekcyjnych
Bardziej szczegółowoAnaliza rodzajów skutków i krytyczności uszkodzeń FMECA/FMEA według MIL STD - 1629A
Analza rodzajów skutków krytycznośc uszkodzeń FMECA/FMEA według MIL STD - 629A Celem analzy krytycznośc jest szeregowane potencjalnych rodzajów uszkodzeń zdentyfkowanych zgodne z zasadam FMEA na podstawe
Bardziej szczegółowoNieparametryczne Testy Istotności
Neparametryczne Testy Istotnośc Wzory Neparametryczne testy stotnośc schemat postępowana punkt po punkce Formułujemy hpotezę główną odnoszącą sę do: zgodnośc populacj generalnej z jakmś rozkładem, lub:
Bardziej szczegółowoZaawansowane metody numeryczne
Wykład 9. jej modyfkacje. Oznaczena Będzemy rozpatrywać zagadnene rozwązana następującego układu n równań lnowych z n newadomym x 1... x n : a 11 x 1 + a 12 x 2 +... + a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x
Bardziej szczegółowoProcedura normalizacji
Metody Badań w Geograf Społeczno Ekonomcznej Procedura normalzacj Budowane macerzy danych geografcznych mgr Marcn Semczuk Zakład Przedsęborczośc Gospodark Przestrzennej Instytut Geograf Unwersytet Pedagogczny
Bardziej szczegółowoPlan wykładu: Typowe dane. Jednoczynnikowa Analiza wariancji. Zasada: porównać zmienność pomiędzy i wewnątrz grup
Jednoczynnkowa Analza Waranc (ANOVA) Wykład 11 Przypomnene: wykłady zadana kursu były zaczerpnęte z podręcznków: Statystyka dla studentów kerunków techncznych przyrodnczych, J. Koronack, J. Melnczuk, WNT
Bardziej szczegółowoĆwiczenie nr 5 TERMISTOR JAKO TERMOMETR
Ćwczene nr 5 TERMISTOR JAKO TERMOMETR wersja z dna II 016 A. Majhofer R. Nowak WYMAGANIA TEORETYCZNE Sformułowane metody najmnejszych kwadratów wyznaczane ocen parametrów odchyleń standardowych tych ocen
Bardziej szczegółowoZASADA ZACHOWANIA MOMENTU PĘDU: PODSTAWY DYNAMIKI BRYŁY SZTYWNEJ
ZASADA ZACHOWANIA MOMENTU PĘDU: PODSTAWY DYNAMIKI BYŁY SZTYWNEJ 1. Welkośc w uchu obotowym. Moment pędu moment sły 3. Zasada zachowana momentu pędu 4. uch obotowy były sztywnej względem ustalonej os -II
Bardziej szczegółowoWYZNACZANIE PRZYSPIESZENIA ZIEMSKIEGO ZA POMOCĄ WAHADŁA RÓŻNICOWEGO
I PRACOWNIA FIZYCZNA, INSYU FIZYKI UMK, ORUŃ Instrukca do ćwczena nr WYZNACZANIE PRZYSPIESZENIA ZIEMSKIEGO ZA POMOCĄ WAHADŁA RÓŻNICOWEGO 1. Cel ćwczena Celem ćwczena est poznane ruchu harmonczneo eo praw,
Bardziej szczegółowoPattern Classification
attern Classfcaton All materals n these sldes were taken from attern Classfcaton nd ed by R. O. Duda,. E. Hart and D. G. Stork, John Wley & Sons, 000 wth the permsson of the authors and the publsher Chapter
Bardziej szczegółowoZapis informacji, systemy pozycyjne 1. Literatura Jerzy Grębosz, Symfonia C++ standard. Harvey M. Deitl, Paul J. Deitl, Arkana C++. Programowanie.
Zaps nformacj, systemy pozycyjne 1 Lteratura Jerzy Grębosz, Symfona C++ standard. Harvey M. Detl, Paul J. Detl, Arkana C++. Programowane. Zaps nformacj w komputerach Wszystke elementy danych przetwarzane
Bardziej szczegółowoANALIZA NIEPEWNOŚCI POMIAROWYCH
ANALIZA NIEPEWNOŚCI POMIAROWYCH 1. POMIARY FIZYCZNE I NIEPEWNOŚCI POMIAROWE 1.1. Nepewnośc systematyczne (błędy systematyczne) 1.2. Nepewnośc przypadkowe (błędy przypadkowe) 1.3. Podsumowane 2. NIEPEWNOŚCI
Bardziej szczegółowoWikiWS For Business Sharks
WkWS For Busness Sharks Ops zadana konkursowego Zadane Opracowane algorytmu automatyczne przetwarzającego zdjęce odręczne narysowanego dagramu na tablcy lub kartce do postac wektorowej zapsanej w formace
Bardziej szczegółowoPortfele zawierające walor pozbawiony ryzyka. Elementy teorii rynku kapitałowego
Portel nwestycyjny ćwczena Na podst. Wtold Jurek: Konstrukcja analza rozdzał 5 dr chał Konopczyńsk Portele zawerające walor pozbawony ryzyka. lementy teor rynku kaptałowego 1. Pożyczane penędzy amy dwa
Bardziej szczegółowo2012-10-11. Definicje ogólne
0-0- Defncje ogólne Logstyka nauka o przepływe surowców produktów gotowych rodowód wojskowy Utrzyywane zapasów koszty zwązane.n. z zarożene kaptału Brak w dostawach koszty zwązane.n. z przestoje w produkcj
Bardziej szczegółowoStanisław Cichocki. Natalia Nehrebecka. Wykład 7
Stansław Cchock Natala Nehrebecka Wykład 7 1 1. Zmenne cągłe a zmenne dyskretne 2. Interpretacja parametrów przy zmennych dyskretnych 1. Zmenne cągłe a zmenne dyskretne 2. Interpretacja parametrów przy
Bardziej szczegółowo(M2) Dynamika 1. ŚRODEK MASY. T. Środek ciężkości i środek masy
(MD) MECHANIKA - Dynamka T. Środek cężkośc środek masy (M) Dynamka T: Środek cężkośc środek masy robert.szczotka(at)gmal.com Fzyka astronoma, Lceum 01/014 1 (MD) MECHANIKA - Dynamka T. Środek cężkośc środek
Bardziej szczegółowoTwierdzenie Bezouta i liczby zespolone Javier de Lucas. Rozwi azanie 2. Z twierdzenia dzielenia wielomianów, mamy, że
Twerdzene Bezouta lczby zespolone Javer de Lucas Ćwczene 1 Ustal dla których a, b R można podzelć f 1 X) = X 4 3X 2 + ax b przez f 2 X) = X 2 3X+2 Oblcz a b Z 5 jeżel zak ladamy, że f 1 f 2 s a welomanam
Bardziej szczegółowoNAFTA-GAZ marzec 2011 ROK LXVII. Wprowadzenie. Tadeusz Kwilosz
NAFTA-GAZ marzec 2011 ROK LXVII Tadeusz Kwlosz Instytut Nafty Gazu, Oddzał Krosno Zastosowane metody statystycznej do oszacowana zapasu strategcznego PMG, z uwzględnenem nepewnośc wyznaczena parametrów
Bardziej szczegółowoLABORATORIUM PODSTAW ELEKTROTECHNIKI Badanie obwodów prądu sinusoidalnie zmiennego
Ćwczene 1 Wydzał Geonżyner, Górnctwa Geolog ABORATORUM PODSTAW EEKTROTECHNK Badane obwodów prądu snusodalne zmennego Opracował: Grzegorz Wśnewsk Zagadnena do przygotowana Ops elementów RC zaslanych prądem
Bardziej szczegółowoPAŃSTWOWA WYŻSZA SZKOŁA ZAWODOWA W PILE INSTYTUT POLITECHNICZNY. Zakład Budowy i Eksploatacji Maszyn PRACOWNIA TERMODYNAMIKI TECHNICZNEJ INSTRUKCJA
PAŃSTWOWA WYŻSZA SZKOŁA ZAWODOWA W PILE INSTYTUT POLITECHNICZNY Zakład Budowy Eksploatacj Maszyn PRACOWNIA TERMODYNAMIKI TECHNICZNEJ INSTRUKCJA Temat ćwczena: PRAKTYCZNA REALIZACJA PRZEMIANY ADIABATYCZNEJ.
Bardziej szczegółowoZestaw zadań 4: Przestrzenie wektorowe i podprzestrzenie. Liniowa niezależność. Sumy i sumy proste podprzestrzeni.
Zestaw zadań : Przestrzene wektorowe podprzestrzene. Lnowa nezależność. Sumy sumy proste podprzestrzen. () Wykazać, że V = C ze zwykłym dodawanem jako dodawanem wektorów operacją mnożena przez skalar :
Bardziej szczegółowoPOMIAR WSPÓŁCZYNNIKÓW ODBICIA I PRZEPUSZCZANIA
Ćwczene O5 POMIAR WSPÓŁCZYNNIKÓW ODBICIA I PRZEPUSZCZANIA 1. Cel zakres ćwczena Celem ćwczena jest poznane metod pomaru współczynnków odbca przepuszczana próbek płaskch 2. Ops stanowska laboratoryjnego
Bardziej szczegółowoSYMULACJA KOMPUTEROWA NAPRĘŻEŃ DYNAMICZNYCH WE WRĘGACH MASOWCA NA FALI NIEREGULARNEJ
Jan JANKOWSKI *), Maran BOGDANIUK *),**) SYMULACJA KOMPUTEROWA NAPRĘŻEŃ DYNAMICZNYCH WE WRĘGACH MASOWCA NA FALI NIEREGULARNEJ W referace przedstawono równana ruchu statku w warunkach falowana morza oraz
Bardziej szczegółowoĆw. 5. Wyznaczanie współczynnika sprężystości przy pomocy wahadła sprężynowego
5 KATEDRA FIZYKI STOSOWANEJ PRACOWNIA FIZYKI Ćw. 5. Wyznaczane współczynna sprężystośc przy pomocy wahadła sprężynowego Wprowadzene Ruch drgający należy do najbardzej rozpowszechnonych ruchów w przyrodze.
Bardziej szczegółowoKier. MTR Programowanie w MATLABie Laboratorium Ćw. 12
Ker. MTR Programowane w MATLABe Laboratorum Ćw. Analza statystyczna grafczna danych pomarowych. Wprowadzene MATLAB dysponuje weloma funcjam umożlwającym przeprowadzene analzy statystycznej pomarów, czy
Bardziej szczegółowoPneumatyczne pomiary długości
Wrocław, dna Metrologa Welkośc Geometrycznych Ćwczene Rok kerunek... Grupa (dzeń godzna rozpoczęca zajęć) Pneumatyczne pomary długośc A. Wyznaczene charakterystyk statycznej czujnka pneumatycznego. Identyfkacja
Bardziej szczegółowoProces narodzin i śmierci
Proces narodzn śmerc Jeżel w ewnej oulacj nowe osobnk ojawają sę w sosób losowy, rzy czym gęstość zdarzeń na jednostkę czasu jest stała w czase wynos λ, oraz lczba osobnków n, które ojawły sę od chwl do
Bardziej szczegółowoZESZYTY NAUKOWE INSTYTUTU POJAZDÓW 5(96)/2013
ZESZYTY NAUKOWE NSTYTUTU POJAZDÓW 5(96)/2013 Hubert Sar, Potr Fundowcz 1 WYZNACZANE MASOWEGO MOMENTU BEZWŁADNOŚC WZGLĘDEM OS PODŁUŻNEJ DLA SAMOCHODU TYPU VAN NA PODSTAWE WZORÓW DOŚWADCZALNYCH 1. Wstęp
Bardziej szczegółowoSTATECZNOŚĆ SKARP. α - kąt nachylenia skarpy [ o ], φ - kąt tarcia wewnętrznego gruntu [ o ],
STATECZNOŚĆ SKARP W przypadku obektu wykonanego z gruntów nespostych zaprojektowane bezpecznego nachylena skarp sprowadza sę do przekształcena wzoru na współczynnk statecznośc do postac: tgφ tgα = n gdze:
Bardziej szczegółowoBadanie współzaleŝności dwóch cech ilościowych X i Y. Analiza korelacji prostej. Badanie zaleŝności dwóch cech ilościowych. Analiza regresji prostej
Badane współzaleŝnośc dwóch cech loścowych X Y. Analza korelacj prostej Badane zaleŝnośc dwóch cech loścowych. Analza regresj prostej Kody znaków: Ŝółte wyróŝnene nowe pojęce czerwony uwaga kursywa komentarz
Bardziej szczegółowoPROSTO O DOPASOWANIU PROSTYCH, CZYLI ANALIZA REGRESJI LINIOWEJ W PRAKTYCE
PROSTO O DOPASOWANIU PROSTYCH, CZYLI ANALIZA REGRESJI LINIOWEJ W PRAKTYCE Janusz Wątroba, StatSoft Polska Sp. z o.o. W nemal wszystkch dzedznach badań emprycznych mamy do czynena ze złożonoścą zjawsk procesów.
Bardziej szczegółowoWyznaczanie długości fali światła metodą pierścieni Newtona
013 Katedra Fzyk SGGW Ćwczene 368 Nazwsko... Data... Nr na lśce... Imę... Wydzał... Dzeń tyg.... Ćwczene 368: Godzna.... Wyznaczane długośc fal śwatła metodą perścen Newtona Cechowane podzałk okularu pomarowego
Bardziej szczegółowoBADANIA CHARAKTERYSTYK HYDRAULICZNYCH KSZTAŁTEK WENTYLACYJNYCH
INSTYTUT KLIMATYZACJI I OGRZEWNICTWA ĆWICZENIA LABORATORYJNE Z WENTYLACJI I KLIMATYZACJI: BADANIA CHARAKTERYSTYK HYDRAULICZNYCH KSZTAŁTEK WENTYLACYJNYCH 1. WSTĘP Stanowsko laboratoryjne pośwęcone badanu
Bardziej szczegółowoStudia stacjonarne, II stopień, sem.1 Laboratorium Techniki Świetlnej
60-965 Poznań ul.potrowo 3a http://lumen.ee.put.poznan.pl Grupa: Elektrotechnka, Studa stacjonarne, II stopeń, sem.1 Laboratorum Technk Śwetlnej wersja z dn. 08.05.017 Ćwczene nr 6 Temat: Porównane parametrów
Bardziej szczegółowoSZTUCZNA INTELIGENCJA
SZTUCZNA INTELIGENCJA WYKŁAD 15. ALGORYTMY GENETYCZNE Częstochowa 014 Dr hab. nż. Grzegorz Dudek Wydzał Elektryczny Poltechnka Częstochowska TERMINOLOGIA allele wartośc, waranty genów, chromosom - (naczej
Bardziej szczegółowo5. OPTYMALIZACJA GRAFOWO-SIECIOWA
. OPTYMALIZACJA GRAFOWO-SIECIOWA Defncja grafu Pod pojęcem grafu G rozumemy następującą dwójkę uporządkowaną (defncja grafu Berge a): (.) G W,U gdze: W zbór werzchołków grafu, U zbór łuków grafu, U W W,
Bardziej szczegółowoIle wynosi suma miar kątów wewnętrznych w pięciokącie?
1 Ile wynos suma mar kątów wewnętrznych w pęcokące? 1 Narysuj pęcokąt foremny 2 Połącz środek okręgu opsanego na tym pęcokące ze wszystkm werzchołkam pęcokąta 3 Oblcz kąty każdego z otrzymanych trójkątów
Bardziej szczegółowoZjawiska masowe takie, które mogą wystąpid nieograniczoną ilośd razy. Wyrazów Obcych)
Statystyka - nauka zajmująca sę metodam badana przedmotów zjawsk w ch masowych przejawach ch loścową lub jakoścową analzą z punktu wdzena nauk, do której zakresu należą.
Bardziej szczegółowoSTATYSTYKA. Zmienna losowa skokowa i jej rozkład
STATYSTYKA Wnosowane statystyczne to proces myślowy polegający na formułowanu sądów o całośc przy dysponowanu o nej ogranczoną lczbą nformacj Zmenna losowa soowa jej rozład Zmenną losową jest welość, tóra
Bardziej szczegółowo