APROKSYMACJA NIELINIOWYCH CHARAKTERYSTYK MASZYN ELEKTRYCZNYCH PRĄDU PRZEMIENNEGO WIELOMIANAMI POTĘGOWYMI WIELU ZMIENNYCH

Transkrypt

1 Zeszyty problewe Maszyy lektryze Nr / z. aeusz J. Sobzyk, am Warzeha, Witol Mazgaj Politehika Krakowska PROKSYMCJ NNOWYCH CHRKRYSYK MSZYN KRYCZNYCH PRĄDU PRZMNNGO WOMNM POĘGOWYM WU ZMNNYCH PPROXMON OF NONNR CHRCRSCS OF C MCHNS BY MUVRB POWR POYNOMS Streszzeie: W elu uwzglęieia ieliiowośi obwou magetyzego maszyy elektryzej w elah obwoowyh ależy wyzazyć tzw. harakterystyki uzwojeń maszyy określająe strumieie skojarzoe każego z uzwojeń jako fukje prąów wszystkih uzwojeń. h aproksymaja jest - w zasazie - żliwa tylko za poą wielomiaów potęgowyh wielu zmieyh. Prowazi to o barzo złożoyh relaji mięzy fukjami aproksymująymi. W pray zapropoowao yfikaję metoyki określaia współzyików występująyh w tyh wielomiaah a postawie zbioru wartośi ko-eergii magetyzej oraz strumiei skojarzoyh lub oatkowo iukyjośi yamizyh przy wykorzystaiu metoy regresji liiowej. Jeozese wykorzystaie wartośi ko-eergii magetyzej oraz strumiei skojarzoyh ma a elu ograizeie zasu i kosztów oblizeń umeryzyh potrzebyh la ih oblizaia. bstrat: o el o-liearity of mageti iruit of alteratig urret mahies at iruit approah it is eessary to kow, so alle, harateristi of wiigs etermiig leakage fluxes as of eah wiig as a futio of urrets of all mahie wiigs. Suh futios a be approximate by multivariable power series of urrets. However, it leas to rather ompliate relatioships betwee a set of suh futios. he paper presets a methoology for omputatio of the oeffiiets of those multivariable power series bases o values of the o-eergy a the wiig leakage fluxes, or evetually yami iutaes, usig the liear regressio metho. Combiig those values reues time a osts of umerial omputatios eessary for its alulatios. Słowa kluzowe: maszyy elektryze, ieliiowość magetyza, ieliiowe harakterystyki uzwojeń, aproksymaja fukji ko-eergii magetyzej Keywors: letrial mahies, mageti oliearity, oliear wiig harateristis, approximatio of mageti o-eergy futio. Wstęp Moele obwoowe maszy prąu uwzglęiająe ieliiowość obwou magetyzego są wiąż przemiotem zaiteresowaia w wielu ośrokah [][][5]. Zasaizą truośią przy ih tworzeiu jest opis fukji wiążąyh strumieie skojarzoe każego z uzwojeń z prąami wszystkih uzwojeń oraz kątem obrotu. akie ele tworzoe w opariu o formalizm agrage a mają pewe ograizeia, gyż teoretyzie ie pozwalają a reprezetaję przewoząyh elemetów oraz histerezy obwou magetyzego. h zaletą jest zazie wygoiejsze elowaie zagaień eksploatayjyh barziej złożoyh ukłaów, w któryh maszyy elektryze są elemetem kluzowym. Ogóla postać rówań agrage a maszy prąu przemieego o N iezależyh uzwojeiah t ( )( ) i R {,,..., N} i u, ( )( ) J D m () wskazuje, że fukja ko-eergii ( ), gzie i { i in} jest zbiorem liiowo iezależyh prąów, jest ałkowiie wystarzająa o opisu maszyy. Jest to jeak ieliiowa fukja wielu zmieyh, której postać ie jest zaa, jak to ma miejse w przypaku założeia liiowośi obwou magetyzego. proksymaja fukji ko-eergii jest przemiotem wielu pra [][][7], lez w ajogóliejszym przypaku pozostaje jeyie zastosowaie szeregu aylora w postai

2 Zeszyty problewe Maszyy lektryze Nr / z. ) (, ) ()! ()! (, ) (, ) ()! () ( gzie (, ) ozaza różizkę rzęu oblizaą la zerowyh wartośi wszystkih prąów. Rówaia elektryze maszyy z ieliiowym obwoem magetyzym są ajzęśiej zapisywae w postai ( i, ) R i u () la {,,..., N}, w któryh występują strumieie sprzężoe uzwojeń maszyy ( ) spełiająe związki ( ) ( i, ), {,,..., N} i () Barzo zęsto używaa jest także forma tyh rówań posługująa się iukyjośiami yamizymi ( ) ( ), k ( i, ) () ik ik i la, k {,,..., N}. Wówzas przyjmują oe w zapisie maierzowym postać i ( ) ( ) R i u (5) Rówaiom maszyy ża aać postać awiązująą o klasyzej ih postai z maierzą iukyjośi ( ) i R i u () lemety, k ( ) takiej maierzy iukyjośi są fukjami wszystkih prąów oraz kąta obrotu. Maierz ( ) ie jest jeak jeozazie określoa. Założeie o jej symetrii pozwala jeozazie określić jej elemety, efiiują je jako iukyjośi ieliiowe []. W praah [][] zapropoowao zyfikowaą formę zapisu szeregu aylora fukji koeergii la maszy elektryzyh, wprowazają formy wyższyh rzęów, a wzór formy kwaratowej, opisująej ko-eergię ukłau ewek o liiowyh harakterystykah. W tym zapisie fukja ko-eergii przyjmuje formę ( i, ) i ( ) i + i iag N i i ( ) iag Ni i i i iag i i iag i i ( ) + N i i iag i i i iag (7) N N Wyorębioo w im maierze ( ), ( ) N oraz ( ), któryh elemety zależą jeyie o kąta obrotu, a ie zależą o prąów. Wygoiejszy jest jeak zapis ( i, ) i ( ) i i ) i i ( ( ) i (8) w którym maierze ( ), ( ), ( ) wyikają z formy (7), a fukja ko-eergii jest sumą form kwaratowyh prąów utworzoyh a bazie tyh maierzy. Pozwala to zapisać wektor strumiei skojarzoyh uzwojeń maszyy w postai ( ) ( ) ( ) ( ) i (9) a maierze iukyjośi yamizyh i ieliiowyh jako ( ) ( ) ( ) 5( ) () ( ) ( ) ( ) ( ) () We wszystkih powyższyh zależośiah występują te same współzyiki stałe, zależe o kąta, które są zgrupowae w maierzah (), ( ), ( ), o elemetah stałyh la zaaego położeia wirika. W elu opisu maszyy elektryzej uwzglęiająego ieliiowość obwou magetyzego ależy te współzyiki wyzazyć, korzystają z wyików oblizaia rozkłau pola magetyzego metoami umeryzymi. W pray opisao algorytm określaia elemetów maierzy ( ), ( ), ( ), a postawie wartośi ko-eergii oraz strumiei skojarzoyh oblizoyh umeryzie z rozkłau pola magetyzego la określoego zbioru wartośi prąów i { i in}, a także ieo zyfikoway uwzglęiająy także wartośi iukyjośi yamizyh. Pozwalają oe a reukję lizby przypaków umeryzego oblizaia rozkłau pola gyż la oblizeia współzyików fukji aproksymująyh wykorzystywae są zarówo wartośi ko-eergii jaki rówież wartośi strumiei skojarzoyh (zyli pohoyh fukji ko-eergii wzglęem poszzególyh

3 Zeszyty problewe Maszyy lektryze Nr / z. prąów), które ża oblizyć a postawie tego samego rozkłau pola magetyzego.. Opis algorytmu aproksymaji fukji ko-eergii i strumiei skojarzoyh Metoologia określaia współzyików fukji aproksymująyh ko-eergię, strumieie skojarzoe oraz iukyjośi yamize i ieliiowe zostaie przestawioa a przykłazie maszyy o wóh uzwojeiah. Ma to a elu przejrzystą prezetaję jej iei. Doatkowo, z tego samego powou, ograizoo aproksymaję fukji ko-eergii o pierwszyh wóh różizek w szeregu aylora ( i, i) (,) (,) ()! ()! W tym i alszyh zapisah pomiięto zależość ko-eergii oraz strumiei skojarzoyh o kąta obrotu, przyjmują, że obowiązują oe la wybraej wartośi tego kąta. Fukja aproksymująa ko-eergię ma w bezpośreim zapisie szeregiem potęgowym postać,,, i, i i,, i i, i ( i, i ) ( i i i i ) ( i i, ) () w której współzyiki stałe są określoe przez opowieie pohoe ząstkowe fukji ( i, i) oblizae la zerowyh wartośi prąów. Każy z ih że być fukją kąta, zego ie uwzglęioo w zapisie. Przy takiej aproksymaji fukji ko-eergii maierze oraz ( i, i ) występująe w (8), (9), () i () mają postai,,,,, i i (i, i ) i i,,,, i,,,, i i,,,,,,,, i W kosekwej strumieie skojarzoe uzwojeń ależy aproksywać fukjami ( i, i) ( i, i) (, i, i) i (, i, i i, i i, i ) (a) ( i, i) ( i, i) (, i, i) i (, i, i i, i i, i ) (b) Z powyższyh zapisów jeozazie wyika, że we zależośiah () oraz (a,b) występują te same stałe współzyiki. W elu ih określeia ża wykorzystać wszystkie trzy powyższe zależośi jeoześie. Należy pokreślić, że komeryje pakiety o aalizy pola magetyzego użliwiają oblizaie tyh wartośi w fazie post-proesigu a postawie oblizoego rozkłau pola. Jeżeli ozazyć przez ( ) wartość ko-eergii oblizoej a postawie rozkłau pola la pary prąów, oraz opowieio przez ψ ( ), ψ ( ) ozazyć wartośi strumiei skojarzoyh każego z uzwojeń, oblizoe a postawie tego samego rozkłau pola, wówzas ża zapisać astępująy ukła rówań algebraizyh liiowyh, w którym iewiaomymi są współzyiki fukji () oraz (a,b). ( ),, ψ( ),, ψ( ),,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,, () Ukła rówań () otrzymao wykorzystują zarówo wartość fukji ko-eergii jak i wartośi jej pierwszyh pohoyh ząstkowyh la wybraej wartośi jej zmieyh iezależyh. stotym jest fakt, że ża go utworzyć a postawie jeego rozwiązaia rówań pola. Jest to ukła o maierzy prostokątej o ogólej postai W( ) ( ) (5)

4 Zeszyty problewe Maszyy lektryze Nr / z. W ogólym przypaku jego wymiary zależą o lizby uzwojeń maszyy oraz lizby wyrazów różizek uwzglęiayh w rozwiięiu aylora fukji ko-eergii. izba wierszy w ukłazie () la maszyy o M uzwojeiah wyosi M+. izba kolum wzrasta barzo szybko wraz ze stopiem uwzglęiaej różizki oraz lizby uzwojeń. Ukła rówań () staowi postawę la zastosowaia metoy regresji liiowej o wyzazaia wartośi współzyików fukji aproksymująyh () oraz (a,b). W tym elu ależy przeprowazić serię oblizeń wartośi ko-eergii oraz strumiei skojarzoyh w wybraym obszarze przestrzei prąów i,i. Na postawie takiego zbioru wartośi ża utworzyć ukła rówań o postai W () złożoego z rówań (5) uporząkowayh w astępująy sposób W() () W () () W(N) (N) (7) Metoa regresji prowazi o wyrażeia określająego wektor o postai W (8) w którym maierz jest zaa jako maierz pseuo-oworta Moore-Perose a la maierzy []. lgorytm opisay w tym rozziale pozwala w istoty sposób ograizyć ilość oblizeń koiezyh o oblizeia współzyików fukji aproksymująyh ko-eergię oraz strumieie skojarzoe uzwojeń maszyy z ieliiowym obwoem magetyzym. Ważą jego zaletą jest jeozesa aproksymaja fukji ko-eergii oraz jej pierwszyh pohoyh ząstkowyh, zyli strumiei skojarzoyh uzwojeń maszyy.. lgorytm uwzglęiająy oatkowo iukyjośi yamize uzwojeń lgorytm opisay powyżej ża rozbuować uwzglęiają wyrażeia aproksymująe iukyjośi yamize, zyli rugie pohoe ząstkowe fukji ko-eergii. Przy założoej jej aproksymaji wielomiaem () iukyjośi yamize są aproksywae fukjam w któryh występują te same współzyiki jak w związkah () oraz (a,b) (, ) i i,( i, i), i,,, i ( i i i ) (9a) (, ) i i,( i, i), i (, i, i i, i ) (9b) ( i, i),( i, i), i i (, i, i i, i ) (9) W efekie ża powiększyć ukła rówań () o oatkowe trzy rówaia ( ),,,, ψ( ),,, ψ ( ),,,, ( ),, ( ), ( ),,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,, () W tyh rówaiah zahowao ozazeia z rówań (). by je otrzymać ależy jeak wykoać wa oatkowe oblizeia rozkłau pola magetyzego la wóh par prąów (, ) oraz (, ), zyskują jeak trzy rówaia. ukyjośi yamize wyikają z zależośi - la pierwszej pary prąów ( ), ( ) ψ, ( ),, ( ) ψ, ( )

5 Zeszyty problewe Maszyy lektryze Nr / z. 5 - la rugiej pary prąów ( ), ψ, ( ) ( ),, ψ, ( ) ( ) Poieważ wartośi,() oraz, () muszą być rówe, w rzezywistyh oblizeiah ależałoby przyjąć ψ,( ) ψ,( ),( ),( ) ukyjośi yamize ża także wyzazyć korzystają z wzorów a aproksymaje rugih pohoyh ząstkowyh fukji ko-eergii lez wymaga to oblizaia rozkłau pola la ztereh par prąów: ( ), ( ) oraz,,, ), (, ). ( W ogólym przypaku lizba wierszy w ukłazie () wyiesie M M (M )/, gzie M ozaza lizbę uzwojeń maszyy. Zatem oatkowe oblizaie rozkłaów pola w elu określeia iukyjośi yamizyh że być opłaale. izba kolum, poobie jak w ukłazie (), wzrasta barzo szybko wraz ze stopiem uwzglęiaej różizki oraz lizby uzwojeń. Dalsze postępowaie jest aalogize jak w przypaku algorytmu opisaego w poprzeim rozziale. Należy utworzyć ukła rówań o postai (7), a astępie określić wektor ze współzyikami z (8). Bazowy ukła rówań () uwzglęia rugie pohoe fukji koeergi wię jej aproksymaja powia być lepsza lub wymagać miejszej lizby powtórzeń oblizaia rozkłau pola magetyzego w maszyie.. Wioski W pray opisao algorytmy, które formalizują sposób oblizaia stałyh współzyików występująyh w fukjah aproksymująyh ko-eergię, strumieie skojarzoe oraz iukyjośi wykorzystywae przy obwoowym opisie maszy elektryzyh z ieliiowym obwoem magetyzym. h ważą zaletą jest ograizeie lizby przypaków umeryzyh oblizeń rozkłau pola magetyzego w maszyie. stotą owośią jest także fakt, że przy aproksymaji uwzglęia się ie tylko wartośi fukji koeergi lez rówież jej pierwsze pohoe ząstkowe lub oatkowo także rugie pohoe ząstkowe. 7. iteratura [] Sobzyk.J., ergy-base pproah to Moelig the Mageti No-iearity i C Mahies, Part Geeral Formulas for the Co-eergy, ikage Fluxes a utaes, rhives of letrial gieerig, PWN, Warsaw, 8(-): 9-9 (999). [] Demerash N.., Nehl.W., letri Mahiery Parameters a orques by Curret a ergy Perturbatios from Fiel Computatios - Part : heory a Formulatio, ras. o ergy Coversio, (): 57-5 (999). [] Demeko., Nowak., Pietrowski W., Calulatio of Magetizatio Charateristi of a Squirrel Cage Mahie Usig ge lemet Metho, COMP, James & James Siee Pub., ():-8 (). [] Sobzyk.J., Methoologial spets of Mathematial Moelig of utio Mahies (i Polish), WN, Warsaw (). [5] Kuła J., Mathematial Moels of C Mahies outig for Saturatio (i Polish), Sie. Bull. of Silesia Uiversity of ehology, No. 8, Gliwie (5). []Bishop Ch. M., Patter Reogitio a Mahie earig, Spriger Siee + Busiess Meia, (). [7]Warzeha., Multiimesioal Magetizig Charateristis for Ciruit Moels of letrial Mahies (i Polish), Craow Uiversity of ehology, Moograph (8), Series of letrial & Computer g. (). utorzy: aeusz J. Sobzyk, prof. r hab. iż. pesobzy@yfroet.pl, am Warzeha, r hab. iż. pewarze@yfroet.pl, Witol Mazgaj, r hab. iż. pemazgaj@yfroet.pl, Politehika Krakowska, stytut lektromehaizyh Przemia ergi Kraków, -55, ul. Warszawska. Źróło fiasowaia Praa powstała w ramah projektu baawzego Moelowaie ieliiowoś histerezy i aizotropii w magetowoah przetworików elektromehaizyh z wirująym polem magetyzym, r //B/S7/79, fiasowaego przez Naroowe Cetrum Nauki. Reezet Prof. r hab. iż. Dariusz Spałek

6 Zeszyty problewe Maszyy lektryze Nr / z.