APROKSYMACJA NIELINIOWYCH CHARAKTERYSTYK MASZYN ELEKTRYCZNYCH PRĄDU PRZEMIENNEGO WIELOMIANAMI POTĘGOWYMI WIELU ZMIENNYCH

Wielkość: px
Rozpocząć pokaz od strony:

Download "APROKSYMACJA NIELINIOWYCH CHARAKTERYSTYK MASZYN ELEKTRYCZNYCH PRĄDU PRZEMIENNEGO WIELOMIANAMI POTĘGOWYMI WIELU ZMIENNYCH"

Transkrypt

1 Zeszyty problewe Maszyy lektryze Nr / z. aeusz J. Sobzyk, am Warzeha, Witol Mazgaj Politehika Krakowska PROKSYMCJ NNOWYCH CHRKRYSYK MSZYN KRYCZNYCH PRĄDU PRZMNNGO WOMNM POĘGOWYM WU ZMNNYCH PPROXMON OF NONNR CHRCRSCS OF C MCHNS BY MUVRB POWR POYNOMS Streszzeie: W elu uwzglęieia ieliiowośi obwou magetyzego maszyy elektryzej w elah obwoowyh ależy wyzazyć tzw. harakterystyki uzwojeń maszyy określająe strumieie skojarzoe każego z uzwojeń jako fukje prąów wszystkih uzwojeń. h aproksymaja jest - w zasazie - żliwa tylko za poą wielomiaów potęgowyh wielu zmieyh. Prowazi to o barzo złożoyh relaji mięzy fukjami aproksymująymi. W pray zapropoowao yfikaję metoyki określaia współzyików występująyh w tyh wielomiaah a postawie zbioru wartośi ko-eergii magetyzej oraz strumiei skojarzoyh lub oatkowo iukyjośi yamizyh przy wykorzystaiu metoy regresji liiowej. Jeozese wykorzystaie wartośi ko-eergii magetyzej oraz strumiei skojarzoyh ma a elu ograizeie zasu i kosztów oblizeń umeryzyh potrzebyh la ih oblizaia. bstrat: o el o-liearity of mageti iruit of alteratig urret mahies at iruit approah it is eessary to kow, so alle, harateristi of wiigs etermiig leakage fluxes as of eah wiig as a futio of urrets of all mahie wiigs. Suh futios a be approximate by multivariable power series of urrets. However, it leas to rather ompliate relatioships betwee a set of suh futios. he paper presets a methoology for omputatio of the oeffiiets of those multivariable power series bases o values of the o-eergy a the wiig leakage fluxes, or evetually yami iutaes, usig the liear regressio metho. Combiig those values reues time a osts of umerial omputatios eessary for its alulatios. Słowa kluzowe: maszyy elektryze, ieliiowość magetyza, ieliiowe harakterystyki uzwojeń, aproksymaja fukji ko-eergii magetyzej Keywors: letrial mahies, mageti oliearity, oliear wiig harateristis, approximatio of mageti o-eergy futio. Wstęp Moele obwoowe maszy prąu uwzglęiająe ieliiowość obwou magetyzego są wiąż przemiotem zaiteresowaia w wielu ośrokah [][][5]. Zasaizą truośią przy ih tworzeiu jest opis fukji wiążąyh strumieie skojarzoe każego z uzwojeń z prąami wszystkih uzwojeń oraz kątem obrotu. akie ele tworzoe w opariu o formalizm agrage a mają pewe ograizeia, gyż teoretyzie ie pozwalają a reprezetaję przewoząyh elemetów oraz histerezy obwou magetyzego. h zaletą jest zazie wygoiejsze elowaie zagaień eksploatayjyh barziej złożoyh ukłaów, w któryh maszyy elektryze są elemetem kluzowym. Ogóla postać rówań agrage a maszy prąu przemieego o N iezależyh uzwojeiah t ( )( ) i R {,,..., N} i u, ( )( ) J D m () wskazuje, że fukja ko-eergii ( ), gzie i { i in} jest zbiorem liiowo iezależyh prąów, jest ałkowiie wystarzająa o opisu maszyy. Jest to jeak ieliiowa fukja wielu zmieyh, której postać ie jest zaa, jak to ma miejse w przypaku założeia liiowośi obwou magetyzego. proksymaja fukji ko-eergii jest przemiotem wielu pra [][][7], lez w ajogóliejszym przypaku pozostaje jeyie zastosowaie szeregu aylora w postai

2 Zeszyty problewe Maszyy lektryze Nr / z. ) (, ) ()! ()! (, ) (, ) ()! () ( gzie (, ) ozaza różizkę rzęu oblizaą la zerowyh wartośi wszystkih prąów. Rówaia elektryze maszyy z ieliiowym obwoem magetyzym są ajzęśiej zapisywae w postai ( i, ) R i u () la {,,..., N}, w któryh występują strumieie sprzężoe uzwojeń maszyy ( ) spełiająe związki ( ) ( i, ), {,,..., N} i () Barzo zęsto używaa jest także forma tyh rówań posługująa się iukyjośiami yamizymi ( ) ( ), k ( i, ) () ik ik i la, k {,,..., N}. Wówzas przyjmują oe w zapisie maierzowym postać i ( ) ( ) R i u (5) Rówaiom maszyy ża aać postać awiązująą o klasyzej ih postai z maierzą iukyjośi ( ) i R i u () lemety, k ( ) takiej maierzy iukyjośi są fukjami wszystkih prąów oraz kąta obrotu. Maierz ( ) ie jest jeak jeozazie określoa. Założeie o jej symetrii pozwala jeozazie określić jej elemety, efiiują je jako iukyjośi ieliiowe []. W praah [][] zapropoowao zyfikowaą formę zapisu szeregu aylora fukji koeergii la maszy elektryzyh, wprowazają formy wyższyh rzęów, a wzór formy kwaratowej, opisująej ko-eergię ukłau ewek o liiowyh harakterystykah. W tym zapisie fukja ko-eergii przyjmuje formę ( i, ) i ( ) i + i iag N i i ( ) iag Ni i i i iag i i iag i i ( ) + N i i iag i i i iag (7) N N Wyorębioo w im maierze ( ), ( ) N oraz ( ), któryh elemety zależą jeyie o kąta obrotu, a ie zależą o prąów. Wygoiejszy jest jeak zapis ( i, ) i ( ) i i ) i i ( ( ) i (8) w którym maierze ( ), ( ), ( ) wyikają z formy (7), a fukja ko-eergii jest sumą form kwaratowyh prąów utworzoyh a bazie tyh maierzy. Pozwala to zapisać wektor strumiei skojarzoyh uzwojeń maszyy w postai ( ) ( ) ( ) ( ) i (9) a maierze iukyjośi yamizyh i ieliiowyh jako ( ) ( ) ( ) 5( ) () ( ) ( ) ( ) ( ) () We wszystkih powyższyh zależośiah występują te same współzyiki stałe, zależe o kąta, które są zgrupowae w maierzah (), ( ), ( ), o elemetah stałyh la zaaego położeia wirika. W elu opisu maszyy elektryzej uwzglęiająego ieliiowość obwou magetyzego ależy te współzyiki wyzazyć, korzystają z wyików oblizaia rozkłau pola magetyzego metoami umeryzymi. W pray opisao algorytm określaia elemetów maierzy ( ), ( ), ( ), a postawie wartośi ko-eergii oraz strumiei skojarzoyh oblizoyh umeryzie z rozkłau pola magetyzego la określoego zbioru wartośi prąów i { i in}, a także ieo zyfikoway uwzglęiająy także wartośi iukyjośi yamizyh. Pozwalają oe a reukję lizby przypaków umeryzego oblizaia rozkłau pola gyż la oblizeia współzyików fukji aproksymująyh wykorzystywae są zarówo wartośi ko-eergii jaki rówież wartośi strumiei skojarzoyh (zyli pohoyh fukji ko-eergii wzglęem poszzególyh

3 Zeszyty problewe Maszyy lektryze Nr / z. prąów), które ża oblizyć a postawie tego samego rozkłau pola magetyzego.. Opis algorytmu aproksymaji fukji ko-eergii i strumiei skojarzoyh Metoologia określaia współzyików fukji aproksymująyh ko-eergię, strumieie skojarzoe oraz iukyjośi yamize i ieliiowe zostaie przestawioa a przykłazie maszyy o wóh uzwojeiah. Ma to a elu przejrzystą prezetaję jej iei. Doatkowo, z tego samego powou, ograizoo aproksymaję fukji ko-eergii o pierwszyh wóh różizek w szeregu aylora ( i, i) (,) (,) ()! ()! W tym i alszyh zapisah pomiięto zależość ko-eergii oraz strumiei skojarzoyh o kąta obrotu, przyjmują, że obowiązują oe la wybraej wartośi tego kąta. Fukja aproksymująa ko-eergię ma w bezpośreim zapisie szeregiem potęgowym postać,,, i, i i,, i i, i ( i, i ) ( i i i i ) ( i i, ) () w której współzyiki stałe są określoe przez opowieie pohoe ząstkowe fukji ( i, i) oblizae la zerowyh wartośi prąów. Każy z ih że być fukją kąta, zego ie uwzglęioo w zapisie. Przy takiej aproksymaji fukji ko-eergii maierze oraz ( i, i ) występująe w (8), (9), () i () mają postai,,,,, i i (i, i ) i i,,,, i,,,, i i,,,,,,,, i W kosekwej strumieie skojarzoe uzwojeń ależy aproksywać fukjami ( i, i) ( i, i) (, i, i) i (, i, i i, i i, i ) (a) ( i, i) ( i, i) (, i, i) i (, i, i i, i i, i ) (b) Z powyższyh zapisów jeozazie wyika, że we zależośiah () oraz (a,b) występują te same stałe współzyiki. W elu ih określeia ża wykorzystać wszystkie trzy powyższe zależośi jeoześie. Należy pokreślić, że komeryje pakiety o aalizy pola magetyzego użliwiają oblizaie tyh wartośi w fazie post-proesigu a postawie oblizoego rozkłau pola. Jeżeli ozazyć przez ( ) wartość ko-eergii oblizoej a postawie rozkłau pola la pary prąów, oraz opowieio przez ψ ( ), ψ ( ) ozazyć wartośi strumiei skojarzoyh każego z uzwojeń, oblizoe a postawie tego samego rozkłau pola, wówzas ża zapisać astępująy ukła rówań algebraizyh liiowyh, w którym iewiaomymi są współzyiki fukji () oraz (a,b). ( ),, ψ( ),, ψ( ),,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,, () Ukła rówań () otrzymao wykorzystują zarówo wartość fukji ko-eergii jak i wartośi jej pierwszyh pohoyh ząstkowyh la wybraej wartośi jej zmieyh iezależyh. stotym jest fakt, że ża go utworzyć a postawie jeego rozwiązaia rówań pola. Jest to ukła o maierzy prostokątej o ogólej postai W( ) ( ) (5)

4 Zeszyty problewe Maszyy lektryze Nr / z. W ogólym przypaku jego wymiary zależą o lizby uzwojeń maszyy oraz lizby wyrazów różizek uwzglęiayh w rozwiięiu aylora fukji ko-eergii. izba wierszy w ukłazie () la maszyy o M uzwojeiah wyosi M+. izba kolum wzrasta barzo szybko wraz ze stopiem uwzglęiaej różizki oraz lizby uzwojeń. Ukła rówań () staowi postawę la zastosowaia metoy regresji liiowej o wyzazaia wartośi współzyików fukji aproksymująyh () oraz (a,b). W tym elu ależy przeprowazić serię oblizeń wartośi ko-eergii oraz strumiei skojarzoyh w wybraym obszarze przestrzei prąów i,i. Na postawie takiego zbioru wartośi ża utworzyć ukła rówań o postai W () złożoego z rówań (5) uporząkowayh w astępująy sposób W() () W () () W(N) (N) (7) Metoa regresji prowazi o wyrażeia określająego wektor o postai W (8) w którym maierz jest zaa jako maierz pseuo-oworta Moore-Perose a la maierzy []. lgorytm opisay w tym rozziale pozwala w istoty sposób ograizyć ilość oblizeń koiezyh o oblizeia współzyików fukji aproksymująyh ko-eergię oraz strumieie skojarzoe uzwojeń maszyy z ieliiowym obwoem magetyzym. Ważą jego zaletą jest jeozesa aproksymaja fukji ko-eergii oraz jej pierwszyh pohoyh ząstkowyh, zyli strumiei skojarzoyh uzwojeń maszyy.. lgorytm uwzglęiająy oatkowo iukyjośi yamize uzwojeń lgorytm opisay powyżej ża rozbuować uwzglęiają wyrażeia aproksymująe iukyjośi yamize, zyli rugie pohoe ząstkowe fukji ko-eergii. Przy założoej jej aproksymaji wielomiaem () iukyjośi yamize są aproksywae fukjam w któryh występują te same współzyiki jak w związkah () oraz (a,b) (, ) i i,( i, i), i,,, i ( i i i ) (9a) (, ) i i,( i, i), i (, i, i i, i ) (9b) ( i, i),( i, i), i i (, i, i i, i ) (9) W efekie ża powiększyć ukła rówań () o oatkowe trzy rówaia ( ),,,, ψ( ),,, ψ ( ),,,, ( ),, ( ), ( ),,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,, () W tyh rówaiah zahowao ozazeia z rówań (). by je otrzymać ależy jeak wykoać wa oatkowe oblizeia rozkłau pola magetyzego la wóh par prąów (, ) oraz (, ), zyskują jeak trzy rówaia. ukyjośi yamize wyikają z zależośi - la pierwszej pary prąów ( ), ( ) ψ, ( ),, ( ) ψ, ( )

5 Zeszyty problewe Maszyy lektryze Nr / z. 5 - la rugiej pary prąów ( ), ψ, ( ) ( ),, ψ, ( ) ( ) Poieważ wartośi,() oraz, () muszą być rówe, w rzezywistyh oblizeiah ależałoby przyjąć ψ,( ) ψ,( ),( ),( ) ukyjośi yamize ża także wyzazyć korzystają z wzorów a aproksymaje rugih pohoyh ząstkowyh fukji ko-eergii lez wymaga to oblizaia rozkłau pola la ztereh par prąów: ( ), ( ) oraz,,, ), (, ). ( W ogólym przypaku lizba wierszy w ukłazie () wyiesie M M (M )/, gzie M ozaza lizbę uzwojeń maszyy. Zatem oatkowe oblizaie rozkłaów pola w elu określeia iukyjośi yamizyh że być opłaale. izba kolum, poobie jak w ukłazie (), wzrasta barzo szybko wraz ze stopiem uwzglęiaej różizki oraz lizby uzwojeń. Dalsze postępowaie jest aalogize jak w przypaku algorytmu opisaego w poprzeim rozziale. Należy utworzyć ukła rówań o postai (7), a astępie określić wektor ze współzyikami z (8). Bazowy ukła rówań () uwzglęia rugie pohoe fukji koeergi wię jej aproksymaja powia być lepsza lub wymagać miejszej lizby powtórzeń oblizaia rozkłau pola magetyzego w maszyie.. Wioski W pray opisao algorytmy, które formalizują sposób oblizaia stałyh współzyików występująyh w fukjah aproksymująyh ko-eergię, strumieie skojarzoe oraz iukyjośi wykorzystywae przy obwoowym opisie maszy elektryzyh z ieliiowym obwoem magetyzym. h ważą zaletą jest ograizeie lizby przypaków umeryzyh oblizeń rozkłau pola magetyzego w maszyie. stotą owośią jest także fakt, że przy aproksymaji uwzglęia się ie tylko wartośi fukji koeergi lez rówież jej pierwsze pohoe ząstkowe lub oatkowo także rugie pohoe ząstkowe. 7. iteratura [] Sobzyk.J., ergy-base pproah to Moelig the Mageti No-iearity i C Mahies, Part Geeral Formulas for the Co-eergy, ikage Fluxes a utaes, rhives of letrial gieerig, PWN, Warsaw, 8(-): 9-9 (999). [] Demerash N.., Nehl.W., letri Mahiery Parameters a orques by Curret a ergy Perturbatios from Fiel Computatios - Part : heory a Formulatio, ras. o ergy Coversio, (): 57-5 (999). [] Demeko., Nowak., Pietrowski W., Calulatio of Magetizatio Charateristi of a Squirrel Cage Mahie Usig ge lemet Metho, COMP, James & James Siee Pub., ():-8 (). [] Sobzyk.J., Methoologial spets of Mathematial Moelig of utio Mahies (i Polish), WN, Warsaw (). [5] Kuła J., Mathematial Moels of C Mahies outig for Saturatio (i Polish), Sie. Bull. of Silesia Uiversity of ehology, No. 8, Gliwie (5). []Bishop Ch. M., Patter Reogitio a Mahie earig, Spriger Siee + Busiess Meia, (). [7]Warzeha., Multiimesioal Magetizig Charateristis for Ciruit Moels of letrial Mahies (i Polish), Craow Uiversity of ehology, Moograph (8), Series of letrial & Computer g. (). utorzy: aeusz J. Sobzyk, prof. r hab. iż. pesobzy@yfroet.pl, am Warzeha, r hab. iż. pewarze@yfroet.pl, Witol Mazgaj, r hab. iż. pemazgaj@yfroet.pl, Politehika Krakowska, stytut lektromehaizyh Przemia ergi Kraków, -55, ul. Warszawska. Źróło fiasowaia Praa powstała w ramah projektu baawzego Moelowaie ieliiowoś histerezy i aizotropii w magetowoah przetworików elektromehaizyh z wirująym polem magetyzym, r //B/S7/79, fiasowaego przez Naroowe Cetrum Nauki. Reezet Prof. r hab. iż. Dariusz Spałek

6 Zeszyty problewe Maszyy lektryze Nr / z.

BEZPOŚREDNIE WYZNACZANIE ROZWIĄZAŃ OKRESOWYCH DLA PRZETWORNIKÓW ELEKTROMECHANICZNYCH W DZIEDZINIE CZASU

BEZPOŚREDNIE WYZNACZANIE ROZWIĄZAŃ OKRESOWYCH DLA PRZETWORNIKÓW ELEKTROMECHANICZNYCH W DZIEDZINIE CZASU Zeszyty Problemowe aszyy Elektryze r 3/4 (3 3 Taeusz Sobzyk, ihał Razik Politehika Krakowska, Istytut Elektromehaizyh Przemia Eergii Państwowa Wyższa Szkoła Zawoowa w owym Sązu, Istytut Tehizy BEZPŚREDIE

Bardziej szczegółowo

Równania liniowe rzędu drugiego stałych współczynnikach

Równania liniowe rzędu drugiego stałych współczynnikach Rówaia liiowe rzędu drugiego stałyh współzyikah Rówaiem różizkowym zwyzajym liiowym drugiego rzędu azywamy rówaie postai p( t) y q( t) y r( t), (1) gdzie p( t), q( t), r( t ) są daymi fukjami Rówaie to,

Bardziej szczegółowo

Statystyczna kontrola procesu karty kontrolne Shewharta.

Statystyczna kontrola procesu karty kontrolne Shewharta. tatystyza kotrola proesu karty kotrole hewharta. Każe przesiębiorstwo proukyje, ąży o tego, aby proukty które wytwarza były jak ajlepszej jakośi. W zisiejszyh zasah, to właśie jakość pozwala utrzymać się

Bardziej szczegółowo

ZASTOSOWANIE METODY CBR DO SZACOWANIA KOSZTÓW WYTWARZANIA W FAZIE PROJEKTOWANIA

ZASTOSOWANIE METODY CBR DO SZACOWANIA KOSZTÓW WYTWARZANIA W FAZIE PROJEKTOWANIA ZASTOSOWANIE METODY CBR DO SZACOWANIA KOSZTÓW WYTWARZANIA W FAZIE PROJEKTOWANIA prof. r hab. iż. Ryszar Kosala r.kosala@po.opole.pl mgr iż. Barbara Baruś b.barus@po.opole.pl Politechika Opolska Wyział

Bardziej szczegółowo

Szeregi liczbowe i ich własności. Kryteria zbieżności szeregów. Zbieżność bezwzględna i warunkowa. Mnożenie szeregów.

Szeregi liczbowe i ich własności. Kryteria zbieżności szeregów. Zbieżność bezwzględna i warunkowa. Mnożenie szeregów. Materiały dydaktyze Aaliza Matematyza (Wykład 3) Szeregi lizbowe i ih własośi. Kryteria zbieżośi szeregów. Zbieżość bezwzględa i warukowa. Możeie szeregów. Defiija. Nieh {a } N będzie iągiem lizbowym.

Bardziej szczegółowo

Mieszanie. otrzymanie jednorodnych roztworów, emulsji i zawiesin intensyfikacja procesów wymiany ciepła intensyfikacja procesów wymiany masy

Mieszanie. otrzymanie jednorodnych roztworów, emulsji i zawiesin intensyfikacja procesów wymiany ciepła intensyfikacja procesów wymiany masy ieszaie Celem procesu mieszaia jest : otrzymaie jeoroych roztworów, emulsji i zawiesi itesyfikacja procesów wymiay ciepła itesyfikacja procesów wymiay masy Sposoby prowazeia mieszaia w śroowisku ciekłym

Bardziej szczegółowo

Metoda szeregów potęgowych dla równań różniczkowych zwyczajnych liniowych. Równanie różniczkowe zwyczajne liniowe drugiego rzędu ma postać

Metoda szeregów potęgowych dla równań różniczkowych zwyczajnych liniowych. Równanie różniczkowe zwyczajne liniowe drugiego rzędu ma postać met_szer_potegowyh-.doowyh Metod szeregów potęgowyh dl rówń różizkowyh zwyzjyh liiowyh Rówie różizkowe zwyzje liiowe drugiego rzędu m postć d u d f du d gu h ( Złóżmy, że rozwiązie rówi ( może yć przedstwioe

Bardziej szczegółowo

Programowanie ilorazowe #1

Programowanie ilorazowe #1 Programowanie ilorazowe #1 Problem programowania ilorazowego (PI) jest przykłaem problemu programowania matematyznego nieliniowego, który można skuteznie zlinearyzować, tzn. zapisać (i rozwiązać) jako

Bardziej szczegółowo

AM1.1 zadania 8 Przypomn. e kilka dosyć ważnych granic, które już pojawiły się na zajeciach. 1. lim. = 0, lim. = 0 dla każdego a R, lim (

AM1.1 zadania 8 Przypomn. e kilka dosyć ważnych granic, które już pojawiły się na zajeciach. 1. lim. = 0, lim. = 0 dla każdego a R, lim ( AM11 zadaia 8 Przypom e kilka dosyć ważyh grai, które już pojawiły się a zajeiah e 1 lim 1 l(1+) (1+) 1, lim 1, lim a 1 si a, lim 1 0 0 0 0 l 2 lim 0, lim a 0 dla każdego a R, lim (1 + 1 e ) e, lim 1/

Bardziej szczegółowo

Zadanie 1 Probówka I: AgNO 3 + NaCl AgCl + NaNO 3 Probówka II: 3AgNO 3 + AlCl 3 3AgCl + Al(NO 3 ) 3 Zadanie 2 Przykłady poprawnych odpowiedzi

Zadanie 1 Probówka I: AgNO 3 + NaCl AgCl + NaNO 3 Probówka II: 3AgNO 3 + AlCl 3 3AgCl + Al(NO 3 ) 3 Zadanie 2 Przykłady poprawnych odpowiedzi www.ehedukaja.pl Zbiór zadań CKE Roztwory i reakje zahodząe w roztworah wodyh - odpowiedzi Zadaie Probówka I: AgNO + NaCl AgCl + NaNO Probówka II: AgNO + AgCl + Al(NO ) Zadaie Przykłady poprawyh odpowiedzi

Bardziej szczegółowo

EFEKTY DYSPERSYJNE ZNIEKSZTAŁCAJĄCE KRÓTKIE IMPULSY LASEROWE. prof. Halina Abramczyk Laboratory of Laser Molecular Spectroscopy

EFEKTY DYSPERSYJNE ZNIEKSZTAŁCAJĄCE KRÓTKIE IMPULSY LASEROWE. prof. Halina Abramczyk Laboratory of Laser Molecular Spectroscopy EFEKTY DYSPERSYJNE ZNIEKSZTAŁCAJĄCE KRÓTKIE IMPUSY ASEROWE T t N t Dwa główe mehaizmy powoująe ziekształeie impulsów laserowyh: ) GVD-group veloity isspersio ) SMP-self phase moulatio 3 E E τ () 0 t /

Bardziej szczegółowo

Część I. Wyznaczanie parametrów sieci i grupy przestrzennej dla kryształów oksymu oksofenyloacetaldehydu. Zakres materiału do opanowania

Część I. Wyznaczanie parametrów sieci i grupy przestrzennej dla kryształów oksymu oksofenyloacetaldehydu. Zakres materiału do opanowania Retgeowska aaliza strukturala Wyzazaie parametrów siei oraz grupy przestrzeej a postawie yfraktogramów wykoayh la pojeyzego kryształu Zakres materiału o opaowaia Sieć owrota (relaja siei owrotej o prostej)

Bardziej szczegółowo

Dyskretna transformata falkowa z wykorzystaniem falek Haara. Alfréd Haar

Dyskretna transformata falkowa z wykorzystaniem falek Haara. Alfréd Haar Dyskretna transformata falkowa z wykorzystaniem falek Haara Alfréd Haar 88-9 Przypomnijmy, że istotą DWT jest podział pierwotnego sygnału za pomoą pary filtrów (górnoprzepustowego i dolnoprzepustowego)

Bardziej szczegółowo

Elementy rach. macierzowego Materiały pomocnicze do MES Strona 1 z 7. Elementy rachunku macierzowego

Elementy rach. macierzowego Materiały pomocnicze do MES Strona 1 z 7. Elementy rachunku macierzowego Elemety rach macierzowego Materiały pomocicze do MES Stroa z 7 Elemety rachuku macierzowego Przedstawioe poiżej iformacje staowią krótkie przypomieie elemetów rachuku macierzowego iezbęde dla zrozumieia

Bardziej szczegółowo

Temat lekcji: Utrwalenie wiadomości dotyczących rozwiązywania równań kwadratowych.

Temat lekcji: Utrwalenie wiadomości dotyczących rozwiązywania równań kwadratowych. -- S C E N A R I U S Z L E K C J I Przedmiot: Matematyka Klasa: (poziom podstawowy Imię i azwisko auzyiela: Aleksadra Trzepaz Temat lekji: Utrwaleie wiadomośi dotyząyh rozwiązywaia rówań kwadratowyh. Cele

Bardziej szczegółowo

PLAN WYKŁADU. Równowaga układu niejednorodnego Przemiany fazowe 1 /32

PLAN WYKŁADU. Równowaga układu niejednorodnego Przemiany fazowe 1 /32 PLAN WYKŁADU Rówowaa ukłau iejeoroeo Przemiay fazowe /32 Poręziki Salby, hater 4 &W, hater 4 R&Y, hater 2 2 /32 RÓWNOWAGA UKŁADU NIEJEDNORODNEGO 3 /32 Waruek rówowai la ukłau jeoroeo: rówowaa termiza (temeratura)

Bardziej szczegółowo

Ćwiczenie nr 5 BADANIE SOCZEWKI

Ćwiczenie nr 5 BADANIE SOCZEWKI Ćwizeie r 5 BADANIE SOCZEWKI. Wprowazeie Zolość sozewe o załamywaia promiei świetlyh uzależioa jest o astępująyh zyiów: a) ształtu powierzhi załamująyh promieie rzywiz b) materiału z tórego są wyoae współzyi

Bardziej szczegółowo

D. Miszczyńska, M.Miszczyński KBO UŁ, Badania operacyjne (wykład 6 _ZP) [1] ZAGADNIENIE PRZYDZIAŁU (ZP) (Assignment Problem)

D. Miszczyńska, M.Miszczyński KBO UŁ, Badania operacyjne (wykład 6 _ZP) [1] ZAGADNIENIE PRZYDZIAŁU (ZP) (Assignment Problem) D. Miszczyńska, M.Miszczyński KBO UŁ, Badaia operacyje (wykład 6 _ZP) [1] ZAGADNIENIE PRZYDZIAŁU (ZP) (Assigmet Problem) Bliskim "krewiakiem" ZT (w sesie podobieństwa modelu decyzyjego) jest zagadieie

Bardziej szczegółowo

V OGÓLNOPOLSKI KONKURS Z FIZYKI Fizyka się liczy I Etap ZADANIA 27 lutego 2013r.

V OGÓLNOPOLSKI KONKURS Z FIZYKI Fizyka się liczy I Etap ZADANIA 27 lutego 2013r. V OGÓLNOPOLSKI KONKURS Z FIZYKI Fizka się licz I Etap ZDNI 7 lutego 3r.. Dwa pociski wstrzeloo jeocześie w tę saą stroę z wóch puktów oległch o o. Pierwsz pocisk wstrzeloo z prękością o po kąte α. Z jaką

Bardziej szczegółowo

Twierdzenie Cayleya-Hamiltona

Twierdzenie Cayleya-Hamiltona Twierdzeie Cayleya-Hamiltoa Twierdzeie (Cayleya-Hamiltoa): Każda macierz kwadratowa spełia swoje włase rówaie charakterystycze. D: Chcemy pokazać, że jeśli wielomiaem charakterystyczym macierzy A jest

Bardziej szczegółowo

2.27. Oblicz wartość wyrażenia 3 a Wykaż, że jeżeli x i y są liczbami dodatnimi oraz x+ y =16, to ( 1+

2.27. Oblicz wartość wyrażenia 3 a Wykaż, że jeżeli x i y są liczbami dodatnimi oraz x+ y =16, to ( 1+ MATURA z matematki w roku,, fragmet Liza log log log log log 7 log 8 jest: 7 A iewmiera, B ałkowita, C kwadratem liz aturalej, D większa od 7 : B 7 Oliz wartość wrażeia a wiedzą, że a a 7 Wskazówka: Zauważ,

Bardziej szczegółowo

Elementy modelowania matematycznego

Elementy modelowania matematycznego Elemety modelowaia matematyczego Wstęp Jakub Wróblewski jakubw@pjwstk.edu.pl http://zajecia.jakubw.pl/ TEMATYKA PRZEDMIOTU Modelowaie daych (ilościowe): Metody statystycze: estymacja parametrów modelu,

Bardziej szczegółowo

G:\AA_Wyklad 2000\FIN\DOC\Fourier.doc. Drgania i fale II rok Fizyki BC. zawierają fazy i amplitudy.

G:\AA_Wyklad 2000\FIN\DOC\Fourier.doc. Drgania i fale II rok Fizyki BC. zawierają fazy i amplitudy. Elemety aalizy ourierowskiej: W przypadku drgań było: () t A + A ( ω t + φ ) + A os( 2ω t + φ ) gdzie + A ω 0 os 2 2 os( ω t + φ ) +... 2π Moża zapisać jako: [ ] () t A + C exp( iω t) + C ( iω t) gdzie

Bardziej szczegółowo

Metrologia: miary dokładności. dr inż. Paweł Zalewski Akademia Morska w Szczecinie

Metrologia: miary dokładności. dr inż. Paweł Zalewski Akademia Morska w Szczecinie Metrologia: miary dokładości dr iż. Paweł Zalewski Akademia Morska w Szczeciie Miary dokładości: Najczęściej rozkład pomiarów w serii wokół wartości średiej X jest rozkładem Gaussa: Prawdopodobieństwem,

Bardziej szczegółowo

ALGEBRA LINIOWA Informatyka 2015/2016 Kazimierz Jezuita. ZADANIA - Seria 1. Znaleźć wzór na ogólny wyraz ciągu opisanego relacją rekurencyjną: x

ALGEBRA LINIOWA Informatyka 2015/2016 Kazimierz Jezuita. ZADANIA - Seria 1. Znaleźć wzór na ogólny wyraz ciągu opisanego relacją rekurencyjną: x Iformatyka 05/06 Kazimierz Jezuita ZADANIA - Seria. Relacja rekurecyja kowecja sumacyja suma ciągu geometryczego. Zaleźć wzór a ogóly wyraz ciągu opisaego relacją rekurecyją: x sprowadzając problem do

Bardziej szczegółowo

PRACOWNIA ELEKTRYCZNA I ELEKTRONICZNA. Zespół Szkół Technicznych w Skarżysku-Kamiennej. Sprawozdanie

PRACOWNIA ELEKTRYCZNA I ELEKTRONICZNA. Zespół Szkół Technicznych w Skarżysku-Kamiennej. Sprawozdanie Zespół Szkół Tehizyh w Skarżysku-Kamieej Sprawozdaie PRCOWN ELEKTRYCZN ELEKTRONCZN imię i azwisko z ćwizeia r 1 Temat ćwizeia: UKŁDY REGULCJ NTĘŻEN PRĄDU rok szkoly klasa grupa data wykoaia. Cel ćwizeia:

Bardziej szczegółowo

Elementy nieliniowe w modelach obwodowych oznaczamy przy pomocy symboli graficznych i opisu parametru nieliniowego. C N

Elementy nieliniowe w modelach obwodowych oznaczamy przy pomocy symboli graficznych i opisu parametru nieliniowego. C N OBWODY SYGNAŁY 1 5. OBWODY NELNOWE 5.1. WOWADZENE Defiicja 1. Obwodem elektryczym ieliiowym azywamy taki obwód, w którym występuje co ajmiej jede elemet ieliiowy bądź więcej elemetów ieliiowych wzajemie

Bardziej szczegółowo

Obliczenie liczby zwojów w uzwojeniu wtórnym 1 pkt n n I = U I

Obliczenie liczby zwojów w uzwojeniu wtórnym 1 pkt n n I = U I WOJEWÓDZKI KONKRS FIZYCZNY DLA CZNIÓW GIMNAZJÓW W ROK SZKOLNYM 205/206 STOPIEŃ WOJEWÓDZKI KLCZ ODPOWIEDZI I SCHEMAT PNKTOWANIA waga: Poprawe rozwiązaie zadań, iym sposobem iż poday w kryteriah, powoduje

Bardziej szczegółowo

UKŁADY REGULACJI NAPIĘCIA

UKŁADY REGULACJI NAPIĘCIA Zespół Szkół Tehizyh w Skarżysku-Kamieej Sprawozdaie z ćwizeia r 2 Temat ćwizeia: PRACOWNIA ELEKTRYCZNA I ELEKTRONICZNA imię i azwisko KŁADY REGLACJI NAPIĘCIA rok szkoly klasa grupa data wykoaia I. Cel

Bardziej szczegółowo

Parametryzacja rozwiązań układu równań

Parametryzacja rozwiązań układu równań Parametryzacja rozwiązań układu rówań Przykład: ozwiąż układy rówań: / 2 2 6 2 5 2 6 2 5 //( / / 2 2 9 2 2 4 4 2 ) / 4 2 2 5 2 4 2 2 Korzystając z postaci schodkowej (środkowa macierz) i stosując podstawiaie

Bardziej szczegółowo

OBLICZENIA RÓWNOLEGŁE

OBLICZENIA RÓWNOLEGŁE OBLICZENIA RÓWNOLEGŁE Temat 1: Algorytm, złożoość - przypomieie Prowadząy: e-mail: http:// dr hab. iż. Zbigiew TARAPATA, prof. WAT pok.57, tel.: 61-83-95-04 Zbigiew.Tarapata@wat.edu.pl tarapata.strefa.pl/p_oblizeia_rowolegle/

Bardziej szczegółowo

WYZNACZANIE OGNISKOWEJ SOCZEWEK CIENKICH ZA POMOCĄ ŁAWY OPTYCZNEJ

WYZNACZANIE OGNISKOWEJ SOCZEWEK CIENKICH ZA POMOCĄ ŁAWY OPTYCZNEJ ĆWICZENIE 9 WYZNACZANIE OGNISKOWEJ SOCZEWEK CIENKICH ZA POMOCĄ ŁAWY OPTYCZNEJ Opis kł pomirowego A) Wyzzie ogiskowej sozewki skpijąej z pomir oległośi przemiot i obrz o sozewki Szzególie proste, rówoześie

Bardziej szczegółowo

Wyznaczanie czasu retencji gazu gaśniczego

Wyznaczanie czasu retencji gazu gaśniczego st. kpt. gr iż. Przeysław Kubica Wyzaczaie czasu retecji gazu gaśiczego 1 Cel ćwiczeia Cele ćwiczeia jest: a) wykoaie testu szczelości poieszczeia etoą wetylatora rzwiowego (ag. oor fa test); b) a postawie

Bardziej szczegółowo

Wykład Pole magnetyczne, indukcja elektromagnetyczna

Wykład Pole magnetyczne, indukcja elektromagnetyczna Wykła 5 5. Pole magnetyczne, inukcja elektromagnetyczna Prawo Ampera Chcemy teraz znaleźć pole magnetyczne wytwarzane przez powszechnie występujące rozkłay prąów, takich jak przewoniki prostoliniowe, cewki

Bardziej szczegółowo

MATEMATYKA zadania domowe dla studentów Ekonomii, rok 2016/17 Zestaw opracowała dr inż. Alina Jóźwikowska

MATEMATYKA zadania domowe dla studentów Ekonomii, rok 2016/17 Zestaw opracowała dr inż. Alina Jóźwikowska MATEMATYKA zadaia domow dla studtów Ekoomii rok /7 Zstaw opraowała dr iż Alia Jóźwikowska PRACA DOMOWA 5/EK CIĄGI LICZBOWE Zad Zbadać mootoizość iągu o wyrazi ogólym! a a b a a! zad Wykazać ograizoość

Bardziej szczegółowo

WYZNACZANIE WSPÓŁCZYNNIKA ZAŁAMANIA ŚWIATŁA METODĄ SZPILEK I ZA POMOCĄ MIKROSKOPU. Wprowadzenie. = =

WYZNACZANIE WSPÓŁCZYNNIKA ZAŁAMANIA ŚWIATŁA METODĄ SZPILEK I ZA POMOCĄ MIKROSKOPU. Wprowadzenie. = = WYZNACZANIE WSPÓŁCZYNNIKA ZAŁAMANIA ŚWIATŁA METODĄ SZPILEK I ZA POMOCĄ MIKROSKOPU Wprowadzeie. Przy przejśiu światła z jedego ośrodka do drugiego występuje zjawisko załamaia zgodie z prawem Selliusa siα

Bardziej szczegółowo

Wprowadzenie. metody elementów skończonych

Wprowadzenie. metody elementów skończonych Metody komputerowe Wprowadzeie Podstawy fizycze i matematycze metody elemetów skończoych Literatura O.C.Ziekiewicz: Metoda elemetów skończoych. Arkady, Warszawa 972. Rakowski G., acprzyk Z.: Metoda elemetów

Bardziej szczegółowo

ANALIZA FUNKCJONAŁÓW NIEWYPUKŁYCH CHARAKTERYZUJĄCYCH MIKROMAGNETYKI

ANALIZA FUNKCJONAŁÓW NIEWYPUKŁYCH CHARAKTERYZUJĄCYCH MIKROMAGNETYKI INSTYTUT PODSTAWOWYCH PROBLEMÓW TECHNIKI PAN ZAKŁAD MECHANIKI MATERIAŁÓW I BIOMECHANIKI PRACOWNIA METOD WARIACYJNYCH I BIOMECHANIKI Eleoora Krugleko ANALIZA FUNKCJONAŁÓW NIEWYPUKŁYCH CHARAKTERYZUJĄCYCH

Bardziej szczegółowo

Badanie stabilności układu sterowania statkiem z nieliniowym autopilotem

Badanie stabilności układu sterowania statkiem z nieliniowym autopilotem Baaie stabilości ułau sterowaia statiem z ieliiowym autopilotem Zliearyzowae rówaie wiążące ochyleie ursu statu (zmiaę ąta ursu wzglęem ursu zaaego) ψ z ątem wychyleia steru δ jest astępujące (tzw. moel

Bardziej szczegółowo

ĆWICZENIE 10 Prawo podziału Nernsta

ĆWICZENIE 10 Prawo podziału Nernsta ĆWCZENE 0 Prawo podziału Nersta Wprowadzeie: Substaja rozpuszzoa w dwóh pozostająyh w rówowadze ze sobą fazah (p. dwie iemieszająe się ze sobą ieze, iez i gaz itp.) ulega rozdziałowi pomiędzy te fazy.

Bardziej szczegółowo

GENEZA WYZNACZNIKA. Układ równań liniowych z dwiema niewiadomymi. Rozwiązania układu metodą eliminacji Gaussa

GENEZA WYZNACZNIKA. Układ równań liniowych z dwiema niewiadomymi. Rozwiązania układu metodą eliminacji Gaussa / WYKŁD. Wyzzik mierzy: defiij idukyj i permutyj. Włsośi wyzzików, rozwiięie Lple', wzór Srrus. Mierz odwrot i sposoy jej wyzzi. GENEZ WYZNCZNIK Ukłd rówń liiowyh z dwiem iewidomymi, y x y x Rozwiązi ukłdu

Bardziej szczegółowo

W3. PRZEKSZTAŁTNIKI SIECIOWE 2 ( AC/DC;)

W3. PRZEKSZTAŁTNIKI SIECIOWE 2 ( AC/DC;) W3. PRZEKSZTAŁTNK SECOWE ( AC/DC;) PROSTOWNK STEROWANE [L: str 17-154], [L6: str 10-160] (prostowniki tyrystorowe sterowane fazowo) Postawowe cechy prostowników - kryteria poziału - liczba faz - liczba

Bardziej szczegółowo

Podprzestrzenie macierzowe

Podprzestrzenie macierzowe Podprzestrzeie macierzowe Defiicja: Zakresem macierzy AŒ mâ azywamy podprzestrzeń R(A) przestrzei m geerowaą przez zakres fukcji ( ) : m f x = Ax ( A) { Ax x } = Defiicja: Zakresem macierzy A Œ âm azywamy

Bardziej szczegółowo

Podprzestrzenie macierzowe

Podprzestrzenie macierzowe Podprzestrzeie macierzowe Defiicja: Zakresem macierzy AŒ mâ azywamy podprzestrzeń R(A) przestrzei m geerowaą przez zakres fukcji : m f x = Ax RAAx x Defiicja: Zakresem macierzy A Œ âm azywamy podprzestrzeń

Bardziej szczegółowo

Analityczne metody kinematyki mechanizmów

Analityczne metody kinematyki mechanizmów J Buśkiewicz Analityczne Metoy Kinematyki w Teorii Mechanizmów Analityczne metoy kinematyki mechanizmów Spis treści Współrzęne opisujące położenia ogniw pary kinematycznej Mechanizm korowo-wozikowy (crank-slier

Bardziej szczegółowo

OCHRONA PRZECIWPOŻAROWA BUDYNKÓW

OCHRONA PRZECIWPOŻAROWA BUDYNKÓW 95 V. OCHRONA PRZCWPOŻAROWA BUDYNKÓW 34 tapy rozwoju pożaru Ohroa prziwpożarowa uwzględia astępują fazy rozwoju pożaru:. Lokala iijaja pożaru i jgo arastai.. Radiayja i kowkyja wymiaa ipła między źródłm

Bardziej szczegółowo

Składowe odpowiedzi czasowej. Wyznaczanie macierzy podstawowej

Składowe odpowiedzi czasowej. Wyznaczanie macierzy podstawowej Składowe odpowiedzi zasowej. Wyznazanie maierzy podstawowej Analizowany układ przedstawia rys.. q (t A q 2, q 2 przepływy laminarne: h(t q 2 (t q 2 h, q 2 2 h 2 ( Przykładowe dane: A, 2, 2 2 (2 h2(t q

Bardziej szczegółowo

Zeszyty Problemowe Maszyny Elektryczne Nr 74/2006 69

Zeszyty Problemowe Maszyny Elektryczne Nr 74/2006 69 Zeszyty Problemowe Maszyy Elektrycze Nr 74/6 69 Piotr Zietek Politechika Śląska, Gliwice PRĄDY ŁOŻYSKOWE I PRĄD UZIOMU W UKŁADACH NAPĘDOWYCH ZASILANYCH Z FALOWNIKÓW PWM BEARING CURRENTS AND LEAKAGE CURRENT

Bardziej szczegółowo

ZMODYFIKOWANY PREDYKCYJNY REGULATOR PRĄDU SILNIKÓW SYNCHRONICZNYCH Z MAGNESAMI ZAGNIEŻDŻONYMI

ZMODYFIKOWANY PREDYKCYJNY REGULATOR PRĄDU SILNIKÓW SYNCHRONICZNYCH Z MAGNESAMI ZAGNIEŻDŻONYMI Zeszyty problemowe Maszyny Elektryczne Nr 1/213 cz. II 59 Rafał Piotuch Zachoniopomorski Uniwersytet Technologiczny w Szczecinie ZMODYFIKOWANY PREDYKCYJNY REGUATOR PRĄDU SINIKÓW SYNCHRONICZNYCH Z MAGNESAMI

Bardziej szczegółowo

KADD Metoda najmniejszych kwadratów

KADD Metoda najmniejszych kwadratów Metoda ajmiejszych kwadratów Pomiary bezpośredie o rówej dokładości o różej dokładości średia ważoa Pomiary pośredie Zapis macierzowy Dopasowaie prostej Dopasowaie wielomiau dowolego stopia Dopasowaie

Bardziej szczegółowo

DYFRAKCJA NA POJEDYNCZEJ I PODWÓJNEJ SZCZELINIE

DYFRAKCJA NA POJEDYNCZEJ I PODWÓJNEJ SZCZELINIE YFRAKCJA NA POJEYNCZEJ POWÓJNEJ SZCZELNE. Cel ćwiczenia: zapoznanie ze zjawiskiem yfrakcji światła na pojeynczej i powójnej szczelinie. Pomiar ługości fali światła laserowego, oległości mięzy śrokami szczelin

Bardziej szczegółowo

WYKŁAD nr Ekstrema funkcji jednej zmiennej o ciągłych pochodnych. xˆ ( ) 0

WYKŁAD nr Ekstrema funkcji jednej zmiennej o ciągłych pochodnych. xˆ ( ) 0 WYKŁAD nr 4. Zaanie programowania nieliniowego ZP. Ekstrema unkcji jenej zmiennej o ciągłych pochonych Przypuśćmy ze punkt jest punktem stacjonarnym unkcji gzie punktem stacjonarnym nazywamy punkt la którego

Bardziej szczegółowo

Wykład 13: Zbieżność według rozkładu. Centralne twierdzenie graniczne.

Wykład 13: Zbieżność według rozkładu. Centralne twierdzenie graniczne. Rachuek prawopoobieństwa MA064 Wyział Elektroiki, rok aka 2008/09, sem leti Wykłaowca: r hab A Jurlewicz Wykła 3: Zbieżość weług rozkłau Cetrale twierzeie graicze Zbieżości ciągu zmieych losowych weług

Bardziej szczegółowo

Optyczne badanie dynamiki parowania pojedynczych mikrokropli cieczy

Optyczne badanie dynamiki parowania pojedynczych mikrokropli cieczy Tho Do Du Optyze badaie dyamiki parowaia pojedyzyh mikrokropli iezy Rozprawa doktorska wykoaa pod kierukiem prof. dr hab. Maieja Kolwasa w Istytuie Fizyki Polskiej Akademii Nauk Warszawa 2011 Pragę gorąo

Bardziej szczegółowo

Projekt ze statystyki

Projekt ze statystyki Projekt ze statystyki Opracowaie: - - Spis treści Treść zaia... Problem I. Obliczeia i wioski... 4 Samochó I... 4 Miary położeia... 4 Miary zmieości... 5 Miary asymetrii... 6 Samochó II... 8 Miary położeia:...

Bardziej szczegółowo

Wpływ czynników zewnętrznych na obciążalność kabli

Wpływ czynników zewnętrznych na obciążalność kabli Wpływ czynników zewnętrznych na obciążalność kabli Wybrane zaganienia Franciszek Spyra ZPBE Energopomiar Elektryka Gliwice Wstęp W artykule przestawiono wpływ czynników zewnętrznych na obciążalność kabli.

Bardziej szczegółowo

Porównanie właściwości wybranych wektorowych regulatorów prądu w stanach dynamicznych w przekształtniku AC/DC

Porównanie właściwości wybranych wektorowych regulatorów prądu w stanach dynamicznych w przekształtniku AC/DC Piotr FALKOWSKI, Marian Roch DUBOWSKI Politechnika Białostocka, Wyział Elektryczny, Katera Energoelektroniki i Napęów Elektrycznych Porównanie właściwości wybranych wektorowych regulatorów prąu w stanach

Bardziej szczegółowo

Przykład Obliczenie wskaźnika plastyczności przy skręcaniu

Przykład Obliczenie wskaźnika plastyczności przy skręcaniu Przykład 10.5. Obliczeie wskaźika plastyczości przy skręcaiu Obliczyć wskaźiki plastyczości przy skręcaiu dla astępujących przekrojów: a) -kąta foremego b) przekroju złożoego 6a 16a 9a c) przekroju ciekościeego

Bardziej szczegółowo

Geometria Różniczkowa II wykład dziesiąty

Geometria Różniczkowa II wykład dziesiąty Geometria Różniczkowa II wykła ziesiąty Wykła ziesiąty rozpoczyna serię wykłaów poświęconych geometrii symplektycznej. Zajmować się bęziemy głównie zastosowaniami geometrii symplektycznej w mechanice,

Bardziej szczegółowo

Wybrane algorytmy sterowania silnikami z magnesami trwałymi

Wybrane algorytmy sterowania silnikami z magnesami trwałymi Wybrane algorytmy sterowania silnikami z magnesami trwałymi Rafał Nowak 1. Wstęp Silniki z magnesami trwałymi, ze wzglęu na wysoką sprawność, prostą buowę oraz użą gęstość mocy, są obecnie najczęściej

Bardziej szczegółowo

Zadania z algebry liniowej - sem. I Liczby zespolone

Zadania z algebry liniowej - sem. I Liczby zespolone Zadaia z algebry liiowej - sem. I Liczby zespoloe Defiicja 1. Parę uporządkowaą liczb rzeczywistych x, y azywamy liczbą zespoloą i ozaczamy z = x, y. Zbiór wszystkich liczb zespoloych ozaczamy przez C

Bardziej szczegółowo

MATEMATYKA DYSKRETNA (2014/2015) dr hab. inż. Małgorzata Sterna WIELOMIANY SZACHOWE

MATEMATYKA DYSKRETNA (2014/2015) dr hab. inż. Małgorzata Sterna  WIELOMIANY SZACHOWE MAEMAYKA DYKENA (0/0) r h. iż. Młgorzt ter mlgorzt.ster@s.put.poz.pl www.s.put.poz.pl/mster/ WIELOMIANY ZACHOWE Mtemtyk Dyskret Młgorzt ter B WIELOMIANY ZACHOWE Wielomiy szhowe opisują lizę możliwyh rozmieszzeń

Bardziej szczegółowo

Ćwiczenie 9. Zasady przygotowania schematów zastępczych do analizy układu generator sieć sztywna obliczenia indywidualne

Ćwiczenie 9. Zasady przygotowania schematów zastępczych do analizy układu generator sieć sztywna obliczenia indywidualne Ćwiczenie 9 Zasay przygotowania schematów zastępczych o analizy ukłau generator sieć sztywna obliczenia inywiualne Cel ćwiczenia Przeprowazenie obliczeń parametrów ukłau generator - sieć sztywna weryfikacja

Bardziej szczegółowo

Teoretyczne podstawy udarów wspinaczkowych

Teoretyczne podstawy udarów wspinaczkowych Teoretyzne postawy uarów wspinazkowyh Marek Kujawiński Współzesny sprzęt wspinazkowy jest tak mony, że na pewno wytrzyma - to oraz zęśiej wypowiaana i promowana przez wielu wspinazy opinia, a przeież nie

Bardziej szczegółowo

Analiza dokładności pomiaru, względnego rozkładu egzytancji widmowej źródeł światła, dokonanego przy użyciu spektroradiometru kompaktowego

Analiza dokładności pomiaru, względnego rozkładu egzytancji widmowej źródeł światła, dokonanego przy użyciu spektroradiometru kompaktowego doi:1.15199/48.215.4.38 Eugeiusz CZECH 1, Zbigiew JAROZEWCZ 2,3, Przemysław TABAKA 4, rea FRYC 5 Politechika Białostocka, Wydział Elektryczy, Katedra Elektrotechiki Teoretyczej i Metrologii (1), stytut

Bardziej szczegółowo

MATURA 2014 z WSiP. Zasady oceniania zadań

MATURA 2014 z WSiP. Zasady oceniania zadań MATURA 0 z WSiP Matematyka Poziom rozszerzoy Zasady oceiaia zadań Copyright by Wydawictwa Szkole i Pedagogicze sp z oo, Warszawa 0 Matematyka Poziom rozszerzoy Kartoteka testu Numer zadaia Sprawdzaa umiejętość

Bardziej szczegółowo

ROZDZIAŁ 5 WPŁYW SYSTEMU OPODATKOWANIA DOCHODU NA EFEKTYWNOŚĆ PROCESU DECYZYJNEGO

ROZDZIAŁ 5 WPŁYW SYSTEMU OPODATKOWANIA DOCHODU NA EFEKTYWNOŚĆ PROCESU DECYZYJNEGO Agieszka Jakubowska ROZDZIAŁ 5 WPŁYW SYSTEMU OPODATKOWANIA DOCHODU NA EFEKTYWNOŚĆ PROCESU DECYZYJNEGO. Wstęp Skąplikowaie współczesego życia gospodarczego powoduje, iż do sterowaia procesem zarządzaia

Bardziej szczegółowo

[ ] ( x) Wzory postawowe: (w przedziałach, w których f i F są określone) Metody całkowania. arctg. dx = arcsinx+

[ ] ( x) Wzory postawowe: (w przedziałach, w których f i F są określone) Metody całkowania. arctg. dx = arcsinx+ EAIiIB-Iformayka -Wykład 6- dr Adam Ćmiel miel@aghedul CAŁKA NIEOZNACZONA f : R I R, gdzie I rzedział (zbiór sójy) Def Fukją ierwoą fukji f azywamy fukję F aką, że F ( I Warukiem koiezym isieia dla fukji

Bardziej szczegółowo

Metody numeryczne Laboratorium 5 Info

Metody numeryczne Laboratorium 5 Info Metody umerycze Laboratorium 5 Ifo Aproksymacja - proces określaia rozwiązań przybliżoych a podstawie rozwiązań zaych, które są bliskie rozwiązaiom dokładym w ściśle sprecyzowaym sesie. Metoda ajmiejszych

Bardziej szczegółowo

MIESZANIE GAZÓW W MIESZALNIKU STATYCZNYM

MIESZANIE GAZÓW W MIESZALNIKU STATYCZNYM JAN HEHLMANN, BOGUSŁAW SĄSIADEK, EDYTA KUJAWSKA, JACEK ZASĘPA MIESZANIE GAZÓW W MIESZALNIKU STATYCZNYM GAS MIXING IN A STATIC AGITATOR STRESZCZENIE: W pray przestawioo baaia proesu mieszaia amoiaku i powietrza,

Bardziej szczegółowo

WPŁYW ŻŁOBKÓW WIRNIKA NA ROZKŁAD POLA MAGNETYCZNEGO W JEDNOFAZOWYM SILNIKU INDUKCYJNYM Z POMOCNICZYM UZWOJENIEM ZWARTYM

WPŁYW ŻŁOBKÓW WIRNIKA NA ROZKŁAD POLA MAGNETYCZNEGO W JEDNOFAZOWYM SILNIKU INDUKCYJNYM Z POMOCNICZYM UZWOJENIEM ZWARTYM Prace Naukowe Instytutu Maszyn, Napęów i Pomiarów Elektrycznych Nr 56 Politechniki Wrocławskiej Nr 56 Stuia i Materiały Nr 24 2004 Krzysztof MAKOWSKI * Konra BIELAN-RYGOŁ * Silniki inukcyjne, jenofazowe,

Bardziej szczegółowo

FILTRY ANALOGOWE Spis treści

FILTRY ANALOGOWE Spis treści FILTRY AALOGOWE Spis treśi. Modele iltrów aalogowyh. Idealy iltr doloprzepustowy 3. Rzezywiste iltry doloprzepustowe 4. Stabilość iltrów 5. Filtr Butterwortha 6. Filtr Czebyszewa 7. Filtry eliptyze 8.

Bardziej szczegółowo

P π n π. Równanie ogólne płaszczyzny w E 3. Dane: n=[a,b,c] Wówczas: P 0 P=[x-x 0,y-y 0,z-z 0 ] Równanie (1) nazywamy równaniem ogólnym płaszczyzny

P π n π. Równanie ogólne płaszczyzny w E 3. Dane: n=[a,b,c] Wówczas: P 0 P=[x-x 0,y-y 0,z-z 0 ] Równanie (1) nazywamy równaniem ogólnym płaszczyzny Rówaie ogóle płaszczyzy w E 3. ae: P π i π o =[A,B,C] P (,y,z ) Wówczas: P P=[-,y-y,z-z ] P π PP PP= o o Rówaie () azywamy rówaiem ogólym płaszczyzy A(- )+B(y-y )+C(z-z )= ( ) A+By+Cz+= Przykład

Bardziej szczegółowo

WYBRANE ALGORYTMY STEROWANIA SILNIKAMI Z MAGNESAMI TRWAŁYMI

WYBRANE ALGORYTMY STEROWANIA SILNIKAMI Z MAGNESAMI TRWAŁYMI Maszyny Elektryczne - Zeszyty Problemowe Nr 1/017 (113) 13 Rafał Nowak Politechnika Łózka, Łóź WYBRANE ALGORYTMY STEROWANIA SILNIKAMI Z MAGNESAMI TRWAŁYMI SELECTED CONTROL ALGORITHMS OF PERMANENT MAGNET

Bardziej szczegółowo

Przykładowe pytania na egzamin dyplomowy dla kierunku Automatyka i Robotyka

Przykładowe pytania na egzamin dyplomowy dla kierunku Automatyka i Robotyka Przykładowe pytaia a egzami dyplomowy dla kieruku Automatyka i obotyka Aktualizacja: 13.12.2016 r. Przedmiot: Matematyka 1 (Algebra liiowa) 1. Wiemy że struktura (Gh) jest grupą z elemetem eutralym e.

Bardziej szczegółowo

Jarosław Wróblewski Analiza Matematyczna 1, zima 2016/17

Jarosław Wróblewski Analiza Matematyczna 1, zima 2016/17 Egzami, 18.02.2017, godz. 9:00-11:30 Zadaie 1. (22 pukty) W każdym z zadań 1.1-1.10 podaj w postaci uproszczoej kresy zbioru oraz apisz, czy kresy ależą do zbioru (apisz TAK albo NIE, ewetualie T albo

Bardziej szczegółowo

Jarosław Wróblewski Analiza Matematyczna 1, zima 2016/ n 333))

Jarosław Wróblewski Analiza Matematyczna 1, zima 2016/ n 333)) 46. Wskazać liczbę rzeczywistą k, dla której graica k 666 + 333)) istieje i jest liczbą rzeczywistą dodatią. Obliczyć wartość graicy przy tak wybraej liczbie k. Rozwiązaie: Korzystając ze wzoru a różicę

Bardziej szczegółowo

3. Regresja liniowa Założenia dotyczące modelu regresji liniowej

3. Regresja liniowa Założenia dotyczące modelu regresji liniowej 3. Regresja liiowa 3.. Założeia dotyczące modelu regresji liiowej Aby moża było wykorzystać model regresji liiowej, muszą być spełioe astępujące założeia:. Relacja pomiędzy zmieą objaśiaą a zmieymi objaśiającymi

Bardziej szczegółowo

R e. i d. i L. e(t) u L. u d. Jacek CZOSNOWSKI AKADEMIA GÓRNICZO-HUTNICZA, KATEDRA ELEKTROTECHNIKI

R e. i d. i L. e(t) u L. u d. Jacek CZOSNOWSKI AKADEMIA GÓRNICZO-HUTNICZA, KATEDRA ELEKTROTECHNIKI Jacek CZOSNOWSKI AKADEMIA GÓRNICZO-HUTNICZA, KATEDRA EEKTROTECHNIKI {czos@agh.eu.pl} ZASTOSOWANIE KASYCZNEGO AGORYTMU GENETYCZNEGO DO SY- MUACJI STANÓW DYNAMICZNYCH OBWODÓW NIEINIOWYCH OPISA- NYCH SZTYWNYMI

Bardziej szczegółowo

Relacje rekurencyjne. będzie następująco zdefiniowanym ciągiem:

Relacje rekurencyjne. będzie następująco zdefiniowanym ciągiem: Relacje rekurecyje Defiicja: Niech =,,,... będzie astępująco zdefiiowaym ciągiem: () = r, = r,..., k = rk, gdzie r, r,..., r k są skalarami, () dla k, = a + a +... + ak k, gdzie a, a,..., ak są skalarami.

Bardziej szczegółowo

OPRACOWANIE WYNIKÓW POMIARU ANALIZA NIEPEWNOŚCI. popr. x rz. ( x) jest nazywany niepewnością bezwzględną.

OPRACOWANIE WYNIKÓW POMIARU ANALIZA NIEPEWNOŚCI. popr. x rz. ( x) jest nazywany niepewnością bezwzględną. OPRCOWNIE WYNIKÓW POMIRU NLIZ NIEPEWNOŚCI. CEL ĆWICZENI Celem ćwizeia jest pozaie podstawowyh zagadień związayh z wyzazaiem iepewośi wyików pomiar.. NIEPEWNOŚĆ Grafizą iterpretaję relaji występjąyh między

Bardziej szczegółowo

FUNKCJA KWADRATOWA. Poziom podstawowy

FUNKCJA KWADRATOWA. Poziom podstawowy FUNKCJA KWADRATOWA Poziom podstawowy Zadanie ( pkt) Wykres funkji y = ax + bx+ przehodzi przez punkty: A = (, ), B= (, ), C = (,) a) Wyznaz współzynniki a, b, (6 pkt) b) Zapisz wzór funkji w postai kanoniznej

Bardziej szczegółowo

Dwumian Newtona. Agnieszka Dąbrowska i Maciej Nieszporski 8 stycznia 2011

Dwumian Newtona. Agnieszka Dąbrowska i Maciej Nieszporski 8 stycznia 2011 Dwumia Newtoa Agiesza Dąbrowsa i Maciej Nieszporsi 8 styczia Wstęp Wzory srócoego możeia, tóre pozaliśmy w gimazjum (x + y x + y (x + y x + xy + y (x + y 3 x 3 + 3x y + 3xy + y 3 x 3 + y 3 + 3xy(x + y

Bardziej szczegółowo

UKŁADY RÓWNAŃ LINOWYCH

UKŁADY RÓWNAŃ LINOWYCH Ekoeergetyka Matematyka. Wykład 4. UKŁADY RÓWNAŃ LINOWYCH Defiicja (Układ rówań liiowych, rozwiązaie układu rówań) Układem m rówań liiowych z iewiadomymi,,,, gdzie m, azywamy układ rówań postaci: a a a

Bardziej szczegółowo

CAŁKA NIEOZNACZONA. F (x) = f(x) dx.

CAŁKA NIEOZNACZONA. F (x) = f(x) dx. CAŁKA NIEOZNACZONA Mówimy, że fukcja F () jest fukcją pierwotą dla fukcji f() w pewym ustaloym przedziale - gdy w kadym pukcie zachodzi F () = f(). Fukcję pierwotą często azywamy całką ieozaczoą i zapisujemy

Bardziej szczegółowo

Wykład 8: Zbieżność według rozkładu. Centralne twierdzenie graniczne.

Wykład 8: Zbieżność według rozkładu. Centralne twierdzenie graniczne. Rachuek prawopoobieństwa MA5 Wyział Elektroiki, rok aka 20/2, sem leti Wykłaowca: r hab A Jurlewicz Wykła 8: Zbieżość weług rozkłau Cetrale twierzeie graicze Zbieżości ciągu zmieych losowych weług rozkłau

Bardziej szczegółowo

Geometria płaska - matura Przyprostokątne trójkąta prostokątnego mają długości 3 7cm poprowadzona z wierzchołka kąta prostego ma długość: 12

Geometria płaska - matura Przyprostokątne trójkąta prostokątnego mają długości 3 7cm poprowadzona z wierzchołka kąta prostego ma długość: 12 Geometria płaska - matura 010 1. Przyprostokątne trójkąta prostokątnego mają ługości 7cm i 4 7cm. Wysokość poprowazona z wierzchołka kąta prostego ma ługość: 1 5 A. 7cm B. cm C. 8 7cm D. 7 7cm 5 7. Miara

Bardziej szczegółowo

INSTRUKCJA DO ĆWICZEŃ LABORATORYJNYCH Z WYTRZYMAŁOŚCI MATERIAŁÓW

INSTRUKCJA DO ĆWICZEŃ LABORATORYJNYCH Z WYTRZYMAŁOŚCI MATERIAŁÓW INSTYTUT MASZYN I URZĄDZEŃ ENERGETYCZNYCH Politechika Śląska w Gliwicach INSTRUKCJA DO ĆWICZEŃ LABORATORYJNYCH Z WYTRZYMAŁOŚCI MATERIAŁÓW BADANIE ODKSZTAŁCEŃ SPRĘŻYNY ŚRUBOWEJ Opracował: Dr iż. Grzegorz

Bardziej szczegółowo

O liczbach naturalnych, których suma równa się iloczynowi

O liczbach naturalnych, których suma równa się iloczynowi O liczbach aturalych, których suma rówa się iloczyowi Lew Kurladczyk i Adrzej Nowicki Toruń UMK, 10 listopada 1998 r. Liczby aturale 1, 2, 3 posiadają szczególą własość. Ich suma rówa się iloczyowi: Podobą

Bardziej szczegółowo

O1. POMIARY KĄTA GRANICZNEGO

O1. POMIARY KĄTA GRANICZNEGO O1 POMIARY KĄTA GRANICZNEGO tekst opraowała: Bożea Jaowska-Dmoh Gdy wiązka światła pada a aię dwóh ośrodków przezrozystyh od stroy ośrodka optyzie gęstszego pod kątem aizym, to promień załamay ślizga się

Bardziej szczegółowo

KOOF Szczecin: www.of.szc.pl

KOOF Szczecin: www.of.szc.pl LVIII OLIMPIADA FIZYCZNA (2008/2009). Stopień II, zaanie oświaczalne D. Źróło: Autor: Nazwa zaania: Działy: Słowa kluczowe: Komitet Główny Olimpiay Fizycznej. Ernest Groner Komitet Główny Olimpiay Fizycznej,

Bardziej szczegółowo

Arkusz ćwiczeniowy z matematyki Poziom podstawowy ZADANIA ZAMKNIĘTE. W zadaniach od 1. do 21. wybierz i zaznacz poprawną odpowiedź. 1 C. 3 D.

Arkusz ćwiczeniowy z matematyki Poziom podstawowy ZADANIA ZAMKNIĘTE. W zadaniach od 1. do 21. wybierz i zaznacz poprawną odpowiedź. 1 C. 3 D. Arkusz ćwiczeiowy z matematyki Poziom podstawowy ZADANIA ZAMKNIĘTE W zadaiach od. do. wybierz i zazacz poprawą odpowiedź. Zadaie. ( pkt) Liczbę moża przedstawić w postaci A. 8. C. 4 8 D. 4 Zadaie. ( pkt)

Bardziej szczegółowo

ANALIZA FOURIEROWSKA szybkie transformaty Fouriera

ANALIZA FOURIEROWSKA szybkie transformaty Fouriera AALIZA FOURIEROWSKA szybi trasformaty Fourira dowola fuję priodyzą F( w zasi lub przstrzi (tx, ors T) moża przdstawić jao () F( b o + [ a si( + b os( ] gdzi π / T lub ω zauważmy, ż ω, jst ajiższą zęstośią

Bardziej szczegółowo

ZADANIA PRZYGOTOWUJĄCE DO SPRAWDZIANÓW W KLASIE DRUGIEJ.

ZADANIA PRZYGOTOWUJĄCE DO SPRAWDZIANÓW W KLASIE DRUGIEJ. ZADANIA PRZYGOTOWUJĄCE DO SPRAWDZIANÓW W KLASIE DRUGIEJ I Fukcja kwadratowa ) PODAJ POSTAĆ KANONICZNĄ I ILOCZYNOWĄ (O ILE ISTNIEJE) FUNKCJI: a) f ( ) + b) f ( ) 6+ 9 c) f ( ) ) Narysuj wykresy fukcji f

Bardziej szczegółowo

Zasada indukcji matematycznej. Dowody indukcyjne.

Zasada indukcji matematycznej. Dowody indukcyjne. Zasada idukcji matematyczej Dowody idukcyje Z zasadą idukcji matematyczej i dowodami idukcyjymi sytuacja jest ajczęściej taka, że podaje się w szkole treść zasady idukcji matematyczej, a astępie omawia,

Bardziej szczegółowo

Dyspersja światłowodów

Dyspersja światłowodów Dyspersja światłowoów Prezetaja zawiera kopie folii omawiayh a wykłazie. Niiejsze opraowaie hroioe jest prawem autorskim. Wykorzystaie iekomeryje ozwoloe po warukiem poaia źróła. Sergiusz Patela 998-003

Bardziej szczegółowo

elektryczna. Elektryczność

elektryczna. Elektryczność Pojemność elektryczna. Elektryczność ść. Wykła 4 Wrocław University of Technology 4-3- Pojemność elektryczna Okłaki konensatora są przewonikami, a więc są powierzchniami ekwipotencjalnymi: wszystkie punkty

Bardziej szczegółowo

Ćwiczenia nr 5. TEMATYKA: Regresja liniowa dla prostej i płaszczyzny

Ćwiczenia nr 5. TEMATYKA: Regresja liniowa dla prostej i płaszczyzny TEMATYKA: Regresja liiowa dla prostej i płaszczyzy Ćwiczeia r 5 DEFINICJE: Regresja: metoda statystycza pozwalająca a badaie związku pomiędzy wielkościami daych i przewidywaie a tej podstawie iezaych wartości

Bardziej szczegółowo

ε dowód jest analogiczny.

ε dowód jest analogiczny. 5--6 7: Numeryze sprawdzaie ierówośi w obszarze prostoątym w (szi) Piotr Baia AGH Uiversity of Siee ad eholoy Al iiewiza 3 3-59 Kraów Polad e-mail: pba@iaahedupl Abstrat: W artyule przedstawioo metodę

Bardziej szczegółowo

PRZEPŁYWY JONÓW W GRADIENTOWEJ TERMOMECHANICE

PRZEPŁYWY JONÓW W GRADIENTOWEJ TERMOMECHANICE ROCZNIKI INŻYNIERII BUDOWLANEJ ZESZYT 17/2017 Komisja Inżynierii Buowlanej Oział Polskiej Akaemii Nauk w Katowicach PRZEPŁYWY JONÓW W GRADIENTOWEJ TERMOMECHANICE Jan KUBIK Politechnika Opolska, Wyział

Bardziej szczegółowo