Programowanie ilorazowe #1

Transkrypt

1 Programowanie ilorazowe #1 Problem programowania ilorazowego (PI) jest przykłaem problemu programowania matematyznego nieliniowego, który można skuteznie zlinearyzować, tzn. zapisać (i rozwiązać) jako problem programowania liniowego

2 Programowanie ilorazowe #2 Ogólna postać problemów PI: min / ma p.o.: A {,, =} b ehy problemu: kierunek optymalizaji w funkji elu: minimalizaja lub maksymalizaja funkja elu jest ilorazem wóh wyrażeń liniowyh oraz i nosi nazwę (a z nią ały problem) ilorazowej lub hiperboliznej wartość funkji elu jest określona tylko la tyh, la któryh, przyjmujemy jenak oatkowo, że >

3 Programowanie ilorazowe #3 Linearyzaja problemów PI: problemy PI należą o grupy problemów programowania matematyznego nieliniowego, który można skuteznie zlinearyzować zlinearyzować zyli zapisać (i rozwiązać) jako problem programowania liniowego, którego rozwiązanie bęzie jenoześnie rozwiązaniem problemu nieliniowego (lub rozwiązaniem, na postawie którego można jenoznaznie ozytać rozwiązanie problemu liniowego) linearyzaja problemu PI została poana przez Charnes a i Cooper a linearyzaja ta polega na wprowazeniu nowyh zmiennyh (o jest realizowane przez postawienie)

4 Programowanie ilorazowe #4 Linearyzaja problemów PI: załóżmy, że funkja elu pewnego konkretnego problemu ilorazowego ma być maksymalizowana w oblizu obowiązująego założenia, że u > wiaomo, iż zwiększanie wartośi bezwzglęnej ilorazowej funkji elu może być osiągane poprzez: zwiększanie wartośi bezwzglęnej funkji zmniejszanie wartośi funkji niestety, funkje te (pomijają trywialne przypaki) truno jest jenoześnie kontrolować, w rezultaie zego zwiększanie wartośi funkji zęsto prowazi o jenozesnego zwiększania się wartośi funkji (i tym samym nie zmienia zasanizo wartośi funkji ilorazowej) powstaje problem ałośiowego kontrolowania wartośi ilorazowej

5 Programowanie ilorazowe #5 Linearyzaja problemów PI: problem ałośiowego kontrolowania wartośi ilorazowej pewnym rozwiązaniem tego problemu byłoby ustalenie wartośi funkji, zięki zemu ała kontrola wartośi ilorazu sprowaziłaby się o kontrolowania wartośi funkji ustalenie takie można zrealizować przyjmują na przykła, że =1 (warunek ten jest to zgony z założeniem >) w praktye oznazałoby to oanie ogranizenia: =1 rozwiązanie takie ogranizyłoby jenak opuszzalne wektory o tylko takih, które spełniają =1, i ostateznie otrzymane rozwiązanie nie byłoby w ogólnośi rozwiązaniem optymalnym oryginalnego problemu

6 Programowanie ilorazowe #6 Linearyzaja problemów PI: problem ałośiowego kontrolowania wartośi ilorazowej pewnym rozwiązaniem tego problemu byłoby ustalenie wartośi funkji, zięki zemu ała kontrola wartośi ilorazu sprowaziłaby się o kontrolowania wartośi funkji można to zrealizować przyjmują na przykła, że =1 (ogranizenie to jest to zgone z założeniem >) rozwiązanie takie ogranizyłoby jenak opuszzalne wektory o tylko takih, które spełniają =1, i ostateznie otrzymane rozwiązanie nie byłoby w ogólnośi rozwiązaniem optymalnym oryginalnego problemu wynika z tego, że to konkretne rozwiązanie nie jest właśiwe, ale metoa (oprowazania mianownika o wartośi stałej) jest właśiwa gyby wię uało się zaproponować jakieś zaanie równoważne oryginalnemu, w którym wartość mianownika byłaby ustalona, to problem kontrolowania funkji ilorazowej byłby rozwiązany

7 Programowanie ilorazowe #7 Linearyzaja problemów PI: okazuje się, że rozwiązanie znajujemy zięki postawieniu: la każego j: u j = oraz oatkowo u = j 1 z faktu, że > wynika, że u >, wobe zego możliwe jest oblizenie wartośi wyrażenia u j /u : j u j /u = = 1 j (wyrażenie to pozwala na otworzenie wartośi zmiennyh j na postawie wartośi zmiennyh u j )

8 Programowanie ilorazowe #8 Linearyzaja problemów PI: funkja elu przyjmuje wtey postać: jak wię wiać, ilorazowa funkja elu została wyrażona w kategoriah nowyh zmiennyh, przy zym (o jest istotne!) przyjęła ona postać zwykłej funkji liniowej jest to zgone z metoą ustalania mianownika funkji ilorazowej, ponieważ mianownik ten, po wyrażeniu go w kategoriah nowyh zmiennyh przyjmuje postać: u u i spełnia: 1 u = = = u 1 = = = u u

9 Programowanie ilorazowe #9 Linearyzaja problemów PI: jenoześnie ogranizenia typu = przyjmują postać: A b 1 A = b = A = b Au= b u ientyznie la ogranizeń typu oraz : ostateznie wszystkie ogranizenia można je zapisać jako: Au b u {,, =}

10 Programowanie ilorazowe #1 Linearyzaja problemów PI: ałość problemu wyrażonego w kategoriah nowyh zmiennyh przestawia się ostateznie następująo: min/ma u u p.o.: u u = 1 Au b u {,, =} u u > powyższy problem nie jest jenak problemem liniowym, a to ze wzglęu na ogranizenie u > (ogranizenia tego typu nie są opuszzalne w problemah liniowyh)

11 Programowanie ilorazowe #11 Linearyzaja problemów PI: latego wprowaza się pewne uproszzenie i zastępuje ogranizenie u > ogranizeniem opuszzalnym w problemah liniowyh, zyli ogranizeniem: u w rezultaie powstaje problem liniowy: min/ma u u p.o.: u u = 1 Au b u {,, =} u u powyższy problem jest zlinearyzowaną wersją problemu ilorazowego, zyli takim problemem liniowym, z którego rozwiązania można ozytać rozwiązanie problemu ilorazowego

12 Programowanie ilorazowe #12 Linearyzaja problemów PI: rozwiązanie oryginalnego problemu ilorazowego realizuje się wię następująo: 1. Przekształa się problem ilorazowy o postai zlinearyzowanej 2. Rozwiązuje się postać zlinearyzowaną 3. Jeżeli po rozwiązaniu problemu zlinearyzowanego zahozi u > to otwarza się rozwiązanie problemu ilorazowego wykorzystują zależność: j = j u = 1 u j