R e. i d. i L. e(t) u L. u d. Jacek CZOSNOWSKI AKADEMIA GÓRNICZO-HUTNICZA, KATEDRA ELEKTROTECHNIKI

Transkrypt

1 Jacek CZOSNOWSKI AKADEMIA GÓRNICZO-HUTNICZA, KATEDRA EEKTROTECHNIKI ZASTOSOWANIE KASYCZNEGO AGORYTMU GENETYCZNEGO DO SY- MUACJI STANÓW DYNAMICZNYCH OBWODÓW NIEINIOWYCH OPISA- NYCH SZTYWNYMI RÓWNANIAMI RÓŻNICZKOWYMI Streszczeie W pracy przestawioo zastosowaie klasyczego algorytmu geetyczego o symulacji zachowań yamiczych obwoów ieliiowych opisaych sztywymi rówaiami różiczkowymi. Takie obwoy ieliiowe są uciążliwe umeryczie i zwykle wymagają stosowaia specjalych meto całkowaia. Zapropoowao moyfikację klasyczego algorytmu iterpolacyjego przy pomocy algorytmu geetyczego. Tak otrzymay algorytm hybryowy został z powozeiem zastosoway o symulacji umeryczej pracy jeopołówkowego prostowika obciążoego iukcyjie. Przestawioo wybrae wyiki obliczeń umeryczych. Abstract The paper presets the applicatio of the classical geetic algorithm i the computer simulatio of the electrical circuits escribe by stiff ifferetial equatios. Those oliear circuits are umerically oppressive. The moificatio of the implicit algorithm with use classical geetic algorithm with real ecoe parameters is propose. This hybri geetic algorithm is successfully applie to the umerical compute of the ioe voltage a curret i the half wave rectifier with iuctive loa. The results of umerical experimets are presete a iscusse. Słowa kluczowe: sztywe rówaia różiczkowe, algorytmy iterpolacyje, klasyczy algorytm geetyczy, prostowik jeopołówkowy, obciążeie iukcyje Keywors: stiff ifferetial equatios, implicit algorithms, classical geetic algorithm, half wave rectifier, iuctive loa Title: Applicatio of the Classical Geetic Algorithm i the computer simulatio of the o-liear yamical circuits escribe by stiff ifferetial equatios.. Wstęp Symulacyje baaie yamiki elektroiczych obwoów ieliiowych zawierających w swej strukturze półprzewoikowe łącziki takie jak ioy czy tyrystory w Wykoao w ramach projektu r: wielu przypakach jest barzo utruioe ze wzglęu a częste zmiay stau pracy (przełączeia) tych elemetów. Przejście w kolejych chwilach czasu półprzewoikowych łączików ze stau asyceia o stau ocięcia, i a owrót, powouje zacze zróżicowaie stałych czasowych moelowaego obwou i prowazi o złego uwarukowaia rówań różiczkowych opisujących jego yamikę. Problemy związae z umeryczym całkowaiem sztywych ieliiowych rówań różiczkowych pojawiają się awet w przypaku barzo prostych obwoów ieliiowych zawierających łącziki półprzewoikowe i wymagają stosowaia specjalych meto umeryczych tak, aby pogozić wyiki symulacji z rozsąym kosztem ich uzyskaia [4,5,8,5]. Klasyczym przykłaem obwou ieliiowego opisaego sztywym rówaiem różiczkowym jest prostowik jeopołókowy obciążoy iukcyjie [5]. Użycie o umeryczego całkowaia rówaia różiczkowego, opisującego tak prosty obwó, specjalych algorytmów całkowaia umeryczego wyaje się mało celowe i jest barzo uciążliwe implemetacyjie [3,5,3]. W tej sytuacji pojęto próbę zastosowaia o umeryczego całkowaia sztywego rówaia różiczkowego, opisującego pracę prostowika jeopołówkowego obciążoego iukcyjie, metoy bęącej połączeiem klasyczego algorytmu geetyczego [7,,4,6] z algorytmem iterpolacyjym [3,5]. W efekcie otrzymao hybryowy zmoyfikoway algorytm iterpolacyjy cechujący się stosukowo użą szybkością ziałaia i opory umeryczie oraz barzo łatwy w implemetacji. 2. Symulacja prostowika jeopołówkowego z obciążeiem iukcyjym Na rysuku pokazao schemat rozważaego ieliiowego obwou elektryczego. Skłaa się o ze apięciowego źróła eergii {, R e }, ioy półprzewoikowej D oraz obciążeia iukcyjego {R, }. Źróło eergii R e D R i u i u A B Obciążeie R Rys. Prostowik jeopołówkowy z obciążeiem R

2 Rówaie różiczkowe opisujące pracę obwou pokazaego a rysuku może mieć postać ieliiowego rówaia różiczkowego la prąu i (t) w iozie D: i t [ e() t R i u ( i )] = () lub ieliiowego rówaia różiczkowego la apięcia a iozie D: u t = G [ e() t R i ( u ) u ] ( u ) gzie: R= R e + R rezystacja obwou, G ( u i ) = kouktacja yamicza ioy. u Prąowo apięciowy moel półprzewoikowej ioy złączowej p przyjęto w postaci [,0,2,5]: lub r λ ( u ) (2) i ( u ) = I e (3a) u ( i i ) = l + λ I r gzie: I r prą asyceia rewersyjego ioy [A], q λ = [ ]; k stała Boltzmaa J [ ] k T m V K (3b), q łauek elektrou [C], T temperatura złącza w [K], m współczyik emisji. Nieliiowe rówaia różiczkowe () i (2) są rówaiami różiczkowymi sztywymi [3,5]. Spowoowae to jest zaczą różicą wartości rezystacji ioy D w staie asyceia (R p 0, Ω) i w staie ocięcia (R b 0, GΩ). Związaa z tym zmiaa wartości stałej czasowej obwou jest rzęu 0 9. Tak zacza zmiaa wartości stałej czasowej moelowaego obwou wymaga stosowaia barzo małych kroków czasowych (h << 0 9 ) i bez stosowaia specjalych algorytmów całkowaia umeryczego ie gwaratuje uzyskaia poprawych wyików obliczeń [3]. Pracę prostowika jeopołówkowego o schemacie pokazaym a rysuku moelowao przy pomocy programu CircuitMaker ależącego o roziy popularych programów symulacyjych SPICE [5,7]. Otrzymae wyiki symulacji pokazao a rysuku 2a. Jak wiać są oe zupełie błęe. Po przejściu ioy w sta ocięcia pojawiają się oscylacje umerycze wyikające z użytej metoy całkowaia umeryczego (metoa trapezów), która w zasazie ie aaje się o całkowaia sztywych rówań różiczkowych, a jest postawową metoą stosowaą w programach symulacyjych roziy SPICE. Warto zauważyć, że zmiejszaie kroku całkowaia ie prowazi o poprawy otrzymaych wyików obliczeń, a jeyie zacząco wyłuża czas ich trwaia. Nieco lepsze wyiki symulacji moża otrzymać stosując w zaimplemetowaą programie CircuitMaker metoę Geara rzęu 2 rys. 2b. Jeak aal po przełączeiu ioy w sta ocięcia pojawia się, ie występujące w rzeczywistości, krótkotrwałe oscylacje. Poobe problemy atury umeryczej występują w programach służących o symulacji pracy prostowika jeopołówkowego z obciążeiem iukcyjym, a implemetowaych a przykła a platformie języka C++. Więcej szczegółów otyczących umeryczych meto całkowaia sztywych rówań różiczkowych oraz oboru tych meto ze wzglęu a stabilość, okłaość i koszt obliczeń zawarte jest a przykła w [4,5,9,5]. a). b).!? i (t) 2 ms ms ms ms 2 ms i (t) !? 2.5 ms ms ms ms 2 ms Rys. 2 Wyiki symulacji pracy prostowika jeopołówkowego z obciążeiem R przy pomocy programu CircuitMaker : a). metoa trapezów. b). metoa Geara rz Dyskrety moel prostowika jeopołówkowego obciążoego iukcyjie Mając a uwaze przestawioe pokrótce problemy związae z umeryczym całkowaiem sztywego rówaia różiczkowego opisującego pracę prostowika jeopołówkowego obciążoego iukcyjie pojęto próbę zastosowaia o jego umeryczego całkowaia metoy bęącej połączeiem algorytmu iterpolacyjego [3,5] z klasyczym algorytmem geetyczym [2,6,7,]. W efekcie otrzymao hybryowy zmoyfikoway algorytm iterpolacyjy cechujący się stosukowo użą szybkością ziałaia i co ważiejsze opory umeryczie oraz łatwy w implemetacji. Na rysuku 3 pokazao ogóly yskrety moel iukcyjości stowarzyszoy z algorytmami iterpolacyjymi. W tablicy umieszczoo współczyiki yskretego moelu iukcyjości stowarzyszoego z algorytmem iterpolacyjym Eulera, trapezów i Geara rzęu 2. Stosując yskrety moel iukcyjości (rys. 3) w obwozie pokazaym a rysuku otrzymao ieliiowe rówaie algebraicze o ogólej postaci: ( x ) = f ( x ) + A x B = 0 ε (4) Algebraicze rówaie ieliiowe (4) ma taką samą postać la owolego iterpolacyjego algorytmu całkowaia umeryczego [5].

3 W tablicy 2 zestawioo współczyiki rówaia (4) w zależości o wybraego algorytmu iterpolacyjego. A + u B + i Rys. 3 Dyskrety moel iukcyjości stowarzyszoy z owolym algorytmem iterpolacyjym Tablica. Współczyiki yskretego moelu iukcyjości stowarzyszoego z algorytmami iterpolacyjymi Algorytm r j Eulera Trapezów Gear rzęu 2 h 2 h 2 h r i i + j u r i i Tablica 2. Algebraicze rówaia ieliiowe opisujące pracę prostowika jeopołówkowego z obciążeiem iukcyjym stowarzyszoe z wybraymi algorytmami iterpolacyjymi ε (x + ) = f(x + ) + A x + B = 0 Algorytm x f( ) A B u i ( ) A [e + + r f(x )] Eulera R + r i u ( ) R + r e + + r x u i ( ) A [e + + r f(x ) + u R + r ] Trapezów i u ( ) R + r e + + r x + u Gear rzęu 2 u i ( ) R + r i u ( ) R + r 4. Fukcja przystosowaia 3 A [e r f(x ) + 3 r f(x )] e r x + 3 r x Postawą ziałaia każego algorytmu geetyczego jest ściśle oatia fukcja przystosowaia. Pozwala oa spośró wszystkich chromosomów kolejej geeracji, wybrać ajlepszy [2,6,7,,6]. W rozważaym przypaku prostowika jeopołówkowego obciążoego iukcyjie fukcję przystosowaia określoo astępująco: ( x ) k ε( x ) 0 < F = e (5) Postać fukcji przystosowaia (5) wyika wprost z celu, jakim jest poszukiwaie w każym kroku czasowym symulacji t rozwiązań ieliiowego rówaia algebraiczego (4). Należy zauważyć, że wybraa postać fukcji przystosowaia F(x) w porówaiu z postaciami zwykle stosowaymi w algorytmach geetyczych [6,] siliej preferuje takie wartości parametru x, la których fukcja ε (x) wzór 4; osiąga wartości bliższe zeru. W istoty sposób wpływa to a zwiększeie okłaości otrzymaych wyików moelowaia pracy obwou ieliiowego opisaego sztywymi rówaiami różiczkowymi. Na rysuku 4 pokazao kształty różych fukcji przystosowaia. 0 F ( x ) Klasycze F ( x ) F ( x ) w zór (5) ε ( x ) Rys. 4 Kształty różych fukcji przystosowaia F(x) 5. Tok obliczeń hybryowych z zastosowaiem algorytmu geetyczego Zaaiem klasyczego algorytmu geetyczego, zastosowaego o rozwiązywaia algebraiczego rówaia ieliiowego (4), jest poszukiwaie takiej wartości parametru: x = arg max F( x) = arg max miε( ), (6) x [ xmi, xmax ] x [ x, x ] 0 x który maksymalie miimalizuje wartość fukcji (4). W rozważaym przypaku, moelowaia prostowika jeopołówkowego obciążoego iukcyjie, pseuoko algorytmu obliczeń ewolucyjych ma postać: Program Prostowik_Jeopołówkowy_KAG { iput[ Parametry_Obwou := { R,, u(t), R 0 }; Parametry_Dioy:= { I r, λ }; Parametry_Symulacji := { t p, t k, h, x (0)}; Parametry_KAG:= { N P, N G, P C, P M, x mi, x max } ]; t:= t p ; x 0 := x (0); output[ t, x 0 ]; for (t [t p, t k ] ) { /* Początek Pętli Czasowej */ Nowa_Postać_Fukcji [ F (x) - wzór (5)]; Iicjuj_Populację_Początkową [ ol_pop ]; for ( l [, N G ] ) {/* Początek Algorytmu Geetyczego */ ew_pop:= Realizuj_ KAG [ ol_pop ]; {x}:= Aalizuj_Populację [ ew_pop ]; }; /* Koiec AG */ t := t +h; x + := Wybierz_Najlepsze [ { x } ]; output[ t, x + ]; }; /* Koiec PC */ }; Algorytm Prostowik_Jeopołówkowy_KAG{ } przetwarza koleje geeracje populacji chromosomów bęą- mi max

4 cych reprezetacjami poszukiwaych optymalych wartości parametru x w kolejych chwilach symulacji t. Proceura Realizuj_KAG[ ] jest implemetacją klasyczego algorytmu geetyczego z rzeczywistą reprezetacją parametrów x zaaia wyposażoą w algorytm liiowego skalowaia populacji. Zawiera oa trzy postawowe operatory ziałające a chromosomach populacji każej geeracji, a miaowicie [6,,6]: operator Reproukcji ( selekcji ), operator Krzyżowaia, operator Mutacji. Proceura Aalizuj_Populację[ ] wybiera z populacji kolejej geeracji chromosom o ajwiększej wartości fukcji przystosowaia oraz tworzy róże statystyki, które mogą być wykorzystae o aalizy ziałaia algorytmu. Proceura Wybierz_Najlepsze[ ] wyzacza, spośró zbioru ajlepszych chromosomów {x}, weług określoej reguły chromosom, który zostaje przyjęty jako owa wartość poszukiwaego parametru x + w chwili t +. Dwie ajprostsze reguły wyboru są astępujące [6,7]: max( ) - wybór ze zbioru chromosomów {x} chromosomu o ajwiększej wartości fukcji przystosowaia, mea( ) - wyzaczeie wartości śreiej ze wszystkich wybraych chromosomów. Jak łatwo zauważyć, ruga z wymieioych reguł zwykle prowazi o gorszych wyików wyzaczaia optymalej wartości parametru x + w chwili t + symulacji. 6. Wybrae wyiki obliczeń umeryczych z zastosowaiem hybryowego zmoyfikowaego algorytmu iterpolacyjego Przy pomocy zapropoowaego hybryowego zmoyfikowaego algorytmu iterpolacyjego symulowao pracę prostowika jeopołówkowego z obciążeiem iukcyjym o schemacie pokazaym a rysuku. Obliczeia przeprowazoo la astępujących wartości elemetów obwou: u(t)= 0 si(50πt) V, R= R e +R = Ω, = 0 mh, ioa D: N4007 (λ= 38,4 V, I r = 2,7 A, m= ) oraz parametrów czasowych symulacji: t [0, 20] ms, h {0,00, 0,04, 0,, 0,4, 2} ms. Wartości postawowych parametrów algorytmu geetyczego ustaloo astępująco: koowaie rzeczywiste wartości x [ 50,0, +50,0], prawopoobieństwo krzyżowaia: P C = 0,8, prawopoobieństwo mutacji: P M = 0,00, reproukcja weług metoy reszt bez powtórzeń, krzyżowaie jeopuktowe. W tablicy 3 zestawioo wybrae przykłay testowych obliczeń umeryczych, a otyczących hybryowego zmoyfikowaego algorytmu iterpolacyjego opartego o klasyczy iterpolacyjy algorytm Eulera. Na rysuku 5 pokazao przebiegi czasowe apięcia a iozie oraz apięcia a iukcyjości otrzymae poczas obliczeń umeryczych z zastosowaiem hybryowego zmoyfikowaego iterpolacyjego algorytmu Eulera. Dla pozostałych algorytmów iterpolacyjych wymieioych uprzeio są oe praktyczie ietycze. Tablica 3 Zestawieie wybraych testów hybryowego zmoyfikowaego algorytmu iterpolacyjego Eulera P. Test N P N G h Uwagi Wyik RD_ , 0 3 krótkie obliczeia 2 RD_ , ługie obliczeia 3 RD_ , 0 3 kotyuacja x + 4 RD_02_A , 0 3 zerowaie x + 5 RD_02_B , 0 3 zerowaie x + 6 RD_ kotyuacja x + 7 RD_03_A zerowaie x + 8 RD_ ,4 0 3 kotyuacja x + 9 RD_04_A ,4 0 3 zerowaie x 0 RD_04_B , zerowaie x + Jak wiać z tablicy 3 oraz rysuku 5 część rezultatów obliczeń umeryczych charakteryzuje się poobym błęem jaki pokazao w rozziale iiejszej pracy. Są to wyiki testów:, 2 i 9 opowieio rys. 5a, 5b oraz 5i. W trakcie alszych baań symulacyjych okazało się, że jest to skutek użycia populacji o zbyt małej liczebości N P. Ilustrują to wyiki testu 3 rys. 5c. Jeocześie ależy zauważyć, że zmiejszeie kroku czasowego h symulacji ie prowazi o poprawy otrzymaych rezultatów, a jeyie zaczie wyłuża czas obliczeń poosząc ich koszt test 2 oraz rys. 5b. Określeia kotyuacja x oraz zerowaie x umieszczoe w tablicy 3 ozaczają opowieio: przyjęcie zerowych waruków początkowych x(t 0 )= 0 prze rozpoczęciem pętli czasowej symulacji i astępie przyjmowaie w kolejych chwilach czasu t + jako waruki początkowe la algorytmu geetyczego wartości optymale wyzaczoe przezeń w chwili poprzeiej: x(t + )=opt[x(t )]; atomiast w rugim przypaku algorytm geetyczy w każym kroku czasowym rozpoczya poszukiwaia rozwiązań optymalych o zerowych waruków początkowych. Warto zauważyć, że w algorytmach meto umeryczego rozwiązywaia sztywych rówań różiczkowych stosowaa jest jeyie kotyuacja x. Jak wiać z testów 3, 4 i 5 rys. 5c, 5, i 5e; kotyuacja x pozwala uzyskać lepsze rezultaty iż zerowaie x, które wymaga la poprawy wyików zwiększeia liczebości populacji N P testy 4 i 5 oraz rys. 5, 5e; jeak także prowazi o poprawych rezultatów obliczeń umeryczych. Ciekawą własość zapropoowaego hybryowego zmoyfikowaego iterpolacyjego algorytmu Eulera użytego o rozwiązaia sztywych rówań różiczkowych opisujących pracę prostowika jeopołówkowego z obciążeiem R ilustrują testy 6 i 7 rys. 5f i 5g. W obu przypakach otrzymao poprawe, aczkolwiek barzo przybliżoe, wyiki symulacji, pomimo, że przyjęto krok czasowy h= 2 ms. Warto pokreślić, że klasyczy iterpolacyjy algorytm Eulera wymaga w rozważaym przypaku kroku symulacji h < ms [5,5]. Testy 8, 9 i 0 rys. 5h, 5i oraz 5j; pokazują wpływ kotyuacji x oraz zerowaia x i stosukowo użego kroku symulacji h= 0,4 ms a wyiki obliczeń umeryczych. Jak wspomiao powyżej wyiki testu 9 rys. 5i są egatywe. Zwiększeia liczebości populacji N P oraz zmiejszeie ługości kroku symulacji h pozwoliło uzyskać ajlepszy, spośró prezetowaych, rezultat obliczeń umeryczych (test 0, rys. 5j).

5 a). RD_00 b). RD_ c) RD_02 ) RD_02_A - e) RD_02_B f) RD_03 - g) RD_03_A h) RD_04 - i) RD_04_A j) RD_04_B Rys. 5 Przykłay wyików symulacji z zastosowaiem hybryowego zmoyfikowaego iterpolacyjego algorytmu Eulera

6 7. Posumowaie W pracy przestawioo wyiki próby moyfikacji algorytmów iterpolacyjych przez połączeie ich z klasyczym algorytmem geetyczym. Otrzymay w te sposób zmoyfikoway hybryowy algorytm iterpolacyjy zastosowao o moelowaia staów yamiczych prostego ieliiowego obwou elektryczego opisaego sztywymi rówaiami różiczkowymi. Obwoem tym był klasyczy, truy umeryczie prostowik jeopołówkowy z obciążeiem iukcyjym - rysuek. Przestawioo wybrae wyiki testów umeryczych zapropoowaej moyfikacji, jakie przeprowazoo la zmoyfikowaego hybryowego iterpolacyjego algorytmu Eulera. Należy zauważyć, że jeocześie przejęto way i zalety [5, 5] klasyczego algorytmu iterpolacyjego Eulera, co miało pewie wpływ a okłaość otrzymaych wyików obliczeń umeryczych. Z przestawioej w pracy aalizy wyików wybraych testów zmoyfikowaego hybryowego iterpolacyjego algorytmu Eulera wykorzystaego o symulacji przykłaowego obwou ieliiowego opisaego sztywymi rówaiami różiczkowymi wyikają astępujące wioski:. Przy pomocy algorytmu geetyczego w prosty sposób moża moyfikować róże algorytmy iterpolacyje otrzymując zmoyfikowae hybryowe algorytmy iterpolacyje. 2. W celu uzyskaia poprawych wyików symulacji yamiki obwoów ieliiowych opisaych sztywymi rówaiami różiczkowymi z użyciem hybryowego zmoyfikowaego algorytmu iterpolacyjego ależy stosować populacje o użej liczebości N P lub/i przeprowazać obliczeia geetycze la użej liczby N G pokoleń kolejych geeracji. 3. Długość kroku czasowego h symulacji może być w praktyce owola i wpływa główie a okłaość otrzymaych wyików symulacji. 4. Zaawaie waruków początkowych la algorytmu geetyczego (metoa kotyuacji x lub zerowaia x ) ie ma istotego zaczei, może jeak wymagać zwiększeia liczebości N P populacji. 5. Zaletą zmoyfikowaego hybryowego algorytmu iterpolacyjego jest prostota implemetacji, oporość umerycza oraz uża szybkość ziałaia. [4] Calaha D. A.: Projektowaie ukłaów elektroiczych za pomocą maszyy cyfrowej,, Wyawictwo Naukowo-Techicze, Warszawa 978 [5] Chua. O., i P-M.: Komputerowa aaliza ukłaów elektroiczych, Wyawictwo Naukowo- Techicze, Warszawa 98 [6] Davis.: Habook of Ggeetic Algorihms, Vo Nostra Reihol, New York 99 [7] Golberg D. E.: Algorytmy geetycze i ich zastosowaia, Wyawictwo Naukowo-Techicze, Warszawa 995 [8] Kassur A., Perkowski P.: Obliczeiowe aspekty projektowaia ukłaów elektroiczych, Wyawictwo Naukowo-Techicze, Warszawa 979 [9] Krupowicz A.: Metoy umerycze rozwiązywaia zagaień początkowych rówań różiczkowych zwyczajych, Państwowe Wyawictwo Naukowe, Warszawa 986 [0] Marciiak W.: Moele elemetów półprzewoikowych, Wyawictwo Naukowo-Techicze, Warszawa 985 [] Michalewicz Z.: Algorytmy geetycze + struktury aych = programy ewolucyje, Wyawictwo Naukowo-Techicze, Warszawa 996 [2] Mitkowski S.: Nieliiowe obwoy elektrycze, Uczeliae Wyawictwo Naukowo-Dyaktycze AGH, Kraków 999 [3] Ralsto A,: Wstęp o aalizy umeryczej, Państwowe Wyawictwo Naukowe, Warszawa 972 [4] Roetzheim W, H.: aboratorium złożoości, Itersoftla, Warszawa 994 [5] Szczęsy R.: Komputerowa symulacja ukłaów eergoelektrtoiczych, Wyawictwo Politechiki Gańskiej, Gańsk 999 [6] Thro E.: Sztucze życie - zestaw arzęzi baacza, Wyawictwo Itersoftla, Warszawa 994 [7] Zimy P., Karwowski K.: SPICE klucz o elektrotechiki, Wyawictwo Politechiki Gańskiej, Gańsk 993 Artykuł recezoway Jak wiać z przestawioych w pracy rezultatów celowe są moyfikacje zaych algorytmów umeryczego całkowaia ieliiowych sztywych rówań różiczkowych, zwłaszcza, że prowazą oe o powstaia owych jakościowo algorytmów hybryowych. 8. iteratura [] Atogetti P., Massobrio G.: Semicouctor evice moelig with SPICE, Mc. Graw Hill Compay, New York 988 [2] Arabas J.: Wykłay z algorytmów ewolucyjych, Wyawictwo Naukowo-Techicze, Warszawa 200 [3] Bure R.., Faires D. J. Numerical Aalysis, PWS- KENT Publishig Compay, Bosto 985