1 T. Sygnały. Sygnał okresowy f(t) Wartość średnia sygnału okresowego f(t) Sygnały f(t) Stałe. Zmienne f(t) const. Pulsujące Inne.

Transkrypt

1 Sygnały Sygnały f(t) Stałe Zmienne f(t) const Pulsujące nne Zmieniające znak Zachowujące znak Oksowe Nieoksowe Odkształcone SNSODALNE nne Sygnał oksowy f(t) > t f ( t) f ( t + ) Wartość śdnia sygnału oksowego f(t) F śr def t + t f ( t)dt Przykład Obliczyć wartość śdnią nieskończonego ciągu pulsów o kształcie pokazanym na rysunku. f(t),5 [s] +3 F śr,6,5 t [s],5,,5 F ( )d ( 3)d ( )d,5 f t t t t 5, 3 5 ( 3,5), 6 śr

2 Przykład f(t) +3,5,6 Wartość skuteczna sygnału oksowego f(t) F sk def t+ t f ( t) dt Obliczyć wartość skuteczną nieskończonego ciągu pulsów o kształcie pokazanym na rysunku.,5 [s] F sk,5,,5 F śr F ( ) d ( 3) d ( ) d 9,5,5 f t t t + t 5, t [s],5 nterptacja energetyczna wartości skutecznej ( ) 4,, 5 sk u(t) i( t + ) u(t) i( t + ) sk sk Prąd oksowy Prąd stały Energia wydzielona w oporze w przedziale czasu t t t + : w ( t, t + ) t + t u( t) i( t)dt t + t i ( t)dt Wniosek: Energia wydzielona w oporze w czasie jednego oksu prądu oksowego i( t + ) jest równa energii, jaką w tym samym oporze i w tym samym czasie wydzieli prąd stały o wartości sk. w ( t, t + ) t + t u( t) i( t)dt G t + t sk u ( t)dt G Wniosek: Energia wydzielona w oporze w czasie jednego oksu napięcia oksowego u(t) u( t + ) jest równa energii, jaką w tym samym oporze i w tym samym czasie wydzieli napięcie stałe o wartości sk. sk Przykład Wyznaczyć wartość napięcia stałego dającego w zystorze taki sam skutek energetyczny jak napięcie oksowe pokazane na rysunku. u(t) [V],5 [s] +3,5 sk ( )d ( 3 ( ) sk +,5) 4,,5 V,5,5 u t t 5,5 t [s]

3 Sygnał sinusoidalny Przemienny pulsujący (zmienia znak) oksowy okślony dla t (, + ). f ( t) sin sin Am α ( t) Am t + cos cos ( ω ϕ ) A m amplituda sygnału; α(t) ω t + ϕ faza sygnału w [rad] lub [ o ]; ω pulsacja sygnału w [rad/s] lub [ o /s] przy czym: ω f gdzie f [Hz] częstotliwość sygnału, [s] oks sygnału; ϕ faza początkowa sygnału w [rad] lub [ o ]; f(t) α(t) A m A max +A m A pp A m ω t [rad] ω t - A m A min A m ϕ - sin sin f ( t) Am α ( t) Am t + cos cos ( ω ϕ ) Wartość śdnia sygnału sinusoidalnego Am Am Fśr cos(ω )d sin(ω ) t + ϕ t t + ϕ ω Wartość skuteczna sygnału sinusoidalnego Am Am + cos( + ϕ ) F sk cos ( + )dt dt ϕ A m

4 Przykład Jakie napięci pracy powinien mieć kondensator filtrujący włączony równolegle do sieci zasilającej odbiornik V System elektroenergetyczny sk 3 V C m sk 35 V Czyli, 35 < C 4 V minalne napięcie pracy kondensatora C ( w praktyce, lepiej C 63 V ). Przesunięcie fazowe sygnałów sinusoidalnych f( t) f (t) f (t) ϕ ϕ f (t) A sin α (t) A sin( ω t + ϕ ) f (t) A sin α (t) A sin( ω t + ϕ ) ω t Przykład e(t) E m sin α α (t) α (t) (ω t + ϕ ) (ω t + ϕ ) ϕ ϕ Stan stalony Sinusoidalny (SS) Przyłączenie napięcia sinusoidalnego do dwójnika L. L di( t) L dt NPK + i E m sin ozwiązanie i p (t) + i u (t) : dla t całka ogólna: i p GL t ( t) Ce ; i p (t) całka szczególna: iu ( t) K sin + K cos Ksin( + ϕ ) ; i u (t) SS

5 Przykład ozpływ prądów zgodnie z PPK i (t) PPK w: i (t) + i (t) w i (t) Prąd stały: i (t) 3 A, i (t) A i (t) + i (t) 4 A. ( i po problemie! ) Prądy sinusoidalne: i (t) m sin ( + ϕ ), i (t) m sin ( + ϕ ). Dla danych: m 3 A, m A, moŝna tylko stwierdzić, Ŝe dla przesunięcia fazy α : m + 4 A, dla przesunięcia fazy α : m + A i z tego: + m + 4. ( i tu jest problem! ) Cały czas obowiązuje PPK dla węzła w: i (t) + i (t) α α 9 α 8 sygnały w fazie pośdnie przesunięcie fazowe sygnały w przeciwfazie i (t) 3 sin ( ) i (t) 3 sin ( ) i (t) 3 sin ( ) i (t) sin ( ) i (t) sin ( + /) i (t) sin ( + ) 4 sin ( ) sin ( + 8 ) sin ( ) Metoda bezpośdniej analizy obwodów znajdujących się w SS jest nieco uciąŝliwa, aczkolwiek wykonalna, i w związku z tym powstała metoda symboliczna oparta na liczbach zespolonych. Kiedy w obwodzie jest Stan stalony Sinusoidalny Obwód SLS znajduje się w stanie sinusoidalnym ustalonym ( SS ) jeśli:. wszystkie obwodowe funkcje wymuszające ( napięcia e n (t) i prądy j p (t) autonomicznych źródeł wymuszających ) mają przebieg sinusoidalny o jednakowej pulsacji ω;. autonomiczne źródła wymuszające działają w obwodzie nieskończenie długo co oznacza, Ŝe składowe przejściowe ( całki ogólne ), związane z zaistniałą w obwodzie w chwili początkowej t komutacją oraz początkowymi energiami w C (t ) i w L (t ) zgromadzonymi w konserwatywnych elementach C i L, wszystkich obwodowych funkcji gałęziowych zanikły do zera; 3. wszystkie obwodowe funkcje gałęziowe ( napięcia e g (t) i prądy j g (t) gałęzi ) mają przebieg sinusoidalny o jednakowej pulsacji ω oznacza to brak w obwodzie półdegeneracji w postaci przekrojów pojemnościowych ( złoŝonych z pojemności i autonomicznych źródeł prądu ) i oczek indukcyjnych ( złoŝonych z indukcyjności i autonomicznych źródeł napięcia ) -4

6 Sygnał sinusoidalny, a liczby zespolone Wzór Eulera: e jα cos α + j sin α gdzie: j ; jedno z dwu rozwiązań równania: j +. +j z Płaszczyzna zespolona m z α e z + j s(t) S m cos( + α) e[ S m e j( + α) ] e[ (S m e jα ) e j ] e[se j ] gdzie: S S m e jα amplituda zespolona sygnału sinusoidalnego S(t); przy czym: S S m moduł amplitudy zespolonej S; arg S α (,+) argument główny amplitudy zespolonej S. s(t) S m sin( + β) m[ S m e j( + β) ] m[ (S m e jβ ) e j ] m[s e j ] gdzie: S S m e j β amplituda zespolona sygnału sinusoidalnego S(t); przy czym: S S m moduł amplitudy zespolonej S; arg S β (,+) argument główny amplitudy zespolonej S. przy czym: β + α. Fazor wektor wirujący: w e j Moduł w: w w ; Argument w: arg w +j j m w m w w w e w + j

7 Przykład: Napięcie sinusoidalne ma postać: u(t) cos( ω t + 6 ) [V]. Amplituda zespolona: e j 6 Argument główny: arg 6 [rad]. [V] ( cos 6 + j sin 6 ) [V] 5 ( 3 + j ) [V]; Zmiana postaci amplitudy zespolonej S sygnału sinusoidalnego. Postać wykładnicza (PW): S S e jϕ Postać algebraiczna (PA): S a + j b; a e S, b m S. PW > PA PA > PW a S cos ϕ S a + b b S sin ϕ cosϕ sinϕ a + b b a a + b ϕ Wyliczanie kąta fazowego b a > < ϕ < + ϕ arctg a a ϕ ϕ + ϕ ( sgn b) a < < ϕ < < ϕ < ϕ sgn b arctg waga! sin ( m moŝna cos jednoznacznie przyporządkować jego amplitudę zespoloną S S m e jϕ. ). KaŜdemu sygnałowi sinusoidalnemu s t) S ( ω t + ϕ ) ). KaŜdej amplitudzie zespolonej S S m e jϕ moŝna przyporządkować dwa sin sygnały sinusoidalne s ( t) Sm ( ω t + ϕ ) róŝniące się fazą o [rad]. cos W związku z tym naleŝy przyjąć a priori umowę, Ŝe w rozpatrywanym zagadnieniu wszystkie sygnały b a

8 sinusoidalne zapisujemy w postaci funkcji sinus albo funkcji cosinus. Działania na sygnałach sinusoidalnych ). MnoŜenie sygnału sinusoidalnego przez liczbę rzeczywistą Dane: s (t) S m cos( + α ) e[s e j ] S S m e jα s(t) k s (t) S m cos( + α) e[s e j ] S S m e jα s(t) k S m cos( + α ) e[k S e j ] S (k S m ) e jα S k S k > S S k S α k < S α S k S przy czym: k \{} Amplituda zespolona S iloczynu sygnału sinusoidalnego przez stałą k \{} jest równa iloczynowi amplitudy zespolonej tego sygnału przez tę stałą. ). Suma sygnałów sinusoidalnych Dane: s (t) S m cos( + α ) e[s e j ] S S m e jα s (t) S m cos( + α ) e[s e j ] S S m e jα Suma: s(t) s (t) + s (t) S m cos( + α) e[s e j ] S S m e jα s(t) s (t) + s (t) e[s e j ] + e[s e j ] e[(s + S )e j ] e[(s + S )e j ] e[s e j ] S S S + S S S S S + S α α α

9 S S m e jα + S m e jα Amplituda zespolona S sumy sygnałów sinusoidalnych o tej samej pulsacji ω jest równa sumie ich amplitud zespolonych 3). óŝnica sygnałów sinusoidalnych Dane: s (t) S m cos( + α ) e[s e j ] S S m e jα s (t) S m cos( + α ) e[s e j ] S S m e jα Suma: s(t) s (t) s (t) S m cos( + α) e[s e j ] S S m e jα s(t) s (t) s (t) e[s e j ] e[s e j ] e[(s S )e j ] e[(s S )e j ] e[s e j ] S S S S S S S S S m e jα S m e jα α S Amplituda zespolona S róŝnicy sygnałów sinusoidalnych o tej samej pulsacji ω jest równa róŝnicy ich amplitud zespolonych S α α Przykład Jakie jest napięcie u(t) oraz prąd gałęzi pokazanej na rysunku, jeśli 4 Ω, e (t) e (t) cos ( ω t + /6 ) [V] u (t) 8 cos ( ω t /4 ) [V] u(t) u (t) Amplitudy zespolone napięć: E e j /6 [V] ( cos /6 + j sin /6 ) 5( 3 j) + [V] 8 e j /4 [V] 8 [cos( /4) + j sin( /4)] ( j) Amplituda zespolona sumy napięć: E + ( ) j( 4 5) 4 [V] m [V] E /4 /6 + 4,3 j,66 4,76 e -j 38 e [V]

10 Napięcie: u(t) 4,76 cos( 38 ) [V] Prad: G u (t) ( wg PO ) Amplituda zespolona prądu: G,5 8 e j /4 [A] ( j) [A] Prąd:, cos( /4) [A] 4). óŝniczkowanie sygnałów sinusoidalnych Dane: s (t) S m cos( + α ) e[s e j ] S S m e jα m e /4 s(t) ds ( t) dt S m cos( + α) e[s e j ] S S m e jα d dt j j s(t) e[se ] e[ ( jω S ) e ] S j ω ( S m e jα ) S jω S Amplituda zespolona sygnału sinusoidalnego S powstałego przez zróŝniczkowanie względem czasu sygnału sinusoidalnego o pulsacji ω jest równa iloczynowi amplitudy zespolonej tego sygnału przez jω. PoniewaŜ: j j e, to S S e jα [ωs ]e j( α + ), z tego wynika: S ω S oraz α α + Sygnał sinusoidalny po zróŝniczkowaniu względem czasu wyprzedza w fazie sygnał róŝniczkowany o / radianów. Przykład Jakie napięcie u(t) towarzyszy przepływowi prądu cos ( + 5 ) ma o pulsacji ω Mrad/s przez indukcyjność L 3 mh u(t) L u( t) d L i( t) d t S S S jω S α S.

11 Amplituda zespolona prądu w indukcyjności: Amplituda zespolona napięcia na indukcyjności: (ωl) kω; 6 e j5 [V] e j5 [ma] L ( jω ) j (ωl) [V] u(t) e[ e j ] 6 cos( + 5 ) [V] 5). Całkowanie sygnałów sinusoidalnych Dane: s (t) S m cos( + α ) e[s e j ] S S m e jα s(t) s ( τ ) dτ S m cos( + α) e[s e j ] S S m e jα jωτ j s(t) e[se ]dτ e[ S e ] jω S jω S Amplituda zespolona sygnału sinusoidalnego S, będącego funkcją pierwotną sygnału sinusoidalnego o pulsacji ω jest równa iloczynowi S jω ( Sm e jα ) S S α S amplitudy zespolonej S tego sygnału przez jω. S jω S PoniewaŜ: j j e j, to S S e jα [ ω S ]e j( α ), z tego wynika: S ω S oraz α α Sygnał sinusoidalny po scałkowaniu opóźnia się w fazie względem sygnału całkowanego o / radianów. Przykład Jakie napięcie u(t) towarzyszy przepływowi prądu cos ( + 5 ) ma o pulsacji ω Mrad/s przez pojemność C nf u(t) C u( t) i( t) d t C.

12 Amplituda zespolona prądu w pojemności: e j5 [ma] Amplituda zespolona napięcia na pojemności: ωc C jω ωc,5 kω; e j75 [V] j [V] u(t) e[ e j ] cos( 75 ) [V] Analiza obwodów Metodą Amplitud Zespolonych (MAZ) ( metoda symboliczna ( MS ), metoda wskazowa ( MW )) Jeśli obwód SLS znajduje się w stanie ustalonym sinusoidalnym (SS), to w celu dokonania analizy MAZ tego obwodu naleŝy wszystkie występujące w n pobudzenia ( napięcia źródłowe e(t) oraz prądy źródłowe j(t)) przedstawić w dziedzinie zespolonej jako odpowiednie amplitudy zespolone pobudzeń; przy czym naleŝy uŝyć jednolitej konwencji cos( ) e[ ] albo sin( ) m[ ]. Jednocześnie wszystkie szukane funkcje obwodowe naleŝy zapisywać zgodnie z przyjętą konwencją. Przykład Obwód pokazany na rysunku znajduje się w SS. Wyznaczyć prąd płynący w tym obwodzie. u (t) u L (t) L u C (t) C e(t) E m cos( + α ) Szukamy rozwiązania w postaci: m cos( + β) e[ e j ] di( t) NPK: i ( t) + L + i( )d e( t) dt C τ τ Amplituda zespolona napięcia pobudzającego e(t): Amplituda zespolona szukanego prądu : NPK w dziedzinie zespolonej: j d j jωτ e[e ] + L e[e ] + e[e ]d dt C τ e + jlω + jcω e j e[ee j ] E E m e jα m e jβ e[ee j ]

13 + jlω + E jcω + E j ωl ωc m E m + ωl ωc ωl β arg α arctg ωc Wartość skuteczna zespolona W metodzie MAZ zamiast pojęcia amplitudy zespolonej moŝe być stosowane pojęcie wartości skutecznej zespolonej. ( Dotyczy to głównie energetyki. ) s(t) S m cos( + α) S sk cos( + α) e[ (S sk e jα ) e j ] Wartość skuteczną zespolona S S sk e jα Związek amplitudy zespolonej i wartości skutecznej zespolonej S S Związki między amplitudami zespolonymi (wskazami) prądów i napięć na elementach u(t) u(t) L u(t) C u(t) m cos( + α) e[ e j ] m cos( + β) e[ e j ]; j jlω jcω Cω m m β α Lω m m β α Cω m m m e jα m e jβ β α + mmitancje dwójników: mpedancja Z i Admitancja Y

14 PO dla amplitud zespolonych: Z równanie pedancyjne lub Y równanie admitancyjne Z Z L jlω Y G Y L Z C jcω j j Y jcω jlω Lω C Cω Dwójnik SLS Z ˆ Z Y Y ˆ Z Z e jα r + jx r e[z] - zystancja x m[z] - aktancja α arg arg - faza Z Y Y e jβ g +jb g e[z] - konduktancja b m[z] - susceptancja β arg arg α - faza Y

15 ypy dwójników r e[z] g e[y] x m[z] b m[y] ϕ - faza yp + + stratny pasywny bezstratny pasywny Aktywny + + charakter indukcyjny ezonans typu szegowego ezonans typu równoległego + Charakter pojemnościowy