STRUKTURA ELEKTRONOWA CZA STECZEK: METODA ORBITALI MOLEKULARNYCH (MO) Monika Musia l
|
|
- Aniela Woźniak
- 5 lat temu
- Przeglądów:
Transkrypt
1 WYK LAD STRUKTURA ELEKTRONOWA CZA STECZEK: METODA ORBITALI MOLEKULARNYCH (MO) Monika Musia l http : //zcht.mf c.us.edu.pl/ mm
2 WYK LAD - wyznaczanie orbitali atomowych i molekularnych Uk lad zamkniȩtopow lokowy, zawieraj acy N (N liczba parzysta) elektronów. Szukamy najlepszej (tzn. daj acej najniższ a energiȩ) funkcji falowej wyznacznikowej: Ψ = 1 N! ψ 1 (1) ψ 1 (2) ψ 1 (N) ψ 2 (1) ψ 2 (2) ψ 2 (N).... ψ N (1) ψ N (2) ψ N (N) Zapiszemy ten sam wyznacznik poprzez orbitale: Ψ = 1 N! φ 1 (1)α(1) φ 1 (2)α(2) φ 1 (N)α(N) φ 1 (1)β(1) φ 1 (2)β(2) φ 1 (N)β(N) φ 2 (1)α(1) φ 2 (2)α(2) φ 2 (N)α(N).... φn 2 (1)α(1) φn 2 (2)α(2) φn 2 (N)α(N) φn 2 (1)β(1) φn 2 (2)β(2) φn 2 (N)β(N) Równoważnie: szukamy najlepszych orbitali
3 Kluczowy problem w metodzie MO: wybór bazy. Najpowszechniejsza realizacja metody MO taka, w której bazȩ funkcyjn a stanowi a orbitale atomowe. Prowadzi to do metody LCAO MO (Linear Combination of Atomic Orbitals Molecular Orbitals). W ramach metody LCAO MO bȩdziemy rozważać orbital molekularny jako rezultat na lożenia siȩ (oddzia lywania) orbitali atomowych. mm
4 WYK LAD - wyznaczanie orbitali atomowych i molekularnych W pierwszym kroku konstruujemy w ramach przybliżenia Borna-Oppenheimera (które zak lada, że j adra atomowe jako kilka tysiȩcy razy ciȩższe od elektronów poruszaj a siȩ tak wolno, że ich ruch można zaniedbać, tzn. ˆTj = 0 i w zwi azku z tym jeżeli j adra K atomowe s a nieruchome, to wyraz w hamiltonianie kz α Z β e 2 jest sta ly ) r αβ operator Hamiltona dla atomu: α>β=1 Ĥ = h2 2m N i=1 2 i N = N ĥ(i)+ N i=1 i>j=1 i=1 ke 2 r ij kze 2 r αi + N i>j=1 ke 2 r ij mm
5 WYK LAD - wyznaczanie orbitali atomowych i molekularnych lub dla cz asteczki Ĥ = h2 2m + N i>j=1 N i=1 2 i K α=1 ke 2 r ij + K α>β=1 = N ĥ(i)+ N i=1 i>j=1 N i=1 kz α e 2 r i kz α Z β e 2 r αβ ke 2 r ij +const czyli mamy operator energii kinetycznej elektronów, operator kulombowskiego przyci agania elektronów przez j adra, operator kulombowkiego odpychania siȩ elektronów oraz operator kulombowskiego odpychania siȩ j ader (const): Ĥ = ˆT e + ˆV ej + ˆV ee +const mm
6 WYK LAD - wyznaczanie orbitali atomowych i molekularnych h - sta la Plancka kreślona k - sta la Coulomba e - ladunek elektronu m - masa elektronu Z α - ladunek j adra α M α - masa j adra α r kl = (x k x l ) 2 +(y k y l ) 2 +(z k z l ) 2 2 = 2 x y z 2 mm
7 WYK LAD - wyznaczanie orbitali atomowych i molekularnych W jednostkach atomowych hamiltonian przyjmuje prostsz a formȩ (w ramach BO). Dla cz asteczek: Ĥ = 1 2 N K i=1 2 i N i=1α=1 Z α r iα + N i>j=1 1 r ij + K α>β=1 Z α Z β r αβ Dla atomów: Ĥ = 1 2 N i=1 2 i N i=1 Z r i + N i>j=1 1 r ij mm
8 WYK LAD - wyznaczanie orbitali atomowych i molekularnych a nastȩpnie wyrażenie na wartość oczekiwan a: E = Ψ Ĥ Ψ
9 Najprostszy przyk lad: jon H + 2 Równanie Schrödingera: Ĥ = h2 2m 2 ke2 r a ke2 r b Ĥψ = Eψ Baza funkcyjna: orbitale atomu wodoru 1s: χ a i χ b. Orbitale molekularne bȩd a budowane jako liniowe kombinacje orbitali atomowych: ψ = N(c a χ a +c b χ b ) Ponieważ gȩstość prawdopodobieństwa napotkania elektronu w pobliżu j adra a musi być równa gȩstości prawdopodobieństwa napotkania elektronu w pobliżu j adra b st ad c 2 a = c 2 b Czyli: c a = ±c b
10 Jeśli orbitale molekularne tworzymy jako liniowe kombinacje orbitali atomowych 1s w atomie a i b to kombinacja sym. i antysym. maj a postać: ψ + = N +c(χ a +χ b ) = N + (χ a +χ b ) ψ = N c(χ a χ b ) = N (χ a χ b ) Zatem z dwóch orbitali atomowych χ a i χ b tworzy siȩ dwa orbitale molekularne ψ + i ψ. Sta le normalizacyjne można znaleźć z warunku normalizacji orbitali ψ (zak ladamy unormowanie orbitali χ): ψ+ 2 dτ = 1 ψ 2 dτ = 1 Sk ad: N + = N = 1 2+2S 1 2 2S
11 gdzie S jest ca lk a nak ladania (tj. nakrywania siȩ orbitali atomowych): S = χ a (1)χ b (1)dτ której wartość jest zawarta w przedziale: 0 S 1 Ostatecznie dwa znalezione orbitale molekularne maj a postać: ψ + (1) = (2+2S) 1 2[χ a (1)+χ b (1)] ψ (1) = (2 2S) 1 2 [χa (1) χ b (1)] Energie obu orbitali można wyznaczyć z wyrażenia na wartość średni a hamiltonianu (w notacji Diraca): E + = ψ + Ĥ ψ + E = ψ Ĥ ψ
12 Po podstawieniu: gdzie E + = H aa+h ab 1+S E = H aa H ab 1 S H aa = χ a Ĥ χ a = χ b Ĥ χ b = H bb H ab = χ a Ĥ χ b = χ b Ĥ χ a = H ba Pierwsza równość wynika z symetrii uk ladu, druga z hermitowskości operatora Ĥ.
13 Ca lka H aa nosi czasem nazwȩ ca lki kulombowskiej natomiast ca lka H ab nazywa siȩ ca lk a rezonansow a (H ab 0). W przybliżeniu: H aa = E H E H reprezentuje energiȩ elektronu w atomie wodoru. Zatem (zaniedbuj ac także ca lkȩ nak ladania): E + = E H +H ab E = E H H ab Ponieważ H ab jest zawsze ujemne wiȩc: E + E H E E H
14 Orbital ψ + któremu odpowiada niższa energia niż energia elektronu w atomie nosi nazwȩ orbitalu wi aż acego, natomiast orbital ψ o energii wyższej nazywa siȩ orbitalem antywi aż acym. Energia ca lkowita jonu H + 2 musi uwzglȩdniać także energiȩ odpychania siȩ j ader atomowych (protonów), zatem otrzymujemy ostateczne wyrażenia: E tot + = E + + ke2 R E tot = E + ke2 R
15 Najprostsza cz asteczka: H 2 atomy rozdzielone E 1s H σ H 1s E σ σ - orbital molekularny wi aż acy σ - orbital molekularny antywi aż acy
16 Utworzenie cz asteczki H 2 E 1s H σ H 1s E σ Energia wi azania = 2 E σ - orbital molekularny wi aż acy σ - orbital molekularny antywi aż acy
17 Singletowy stan wzbudzony cz asteczki H 2 E 1s H σ H 1s E σ Energia wi azania = E E = 0 dysocjacja σ - orbital molekularny wi aż acy σ - orbital molekularny antywi aż acy
18 Trypletowy stan wzbudzony cz asteczki H 2 H σ H 1s 1s σ σ - orbital molekularny wi aż acy σ - orbital molekularny antywi aż acy
19 Klasyfikacja orbitali molekularnych 1. Ze wzglȩdu na energiȩ: orbitale wi aż ace: σ 1, σ 2,...,π 1,...: o energii niższej niż energia w atomie orbitale antywi aż ace σ 1, σ 2,..., π 1,...: o energii wyższej niż energia w atomie orbitale niewi aż ace: orbitale pow lok wewnȩtrznych lub tzw. wolne pary: σ n 1,...: o energii takiej samej (lub prawie takiej samej) jak energia w atomie
20 2. Ze wzglȩdu na symetriȩ (zak ladamy, że oś wi azania pokrywa siȩ z osi a z) orbitale σ: symetryczne wzglȩdem obrotu o dowolny k at dooko la osi wi azania. Powstaj a: a) z dwóch orbitali s b) z orbitalu s i orbitalu p z c) z dwóch orbitali p z d) z orbitalu s i orbitalu d z 2 e) z orbitalu p z i orbitalu d z 2 f) z dwóch orbitali d z 2
21 orbitale π: antysymetryczne wzglȩdem odbicia w p laszczyżnie przechodz acej przez oś wi azania. Powstaj a: a) z dwóch orbitali p x lub p y b) z orbitalu p x i orbitalu d xz (p y i d yz ) c) z dwóch orbitali d xz (d yz ) orbitale δ: Powstaj a z na lożenia siȩ np. dwóch orbitali d xy. Każdy z orbitali σ, π, δ może mieć charakter wi aż acy, niewi aż acy lub antywi aż acy. Jeżeli cz asteczka posiada środek symetrii to dodatkowo wyposażamy symbol orbitalu w indeks g lub u, np: σ g, σ u, π u, π g, etc. 3. Ze wzglȩdu na stopień delokalizacji orbitale zlokalizowane: obejmuj a swym zasiȩgiem jeden lub dwa atomy orbitale zdelokalizowane: rozci agaj a siȩ na ca l a cz asteczkȩ
22 Efektywność tworzenia siȩ orbitali molekularnych: porównywalne energie jonizacji orbitali (nie tworzy siȩ wi azanie pomiȩdzy orbitalami pow lok walencyjnych i wewnȩtrznych) wyraźnie różna od zera ca lka nak ladania (nie tworzy siȩ wi azanie pomiȩdzy orbitalami pow lok wewnȩtrznych)
23 Prawie zawsze suma orbitali atomowych odpowiada orbitalowi molekularnemu wi aż acemu. WYK LAD - metoda orbitali molekularnych Struktura elektronowa cz asteczek dwuatomowych homoj adrowych Konstrukcja orbitali molekularnych z orbitali walencyjnych atomów tworz acych cz asteczkȩ: σ 1s = 1s a +1s b σ 1s = 1s a 1s b σ 2s = 2s a +2s b σ 2s = 2s a 2s b σ 2p = 2p za 2p zb σ 2p = 2p za +2p zb π 2px = 2p xa +2p xb π 2py = 2p ya +2p yb π 2p x = 2p xa 2p xb π 2p y = 2p ya 2p yb
24
25 Kolejność energetyczna orbitali (cz asteczki dwuatomowe homoj adrowe) σ 1s < σ 1s < σ 2s < σ 2s < π 2px = π 2py < σ 2p < π 2p x = π 2p y < σ 2p W rzeczywistości dla niektórych przypadków () nastȩpuje inwersja kolejności dwóch poziomów. W zwi azku z tym mamy nastȩpuj ac a kolejność (dla uk ladów od O 2 ): σ 1s < σ 1s < σ 2s < σ 2s < σ 2p < π 2px = π 2py < π 2p x = π 2p y < σ 2p Parzystość wzglȩdem inwersji: dodajemy indeksy dolne g, u. Na poziomach typu π możemy umieścić maksymalnie cztery elektrony gdyż każdy taki poziom jest dwukrotnie zwyrodnia ly.
26 Konfiguracje elektronowe cz asteczek dwuatomowych homoj adrowych (obowi azuje regu la Hunda) [H + 2 ] = (σ g1s ) 1 [H 2 ] = (σ g1s ) 2 [He + 2] = (σ g1s ) 2 (σ u1s) 1 [He 2 ] = (σ g1s ) 2 (σ u1s) 2 [Li 2 ] = (σ g1s ) 2 (σ u1s) 2 (σ g2s ) 2 = [He 2 ](σ g2s ) 2 [Be 2 ] = [He 2 ](σ g2s ) 2 (σ u2s) 2 [B 2 ] = [He 2 ](σ g2s ) 2 (σ u2s) 2 (π u2px ) 1 (π u2py ) 1 [C 2 ] = [He 2 ](σ g2s ) 2 (σ u2s) 2 (π u2px ) 2 (π u2py ) 2 [N 2 ] = [He 2 ](σ g2s ) 2 (σ u2s) 2 (π u2px ) 2 (π u2py ) 2 (σ g2p ) 2 [N + 2 ] = [He 2 ](σ g2s ) 2 (σ u2s) 2 (π u2px ) 2 (π u2py ) 2 (σ g2p ) 1
27 Strukturaelektronowacz asteczkin 2 2p σ 2p π 2p 2p σ2p π2p 2s σ 2s σ2s 2s 1s N N 2 σ 1s σ1s N 1s
28 Krotność (rz ad) wi azania R b : R b = N el.bond. N el.antibond. 2 Krotności (rzȩdy) wi azań, energie wi azań i d lugości wi azań w poszczególnych cz asteczkach wynosz a: R b (H 2 + ) = 1 2 ; R e = nm; D e = 2.79 ev R b (H 2 ) = 1; R e = nm; D e = 4.75 ev R b (He + 2) = 1 2 ; D e = 3 ev R b (He 2 ) = 0 nie istnieje R b (Li 2 ) = 1; R e = nm; D e = 1.05 ev R b (N 2 ) = 3; R e = nm; D e = 9.90 ev R b (N 2 + ) = 2.5; R e = nm; D e = 8.72 ev
29 R b (O + 2) = 2.5; R e = nm; D e = 6.48 ev R b (O 2 ) = 2; R e = nm; D e = 5.08 ev R b (O 2 ) = 1.5; R e = nm R b (O 2 2 ) = 1; R e = nm R b (F 2 ) = 1; D e = 1.68 ev W lasności paramagnetyczne (zwi azane z obecności a niesparowanych elektronów) wykazuj a cz asteczki: B 2, O 2.
30 Konfiguracje elektronowe cz asteczek dwuatomowych heteroj adrowych Przy niewielkiej różnicy elektroujemności - orbitale o charakterze zbliżonym do orbitali w cz asteczkach homoj adrowych. ψ = c a χ a +c b χ b Jeżeli atom a ma niższ a elektroujemność niż atom b to orbital wi aż acy wykazuje wiȩksze podobieństwo do orbitalu χ a a antywi ażacy do orbitalu χ b. ψ a = c a χ a +c b χ b ψ b = c aχ a +c bχ b przy czym: c a > c b c a < c b
31 Kolejność energetyczna orbitali molekularnych (cz asteczki dwuatomowe heteroj adrowe) jest nastȩpuj aca: σ 1sa < σ 1sb < σ 2sa < σ 2sb < π 2pxa = π 2pya < σ 2pa < π 2pxb = π 2pyb < σ 2pb
32 Konfiguracje elektronowe wybranych cz asteczek dwuatomowych: [BN] = K B K N (σ 2sN ) 2 (σ 2sB) 2 (π 2pxN ) 2 (π 2pyN ) 2 [BN] = K B K N (σ 2sN ) 2 (σ 2sB) 2 (π 2pxN ) 2 (π 2pyN ) 1 (σ 2pN ) 1 [CN] = K C K N (σ 2sN ) 2 (σ 2sC) 2 (π 2pxN ) 2 (π 2pyN ) 2 (σ 2pN ) 1 [CN + ] = K C K N (σ 2sN ) 2 (σ 2sC) 2 (π 2pxN ) 2 (π 2pyN ) 2 [CN ] = K C K N (σ 2sN ) 2 (σ 2sC) 2 (π 2pxN ) 2 (π 2pyN ) 2 (σ 2pN ) 2 [NO] = K N K O (σ 2sO ) 2 (σ 2sN) 2 (π 2pxO ) 2 (π 2pyO ) 2 (σ 2pO ) 2 (π 2pN) 1 [NO + ] = K N K O (σ 2sO ) 2 (σ 2sN) 2 (π 2pxO ) 2 (π 2pyO ) 2 (σ 2pO ) 2 [NO ] = K N K O (σ 2sO ) 2 (σ 2sN) 2 (π 2pxO ) 2 (π 2pyO ) 2 (σ 2pO ) 2 (π 2pxN) 1 (π 2pyN) 1
33 Przyk ladowe krotności (rzȩdy) wi azań i d lugości wi azań: R b (BN) = 2 R b (CN + ) = 2; R e = nm R b (CN) = 2.5; R e = nm R b (CN ) = 3; R e = nm R b (NO + ) = 3; R e = nm R b (NO) = 2.5; R e = nm R b (NO ) = 2 W lasności paramagnetyczne: BN,NO. Konfiguracja wodorków typu HA: [LiH] = K Li (σ 1sH ) 2 [FH] = K F (σ n 2sF) 2 (σ 2pF ) 2 (π n 2pxF) 2 (π n 2pyF) 2
STRUKTURA ELEKTRONOWA CZA STECZEK: METODA ORBITALI MOLEKULARNYCH (MO) Ćwiczenia. Monika Musia l
STRUKTURA ELEKTRONOWA CZA STECZEK: METODA ORBITALI MOLEKULARNYCH (MO) Ćwiczenia Monika Musia l Uk lad zamkniȩtopow lokowy: N elektronów; N 2 elektronowa: Ψ = 1 N! orbitali. Funkcja falowa N- φ 1 (1)α(1)
Bardziej szczegółowoMetody obliczeniowe chemii kwantowej oparte na funkcji falowej. Dla uk ladu N elektronów i K j ader atomowych hamiltonian przyjmuje postać:
Metody obliczeniowe chemii kwantowej oparte na funkcji falowej Równanie Schrödingera: ĤΨ = EΨ Dla uk ladu N elektronów i K j ader atomowych hamiltonian przyjmuje postać: Ĥ = h 2 K α=1 1 2M α 2 α h2 2m
Bardziej szczegółowoMetody obliczeniowe chemii teoretycznej
Metody obliczeniowe chemii teoretycznej mechanika kwantowa mechanika klasyczna ւ ց WFT DFT MM FFM metody bazuj ace na metody bazuj ace na Mechanika Molekularna funkcji falowej gȩstości elektronowej Wave
Bardziej szczegółowoStruktura elektronowa czasteczek. przybliżenie Borna-Oppenheimera. równania Schrödingera dla elektronów przy ustalonym po lożeniu jader
Notatki do wyk ladu VII Struktura elektronowa czasteczek przybliżenie Borna-Oppenheimera rozwiazanie równania Schrödingera dla elektronów przy ustalonym po lożeniu jader przybliżenie jednoelektronowe metoda
Bardziej szczegółowoCHEMIA KWANTOWA MONIKA MUSIA L METODA HÜCKLA. Ćwiczenia. http://zcht.mfc.us.edu.pl/ mm
CHEMIA KWANTOWA MONIKA MUSIA L METODA HÜCKLA Ćwiczenia Zwi azki organiczne zawieraj ace uk lady π-elektronowe Sprzȩżony uk lad wi azań podwójnych: -C=C-C=C-C=C-C=C- Skumulowany uk lad wi azań podwójnych:
Bardziej szczegółowoMonika Musia l. METODA MIESZANIA KONFIGURACJI Configuration Interaction (CI) (ujȩcie wyznacznikowe)
Monika Musia l METODA MIESZANIA KONFIGURACJI Configuration Interaction (CI) (ujȩcie wyznacznikowe) ĤΨ i = E i Ψ i W metodzie mieszania konfiguracji wariacyjna funkcja falowa, jest liniow a kombinacj a
Bardziej szczegółowoWstęp do Optyki i Fizyki Materii Skondensowanej
Wstęp do Optyki i Fizyki Materii Skondensowanej Część I: Optyka, wykład 9 wykład: Piotr Fita pokazy: Andrzej Wysmołek ćwiczenia: Anna Grochola, Barbara Piętka Wydział Fizyki Uniwersytet Warszawski 2014/15
Bardziej szczegółowoPodstawy chemii obliczeniowej
Podstawy chemii obliczeniowej Anna Kaczmarek Kędziera Katedra Chemii Materiałów, Adsorpcji i Katalizy Wydział Chemii UMK, Toruń Elementy chemii obliczeniowej i bioinformatyki 2015 Plan wykładu 15 godzin
Bardziej szczegółowoSymbol termu: edu (sumy ca lkowitego orbitalnego momentu edu i ca lkowitego spinu) Przyk lad: 2 P 3. kwantowa
Notatki do wyk ladu VI (z 18.11.2013) Symbol termu: 2S+1 L (1) L -liczba kwantowa ca lkowitego orbitalnego momentu pedu Duże litery S, P, D, F, itd. dla L=0, 1, 2, 3, itd. 2S+1 - multipletowość; S - liczba
Bardziej szczegółowoTEORIA FUNKCJONA LÓW. (Density Functional Theory - DFT) Monika Musia l
TEORIA FUNKCJONA LÓW GȨSTOŚCI (Density Functional Theory - DFT) Monika Musia l PRZEDMIOT BADAŃ Uk lad N elektronów + K j ader atomowych Przybliżenie Borna-Oppenheimera Zamiast funkcji falowej Ψ(r 1,σ 1,r
Bardziej szczegółowoOddzia lywania miedzycz. jony molekularne lub atomy. edzy A i B:
Notatki do wyk ladu XIII Oddzia lywania miedzycz asteczkowe A i B zamknietopow lokowe czasteczki, jony molekularne lub atomy. Energia oddzia lywania E oddz mi edzy A i B: E oddz = E AB (E A + E B ) ()
Bardziej szczegółowoCząsteczki. 1.Dlaczego atomy łącz. 2.Jak atomy łącz. 3.Co to jest wiązanie chemiczne? Jakie sąs. typy wiąza
Cząsteczki 1.Dlaczego atomy łącz czą się w cząsteczki?.jak atomy łącz czą się w cząsteczki? 3.Co to jest wiązanie chemiczne? Co to jest rząd d wiązania? Jakie sąs typy wiąza zań? Dlaczego atomy łącz czą
Bardziej szczegółowoWykład 5: Cząsteczki dwuatomowe
Wykład 5: Cząsteczki dwuatomowe Wiązania jonowe i kowalencyjne Ograniczenia teorii Lewisa Orbitale cząsteczkowe Kombinacja liniowa orbitali atomowych Orbitale dwucentrowe Schematy nakładania orbitali Diagramy
Bardziej szczegółowoWstęp do Optyki i Fizyki Materii Skondensowanej
Wstęp do Optyki i Fizyki Materii Skondensowanej Część I: Optyka, wykład 10 wykład: Piotr Fita pokazy: Andrzej Wysmołek ćwiczenia: Paweł Kowalczyk, Barbara Piętka Wydział Fizyki Uniwersytet Warszawski 2015/16
Bardziej szczegółowoInżynieria Biomedyczna. Wykład XII
Inżynieria Biomedyczna Wykład XII Plan Wiązania chemiczne Teoria Lewisa Teoria orbitali molekularnych Homojądrowe cząsteczki dwuatomowe Heterojądrowe cząsteczki dwuatomowe Elektroujemność Hybrydyzacja
Bardziej szczegółowoRóżne typy wiązań mają ta sama przyczynę: energia powstającej stabilnej cząsteczki jest mniejsza niż sumaryczna energia tworzących ją, oddalonych
Wiązania atomowe Atomy wieloelektronowe, obsadzanie stanów elektronowych, układ poziomów energii. Przykładowe konfiguracje elektronów, gazy szlachetne, litowce, chlorowce, układ okresowy pierwiastków,
Bardziej szczegółowoJEDNOSTKI ATOMOWE =1, m e =1, e=1, ; 1 E 2 h = 4, J. Energia atomu wodoru lub jonu wodoropodobnego w jednostkach atomowych:
do wyk ladu z 1.10.13 Atom wodoru i jon wodoropodobny Ze - ladunek jadra, e - ladunek elektronu, µ - masa zredukowana µ = mem j m e+m j ( µ m e ) M j - masa jadra, m e - masa elektronu, ε 0 - przenikalność
Bardziej szczegółowoTeoria funkcjona lu g
Notatki do wyk ladu XI Teoria funkcjona lu g estości Density Functional Theory - DFT Czy znajomość funkcji falowej jest niezb edna? Ψ(1,, 3,..., N) dla uk ladu N-elektronowego zależy od 4N zmiennych (dla
Bardziej szczegółowoMetoda Hartree-Focka (Hartree ego-focka)
Notatki do wyk ladu V Metoda Hartree-Focka (Hartree ego-focka) Metoda wariacyjna, w której przyjmuje sie, że przybliżona funkcja falowa, opisujaca stan uk ladu n-elektronowego ma postać wyznacznika Slatera,
Bardziej szczegółowoPodstawy chemii obliczeniowej
Podstawy chemii obliczeniowej Anna Kaczmarek Kędziera Katedra Chemii Materiałów, Adsorpcji i Katalizy Wydział Chemii UMK, Toruń Elementy chemii obliczeniowej i bioinformatyki 2015 Plan wykładu 15 godzin
Bardziej szczegółowoCHEMIA KWANTOWA MONIKA MUSIA L. Ćwiczenia. mm
CHEMIA KWANTOWA MONIKA MUSIA L Ćwiczenia METODY PRZYBLIŻONE ROZWIA ZYWANIA RÓWNANIA SCHRÖDINGERA METODA WARIACYJNA metoda wariacyjna ĤΨ n = E n Ψ n Ψ n ortonormalne Szukamy rozwi azań dla stanu podstawowego,
Bardziej szczegółowoTeorie wiązania chemicznego i podstawowe zasady mechaniki kwantowej Zjawiska, które zapowiadały nadejście nowej ery w fizyce i przybliżały
WYKŁAD 1 Teorie wiązania chemicznego i podstawowe zasady mechaniki kwantowej Zjawiska, które zapowiadały nadejście nowej ery w fizyce i przybliżały sformułowanie praw fizyki kwantowej: promieniowanie katodowe
Bardziej szczegółowoOrbitale typu σ i typu π
Orbitale typu σ i typu π Dwa odpowiadające sobie orbitale sąsiednich atomów tworzą kombinacje: wiążącą i antywiążącą. W rezultacie mogą powstać orbitale o rozkładzie przestrzennym dwojakiego typu: σ -
Bardziej szczegółowoże w wyniku pomiaru zmiennej dynamicznej A, której odpowiada operator αˆ otrzymana zostanie wartość 2.41?
TEST. Ortogonalne i znormalizowane funkcje f i f są funkcjami własnymi operatora αˆ, przy czym: α ˆ f =. 05 f i α ˆ f =. 4f. Stan pewnej cząstki opisuje 3 znormalizowana funkcja falowa Ψ = f + f. Jakie
Bardziej szczegółowoTeoria Orbitali Molekularnych. tworzenie wiązań chemicznych
Teoria Orbitali Molekularnych tworzenie wiązań chemicznych Zbliżanie się atomów aż do momentu nałożenia się ich orbitali H a +H b H a H b Wykres obrazujący zależność energii od odległości atomów długość
Bardziej szczegółowopo lożenie cz astki i od czasu (t). Dla cz astki, która może poruszać siȩ tylko w jednym wymiarze (tu x)
Stan czastki określa funkcja falowa Ψ zależna od wspó lrzȩdnych określaj acych po lożenie cz astki i od czasu (t). Dla cz astki, która może poruszać siȩ tylko w jednym wymiarze (tu x) Wartości funkcji
Bardziej szczegółowoNotatki do wyk ladu V (z ) Metoda Hartree-Focka (Hartree ego-focka)
Notatki do wyk ladu V (z 03.11.014) Metoda Hartree-Focka (Hartree ego-focka) Metoda wariacyjna, w której przyjmuje sie, że przybliżona funkcja falowa, opisujaca stan uk ladu n-elektronowego ma postać wyznacznika
Bardziej szczegółowoModel wiązania kowalencyjnego cząsteczka H 2
Model wiązania kowalencyjnego cząsteczka H 2 + Współrzędne elektronu i protonów Orbitale wiążący i antywiążący otrzymane jako kombinacje orbitali atomowych Orbital wiążący duża gęstość ładunku między jądrami
Bardziej szczegółowoTEORIA ORBITALI MOLEKULARNYCH (MO) dr Henryk Myszka - Uniwersytet Gdański - Wydział Chemii
TERIA RBITALI MLEKULARNYCH (M) Metoda (teoria) orbitali molekularnych (M) podstawy metody M - F. Hund, R.S. Mulliken Teoria M zakłada, że zachowanie się elektronu w cząsteczce opisuje orbital molekularny
Bardziej szczegółowoNotatki do wyk ladu IV (z ) Metoda Hartree-Focka (Hartree ego-focka)
Notatki do wyk ladu IV (z 1.11.01) Metoda Hartree-Focka (Hartree ego-focka) Metoda wariacyjna, w której przyjmuje sie, że przybliżona funkcja falowa opisujac a stan uk ladu n-elektronowego ma postać wyznacznika
Bardziej szczegółowoMechanika kwantowa. Jak opisać atom wodoru? Jak opisać inne cząsteczki?
Mechanika kwantowa Jak opisać atom wodoru? Jak opisać inne cząsteczki? Mechanika kwantowa Elektron fala stojąca wokół jądra Mechanika kwantowa Równanie Schrödingera Ĥ E ψ H ˆψ = Eψ operator różniczkowy
Bardziej szczegółowoc) prawdopodobieństwo znalezienia cząstki między x=1.0 a x=1.5 jest równe
TEST 1. Ortogonalne i znormalizowane funkcje f 1 i f są funkcjami własnymi operatora, przy czym: f 1 =1.05 f 1 i f =.41 f. Stan pewnej cząstki opisuje znormalizowana funkcja 1 3 falowa = f1 f. Jakie jest
Bardziej szczegółowoAtomy wieloelektronowe
Wiązania atomowe Atomy wieloelektronowe, obsadzanie stanów elektronowych, układ poziomów energii. Przykładowe konfiguracje elektronów, gazy szlachetne, litowce, chlorowce, układ okresowy pierwiastków,
Bardziej szczegółowoNotatki do wyk ladu IV (z 27.10.2014)
Dla orbitalnego momentu p edu (L): Notatki do wyk ladu IV (z 7.10.014) ˆL ψ nlm = l(l + 1) ψ nlm (1) ˆL z ψ nlm = m ψ nlm () l + 1 możliwych wartości rzutu L z na wyróżniony kierunek w przestrzeni (l -liczba
Bardziej szczegółowopo lożenie cz astki i od czasu (t). Dla cz astki, która może poruszać siȩ tylko w jednym wymiarze (tu x)
Stan czastki określa funkcja falowa Ψ zależna od wspó lrzȩdnych określaj acych po lożenie cz astki i od czasu (t). Dla cz astki, która może poruszać siȩ tylko w jednym wymiarze (tu x) Wartości funkcji
Bardziej szczegółowo1. Przesłanki doświadczalne mechaniki kwantowej.
1 Pytania egzaminacyjne: 1. Przesłanki doświadczalne mechaniki kwantowej. 2. Efekt fotoelektryczny- interpretacja Einsteina. 3. Efekt fotoelektryczny: jak skorelowana jest liczba wybijanych elektronów
Bardziej szczegółowoWYKŁAD 3 CZĄSTECZKI WIELOATOMOWE ZWIĄZKI WĘGLA
WYKŁAD 3 ZĄSTEZKI WIELOATOMOWE ZWIĄZKI WĘGLA O : (s) O: (s) (s) (p z ) (p x ) (p y ) px py s 90 o? s 4 : (s) (s) (p x ) (p y ) (s) (s) (p x ) (p y ) (p z ) s pz px py s so : (s) s s.orbital MOLEKULARNY
Bardziej szczegółowoChemia kwantowa. Pytania egzaminacyjne. 2010/2011: 1. Przesłanki doświadczalne mechaniki kwantowej.
1 Chemia kwantowa. Pytania egzaminacyjne. 21/211: 1. Przesłanki doświadczalne mechaniki kwantowej. 2. Efekt fotoelektryczny - interpretacja Einsteina. 3. Efekt fotoelektryczny: jak skorelowana jest licza
Bardziej szczegółowoWykład Budowa atomu 3
Wykład 14. 12.2016 Budowa atomu 3 Model atomu według mechaniki kwantowej Równanie Schrödingera dla atomu wodoru i jego rozwiązania Liczby kwantowe n, l, m l : - Kwantowanie energii i liczba kwantowa n
Bardziej szczegółowoGeometria cząsteczek wieloatomowych. Hybrydyzacja orbitali atomowych.
Geometria cząsteczek wieloatomowych. Hybrydyzacja orbitali atomowych. Geometria cząsteczek Geometria cząsteczek decyduje zarówno o ich właściwościach fizycznych jak i chemicznych, np. temperaturze wrzenia,
Bardziej szczegółowoElektronowa struktura atomu
Elektronowa struktura atomu Model atomu Bohra oparty na teorii klasycznych oddziaływań elektrostatycznych Elektrony mogą przebywać tylko w określonych stanach, zwanych stacjonarnymi, o określonej energii
Bardziej szczegółowo3. Cząsteczki i wiązania
3. Cząsteczki i wiązania Elektrony walencyjne Wiązania jonowe i kowalencyjne Wiązanie typu σ i π Hybrydyzacja Przewidywanie kształtu cząsteczek AX n Orbitale zdelokalizowane Cząsteczki związków organicznych
Bardziej szczegółowoTeoria funkcjonału gęstości
Teoria funkcjonału gęstości Łukasz Rajchel Interdyscyplinarne Centrum Modelowania Matematycznego i Komputerowego Uniwersytet Warszawski lrajchel1981@gmail.com Wykład dostępny w sieci: http://tiger.chem.uw.edu.pl/staff/lrajchel/
Bardziej szczegółowoHierarchia baz gaussowskich (5)
Hierarchia baz gaussowskich (5) Bazy split-valence czyli VDZ, VTZ, etc. (np. bazy Pople a 6-31G, 6-311G, etc) Bazy split-valence spolaryzowane VDZP, VTZP, etc. Bazy bazy Dunninga (konsystentne korelacyjnie)
Bardziej szczegółowoi elektronów w czasteczkach (laboratoryjnym) operator Hamiltona dla czasteczki dwuatomowej (jadra 2M b a i b; m -masa elektronu e 2 r ij
Notatki do wyk ladu IX Rozdzielenie ruchu jader i elektronów w czasteczkach W dowolnym uk ladzie wspó lrzednych (laboratoryjnym) operator Hamiltona dla czasteczki dwuatomowej (jadra a i b)ma postać: Ĥ
Bardziej szczegółowoPodstawowe metody i przybliżenia: metoda wariacyjna, rachunek zaburzeń
Wyk lad 6 Podstawowe metody i przybliżenia: metoda wariacyjna, rachunek zaburzeń Uk lady modelowe czastka swobodna czastka na barierze potencja lu czastka w pudle oscylator harmoniczny oscylator Morse
Bardziej szczegółowoSterowalność liniowych uk ladów sterowania
Sterowalność liniowych uk ladów sterowania W zadaniach sterowania docelowego należy przeprowadzić obiekt opisywany za pomoc a równania stanu z zadanego stanu pocz atkowego ẋ(t) = f(x(t), u(t), t), t [t,
Bardziej szczegółowoPostulaty mechaniki kwantowej
Wyk lad 2 Postulaty mechaniki kwantowej 1 wymiar Postulat Stan czastki określa funkcja falowa Ψ = Ψ(x, t) zależna od po lożenia czastki x oraz czasu t. Interpretacje fizyczna ma jedynie kwadrat modu lu
Bardziej szczegółowoUklady modelowe III - rotator, atom wodoru
Wyk lad 5 Uklady modelowe III - rotator, atom wodoru Model Separacja ruchu środka masy R = m 1r 1 + m 2 r 2 m 1 + m 2 Ĥ = Ĥ tr (R) + Ĥ rot (r) Ĥ tr 2 (R) = 2(m 1 + m 2 ) R [ Ψ E tr (R; t) = exp i (k R
Bardziej szczegółowoUkład okresowy. Przewidywania teorii kwantowej
Przewidywania teorii kwantowej Chemia kwantowa - podsumowanie Cząstka w pudle Atom wodoru Równanie Schroedingera H ˆ = ˆ T e Hˆ = Tˆ e + Vˆ e j Chemia kwantowa - podsumowanie rozwiązanie Cząstka w pudle
Bardziej szczegółowoStany atomu wieloelektronowego o określonej energii. być przypisywane elektrony w tym stanie atomu.
Notatki do wyk ladu VI Stany atomu wieloelektronowego o określonej energii. Konfiguracja elektronowa atomu - zbiór spinorbitali, wykorzystywanych do konstrukcji funkcji falowej dla danego stanu atomu;
Bardziej szczegółowoMetoda oddzia lywania konfiguracji (CI)
Metoda oddzia lywania konfiguracji (CI) Spinorbitale: obsadzone φ a i wirtualne φ r : ɛ a ɛ HOMO, ɛ r ɛ LUMO ê r a wykonuje podstawienie φ a φ r, np. ê 7 2 φ 1 φ 2 φ 3... φ N = φ 1 φ 7 φ 3... φ N Operator
Bardziej szczegółowoSTEREOCHEMIA ORGANICZNA
STEREOEMIA ORGANINA Sławomir Jarosz Wykład 5 TOPOWOŚĆ Podział grup wg topowości 1. omotopowe (wymienialne operacją symetrii n ) 2. Enancjotopowe (wymienialne przez płaszczyznę σ) 3. Diastereotopowe (niewymienialne
Bardziej szczegółowoMETODA MIESZANIA KONFIGURACJI Configuration Interaction (CI)
METODA MIESZANIA KONFIGURACJI Configuration Interaction (CI) lub ĤΨ i = E i Ψ i Ψ i = K r=0 c riφ r ĤΨ = EΨ Ψ = c o Φ o + ia ca i Φ a i + ijab cab ij Φ ab ij + ijkabc cabc ijk Φ abc ijk + Funkcje Φ r (Φij..
Bardziej szczegółowo3. Cząsteczki i wiązania
20161020 3. Cząsteczki i wiązania Elektrony walencyjne Wiązania jonowe i kowalencyjne Wiązanie typu σ i π Hybrydyzacja Przewidywanie kształtu cząsteczek AX n Orbitale zdelokalizowane Cząsteczki związków
Bardziej szczegółowoUkłady wieloelektronowe
Układy wieloelektronowe spin cząstki nierozróżnialność cząstek a symetria funkcji falowej fermiony i bozony przybliżenie jednoelektonowe wyznacznik Slatera konfiguracje elektronowe atomów ciało posiadające
Bardziej szczegółowoWykład V Wiązanie kowalencyjne. Półprzewodniki
Wykład V Wiązanie kowalencyjne. Półprzewodniki Wiązanie kowalencyjne molekuła H 2 Tworzenie wiązania kowalencyjnego w molekule H 2 : elektron w jednym atomie przyciągany jest przez jądro drugiego. Wiązanie
Bardziej szczegółowoOPTYKA KWANTOWA Wykład dla 5. roku Fizyki
OPTYKA KWANTOWA Wykład dla 5. roku Fizyki c Adam Bechler 2006 Instytut Fizyki Uniwersytetu Szczecińskiego Rezonansowe oddziaływanie układu atomowego z promieniowaniem "! "!! # $%&'()*+,-./-(01+'2'34'*5%.25%&+)*-(6
Bardziej szczegółowo13.1 Układy helopodobne (trójcząstkowe układy dwuelektronowe)
Janusz Adamowski METODY OBLICZENIOWE FIZYKI 1 Rozdział 13 UKŁADY KILKU CZĄSTEK W MECHANICE KWANTOWEJ 13.1 Układy helopodobne (trójcząstkowe układy dwuelektronowe) Zajmiemy się kwantowym opisem atomu He
Bardziej szczegółowoKonwersatorium 1. Zagadnienia na konwersatorium
Konwersatorium 1 Zagadnienia na konwersatorium 1. Omów reguły zapełniania powłok elektronowych. 2. Podaj konfiguracje elektronowe dla atomów Cu, Ag, Au, Pd, Pt, Cr, Mo, W. 3. Wyjaśnij dlaczego występują
Bardziej szczegółowoTemat Ocena dopuszczająca Ocena dostateczna Ocena dobra Ocena bardzo dobra Ocena celująca. Uczeń:
Chemia - klasa I (część 2) Wymagania edukacyjne Temat Ocena dopuszczająca Ocena dostateczna Ocena dobra Ocena bardzo dobra Ocena celująca Dział 1. Chemia nieorganiczna Lekcja organizacyjna. Zapoznanie
Bardziej szczegółowoTeoria funkcjona lu g
Notatki do wyk ladu XII (z 1.01.015) Uwaga! Strony 1-14 sa w wiekszości powtórzeniem stron z Notatek do wyk ladu XI z 15.1.014 Teoria funkcjona lu g estości Density Functional Theory - DFT Czy znajomość
Bardziej szczegółowoPierwsze kolokwium z Matematyki I 4. listopada 2013 r. J. de Lucas
Pierwsze kolokwium z Matematyki I 4. listopada 03 r. J. de Lucas Uwagi organizacyjne: Każde zadanie rozwi azujemy na osobnej kartce, opatrzonej imieniem i nazwiskiem w lasnym oraz osoby prowadz acej ćwiczenia,
Bardziej szczegółowoMechanika kwantowa. Jak opisać atom wodoru? Jak opisać inne cząsteczki?
Mechanika kwantowa Jak opisać atom wodoru? Jak opisać inne cząsteczki? Mechanika kwantowa Równanie Schrödingera Ĥ E ψ H ˆψ = Eψ operator różniczkow Hamiltona energia funkcja falowa h d d d + + m d d dz
Bardziej szczegółowob) Pierwiastek E tworzy tlenek o wzorze EO 2 i wodorek typu EH 4, a elektrony w jego atomie rozmieszczone są na dwóch powłokach elektronowych
1. Ustal jakich trzech różnych pierwiastków dotyczą podane informacje. Zapisz ich symbole a) W przestrzeni wokółjądrowej dwuujemnego jonu tego pierwiastka znajduje się 18 e. b) Pierwiastek E tworzy tlenek
Bardziej szczegółowoFizyka atomowa r. akad. 2012/2013
r. akad. 2012/2013 wykład VII - VIII Podstawy Procesów i Konstrukcji Inżynierskich Fizyka atomowa Zakład Biofizyki 1 Spin elektronu Elektrony posiadają własny moment pędu L s. nazwany spinem. Wartość spinu
Bardziej szczegółowoUkład okresowy. Przewidywania teorii kwantowej
Przewidywania teorii kwantowej 1 Chemia kwantowa - podsumowanie Cząstka w pudle Atom wodoru Równanie Schroedingera H ˆ = ˆ T e Hˆ = Tˆ e + Vˆ e j Chemia kwantowa - podsumowanie rozwiązanie Cząstka w pudle
Bardziej szczegółowoWykład 16: Atomy wieloelektronowe
Wykład 16: Atomy wieloelektronowe Funkcje falowe Kolejność zapełniania orbitali Energia elektronów Konfiguracja elektronowa Reguła Hunda i zakaz Pauliego Efektywna liczba atomowa Reguły Slatera Wydział
Bardziej szczegółowoRównania różniczkowe cz astkowe rzȩdu pierwszego
Równania różniczkowe cz astkowe rzȩd pierwszego 1 Równania liniowe jednorodne Rozważmy równanie a 1 ( 1,..., n ) 1 +... + a n ( 1,..., n ) n = 0, (1) gdzie a i, i = 1,..., n s a dane, a fnkcja = ( 1,...,
Bardziej szczegółowoZagadnienie Dualne Zadania Programowania Liniowego. Seminarium Szkoleniowe Edyta Mrówka
Zagadnienie Dualne Zadania Programowania Liniowego Seminarium Szkoleniowe Edyta Mrówka Ogólne zagadnienie PL Znajdź taki wektor X = (x 1, x 2,..., x n ), który minimalizuje kombinacje liniow a przy ograniczeniach
Bardziej szczegółowoH H 2.5 < H H CH 3 N O O H C N ŁADUNEK FORMALNY. 2.5 dla atomu węgla C C 2.5 H 2.1. Li 1.0. liczba e - walencyjnych w atomie wolnym C 2.5 H 2.
.5 dla atomu węgla ŁADUNEK RMALNY pierwiastek o mniejszej elektroujemności od węgla
Bardziej szczegółowoElementy chemii obliczeniowej i bioinformatyki Zagadnienia na egzamin
Elementy chemii obliczeniowej i bioinformatyki Zagadnienia na egzamin 1. Zapisz konfigurację elektronową dla atomu helu (dwa elektrony) i wyjaśnij, dlaczego cząsteczka wodoru jest stabilna, a cząsteczka
Bardziej szczegółowoBudowa atomu Poziom: rozszerzony Zadanie 1. (2 pkt.)
Budowa atomu Poziom: rozszerzony Zadanie 1. (2 pkt.) Zadanie 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Punkty Okres połowiczego rozpadu pewnego radionuklidu wynosi 16 godzin. a) Określ, ile procent atomów tego izotopu rozpadnie
Bardziej szczegółowona dnie (lub w szczycie) pasma pasmo jest paraboliczne, ale masa wyznaczona z krzywizny niekoniecznie = m 0
Koncepcja masy efektywnej swobodne elektrony k 1 1 E( k) E( k) =, = m m k krzywizna E(k) określa masę cząstek elektrony prawie swobodne - na dnie pasma masa jest dodatnia, ale niekoniecznie = masie swobodnego
Bardziej szczegółowoWiązania. w świetle teorii kwantów fenomenologicznie
Wiązania w świetle teorii kwantów fenomenologicznie Wiązania Teoria kwantowa: zwiększenie gęstości prawdopodobieństwa znalezienia elektronów w przestrzeni pomiędzy atomami c a a c b b Liniowa kombinacja
Bardziej szczegółowoWyk lad 9 Przekszta lcenia liniowe i ich zastosowania
Wyk lad 9 Przekszta lcenia liniowe i ich zastosowania 1 Przekszta lcenia liniowe i ich w lasności Definicja 9.1. Niech V i W bed przestrzeniami liniowymi. Przekszta lcenie f : V W spe lniajace warunki:
Bardziej szczegółowoAnna Grych Test z budowy atomu i wiązań chemicznych
Anna Grych Test z budowy atomu i wiązań chemicznych 1. Uzupełnij tabelkę wpisując odpowiednie dane: Nazwa atomu Liczba nukleonów protonów neutronów elektronów X -... 4 2 Y -... 88 138 Z -... 238 92 W -...
Bardziej szczegółowo{E n ( k 0 ) + h2 2m (k2 k 2 0 )}δ nn + h m ( k k 0 ) p nn. c nn = E n ( k)c nn (1) gdzie ( r)d 3 r
to w pobliżu dna (lub szczytu) pasma (k k 0 ) zależność E(k) jest paraboliczna ale z mas a m m 0 Jeśli pasma nie s a energetycznie dobrze separowalne lub energetycznie zdegenerowane (kwazizdegenerowane)
Bardziej szczegółowoChemia kwantowa makroczasteczek dla III roku biofizyki; kurs WBt-ZZ28
Chemia kwantowa makroczasteczek konspekt wyk ladu dla III roku biofizyki; kurs WBt-ZZ28 Mariusz Radoń (ostatnia aktualizacja: 5 czerwca 2017) Z uwagi na roboczy charakter niniejszych notatek moga sie w
Bardziej szczegółowoZadania o liczbach zespolonych
Zadania o liczbach zespolonych Zadanie 1. Znaleźć takie liczby rzeczywiste a i b, aby zachodzi ly równości: a) a( + i) + b(4 i) 6 i, b) a( + i) + b( + i) 8i, c) a(4 i) + b(1 + i) 7 1i, ( ) a d) i + b +i
Bardziej szczegółowoBudowa atomów. Atomy wieloelektronowe Układ okresowy pierwiastków
Budowa atomów Atomy wieloelektronowe Układ okresowy pierwiastków Model atomu Bohra atom zjonizowany (ciągłe wartości energii) stany wzbudzone jądro Energia (ev) elektron orbita stan podstawowy Poziomy
Bardziej szczegółowostruktura atomowa 9 grudnia 2016 struktura atomowa
9 grudnia 2016 układ okresowy 1869 - układ Mendelejewa (60 znanych pierwiatków), układ według mas atomowych, z periodycznie powtarzającymi się własnościami chemicznymi, przewidział istnienie: galu (odkrycie
Bardziej szczegółowoSuma i przeciȩcie podprzestrzeni, przestrzeń ilorazowa Javier de Lucas
Suma i przeciȩcie podprzestrzeni, przestrzeń ilorazowa Javier de Lucas Ćwiczenie 1. Dowieść, że jeśli U i V s a podprzestrzeniami n-wymiarowej przestrzeni wektorowej oraz dim U = r i dim V = s, to max(0,
Bardziej szczegółowoMetoda Simplex bez użycia tabel simplex 29 kwietnia 2010
R. Rȩbowski 1 WPROWADZENIE Metoda Simplex bez użycia tabel simplex 29 kwietnia 2010 1 Wprowadzenie Powszechnie uważa siȩ, że metoda simplex, jako uniwersalny algorytm pozwalaj acyznaleźć rozwi azanie optymalne
Bardziej szczegółowoAtom wodoru. Model klasyczny: nieruchome jądro +p i poruszający się wokół niego elektron e w odległości r; energia potencjalna elektronu:
ATOM WODORU Atom wodoru Model klasyczny: nieruchome jądro +p i poruszający się wokół niego elektron e w odległości r; energia potencjalna elektronu: U = 4πε Opis kwantowy: wykorzystując zasadę odpowiedniości
Bardziej szczegółowoSuma i przeciȩcie podprzestrzeń, suma prosta, przestrzeń ilorazowa Javier de Lucas
Suma i przeciȩcie podprzestrzeń suma prosta przestrzeń ilorazowa Javier de Lucas Ćwiczenie 1 W zależności od wartości parametru p podaj wymiar przestrzeni W = v 1 v v 3 gdzie p 0 v 1 = 1 + p 3 v = 5 3
Bardziej szczegółowoRotacje i drgania czasteczek
Rotacje i drgania czasteczek wieloatomowych Gdy znamy powierzchnie energii potencjalnej V( R 1, R 2,..., R N ) to możemy obliczyć poziomy energetyczne czasteczki. Poziomy te sa w ogólności efektem: rotacji
Bardziej szczegółowoWYK LAD 5: GEOMETRIA ANALITYCZNA W R 3, PROSTA I P LASZCZYZNA W PRZESTRZENI R 3
WYK LAD 5: GEOMETRIA ANALITYCZNA W R 3, PROSTA I P LASZCZYZNA W PRZESTRZENI R 3 Definicja 1 Przestrzenia R 3 nazywamy zbiór uporzadkowanych trójek (x, y, z), czyli R 3 = {(x, y, z) : x, y, z R} Przestrzeń
Bardziej szczegółowoLOGIKA ALGORYTMICZNA
LOGIKA ALGORYTMICZNA 0.0. Relacje. Iloczyn kartezjański: A B := (a, b) : a A i b B} (zak ladamy, że (x, y) i (u, v) s a równe wtedy i tylko wtedy gdy x = u i y = v); A n := (x 1,..., x n ) : x i A}; R
Bardziej szczegółowoModelowanie zjawisk fizycznych (struktury molekularnej, procesów chemicznych i układów biologicznych)
Modelowanie zjawisk fizycznych (struktury molekularnej, procesów chemicznych i układów biologicznych) Dr inż. Marta Łabuda Politechnika Gdańska Katedra Fizyki Teoretycznej i Informatyki Kwantowej p. 409
Bardziej szczegółowoWyk lad 8 macierzy i twierdzenie Kroneckera-Capellego
Wyk lad 8 Rzad macierzy i twierdzenie Kroneckera-Capellego 1 Określenie rz edu macierzy Niech A bedzie m n - macierza Wówczas wiersze macierzy A możemy w naturalny sposób traktować jako wektory przestrzeni
Bardziej szczegółowoUk lady modelowe II - oscylator
Wyk lad 4 Uk lady modelowe II - oscylator Model Prawo Hooke a F = m d 2 x = kx = dv dt2 dx Potencja l Równanie ruchu V = 1 2 kx2 d 2 x dt 2 + k m x = 0 Obraz klasyczny Rozwiazania k x = A sin t = A sin
Bardziej szczegółowoCzastka swobodna Bariera potencja lu Pud lo jednowymiarowe FEMO Pud la wielowymiarowe. Wyk lad 3. Uk lady modelowe I
Wyk lad 3 Uk lady modelowe I Hamiltonian, równania Schrödingera hamiltonian Ĥ(x) = ˆT (x) = 2 d 2 2m dx 2 równanie Schrödingera zależne od czasu stany stacjonarne 2 2 Ψ(x, t) Ψ(x, t) 2m x 2 = i t dψ E
Bardziej szczegółowoSterowanie optymalne dla uk ladów nieliniowych. Zasada maksimum Pontriagina.
Sterowanie optymalne dla uk ladów nieliniowych. Zasada maksimum Pontriagina. Podstawowy problem sterowania optymalnego dla uk ladów nieliniowych W podstawowym problemie sterowania optymalnego minimalizacji
Bardziej szczegółowoChemia Ogólna wykład 1
Chemia Ogólna wykład 1 Materia związki chemiczne cząsteczka http://scholaris.pl/ obojętne elektrycznie indywiduum chemiczne, złożone z więcej niż jednego atomu, które są ze sobą trwale połączone wiązaniami
Bardziej szczegółowoWykład z Chemii Ogólnej
Wykład z Chemii Ogólnej Część 2 Budowa materii: od atomów do układów molekularnych 2.2. BUDOWA CZĄSTECZEK Katedra i Zakład Chemii Fizycznej Collegium Medicum w Bydgoszczy Uniwersytet Mikołaja Kopernika
Bardziej szczegółowow jednowymiarowym pudle potencja lu
Do wyk ladu II czastka w pudle potencja lu oscylator harmoniczny rotator sztywny Ścis le rozwiazania równania Schrödingera: atom wodoru i jon wodoropodobny) Czastka w jednowymiarowym pudle potencja lu
Bardziej szczegółowoWyk lad 3 Wielomiany i u lamki proste
Wyk lad 3 Wielomiany i u lamki proste 1 Konstrukcja pierścienia wielomianów Niech P bedzie dowolnym pierścieniem, w którym 0 1. Oznaczmy przez P [x] zbiór wszystkich nieskończonych ciagów o wszystkich
Bardziej szczegółowoFizyka Ciała Stałego. Struktura krystaliczna. Struktura amorficzna
Wykład II Struktura krystaliczna Fizyka Ciała Stałego Ciała stałe można podzielić na: Amorficzne, brak uporządkowania, np. szkła; Krystaliczne, o uporządkowanym ułożeniu atomów lub molekuł tworzącym sieć
Bardziej szczegółowo