Matematyka. Poziom rozszerzony. Z a m. - m. i 1. _ i_. Matematyka. Poziom rozszerzony. Opis ocenianej czynnoêci. Liczba punktów.

Transkrypt

1 Matematyka Poziom rozszerzony. Wyznaczenie liczby wszystkich wyników doêwiadczenia polegajàcego na jednoczesnym losowaniu dwóch spoêród + n kul. Wyznaczenie liczby wyników sprzyjajàcych zdarzeniu A wylosowane kule sà ró nokolorowe. n+ 4 n+ X = _ i_ i A = $ n Wyznaczenie prawdopodobieƒstwa zdarzenia A i zapisanie nierównoêci I) wynikajàcej z warunku, e prawdopodobieƒstwo wylosowania kul ró nokolorowych ma byç nie mniejsze ni 9. P A n _ i = H _ n+ 4i_ n+ i 9 I) Przekszta cenie nierównoêci I) do postaci II). Wyznaczenie liczby kul czarnych spe niajàcych warunki. n - 9n+ G II) n = 4 lub n =. Rozwa enie przypadku m =. dla m Wyznaczenie rozwiàzaƒ uk adu dla m!. Zapisanie nierównoêci wynikajàcej z warunku a$ b i przekszta cenie jej do postaci I). > = uk ad równaƒ jest sprzeczny Z a m ] = - - m [ b = - ] - m \ m $ > / m! m m _ m-i_ m-i > / m! I) Rozwiàzanie nierównoêci I). m! c-; m #-. Zapisanie równania wynikajàcego z warunku, e liczba jest pierwiastkiem wielomianu W. Wyznaczenie wartoêci parametru m spe niajàcej równanie I). W _ i = I) m = 4 Wykonanie dzielenia wielomianu W przez dwumian x -. Wykazanie, e trójmian x - x + nie ma pierwiastków. W_ xi : _ x- i= x - x+

2 = > x - x + - i zbadanie jego znaku. 4. Obliczenie wyró nika trójmianu Obliczenie sumy pierwiastków równania x - x + - = i okreêlenie znaku tej sumy. x + x = > Obliczenie iloczynu pierwiastków równania x - x + - = i okreêlenie znaku tego iloczynu. Podanie uzasadnienia, e funkcja f ma dwa dodatnie miejsca zerowe. x $ x = - 6 >. Wykonanie za o eƒ. x! kr Przekszta cenie lewej strony danej równoêci do postaci I). h I) sin x+ ^ + cos x L = ^ + cos xh sin x Przekszta cenie lewej strony danej równoêci do postaci II). L = + cos x ^ + cos xhsin x = P, wi c dla x! kr dana rów- Stwierdzenie, e L noêç jest to samoêcià. II) 6. Zapisanie równania pozwalajàcego wyznaczyç d ugoêç a krótszego boku równoleg oboku. a = + -$ $ $ cos 6c Obliczenie d ugoêci a. a = 7 cm Zapisanie równania pozwalajàcego wyznaczyç d ugoêç b d u szego boku równoleg oboku. b = + - $ $ $ cos c Obliczenie d ugoêci b. b = cm Zapisanie równania kwadratowego, wynikajàcego * I) 7. Zapisanie uk adu równaƒ, za pomocà którego mo na wyznaczyç równania stycznych. _ x- i + _ y- 4i = y= mx z uk adu równaƒ I). b m + l x + _-8m- 4i x+ = II) Obliczenie wyró nika równania II) i zapisanie warunku wynikajàcego z faktu, e uk ad I) ma mieç dok adnie jedno rozwiàzanie. = 4m + 64m- 4, = III) Wyznaczenie wartoêci m spe niajàcych warunek III). m =-, m = Wykazanie, e proste o równaniach y=-x oraz y =- sà prostopad e. x m $ m =-

3 8. Wykonanie rysunku lub przyj cie dok adnie opisanych oznaczeƒ. h d ugoêç wysokoêci przekroju, poprowadzona do kraw dzi podstawy, a d ugoêç kraw dzi podstawy, b d ugoêç kraw dzi bocznej Zapisanie zwiàzku pomi dzy a i h wynikajàcego z warunku, e pole przekroju jest równe S i wyznaczenie z niego h. ah S h = & = a S Zapisanie zwiàzku pomi dzy a i h wynikajàcego z warunku, e p aszczyzna przekroju tworzy z podstawà graniastos upa kàt o mierze równej a i wyznaczenie z niego a. a a S = cos a & a = s cos a Wyznaczenie d ugoêci kraw dzi bocznej graniastos upa. sin sin h b = a & b = S a S cos a Obliczenie obj toêci graniastos upa. V= S 4 sin a Scos a 9. Wykonanie rysunku lub przyj cie dok adnie opisanych oznaczeƒ. a d ugoêç kraw dzi przekroju, h d ugoêç wysokoêci przekroju, H d ugoêç wysokoêci sto ka, r d ugoêç promienia podstawy sto ka Obliczenie d ugoêci a i h. a =, h = 6. Obliczenie d ugoêci H. Obliczenie d ugoêci r. r + H = a & r = 7 Obliczenie obj toêci sto ka. V = 89r H h = & H = 9. Przekszta cenie danego równania. cos x- cos x= I) Rozwiàzanie równania I). x= r b + k r x= k r / k! C l. Wyznaczenie dziedziny funkcji f. D = ^-; - ; + h f, Wyznaczenie dziedziny funkcji g. D ; g = + h Stwierdzenie, e skoro dziedziny funkcji f i g sà ró ne, to funkcje f i g nie sà sobie równe.. Obliczenie wartoêci wielomianu W dla argumentu m. W^mh= m + m -m Zapisanie równania wynikajàcego z warunku, e liczba m ma byç pierwiastkiem wielomianu W oraz przekszta cenie go do postaci I). m + m - m= I) m a m + m - k= Rozwiàzanie równania I). m =-, m =, m =

4 . Zapisanie uk adu równaƒ wynikajàcego z warunków, e drugi wyraz ciàgu ^a n hjest równy - 8, a wyraz czwarty jest od niego o 6 wi kszy. Rozwiàzanie uk adu równaƒ. Wybór rozwiàzania spe niajàcego warunek, e ciàg ^a n hnie jest ciàgiem monotonicznym. aq=-8 * aq=- * * a =-6 q = a = 6 q =- a = 6 q =- Zapisanie równania I) wynikajàcego z warunku, e suma wyrazów ciàgu a n -b- ^ hma byç równa 6 7 l. 6 $ 8 = b- l Przekszta cenie równania I) na przyk ad do postaci II). b- l =- II) n n I) Rozwiàzanie równania II). n = 9 4. Wyznaczenie d ugoêci przekàtnej DB. DB = AD + AB - - $ AD $ AB $ cos ] DAB DB = 7 Wyznaczenie cosinusa kàta ABC. cos^] ABCh=- Wyznaczenie d ugoêci przekàtnej AC. AC = AB + BC - - $ AB $ BC $ cos^] ABCh AC = 9. Opis zbioru zdarzeƒ elementarnych, opis zdarzenia. Ω zbiór -elementowych wariacji z powtórzeniami zbioru -elementowego, A wyrzucenie dok adnie or ów, B wyrzucenie co najmniej jednej reszki. Obliczenie liczby zdarzeƒ elementarnych. Ω = 8 Obliczenie liczby zdarzeƒ elementarnych sprzyjajàcych zdarzeniu A, B, A+ B pkt za podanie ka dej wartoêci). A =, B = 7, A+ B= Obliczenie prawdopodobieƒstw zdarzeƒ A, B, A+ B. Obliczenie prawdopodobieƒstwa sumy zdarzeƒ. P^Ah = 8, P^Bh = 8 7, P^A+ Bh= 8 P^A, Bh= 8 7

5 6. Rozwiàzanie równania w przedziale ^-; -h pkt za prawid owe opuszczenie modu ów, pkt za obliczenia). Rozwiàzanie równania w przedziale - ; h pkt za prawid owe opuszczenie modu ów, pkt za obliczenia). Rozwiàzanie równania w przedziale ; h pkt za prawid owe opuszczenie modu ów, pkt za obliczenia). x =-8 x = Równanie sprzeczne Zapisanie odpowiedzi. x= x=-8 7. Wyznaczenie cosinusa kàta OBC. cos^] OBCh= 4 Wyznaczenie cosinusa kàta ABO. Zapisanie wyra enia pozwalajàcego wyznaczyç cosinus kàta ABC cos^] ABOh= cos^] ABCh= = sin ^] ABOh$ cos^] OBCh+ + sin ^] OBChcos^] ABOh Obliczenie cosinusa kàta ABC. cos^] ABCh= Uzasadnienie, e kàt AOB jest prosty. Trójkàt AOB jest prostokàtny. Wyznaczenie równania prostej AB. 4x+ y- 6 = Obliczenie odleg oêci punktu O od prostej AB wysokoêci h trójkàta AOB). Obliczenie pola S trójkàta AOB. h = 6 S = Rozwiàzanie nierównoêci kwadratowej. x! ^-; -, ; + h Rozwiàzanie nierównoêci z wartoêcià bezwzgl dnà. x! - ; Wyznaczenie cz Êci wspólnej zbiorów rozwiàzaƒ dwóch nierównoêci i zapisanie odpowiedzi. A = "- ;,, wi c zbiór A jest dwuelementowy.. Zapisanie warunków na dziedzin funkcji f pkt za zapisanie ka dego warunku). Rozwiàzanie nierównoêci pkt za ka dà nierównoêç, pkt za cz Êç wspólnà zbiorów). x -x-6 H / 9-x > x! -; - ^ Zapisanie warunków na dziedzin funkcji g pkt za zapisanie ka dego warunku). x -x-6 H / 9- x! 9 - x Rozwiàzanie nierównoêci pkt za ka dà nierównoêç, pkt za cz Êç wspólnà zbiorów). x! -; - ^ Zapisanie odpowiedzi. D f zawiera si w D g

6 . Wyznaczenie wspó rz dnych wierzcho ków kwadratu ABCD nale àcych do prostej l. Zapisanie równania prostej m= l, takiej e Êrodek danego okr gu nale y do tej prostej. A = ^- ; h, B = ^ ; h m: x+ y- 8= Wyznaczenie wspó rz dnych wierzcho ków C i D. C = ^ ; h, D = ^; -h Obliczenie d ugoêci boku kwadratu ABCD i jego pola. AB =, P = ABCD. Wykonanie rysunku lub przyj cie dok adnie opisanych oznaczeƒ. A C 9 r O c B D Obliczenie d ugoêci c np. na podstawie twierdzenia cosinusów). c = 7 Obliczenie pola czworokàta ADBC. P 4 ADBC = Obliczenie d ugoêci r. 8 r = 7 Obliczenie obj toêci bry y V = 7 r. Wyznaczenie liczby x. x = Wyznaczenie liczby y. y = 6 Obliczenie, jakim procentem liczby x jest liczba y. % Podanie wyniku z zadanà dok adnoêcià. 9, % Zapisanie warunków, aby funkcja by a trójmianem kwadratowym spe niajàcym warunki pkt za ka dy warunek). 4. Sprawdzenie dla m =- i wyciàgni cie wniosku. Dla m =- funkcja ma wzór y=-x- 7, wi c nie spe nia warunków. a < x 4 W = Rozwiàzanie uk adu warunków pkt za zastosowanie metody, pkt za obliczenia). m =-. Zapisanie warunku. W ^- h= 6 U o enie równania. --m - m+ 7= 6 Rozwiàzanie równania. m= m=-

7 6. Zapisanie uk adu równaƒ. y=- x+ m * y = + x x Przekszta cenie uk adu do postaci równania kwadratowego. Zapisanie warunku, przy którym uk ad ma dok adnie rozwiàzanie prosta ma jeden wspólny punkt z hiperbolà). x -^m- hx+ = = Obliczenie wyró nika trójmianu kwadratowego. m - 4m = Rozwiàzanie równania = i zapisanie odpowiedzi. Prosta i hiperbola majà jeden punkt wspólny dla m= m= Analiza. ^-6, xy, ^xy,, U o enie uk adu równaƒ pkt za ka de równanie). x+ 6 = y-x ) y = x h ciàg arytmetyczny h ciàg geometryczny Rozwiàzanie uk adu pkt za ka de z rozwiàzaƒ). x = x = 9 * y = y = 8. U o enie uk adu równaƒ pkt za ka de równanie). - + b+ c= -4- b+ c= Rozwiàzanie uk adu i podanie odpowiedzi. b = 6 c = 9. Rozk ad trójmianu kwadratowego na czynniki. x -x- 6= ^x- h^x+ h Zapisanie równaƒ wynikajàcych z danych reszt. W^- h=- 4/ W^h= Zapisanie wielomianu W^xhw postaci sumy iloczynu danego trójmianu kwadratowego i pewnego wielomianu oraz reszty. W ^xh= P^ xh_ x -x - 6i + ax + b U o enie uk adu równaƒ. - a+ b=-4 a+ b= Rozwiàzanie uk adu równaƒ. Z ] a = 9 [ ] b =- \

8 sin x sin x H. Zapisanie funkcji f bez symbolu wartoêci dla bezwzgl dnej. f^xh = dla sin x < Narysowanie wykresu funkcji f. Y y= sin x +Osin xo r r r r X Podanie wartoêci najwi kszej i najmniejszej funkcji f pkt za podanie ka dej wartoêci). Obliczenie najwi kszej i najmniejszej wartoêci funkcji g pkt za zastosowanie metody, po pkt za ka dà wartoêç). W f =, w f = W g =, w 6 g =- Zapisanie odpowiedzi. W W / w! w. Oznaczenie wierzcho ka C. ; = f g f g C= ^x x+ h Wyznaczenie wspó rz dnych odpowiednich wektorów pkt za ka dy wektor). Obliczenie wyznacznika wektorów. U o enie równania. Rozwiàzanie równania. Zapisanie odpowiedzi. AB = 67; -6@, AC = 6 x + ; x -@ daab; ACk= 7x- 7 - = x= x=- 9 7 C= ^ ; h C= b- ; l. Podanie elementów zbioru A. A = # 486,,,, - Podanie elementów zbioru B. B = # 4864,,,,,, - Podanie ró nicy zbiorów. AB= #, -. Wykonanie rysunku z dok adnymi oznaczeniami lub wprowadzenie precyzyjnie opisanych oznaczeƒ. S b H b E A D a S' a B F C Obliczenie wysokoêci Êciany bocznej ostros upa poprowadzonej z wierzcho ka podstawy. BE =

9 Uzale nienie drugiej wysokoêci Êciany bocznej od kraw dzi bocznej. SF = 6 b Obliczenie d ugoêci kraw dzi podstawy. a = U o enie uk adu równaƒ pkt za ka de równanie). H = b - * H + = b Rozwiàzanie uk adu. Obliczenie obj toêci ostros upa. H = ) b = 6 V = 4. Podanie za o eƒ pkt za ka de za o enie). cos x!- cos x! Przekszta cenie lewej strony równania z zastosowaniem wzorów na kàt podwojony. pkt za podanie ka dego wzoru). L sin xcos x = + cos x - sin x Skorzystanie z jedynki trygonometrycznej i skrócenie u amka. L = sin cos x Wykazanie to samoêci. L= tg x= P. Rozwiàzanie algebraiczne uk adu po pkt za obliczenie ka dej niewiadomej). Rozwiàzanie graficzne po pkt za wykres ka dej funkcji). x = x y =- =- y = Y -, ), -) X 6. Wprowadzenie oznaczeƒ zapisanie warunku dla czworokàta opisanego na okr gu., q, q, x kolejne boki czworokàta tworzàce ciàg geometryczny. x+ q= + q U o enie równania wynikajàcego z treêci. + q+ q = 7, q > Rozwiàzanie równania pkt za obliczenia i pkt za wybór odpowiedzi). Obliczenie d ugoêci kolejnych boków pkt za boki tworzàce ciàg geometryczny i pkt za czwarty). q =,, 4,

10 7. Zapisanie d ugoêci kolejnych boków czworokàta za pomocà wyrazów ciàgu arytmetycznego. Wykorzystanie twierdzenia o czworokàcie opisanym na okr gu do zapisania równania. aa, + ra, + ra, + r a+ a+ r= a+ r+ a+ r Rozwiàzanie równania i zapisanie wniosku. r =, wi c boki majà równe d ugoêci, czyli czworokàt jest rombem 8. Opis zbioru zdarzeƒ elementarnych, opis zdarzenia. Ω zbiór -elementowych wariacji z powtórzeniami zbioru 6-elementowego, A wyrzucenie na obu kostkach tej samej liczby oczek, B suma wyrzuconych oczek jest równa 8. Obliczenie liczby zdarzeƒ elementarnych. Ω = 6 Obliczenie liczby zdarzeƒ elementarnych sprzyjajàcych zdarzeniom A, B, A+ B pkt za podanie ka dej wartoêci). A = 6, B =, A+ B= Obliczenie prawdopodobieƒstw zdarzeƒ A, B, A+ B. Obliczenie prawdopodobieƒstwa sumy zdarzeƒ. P^Ah = 6 6, P^Bh = 6, P^A+ Bh= 6 P^A, Bh= 8 9. U o enie równania. _ cos ai = -cos a Obliczenie wartoêci cosinusa pkt za obliczenie ka dej wartoêci). cos a= cos a=- Rozwiàzanie alternatywy równaƒ pkt za ka de prawid owe wyniki). Wybranie najmniejszej dodatniej liczby a i podstawienie do wyrazów ciàgu. a = a = r + kra= r + kr a = r + kra= 4r + kr, k! C r e,,, f o ciàg geometryczny Wyznaczenie ilorazu ciàgu i pierwszego wyrazu. Obliczenie sumy 6 poczàtkowych wyrazów ciàgu pkt za wyznaczenie sumy, pkt za doprowadzenie do najprostszej postaci). q =, a = S = 7_ + i Przekszta cenie danego równania do postaci I). cos x^+ sin xh = I) Przekszta cenie równania I) do postaci alternatywy równaƒ II). Rozwiàzanie alternatywy równaƒ II). cos x= sin x=- II) x= r + kr, x= k x= r+kr, k! C 6 r r,