PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI

Transkrypt

1 WPISUJE ZDAJ CY KOD PESEL PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI POZIOM ROZSZERZONY PRZED MATUR MAJ SprawdŸ, czy arkusz egzaminacyjny zawiera 16 stron (zadania 1 11). Ewentualny brak zg³oœ przewodnicz¹cemu zespo³u nadzoruj¹cego egzamin. 2. Rozwi¹zania zadañ i odpowiedzi wpisuj w miejscu na to przeznaczonym. 3. Pamiêtaj, e pominiêcie argumentacji lub istotnych obliczeñ w rozwi¹zaniu zadania otwartego mo e spowodowaæ, e za to rozwi¹zanie nie bêdziesz móg³ dostaæ pe³nej liczby punktów. 4. Pisz czytelnie i u ywaj tylko d³ugopisu lub pióra z czarnym tuszem lub atramentem. 5. Nie u ywaj korektora, a b³êdne zapisy wyraÿnie przekreœl. 6. Pamiêtaj, e zapisy w brudnopisie nie bêd¹ oceniane. 7. Mo esz korzystaæ z zestawu wzorów matematycznych, cyrkla i linijki oraz kalkulatora. 8. Na karcie odpowiedzi wpisz swój numer PESEL i przyklej naklejkê z kodem. 9. Nie wpisuj adnych znaków w czêœci przeznaczonej dla egzaminatora. Czas pracy: 180 minut Liczba punktów do uzyskania: 50

2 2 Próbny egzamin maturalny z matematyki. Poziom rozszerzony Zadanie 1. (6 pkt) Dana jest funkcja f(x)= 2 x, gdzie x R {4}. 4 x a) Wyznacz wszystkie punkty nale ¹ce do wykresu funkcji f, których obie wspó³rzêdne s¹ liczbami pierwszymi. b) Podaj zbiór tych argumentów, dla których funkcja f przyjmuje wartoœci nieujemne. c) Naszkicuj wykres funkcji g, jeœli g(x)= f ( x ) f( x ). 3 Y X 1 3

3 Próbny egzamin maturalny z matematyki. Poziom rozszerzony 3 Zadanie 2. (4 pkt) a1 2 Ci¹g (a n ), gdzie n N +, okreœlony jest nastêpuj¹co: a. n an 1 n 1 dla 3 Wyznacz wszystkie wartoœci k, dla których suma k pocz¹tkowych wyrazów ci¹gu (a n ) jest wiêksza od

4 4 Próbny egzamin maturalny z matematyki. Poziom rozszerzony Zadanie 3. (4 pkt) W trapezie prostok¹tnym ABCD na rysunku poni ej dane s¹: AD = 8 cm, DC =7cmoraz AC = 13 cm. Oblicz: a) miarê k¹ta ostrego trapezu przy wierzcho³ku A, b) d³ugoœæ odcinka ³¹cz¹cego œrodki ramion tego trapezu. D C A B

5 Próbny egzamin maturalny z matematyki. Poziom rozszerzony 5 Zadanie 4. (4 pkt) Wyka, e jeœli x >1, y >1 i z >1,tolog x z + log y z log xy z.

6 6 Próbny egzamin maturalny z matematyki. Poziom rozszerzony Zadanie 5. (5 pkt) Wyznacz wszystkie wartoœci x, dla których ci¹g ( x 1, 2, x + 3 ) jest malej¹cym ci¹giem arytmetycznym.

7 Próbny egzamin maturalny z matematyki. Poziom rozszerzony 7 Zadanie 6. (4 pkt) W czworok¹cie wypuk³ym ABCD (zobacz rysunek poni ej) dane s¹ k¹ty: ADC = ABC =90 oraz DCB =135. Wyka, e DB AC 2 2. C D B A

8 8 Próbny egzamin maturalny z matematyki. Poziom rozszerzony Zadanie 7. (5 pkt) Jednym z pierwiastków wielomianu W(x) stopnia trzeciego jest liczba 1, a suma pozosta³ych dwóch pierwiastków jest równa 0. Do wykresu tego wielomianu nale y punkt A(3, 1). Wiedz¹c, e reszta z dzielenia wielomianu W(x) przez dwumian (x 2) jest równa 2, wyznacz wzór tego wielomianu i uporz¹dkuj go malej¹co.

9 Próbny egzamin maturalny z matematyki. Poziom rozszerzony 9

10 10 Próbny egzamin maturalny z matematyki. Poziom rozszerzony Zadanie 8. (4 pkt) Wyznacz wszystkie wartoœci parametru p (p R), dla których równanie 3cos 2 x =(p +1) cos x ma w przedziale 3, tylko trzy ró ne rozwi¹zania, z których dwa s¹ 2 2 ujemne, a jedno dodatnie.

11 Próbny egzamin maturalny z matematyki. Poziom rozszerzony 11 Zadanie 9. (4 pkt) Ze zbioru liczb {0, 1, 1, 3, 3, 5, 5,, 2n +1, 2n 1}, gdzie n jest ustalon¹ liczb¹ naturaln¹, wiêksz¹ od 4, losujemy jednoczeœnie trzy liczby. Niech A oznacza zdarzenie: suma wylosowanych liczb nie ulegnie zmianie, jeœli w wylosowanych liczbach zmienimy znaki na przeciwne. Wiedz¹c, e P(A)= 1, oblicz n. 133

12 12 Próbny egzamin maturalny z matematyki. Poziom rozszerzony Zadanie 10. (6 pkt) W trójk¹cie ABC, w którym A( 2, 2) oraz B(4, 4), k¹t przy wierzcho³ku B jest rozwarty. Bok AC zawiera siê w prostej k: x 3y 4 = 0. Œrodek okrêgu opisanego na trójk¹cie ABC znajduje siê w odleg³oœci 10 od boku AC. Wyznacz równanie tego okrêgu.

13 Próbny egzamin maturalny z matematyki. Poziom rozszerzony 13

14 14 Próbny egzamin maturalny z matematyki. Poziom rozszerzony Zadanie 11. (4 pkt) Podstaw¹ ostros³upa jest romb, którego pole wynosi 800 cm 2, a k¹t ostry rombu ma miarê 30. Wysokoœæ ostros³upa jest równa 24 cm, a spodek tej wysokoœci jest œrodkiem okrêgu wpisanego w podstawê. Oblicz: a) promieñ tego okrêgu, b) pole powierzchni bocznej ostros³upa.

15 Próbny egzamin maturalny z matematyki. Poziom rozszerzony 15 PESEL WYPE NIA ZDAJ CY WYPE NIA EGZAMINATOR Nr zad Punkty SUMA PUNKTÓW D J

16 16 Próbny egzamin maturalny z matematyki. Poziom rozszerzony BRUDNOPIS