Matematyka Dyskretna - zagadnienia
|
|
- Wacław Socha
- 5 lat temu
- Przeglądów:
Transkrypt
1 Matematya Dysretna - zagadnienia dr hab. Szymon Żebersi opracował: Miołaj Pietre Semestr letni 206/207 - strona internetowa Zasada inducji matematycznej. Zbiory sończone, podstawowe tożsamości 2. Zasada Włączeń i Wyłączeń 3. Sończona przestrzeń probabilistyczna 2 Współczynnii dwumianowe Newtona n. [{, 2,..., n}] 2. r r i, r r i i0 i0 3. Dla liczby rzeczywistej r oraz całowitej dodatniej definiujemy 4. r r r 5. Negowanie górnego indesu n x y n r r 6. x y n 7. x y r r x y r dla x y < n m 8. Tożsamość Cauchy ego n m j j j r s 9. Tożsamość Cauchy ego w ogólnej postaci j l s l s m n l m n 0. r s j j r r!
2 3 Permutacje. Grupa S n, permutacja odwrotna, mnożenie sładanie permutacji 2. Rozład permutacji na cyle 3. Rozład permutacji na transpozycje, transpozycje liczb sąsiednich 4. Wetor inwersji 5. Zna permutacji sgnσ 6. sgnστ sgnσsgnτ a dowód obrazowy b dowód inducyjny opatry na lemacie sgnστ sgnτ sgnτσ dla σ j, j 7. Grupa alternująca A n {σ S n : sgnσ } 8. A n S n 4 Liczby Stirlinga. Liczby pierwszego rodzaju cyliczne 2. n! dla n > 0 [ ] [ ] n n n 3., n n 2 [ ] [ ] [ ] n n n 4. n 5. Liczby drugiego rodzaju partycyjne 6. dla n > 0 { } { } n n n 7., n n 2 { } { } { } n n n x n x x 0. x n. Liczby Bella B n 2
3 5 Grafy. Grafy proste 2. Przyłady: K n, L n, C n, K n,m 3. Grafy spójne, cyle w grafach 4. Drzewa 5. Grafy dwudzielne 6. Stopień wierzchoła, deg G v 2 E v V 7. Twierdzenie Halla 6 Funcje tworzące. Ciąg Fibonacciego 2. Uorzenione drzewa binarne, liczby Catalana C n 2n n n 3. Liczby Catalana, więcej przyładów 7 Klasy ombinatoryczne. Klasa ombinatoryczna A,, : A N 2. A n {a A : a n}, a n A n 3. Funcja tworząca lasy ombinatorycznej Ax 4. Przyłady E, Z a n x n n0 5. Suma A B oraz produt A B las ombinatorycznych 6. Jeśli C A B, to Cx Ax Bx 7. Jeśli D A B, to Dx AxBx 8. Klasa ombinatoryczna SeqA 9. Jeśli B SeqA, to Bx 0. Podlasa Ax. Tworzenie las ombinatorycznych z wyorzystaniem relacji równoważności 2. Klasa ombinatoryczna PsetA oraz CycleA 3. Jeśli B PsetA, to Bx x a exp Ax 4. Klasa ombinatoryczna MsetA o ile A 0 5. Jeśli B MsetA, to Bx x a exp Ax 3
4 6. Jeśli B CycleA, to Bx 7. Podstawowe własności funcji Eulera ϕ ϕ ln 8. Pomocnicza lasa A {a, a : a A} Ax 9. Związe pomiędzy lasami MsetA oraz PsetA opisany równością Mx P xmx Ograniczone lasy ombinatoryczne Pset A, Mset A 2. Jeśli B Pset 2 A, to Bx 2 Ax2 Ax Jeśli B Mset 2 A, to Bx 2 Ax2 Ax Funcje tworzące dwóch zmiennych a Jeśli B SeqA, to Bx, y yax b Jeśli B PsetA, to Bx, y yx a exp y Ax c Jeśli B MsetA, to Bx, y yx a exp y Ax 8 Wyładnicze funcje tworzące. Dla ciągu a n n N definiujemy Âx n a n n! xn 2. Dwumianowy splot i iloczyn wyładniczych funcji tworzących 3. Liczby Bella B n oraz zależność ˆB x e x ˆBx 4. ˆBx e e x 5. Wzór Dobińsiego B n e 0 n! Semestr letni 206/207 - najważniejsze wzory z wyładu Potęgi dolne/górne x x i x x i x 0 x i x x x i0 Symbol Newtona n n!!n! x! n i0 n n n n i0 n 4
5 x x x y n n x y n x n n x n m i0 n m i i l s l s m n l m n definicja: liczba wszystich -elementowych ombinacji bez powtórzeń ze zbioru n-elementowego Liczby Stirlinga I rodzaju cyliczne [ ] 0 0 [ ] n n n 2 n! [ ] [ n n n ] n [ n ] x n [ ] [ ] n n x m [ ] n m definicja: liczba permutacji w S n, tóre rozbijają się na cyli w anonicznym rozbiciu, wliczając jednoelementowe Liczby Stirlinga II rodzaju partycyjne 0 0 n n { } [ n n n 2 n n ] 2 n 2 { } { n n } { n } definicja: liczba partycji zbioru [n] sładających się z części Podstawy teorii grafów Definicje ścieża droga - sończony ciąg rawędzi w postaci a v v 2... v b, gdzie a jest wierzchołiem początowym, natomiast b wierzchołiem ońcowym bez powtarzających się wierzchołów długość ścieżi - liczba rawędzi ścieżi cyl - sończony ciąg rawędzi, w tóym powtarza się jedynie począte będący równocześnie ońcem stopień wierzchoła - ilość rawędzi do niego dochodzących. dopełnienie grafu G - zbiór wierzchołów jest identyczny ja w grafie G, natomiast wierzchołi są połączone wtedy i tylo wtedy, gdy nie są połączone w grafie G. 5
6 Przyłady spójny - graf, w tórym dla ażdego wierzchoła istnieje droga do ażdego innego wierzchoła prosty - bez pętli własnych i rawędzi wielorotnych. regularny - graf prosty, w tórym wszystie wierzchołi mają ten sam stopień drzewo - spójny graf acyliczny drzewo rozpinające - drzewo, tóre zawiera wszystie wierzchołi grafu G, a zbiór rawędzi drzewa jest podzbiorem zbioru rawędzi grafu pełny K n - ażdy wierzchołe jest połączony bezpośrednio rawędzią z ażdym innym pełny dwudzielny K n,m - graf pełny, tórego wierzchołi mogą być podzielone na dwa zbiory, ta by w obrębie jednego zbioru żaden wierzchołe nie był połączony z innym pusty P n - nieposiadający rawędzi liniowy L n - otrzymany poprzez usunięcie jednej rawędzi z grafu cylicznego cyliczny C n - regularny graf spójny, tórego ażdy wierzchołe jest stopnia drugiego Grupy automorfizmów ΓK n S n ΓK n,m S n S m dla n m ΓK n,n Z 2 S n S n ΓP n S n ΓL n Z 2 ΓC n D n ΓG ΓG dla dowolnego grafu G Klasy ombinatoryczne Uwaga: w poniższych wzorach a n oznacza ilość elementów o randze n dla lasy A A, definiujemy Ax a n x n Ex e, e 0 Ex n0 e n x n n0 Zx z, z Zx x SeqAx Ax PsetAx x n an MsetAx n x n x n an an n A Bz Az Bz A Bz Az Bz n 6
Matematyka Dyskretna Zadania
Matematya Dysretna Zadania Jace Cichoń Politechnia Wrocławsa, WPPT Wrocław 015 1 Wstęp 11 Oznaczenia [n] = {1,, n} [] = {X P ( : X = } (x = 1 j=0 (x j, (x = 1 (x + j Zadanie 1 j=0 Poaż za pomocą inducji
Bardziej szczegółowoMatematyka dyskretna. Wykład 2: Kombinatoryka. Gniewomir Sarbicki
Matematya dysretna Wyład 2: Kombinatorya Gniewomir Sarbici Kombinatorya Definicja Kombinatorya zajmuje się oreślaniem mocy zbiorów sończonych, w szczególności mocy zbiorów odwzorowań jednego zbioru w drugi
Bardziej szczegółowoUwaga 1.1 Jeśli R jest relacją w zbiorze X X, to mówimy, że R jest relacją w zbiorze X. Rozważmy relację R X X. Relację R nazywamy zwrotną, gdy:
Matematya dysretna - wyład 1. Relacje Definicja 1.1 Relacją dwuargumentową nazywamy podzbiór produtu artezjańsiego X Y, tórego elementami są pary uporządowane (x, y), taie, że x X i y Y. Uwaga 1.1 Jeśli
Bardziej szczegółowoi = n = n 1 + n 2 1 i 2 n 1. n(n + 1)(2n + 1) n (n + 1) =
Druga zasada inducji matematycznej Niech m będzie liczbą całowitą, niech p(n) będzie ciągiem zdań zdefiniowanych na zbiorze {n Z: n m} oraz niech l będzie nieujemną liczbą całowitą. Jeśli (P) wszystie
Bardziej szczegółowoσ-ciało zdarzeń Niech Ω będzie niepustym zbiorem zdarzeń elementarnych, a zbiór F rodziną podzbiorów zbioru Ω spełniającą warunki: jeśli A F, to A F;
Zdarzenie losowe i zdarzenie elementarne Zdarzenie (zdarzenie losowe) - wyni pewnej obserwacji lub doświadczenia; może być ilościowy lub jaościowy. Zdarzenie elementarne - najprostszy wyni doświadczenia
Bardziej szczegółowoMatematyka dyskretna. Andrzej Łachwa, UJ, /14
Matematyka dyskretna Andrzej Łachwa, UJ, 2016 andrzej.lachwa@uj.edu.pl 13/14 Grafy podstawowe definicje Graf to para G=(V, E), gdzie V to niepusty i skończony zbiór, którego elementy nazywamy wierzchołkami
Bardziej szczegółowoALGEBRA Z GEOMETRIĄ ANALITYCZNĄ
ALGEBRA Z GEOMETRIĄ ANALITYCZNĄ LISTA ZADAŃ 1 1 Napisać w formie rozwiniętej następujące wyrażenia: 4 (a 2 + b +1 =0 5 a i b j =1 n a i b j =1 n =0 (a nb 4 3 (! + ib i=3 =1 2 Wyorzystując twierdzenie o
Bardziej szczegółowoAlgebra liniowa z geometrią analityczną
WYKŁAD. Własności zbiorów liczbowych. Podzielność liczb całowitych, relacja przystawania modulo, twierdzenie chińsie o resztach. Liczby całowite Liczby 0,±,±,±3,... nazywamy liczbami całowitymi. Zbiór
Bardziej szczegółowoMatematyka dyskretna
Matematyka dyskretna Wykład 13: Teoria Grafów Gniewomir Sarbicki Literatura R.J. Wilson Wprowadzenie do teorii grafów Definicja: Grafem (skończonym, nieskierowanym) G nazywamy parę zbiorów (V (G), E(G)),
Bardziej szczegółowoMatematyka dyskretna. Andrzej Łachwa, UJ, /15
Matematyka dyskretna Andrzej Łachwa, UJ, 2013 andrzej.lachwa@uj.edu.pl 14/15 Grafy podstawowe definicje Graf to para G=(V, E), gdzie V to niepusty i skończony zbiór, którego elementy nazywamy wierzchołkami
Bardziej szczegółowoZał. nr 4 do ZW. Wykład Ćwiczenia Laboratorium Projekt Seminarium 30 30
WYDZIAŁ ****** KARTA PRZEDMIOTU Nazwa w języku polskim MATEMATYKA DYSKRETNA Nazwa w języku angielskim DISCRETE MATHEMATICS Kierunek studiów (jeśli dotyczy): Specjalność (jeśli dotyczy): Stopień studiów
Bardziej szczegółowoPOZIOMY WYMAGAŃ EDUKACYJNYCH: K ocena dopuszczająca (2) P ocena dostateczna (3) R ocena dobra (4) D ocena bardzo dobra (5) W ocena celująca (6)
YMAGANIA EDUACYJNE MATEMATYA LASA 3LO ZARES ROZSZERZONY OZIOMY YMAGAŃ EDUACYJNYCH: ocena dopuszczająca (2) ocena dostateczna (3) R ocena dobra (4) D ocena bardzo dobra (5) ocena celująca (6) Temat lekcji
Bardziej szczegółowoWojciech Kordecki. Matematyka dyskretna. dla informatyków
Wojciech Kordeci Matematya dysretna dla informatyów Wrocław 2005 Spis treści 1. Relacje, funcje i rozmieszczenia 1 1.1. Zbiory częściowo uporządowane 1 1.2. Funcje i rozmieszczenia 2 1.3. Zadania 4 2.
Bardziej szczegółowoGraf. Definicja marca / 1
Graf 25 marca 2018 Graf Definicja 1 Graf ogólny to para G = (V, E), gdzie V jest zbiorem wierzchołków (węzłów, punktów grafu), E jest rodziną krawędzi, które mogą być wielokrotne, dokładniej jednoelementowych
Bardziej szczegółowoRACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA WYKŁAD 5.
RACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA WYKŁAD 5. PODSTAWOWE ROZKŁADY PRAWDOPODOBIEŃSTWA Rozłady soowe Rozład jednopuntowy Oreślamy: P(X c) 1 gdzie c ustalona liczba. 1 EX c, D 2 X 0 (tylo ten rozład ma zerową wariancję!!!)
Bardziej szczegółowoMatematyka dyskretna. Andrzej Łachwa, UJ, /14
Matematyka dyskretna Andrzej Łachwa, UJ, 2012 andrzej.lachwa@uj.edu.pl 13/14 Grafy podstawowe definicje Graf to para G=(V, E), gdzie V to niepusty i skończony zbiór, którego elementy nazywamy wierzchołkami
Bardziej szczegółowoZał nr 4 do ZW. Dla grupy kursów zaznaczyć kurs końcowy. Liczba punktów ECTS charakterze praktycznym (P)
Zał nr 4 do ZW WYDZIAŁ PODSTAWOWYCH PROBLEMÓW TECHNIKI KARTA PRZEDMIOTU Nazwa w języku polskim : Matematyka Dyskretna Nazwa w języku angielskim : Discrete Mathematics Kierunek studiów : Informatyka Specjalność
Bardziej szczegółowoKURS MATEMATYKA DYSKRETNA
KURS MATEMATYKA DYSKRETNA LEKCJA 28 Grafy hamiltonowskie ZADANIE DOMOWE www.akademia.etrapez.pl Strona 1 Część 1: TEST Zaznacz poprawną odpowiedź (tylko jedna jest prawdziwa). Pytanie 1 Drogę nazywamy
Bardziej szczegółowoOpracowanie prof. J. Domsta 1
Opracowanie prof. J. Domsta 1 Algorytm FLEURY'ego: Twierdzenie 6.5 G-graf eulerowski. Wtedy cykl Eulera otrzymujemy nastepująco: a) Start w dowolnym wierzchołku b) Krawędzie w dowolnej kolejności po przebyciu
Bardziej szczegółowoAgnieszka Kamińska, Dorota Ponczek. MATeMAtyka 3. Plan wynikowy. Zakres podstawowy i rozszerzony
Agnieszka amińska, Dorota Ponczek MATeMAtyka 3 Plan wynikowy Zakres podstawowy i rozszerzony Oznaczenia: wymagania konieczne; P wymagania podstawowe; R wymagania rozszerzające; D wymagania dopełniające;
Bardziej szczegółowoWYŻSZA SZKOŁA INFORMATYKI STOSOWANEJ I ZARZĄDZANIA Pod auspicjami Polskiej Akademii Nauk Warszawa, ul. Newelska 6, tel.
WYŻSZA SZKOŁA INFORMATYKI STOSOWANEJ I ZARZĄDZANIA Pod auspicjami Polskiej Akademii Nauk 01-447 Warszawa, ul. Newelska 6, tel. 22 3486544 Wydział Informatyki Kierunek studiów Profil Stopień studiów Forma
Bardziej szczegółowoPodstawowe własności grafów. Wykład 3. Własności grafów
Wykład 3. Własności grafów 1 / 87 Suma grafów Niech będą dane grafy proste G 1 = (V 1, E 1) oraz G 2 = (V 2, E 2). 2 / 87 Suma grafów Niech będą dane grafy proste G 1 = (V 1, E 1) oraz G 2 = (V 2, E 2).
Bardziej szczegółowoMatematyka Dyskretna. Andrzej Szepietowski. 17 marca 2003 roku
Matematya Dysretna Andrzej Szepietowsi 17 marca 2003 rou Rozdział 1 Kombinatorya 1.1 Zasada podwójnego zliczania Zasada podwójnego zliczania jest bardzo prosta. Oto ona: Jeżeli elementy jaiegoś zbioru
Bardziej szczegółowoPlan wynikowy. Klasa III Technik pojazdów samochodowych/ Technik urządzeń i systemów energetyki odnawialnej. Kształcenie ogólne w zakresie podstawowym
Oznaczenia: wymagania konieczne, P wymagania podstawowe, R wymagania rozszerzające, D wymagania dopełniające, W wymagania wykraczające. Plan wynikowy lasa III Technik pojazdów samochodowych/ Technik urządzeń
Bardziej szczegółowoMatematyka dyskretna. Andrzej Łachwa, UJ, A/14
Matematyka dyskretna Andrzej Łachwa, UJ, 2019 andrzej.lachwa@uj.edu.pl 1A/14 Literatura obowiązkowa [1] K.A.Ross, Ch.R.B.Wright: Matematyka Dyskretna. Wydawnictwo Naukowe PWN, Warszawa 1996 [2] R.L.Graham,
Bardziej szczegółowoMatematyka dyskretna dla informatyków
Matematyka dyskretna dla informatyków Część I: Elementy kombinatoryki Jerzy Jaworski Zbigniew Palka Jerzy Szymański Uniwersytet im. Adama Mickiewicza Poznań 2007 4 Zależności rekurencyjne Wiele zależności
Bardziej szczegółowoPLAN WYKŁADU OPTYMALIZACJA GLOBALNA ALGORYTM MRÓWKOWY (ANT SYSTEM) ALGORYTM MRÓWKOWY. Algorytm mrówkowy
PLAN WYKŁADU Algorytm mrówowy OPTYMALIZACJA GLOBALNA Wyład 8 dr inż. Agniesza Bołtuć (ANT SYSTEM) Inspiracja: Zachowanie mrówe podczas poszuiwania żywności, Zachowanie to polega na tym, że jeśli do żywności
Bardziej szczegółowoWYDZIAŁ PODSTAWOWYCH PROBLEMÓW TECHNIKI KARTA PRZEDMIOTU
Zał. nr do ZW WYDZIAŁ PODSTAWOWYCH PROBLEMÓW TECHNIKI KARTA PRZEDMIOTU Nazwa w języku polskim MATEMATYKA DYSKRETNA Nazwa w języku angielskim DISCRETE MATHEMATICS Kierunek studiów (jeśli dotyczy): Matematyka
Bardziej szczegółowoMatematyczne Podstawy Informatyki
Matematyczne Podstawy Informatyki dr inż. Andrzej Grosser Instytut Informatyki Teoretycznej i Stosowanej Politechnika Częstochowska Rok akademicki 2013/2014 Twierdzenie 2.1 Niech G będzie grafem prostym
Bardziej szczegółowoMatematyka dyskretna. Andrzej Łachwa, UJ, /10
Matematyka dyskretna Andrzej Łachwa, UJ, 2018 andrzej.lachwa@uj.edu.pl 10/10 Podziały i liczby Stirlinga Liczba Stirlinga dla cykli (często nazywana liczbą Stirlinga pierwszego rodzaju) to liczba permutacji
Bardziej szczegółowoPoziom wymagań K P K R K R. 2. Permutacje definicja permutacji definicja n! liczba permutacji zbioru n-elementowego K K K P D
Plan wynikowy klasa 3g - Jolanta Pająk Matematyka 3. dla liceum ogólnokształcącego, liceum profilowanego i technikum. ształcenie ogólne w zakresie rozszerzonym rok szkolny 2015/2016 Wymagania edukacyjne
Bardziej szczegółowoMateriały dydaktyczne. Matematyka. Semestr III. Wykłady
Materiały dydatyczne Matematya Semestr III Wyłady Aademia Morsa w Szczecinie ul. Wały Chrobrego - 70-500 Szczecin WIII RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE ZWYCZAJNE PIERWSZEGO RZĘDU. Pojęcia wstępne. Równania różniczowe
Bardziej szczegółowoKOLOKWIUM Z ALGEBRY I R
Instrucje: Każde zadanie jest za 4 puntów. Rozwi azanie ażdego zadania musi znajdować siȩ na osobnej artce oraz być napisane starannie i czytelnie. W nag lówu ażdego rozwi azania musz a znajdować siȩ dane
Bardziej szczegółowoMetody probabilistyczne Rozwiązania zadań
Metody robabilistyczne Rozwiązania zadań 6. Momenty zmiennych losowych 8.11.2018 Zadanie 1. Poaż, że jeśli X Bn, to EX n. Odowiedź: X rzyjmuje wartości w zbiorze {0, 1,..., n} z rawdoodobieństwami zadanymi
Bardziej szczegółowo2. Wymagania wstępne w zakresie wiedzy, umiejętności oraz kompetencji społecznych (jeśli obowiązują):
OPISU MODUŁU KSZTAŁCENIA (SYLABUS) I. Informacje ogólne 1) Nazwa modułu : MATEMATYCZNE PODSTAWY KOGNITYWISTYKI 2) Kod modułu : 08-KODL-MPK 3) Rodzaj modułu : OBOWIĄZKOWY 4) Kierunek studiów: KOGNITYWISTYKA
Bardziej szczegółowoP k k (n k) = k {O O O} = ; {O O R} =
Definicja.5 (Kombinacje bez powtórzeń). Każdy -elementowy podzbiór zbioru A wybrany (w dowolnej olejności) bez zwracania nazywamy ombinacją bez powtórzeń. Twierdzenie.5 (Kombinacje bez powtórzeń). Liczba
Bardziej szczegółowoIndukcja matematyczna
Inducja matematyczna Inducja jest taą metodą rozumowania, za pomocą tórej od tezy szczegółowej dochodzimy do tezy ogólnej. Przyład 1 (o zanurzaniu ciał w wodzie) 1. Kawałe żelaza, tóry zanurzyłem w wodzie,
Bardziej szczegółowoPlan wynikowy. Klasa III Technikum ekonomiczne. Kształcenie ogólne w zakresie rozszerzonym
Plan wynikowy lasa III Technikum ekonomiczne. ształcenie ogólne w zakresie rozszerzonym Oznaczenia: wymagania konieczne, P wymagania podstawowe, R wymagania rozszerzające, D wymagania dopełniające, W wymagania
Bardziej szczegółowoMatematyka dyskretna. Andrzej Łachwa, UJ, B/14
Matematyka dyskretna Andrzej Łachwa, UJ, 2019 andrzej.lachwa@uj.edu.pl 1B/14 Drogi w grafach Marszruta (trasa) w grafie G z wierzchołka w do wierzchołka u to skończony ciąg krawędzi w postaci. W skrócie
Bardziej szczegółowoPodstawy rachunku prawdopodobieństwa (przypomnienie)
. Zdarzenia odstawy rachunu prawdopodobieństwa (przypomnienie). rawdopodobieństwo 3. Zmienne losowe 4. rzyład rozładu zmiennej losowej. Zdarzenia (events( events) Zdarzenia elementarne Ω - zbiór zdarzeń
Bardziej szczegółowoElementy logiki. Zdania proste i złożone
Elementy logiki Zdania proste i złożone. Jaka jest wartość logiczna następujących zdań: (a) jest dzielnikiem 7 lub suma kątów wewnętrznych w trójkącie jest równa 80. (b) Jeśli sin 0 =, to 5 < 5. (c) Równanie
Bardziej szczegółowoKolorowanie wierzchołków
Kolorowanie wierzchołków Mając dany graf, pokolorować jego wierzchołki w taki sposób, aby każde dwa wierzchołki sąsiednie miały inny kolor. Każda krawędź łączy wierzchołki różnych kolorów. Takie pokolorowanie
Bardziej szczegółowoWymagania kl. 3. Zakres podstawowy i rozszerzony
Wymagania kl. 3 Zakres podstawowy i rozszerzony Temat lekcji Zakres treści Osiągnięcia ucznia 1. RACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA 1. Reguła mnożenia reguła mnożenia ilustracja zbioru wyników doświadczenia za
Bardziej szczegółowoMatematyka dyskretna
Matematyka dyskretna Andrzej Szepietowski Matematyka dyskretna Wydawnictwo Uniwersytetu Gdańskiego Gdańsk 2018 Recenzja prof. dr hab. Marek Zaionc Redakcja wydawnicza Dorota Zgaińska Projekt okładki i
Bardziej szczegółowoWybrane rozkłady zmiennych losowych i ich charakterystyki
Rozdział 1 Wybrane rozłady zmiennych losowych i ich charaterystyi 1.1 Wybrane rozłady zmiennych losowych typu soowego 1.1.1 Rozład równomierny Rozpatrzmy esperyment, tóry może sończyć się jednym z n możliwych
Bardziej szczegółowoZofia MIECHOWICZ, Zielona Góra. v 1. v 2
Jest to zapis odczytu wygłoszonego na XLVIII Szole atematyi Poglądowej, Sojarzenia i analogie, Otwoc Śródborów, styczeń 22. W przestrzeni Zofia IECHOWICZ, Zielona Góra Naturalna analogia? Nie mylił się,
Bardziej szczegółowoAlgebrą nazywamy strukturę A = (A, {F i : i I }), gdzie A jest zbiorem zwanym uniwersum algebry, zaś F i : A F i
Algebrą nazywamy strukturę A = (A, {F i : i I }), gdzie A jest zbiorem zwanym uniwersum algebry, zaś F i : A F i A (symbol F i oznacza ilość argumentów funkcji F i ). W rozważanych przez nas algebrach
Bardziej szczegółowoKARTA MODUŁU KSZTAŁCENIA
KARTA MODUŁU KSZTAŁCENIA I. 1 Nazwa modułu kształcenia I. Informacje ogólne Matematyka dyskretna 2 Nazwa jednostki prowadzącej moduł Instytut Informatyki, Zakład Informatyki Stosowanej 3 Kod modułu (wypełnia
Bardziej szczegółowoRóżne rozkłady prawdopodobieństwa
Różne rozłady prawdopodobieństwa. Rozład dwupuntowy D(p). Zmienna losowa ξ ma rozład D(p), jeżeli P p {ξ = 0} = p oraz P p {ξ = } = p. Eξ = p D ξ = p( p). Rozład dwumianowy Bin(n, p). Zmienna losowa ξ
Bardziej szczegółowoRównania rekurencyjne 1 RÓWNANIA REKURENCYJNE
Równania reurencyjne 1 RÓWNANIA REKURENCYJNE 1 Ciągi arytmetyczne i geometryczne Z najprostszymi równaniami reurencyjnymi zetnęliśmy się już w szole Zacznijmy od przypomnienia definicji ciągu arytmetycznego
Bardziej szczegółowoZaliczenie wykładu Technika Analogowa Przykładowe pytania (czas zaliczenia minut, liczba pytań 6 8)
Zaliczenie wyładu Technia Analogowa Przyładowe pytania (czas zaliczenia 3 4 minut, liczba pytań 6 8) Postulaty i podstawowe wzory teorii obowdów 1 Sformułuj pierwsze i drugie prawo Kirchhoffa Wyjaśnij
Bardziej szczegółowoJarosław Wróblewski Matematyka Elementarna, zima 2014/15
Ćwiczenia 0.10.014 Powtórka przed sprawdzianem nr 1. Wzory skróconego mnożenia dwumian Newtona procenty. Postęp arytmetyczny i geometryczny. Ćwiczenia 138.10.014 Sprawdzian nr 1: 1.10.014 godz. 8:15-8:40
Bardziej szczegółowoAnaliza B. Paweł Głowacki
Analiza B Paweł Głowaci Pojęcie liczby rzeczywistej uważać będziemy za intuicyjnie oczywiste. Tym niemniej celowe wydaje się przypomnienie i ugruntowanie nietórych fundamentalnych własności liczb rzeczywistych.
Bardziej szczegółowoDB Algebra liniowa semestr zimowy 2018
DB Algebra liniowa semestr zimowy 2018 SPIS TREŚCI Teoria oraz większość zadań w niniejszym skrypcie zostały opracowane na podstawie książek: 1 G Banaszak, W Gajda, Elementy algebry liniowej cz I, Wydawnictwo
Bardziej szczegółowoWYŻSZA SZKOŁA INFORMATYKI STOSOWANEJ I ZARZĄDZANIA
DRZEWA i LASY Drzewem nazywamy graf spójny nie zawierający cykli elementarnych. Lasem nazywamy graf nie zawierający cykli elementarnych. Przykłady drzew i lasów takie krawędzie są wykluczone drzewo las
Bardziej szczegółowoA i A j lub A j A i. Operator γ : 2 X 2 X jest ciągły gdy
3. Wyład 7: Inducja i reursja struturalna. Termy i podstawianie termów. Dla uninięcia nieporozumień notacyjnych wprowadzimy rozróżnienie między funcjami i operatorami. Operatorem γ w zbiorze X jest funcja
Bardziej szczegółowoSpotkanie olimpijskie nr lutego 2013 Kombinatoryka i rachunek prawdopodobieństwa
Spotkanie olimpijskie nr 5 16 lutego 2013 Kombinatoryka i rachunek prawdopodobieństwa Kombinatoryka Jadwiga Słowik Reguła mnożenia Jeśli wybór polega na podjęciu k decyzji, przy czym pierwszą decyzję możemy
Bardziej szczegółowo1 Ćwiczenia: Funkcje całkowitoliczbowe
1 Ćwiczenia: Funkcje całkowitoliczbowe 1.1 Funkcje podłoga i sufit (Floor and ceiling functions) podłoga (część całkowita) x = największa liczba całkowita mniejsza lub równa x sufit x = najmniejsza liczba
Bardziej szczegółowoSpis treści Podstawowe definicje Wielomian charakterystyczny grafu Grafy silnie regularne
Spis treści 1 Podstawowe definicje 4 1.1 Grafy................................ 4 1.2 Przykłady grafów......................... 12 1.2.1 Grafy puste i pełne.................... 12 1.2.2 Grafy dwudzielne.....................
Bardziej szczegółowoGrupy, pierścienie i ciała
Grupy, pierścienie i ciała Definicja: Niech A będzie niepustym zbiorem. Działaniem wewnętrznym (lub, krótko, działaniem) w zbiorze A nazywamy funkcję : A A A. Niech ponadto B będzie niepustym zbiorem.
Bardziej szczegółowoWersja wstępna 22 listopada 2017
Notati do wyładu Algebra liniowa (urs zaawansowany) Instytut Matematyi Uniwersytetu Jagiellońsiego zimowy 2017/2018 Sławomir Cyn e-mail: slawomir.cyn@uj.edu.pl ROZDZIAŁ I Podstawowe strutury algebraiczne
Bardziej szczegółowo2 Podstawowe obiekty kombinatoryczne
2 Podstawowe obiety ombinatoryczne Oznaczenia: N {0, 1, 2,... } zbiór liczb naturalnych. Dla n N przyjmujemy [n] {1, 2,..., n}. W szczególno±ci [0] jest zbiorem pustym. Je±li A jest zbiorem so«czonym,
Bardziej szczegółoworeguła mnożenia ilustracja zbioru wyników doświadczenia za pomocą drzewa reguła dodawania definicja n! liczba permutacji zbioru n-elementowego
FUNKCJE LOGARYTMICZNE powtórzenie 4 godziny RACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA 28 godz. Moduł - dział -temat Reguła mnożenia. Reguła dodawania Lp 1 2 reguła mnożenia ilustracja zbioru wyników doświadczenia za
Bardziej szczegółowoKolorowanie wierzchołków Kolorowanie krawędzi Kolorowanie regionów i map. Wykład 8. Kolorowanie
Wykład 8. Kolorowanie 1 / 62 Kolorowanie wierzchołków - definicja Zbiory niezależne Niech G będzie grafem bez pętli. Definicja Mówimy, że G jest grafem k kolorowalnym, jeśli każdemu wierzchołkowi możemy
Bardziej szczegółowoSpis treści. Przedmowa. Wprowadzenie 0.1 Czym jest matematyka dyskretna?... XIII 0.2 Podstawowa literatura... XIV
Spis treści Przedmowa XI Wprowadzenie XIII 0.1 Czym jest matematyka dyskretna?............... XIII 0.2 Podstawowa literatura...................... XIV 1 Rekurencja 1 1.1 Wieże Hanoi...........................
Bardziej szczegółowoNiezb. ednik matematyczny. Niezb. ednik matematyczny
Niezb ednik matematyczny Niezb ednik matematyczny Liczby zespolone I Rozważmy zbiór R R (zbiór par liczb rzeczywistych) i wprowadźmy w nim nastepuj ace dzia lania: z 1 + z 2 = (x 1, y 1 ) + (x 2, y 2 )
Bardziej szczegółowoTeoria grafów podstawy. Materiały pomocnicze do wykładu. wykładowca: dr Magdalena Kacprzak
Teoria grafów podstawy Materiały pomocnicze do wykładu wykładowca: dr Magdalena Kacprzak Grafy zorientowane i niezorientowane Przykład 1 Dwa pociągi i jeden most problem wzajemnego wykluczania się Dwa
Bardziej szczegółowoAlexander Denisjuk. Matematyka Dyskretna. Skrypt przeznaczony dla studentów kierunku Informatyka Stosowana. Prywatna Wyższa Szkoła Zawodowa w Giżycku
Alexander Denisjuk Matematyka Dyskretna Skrypt przeznaczony dla studentów kierunku Informatyka Stosowana Prywatna Wyższa Szkoła Zawodowa w Giżycku Giżycko 004 c A. Denisjuk, MMIV v. 1.0 56 Spis treści
Bardziej szczegółowoMatematyka I. BJiOR Semestr zimowy 2018/2019 Wykład 1
Matematyka I BJiOR Semestr zimowy 2018/2019 Wykład 1 Zasady współpracy https://mat.ug.edu.pl/~matpz/ wykłady nie są obowiązkowe, ale nieobecności będą odnotowywane nieobecności nie należy usprawiedliwiać,
Bardziej szczegółowoWYMAGANIA Z WIEDZY I UMIEJĘTNOŚCI NA POSZCZEGÓLNE STOPNIE SZKOLNE DLA KLASY 3g. zakres rozszerzony
WYMAGANIA Z WIEDZY I UMIEJĘTNOŚCI NA POSZCZEGÓLNE STOPNIE SZKOLNE DLA KLASY 3g zares rozszerzony 1. Wielomiany bardzo zna pojęcie jednomianu jednej zmiennej; potrafi wsazać jednomiany podobne; potrafi
Bardziej szczegółowoMatematyka dyskretna. Andrzej Łachwa, UJ, A/14
Matematyka dyskretna Andrzej Łachwa, UJ, 2016 andrzej.lachwa@uj.edu.pl 9A/14 Permutacje Permutacja zbioru skończonego X to bijekcja z X w X. Zbiór permutacji zbioru oznaczamy przez, a permutacje małymi
Bardziej szczegółowo5. Algebra działania, grupy, grupy permutacji, pierścienie, ciała, pierścień wielomianów.
5. Algebra działania, grupy, grupy permutacji, pierścienie, ciała, pierścień wielomianów. Algebra jest jednym z najstarszych działów matematyki dotyczącym początkowo tworzenia metod rozwiązywania równań
Bardziej szczegółowoMATEMATYKA DYSKRETNA. doc. dr hab. inż. Marek Libura
Marek Libura MATEMATYKA DYSKRETNA 1 MATEMATYKA DYSKRETNA doc. dr hab. inż. Marek Libura Instytut Badań Systemowych PAN 01-447 Warszawa, Newelska 6, pok. 324 Marek.Libura@ibspan.waw.pl tel.(48)(22)8373578
Bardziej szczegółowo1 Macierze i wyznaczniki
1 Macierze i wyznaczniki 11 Definicje, twierdzenia, wzory 1 Macierzą rzeczywistą (zespoloną) wymiaru m n, gdzie m N oraz n N, nazywamy prostokątną tablicę złożoną z mn liczb rzeczywistych (zespolonych)
Bardziej szczegółowoO KOMBINATORYCE ANALITYCZNEJ
O KOMBINATORYCE ANALITYCZNEJ Katedra Iformatyi Wydział Podstawowych Problemów Techii Politechia Wrocławsa OMatKo!!! 207 7 wietia 207 Współczyii dwumiaowe Wzór dwumiaowy Newtoa ( + x) = =0 x ( + x) y =
Bardziej szczegółowoRozdział 5. Macierze. a 11 a a 1m a 21 a a 2m... a n1 a n2... a nm
Rozdział 5 Macierze Funkcję, która każdej parze liczb naturalnych (i,j) (i = 1,,n;j = 1,,m) przyporządkowuje dokładnie jedną liczbę a ij F, gdzie F = R lub F = C, nazywamy macierzą (rzeczywistą, gdy F
Bardziej szczegółowoI. Podstawowe pojęcia i oznaczenia logiczne i mnogościowe. Elementy teorii liczb rzeczywistych.
I. Podstawowe pojęcia i oznaczenia logiczne i mnogościowe. Elementy teorii liczb rzeczywistych. 1. Elementy logiki matematycznej. 1.1. Rachunek zdań. Definicja 1.1. Zdaniem logicznym nazywamy zdanie gramatyczne
Bardziej szczegółowoMatematyka dyskretna. Andrzej Łachwa, UJ, A/15
Matematyka dyskretna Andrzej Łachwa, UJ, 2015 andrzej.lachwa@uj.edu.pl 10A/15 Permutacje Permutacja zbioru skończonego X to bijekcja z X w X. Zbiór permutacji zbioru oznaczamy przez, a permutacje małymi
Bardziej szczegółowoFunkcje rzeczywiste jednej. Matematyka Studium doktoranckie KAE SGH Semestr letni 2008/2009 R. Łochowski
Funkcje rzeczywiste jednej zmiennej rzeczywistej Matematyka Studium doktoranckie KAE SGH Semestr letni 2008/2009 R. Łochowski Definicje Funkcją (odwzorowaniem) f, odwzorowującą zbiór D w zbiór P nazywamy
Bardziej szczegółowoSPÓJNOŚĆ. ,...v k. }, E={v 1. v k. i v k. ,...,v k-1. }. Wierzchołki v 1. v 2. to końce ścieżki.
SPÓJNOŚĆ Graf jest spójny, gdy dla każdego podziału V na dwa rozłączne podzbiory A i B istnieje krawędź z A do B. Definicja równoważna: Graf jest spójny, gdy każde dwa wierzchołki są połączone ścieżką
Bardziej szczegółowoWymagania egzaminacyjne z matematyki. Klasa 3C. MATeMATyka. Nowa Era. Klasa 3
Wymagania egzaminacyjne z matematyki. lasa 3C. MATeMATyka. Nowa Era. y są ze sobą ściśle powiązane ( + P + R + D + W), stanowiąc ocenę szkolną, i tak: ocenę dopuszczającą (2) otrzymuje uczeń, który spełnił
Bardziej szczegółowoWykład Ćwiczenia Laboratorium Projekt Seminarium Liczba godzin zajęć zorganizowanych w Uczelni ,5 1
Zał. nr 4 do ZW WYDZIAŁ ***** KARTA PRZEDMIOTU Nazwa w języku polskim ALGEBRA Z GEOMETRIĄ ANALITYCZNĄ B Nazwa w języku angielskim Algebra and Analytic Geometry B Kierunek studiów (jeśli dotyczy): Specjalność
Bardziej szczegółowoAlgebra z geometrią analityczną zadania z odpowiedziami
Algebra z geometrią analityczną zadania z odpowiedziami Maciej Burnecki Spis treści strona główna 1 Wyrażenia algebraiczne, indukcja matematyczna 2 2 Geometria analityczna w R 2 Liczby zespolone 4 4 Wielomiany
Bardziej szczegółowoWymagania edukacyjne z matematyki dla klasy III a,b liceum (poziom podstawowy) rok szkolny 2018/2019
Wymagania edukacyjne z matematyki dla klasy III a,b liceum (poziom podstawowy) rok szkolny 2018/2019 Oznaczenia: wymagania konieczne, P wymagania podstawowe, R wymagania rozszerzające, D wymagania dopełniające,
Bardziej szczegółowoDrzewa. Jeżeli graf G jest lasem, który ma n wierzchołków i k składowych, to G ma n k krawędzi. Własności drzew
Drzewa Las - graf, który nie zawiera cykli Drzewo - las spójny Jeżeli graf G jest lasem, który ma n wierzchołków i k składowych, to G ma n k krawędzi. Własności drzew Niech T graf o n wierzchołkach będący
Bardziej szczegółowoGrafy. Graf ( graf ogólny) to para G( V, E), gdzie:
Graf ( graf ogólny) to para G( V, E), gdzie: V jest zbiorem wierzchołków, ( czasami zwanymi węzłami lub punktami grafu) E jest rodziną ( być może powtarzających się) krawędzi, czyli jedno- i dwu- elementowych
Bardziej szczegółowoAlgebra z geometrią analityczną zadania z odpowiedziami
Algebra z geometrią analityczną zadania z odpowiedziami Maciej Burnecki opracowanie Spis treści I Wyrażenia algebraiczne, indukcja matematyczna 2 II Geometria analityczna w R 2 4 III Liczby zespolone 5
Bardziej szczegółowoZestaw 2. Definicje i oznaczenia. inne grupy V 4 grupa czwórkowa Kleina D n grupa dihedralna S n grupa symetryczna A n grupa alternująca.
Zestaw 2 Definicja grupy Definicje i oznaczenia grupa zbiór z działaniem łącznym, posiadającym element neutralny, w którym każdy element posiada element odwrotny grupa abelowa (przemienna) grupa, w której
Bardziej szczegółowoKOMBINATORYKA OBIEKTY KOMBINATORYCZNE MATEMATYKA DYSKRETNA (2014/2015)
MATEMATYKA DYSKRETNA (2014/2015) dr hab. inż. Małgorzata Sterna malgorzata.sterna@cs.put.poznan.pl www.cs.put.poznan.pl/msterna/ KOMBINATORYKA OBIEKTY KOMBINATORYCZNE TEORIA ZLICZANIA Teoria zliczania
Bardziej szczegółowoMacierze. Rozdział Działania na macierzach
Rozdział 5 Macierze Funkcję, która każdej parze liczb naturalnych (i, j) (i 1,..., n; j 1,..., m) przyporządkowuje dokładnie jedną liczbę a ij F, gdzie F R lub F C, nazywamy macierzą (rzeczywistą, gdy
Bardziej szczegółowo1 Relacje i odwzorowania
Relacje i odwzorowania Relacje Jacek Kłopotowski Zadania z analizy matematycznej I Wykazać, że jeśli relacja ρ X X jest przeciwzwrotna i przechodnia, to jest przeciwsymetryczna Zbadać czy relacja ρ X X
Bardziej szczegółowoZagadnienia na egzamin licencjacki
Zagadnienia na egzamin licencjacki Kierunek: matematyka, specjalność: nauczanie matematyki i informatyki w zakresie zajęć komputerowych Zaleca się, by egzamin dyplomowy składał się z co najmniej trzech
Bardziej szczegółowoMatematyka dyskretna. Andrzej Łachwa, UJ, /10
Matematyka dyskretna Andrzej Łachwa, UJ, 2018 andrzej.lachwa@uj.edu.pl 7/10 Generowanie podzbiorów Weźmy n-elementowy zbiór X={x 1, x 2 x n }. Każdemu podzbiorowi YX przyporządkujemy ciąg binarny b 0 b
Bardziej szczegółowoPlan wynikowy klasa 3. Zakres podstawowy
Plan wynikowy klasa 3 Zakres podstawowy Oznaczenia: wymagania konieczne; P wymagania podstawowe; R wymagania rozszerzające; D wymagania dopełniające; W wymagania wykraczające. RACHUNE PRAWDOPODOBIEŃSTWA
Bardziej szczegółowoMatematyczne Podstawy Informatyki
Matematyczne Podstawy Informatyki dr inż. Andrzej Grosser Instytut Informatyki Teoretycznej i Stosowanej Politechnika Częstochowska Rok akademicki 2013/2014 Informacje podstawowe 1. Konsultacje: pokój
Bardziej szczegółowoGrzegorz Bobiński. Matematyka Dyskretna
Grzegorz Bobiński Matematyka Dyskretna Wydział Matematyki i Informatyki Uniwersytet Mikołaja Kopernika w Toruniu 2016 Spis treści 1 Elementy teorii liczb 1 1.1 Twierdzenie o dzieleniu z resztą.................
Bardziej szczegółowoPrzedmiot Klasa Poziom Imię i Nazwisko nauczyciela Matematyka kl. 4 ga ZAKRES PODSTAWOWY I ROZSZERZONY Mirosława Jursza
Przedmiot lasa Imię i Nazwisko nauczyciela Matematyka kl. 4 ga ZARES PODSTAOY I ROZSZERZONY Mirosława Jursza Rok szkolny 2018/2019 Autorzy: Dorota Ponczek, arolina ej -ocena dopuszczająca- wymagania na
Bardziej szczegółowoLiga zadaniowa Seria I, 2014/2015, Piotr Nayar, Marta Strzelecka
Seria I, 04/05, Piotr Nayar, Marta Strzelecka Pytania dotyczące zadań prosimy kierować do Piotra Nayara na adres: nayar@mimuw.edu.pl. Rozwiązania można przesyłać Marcie Strzeleckiej na adres martast@mimuw.edu.pl,
Bardziej szczegółowoAgnieszka Kamińska, Dorota Ponczek. MATeMAtyka 3. Szczegółowe wymagania edukacyjne z matematyki w klasie trzeciej.
Agnieszka amińska, Dorota Ponczek MATeMAtyka 3 Szczegółowe wymagania edukacyjne z matematyki w klasie trzeciej Zakres podstawowy Oznaczenia: wymagania konieczne; P wymagania podstawowe; R wymagania rozszerzające;
Bardziej szczegółowoO geometrii semialgebraicznej
Inauguracja roku akademickiego 2018/2019 na Wydziale Matematyki i Informatyki Uniwersytetu Łódzkiego O geometrii semialgebraicznej Stanisław Spodzieja Łódź, 28 września 2018 Wstęp Rozwiązywanie równań
Bardziej szczegółowo