Matematyka Dyskretna - zagadnienia

Transkrypt

1 Matematya Dysretna - zagadnienia dr hab. Szymon Żebersi opracował: Miołaj Pietre Semestr letni 206/207 - strona internetowa Zasada inducji matematycznej. Zbiory sończone, podstawowe tożsamości 2. Zasada Włączeń i Wyłączeń 3. Sończona przestrzeń probabilistyczna 2 Współczynnii dwumianowe Newtona n. [{, 2,..., n}] 2. r r i, r r i i0 i0 3. Dla liczby rzeczywistej r oraz całowitej dodatniej definiujemy 4. r r r 5. Negowanie górnego indesu n x y n r r 6. x y n 7. x y r r x y r dla x y < n m 8. Tożsamość Cauchy ego n m j j j r s 9. Tożsamość Cauchy ego w ogólnej postaci j l s l s m n l m n 0. r s j j r r!

2 3 Permutacje. Grupa S n, permutacja odwrotna, mnożenie sładanie permutacji 2. Rozład permutacji na cyle 3. Rozład permutacji na transpozycje, transpozycje liczb sąsiednich 4. Wetor inwersji 5. Zna permutacji sgnσ 6. sgnστ sgnσsgnτ a dowód obrazowy b dowód inducyjny opatry na lemacie sgnστ sgnτ sgnτσ dla σ j, j 7. Grupa alternująca A n {σ S n : sgnσ } 8. A n S n 4 Liczby Stirlinga. Liczby pierwszego rodzaju cyliczne 2. n! dla n > 0 [ ] [ ] n n n 3., n n 2 [ ] [ ] [ ] n n n 4. n 5. Liczby drugiego rodzaju partycyjne 6. dla n > 0 { } { } n n n 7., n n 2 { } { } { } n n n x n x x 0. x n. Liczby Bella B n 2

3 5 Grafy. Grafy proste 2. Przyłady: K n, L n, C n, K n,m 3. Grafy spójne, cyle w grafach 4. Drzewa 5. Grafy dwudzielne 6. Stopień wierzchoła, deg G v 2 E v V 7. Twierdzenie Halla 6 Funcje tworzące. Ciąg Fibonacciego 2. Uorzenione drzewa binarne, liczby Catalana C n 2n n n 3. Liczby Catalana, więcej przyładów 7 Klasy ombinatoryczne. Klasa ombinatoryczna A,, : A N 2. A n {a A : a n}, a n A n 3. Funcja tworząca lasy ombinatorycznej Ax 4. Przyłady E, Z a n x n n0 5. Suma A B oraz produt A B las ombinatorycznych 6. Jeśli C A B, to Cx Ax Bx 7. Jeśli D A B, to Dx AxBx 8. Klasa ombinatoryczna SeqA 9. Jeśli B SeqA, to Bx 0. Podlasa Ax. Tworzenie las ombinatorycznych z wyorzystaniem relacji równoważności 2. Klasa ombinatoryczna PsetA oraz CycleA 3. Jeśli B PsetA, to Bx x a exp Ax 4. Klasa ombinatoryczna MsetA o ile A 0 5. Jeśli B MsetA, to Bx x a exp Ax 3

4 6. Jeśli B CycleA, to Bx 7. Podstawowe własności funcji Eulera ϕ ϕ ln 8. Pomocnicza lasa A {a, a : a A} Ax 9. Związe pomiędzy lasami MsetA oraz PsetA opisany równością Mx P xmx Ograniczone lasy ombinatoryczne Pset A, Mset A 2. Jeśli B Pset 2 A, to Bx 2 Ax2 Ax Jeśli B Mset 2 A, to Bx 2 Ax2 Ax Funcje tworzące dwóch zmiennych a Jeśli B SeqA, to Bx, y yax b Jeśli B PsetA, to Bx, y yx a exp y Ax c Jeśli B MsetA, to Bx, y yx a exp y Ax 8 Wyładnicze funcje tworzące. Dla ciągu a n n N definiujemy Âx n a n n! xn 2. Dwumianowy splot i iloczyn wyładniczych funcji tworzących 3. Liczby Bella B n oraz zależność ˆB x e x ˆBx 4. ˆBx e e x 5. Wzór Dobińsiego B n e 0 n! Semestr letni 206/207 - najważniejsze wzory z wyładu Potęgi dolne/górne x x i x x i x 0 x i x x x i0 Symbol Newtona n n!!n! x! n i0 n n n n i0 n 4

5 x x x y n n x y n x n n x n m i0 n m i i l s l s m n l m n definicja: liczba wszystich -elementowych ombinacji bez powtórzeń ze zbioru n-elementowego Liczby Stirlinga I rodzaju cyliczne [ ] 0 0 [ ] n n n 2 n! [ ] [ n n n ] n [ n ] x n [ ] [ ] n n x m [ ] n m definicja: liczba permutacji w S n, tóre rozbijają się na cyli w anonicznym rozbiciu, wliczając jednoelementowe Liczby Stirlinga II rodzaju partycyjne 0 0 n n { } [ n n n 2 n n ] 2 n 2 { } { n n } { n } definicja: liczba partycji zbioru [n] sładających się z części Podstawy teorii grafów Definicje ścieża droga - sończony ciąg rawędzi w postaci a v v 2... v b, gdzie a jest wierzchołiem początowym, natomiast b wierzchołiem ońcowym bez powtarzających się wierzchołów długość ścieżi - liczba rawędzi ścieżi cyl - sończony ciąg rawędzi, w tóym powtarza się jedynie począte będący równocześnie ońcem stopień wierzchoła - ilość rawędzi do niego dochodzących. dopełnienie grafu G - zbiór wierzchołów jest identyczny ja w grafie G, natomiast wierzchołi są połączone wtedy i tylo wtedy, gdy nie są połączone w grafie G. 5

6 Przyłady spójny - graf, w tórym dla ażdego wierzchoła istnieje droga do ażdego innego wierzchoła prosty - bez pętli własnych i rawędzi wielorotnych. regularny - graf prosty, w tórym wszystie wierzchołi mają ten sam stopień drzewo - spójny graf acyliczny drzewo rozpinające - drzewo, tóre zawiera wszystie wierzchołi grafu G, a zbiór rawędzi drzewa jest podzbiorem zbioru rawędzi grafu pełny K n - ażdy wierzchołe jest połączony bezpośrednio rawędzią z ażdym innym pełny dwudzielny K n,m - graf pełny, tórego wierzchołi mogą być podzielone na dwa zbiory, ta by w obrębie jednego zbioru żaden wierzchołe nie był połączony z innym pusty P n - nieposiadający rawędzi liniowy L n - otrzymany poprzez usunięcie jednej rawędzi z grafu cylicznego cyliczny C n - regularny graf spójny, tórego ażdy wierzchołe jest stopnia drugiego Grupy automorfizmów ΓK n S n ΓK n,m S n S m dla n m ΓK n,n Z 2 S n S n ΓP n S n ΓL n Z 2 ΓC n D n ΓG ΓG dla dowolnego grafu G Klasy ombinatoryczne Uwaga: w poniższych wzorach a n oznacza ilość elementów o randze n dla lasy A A, definiujemy Ax a n x n Ex e, e 0 Ex n0 e n x n n0 Zx z, z Zx x SeqAx Ax PsetAx x n an MsetAx n x n x n an an n A Bz Az Bz A Bz Az Bz n 6