Plan wynikowy z matematyki

Transkrypt

1 ln wynikowy z mtemtyki Dl kls 1-3 liceum ogólnoksztłcącego i 1-4 technikum sztłcenie ogólne w zkresie podstwowym i rozszerzonym Oznczeni: wymgni konieczne, wymgni podstwowe, R wymgni rozszerzjące, D wymgni dopełnijące, wymgni wykrczjące * Temty obowiązujące w zkresie rozszerzonym oznczono gwizdką. Treści orz osiągnięci uczni obowiązujące w zkresie rozszerzonym przedstwiono pogrubioną czcionką. odstw progrmow ksztłceni ogólnego dl liceów ogólnoksztłcących, liceów profilownych i techników określ, że w tych typch szkół, obok przedmiotów, wprowdz się ścieżki edukcyjne. Nsz progrm zwier elementy ścieżki edukcyjnej określone jko edukcj czytelnicz i mediln. rmch relizcji elementów ścieżki edukcyjnej przewidujemy: ) rozwijnie umiejętności czytni ze zrozumieniem i interpretcji tekstów zwierjących informcje podne w formie digrmów, tbel, wykresów orz sporządznie tkich tekstów, b) ksztłcenie i rozwijnie umiejętności korzystni z urządzeń technicznych typu: klkultor, klkultor grficzny, komputer.

2 Temt lekcji Zkres treści Osiągnięci uczni 1. LICZBY RZECZYISTE 1. Liczby nturlne definicj dzielnik liczby nturlnej definicj liczby pierwszej cechy podzielności liczb nturlnych definicj liczby przystej i nieprzystej rozkłd liczby nturlnej n czynniki pierwsze znjdownie ND i N twierdzenie o rozkłdzie liczby nturlnej n czynniki pierwsze 2. Liczby cłkowite. Liczby wymierne definicj liczby cłkowitej definicj liczby wymiernej oś liczbow kolejnośd wykonywni dziło 3. Liczby niewymierne definicj liczby niewymiernej konstruownie odcinków o długościch niewymiernych 4. ierwistek z liczby nieujemnej definicj pierwistk kwdrtowego z liczby nieujemnej definicj pierwistk trzeciego stopni z liczby nieujemnej definicj pierwistk dowolnego stopni z liczby nieujemnej dziłni n pierwistkch podje przykłdy liczb pierwszych, przystych i nieprzystych podje dzielniki dnej liczby nturlnej przedstwi liczbę nturlną w postci iloczynu liczb pierwszych oblicz ND i N dwóch liczb nturlnych przeprowdz dowody twierdzeo dotyczących podzielności liczb, np. ykż, że dl kżdej liczby nturlnej n liczb n 2 + n jest przyst rozpoznje wśród podnych liczb liczby cłkowite i liczby wymierne podje przykłdy liczb cłkowitych i wymiernych odczytuje z osi liczbowej współrzędną dnego punktu i odwrotnie zzncz punkt o podnej współrzędnej n osi liczbowej wykonuje dziłni n liczbch wymiernych wskzuje wśród podnych liczb liczby niewymierne konstruuje odcinki o długościch niewymiernych zzncz n osi liczbowej punkt odpowidjący liczbie niewymiernej wykzuje, dobierjąc odpowiednio przykłdy, że sum, różnic, iloczyn orz ilorz liczb niewymiernych nie musi byd liczbą niewymierną dowodzi niewymierności liczby 2 dowodzi niewymierności innych liczb, np. 3, 3 1 oblicz wrtośd pierwistk drugiego i trzeciego stopni z liczby nieujemnej oblicz wrtośd pierwistk dowolnego stopni z liczby nieujemnej wyłącz czynnik przed znk pierwistk włącz czynnik pod znk pierwistk wyzncz wrtości wyrżeo rytmetycznych zwierjących pierwistki, stosując prw dziło n pierwistkch oziom Z ZR D R D D R

3 Temt lekcji Zkres treści Osiągnięci uczni 5. ierwistek nieprzystego stopni z liczby rzeczywistej 6. Zstosownie przeksztłceo lgebricznych 7. Rozwinięcie dziesiętne liczby rzeczywistej 8. otęg o wykłdniku cłkowitym definicj pierwistk trzeciego stopni z liczby rzeczywistej definicj pierwistk nieprzystego stopni z liczby rzeczywistej dziłni n pierwistkch wzory skróconego mnożeni usuwnie niewymierności z minownik postd dziesiętn liczby rzeczywistej metod przedstwini ułmków zwykłych w postci dziesiętnej metod przedstwini ułmków dziesiętnych w postci ułmków zwykłych definicj potęgi o wykłdniku nturlnym definicj potęgi o wykłdniku cłkowitym ujemnym twierdzeni o dziłnich n potęgch 9. Notcj wykłdnicz definicj notcji wykłdniczej sposób zpisywni młych i dużych liczb w notcji wykłdniczej dziłni n liczbch zpisnych w notcji wykłdniczej 10. rzybliżeni reguł zokrąglni przybliżnie z ndmirem i z niedomirem błąd przybliżeni oblicz wrtośd pierwistk trzeciego stopni z liczby rzeczywistej oblicz wrtośd pierwistk nieprzystego stopni z liczby rzeczywistej wyzncz wrtości wyrżeo rytmetycznych zwierjących pierwistki nieprzystego stopni z liczb rzeczywistych, stosując prw dziło n pierwistkch stosuje odpowiedni wzór skróconego mnożeni do wyznczeni kwdrtu sumy lub różnicy orz różnicy kwdrtów przeksztłc wyrżenie lgebriczne z zstosowniem wzorów skróconego mnożeni stosuje wzory skróconego mnożeni do wykonywni dziło n liczbch postci b c wyprowdz wzory skróconego mnożeni usuw niewymiernośd z minownik ułmk wskzuje wśród podnych liczb w postci dziesiętnej liczby wymierne orz niewymierne wyzncz rozwinięcie dziesiętne ułmków zwykłych zmieni skooczone rozwinięci dziesiętne n ułmki zwykłe przedstwi ułmki dziesiętne okresowe w postci ułmków zwykłych oblicz wrtośd potęgi liczby o wykłdniku nturlnym i cłkowitym ujemnym stosuje twierdzeni o dziłnich n potęgch do obliczni wrtości wyrżeo stosuje twierdzeni o dziłnich n potęgch do uprszczni wyrżeo lgebricznych zpisuje i odczytuje liczbę w notcji wykłdniczej wykonuje dziłni n liczbch zpisnych w notcji wykłdniczej zokrągl liczbę z podną dokłdnością oblicz błąd przybliżeni dnej liczby orz oceni, jkie jest to przybliżenie szcuje wyniki dziło oziom Z ZR D D D D D D D

4 Temt lekcji Zkres treści Osiągnięci uczni 11. rocenty Ścieżk mediln 12. Obliczeni procentowe w bnkowości Ścieżk mediln pojęcie procentu pojęcie punktu procentowego oblicz procent dnej liczby oblicz, jkim procentem jednej liczby jest drug liczb wyzncz liczbę, gdy dny jest jej procent zmniejsz i zwiększ liczbę o dny procent stosuje obliczeni procentowe w zdnich prktycznych interpretuje pojęci procentu i punktu procentowego stosuje obliczeni procentowe w zdnich prktycznych dotyczących płc, podtków, rozliczeo bnkowych oziom Z ZR D D 2. JĘZY MATEMATYI 1. Zbiory sposoby opisywni zbiorów zbiory skooczone i nieskooczone zbiór pusty definicj podzbioru relcj zwierni zbiorów zpis symboliczny zbioru 2. Dziłni n zbiorch iloczyn zbiorów sum zbiorów różnic zbiorów dopełnienie zbioru 3. rzedziły określenie przedziłów: otwrtego, domkniętego, lewostronnie domkniętego, prwostronnie domkniętego, nieogrniczonego zpis symboliczny przedziłów 4. Dziłni n przedziłch iloczyn, sum, różnic przedziłów posługuje się pojęcimi: zbiór, podzbiór, zbiór pusty, zbiór skooczony, zbiór nieskooczony wymieni elementy dnego zbioru orz elementy do niego nienleżące opisuje słownie i symbolicznie dny zbiór określ relcję zwierni zbiorów posługuje się pojęcimi: iloczyn, sum orz różnic zbiorów wyzncz iloczyn, sumę orz różnicę dnych zbiorów przedstwi n digrmie zbiór, który jest wynikiem dziło n trzech dowolnych zbiorch wyzncz dopełnienie zbioru formułuje i uzsdni hipotezy dotyczące prw dziło n zbiorch rozróżni pojęci: przedził otwrty, domknięty, lewostronnie domknięty, prwostronnie domknięty, nieogrniczony zpisuje przedził i zzncz go n osi liczbowej odczytuje i zpisuje symbolicznie przedził zznczony n osi liczbowej wyzncz przedził opisny podnymi nierównościmi wymieni liczby nleżące do przedziłu, spełnijące zdne wrunki wyzncz iloczyn, sumę i różnicę przedziłów orz zzncz je n osi liczbowej wyzncz iloczyn, sumę i różnicę różnych zbiorów liczbowych orz zpisuje je symbolicznie D D

5 Temt lekcji Zkres treści Osiągnięci uczni 5. rtość bezwzględn definicj wrtości bezwzględnej interpretcj geometryczn wrtości bezwzględnej 6. Błąd bezwzględny i błąd względny 7. łsności wrtości bezwzględnej *8. Równni i nierówności z wrtością bezwzględną określenie błędu bezwzględnego i błędu względnego przybliżeni włsności wrtości bezwzględnej metody rozwiązywni równo i nierówności z wrtością bezwzględną oblicz wrtośd bezwzględną dnej liczby uprszcz wyrżeni z wrtością bezwzględną rozwiązuje, stosując interpretcję geometryczną, elementrne równni i nierówności z wrtością bezwzględną rozróżni pojęci: błąd bezwzględny, błąd względny przybliżeni oblicz błąd bezwzględny orz błąd względny przybliżeni liczby stosuje podstwowe włsności wrtości bezwzględnej korzystjąc z włsności wrtości bezwzględnej, rozwiązuje proste równni i nierówności z wrtością bezwzględną korzystjąc z włsności wrtości bezwzględnej, uprszcz wyrżeni z wrtością bezwzględną rozwiązuje równni i nierówności z wrtością bezwzględną, stosując interpretcję geometryczną rozwiązuje równni i nierówności z wrtością bezwzględną, stosując definicję orz włsności wrtości bezwzględnej oziom Z ZR R D Temt lekcji Zkres treści Osiągnięci uczni 3. FUNCJE 1. ojęcie funkcji i sposoby jej opisu 2. Dziedzin i miejsc zerowe funkcji definicj funkcji sposoby opisywni funkcji dziedzin funkcji opisnej wzorem definicj miejsc zerowego funkcji stosuje pojęci: funkcj, rgument, dziedzin, wrtośd funkcji, wykres funkcji rozpoznje wśród dnych przyporządkowo te, które opisują funkcje podje przykłdy funkcji opisuje funkcję różnymi sposobmi wyzncz dziedzinę funkcji opisnej wzorem wyzncz miejsc zerowe funkcji opisnej wzorem oziom Z ZR R R R D D R R R D D

6 Temt lekcji Zkres treści Osiągnięci uczni 3. Monotonicznośd funkcji definicje: funkcji rosnącej, mlejącej, stłej pojęcie monotoniczności funkcji definicje: funkcji nierosnącej i niemlejącej pojęcie funkcji przedziłmi monotonicznej 4. Odczytywnie włsności funkcji z wykresu Ścieżk mediln 5. rzesuwnie wykresu wzdłuż osi ukłdu współrzędnych 6. ektory w ukłdzie współrzędnych 7. rzesuwnie wykresu o wektor 8. rzeksztłcnie wykresu przez symetrię względem osi ukłdu współrzędnych *9. Inne przeksztłceni wykresu zbiór wrtości funkcji interpretcj geometryczn miejsc zerowego funkcji njwiększ i njmniejsz wrtośd funkcji znk wrtości funkcji metod otrzymywni wykresów funkcji y = f(x) + q dl q > 0 orz y = f(x) q dl q > 0 metod otrzymywni wykresów funkcji y = f(x p) dl p 0 orz y = f(x + p) dl p 0 pojęcie wektor wektor przeciwny do dnego współrzędne wektor i ich interpretcj geometryczn metod otrzymywni wykresu funkcji y = f(x p) + q metod otrzymywni wykresu funkcji y = f(x) metod otrzymywni wykresu funkcji y = f( x) metod otrzymywni wykresu funkcji y = f(x) i y = f( x ) oziom Z ZR stosuje pojęcie funkcji monotonicznej (rosnącej, mlejącej, stłej) n podstwie wykresu funkcji określ jej monotonicznośd R R rysuje wykres funkcji o zdnych kryterich monotoniczności bd n podstwie definicji monotonicznośd funkcji określonej wzorem D stosuje pojęci: zbiór wrtości funkcji, njwiększ i njmniejsz wrtośd funkcji odczytuje z wykresu funkcji jej dziedzinę, zbiór wrtości, miejsc zerowe, wrtości rgumentów, dl których funkcj przyjmuje wrtości ujemne, i tych, dl których funkcj przyjmuje wrtości dodtnie, przedziły monotoniczności funkcji, njmniejszą i njwiększą wrtośd funkcji D D rysuje wykresy funkcji: y = f(x) + q dl q > 0 y = f(x) q dl q 0 orz y = f(x p) dl p > 0 y = f(x + p) dl p > 0 R R posługuje się pojęciem wektor i wektor przeciwnego oblicz współrzędne wektor wyzncz współrzędne początku lub kooc wektor, mjąc dne współrzędne wektor i jednego z tych punktów znjduje obrz figury w przesunięciu o dny wektor szkicuje wykres funkcji y = f(x p) + q zpisuje wzór funkcji otrzymnej w wyniku dnego przesunięci n podstwie wykresu funkcji y = f(x) szkicuje wykresy funkcji y = f(x) i y = f( x) R R n podstwie wykresu funkcji y = f(x) szkicuje wykresy funkcji y = f(x) i y = f( x ) D n podstwie wykresu funkcji y = f(x) szkicuje wykres funkcji będący efektem wykonni kilku opercji

7 Temt lekcji Zkres treści Osiągnięci uczni 10. Funkcje zstosowni funkcje w sytucjch prktycznych 4. FUNCJA LINIOA 1. Funkcj liniow definicj funkcji liniowej interpretcj geometryczn współczynników występujących we wzorze funkcji liniowej rozpoznje zleżnośd funkcyjną umieszczoną w kontekście prktycznym, określ dziedzinę orz zbiór wrtości tkiej funkcji przedstwi zleżności opisne w zdnich z treścią w postci wzoru lub wykresu rozpoznje funkcję liniową, mjąc dny jej wzór, orz szkicuje jej wykres interpretuje współczynniki występujące we wzorze funkcji liniowej i wskzuje wśród dnych wzorów funkcji liniowych te, których wykresy są równoległe podje włsności funkcji liniowej dnej wzorem wyzncz wzór funkcji liniowej, której wykres spełni zdne wrunki, np. jest równoległy do wykresu dnej funkcji liniowej 2. łsności funkcji liniowej włsności funkcji liniowej wyzncz miejsce zerowe i określ monotonicznośd funkcji liniowej dnej wzorem wyzncz współrzędne punktów, w których wykres funkcji liniowej przecin osie ukłdu współrzędnych, orz podje, w których dwirtkch ukłdu wykres się znjduje wyzncz wrtości prmetrów, dl których funkcj m określone włsności 3. Równnie prostej n płszczyźnie równnie kierunkowe prostej równnie ogólne prostej podje równnie kierunkowe i ogólne prostej zpisuje równnie ogólne prostej, któr nie jest równoległ do osi OY, w postci kierunkowej wyzncz równnie prostej przechodzącej przez dw dne punkty rysuje prostą opisną równniem ogólnym wyzncz wrtości prmetru, dl których prost spełni określone wrunki oziom Z ZR D D

8 Temt lekcji Zkres treści Osiągnięci uczni 4. spółczynnik kierunkowy prostej 5. runek prostopdłości prostych współczynnik kierunkowy prostej przechodzącej przez dw dne punkty interpretcj geometryczn współczynnik kierunkowego wrunek prostopdłości prostych o równnich kierunkowych wyzncznie równni prostej prostopdłej do dnej prostej 6. Ukłdy równń liniowych metody lgebriczne rozwiązywni ukłdów równo liniowych definicj ukłdu równo oznczonego, sprzecznego, nieoznczonego oblicz współczynnik kierunkowy prostej, mjąc dne współrzędne dwóch punktów nleżących do tej prostej szkicuje prostą, wykorzystując interpretcję współczynnik kierunkowego odczytuje wrtośd współczynnik kierunkowego, mjąc dny wykres, w przypdku wykresu zleżności drogi od czsu w ruchu jednostjnym podje wrtośd prędkości wyprowdz równnie prostej przechodzącej przez dw punkty podje wrunek prostopdłości prostych o równnich kierunkowych wyzncz równnie prostej prostopdłej do dnej prostej i przechodzącej przez dny punkt wyzncz wrtości prmetru, dl których proste są prostopdłe uzsdni wrunek prostopdłości prostych o równnich kierunkowych rozwiązuje ukłd równo metodą podstwini i przeciwnych współczynników określ typ ukłdu równo ukłd i rozwiązuje ukłd równo do zdni z treścią rozwiązuje ukłd trzech równo z trzem niewidomymi oziom Z ZR R D R D D D 7. Interpretcj geometryczn ukłdu równo liniowych interpretcj geometryczn ukłdu oznczonego, sprzecznego i nieoznczonego interpretuje geometrycznie ukłd równo rozwiązuje ukłd równo metodą grficzną wykorzystuje związek między liczbą rozwiązo ukłdu równo położeniem prostych rozwiązuje ukłd równo z prmetrem orz określ jego typ w zleżności od wrtości prmetru rozwiązuje grficznie ukłd równo z wrtością bezwzględną D R D

9 Temt lekcji Zkres treści Osiągnięci uczni *8. Ukłdy nierówności liniowych 9. Funkcj liniow zstosowni interpretcj geometryczn nierówności z dwiem niewidomymi pojęcie półpłszczyzny otwrtej i domkniętej ilustrcj geometryczn ukłdu nierówności tworzenie modelu mtemtycznego opisującego przedstwione zgdnienie prktyczne interpretuje geometrycznie nierówności z dwiem niewidomymi orz pojęcie półpłszczyzny otwrtej i domkniętej zzncz w ukłdzie współrzędnych zbiór punktów, których współrzędne spełniją ukłd nierówności liniowych z dwiem niewidomymi zpisuje ukłd nierówności opisujący zbiór punktów przedstwionych w ukłdzie współrzędnych rozwiązuje grficznie ukłd kilku nierówności z dwiem niewidomymi wyzncz w ukłdzie współrzędnych iloczyn, sumę i różnicę zbiorów punktów opisnych nierównościmi liniowymi z dwiem niewidomymi przeprowdz nlizę zdni z treścią, nstępnie zpisuje odpowiednie równnie, nierównośd liniową lub wzór funkcji liniowej rozwiązuje ułożone przez siebie równnie, nierównośd lub nlizuje włsności funkcji liniowej przeprowdz nlizę wyniku i podje odpowiedź oziom Z ZR D D D D 5. FUNCJA ADRATOA 1. ykres funkcji f(x) = x 2 2. rzesunięcie wykresu funkcji f(x) = x 2 o wektor wykres i włsności funkcji f(x) = x 2, gdzie 0 metod otrzymywni wykresu funkcji f ( x) włsności funkcji f ( x) x p x 2 p q 2 q szkicuje wykres funkcji f(x) = x 2 podje włsności funkcji f(x) = x 2 stosuje włsności funkcji f(x) = x 2 do rozwiązywni zdo szkicuje wykres funkcji f ( x) x p q i podje jej włsności stosuje włsności funkcji f ( x) x p q do rozwiązywni zdo 2 2 R R

10 Temt lekcji Zkres treści Osiągnięci uczni 3. ostd knoniczn i postd ogóln funkcji kwdrtowej 4. Rozwiązywnie równo kwdrtowych przez rozkłd n czynniki 5. Rozwiązywnie równo kwdrtowych z pomocą wzorów 6. ostd iloczynow funkcji kwdrtowej *7. Równni sprowdzlne do równo kwdrtowych postd ogóln funkcji kwdrtowej postd knoniczn funkcji kwdrtowej współrzędne wierzchołk prboli rysownie wykresu funkcji kwdrtowej postci f ( x) x 2 bx wyróżnik trójminu kwdrtowego metod rozwiązywni równo przez rozkłd n czynniki zleżnośd między znkiem wyróżnik liczbą rozwiązo równni kwdrtowego wzory n pierwistki równni kwdrtowego interpretcj geometryczn rozwiązo równni kwdrtowego definicj postci iloczynowej funkcji kwdrtowej twierdzenie o postci iloczynowej funkcji kwdrtowej rozwiązywnie równo metodą podstwini c podje wzór funkcji kwdrtowej w postci ogólnej i knonicznej oblicz współrzędne wierzchołk prboli przeksztłc postd ogólną funkcji kwdrtowej do postci knonicznej (z zstosowniem uzupełnini do kwdrtu lub wzoru n współrzędne wierzchołk prboli) i szkicuje jej wykres przeksztłc postd knoniczną funkcji kwdrtowej do postci ogólnej wyzncz wzór ogólny funkcji kwdrtowej mjąc dne współrzędne wierzchołk i innego punktu jej wykresu wyprowdz wzory n współrzędne wierzchołk prboli stosuje wzory skróconego mnożeni orz zsdę wyłączni wspólnego czynnik przed nwis do przedstwieni wyrżeni w postci iloczynu rozwiązuje równnie kwdrtowe przez rozkłd n czynniki rozwiązuje równni kwdrtowe, korzystjąc z poznnych wzorów interpretuje geometrycznie rozwiązni równni kwdrtowego stosuje poznne wzory przy szkicowniu wykresu funkcji kwdrtowej definiuje postd iloczynową funkcji kwdrtowej i wrunek jej istnieni zpisuje funkcję kwdrtową w postci iloczynowej odczytuje wrtości pierwistków trójminu podnego w postci iloczynowej przeksztłc postd iloczynową funkcji kwdrtowej do postci ogólnej wykorzystuje postd iloczynową funkcji kwdrtowej do rozwiązywni zdo rozpoznje równni, które możn sprowdzid do równo kwdrtowych wprowdz niewidomą pomocniczą, podje odpowiednie złożeni i rozwiązuje równnie kwdrtowe z niewidomą pomocniczą podje rozwiąznie równni pierwotnego oziom Z ZR D R R D R D

11 Temt lekcji Zkres treści Osiągnięci uczni 8. Nierówności kwdrtowe metod rozwiązywni nierówności kwdrtowych 9. Funkcj kwdrtow zstosowni njmniejsz i njwiększ wrtośd funkcji kwdrtowej w przedzile domkniętym *10. zory Viète wzory Viète określenie znku pierwistków równni kwdrtowego bez ich wyznczni *11. Równni kwdrtowe z prmetrem rozwiązywnie równo i nierówności kwdrtowych z prmetrem rozumie związek między rozwiązniem nierówności kwdrtowej znkiem wrtości odpowiedniego trójminu kwdrtowego rozwiązuje nierównośd kwdrtową wyzncz n osi liczbowej iloczyn, sumę i różnicę zbiorów rozwiązo kilku nierówności kwdrtowych stosuje pojęcie njmniejszej i njwiększej wrtości funkcji wyzncz wrtośd njmniejszą i njwiększą funkcji kwdrtowej w przedzile domkniętym stosuje włsności funkcji kwdrtowej do rozwiązywni zdń optymlizcyjnych stosuje wzory Viète do wyznczni sumy orz iloczynu pierwistków równni kwdrtowego, o ile istnieją określ znki pierwistków równni kwdrtowego, wykorzystując wzory Viète stosuje wzory Viète do obliczni wrtości wyrżeo zwierjących sumę i iloczyn pierwistków trójminu kwdrtowego wyprowdz wzory Viète przeprowdz nlizę zdo z prmetrem zpisuje złożeni, by zchodziły wrunki podne w treści zdni wyzncz te wrtości prmetru, dl których są spełnione wrunki zdni oziom Z ZR D D D D D 6. LANIMETRIA 1. Miry kątów w trójkącie klsyfikcj trójkątów twierdzenie o sumie mir kątów w trójkącie 2. Trójkąty przystjące definicj trójkątów przystjących cechy przystwni trójkątów nierównośd trójkąt klsyfikuje trójkąty ze względu n miry ich kątów stosuje twierdzenie o sumie mir kątów wewnętrznych trójkąt do rozwiązywni zdo przeprowdz dowód twierdzeni o sumie mir kątów w trójkącie podje definicję trójkątów przystjących orz cechy przystwni trójkątów wskzuje trójkąty przystjące stosuje nierównośd trójkąt do rozwiązywni zdo R D D R D D

12 Temt lekcji Zkres treści Osiągnięci uczni 3. Trójkąty podobne definicj wielokątów podobnych cechy podobieostw trójkątów skl podobieostw 4. ielokąty podobne zleżnośd między polmi i obwodmi wielokątów podobnych sklą podobieostw 5. Twierdzenie Tles twierdzenie Tles twierdzenie odwrotne do twierdzeni Tles 6.Trójkąty prostokątne 7. Funkcje trygonometryczne kąt ostrego twierdzenie itgors i twierdzenie odwrotne do twierdzeni itgors wzory n długośd przekątnej kwdrtu i długośd wysokości trójkąt równobocznego definicje funkcji trygonometrycznych kąt ostrego wrtości funkcji trygonometrycznych kątów 30º, 45º, 60º podje cechy podobieostw trójkątów sprwdz, czy dne trójkąty są podobne oblicz długości boków trójkąt podobnego do dnego w dnej skli ukłd odpowiednią proporcję, by wyznczyd długości brkujących boków trójkątów podobnych wykorzystuje podobieostwo trójkątów do rozwiązywni zdo rozumie pojęcie figur podobnych oblicz długości boków w wielokątch podobnych wykorzystuje zleżności między polmi i obwodmi wielokątów podobnych sklą podobieostw do rozwiązywni zdo podje twierdzenie Tles i twierdzenie odwrotne do twierdzeni Tles wykorzystuje twierdzenie Tles do rozwiązywni zdo wykorzystuje twierdzenie Tles do podziłu odcink w podnym stosunku przeprowdz dowód twierdzeni Tles podje twierdzenie itgors i twierdzenie odwrotne do twierdzeni itgors orz wzory n długośd przekątnej kwdrtu i długośd wysokości trójkąt równobocznego stosuje twierdzenie itgors do rozwiązywni zdo korzystjąc z twierdzeni itgors, wyprowdz zleżności ogólne, np. dotyczące długości przekątnej kwdrtu i długości wysokości trójkąt równobocznego podje definicje funkcji trygonometrycznych kąt ostrego w trójkącie prostokątnym podje wrtości funkcji trygonometrycznych kątów 30º, 45º, 60º wyzncz wrtości funkcji trygonometrycznych kątów ostrych dnego trójkąt prostokątnego wyzncz wrtości funkcji trygonometrycznych kątów ostrych w brdziej złożonych sytucjch oziom Z ZR R D R R D D R D R R D D D

13 Temt lekcji Zkres treści Osiągnięci uczni 8. Trygonometri zstosowni Ścieżk mediln 9. Rozwiązywnie trójkątów prostokątnych 10. Związki między funkcjmi trygonometrycznymi odczytywnie wrtości funkcji trygonometrycznych kątów w tblicch odczytywnie miry kąt, dl którego dn jest wrtośd funkcji trygonometrycznej rozwiązywnie trójkątów prostokątnych podstwowe tożsmości trygonometryczne wzory n sin(90º α), cos(90º α), tg(90º α), ctg(90º α) 11. ole trójkąt wzory n pole trójkąt 1 1 ( h, b sin γ, wzór 2 2 Heron) wzór n pole trójkąt równobocznego 12. ole czworokąt wzory n pole równoległoboku, rombu, trpezu 13. Długość okręgu i pole koł wzory n długośd okręgu i długośd łuku okręgu wzory n pole koł i pole wycink koł oziom Z ZR odczytuje wrtości funkcji trygonometrycznych dnego kąt w tblicch lub wrtości kąt n podstwie wrtości funkcji trygonometrycznych stosuje funkcje trygonometryczne do rozwiązywni zdo prktycznych D rozwiązuje trójkąty prostokątne D D podje związki między funkcjmi trygonometrycznymi tego smego kąt wyzncz wrtości pozostłych funkcji trygonometrycznych, gdy dn jest jedn z nich stosuje poznne związki do uprszczni wyrżeo zwierjących funkcje trygonometryczne D D uzsdni związki między funkcjmi trygonometrycznymi D podje różne wzory n pole trójkąt dobierjąc odpowiedni wzór do sytucji, oblicz pole trójkąt wykorzystuje umiejętnośd wyznczni pól trójkątów do obliczni pól innych wielokątów podje wzory n pole równoległoboku, rombu, trpezu wykorzystuje funkcje trygonometryczne do wyznczni pól czworokątów D D podje wzory n długośd okręgu i długośd łuku okręgu orz wzory n pole koł i pole wycink koł stosuje poznne wzory do obliczni pól i obwodów figur D D Temt lekcji Zkres treści Osiągnięci uczni oziom 1. IELOMIANY Z ZR 1. Stopieo i współczynniki wielominu definicj jednominu, dwuminu, wielominu pojęcie stopni jednominu i stopni wielominu pojęcie współczynników wielominu i wyrzu wolnego pojęcie wielominu zerowego rozróżni wielomin, określ jego stopieo i podje wrtości jego współczynników zpisuje wielomin określonego stopni o dnych współczynnikch zpisuje wielomin w sposób uporządkowny oblicz wrtośd wielominu dl dnego rgumentu sprwdz, czy dny punkt nleży do wykresu dnego wielominu wyzncz współczynniki wielominu, mjąc dne wrunki

14 Temt lekcji Zkres treści Osiągnięci uczni oziom 2. Dodwnie i odejmownie wielominów dodwnie wielominów odejmownie wielominów stopieo sumy i różnicy wielominów 3. Mnożenie wielominów mnożenie wielominów stopieo iloczynu wielominów porównywnie wielominów wielomin dwóch (trzech) zmiennych 4. zory skróconego mnożeni 5. Rozkłd wielominu n czynniki (1) wzory skróconego mnożeni: kwdrt sumy i różnicy, różnic kwdrtów, sześcin sumy i różnicy, sum i różnic n sześcinów, wzór 1 postd iloczynow trójminu kwdrtowego i wrunki jej istnieni powtórzenie rozkłd wielominu n czynniki: wyłącznie wspólnego czynnik przed nwis, rozkłd trójminu kwdrtowego n czynniki zstosownie wzorów skróconego mnożeni: kwdrtu sumy i różnicy orz wzoru n różnicę kwdrtów twierdzenie o rozkłdzie wielominu n czynniki wyzncz sumę wielominów wyzncz różnicę wielominów określ stopieo sumy i różnicy wielominów szkicuje wykres wielominu będącego sumą jednominów stopni pierwszego i drugiego określ stopieo iloczynu wielominów bez wykonywni mnożeni wyzncz iloczyn dnych wielominów podje współczynnik przy njwyższej potędze orz wyrz wolny iloczynu wielominów bez wykonywni mnożeni wielominów stosuje wielomin do opisni pol powierzchni prostopdłościnu i określ jego dziedzinę oblicz wrtośd wielominu dwóch (trzech) zmiennych dl dnych rgumentów porównuje wielominy dne w postci iloczynu innych wielominów stosuje wielominy wielu zmiennych w zdnich różnych typów stosuje wzory n kwdrt i sześcin sumy i różnicy orz wzór n różnicę kwdrtów do wykonywni dziło n wielominch stosuje wzory n sumę i różnicę sześcinów rozkłd trójmin kwdrtowy n czynniki zpisuje trójmin kwdrtowy w postci sumy, mjąc dne pierwistki i współczynnik n stosuje wzór: 1 wyłącz wskzny czynnik przed nwis stosuje wzory n kwdrt sumy i różnicy orz wzór n różnicę kwdrtów do rozkłdu wielominu n czynniki zpisuje wielomin w postci iloczynu czynników możliwie njniższego stopni stosuje rozkłd wielominu n czynniki w zdnich różnych typów R R R D- R R R D

15 Temt lekcji Zkres treści Osiągnięci uczni oziom 6. Rozkłd wielominu n czynniki (2) zstosownie wzorów skróconego mnożeni: sumy i różnicy sześcinów metod grupowni wyrzów 7. Równni wielominowe pojęcie pierwistk wielominu równnie wielominowe *8. Dzielenie wielominów lgorytm dzieleni wielominów podzielnośd wielominów twierdzenie o rozkłdzie wielominu stosuje metodę grupowni wyrzów i wyłączni wspólnego czynnik przed nwis do rozkłdu wielominów n czynniki stosuje wzory n sumę i różnicę sześcinów do rozkłdu wielominu n czynniki nlizuje i stosuje metodę podną w przykłdzie, by rozłożyd dny wielomin n czynniki rozwiązuje równni wielominowe wyzncz punkty przecięci się wykresu wielominu i prostej podje przykłd wielominu, znjąc jego stopieo i pierwistki dzieli wielomin przez dwumin x zpisuje wielomin w postci w ( x) p( x) q( x) r sprwdz poprwnośd wykonnego dzieleni dzieli wielomin przez inny wielomin i zpisuje go w postci w ( x) p( x) q( x) r( x) 9. Równośd wielominów wielominy równe wyzncz wrtości prmetrów tk, by wielominy były równe R R *10. Twierdzenie Bézout twierdzenie o reszcie twierdzenie Bézout dzielenie wielominu przez wielomin stopni drugiego bez wykonywni dzieleni sprwdz podzielnośd wielominu przez dwumin x wyzncz resztę z dzieleni wielominu przez dwumin x sprwdz, czy dn liczb jest pierwistkiem wielominu i wyzncz pozostłe pierwistki wyzncz wrtośd prmetru tk, by wielomin był podzielny przez dny dwumin bez wykonywni dzieleni sprwdz podzielnośd wielominu przez wielomin (x p)(x q) wyzncz resztę z dzieleni wielominu, mjąc zdne wrunki przeprowdz dowód twierdzeni Bézout D D D D D D D D D

16 Temt lekcji Zkres treści Osiągnięci uczni oziom *11. ierwistki cłkowite i pierwistki wymierne wielominu twierdzenie o pierwistkch cłkowitych wielominu twierdzenie o pierwistkch wymiernych wielominu *12. ierwistki wielokrotne definicj pierwistk k-krotnego twierdzenie o liczbie pierwistków wielominu stopni n *13. ykres wielominu pojęcie wykresu wielominu (wykres wielominu stopni pierwszego, wykres wielominu stopni drugiego powtórzenie) znk wielominu w przedzile (; ) zmin znku wielominu określ, które liczby mogą byd pierwistkmi cłkowitymi wielominu określ, które liczby mogą byd pierwistkmi wymiernymi wielominu rozwiązuje równni wielominowe z wykorzystniem twierdzeo o pierwistkch cłkowitych i wymiernych wielominu stosuje twierdzeni o pierwistkch cłkowitych i wymiernych wielominu w zdnich różnych typów przeprowdz dowody twierdzeo o pierwistkch cłkowitych i wymiernych wielominu mjąc dny wielomin w postci iloczynowej, wyzncz jego pierwistki i podje ich krotnośd znjąc stopieo wielominu i jego pierwistek, bd, czy wielomin m inne pierwistki orz określ ich krotnośd rozwiązuje równnie wielominowe, mjąc dny jego jeden pierwistek i znjąc jego krotnośd podje przykłdy wielominów, znjąc ich stopieo orz pierwistki i ich krotnośd rozwiązuje zdni z prmetrem dotyczące pierwistków wielokrotnych szkicuje wykresy wielominów stopni pierwszego i drugiego szkicuje wykres wielominu, mjąc dną jego postd iloczynową dobier wzór wielominu, mjąc dny szkic wykresu podje wzór wielominu, mjąc dny współczynnik przy njwyższej potędze orz szkic wykresu szkicuje wykres dnego wielominu, wyznczjąc jego pierwistki D D D D

17 Temt lekcji Zkres treści Osiągnięci uczni oziom *14. Nierówności wielominowe 15. ielominy zstosowni wrtości dodtnie i ujemne funkcji nierówności wielominowe sitk znków wielominu zstosownie wielominów do rozwiązywni zdo tekstowych rozwiązuje nierównośd wielominową, mjąc szkic wykresu rozwiązuje nierównośd wielominową, wykorzystując postd iloczynową wielominu (dowolną metodą: szkicując wykres lub tworząc sitkę znków) rozwiązuje nierównośd wielominową, gdy dny jest wzór ogólny wielominu stosuje nierówności wielominowe do wyznczeni dziedziny funkcji zpisnej z pomocą pierwistk wykonuje dziłni n zbiorch określonych nierównościmi wielominowymi stosuje nierówności wielominowe w zdnich z prmetrem zleżności dne w zdniu opisuje wielominem i wyzncz jego dziedzinę rozwiązuje wrunek zdni D D D D D Temt lekcji Zkres treści Osiągnięci uczni oziom 2. FUNCJE YMIERNE Z ZR 1. roporcjonlnośd odwrotn 2. ykres funkcji f ( x ) x określenie proporcjonlności odwrotnej wielkości odwrotnie proporcjonlne współczynnik proporcjonlności hiperbol wykres funkcji f ( x ), gdzie 0 x symptoty poziome i pionowe wykresu funkcji włsności funkcji f ( x ), x gdzie 0 wyzncz współczynnik proporcjonlności wskzuje wielkości odwrotnie proporcjonlne podje wzór proporcjonlności odwrotnej, znjąc współrzędne punktu nleżącego do wykresu rozwiązuje zdni tekstowe, stosując proporcjonlnośd odwrotną szkicuje wykres funkcji f ( x ), x gdzie 0 i podje jej włsności (dziedzinę, zbiór wrtości, przedziły monotoniczności) wyzncz symptoty wykresu powyższej funkcji szkicuje wykres funkcji f ( x ), x gdzie 0, w podnym zbiorze wyzncz współczynnik tk, by funkcj f ( x ) spełnił podne x wrunki R R

18 Temt lekcji Zkres treści Osiągnięci uczni oziom 3. rzesunięcie wykresu funkcji f ( x ) wzdłuż osi x OX i wzdłuż osi OY 4. rzesunięcie wykresu funkcji f ( x ) o wektor x przesunięcie wykresu funkcji wzdłuż osi ukłdu współrzędnych przesunięcie wykresu funkcji f ( x ) o wektor p, q x osie symetrii hiperboli środek symetrii hiperboli dobier wzór funkcji do jej wykresu szkicuje wykres funkcji typu: f ( x) q i f ( x) orz x x p odczytuje jej włsności wyzncz wzór funkcji spełnijącej podne wrunki przesuw wykres funkcji f ( x ) x o dny wektor i określ jej włsności wyzncz dziedzinę i podje równni symptot wykresu funkcji określonej wzorem f ( x) podje współrzędne wektor, o jki nleży przesunąd wykres funkcji y f ( x), by otrzymd wykres x p q R *5. Funkcj homogrficzn określenie funkcji homogrficznej wykres funkcji homogrficznej postd knoniczn funkcji homogrficznej symptoty wykresu funkcji homogrficznej *6. rzeksztłceni wykresu funkcji metody szkicowni wykresu funkcji y f ( x) i y f ( x ) funkcji g ( x) x wyzncz wzór funkcji spełnijącej podne wrunki wyzncz równni osi symetrii orz współrzędne środk symetrii hiperboli opisnej dnym równniem stosuje włsności hiperboli do rozwiązywni zdo przeksztłc wzór funkcji homogrficznej do postci knonicznej szkicuje wykresy funkcji homogrficznych i określ ich włsności wyzncz równni symptot wykresu funkcji homogrficznej rozwiązuje zdni z prmetrem dotyczące funkcji homogrficznej szkicuje wykres funkcji y f ( x), p q D D D R R gdzie y f ( x) jest funkcją homogrficzną i opisuje jej włsności szkicuje wykres funkcji y f ( x ), D gdzie y f ( x) jest funkcją homogrficzną i opisuje jej włsności szkicuje wykres funkcji y f ( x ), gdzie y f ( x) jest funkcją homogrficzną i opisuje jej włsności

19 Temt lekcji Zkres treści Osiągnięci uczni oziom 7. yrżeni wymierne wyrżeni wymierne dziedzin wyrżeni wymiernego 8. Mnożenie i dzielenie wyrżeo wymiernych 9. Dodwnie i odejmownie wyrżeo wymiernych mnożenie i dzielenie wyrżeo wymiernych dziedzin iloczynu i ilorzu wyrżeo wymiernych dodwnie i odejmownie wyrżeo wymiernych dziedzin sumy i różnicy wyrżeo wymiernych wyzncz dziedzinę wyrżeni wymiernego oblicz wrtośd wyrżeni wymiernego dl dnej wrtości zmiennej skrc i rozszerz wyrżeni wymierne wyzncz dziedzinę iloczynu orz ilorzu wyrżeo wymiernych mnoży wyrżeni wymierne dzieli wyrżeni wymierne wyzncz dziedzinę sumy i różnicy wyrżeo wymiernych dodje i odejmuje wyrżeni wymierne przeksztłc wzory, stosując dziłni n wyrżenich wymiernych 10. Równni wymierne równni wymierne rozwiązuje równni wymierne i podje odpowiednie złożeni stosuje równni wymierne w zdnich różnych typów 11. yrżeni wymierne zstosowni zstosownie wyrżeo wymiernych do rozwiązywni zdo tekstowych *12. Nierówności wymierne znk ilorzu, znk iloczynu nierówności wymierne *13. Funkcje wymierne funkcj wymiern dziedzin funkcji wymiernej równośd funkcji *14. Równni i nierówności z wrtością bezwzględną równni i nierówności z wrtością bezwzględną R R R R R R R R R R R R R R wykorzystuje wyrżeni wymierne do rozwiązywni zdo tekstowych D D odczytuje z dnego wykresu zbiór rozwiązo nierówności wymiernej rozwiązuje nierówności wymierne R i podje odpowiednie złożeni D- stosuje nierówności wymierne do porównywni wrtości funkcji homogrficznych rozwiązuje grficznie nierówności wymierne rozwiązuje ukłdy nierówności D wymiernych wyzncz ze wzoru dziedzinę i miejsce zerowe funkcji wymiernej podje wzór funkcji wymiernej spełnijącej określone wrunki rozwiązuje zdni z prmetrem dotyczące funkcji wymiernej stosuje włsności wrtości bezwzględnej do rozwiązywni równo i nierówności wymiernych D zzncz w ukłdzie współrzędnych zbiory punktów spełnijących zdne wrunki

20 4. FUNCJE YŁADNICZE I LOGARYTMICZNE Temt lekcji Zkres treści Osiągnięci uczni oziom 1. otęg o wykłdniku wymiernym 2. otęg o wykłdniku rzeczywistym definicj pierwistk n-tego stopni z liczby nieujemnej definicj potęgi o wykłdniku wymiernym liczby dodtniej prw dziło n potęgch o wykłdnikch wymiernych określenie potęgi o wykłdniku rzeczywistym liczby dodtniej prw dziło n potęgch 3. Funkcje wykłdnicze definicj funkcji wykłdniczej i jej wykres włsności funkcji wykłdniczej 4. rzeksztłceni wykresu funkcji wykłdniczej *5. łsności funkcji wykłdniczej metody szkicowni wykresów funkcji wykłdniczych w różnych przeksztłcenich różnowrtościowośd funkcji wykłdniczej monotonicznośd funkcji wykłdniczej oblicz pierwistek n-tego stopni z liczby nieujemnej oblicz potęgi o wykłdnikch wymiernych zpisuje dną liczbę w postci potęgi o wykłdniku wymiernym uprszcz wyrżeni, stosując prw dziło n potęgch zpisuje dną liczbę w postci potęgi o dnej podstwie uprszcz wyrżeni, stosując prw dziło n potęgch porównuje liczby przedstwione w postci potęg wyzncz wrtości funkcji wykłdniczej dl podnych rgumentów sprwdz, czy punkt nleży do wykresu dnej funkcji wykłdniczej szkicuje wykres funkcji wykłdniczej i określ jej włsności porównuje liczby, korzystjąc z włsności funkcji wykłdniczej wyzncz wzór funkcji wykłdniczej i szkicuje jej wykres, znjąc współrzędne punktu nleżącego do jej wykresu rozwiązuje równni i nierówności, korzystjąc z wykresu funkcji wykłdniczej szkicuje wykres funkcji wykłdniczej, stosując przesunięcie o wektor i określ jej włsności ustl włściwą kolejnośd przeksztłceo wykresu funkcji wykłdniczej, mjąc dny wzór funkcji i określ jej włsności n podstwie wykresów funkcji odczytuje rozwiązni równo i nierówności rozwiązuje równni wykłdnicze, korzystjąc z różnowrtościowości funkcji wykłdniczej rozwiązuje nierówności wykłdnicze, korzystjąc z monotoniczności funkcji wykłdniczej Z D D ZR D D R R

21 6. Logrytm definicj logrytmu liczby dodtniej równości: log x, log b x b, gdzie 0 i 1, b 7. łsności logrytmów twierdzeni o logrytmie iloczynu, ilorzu orz potęgi *8. Funkcje logrytmiczne funkcj logrytmiczn, jej dziedzin i wykres włsności funkcji logrytmicznej *9. rzeksztłceni wykresu funkcji logrytmicznej *10. Zmin podstwy logrytmu metody szkicowni wykresów funkcji logrytmicznych w różnych przeksztłcenich twierdzenie o zminie podstwy logrytmu 11. Zstosowni zstosowni funkcji wykłdniczej i logrytmicznej 0 oblicz logrytm dnej liczby stosuje równości wynikjące z definicji logrytmu do obliczeo wyzncz podstwę logrytmu lub liczbę logrytmowną, gdy dn jest jego wrtośd, podje odpowiednie złożeni dl podstwy logrytmu orz liczby logrytmownej stosuje twierdzeni o logrytmie iloczynu, ilorzu orz potęgi do obliczni wrtości wyrżeo z logrytmmi podje złożeni i zpisuje wyrżeni zwierjące logrytmy w prostszej postci dowodzi twierdzeni o logrytmch szkicuje wykres funkcji logrytmicznej wyzncz wzór funkcji logrytmicznej, mjąc współrzędne punktu nleżącego do jej wykresu szkicuje wykres funkcji logrytmicznej typu y log ( x p) q i określ jej włsności wyzncz zbiór wrtości funkcji logrytmicznej o podnej dziedzinie rozwiązuje prostą nierównośd logrytmiczną, posługując się wykresem odpowiedniej funkcji wykorzystuje włsności funkcji logrytmicznej do rozwiązywni zdo różnych typów R D R D szkicuje wykres funkcji będący efektem jednego przeksztłceni wykresu funkcji logrytmicznej i określ jej włsności szkicuje wykres funkcji będący efektem kilku przeksztłceo wykresu funkcji logrytmicznej i określ jej włsności D stosuje wykresy funkcji logrytmicznych do rozwiązywni zdo, w tym również do ustleni liczby rozwiązo równni w zleżności od prmetru zmieni podstwę dnego logrytmu n inną, wskzną R- D stosuje twierdzenie o zminie podstwy logrytmu do obliczni D- wrtości wyrżeo z logrytmmi wykorzystuje twierdzenie o zminie podstwy logrytmu w zdnich n dowodzenie D stosuje funkcje wykłdniczą i logrytmiczną do rozwiązywni zdo o kontekście prktycznym D D

22 Temt lekcji Zkres treści Osiągnięci uczni oziom 5. CIĄGI 1. ojęcie ciągu pojęcie ciągu wykres ciągu wyrz ciągu wyzncz kolejne wyrzy ciągu, gdy dnych jest kilk jego początkowych wyrzów szkicuje wykres ciągu 2. Sposoby określni ciągu sposoby określni ciągu wyzncz wzór ogólny ciągu, mjąc dnych kilk jego początkowych wyrzów wyzncz początkowe wyrzy ciągu określonego wzorem ogólnym wyzncz, które wyrzy ciągu przyjmują dną wrtośd wyzncz wzór ogólny ciągu spełnijącego podne wrunki 3. Ciągi monotoniczne (1) pojęcie wyrzu poprzedniego i nstępnego definicj ciągu rosnącego, mlejącego, stłego, niemlejącego i nierosnącego *4. Ciągi określone rekurencyjnie określenie rekurencyjne ciągu *5. Ciągi monotoniczne (2) sum, różnic, iloczyn i ilorz ciągów podje przykłdy ciągów monotonicznych, których wyrzy spełniją dne wrunki mjąc dne kolejne wyrzy ciągu, uzsdni, że dny ciąg nie jest monotoniczny wyzncz wyrz n 1 ciągu określonego wzorem ogólnym bd monotonicznośd ciągu, korzystjąc z definicji wyzncz wrtośd prmetru tk, by ciąg był ciągiem monotonicznym dowodzi monotoniczności ciągów określonych wzormi postci: 2 b c d orz b n n n n, gdzie ( ) jest ciągiem monotonicznym, n zś c, d R wyzncz początkowe wyrzy ciągu określonego rekurencyjnie wyzncz wzór rekurencyjny ciągu, mjąc dny wzór ogólny rozwiązuje zdni o podwyższonym stopniu trudności, związne ze wzorem rekurencyjnym ciągu wyzncz wzór ogólny ciągu, będący wynikiem wykonni dziło n dnych ciągch bd monotonicznośd sumy, różnicy, iloczynu i ilorzu ciągów rozwiązuje zdni o podwyższonym stopniu trudności, dotyczące monotoniczności ciągu Z D ZR D R D R

23 6. Ciąg rytmetyczny określenie ciągu rytmetycznego i jego różnicy wzór ogólny ciągu rytmetycznego monotonicznośd ciągu rytmetycznego pojęcie średniej rytmetycznej 7. Sum początkowych wyrzów ciągu rytmetycznego wzór n sumę n początkowych wyrzów ciągu rytmetycznego 8. Ciąg geometryczny określenie ciągu geometrycznego i jego ilorzu wzór ogólny ciągu geometrycznego monotonicznośd ciągu geometrycznego pojęcie średniej geometrycznej 9. Sum początkowych wyrzów ciągu geometrycznego wzór n sumę n początkowych wyrzów ciągu geometrycznego 10. rocent skłdny procent skłdny kpitlizcj, okres kpitlizcji stop procentow: nominln i efektywn podje przykłdy ciągów rytmetycznych wyzncz wyrzy ciągu rytmetycznego, mjąc dny pierwszy wyrz i różnicę wyzncz wzór ogólny ciągu rytmetycznego, mjąc dne dowolne dw jego wyrzy stosuje średnią rytmetyczną do wyznczni wyrzów ciągu rytmetycznego sprwdz, czy dny ciąg jest ciągiem rytmetycznym określ monotonicznośd ciągu rytmetycznego wyzncz wrtości zmiennych tk, by wrz z podnymi wrtościmi tworzyły ciąg rytmetyczny stosuje włsności ciągu rytmetycznego do rozwiązywni zdo oblicz sumę n początkowych wyrzów ciągu rytmetycznego stosuje włsności ciągu rytmetycznego do rozwiązywni zdo tekstowych rozwiązuje równni z zstosowniem wzoru n sumę wyrzów ciągu rytmetycznego podje przykłdy ciągów geometrycznych wyzncz wyrzy ciągu geometrycznego, mjąc dny pierwszy wyrz i ilorz wyzncz wzór ogólny ciągu geometrycznego, mjąc dne dowolne dw jego wyrzy sprwdz, czy dny ciąg jest ciągiem geometrycznym wyzncz wrtości zmiennych tk, by wrz z podnymi wrtościmi tworzyły ciąg geometryczny określ monotonicznośd ciągu geometrycznego stosuje średnią geometryczną do rozwiązywni zdo oblicz sumę n początkowych wyrzów ciągu geometrycznego stosuje wzór n sumę n początkowych wyrzów ciągu geometrycznego w zdnich oblicz wysokośd kpitłu, przy różnym okresie kpitlizcji oblicz oprocentownie lokty określ okres oszczędzni rozwiązuje zdni związne z kredytmi D D D D D D D D

24 11. Ciągi rytmetyczne i ciągi geometryczne zdni włsności ciągu rytmetycznego i geometrycznego stosuje włsności ciągu rytmetycznego i geometrycznego do rozwiązywni zdo D D Temt lekcji Zkres treści Osiągnięci uczni oziom 6. LANIMETRIA 1. Okręgi i proste wzjemne położenie okręgów wzjemne położenie prostej i okręgu okrąg wpisny w wielokąt 2. ąty w okręgu pojęcie kąt środkowego pojęcie kąt wpisnego twierdzenie o kącie środkowym i wpisnym, oprtych n tym smym łuku twierdzenie o kątch wpisnych, oprtych n tym smym łuku twierdzenie o kącie wpisnym, oprtym n półokręgu twierdzenie o kącie między styczną cięciwą okręgu wielokąt wpisny w okrąg 3. Odcinki stycznych i siecznych twierdzenie o cięciwch twierdzenie o siecznych twierdzenie o stycznej i siecznej pojęcie potęgi punktu względem okręgu 4. Okrąg wpisny w trójkąt okrąg wpisny w trójkąt wzór n pole trójkąt b c r, gdzie 2, b, c są długościmi boków tego trójkąt, r długością promieni okręgu wpisnego w ten trójkąt 5. Okrąg opisny n okrąg opisny n trójkącie trójkącie 6. Czworokąty wypukłe pojęcie figury wypukłej rodzje czworokątów określ wzjemne położenie okręgów, mjąc dne promienie tych okręgów orz odległośd ich środków określ, ile punktów wspólnych mją prost i okrąg przy dnych wrunkch stosuje włsności stycznej do okręgu do rozwiązywni zdo rozpoznje kąty wpisne i środkowe w okręgu orz wskzuje łuki, n których są one oprte stosuje twierdzenie o kącie środkowym i wpisnym, oprtych n tym smym łuku orz twierdzenie o kącie między styczną cięciwą okręgu rozwiązuje zdni dotyczące wielokąt wpisnego w okrąg formułuje i dowodzi twierdzeni dotyczące kątów w okręgu stosuje twierdzeni o cięciwch, siecznych, stycznej i siecznej do rozwiązywni zdo dowodzi twierdzeni o cięciwch, siecznych, stycznej i siecznej rozwiązuje zdni dotyczące okręgu wpisnego w trójkąt prostokątny rozwiązuje zdni związne z okręgiem wpisnym w trójkąt przeksztłc wzory n pole trójkąt i udowdni je rozwiązuje zdni związne z okręgiem opisnym n trójkącie stosuje włsności środk okręgu opisnego n trójkącie w zdnich z geometrii nlitycznej określ włsności czworokątów stosuje włsności czworokątów wypukłych do rozwiązywni zdo z plnimetrii Z D R D D D D D D D D ZR D R D D D D D D D D

25 7. Okrąg wpisny w czworokąt 8. Okrąg opisny n czworokącie twierdzenie o okręgu wpisnym w czworokąt twierdzenie o okręgu opisnym n czworokącie sprwdz, czy w dny czworokąt możn wpisd okrąg stosuje twierdzenie o okręgu wpisnym w czworokąt do rozwiązywni zdo dowodzi twierdzeni dotyczące okręgu wpisnego w wielokąt sprwdz, czy n dnym czworokącie możn opisd okrąg stosuje twierdzenie o okręgu opisnym n czworokącie do rozwiązywni zdo *9. Twierdzenie sinusów twierdzenie sinusów stosuje twierdzenie sinusów do rozwiązywni trójkątów stosuje twierdzenie sinusów do rozwiązywni zdo o kontekście prktycznym przeprowdz dowód twierdzeni sinusów *10. Twierdzenie cosinusów twierdzenie cosinusów stosuje twierdzenie cosinusów do rozwiązywni trójkątów stosuje twierdzenie cosinusów do rozwiązywni zdo o kontekście prktycznym przeprowdz dowód twierdzeni cosinusów 11. Odległośd między punktmi w ukłdzie współrzędnych. Środek odcink *12. Odległośd punktu od prostej wzór n odległośd między punktmi w ukłdzie współrzędnych wzór n współrzędne środk odcink wzór n odległośd punktu od prostej współczynnik kierunkowy prostej oblicz odległośd punktów w ukłdzie współrzędnych wyzncz współrzędne środk odcink, mjąc dne współrzędne jego kooców oblicz obwód wielokąt, mjąc dne współrzędne jego wierzchołków stosuje wzór n odległośd między punktmi do rozwiązywni zdo dotyczących równoległoboków oblicz odległośd punktu od prostej oblicz odległośd między prostymi równoległymi stosuje wzór n odległośd punktu od prostej w zdnich z geometrii nlitycznej stosuje związek między współczynnikiem kierunkowym kątem nchyleni prostej do osi OX wyzncz kąt między prostymi wyprowdz wzór n odległośd punktu od prostej D D R R D R D D D D D D D D

26 13. Okrąg w ukłdzie współrzędnych *14. Ukłdy równo drugiego stopni *15. oło w ukłdzie współrzędnych równnie okręgu sposoby rozwiązywni ukłdów równo drugiego stopni nierównośd opisując koło *16. Dziłni n wektorch pojęcie wektor swobodnego i zczepionego dodwnie i odejmownie wektorów mnożenie wektor przez liczbę interpretcj geometryczn dziło n wektorch długośd wektor pojęcie wektor jednostkowego 17. ektory zstosowni zstosownie dziło n wektorch *18. Jednokłdnośd definicj jednokłdności pojęcie figur jednokłdnych twierdzenie o podobieostwie figur sprwdz, czy punkt nleży do dnego okręgu wyzncz środek i promieo okręgu, mjąc jego równnie opisuje równniem okrąg o dnym środku i przechodzący przez dny punkt sprwdz, czy dne równnie jest równniem okręgu wyzncz wrtośd prmetru tk, by równnie opisywło okrąg stosuje równnie okręgu w zdnich rozwiązuje lgebricznie i grficznie ukłdy równo, z których co njmniej jedno jest drugiego stopni stosuje ukłdy równo drugiego stopni do rozwiązywni zdo z geometrii nlitycznej sprwdz, czy dny punkt nleży do dnego koł opisuje w ukłdzie współrzędnych koło podje geometryczną interpretcję rozwiązni ukłdu nierówności stopni drugiego opisuje ukłdem nierówności przedstwiony podzbiór płszczyzny zzncz w ukłdzie współrzędnych zbiory spełnijące określone wrunki wykonuje dziłni n wektorch sprwdz, czy wektory mją ten sm kierunek i zwrot stosuje dziłni n wektorch i ich interpretcję geometryczną w zdnich stosuje dziłni n wektorch do bdni współliniowości punktów stosuje dziłni n wektorch do podziłu odcink stosuje wektory do rozwiązywni zdo wykorzystuje dziłni n wektorch do dowodzeni twierdzeo konstruuje figury jednokłdne wyzncz współrzędne punktów w dnej jednokłdności stosuje włsności jednokłdności w zdnich D D D D D

27 temt lekcji Zkres treści Osiągnięci uczni oziom R RACHUNE RADOODOBIEOSTA 1. Reguł mnożeni reguł mnożeni określon dl dwóch zbiorów ogóln postd reguły mnożeni 2. ermutcj definicj silni włsności silni definicj permutcji wzór n liczbę permutcji 3. ricj bez powtórzeo definicj wricji bez powtórzeo wzór n liczbę wricji bez powtórzeo 4. ricj z powtórzenimi definicj wricji z powtórzenimi wzór n liczbę wricji z powtórzenimi 5. ombincj definicj kombincji symbol Newton wzór n liczbę kombincji 6. ombintoryk rozwiązywnie zdo permutcj, wricj bez powtórzeo, wricj z powtórzenimi i kombincj zn regułę mnożeni stosuje regułę mnożeni dl dwóch dnych zbiorów stosuje regułę mnożeni w ogólnych przypdkch zn definicję i włsności silni potrfi obliczyd wrtośd n! potrfi wykond proste dziłni związne z silnią zn definicję i wzór n liczbę permutcji potrfi stosowd wzór n liczbę permutcji w zdnich zn definicję i wzór n liczbę wricji bez powtórzeo potrfi stosowd wzór n liczbę wricji bez powtórzeo w zdnich zn definicję i wzór n liczbę wricji z powtórzenimi potrfi stosowd wzór n liczbę wricji z powtórzenimi w zdnich zn definicję i wzór n liczbę kombincji orz symbol Newton potrfi zstosowd w obliczenich symbol Newton i jego włsności * potrfi zstosowd dwumin Newton w zdnich potrfi stosowd wzór n liczbę kombincji w zdnich potrfi rozpoznd permutcję, wricję bez powtórzeo, wricję z powtórzenimi i kombincję w zdnich potrfi rozwiązd zdni tekstowe z zstosowniem wzorów kombintorycznych *potrfi podd liczbę różnych sposobów otrzymni pewnego wyniku,wykorzystując elementy kombintoryki D D D

28 temt lekcji Zkres treści Osiągnięci uczni 7. Zdrzeni losowe pojęcie zdrzeni elementrnego, przestrzenie zdrzeo elementrnych doświdczeni losowego definicj zdrzeni losowego definicj zdrzeo: pewnego, niemożliwego, przeciwnego, wykluczjących się definicj sumy, różnicy i iloczynu zdrzeo losowych *częstośd zdrzeo 8. rwdopodobieostwo klsyczne 9. Rozkłd prwdopodobieostw 10. łsności prwdopodobieostw 11. Doświdczeni wieloetpowe definicj prwdopodobieostw klsycznego definicj rozkłdu prwdopodobieostw definicj zdrzeo jednkowo prwdopodobnych ksjomtyczn definicj prwdopodobieostw włsności prwdopodobieostw prwdopodobieostwo sumy zdrzeo określenie doświdczeni wieloetpowego metod drzew stochstycznego potrfi określid zbiór zdrzeo elementrnych doświdczeni losowego potrfi wypisd wszystkie zdrzeni elementrne orz zdrzeni elementrne sprzyjjące dnemu zdrzeniu losowemu (podd moc zbioru) potrfi wyznczyd przy zstosowniu kombintoryki liczbę wszystkich zdrzeo elementrnych orz liczbę zdrzeo elementrnych sprzyjjących dnemu zdrzeniu losowemu (podd moc zbioru) potrfi rozpoznd zdrzeni pewne, niemożliwe, przeciwne, wykluczjące się potrfi wykond dziłni n zdrzenich *zn definicję i włsności częstości zdrzeo *potrfi wyznczyd częstości teoretyczne zdrzeo elementrnych zn definicję prwdopodobieostw klsycznego potrfi obliczyd prwdopodobieostwo zdrzeni losowego z pomocą definicji Lplce zn definicję rozkłdu prwdopodobieostw i zdrzeo jednkowo prwdopodobnych potrfi zstosowd rozkłd prwdopodobieostw w zdnich zn ksjomtyczną definicję i włsności prwdopodobieostw potrfi obliczyd prwdopodobieostwo zdrzeo n podstwie włsności prwdopodobieostw *potrfi przeprowdzid dowody włsności prwdopodobieostw *potrfi rozwiązd zdni, które wymgją dowodów, n podstwie włsności prwdopodobieostw potrfi rozpoznd doświdczenie wieloetpowe potrfi zilustrowd przebieg doświdczeni z pomocą drzew stochstycznego potrfi obliczyd prwdopodobieostwo stosując metodę drzew stochstycznego oziom R D D D D D D D