Spis treści. Przedmowa... 9

Transkrypt

1 Spis treści Przedmowa Algorytmy podstawowe Uwagi wstępne Dzielenie liczb całkowitych Algorytm Euklidesa Najmniejsza wspólna wielokrotność Rozszerzony algorytm Euklidesa Elementarne metody faktoryzacji Istnienie rozkładu na czynniki Schemat algorytmu kolejnych dzieleń Algorytm faktoryzacji Fermata Praktyczna realizacja algorytmu Fermata Jednoznaczność rozkładu Wzór wielomianowy na liczbę pierwszą Wzór wykładniczy. Liczby Mersenne a Liczby Fermata Funkcja p # Sito Eratostenesa Wykorzystanie arytmetyki reszt Arytmetyka reszt Relacja równoważności Działania na resztach modulo n Potęgowanie modulo n Elementy odwracalne i dzielenie modulo n Rozwiązywanie kongruencji liniowych Twierdzenie Fermata... 59

2 4 Spis treści 2.8. Liczby pseudopierwsze Test Millera-Rabina Układy kongruencji Układy równań (mod n) Chińskie twierdzenie o resztach Interpretacja geometryczna Chińskie twierdzenie o resztach. Przypadek ogólny Przypadek wielu kongruencji Wykorzystanie CRT Permutacje, symetrie, grupy Permutacje Rozkład na cykle Definicja grupy Przykłady grup Grupa Z n i funkcja Eulera ϕ(n) Własności funkcji Eulera Symetrie trójkąta Grupa symetrii kwadratu i pięciokąta foremnego Podgrupy Grupy cykliczne Przykłady podgrup. Wykorzystanie twierdzenia Lagrange a Dowód twierdzenia Lagrange a Twierdzenie o rzędzie elementu Test Lucasa-Lehmera Wykorzystanie pierwiastków pierwotnych w dowodach pierwszości Zastosowanie pierwiastków pierwotnych do dowodu twierdzenia Korselta Badanie rzędów elementów Konstrukcja pierwiastków pierwotnych Algorytm obliczania rzędów elementów Z p Kongruencje kwadratowe Reszty i niereszty kwadratowe Symbol Legendre a Wykorzystanie prawa wzajemności reszt kwadratowych Kongruencje kwadratowe z modułem złożonym

3 Spis treści 5 6. Wybrane metody szyfrowania stosowane w przeszłości Uwagi wstępne Szyfr Cezara Szyfr Vigenere a Szyfr Hilla Szyfr Vernama Kryptografia z kluczem publicznym Logarytmy dyskretne Uzgadnianie klucza Diffiego-Hellmana Generowanie kluczy w systemie ElGamal Szyfrowanie w systemie ElGamal Podpis elektroniczny w systemie ElGamal System ElGamal w bibliotece Crypto języka Python Schemat podpisu DSA System DSA w bibliotece Crypto języka Python System RSA (Rivest, Shamir, Adleman) Podpis RSA System RSA w bibliotece Crypto języka Python Uzasadnienie poprawności systemu RSA Uwagi o bezpieczeństwie systemu RSA Praktycznie stosowane systemy kryptograficzne Kryptografia z kluczem symetrycznym S-DES Bloki tekstu i klucz S-DES Schemat systemu S-DES Permutacja wstępna w S-DES Funkcja rozszerzająca EP i inne funkcje pomocnicze S-DES Generowanie kluczy dla rund S-DES Operacja xor w S-DES S-boksy w S-DES Wykorzystanie S-boksów w S-DES Realizacja całości algorytmu S-DES DES Bloki tekstu i klucz Schemat systemu DES

4 6 Spis treści Permutacja wstępna Funkcja rozszerzająca E Generowanie kluczy dla rund Operacja xor S-boksy Permutacja P Czynności końcowe Realizacja całości algorytmu DES w Sage System DES w bibliotece Crypto języka Python Mini-AES Schemat systemu Mini-AES S-boksy w Mini-AES Generowanie kluczy dla rund Wykorzystanie S-boksów w szyfrowaniu Mini-AES Operacje shift row i mix column Realizacja całości algorytmu Mini-AES AES Funkcja sub byte Rozszerzanie klucza Schemat algorytmu AES Funkcja AddRoundKey(P,K) Funkcja SubBytes Funkcja ShiftRows Funkcja MixColumns Funkcja KeyExpansion Wykonanie całości procedury System AES w bibliotece Crypto języka Python Funkcje skrótu SHA Wykonanie całości procedury Funkcje skrótu w bibliotece Crypto języka Python Ułamki łańcuchowe Skończone ułamki łańcuchowe Redukty ułamków łańcuchowych Nieskończone ułamki łańcuchowe

5 Spis treści Rozwijanie liczb niewymiernych w ułamki łańcuchowe Nierówności pomocnicze Pierścienie, ciała, wielomiany Pierścienie i ciała Ciała skończone Wielomiany nierozkładalne Konstrukcja ciał skończonych Faktoryzacja Metoda p 1 Pollarda Metoda ρ Pollarda Wykorzystanie kongruencji x 2 y 2 (mod n) Bazy rozkładu Wykorzystanie ułamków łańcuchowych w faktoryzacji Metoda sita kwadratowego w ujęciu Koblitza Uproszczona wersja sita kwadratowego w ujęciu Pomerance a Logarytmy dyskretne Metoda przeliczania Algorytm małych i wielkich kroków Algorytm ρ Pollarda wyznaczania logarytmu Algorytm Pohlinga-Hellmana znajdowania logarytmu Wykorzystanie baz rozkładu Logarytmy bazy rozkładu Krzywe eliptyczne Definicja krzywej eliptycznej Płaszczyzna rzutowa. Podejście algebraiczne Płaszczyzna rzutowa. Podejście geometryczne Związek podejścia algebraicznego i geometrycznego Krzywe eliptyczne na płaszczyźnie rzutowej Krzywa eliptyczna jako grupa Geometryczne dodawanie punktów Dodawanie punktów. Podejście analityczne Dodawanie punktów krzywej eliptycznej w Sage Metoda Lenstry faktoryzacji System ElGamal na krzywej eliptycznej

6 8 Spis treści ECDSA A. Szyfrowanie z GnuPG A.1. Przygotowanie do szyfrowania A.2. Szyfrowanie i odszyfrowywanie A.2.1. Szyfrowanie A.2.2. Odszyfrowywanie A.3. Szyfrowanie w gpg z linii poleceń A.3.1. Generowanie pary kluczy A.3.2. Export klucza publicznego A.3.3. Generowanie certyfikatu odwołania klucza A.3.4. Import klucza innego użytkownika gpg A.3.5. Wyświetlanie kluczy A.3.6. Podpisanie zaimportowanego klucza A.3.7. Szyfrowanie A.3.8. Odszyfrowanie i weryfikacja podpisu A.3.9. Usuwanie klucza ze zbioru kluczy A Szyfrowanie symetryczne Skorowidz Bibliografia