EGZAMIN MATURALNY W ROKU SZKOLNYM 2014/2015

Transkrypt

1 EGZAMIN MATURALNY W ROKU SZKOLNYM 04/05 FORMUŁA DO 04 ( STARA MATURA ) MATEMATYKA POZIOM ROZSZERZONY ZASADY OCENIANIA ROZWIĄZAŃ ZADAŃ ARKUSZ MMA-R CZERWIEC 05

2 Egzmin mturlny z mtemtyki str formuł Rozwiązni zdń i schemt punktowni poziom rozszerzony Schemt ocenini zdń otwrtych Zdnie ( pkt) Wyzncz wszystkie wrtości prmetru m, dl których równnie x m x m m 0 m dw różne pierwistki rzeczywiste x, x tkie, że x x x x x x Rozwiąznie Zpisujemy ukłd wrunków Rozwiązujemy nierówność 0 0 x x x x x x, czyli m m m Przeksztłcmy w sposób równowżny tę nierówność do postci m 0 i stąd otrzymujemy rozwiąznie: m x x x x x x do postci Przeksztłcmy w sposób równowżny nierówność x x x x x x x x, nstępnie x x xx 0 Uwg Dną nierówność możemy przeksztłcić w inny sposób: x x x x x x, stąd x x x x x x x x x x x xx x x x x x x xx x 0 x x x x 0 Wykorzystując wzory Viete' otrzymujemy nierówność m m m 0, nstępnie 5 5 m m m m Stąd otrzymujemy,, Stąd i z poprzedniego wrunku otrzymujemy rozwiąznie zdni m,

3 Schemt ocenini Egzmin mturlny z mtemtyki str formuł Rozwiązni zdń i schemt punktowni poziom rozszerzony Rozwiąznie zdni skłd się z trzech etpów Pierwszy z nich poleg n rozwiązniu nierówności 0 Z poprwne rozwiąznie tego etpu zdjący otrzymuje punkt Uwg Jeżeli zdjący zpisze 0, to z ten etp otrzymuje 0 punktów Drugi etp poleg n rozwiązniu nierówności x x x x x x Z tę część rozwiązni zdjący może otrzymć 4 punkty Podził punktów z drugi etp rozwiązni: x x x x zdjący otrzymuje punkt - Z zpisnie nierówności w postci 0 - Z zpisnie nierówności w postci m m m 0 zdjący otrzymuje punkty zdjący - Z zpisnie nierówności w postci m m m otrzymuje punkty 5 5 m - Z rozwiąznie tej nierówności,, 4 punkty zdjący otrzymuje Trzeci etp poleg n wyznczeniu części wspólnej rozwiązń nierówności z etpu pierwszego i drugiego Z tę część rozwiązni zdjący może otrzymć punkt 5 5 Odpowiedź: m, Uwg W przypdku rozwiązni z usterkmi, z osttni etp przyznjemy punkt jedynie wówczs, gdy zdjący poprwnie wykon etp I i popełni błędy w rozwiązniu nierówności z etpu II lbo gdy popełni błędy w etpie I i dobrze rozwiąże nierówność z etpu II x x x x x x x x x x lub Jeżeli zdjący obie strony nierówności xx x x 0 podzieli bez uzsdnieni przez x x i rozwiąże zdnie do końc, to z rozwiąznie zdni otrzymuje 4 punkty

4 Zdnie (4 pkt) Egzmin mturlny z mtemtyki str formuł Rozwiązni zdń i schemt punktowni poziom rozszerzony x Funkcj f jest określon wzorem f x dl wszystkich liczb rzeczywistych x tkich, x że x 0 Rozwiąż nierówność f 4 x Rozwiąznie x f x x x dl kżdego x, więc nierówność Poniewż x f 4 możemy zpisć w postci x 4 Stąd x x 4 i x 4, x 7 i x Drug z otrzymnych nierówności jest prwdziw dl kżdej liczby x, pierwszą spełniją tkie liczby x, że x 7 i x 7 Skąd x 4, Uwzględnijąc złożenie Odpowiedź: x 4,, Schemt ocenini x 4,, x, otrzymujemy osttecznie Rozwiąznie, w którym jest istotny postęp p Zdjący wyznczy f x x dl x lbo zpisze nierówność w postci równowżnej: f 7 i f x x Pokonnie zsdniczych trudności zdni p Zdjący zpisze koniunkcję nierówności: x 7 i x Rozwiąznie prwie pełne p Zdjący rozwiąże koniunkcję nierówności: x 4, Rozwiąznie pełne 4 p Zdjący wyznczy zbiór rozwiązń nierówności f 4 x x 4,, : 4

5 Egzmin mturlny z mtemtyki str formuł Rozwiązni zdń i schemt punktowni poziom rozszerzony Zdnie (4 pkt) Rozwiąż równnie sin x sin x 0 w przedzile 0, 5 Rozwiąznie Poniewż sin x sin x cos x, to równnie sin x sin x 0 możemy zpisć w postci równowżnej sin x cos x sin x 0, Stąd sin x cos x 0 sin x 0 lub cos x W przedzile 0, równnie sin x 0 m trzy rozwiązni: x 0 lub x lub x Równnie cos x m w przedzile 0, dw rozwiązni: x 5 lub x 7 Ztem równnie sin x sin x 0 m w przedzile 0, pięć rozwiązń: x 0, x 5, x, x 7, x Schemt ocenini Rozwiąznie, w którym postęp jest niewielki, le konieczny n drodze do pełnego rozwiązni p Zdjący zpisze równnie w zleżności od funkcji trygonometrycznych tego smego rgumentu, np: sin x cos x sin x 0 i n tym zkończy Pokonnie zsdniczych trudności zdni p Zdjący zpisze lterntywę sin x 0 lub cos x błędy i n tym zkończy lub dlej popełni Rozwiąznie prwie pełne p Zdjący rozwiąże równnie sin x 0 w przedzile 0, : x 0, x, x lbo lbo rozwiąże równnie cos x w przedzile 0, : x 5 lub x 7 rozwiąże ob równni sin x 0 orz cos x w zbiorze wszystkich liczb rzeczywistych: x k, x 5 l, x 7 m, gdzie k, l, m to liczby cłkowite Rozwiąznie pełne 4 p Zdjący zpisze wszystkie rozwiązni równni sin x sin x 0 w przedzile 0, : x 0, x 5, x, x 7, x (lbo x 0, x 50, x 80, x 0, x 0) Uwg Jeżeli zdjący dzieli stronmi równnie sin xcos x sin x 0 przez sin x bez rozptrzeni dwóch przypdków i poprwnie rozwiąże równnie cos 0 x, to otrzymuje z cłe rozwiąznie punkty

6 Zdnie 4 ( pkt) Egzmin mturlny z mtemtyki str formuł Rozwiązni zdń i schemt punktowni poziom rozszerzony W trpez ACD wpisno okrąg o środku S Okrąg ten jest styczny do rmion AD i C tego trpezu w punktch odpowiednio P i Q (zobcz rysunek) P D C Q S A Uzsdnij, że trójkąt ASD jest prostokątny Wykż, że Rozwiąznie Oznczmy przez r promień dnego okręgu D C Q AP DP Q CQ P r S r A Sum kątów przy rmieniu trpezu jest równ 80, czyli AD CDA 80 orz AC DC 80 Środek okręgu wpisnego w trpez leży n dwusiecznych kątów AD i CDA, więc SAD SDA AD CDA ASD 80 SAD SDA , czyli trójkąt ASD jest Ztem prostokątny Tk smo uzsdnimy, że trójkąt SC jest prostokątny W trójkącie prostokątnym kwdrt wysokości poprowdzonej z wierzchołk kąt prostego jest równy iloczynowi długości odcinków, n jkie spodek tej wysokości dzieli przeciwprostokątną Ztem AP DP r orz Q CQ r Stąd AP DP Q CQ, co kończy dowód Schemt ocenini Zdjący otrzymuje p gdy uzsdni, że trójkąt ASD jest prostokątny

7 Egzmin mturlny z mtemtyki str formuł Rozwiązni zdń i schemt punktowni poziom rozszerzony 7 Zdjący otrzymuje p gdy zpisze jedną z równości wynikjącą z twierdzeni o podzile przeciwprostokątnej trójkąt prostokątnego spodkiem wysokości: AP DP r lub Q CQ r Zdjący otrzymuje p gdy uzsdni, że trójkąt ASD jest prostokątny, zpisze, że trójkąt SC jest prostokątny orz wykże równość AP DP Q CQ Zdnie 5 ( pkt) Wykż, że dl kżdej dodtniej i różnej od jedności liczby i dl kżdej dodtniej i różnej od jedności liczby b spełnion jest równość 55 log b log b log b log b log b log b 9 0 I sposób rozwiązni Stosując wzór n zminę podstw logrytmu otrzymujemy: logb log b, logb log b,, 0 logb log 0 b Stąd i ze wzoru n logrytm potęgi lewą stronę równości możemy zpisć w postci logb log b 0log b Lew stron równości jest więc równ 55 0logb 55logb log b To kończy dowód II sposób rozwiązni Wykorzystujemy wzór n zminę podstwy logrytmu Możemy zpisć, że log b log b logb logb log b log b log b, log b,, log 0 b 0 log log log 0 Zuwżmy, że przy podnych złożenich log b 0 i mnożymy obie strony równni przez log b log b log b log b Wówczs otrzymujemy: 55 log b log b log b 0 Po przeksztłceniu otrzymujemy: 0 55, co kończy dowód Schemt ocenini rozwiązni Zdjący otrzymuje p gdy zstosuje wzór n zminę podstw logrytmu i zpisze: logb log b, logb log b,, 0 logb log 0 b lbo log b log b log b logb logb log b log b, log b,, log 0 b 0 log log log 0

8 Egzmin mturlny z mtemtyki str formuł Rozwiązni zdń i schemt punktowni poziom rozszerzony i n tym zkończy lub dlej popełni błędy Zdjący otrzymuje p gdy przedstwi lewą stronę równości w postci: log log 0log lub b b b log b log b log b 55 i n tym zkończy lub dlej popełni błędy log b log b log b 0 Zdjący otrzymuje p gdy przedstwi kompletny dowód podnej równości 8

9 Zdnie (5 pkt) Egzmin mturlny z mtemtyki str formuł Rozwiązni zdń i schemt punktowni poziom rozszerzony Prost l, n której leży punkt A,5 różnych punktch x, y i C x, y, przecin prbolę o równniu prostej l, przy której sum y y osiągnie wrtość njmniejszą y 9 x w dwóch Oblicz wrtość współczynnik kierunkowego Rozwiąznie Wyznczmy równnie rodziny prostych przechodzących przez punkt A Niech ozncz współczynnik kierunkowy dowolnej prostej l tej rodziny, ztem jej równnie przyjmuje postć: y 5 x, czyli y x 5 Prost o równniu x nie spełni wrunków zdni, gdyż przecin prbolę o równniu C y x tylko w jednym punkcie y A y = x x Współrzędne punktów i C to rozwiązni ukłdu równń y x, y x 5 z którego otrzymujemy równnie kwdrtowe z niewidomą x x x 5 0 Dl kżdej wrtości równnie to m dw rozwiązni (kżd z prostych opisnych równnie y 5 x przecin prbolę w dwóch punktch o różnych odciętych) Z tego, że punkty i C leżą n prboli wnioskujemy, że: - y x i y y y x x x x x x Ze wzorów Viète możemy tę sumę zpisć w postci 5 y y 4 0 Otrzymliśmy w ten sposób funkcję określoną wzorem dl kżdej liczby rzeczywistej f 4 0 x Ztem Funkcj f jest kwdrtow, współczynnik przy jest dodtni, więc przyjmuje on wrtość 4 njmniejszą dl Odpowiedź Wyrżenie y y przyjmuje njmniejszą wrtość, gdy współczynnik kierunkowy prostej l jest równy

10 0 Egzmin mturlny z mtemtyki str formuł Rozwiązni zdń i schemt punktowni poziom rozszerzony Schemt ocenini Rozwiąznie, w którym postęp jest niewielki, le konieczny n drodze do cłkowitego rozwiązni zdni p Zdjący zpisze równnie rodziny prostych przechodzących przez punkt A i przecinjących prbolę y x y 5 x lub y x 5 i n tym poprzestnie lub dlej popełni błędy w punktch i C: Rozwiąznie, w którym jest istotny postęp p y x Zdjący zpisze ukłd równń y x 5 Uwg Jeżeli zdjący zpisze równnie x x 5 0, to otrzymuje punkty Pokonnie zsdniczych trudności zdni 4 p Zdjący wykorzyst wzory Viète i zpisze wyrżenie y y jko funkcję zmiennej : f 4 0 Rozwiąznie pełne 5 p Zdjący obliczy, dl którego wyrżenie y y przyjmuje wrtość njmniejszą:

11 Egzmin mturlny z mtemtyki str formuł Rozwiązni zdń i schemt punktowni poziom rozszerzony Zdnie 7 ( pkt) Trzy liczby, których sum jest równ 05, są kolejnymi wyrzmi rosnącego ciągu geometrycznego Pierwsz z tych liczb jest jednocześnie pierwszym, drug szóstym, trzeci dwudziestym szóstym wyrzem pewnego ciągu rytmetycznego Oblicz te liczby I sposób rozwiązni Niech, b i c oznczją odpowiednio pierwszą, drugą i trzecią z szuknych liczb Sum tych liczb jest równ 05, czyli b c 05 Z włsności ciągu geometrycznego otrzymujemy równnie b c Niech d n będzie ciągiem rytmetycznym, w którym d, d Ze wzoru n n-ty wyrz ciągu rytmetycznego otrzymujemy b d 5r, c d 5r Otrzymliśmy ztem ukłd równń 5r 5r 05 5r 5r Pierwsze równnie przeksztłcmy równowżnie i otrzymujemy 0r 05, 0r 5, 5 0r Ztem drugie równnie możemy zpisć w postci 5 5r 5 0r5 5r, 5 7 r 57 r57 r, 7 r 7 r7 r, b, d 5 0r 5r 5 0r 5 0r 5r, r r 0, 7r r 0 r r r r r, c Stąd wynik, że r 0 lub r Gdy r 0, to 5, b 5r 5 orz c 5r 5 Ztem ciąg jest stły Gdy r to 5, b 55 0 orz c Odpowiedź: Jest jedn trójk tkich liczb: 5, 0, 80 Schemt ocenini I sposobu rozwiązni Rozwiąznie, w którym postęp jest niewielki, le konieczny n drodze do pełnego rozwiązni p Zdjący zpisze równnie wynikjące z włsności ciągu geometrycznego,, lbo bc, np: zpisze liczby, b i c w zleżności od różnicy ciągu rytmetycznego d n d, b d 5r, c d 5r, np: b c

12 Egzmin mturlny z mtemtyki str formuł Rozwiązni zdń i schemt punktowni poziom rozszerzony Rozwiąznie, w którym jest istotny postęp p Zdjący zpisze równnie wynikjące z włsności ciągu geometrycznego bc,,, np: b c orz zpisze zleżności między liczbmi, b i c orz różnicy r ciągu rytmetycznego d n, np: d, b d 5r, c d 5r Uwg Jeżeli zdjący zpisze ukłd równń pozwljący obliczyć i r, np: 5r 5r 05, 5r 5r to otrzymuje punkty Pokonnie zsdniczych trudności zdni 4 p Zdjący zpisze równnie z jedną niewidomą, np: 5 0r 5r 5 0r 5 0r 5r Rozwiąznie zdni do końc, lecz z usterkmi, które jednk nie przekreślją poprwności rozwiązni (np błędy rchunkowe) 5 p Zdjący zpisze równnie z jedną niewidomą w postci uporządkownej i n tym zkończy, np: 7r r 0 lbo rozwiąże zdnie do końc i nie odrzuci przypdku ciągu stłego, czyli r 0 lbo rozwiąże zdnie do końc, le w trkcie rozwiązywni zdni popełni błędy rchunkowe Rozwiąznie pełne p Zdjący wyznczy szukną trójkę liczb: 5, 0, 80 II sposób rozwiązni Niech, b i c oznczją odpowiednio pierwszą, drugą i trzecią z szuknych liczb, których sum jest równ 05, stąd b c 05 Z włsności ciągu geometrycznego otrzymujemy równnie b c Wyrzy ciągu rytmetycznego d n, to: d, d b, d c Korzystjąc z definicji ciągu rytmetycznego otrzymujemy d, b d 5r, c d 5r Stąd otrzymujemy ukłd równń 5r 5r 05 5r 5r Pierwsze równnie przeksztłcmy równowżnie i otrzymujemy 0r 05, 0r 5, Drugie równnie możemy zpisć w postci 5r 5r,

13 Egzmin mturlny z mtemtyki str formuł Rozwiązni zdń i schemt punktowni poziom rozszerzony 0r 5r 5r, 5r 5r 0, 5r 5r 0 Stąd wynik, że r 0 lub r 5 Gdy r 0, to 5, wtedy b 5 orz c 5 Ztem wtedy ciąg jest stły Gdy r 5 to 0 5 5, wtedy 5 orz r Ztem b 55 0, c Odpowiedź: Jest jedn trójk tkich liczb: 5, 0, 80 Schemt ocenini II sposobu rozwiązni Rozwiąznie, w którym postęp jest niewielki, le konieczny n drodze do pełnego rozwiązni p Zdjący zpisze równnie wynikjące z włsności ciągu geometrycznego,, lbo bc, np: zpisze liczby, b i c w zleżności od różnicy ciągu rytmetycznego d n d, b d 5r, c d 5r, np: b c Rozwiąznie, w którym jest istotny postęp p Zdjący zpisze równnie wynikjące z włsności ciągu geometrycznego bc,,, np: b c orz zpisze zleżności między liczbmi, b i c orz różnicy r ciągu rytmetycznego d n, np: d, b d 5r, c d 5r Uwg Jeżeli zdjący zpisze ukłd równń pozwljący obliczyć i r, np: i 5r 5r r r, to otrzymuje punkty Pokonnie zsdniczych trudności zdni 4 p Zdjący zpisze równnie kwdrtowe (nwet w postci nieuporządkownej) z jedną niewidomą, np: 5 5r 5 0r5 5r lbo równnie pozwljące wyznczyć r, np: lub r 5 i n tym zkończy 5r 5r 0 orz wywnioskuje, że r 0 Rozwiąznie zdni do końc, lecz z usterkmi, które jednk nie przekreślją poprwności rozwiązni (np błędy rchunkowe) 5 p Zdjący rozwiąże zdnie do końc i nie odrzuci przypdku ciągu stłego, czyli r 0 lbo rozwiąże zdnie do końc, le w trkcie rozwiązywni zdni popełni błędy rchunkowe Rozwiąznie pełne p Zdjący wyznczy szukną trójkę liczb: 5, 0, 80

14 Zdnie 8 ( pkt) Egzmin mturlny z mtemtyki str formuł Rozwiązni zdń i schemt punktowni poziom rozszerzony Punkt M 5, jest środkiem rmieni C trójkąt równormiennego AC, w którym AC C Podstw A tego trójkąt jest zwrt w prostej o równniu A,0 Oblicz współrzędne wierzchołk tego trójkąt I sposób rozwiązni Odcinek AM jest środkową trójkąt AC Niech S x, y trójkąt A y Z twierdzeni o środku ciężkości trójkąt wynik, że S D S S M AS 4 y x orz będzie środkiem ciężkości tego x AM, czyli xs, ys 5,, xs, ys,4, xs orz ys Stąd xs orz ys 4, czyli S,4 Poniewż trójkąt AC jest równormienny i A jest jego podstwą, więc prost zwierjąc środkową CS tego trójkąt jest jednocześnie symetrlną podstwy A Jej równnie m ztem postć 7 y x 4, y x Rozwiązując ukłd równń y x i y x obliczymy współrzędne środk D odcink A Porównując prwe strony równń tych prostych mmy x x, 0 0 x,

15 Egzmin mturlny z mtemtyki str formuł Rozwiązni zdń i schemt punktowni poziom rozszerzony x Ztem D, y, więc Współrzędne środk D odcink A są równe xa x ya y xd orz yd, więc x 0 y orz Stąd x 9 orz y 4, czyli 9,4 5 II sposób rozwiązni 0 9 Prost AM m równnie postci y x, czyli y x Środek ciężkości S xs, ys trójkąt AC leży n prostej AM, więc S xs, xs 4 4 i x S 5 Z twierdzeni o środku ciężkości trójkąt wynik, że AS AM Stąd s 4 x x 5 0 s 9 8 s, x x s 5 x s 00, 5 x 4 s 00, 9 x s, xs lub xs, 7 xs 8 lub xs Tylko drugie z tych rozwiązń spełni wrunek x S 5, więc xs, 7 Ztem S,,4 4 4 Poniewż trójkąt AC jest równormienny i A jest jego podstwą, więc prost zwierjąc środkową CS tego trójkąt jest jednocześnie symetrlną podstwy A Jej równnie m ztem postć 7 y x 4, y x

16 Egzmin mturlny z mtemtyki str formuł Rozwiązni zdń i schemt punktowni poziom rozszerzony Rozwiązując ukłd równń y x i y x obliczymy współrzędne środk D odcink A Porównując prwe strony równń tych prostych mmy x x, Ztem y, więc 0 0 x, x D, Współrzędne środk D odcink A są równe xa x ya y xd orz yd, więc x 0 y orz Stąd x 9 orz y 4, czyli 9,4 Schemt ocenini I i II sposobu rozwiązni Rozwiąznie, w którym postęp jest niewielki, le konieczny n drodze do pełnego rozwiązni p Zdjący zpisze równnie lub zleżność pozwljąc obliczyć współrzędne punktu S, przecięci środkowych trójkąt, np: AS AM lub AS AM Rozwiąznie, w którym jest istotny postęp p 7 Zdjący obliczy współrzędne środk ciężkości trójkąt AC: S,4 Pokonnie zsdniczych trudności zdni 4 p Zdjący zpisze ukłd równń pozwljący obliczyć współrzędne środk podstwy A trójkąt y x AC, np: y x Uwg Jeżeli zdjący zpisze równnie prostej zwierjącej wysokość trójkąt AC opuszczoną z wierzchołk C, to otrzymuje punkty Rozwiąznie zdni do końc, lecz z usterkmi, które jednk nie przekreślją poprwności rozwiązni (np błędy rchunkowe) 5 p Zdjący zpisze ukłd równń pozwljący obliczyć współrzędne wierzchołk : x 0 y orz lbo obliczy współrzędne wierzchołk z błedmi rchunkowymi Rozwiąznie pełne p Zdjący obliczy współrzędne wierzchołk : 9,4

17 Egzmin mturlny z mtemtyki str formuł Rozwiązni zdń i schemt punktowni poziom rozszerzony 7 III sposób rozwiązni Przyjmujemy oznczeni jk n rysunku C M A D E Długość środkowej AM jest równ AM Równnie prostej A możemy zpisć w postci xy 0 Długość odcink ME jest równ odległości punktu M od prostej A, więc 5 0 ME 0 Z twierdzeni Pitgors dl trójkąt AME otrzymujemy Stąd AE AM AE ME 0, czyli 0 AE 0 Punkt D jest środkiem boku A, gdyż trójkąt AC jest równormienny Poniewż M jest środkiem C, odcinki CD i ME są równoległe, więc punkt E jest środkiem odcink D 4 4 Ztem AE A Stąd wynik, że A AE Punkt x, y leży n prostej A, więc x, x, gdzie x 5 Poniewż A 4 0, więc stąd i ze wzoru n odległość między dwom punktmi otrzymujemy x x 4 0, 0, 9 0 x 0, 9 x x x 9, x lub x, x 9 lub x 5

18 Egzmin mturlny z mtemtyki str formuł Rozwiązni zdń i schemt punktowni poziom rozszerzony Tylko pierwsze z tych rozwiązń spełni wrunek x 5, więc x 9 Ztem 9, 9 9, 4 Schemt ocenini III sposobu rozwiązni Rozwiąznie, w którym postęp jest niewielki, le konieczny n drodze do pełnego rozwiązni p Zdjący obliczy długość środkowej AM: AM 0 lbo obliczy odległość punktu M od prostej A: ME 0 lbo zpisze, że punkt E jest środkiem odcink D Rozwiąznie, w którym jest istotny postęp p Zdjący obliczy długości odcinków AM i ME: AM 0, ME 0 lbo obliczy długość jednego z odcinków AM lub ME i zpisze, że punkt E jest środkiem D lbo obliczy długość jednego z odcinków AM lub ME i zpisze współrzędne punktu w zleżności od jednej zmiennej, np: x, x Pokonnie zsdniczych trudności zdni 4 p Zdjący zpisze równnie z jedną niewidomą współrzędną punktu, np: x x 4 0 Uwg Jeżeli zdjący obliczy długość boku A, to otrzymuje punkty Rozwiąznie zdni do końc, lecz z usterkmi, które jednk nie przekreślją poprwności rozwiązni (np błędy rchunkowe) 5 p Zdjący lbo zpisze równnie kwdrtowe z jedną niewidomą i n tym zkończy, np: 0 x 0 9 obliczy współrzędne punktu z błędmi rchunkowymi Rozwiąznie pełne p Zdjący obliczy współrzędne wierzchołk : 9,4 8

19 Zdnie 9 (5 pkt) Egzmin mturlny z mtemtyki str formuł Rozwiązni zdń i schemt punktowni poziom rozszerzony Dny jest sześcin ACDEFGH o krwędzi długości Punkt P jest środkiem krwędzi C Płszczyzn AHP przecin krwędź CG w punkcie R (zobcz rysunek) Oblicz pole przekroju tego sześcinu płszczyzną przechodzącą przez punkty A, H, R i P H G 9 E F R A D P C Rozwiąznie Niech R będzie punktem, w którym krwędź boczn CG sześcinu przebij płszczyznę APH szuknego przekroju H G E F R D C P A Poniewż płszczyzny ścin ADHE i CGF są równoległe, więc kżd płszczyzn, któr nie jest do nich równoległ przecin te płszczyzny wzdłuż dwóch prostych równoległych

20 0 Egzmin mturlny z mtemtyki str formuł Rozwiązni zdń i schemt punktowni poziom rozszerzony Wynik stąd, że przekrój APRH jest trpezem o podstwch AH i PR Poniewż odcinek G jest równoległy do AH, odcinek AH jest równoległy do PR, więc PR jest równoległy do G Stąd i z fktu, że P jest środkiem C wynik, że R jest środkiem CG To z kolei ozncz, wobec przystwni trójkątów AP i HGR, że trpez APRH jest równormienny, długość podstwy PR jest połową długości podstwy AH Z twierdzeni Pitgors dl trójkąt AP otrzymujemy AP A P 5 Stąd AP HR 5 Podstwy AH i PR mją długości AH, PR Nrysujmy trpez HAPR i jego wysokość RS opuszczoną z wierzchołk R R P h Poniewż jest to trpez równormienny, więc HS AH PR Z twierdzeni Pitgors dl trójkąt HSR otrzymujemy Stąd H HR h HS, h 5 9 h 5 5 Pole przekroju jest więc równe P APRH 9 Schemt punktowni Rozwiąznie, w którym postęp jest niewielki, le konieczny n drodze do pełnego rozwiązni p Zdjący zpisze, że przekrój jest trpezem lbo obliczy długość rmieni trpezu: AP 5 lbo obliczy długość krótszej podstwy trpezu: PR S Rozwiąznie, w którym jest istotny postęp p Zdjący obliczy długości boków trpezu: AH, PR, AP 5 A

21 Egzmin mturlny z mtemtyki str formuł Rozwiązni zdń i schemt punktowni poziom rozszerzony Pokonnie zsdniczych trudności zdni 4 p Zdjący obliczy długość wysokości trpezu: h Uwg Jeśli zdjący popełni błędy rchunkowe przy wyznczniu wysokości trpezu, to otrzymuje punkty Rozwiąznie pełne 5 p Zdjący obliczy pole przekroju: 9 Zdnie 0 (4 pkt) Wyzncz wszystkie wrtości prmetru m, dl których liczb jest jedynym cłkowitym W x mx x m 9 x m pierwistkiem wielominu Rozwiąznie Poniewż liczb jest pierwistkiem wielominu W, więc równnie Stąd wynik, że m 4 lub m Gdy 4 m m m 9 0, m m8 0, m m 4 0 W x 4x x 7x 4 m, to wielomin W m postć W 0 Otrzymujemy ztem Poniewż liczb jest pierwistkiem wielominu, ztem wielomin W jest podzielny przez dwumin x Wykonując to dzielenie, otrzymujemy Poniewż trójmin 4x x 4 4x x 7x 4 x 4x x 4 m współczynniki wymierne i różne od 0, jego wyróżnik nie jest kwdrtem liczby wymiernej, więc pierwistki tego 7 7 trójminu są liczbmi niewymiernymi ( x, x ) Ztem dl m 4 liczb 8 8 jest jedynym cłkowitym pierwistkiem wielominu W Gdy ntomist W x x x 5x Liczb jest pierwistkiem wielominu, m, to ztem wielomin W jest podzielny przez dwumin x Wykonując to dzielenie, otrzymujemy Obliczmy pierwistki trójminu x x : x x 5x x x x 4 9 5, 5, 5 5 x, x, 4 4

22 Egzmin mturlny z mtemtyki str formuł Rozwiązni zdń i schemt punktowni poziom rozszerzony Jeden z pozostłych pierwistków jest cłkowity, ztem dl m nie są spełnione wrunki zdni Uwg Te wrtości prmetru m, dl których liczb jest pierwistkiem wielominu W możemy też wyznczyć dzieląc wielomin W przez dwumin x, nstępnie otrzymną resztą przyrównując do zer Dzielenie możemy wykonć stosując np lgorytm Horner Reszt jest równ m m m 9 m m m m m 8 m m 8 m8 0 Ztem m 4m 0, więc m 4 lub m Schemt ocenini Rozwiąznie, w którym postęp jest niewielki, le konieczny n drodze do pełnego rozwiązni p Zdjący m m 9 m 0 zpisze równnie z niewidomą m, np lbo podzieli wielomin W przez dwumin x otrzym resztę z tego dzieleni równą m m 8 Rozwiąznie, w którym jest istotny postęp p Zdjący obliczy wrtości prmetru m: m 4 lub m Pokonnie zsdniczych trudności zdni p Zdjący podzieli wielominy: W x 4x x 7x 4 i W x x x 5x przez dwumin x i otrzym odpowiednio ilorzy: 4x x 4 orz x x, obliczy pozostłe pierwistki tych wielominów i n tym zkończy lub dlej popełni błędy lbo podzieli wielomin W x x x 5x x i otrzym ilorz przez dwumin x x, sprwdzi, że liczb jest pierwistkiem tego trójminu i nie odrzuci lbo prmetru m podzieli wielomin W x x x 5x przez dwumin x i otrzym ilorz x x, sprwdzi, że liczb jest pierwistkiem tego trójminu i nie odrzuci prmetru m Rozwiąznie pełne 4 p Zdjący wyznczy wszystkie wrtości prmetru m, dl których liczb jest jedynym cłkowitym pierwistkiem wielominu W: m 4

23 Egzmin mturlny z mtemtyki str formuł Rozwiązni zdń i schemt punktowni poziom rozszerzony Zdnie (4 pkt) Kżd z urn oznczonych liczbmi,, zwier po kule czrne i 4 biłe, kżd urn oznczon liczbmi 4, 5, zwier po czrne i biłe kule Rzucmy sześcienną kostką do gry, nstępnie z urny o numerze równym liczbie wyrzuconych oczek losujemy bez zwrcni kule Co jest brdziej prwdopodobne: wylosownie dwóch kul czrnych, czy dwóch kul biłych? Rozwiąznie Przyjmujemy oznczeni: n n, b wylosownie kuli biłej, c wylosownie kuli czrnej, zdrzenie polegjące n wylosowniu dwóch kul biłych, C zdrzenie polegjące n wylosowniu dwóch kul czrnych U urn, z której losujemy, gdzie,,, 4, 5, W pierwszej części doświdczeni rzucmy sześcienną kostką do gry Liczb oczek wyrzucon n kostce wskzuje numer urny, z której losujemy kule Prwdopodobieństwo wyboru urny do losowni jest jednkowe dl wszystkich sześciu urn i jest równe Rysujemy drzewo probbilistyczne dl pierwszego etpu doświdczeni, z określonymi prwdopodobieństwmi przy głęzich Jeśli n kostce wypdnie liczb oczek równ, lub, drzewo probbilistyczne, obrzujące drugą część doświdczeni, będzie wyglądło nstępująco: Ztem prwdopodobieństwo wylosowni dwóch kul biłych z urn U, U, U jest równe 4 P (,, ) 7 7 Ntomist prwdopodobieństwo wylosowni dwóch kul czrnych z urn U, U, U jest równe P (,, C) 7 4 Jeśli n kostce wypdnie liczb oczek równ 4, 5 lub, drzewo probbilistyczne, obrzujące drugą część doświdczeni, będzie wyglądło nstępująco:

24 Egzmin mturlny z mtemtyki str formuł Rozwiązni zdń i schemt punktowni poziom rozszerzony 4 Prwdopodobieństwo wylosowni dwóch kul biłych z urn U 4, U 5, U jest równe P ( 4,5, ) Ntomist prwdopodobieństwo wylosowni dwóch kul czrnych z urn U 4, U 5, U jest równe P ( 4,5, C) Ztem prwdopodobieństwo wylosowni dwóch kul biłych w tym doświdczeniu jest równe P ( ) P,, P4,5,, zś prwdopodobieństwo wylosowni dwóch kul czrnych jest równe 0 P ( C) P,,C P4,5, C Poniewż P( C) P( ), więc brdziej prwdopodobne w tym doświdczeniu jest wylosownie dwóch kul czrnych Schemt ocenini Rozwiąznie, w którym postęp jest niewielki, le konieczny n drodze do cłkowitego rozwiązni zdni p Zdjący lbo nrysuje drzewo probbilistyczne i zpisze prwdopodobieństw n głęzich i n tym zkończy lub dlej rozwiązuje błędnie zdjący nrysuje drzewo probbilistyczne, wskże istotne głęzie drzew i tylko n nich zpisze prwdopodobieństw, i n tym zkończy lub dlej rozwiązuje błędnie Uwg Ocenimy rozwiąznie n 0 punktów, gdy w dlszej części rozwiązni zdjący dod prwdopodobieństw wzdłuż głęzi zmist mnożyć lbo pomnoży otrzymne iloczyny zmist je dodć Rozwiąznie, w którym jest istotny postęp p Zdjący lbo lbo obliczy P ( C) lub 40 P ( ) obliczy P (,, ) i P 7 7 C) 7 (,, 4

25 obliczy Egzmin mturlny z mtemtyki str formuł Rozwiązni zdń i schemt punktowni poziom rozszerzony P ( 4,5, ) i P ( 4,5, C) Pokonnie zsdniczych trudności zdni p 7 Zdjący obliczy P( C) i P ( ) Rozwiąznie pełne 4 p Zdjący zpisze: P( C) P( ) i wskże brdziej prwdopodobne zdrzenie: wylosownie dwóch kul czrnych Uwgi Jeżeli zdjący rozwiąże zdnie do końc i otrzym P C 0 lub P C lub P 0 lub P, to otrzymuje z cłe zdnie 0 punktów Jeżeli zdjący popełni błąd rchunkowy podczs obliczni prwdopodobieństw i konsekwentnie do popełnionego błędu rozwiąże zdnie do końc, to otrzymuje punkty 5