8. Jednostajność. sin x sin y = 2 sin x y 2

Transkrypt

1 8. Jedostajość Mówimy, że fukcja f : I R spełia waruek Lipschitza ze stałą C > 0, jeśli fx) fy) C x y, x, y I. 8.. Przykład. a) Taką fukcją jest p. si : R [, ]. Rzeczywiście, si x si y = 2 si x y 2 cos x + y, 2 więc si x si y 2 si x y x y. 2 Stała Lipschitza wyosi C =. b) Niech teraz f : [, ) R będzie zadaa wzorem fx) = /x. Mamy fx) fy) = x = y x x y, y xy więc f jest także lipschitzowska ze stałą C = Twierdzeie. Fukcja f : I R spełiająca waruek Lipschitza jest ciągła w każdym pukcie. Dowód. Rzeczywiście, jeśli I x x 0 I, to fx ) fx 0 ) C x x 0 0, więc lim x x 0 fx) = fx 0 ). Niech będzie daa fukcja f : I R. Waruek Lipschitza moża wyrazić też tak: Istieje stała C > 0, taka że dla wszelkich x, y I, x y, fx) fy) x y C. Iymi słowy, fukcja lipschitzowska, to fukcja o ograiczoych ilorazach różicowych, a optymalą stałą Lipschitza jest fx) fy) C = sup. x y x y 8.3 Kryterium). Jeśli f : a, b) R ma ograiczoą pochodą, to spełia waruek Lipschitza. Są i ieróżiczkowale fukcje, które spełiają waruek Lipschitza Twierdzeie. Jeśli f : a, b) R jest wypukła, to spałia waruek Lipschitza a każdym przedziale [c, d] a, b). W szczególości, f jest ciągła a całym przedziale a, b). Dowód. Rzeczywiście, iech a < c < c i d < d < b. Skoro f jest wypukła, jej ilorazy różicowe są rosące, a zatem fc ) fc) fx) fy) fd ) fd) c c x y d d dla każdych x, y [c, d]. Widzimy więc, że f ma ograiczoe ilorazy różicowe.

2 2 Przypomijmy sobie, że fukcja f : I R jest ciągła, jeśli jest ciągła w każdym pukcie x I, czyli ) x I ε > 0 δ > 0 y I x y < δ = fx) fy) < ε. Mówimy, że f : I R jest jedostajie ciągła, jeśli ) ε > 0 δ > 0 x, y I x y < δ = fx) fy) < ε. Cóż ozacza to przestawieie kwatyfikatorów? Po pierwsze, jak widać, waruek jedostajej ciągłości jest siliejszy od waruku ciągłości. Zauważmy też, że istota jest zamiaa x δ a δ x, która mówi, że teraz δ jest iezależa od x, a więc wspóla dla wszystkich x I. Prześledźmy to a przykładzie Przykład. Fukcja fx) =, x 0, ), x jest przykładem fukcji ciągłej, ale ie jedostajie ciągłej. Rzeczywiście, kładąc x =, y = +, mamy x y = + ), i fx ) fy ) =, a więc fx ) fy ) = ε, choć x y 0. Jak widać, dla każdej δ > 0 i dostateczie dużych N, mamy x y < δ i fx ) fy ), co przeczy warukowi jedostajej ciągłości. Zatem 8.6. Każda fukcja jedostajie ciągła jest ciągła, ale istieją fukcje ciągłe, które ie są jedostajie ciągłe. Przytoczoy przykład sugeruje ową wersję defiicji, tym razem w duchu Heiego Fukcja f : I R jest jedostajie ciągła, jeśli dla dowolych ciągów {x }, {y } I, takich że x y 0, jest fx ) fy ) 0, Uwaga. Każda fukcja lipschitzowska f : I R jest jedostajie ciągła, co wyika wprost z oszacowaia fx ) fy ) C x y, x, y I Jeśli f : a, b) R ma ograiczoą pochodą, to jest jedostajie ciągła Twierdzeie. Fukcja ciągła a odciku domkiętym jest jedostajie ciągła. Dowód. Przypuśćmy ie wprost, że fukcja ciągła f : [a, b] R ie jest jedostajie ciągła. Istieje wtedy ε > 0 i istieją ciągi o wyrazach x, y [a, b], takie że x y 0, ale fx ) fy ) ε. Na mocy twierdzeia Bolzao-Weierstrassa z ciągu {y } możemy wybrać podciąg {y k } zbieży do pewego x 0 [a, b]. Oczywiście wtedy także x k x 0, więc wobec ciągłości fukcji f fx k ) fx 0 ), fy k ) fx 0 ), a to przeczy aszemu założeiu fx k ) fy k ) ε > 0.

3 3 Przechodzimy do kwestii zbieżości ciągów fukcyjych. Niech będzie day ciąg fukcji f : D R o wspólej dziedziie D. Mówimy, że ciąg te jest zbieży puktowo do fukcji f : D R, jeśli dla każdego x D f x) fx). W defiicji tej ie ma ic owego. Przypomijmy chociażby doskoale am zay wzór e x = który ozacza zbieżość puktową ciągu fukcji do fukcji fx) = e x. f x) = =0 x!, 8.. Przykład. Niech f x) = x + x, x > 0. Jak łatwo zauważyć, ciąg te jest zbieży puktowo do fukcji x k k! fx) = 2, x = ;, x >. 0, 0 < x < ; Dla fukcji f : D R iech f = sup fx). x D A oto zapowiedziaa defiicja jedostajej zbieżości. Ciąg fukcyjy f : D R jest zbieży jedostajie do f : D R, jeśli co zapisujemy za pomocą podwójej strzałki: ε>0 N N N f f < ε, f x) fx), x D Uwaga. Ciąg fukcyjy f : D R jest zbieży jedostajie wtedy i tylko wtedy, gdy spełia jedostajy waruek Cauchy ego: ε>0 N N,m N f f m < ε Uwaga. Jeśli f x) fx) a D, to dla każdego x D jest f x) fx). Zatem zbieżość jedostaja ozacza coś więcej iż zbieżość puktowa. 8.4 Kryterium). Ciąg f ie jest zbieży jedostajie do 0 wtedy i tylko wtedy, gdy istieje ciąg {x } D, taki że ciąg {f x )} ie jest zbieży do Przykład. Niech f x) = x dla 0 x <. Zauważmy, że lim x) = 0 dla każdego x z osoba, ale f = sup x [0,) x = dla każdego. Zatem ciąg {f } jest zbieży puktowo, ale ie jedostajie, do fukcji zerowej. Zauważmy jeszcze, że jeśli x =, to lim f x ) = lim ) = e 0.

4 Przykład. Niech teraz f x) = x x +, 0 x. Dla dowolego ε > 0 dobieramy N tak, by ε) N < ε. Wystarczy więc wziąć N > log ε log ε). Wtedy f x) = x x) < ε) < ε, 0 x ε), oraz f x) = x x) < x) < ε, ε < x, skąd f < ε dla N. Zatem f Przykład. Niech f x) = + x 2, x R. Te ciąg jest zbieży puktowo do fukcji zerowej, ale dla każdego N f = sup f x) =, x R więc ie ma mowy o zbieżości jedostajej. Rozważmy jedak ciąg zaday tym samym wzorem a miejszej dziedziie g x) =, x. + x2 Tutaj więc g 0. g = sup x + x 2 = +, 8.8. Twierdzeie. Graica f jedostajie zbieżego ciągu fukcji f a I jest ciągła w każdym pukcie x 0 I, w którym wszystkie fukcje f są ciągłe. Dowód. Przypuśćmy, że wszystkie fukcje f są ciągłe w x 0 i f f. Wtedy dla dowolego ε > 0 istieje N N, takie że f N f < ε. Fukcja f N jest ciągła w x 0, więc istieje δ > 0, taka że f N x) f N x 0 ) < ε dla x x 0 < δ. Zatem jeśli tylko x x 0 < δ. fx) fx 0 ) fx) f N x) + f N x) f N x 0 ) < f f N + ε < 2ε, Ozaczmy zbiór wszystkich fukcji ciągłych a odciku I R przez CI) Wiosek. Jeśli f C[a, b]) i f x) fx), to f C[a, b] Twierdzeie Dii). Jeśli mootoiczy ciąg fukcji ciągłych f a przedziale domkiętym [a, b] jest zbieży puktowo do fukcji ciągłej f, to jest zbieży jedostajie. Dowód. Przechodząc do ciągu g = f f, redukujemy zagadieie do sytuacji, gdy g są ciągłe, ieujeme i dążą mootoiczie do fukcji zerowej. Przypuśćmy, że te ciąg ie jest jedostajie zbieży. Wtedy istieją ε > 0 i ciąg [a, b] x k x 0, taki że g k x k ) ε dla odpowiediego podciągu fukcji. Ustalmy dowole m. Wtedy g m x 0 ) = lim k g mx k ) g k x k ) ε, dla k m, co stoi w sprzeczości ze zbieżością puktową g m x 0 ) 0.

5 5 Często dzieje się tak, że zbieżość jedostaja zachodzi ie a całej dziedziie określoości fukcji będących wyrazami ciągu lub szeregu, ale a każdym przedziale domkiętym zawartym w tej dziedziie. Wtedy mówimy, że ciąg czy też szereg jest zbieży iemal jedostajie Przykład. Rozważmy ciąg x x 0 i zdefiiujmy ciąg fukcji f t) = t x, t > 0. Nietrudo zauważyć, że dla t b zachodzi astępująca ierówość f t) f 0 t) eb b log b x x 0, skąd wosimy, że f f 0 a [a, b]. Ze względu a dowolość a i b ozacza to iemal jedostają bieżość a [, ). Podobie dla 0 < a t mamy f t) f 0 t) e log a x x 0, skąd wosimy, że f f iemal jedostajie a 0, ]. Podsumowując widzimy, że asz ciąg jest iemal jedostajie zbieży do f 0 a 0, ) Niech będzie day ciąg fukcji ciągłych f a przedziale I. Jeśli f jest zbieży iemal jedostajie do fukcji f, to f jest ciągła. Mówimy, że fukcja f : a, b) R jest różiczkowala w sposób ciągły, jeśli f jest różiczkowala i f jest ciągła a a, b) Twierdzeie. Niech będzie day ciąg fukcji f : a, b) R różiczkowalych w sposób ciągły. Jeśli f f i f g, to f jest fukcją róziczkowalą i f = g. Dowód. Zauważmy ajpierw, że fukcja g jako graica jedostajie zbieżego ciągu fukcji ciągłych jest ciągła. Niech x a, b). Niech ε > 0. Korzystając z twierdzeia Lagrage a, mamy f x + h) f x) gx) h = f x + θh) gx) f x + θh) gx + θh) + gx + θh) gx) < 2ε dla dostateczie dużych i dostateczie małych h, co wyika z jedostajej zbieżości ciągu f ) i ciągłości fukcji g. Przechodząc z do ieskończoości, otrzymujemy fx + h) fx) gx) h < 2ε dla dostateczie małych h, co dowodzi aszej tezy. Niech f : D R. Mówimy, że szereg fukcyjy f x) jest jedostajie zbieży a D, jeśli ciąg fukcyjy jego sum częściowych S x) = f kx) jest zbieży jedostajie a D Wiosek. Niech będzie day ciąg fukcji f : a, b) R różiczkowalych w sposób ciągły. Jeśli szereg fx) = f x) jest zbieży puktowo, a szereg gx) = f x) jedostajie, to fukcja f jest różiczkowala i f x) = gx) dla x a, b). Mówimy, że szereg fukcyjy o ieujemych wyrazach, taki że ma zbieżą liczbową majoratę, jeżeli istieje szereg liczbowy f x) a oraz a < Weierstrass). Niech f : D R. Jeśli szereg fukcyjy f x) ma zbieżą liczbową majoratę, to jest zbieży bezwględie jedostajie.

6 6 Dowód. Niech ε > 0 i iech Dla m > mamy S x) = S m x) S x) m f k x). k=+ f k x) m k=+ a < ε, dla dostateczie dużych i wszystkich x, co wyika ze zbieżości majoraty Szereg potęgowy jest zbieży iemal jedostajie w swoim otwartym przedziale zbieżości. Dowód. Zauważmy, że jeśli x [ ρ, ρ] r, r), gdzie r > 0 jest promieiem zbieżości szeregu, to a x a ρ, a ρ <, więc szereg =0 a, gdzie a = a ρ jest zbieżą liczbową majoratą Uwaga. Zauważmy, że wyrazy szeregu potęgowego są wielomiaami, a więc fukcjami ciągłymi. Otrzymujemy więc owy dowód ciągłości fukcji zadaej szeregiem potęgowym wewątrz przedziału jego zbieżości. Zae am kryteria Dirichleta i Abela dotyczące zbieżości szeregów maja swoje jedostaje odpowiediki Twierdzeie jedostaje kryterium Dirichleta). Jeżeli f k : I R jest mootoiczym ciągiem fukcyjym zbieżym jedostajie do zera, a ciąg sum częściowych ciągu fukcyjego g k : I R jest jedostajie ograiczoy, to szereg f kg k jest jedostajie zbieży. Dowód. Ciąg f k ) jako zbieży jedostajie jest jedostajie ograiczoy. Bez straty ogólości możemy więc przyjąć, że jest malejący i f k 0. Ozaczmy =0 G = g k, i iech G k C. Na mocy ierówości Abela f k x)g k x) = f k x)g k x) 2C f m. Jako że f m 0, asz wyjściowy szereg spełia jedostaje kryterium Cauchy ego, a więc jest jedostajie zbieży. Czytelik a pewo się zorietował, że G k x) = G k+ x) G k x) i ie ma ic wspólego z pochodą fukcji G k, która wcale ie musi być różiczkowala, ai awet ciągła Przykład. Niech {f k } będzie ciągiem fukcyjym jedostajie malejącym do zera i iech g k x) = si kx. Założmy, że oba ciągi są określoe a przedziale [δ, 2π δ], gdzie 0 < δ < π. Dla każdego g k x) si + 2 x si 2 x si 2 x si δ, 2

7 7 więc sumy częściowe ciągu {g k } są jedostajie ograiczoe. Na mocy twierdzeia Dirichleta szereg f k x) si kx jest więc jedostajie zbieży. W szczególości, szereg si kx k jest jedostajie zbieży dla δ x 2π δ. Zaiepokojoy Czytelik mógłby jedak zapytać, czy sumy g kx) ie są przypadkiem jedostajie ograiczoe dla wszystkich x [0, 2π]. Nasze ograiczeie do przedziału [δ, 2π δ] może przecież być rezultatem iedostateczie dobrego szacowaia. Tak jedak ie jest. Aby się o tym przekoać, podstawmy do aszej sumy wartości ciągu x = π/. Wtedy +)π si 2 si π/3 g k x ) = /π si π/2 si π/2 a więc lim sup 0 x π/2 g k x) =. Widać tu bardzo wyraźie, że jedostaja ograiczoość jest ograiczoością ze względu a dwie zmiee oraz x Twierdzeie jedostaje kryterium Abela). Jeżeli f k : I R jest jedostajie ograiczoym mootoiczym ciągiem fukcyjym, a ciąg sum częściowych ciągu fukcyjego g k : I R jest jedostajie zbieży, to szereg f kg k jest jedostajie zbieży. Dowód. Jak wyżej możemy przyjąć, że ciąg f k ) jest malejący, f k 0 i f k C. Ozaczmy G = g k, G = g k, H = G G. Jak widać, H 0 i G k = H k. Niech ε > 0. Na mocy ierówości Abela f k x)g k x) = f k x)h k x) 2C sup H k < ε k m k=m k=m dla dostateczie dużych m, bo H k 0. Nasz wyjściowy szereg spełia zatem jedostaje kryterium Cauchy ego, więc jest jedostajie zbieży. Wiemy, że fukcja różiczkowala w daym pukcie jest też w tym pukcie ciągła. Łatwo podać przykład fukcji ciągłej, ale ieróżiczkowalej w izolowaych puktach. Taką fukcją jest p. ux) = distx, Z). Jest to fukcja ciągła kawałkami liiowa) a całej prostej, ale ieróżiczkowala w puktach x = 2. Okazuje się, że istieją fukcje ciągłe, które ie mają igdzie pochodej. 8.3 va der Waerde). Niech u k x) = 4 k u4 k x) dla k N {0}. Fukcja zadaa szeregiem 8.32) fx) = u k x), x R,

8 8 jest ciągła. Nie jest jedak różiczkowala w żadym pukcie. To, że fukcja f zdefiiowaa szeregiem 8.32) jest ciągła wyika z istieia zbieżej majoraty liczbowej. Trudiej jest pokazać, że f ie jest igdzie różiczkowala i ie będziemy tego tu robić. Pierwszy przykład fukcji ciągłej i igdzie ie różiczkowalej pochodzi od Weierstrassa i jest dość skomplikoway. Przykład va der Waerdea korzysta z tego samego pomysłu, ale jest zaczie prostszy techiczie. Na cześć autora pomysłu skostruowaą wyżej fukcję azywa się czasem piłą Weierstrassa. Obecie rozważymy zagadieie jedostajego przybliżaia fukcji ciągłej wielomiaami. Widzieliśmy już cześiej, że każdą fukcję zdaą szeregiem potęgowym moża jedostajie aproksymować ciągiem wielomiów będących sumami częściowymi szeregu a każdym domkiętym odciku zawartym w otwartym przedziale zbieżości. Okazuje się, że moża udowodić zaczie więcej. Niech będzie daa fukcja f : [0, ] R. Aby udowodić astępe twierdzeie wprowadza się rodzię wielomiaów ściśle związaych z fukcją f: ) B x) = f k k )xk x) k, które azywamy wielomiaami Bersteia Przykład. Proste rachuki pokazują, że w przypadku, gdy f =, mamy Gdy fx) = x, otrzymujemy B x) =, N. B x) = x, N. Wreszcie dla fukcji kwadratowej fx) = x 2 wielomiaami Bersteia są B x) = x2 + x, N Twierdzeie Weierstrass). Każda fukcja ciągła a przedziale domkiętym [0, ] jest jedostają graicą ciągu wielomiaów. Dowód. Niech ε > 0. Poieważ f jest jedostajie ciągła, więc dla pewej δ > 0 k ) fx) f < ε, o ile k x < δ. Dla pozostałych k k 2 f x fx) f 2 f ) k )2 δ 2. Zatem fx) B x) = [ k fx) f x )] k x) k k ε + 2 f δ 2 ) ε + 2 f x k )2 δ 2 ) x k x) k x k ) 2x k x) k

9 9 Ale x k )2 x k x) k = x 2 2x 2 + x2 + x co dowodzi aszego twierdzeia. = x x), Uwaga. Twierdzeie Weierstrassa łatwo uogólia się a dowoly przedział [a, b]. Istotie, jeśli f C[a, b]), to x a ) ϕt) = fa + tb a)), fx) = ϕ, b a jest fukcją ciągłą a [0, ]. Niech B będzie ciągiem wielomiaów Bersteia fukcji ϕ. Wtedy x a ) β x) = B fx). b a Uważy Czytelik zauważył być może, że szereg twierdzeń iiejszego rozdziału ma charakter kryterium pozwalającego dokoać zamiay kolejości pewych przejść graiczych. Na zakończeie rozdziału postaramy się wyjaśić, dlaczego w tych twierdzeiach decydującą rolę odgrywa zbieżość jedostaja Twierdzeie zmiaa kolejości przejść graiczych). Niech dla każdego N istieje graica lim am, ) = A) m i dla każdego m N graica lim am, ) = Bm). Jeśli przyajmiej jeda z tych graic jest jedostaja względem iezwiązaego ideksu, to istieją obie graice iterowae i są sobie rówe: lim A) = lim Bm). m Dowód. Przypuśćmy, że am, ) Bm), gdy. Niech lim m Bm) = B. Wtedy dla ε > 0 istieje N N, takie że co po przejściu do graicy względem m daje am, ) Bm) ε, N, m N, A) B ε, N. Zatem ciąg lim A) = B, a oto właśie am chodziło Wiosek. Niech będzie day ciąg podwójy α m,. Jeżeli szeregi m=0 α m, i =0 α m, są zbieże i przyajmiej jede z ich jest zbieży jedostajie względem iezwiązaego ideksu, to α m, = α m,. m=0 =0 =0 m= Wiosek. Niech będzie daa fukcja f : a, b) c, d) R i iech x 0, y 0 ) [a, b] [c, d]. Jeśli istieją graice lim x x0 fx, y) i lim y y0 fx, y) i przyajmiej jeda z ich jest jedostaja względem iezwiązaej zmieej, to istieją obie graice iterowae i są sobie rówe: lim x x 0 lim fx, y) = lim lim fx, y). y y 0 x x 0 y y 0

10 0 Dowód. Zgodie z defiicją Heie go asze założeia ozaczają, że dla każdego ciągu x x 0 i każdego ciągu y m y 0 istieją graice lim fx, y m ) = ϕx ), lim fx, y m ) = ψy m ) m i jeda z tych graic jest jedostaja względem iezwiązaego ideksu. Zatem a mocy twierdzeia o zmiaie kolejości przejść graiczych lim ϕx ) = lim ψy m). m co wobec dowolości ciągów pociąga tezę Przykład. Niech będzie day szereg potęgowy fx) = a x, x < r, =0 gdzie r > 0 jest promieiem zbieżości. Ustalmy x 0 r, r). Niech x 0 < ρ < r. Jak wiemy, szereg f jest jedostajie zbieży a odciku [ ρ, ρ], więc lim a x = a x 0, x x 0 =0 co daje jeszcze jedo uzasadieie ciągłości szeregu potęgowego wewątrz przedziału zbieżości. =0

11 . Pokaż, że fukcje Zadaia [, ) x log x, [a, b] x x α, [, ) x + /x) x, gdzie α, są lipschitzowskie. 2. Pokaż, że dla każdego a R fukcja wykładicza, a] x e x R spełia waruek Lipschitza ze stałą C = e a. 3. Niech f : a, b) R bedzie wypukła. Udowodij, że a każdym przedziale [c, d] a, b) fukcja f spełia waruek Lipschitza. Wywioskuj stąd, że a) fukcja wypukła a przedziale otwartym jest ciągła, b) fukcja wypukła a przedziale domkiętym może mieć ieciągłości tylko a końcach przedziału. Podaj stosowy przykład. 4. Udowodij, że jeśli f : R [0, ) jest parzystą fukcją podaddytywą, to fx) fy) fx y), x, y R. 5. Pokaż, że fukcja x x α, gdzie 0 < α, jest lipschitzowska a przedziale [, ). 6. Rozważmy fukcję fx) = x α dla α >. Pokaż, że jest oa lipschitzowska a przedziale [0, ]. 7. Sprawdź, że fukcja x x x a przedziale 0, ) jest podaddytywa. 8. Ozaczmy przez dx) odległość liczby x R od ajbliższej liczby całkowitej. Pokaż, że dx) = mi{mx), m x)} oraz że x dx) spełia waruek Lipschitza ze stałą C =. 9. Przypomij dowód rówoważości defiicji ciągłości Cauchy ego i Heiego i zaadaptuj go do przypadku jedostajej ciągłości. 0. Oblicz log2 + x ) lim, x > 0.. Daa jest ciągła fukcjia f : R R. Pokaż, że f jest jedostajie ciągła wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdego ciągu x 0 ciąg fukcyjy f x) = fx + x) jest zbieży jedostajie do f. 2. Pokaż bezpośredio, ie korzystając z twierdzeia Weierstrassa, że fukcję x x moża aproksymować jedostajie wielomiaami a odciku [/2, 3/2]. W tym celu rozwiń tę fukcję w szereg Taylora wokół. 3. Niech f : a ɛ, b + ɛ) będzie fukcją różiczkowalą ) w sposób ciągły. Udowodij, że ciąg ilorazów różicowych f x) = fx + ) fx) jest zbieży jedostajie do f. 4. Zbadaj jedostają zbieżość ciągów fukcjyjych a) f x) = x x ) a [0, ], b) f x) = x a 0, ]. 5. Udowodij, że fukcje a) fx) = + x a R, b) gx) = e x a [0, ), c) hx) = x x si x a [0, ] są jedostajie ciągłe. 6. Udowodij, że fukcja f ciągła a R i mająca graice liczbowe w ± jest jedostajie ciągła. 7. Niech u u a I i iech v CI) będzie ograiczoa. Pokaż, że vu vu. 8. Określ obszar zbieżości bezwzględej i warukowej szeregów: x, 2 si x, 2 e x, x x, 32 2 x x). 9. Pokaż, że jeśli szereg Dirichleta jest zbieży dla pewego x = x 0, to jest zbieży jedostajie dla x x 0. a x

12 2 20. Określ obszar zbieżości szeregów Newtoa: x ), x ). p 2. Niech f : [a, b] R będzie dowolą fukcją. Niech f x) = [fx)]. Pokaż, że f dąży jedostajie do f a [a, b]. 22. Posługując się kryterium Weierstarassa, udowodij, że podae szeregi są jedostajie zbieże: ) x x R), x < x < ), x + 5 x 2 x R), 23. Wykaż, że fukcja fx) = si kx x 2 e x x 0). k jest ciągła i ma ciągła pochodą w R. 3 w obszarze x > 2 jest ciągła i ma ciągłą pochodą. 24. Wykaż, że fukcja fx) = si x x 25. Uzasadij jedostają zbieżość podaych szeregów przy pomocy kryteriów Abela i Dirichleta: oraz cos x 2 + x 2, si x + x, 0 < δ x 2π δ, ) + x), x 0. Dlaczego pierwsze dwa szeregi ie są zbieże jedostajie a całym przedziale [0, 2π]? Podstaw x = /. 26. Niech f x) = + x2. Pokaż, że ciągi fukcyje {f } i {f } są zbieże puktowo, ale ieprawdą jest, że ) lim f x) = lim f x), x R. 27. Udowodij, że szereg x +x jest jedostajie zbieży w każdym przedziale [ η, η], 2 gdzie 0 < η <, ale ie w, ). 28. Określ obszar zbieżości szeregów: 2 si x, 3 si 4 x, xe x, + x, x + x, 2 + x + 3 x. log x + 2), 29. Udowodij, że podae iżej szeregi są jedostajie zbieże: si x 2 + x 2 x R), log + x) x x 2), e x x R), 2 x 2 e 2 x x R). 30. Pokaż, że fukcja fx) = log+kx) ma pochode wszystkich rzędów. kx k 3. Pokaż, że ciąg ϕ x) = + x x ) e 2x jest zbieży mootoiczie i jedostajie.

13 32. Pokaż, że si x si 2 x dla każdego x R i każdego N. 33. Udowodij, że podae szeregi są jedostajie zbieże a R: si x + x 2, ) si x ) si x + x 2, + x + x 4 ) e 2x. 34. Pokaż, że szereg ) 35. Wykaż, że szereg fukcję ciągłą a e x x si 2 x) 2, e ). jest zbieży jedostajie a [, ). si x si 2 x + x 2. defiiuje fukcję ciągłą a R, a szereg log + x) 3