Kwantyzacja skalarna i wektorowa. Metody zaawansowane
|
|
- Witold Wrona
- 6 lat temu
- Przeglądów:
Transkrypt
1 Kwntyzcj sklrn i wektorow. Metody zwnsowne
2 Pojęcie kwntyzcji Rys.. Podził zkresu dopuszczlnych wrtości zmiennej x n 8 przedziłów kwntyzcji określonych przez grnice decyzyjne b (9 grnic decyzyjnych) orz poziomy rekonstrukcji y. b M k Numery przedziłów kwntyzcji Kwntyzcj jest procesem redukcji zbioru możliwych wrtości jkie może przyjmowć zmienn reprezentując kwntyzowne źródło. W szczególności kwntyzcj może polegć n proksymcji zmiennej ciągłej przez zmienną dyskretną przyjmującą wrtości ze skończonego zbioru dopuszczlnych wrtości. Projektownie ukłdu kwntyztor poleg n określeniu sposobu podziłu przedziłu dopuszczlnych wrtości kwntyzownej zmiennej n określoną liczbę przedziłów kwntyzcji orz wyznczeniu w kżdym z tkich przedziłów wrtości reprezentującej dny przedził. Wrtości reprezentujące przedziły nzywne są poziommi rekonstrukcji. Przedziły kwntyzcji schrkteryzowne są przez tzw. grnice decyzyjne. Dziłnie kwntyztor sprowdz się do mpowni wrtości pojwijącej się n wejściu n określony poziom rekonstrukcji: Wejście kwntyztor, x c Rys.. Schemt prcy kwntyztor. Zkceptowny przedził kwntyzcji Kody przedziłów gdzie Q ozncz dziłnie kwntyztor, x jest jego wejściem, ntomist y i jest poziomem rekonstrukcji przedziłu kwntyzcji wyznczonego przez grnice decyzyjne b i- orz b i. Kwntyzcj jest podstwową techniką metod kompresji strtnej. Jest odwzorowniem typu wiele do jednego, przez to wprowdz nieodwrclną utrtę informcji. Metody kwntyzcji różnią się sposobem podziłu zbioru dopuszczlnych wrtości orz sposobem wyznczeni poziomów rekonstrukcji w dnym przedzile.
3 Kwntyzcj: postwienie problemu Zgdnienie kwntyzcji dnych obrzowych: dny jest przedził zmienności [,L-] funkcji obrzu (np. poziomy jsności). Podny przedził nleży podzielić n podprzedziły kwntyzcji w tki sposób, by zminimlizowć błąd kwntyzcji orz średnią bitową. Zgodnie z powyższym ogólnym sformułowniem problemu kwntyzcji grnice decyzyjne orz poziomy rekonstrukcji powinny być wybrne w tki sposób, by zminimlizowć znieksztłceni pojwijące się w obrzie wynikowym (po kwntyzcji). Jko mirę znieksztłceni możn przyjąć średniokwdrtowy błąd kwntyzcji MSQE, który dl zmiennej f(x) proksymującej funkcję obrzu opisny jest równniem: Biorąc pod uwgę, że wyjście kwntyztor jest dyskretne orz zleżne od wrtości x podnej n wejściu, powyższe równnie możn przepisć w równowżnej postci: W przypdku kodowni wyjść kwntyztor przy użyciu kodów stłej długości średni bitow jest zleżn od liczby możliwych wyjść kwntyztor: liczby przedziłów kwntyzcji. Zleżność tk pokzuje, że w tym przypdku jednoczesn minimlizcj dwóch wymienionych wielkości nie jest możliw (sprzeczność). Kwntyztory minimlizujące średniokwdrtowy błąd kwntyzcji nzywne są kwntyztormi optymlnymi.
4 Kwntyzcj równomiern b c Njprostszą metodą kwntyzcji jest kwntyzcj równomiern sprowdzjąc się do równomiernego podziłu przedziłu zmienności nlizownej wielkości. Niech przedziłem zmienności wielkości wejściowej jest przedził [,L-] orz niech M określ zdną liczbę przedziłów kwntyzcji. W tkim przypdku zdny przedził [,L-] powinien być podzielony n M równych podprzedziłów, przy czym ich szerokość określon jest przez stosunek: W njprostszym przypdku, kwntyzcj równomiern może być relizown zgodnie z równniem: Rys.. Przykłd kwntyzcji równomiernej dl obrzu wejściowego przedstwionego w postci mcierzy n rysunku (). Rysunku (b) i (c) przedstwiją wynik kwntyzcji odpowiednio do M= orz M=8 przedziłów kwntyzcji, zgodnie z równniem podnym obok. Kwntyzcj do M= poziomów wprowdz oczywiście większe znieksztłcenie niż kwntyzcj do większej liczby poziomów. Kolorem czerwonym zznczon jest wrtość piksel w obrzie wejściowym orz w obrzie po kwntyzcji.
5 Przykłd: kwntyzcj równomiern dl źródł o rozkłdzie jednostjnym Jko przykłd rozptrzymy kwntyzcję równomierną do M poziomów dl źródł o rozkłdzie równomiernym (obrzy o płskim histogrmie). Niech przedziłem zmienności wrtości pikseli jest przedził [,L-] i kżd wrtość nie jest reprezentown w obrzie z częstością /L (zgodnie z złożeniem równomierności). W tkim przypdku długość kroku kwntyzcji wynosi: =L/M. Grnice decyzyjne: Poziomy rekonstrukcji: Błąd średniokwdrtowy kwntyzcji w tkim przypdku jest równy:
6 Kwntyzcj równomiern - przykłdy b MSE=7.67 c MSE=.9 d MSE=8.5 e MSE=.67 f MSE=7.9 Rys.. Ilustrcj procesu kwntyzcji spreprownego obrzu cyfrowego przedstwionego n rysunku (). Rysunki (b)- (f) przedstwiją wynik kwntyzcji do odpowiednio, 6, 8, orz poziomów kwntyzcji. Zmniejszjąc się liczb przedziłów (rosnąc długość kroku kwntyzcji) ujwni stopniowo corz brdziej widoczne znieksztłceni konturowe, szczególnie dobrze zznczone w obszrze testowym.
7 Binryzcj (płszczyzny bitowe) Płszczyzn b 7 (njstrszy bit) c d e Płszczyzn b (njmłodszy bit) b f g h Rys. Podził obrzu cyfrowego n płszczyzny bitowe: ) schemt podziłu, b) obrz oryginlny poddwny podziłowi, (c) płszczyzn 7 (bit njbrdziej znczący wrtości pikseli); (d) płszczyzn 6; (e) płszczyzn 5; (f) płszczyzn wrtości pikseli zostły wzmocnione x6; (g) płszczyzn wzmocnienie x; (h) płszczyzn wzmocnienie x6; (i) płszczyzn wzmocnienie x8; (j) płszczyzn (bit njmniej znczący) wzmocnienie x56; (k) obrz powstły przez zsumownie płszczyzn 7, 6, 5. i j k
8 Kwntyzcj dptcyjn Jednym ze sposobów n zmniejszenie znieksztłceń wprowdznych przez kwntyzcję równomierną jest dostosowywnie (dptcj) prmetrów kwntyztor do loklnej chrkterystyki obrzu. W kwntyzcji dptcyjnej obrz dzielony jest n bloki. Prmetry kwntyztor (grnice decyzyjne, poziomy rekonstrukcji, liczb przedziłów kwntyzcji) ustlne są dl kżdego bloku niezleżnie. Wdą tkiego rozwiązni jest konieczność dołączeni prmetrów kwntyzcji do strumieni bitowego, co powoduje wzrost objętości dnych po zkodowniu, tym smym zmniejszenie stopni kompresji w stosunku do rozwiązń trdycyjnych. Wyjście kżdego kwntyztor może być dodtkowo kodowne dl zwiększeni stopni kompresji. Cechą kwntyztor dptcyjnego jest mniejsz podtność n kompresję RLE niż kwntyztorów prcujących w schemcie kwntyzcji globlnej (trdycyjnej). Dlczego?
9 Kwntyzcj dptcyjn. Przykłd d MSE=7., bitrte=. b MSE=8., bitrte=.5 e MSE=.7, bitrte=. c MSE=.7, bitrte=.5 Rys. Rysunek () przedstwi obrz oryginlny (nie poddny kwntyzcji). N rysunkch (b) i (c) przedstwiony jest wynik kwntyzcji dptcyjnej do odpowiednio orz poziomów (odpowiednio orz bity n piksel). W tym przypdku obrz jest dzielony n rozdzielne bloki 8x8 pikseli. W kżdym bloku wyznczny jest zkres poziomów jsności, nstępnie zkres ten jest dzielony n zdną liczbę przedziłów kwntyzcji, zgodnie z regułą kwntyzcji równomiernej przedstwionej n poprzednich stronch. W tym przypdku, do kżdych 6 pikseli dołączn jest informcj dodtkow w postci minimlnej orz mksymlnej wrtości w bloku, co jest konieczne do poprwnego zdekodowni strumieni dnych. Wiąże się to ze wzrostem średniej bitowej z bit n piksel do.5 bit n piksel w przypdku (b) orz bitów n piksel do.5 bitów n piksel dl przypdku (c). Dl porównni, n rysunkch (d) i (e) przedstwiony jest wynik globlnej kwntyzcji równomiernej do odpowiednio orz poziomów.
10 Kwntyzcj blokow BTC (block trunction coding) Innym przykłdem metod kwntyzcji dptcyjnej wymgjącej wstępnego podziłu obrzu n bloki i niezleżnego przetwrzni tkich bloków jest metod dwupoziomowej kwntyzcji blokowej BTC. Ide metody BTC sprowdz się do dwupoziomowej kwntyzcji (binryzcj, kwntyztor dwupoziomowy, jednobitowy) obrzu w poszczególnych blokch tk, by zchowć sttystykę obrzu. W njprostszym przypdku sprowdz się to do zchowni średniej orz wrincji wrtości pikseli w dnym bloku obrzu. Wyznczmy prmetry kwntyzcji BTC zkłdjąc, że wrtości obrzu w bloku progowne są n podstwie wrtości średniej wyznczonej w bloku nxn pikseli, N=nxn. Średni wrtość pikseli w bloku orz średni kwdrtów wrtości pikseli w bloku przed kwntyzcją określone są równnimi: Poniewż metod kwntyzcji BTC w podstwowej wersji sprowdz się do binryzcji obrzu w bloku, to po wykonniu kwntyzcji w bloku występowć będą tylko dwie wrtości: wrtości reprezentntów dwóch przedziłów kwntyzcji. Niech wrtości te oznczone są jko y orz y. Przyjmijmy też, że liczby pikseli skwntownych do wrtości odpowiednio y orz y są równe: n orz n. Wówczs średni orz średni kwdrtów w bloku po kwntyzcji są równe: Przyrównując prwe strony powyższych równń otrzymuje się równni określjące wrtości poziomów rekonstrukcji wykorzystywnych w metodzie BTC: gdzie
11 Kwntyzcj blokow BTC Możliwe jest wykorzystnie innych metod określni wrtości poziomów rekonstrukcji niż przedstwion n poprzedniej stronie. Jedną z nich jest minimlizcj błędu średniokwdrtowego kwntyzcji: Wrunkiem koniecznym minimlizcji powyższego błędu, jk łtwo wykzć w bezpośrednim rchunku, jest: Stopień kompresji uzysknej przy użyciu metody kwntyzcji BTC możn opisć prostym równniem: gdzie n jest rozmirem bloku (liczbą pikseli w bloku) ntomist b określ liczbę bitów koniecznych do reprezentcji pojedynczego piksel w obrzie oryginlnym. Cechą chrkterystyczną jest nsycnie się wrtości stopni kompresji do wrtości b orz wzrost stopni kompresji przy ustlonym rozmirze okn wrz ze wzrostem średniej bitowej w obrzie oryginlnym. Rozmir bloku Stopień kompresji Rozmir bloku Stopień kompresji x x x8 6. 6x x Rys.. Zleżność stopni kompresji przy użyciu kwntyzcji BTC od rozmiru bloku.
12 Kwntyzcj blokow BTC. Przykłd y = y = treshold= kodownie dekodownie (dekompresj) Rys.. Prezentcj schemtu prcy lgorytmu BTC kwntyzcji obrzu: ) mcierz reprezentując blok x obrzu; b) segmenty bloku o wrtościch powyżej i poniżej wrtości progowej (tu: wrtość średni w bloku); c) mp bitow po kwntyzcji i kodowniu; d) reprezentcj bloku po dekompresji. Obrz oryginlny Kwntyzcj BTC Rys.. Przykłdowy obrz wejściowy i wyjściowy.
13 Kwntyzcj blokow BTC przykłd / b MSE=76.9 c MSE=.7 d MSE=.68 e MSE=.68 Rys. Przykłd kwntyzcji metodą BTC (z zchownie sttystyki w blokch). N rysunku () przedstwiony jest obrz oryginlny. Rysunki (b)- (e) przedstwiją wynik kwntyzcji z blokiem rozmiru odpowiednio 8x8, 6x6, x orz x pikseli. Widoczn jest degrdcj jkości obrzu towrzysząc wzrostowi rozmiru bloku. N rysunku (e) brdzo wyrźny jest efekt postrzępieni krwędzi n grnicy bloków. Efekt blokowni (blokowy) możn zmniejszyć stosując szereg metod: dithering, zmin ksztłtu okn (np. w postci krzyż), losownie położeni okn, etc.
14 Kwntyzcj blokow BTC przykłd / Obrz oryginlny Obrz kwntyzowny, BTC x Obrz kwntyzowny, BTC 8x8 b c d Obrz kwntyzowny, BTC 6 x6 Obrz kwntyzowny, BTC x e Kwntyzcj BTC: Zlety: zchownie ostrych krwędzi obrzu; szybkość i mł złożoność obliczeniow (wersj podstwow BTC), względnie duże wrtości stopni kompresji przy niewielkim poziomie znieksztłceni. W prktyce lgorytmy kompresji BTC nleżą do njbrdziej efektywnych w grupie lgorytmów gwrntujących średnią bitową n poziomie - bit n piksel. Istnieje wiele wricji opisnego lgorytmu BTC dodtkowo zwiększjących jego efektywność. Rys. Przykłd kwntyzcji obrzu kolorowego (RGB) metodą BTC (kżd skłdow kwntyzown niezleżnie). Wdy: efekt blokowni widoczne krwędzie poszczególnych bloków obrzu; strzępienie krwędzi obiektów obrzu.
15 Modyfikcje podstwowej wersji metody BTC Oprcownych zostło brdzo wiele modyfikcji podstwowej wersji blokowej kwntyzcji dwupoziomowej BTC. Jedną z metod jest metod wykorzystując korelcje pomiędzy sąsiednimi pikselmi bloku w którym wykonywn jest kwntyzcj. Istnienie korelcji pozwl przewidywć (interpolowć) wrtości niektórych pikseli n podstwie wrtości pikseli sąsiednich. Tym smym kodownie informcji o kżdym pikseli bloku może być ndmirowe. Jednym z rozwiązń wykorzystujących powyższą obserwcję jest technik zgodnie z którą kodownych jest połow pikseli bloku (zznczone kolorem zielonym n rysunku ()). N ich podstwie dekoder ustl wrtości brkujących pikseli, których wrtości nie zostły zkodowne w strumieniu. Interpolcj przebieg według poniższych reguł: - piksele B, E, L, O otrzymują wrtość wtedy i tylko wtedy, gdy co njmniej dw piksele z ich bezpośredniego sąsiedztw mją wrtość równą. Bezpośrednie sąsiedztwo wymienionych pikseli stnowią odpowiednio: {A,C,F}, {A,F,I}, {H,K,P} orz {N,K,P}. - D=C orz M=N - piksele G orz J otrzymują wrtość wtedy i tylko wtedy gdy co njmniej dw piksele z ich bezpośredniego sąsiedztw mją wrtość równą. Bezpośrednimi sąsidmi pikseli G orz J są odpowiednio piksele {C,F,H,K} orz {F,K,N,I}. A B C D MSE=.8 b c MSE=56. E F G H I J K L M N O P Rys. () - Mp bitow x piksele (wyjśnienie w tekście powyżej). Rysunki (b) i (c) przedstwiją wyniki kwntyzcji BTC w wersji odpowiednio: podstwowej orz wykorzystującej korelcje przestrzenne. Stopień kompresji dwóch metod wynosi odpowiednio:. orz 5..
16 Korekcj obrzu skwntyzownego. Dithering losowy Główną metodą korekcji obrzu skwntyzownego jest rozstrząsnie popełnionego błędu systemtycznego - dithering. Istnieją trzy podstwowe odminy tej techniki: dithering losowy lub pseudolosowy dithering systemtyczny dyfuzj błędu Dithering pseudolosowy poleg n dodniu do wrtości kżdego piksel obrzu oryginlnego liczby pochodzącej ze zbioru ustlonego n podstwie szerokości przedziłu kwntyzcji. Dopiero tk zmodyfikowny obrz poddwny jest włściwej kwntyzcji. Wrtość liczb tkiego zbioru zleżn jest od szerokości podprzedziłów kwntyzcji, Δ. Przykłdowymi zbiormi mogą być zbiory: D={-Δ/, -Δ/8,, Δ/8, Δ/} lub D={-Δ/8, -Δ/6, -Δ/,, Δ/, Δ/6, Δ/8}. Kontury obrzu zostją rozmyte n skutek dyfuzji pikseli pomiędzy obszrmi wrtości nleżącymi w oryginlnym obrzie do różnych podprzedziłów kwntyzcji.
17 Dithering losowy. Przykłd b c d Rys. Przykłd ditheringu pseudolosowego: ) obrz wyjściowy (bez ditheringu); (b) obrz powstły po przeprowdzeniu kwntyzcji równomiernej do poziomów; c) dithering przy użyciu zbioru D; d) dithering przy użyciu zbioru D. W przypdku (d) widoczne jest zmniejszenie promieni penetrcji pikseli do obszrów sąsiednich. W tym przypdku wykonn zostł kwntyzcj równomiern do czterech poziomów (kwntyztor z wyjściem dwubitowym).
18 Dithering systemtyczny Dithering systemtyczny sprowdz się do sumowni obrzu wejściowego z obrzem korygującym (tzw. sitk mikrowzorów, mcierz ditheringu). Systemtyczność metody poleg n korekcji bloków pikseli o rozmirze odpowidjącym wymirowi mcierzy korekcji. Korekcje pomiędzy pikselmi w bloku są ze sobą skorelowne, np. sum elementów mcierzowych jest zerow. Przykłdow mcierz może mieć postć: b W przypdku, gdy opercj wyprowdz wrtość piksel poz przedził [,L-], wrtości są obcinne do tego przedziłu. Rys. Przykłd ditheringu systemtycznego wykonnego przy użyciu mcierzy D przedstwionej wyżej.
19 Algorytm Floyd-Steinberg dyfuzji błędu (976) Metod dyfuzji błędu poleg n korekcji wrtości pikseli obrzu w zleżności od popełninego błędu kwntyzcji (!). Dziłnie poprzednich metod opier się n korekcji wrtości piksel liczbmi wybrnymi rbitrlnie, nie n podstwie błędu kwntyzcji. Popełniony błąd kwntyzcji, obliczny w kżdym kroku lgorytmu, jest dystrybuowny pomiędzy sąsiednimi pikselmi, które nie zostły jeszcze przetworzone (poddne kwntyzcji). Algorytm Floyd-Steinberg dyfuzji błędu kwntyzcji:. przygotuj obrz wejściowy (img) orz inicjlizuj obrz rekonstrukcji (imgq). Ustl grnice decyzyjne i poziomy rekonstrukcji. Rozpocznij przeglądnie cłego obrzu.. wybierz nowy piksel obrzu i porównj jego wrtość z progiem. Przydziel mu odpowiedniego reprezentnt.. wyzncz błąd kwntyzcji. przeprowdź dystrybucję błędu pomiędzy sąsidów piksel bieżącego 5. jeśli istnieją nieprzejrzne piksele, to przejdź do punktu, w przeciwnym przypdku ztrzymj lgorytm. Algorytm Floyd-Steinberg posid cechę przyczynowości, której pozbwione są dwie metody omówione wcześniej. b for i= to n for j= to m imgq[i,j]=(img[i,j] < 8)? : ; err=img[i,j] - imgq[i,j]*55; img[i+,j]+=err*(7/6); img[i-,j+]+=err*(/6); img[i,j+]+=err*(5/6); img[i+,j+]+=err*(/6); end for; end for; Rys. () schemt dystrybucji błędu kwntyzcji dl lgorytmu Floyd-Steinberg; (b) listing lgorytmu.
20 Algorytm Floyd-Steinberg dyfuzji błędu. Przykłd =, bitrte= b =, bitrte= c =, bitrte= d =, bitrte= e =8, bitrte= f =8, bitrte= Rys.. Porównnie wyników kwntyzcji równomiernej bez niwelowni błędu kwntyzcji (rysunki, c, e) orz kwntyzcji z dyfuzją błędu Floyd- Steinberg (rysunki b, d, f).
21 Modyfikcje lgorytmu Floyd-Steinberg b Dyfuzj błędów może powodowć pojwienie się znieksztłceń w postci geometrycznych wzorów (worms). Zproponowno wiele modyfikcji podstwowego lgorytmu dyfuzji. Modyfikcje sprowdzją się do zminy schemtu dystrybucji błędu orz zwiększeni liczby sąsidów wśród których błąd jest dystrybuowny. W drugim przypdku, wzrst koszt wykonywnych obliczeń. Rys.. Przykłd błędów (mikrowzorów) generownych przez lgorytmy dyfuzji błędu (w silnym pomniejszeniu). b b Rys.. Przykłd dyfuzji błędu w powiększeniu: ) wynik rzeczywisty; b) przypdek idelny. Rys.. Schemt dyfuzji błędu wg ) Jrvis, Judice nd Ninke (976); b) Stucki (995).
22 Kwntyzcj nierównomiern b MSE=6. c Histogrm ceznne.tif W przypdku obrzów o histogrmch nierównomiernych, kwntyzcj równomiern jest mło efektywn. Istnieje lepsze rozwiąznie: kwntyzcj nierównomiern. Kwntyzcj nierównomiern: przedziły kwntyzcji nie muszą mieć i njczęściej nie mją - jednkowej długości. Obszry większego prwdopodobieństw (większych wrtości histogrmu) otrzymują wyższą wgę i są dzielone przedziłmi o mniejszym kroku. Jednocześnie obszry mniejszego prwdopodobieństw (młe wrtości histogrmu) dzielone są przedziłmi o większej długości. Kwntyzcj nierównomiern uwzględni rozkłd prwdopodobieństw dnych wejściowych. Podził n przedziły kwntyzcji powinien być wykonny w tki sposób, by poziomy rekonstrukcji poszczególnych przedziłów reprezentowły w przybliżeniu identyczną liczbę pikseli. MSE=..% pikseli MSE=7.6 8% pikseli Rys. Przykłd kwntyzcji równomiernej obrzu o nierównomiernym histogrmie. () - obrz oryginlny; (b) - wynik kwntyzcji równomiernej z krokiem Δ=6 wrz z nniesionym globlnym błędem MSE kwntyzcji; (c) histogrm obrzu oryginlnego z zznczonymi przedziłmi i poziommi kwntyzcji, błędem kwntyzcji orz udziłem pikseli w dwóch wybrnych przedziłch.
23 Kwntyzcj nierównomiern pdf-optymlizown Zgdnienie kwntyzcji nierównomiernej w przypdku, gdy znny jest rozkłd prwdopodobieństw dnych: wyznczyć podził pierwotnego przedziłu [,L) n M nowych przedziłów kwntyzcji z pomocą M+ grnic decyzyjnych {b i } i= M+ wrz z M poziommi rekonstrukcji, {y i } i=m tk, by zminimlizowć błąd kwntyzcji MSE q : Teoretyczne rozwiąznie tkiego zgdnieni uzyskuje się przez różniczkownie wyrżeni n MSE q względem prmetrów kwntyzcji grnic decyzyjnych i poziomów rekonstrukcji. W efekcie, otrzymujemy Twierdzenie o wrunkch optymlnej kwntyzcji Lloyd-Mx. Przedziły i reprezentnci optymlnej kwntyzcji spełniją nstępujące wrunki: Komentrz: powyższe równni są wzjemnie sprzężone, tzn. do wyznczeni poziomów rekonstrukcji wymgn jest znjomość grnic decyzyjnych, dl których z kolei wymg się znjomości poziomów rekonstrukcji. Równni tkie rozwiązuje się metodmi itercyjnymi, strtując od zdnego ustwieni początkowego (podził inicjlny) i stopniowo poszukując rozwiązń zmniejszjących błąd kwntyzcji. Rys. Funkcj rozkłdu prwdopodobieństw z zznczonymi grnicmi decyzyjnymi orz centroidmi przedziłów (czerwone kropki).
24 Kwntyzcj nierównomiern. Kwntyzcj Lloyd-Mx. Algorytm Lloyd-Mx:. Przyjęcie b =min(dne) orz b M =mx(dne); ustlenie progu tolerncji (wrunku ztrzymni lgorytmu); wybór wrtości y.. Dl i=..(m -) () n podstwie znjomości y i orz korzystjąc z równni () wyznczmy wrtość b i ; (b) znjąc wrtości b i orz y i orz korzystjąc z () wyznczmy wrtość y i+ : y i+ =b i -y i ; Proces ten jest kontynuowny ż do wyznczeni wrtości {y,,y M } orz {b,,b M- }. Obliczenie y =y M n podstwie równni (). Wyznczenie różnicy y orz y M uzysknego n wyjściu itercji M-. W przypdku, gdy różnic y M -y jest mniejsz od przyjętego progu - lgorytm jest ztrzymywny.. W przeciwnym wypdku wrtość y jest korygown n podstwie znku różnicy wyznczonej w punkcie i nstępuje przejście do kroku..5 y b y b Gdy wrunek ztrzymni lgorytmu nie jest spełniony () () y M- b M- Kwntyzcj nieró wnomiern opt. y M..5 Rys.. Schemt wyznczni prmetrów kwntyzcji przez lgorytm Lloyd-Mx...5 Rys.. Przykłd optymlnego podziłu zkresu wejści dl rozkłdu przybliżonego przez rozkłd normlny
25 Amplitud zmiennej Kwntyzcj wektorow Kwntyzcj wektorow jest uogólnieniem kwntyzcji sklrnej. W tkim przypdku wielowymirowe przestrzenie (np. trójwymirow przestrzeń RGB) są dzielone n obszry decyzyjne (przedziły kwntyzcji), nstępnie w kżdym z tkich obszrów wyznczny jest jego reprezentnt (poziom rekonstrukcji). 5 5 b komórk/ klster R wzorzec/ reprezentnt Y funkcj rozkłdu Amplitud zmiennej Rys. () histogrm dwuwymirowy przykłdowego obrzu cyfrowego (skłdowe R orz G). Przykłd pokzuje korelcje pomiędzy skłdowymi brwy. (b) - przykłd podziłu dwuwymirowej przestrzeni dnych n klstry grupujące się wokół swoich wzorców wektorów kodowych. Rysunek () przedstwi typową sytucję w której uzsdnione jest wykorzystnie kwntyzcji wektorowej.
26 Kwntyzcj wektorow b Dne wejściowe kwntyztor Podził obrzu n wektory (bloki) koder wektor dnych wektor dnych wektor dnych wektor dnych i wektor dnych K Porównnie wejści z wektormi słownik i generowni e indeksu wzorzec wzorzec wzorzec wzorzec p Czytnie dnych wejściowych (indeksu) dekoder Formownie obrzu strumień: ciąg indeksów Rys. Kwntyzcj wektorow. ) ogólny schemt prcy kwntyztor; b) porównywnie wektorów dnych z wektormi kodu książki kodowej (słownik) i generownie strumieni złożonego z indeksów słownik. Kwntyzcj wektorow jest procesem niesymetrycznym: dekodownie jest dużo prostsze od procesu kodowni. Etpy prcy kwntyztor wektorowego Formownie dnych wejściowych do postci N wektorów n-wymirowych (etp wstępny). Fz klsteryzcji: podził wszystkich wektorów wejściowych i konstrukcj książki kodowej (słownik) zwierjącej K njbrdziej reprezenttywnych wektorów cłego zbioru dnych, tzw. wektorów kodowych. Konstrukcj książki kodowej może być wykonn w fzie wstępnej n podstwie zbioru treningowego lub dynmicznie we włściwej fzie kwntyzcji. Fz klsteryzcji jest kluczowym etpem kwntyzcji wektorowej! Fz indeksowni: przyporządkownie kżdemu wektorowi wejściowemu jednego wektor ze słownik i reprezentownie wektor wejściowego indeksem słownik. Wektorowi wejściowemu zostje przyporządkowny ten wektor słownik, który spełni relcję: gdzie d(x,y) jest przyjętą funkcją odległości w przestrzeni wielowymirowej. Problemy: Wybór odpowiedniej funkcji odległości w przestrzeni wektorowej. Struktur książki kodowej (prost struktur w postci tblicy jest nieefektywn do przeglądni).
27 Przykłd: lgorytm populrności Prostym lgorytmem genercji książki kodowej jest lgorytm populrności (populrity lgorithm): wektormi kodowymi stje się ustlon liczb wektorów dnych występujących w obrzie njczęściej (konieczne jest ustlenie progu liczby wystąpień) lgorytm wyróżni się stosunkowo młą złożonością obliczeniową i prostotą implementcji Wdą podstwowej wersji lgorytmu populrności jest wprowdznie do książki kodowej podobnych brw (dominujących). Redukcję rozmiru książki uzyskć możn przez usunięcie bliskich (w sensie przyjętej metryki) wektorów i wprowdzenie kolejnego wektor pod względem liczby wystąpień. b c d Rys. Przykłd kwntyzcji wektorowej przeprowdzonej z książką kodową skonstruowną zgodnie z lgorytmem populrności. ) - obrz oryginlny 5x5 pikseli; b) d) efekt kwntyzcji wektorowej z książkmi kodowymi rozmiru odpowiednio: 6, orz 6. W tym przypdku, książki tworzone były przy użyciu nlizy częstości wystąpień wektorów koloru po wcześniejszej równomiernej kwntyzcji sklrnej cłego obrzu do 8 poziomów n kżdą skłdową.
28 Przykłd: lgorytm populrności Obrz oryginlny Obrz skwntowny, size. % Obrz skwntowny, size.8 % b c d Obrz skwntowny, size.56 % e Rys. Przykłd kwntyzcji wektorowej przeprowdzonej z książką kodową skonstruowną zgodnie z lgorytmem populrności. () - obrz oryginlny 5x5 pikseli; (b) - wynik kwntyzcji z książką kodową o rozmirze 9, przedstwioną n rysunku (e); (c), (d) kwntyzcj z książką zwierjącą odpowiednio orz 6 wektory. W tym przypdku wejściowy obrz monochromtyczny zostł w fzie wstępnej podzielony n dwuelementowe bloki (wektory) zwierjące pry sąsidujących ze sobą w obrzie pikseli.
29 Wektorow kwntyzcj blokow (BTC) W przypdku podstwowej wersji metody BTC kżdy skwntowny blok obrzu reprezentowny jest w strumieniu bitowym przez mpę bitową zwierjącą n =n x n bitów orz dw bjty reprezentujące poziomy rekonstrukcji. W tkim przypdku:. liczb wszystkich możliwych mp bitowych jest równ n =6556,. nie wszystkie z nich występują w kżdym obrzie cyfrowym, np. ze względu n rozmir obrzu orz korelcje dnych obrzowych,. różne mpy bitowe mogą prowdzić do podobnego wrżeni wzrokowego. Jednym z możliwych sposobów wykorzystni powyższych obserwcji do kompresji obrzu jest kwntyzcj wektorow mp bitowych, tzn. reprezentcj zbioru wszystkich możliwych mp bitowych przez niewielki jego podzbiór (słownik). W fzie indekscji, kżd z mp bitowych stworzonych dl kolejnych bloków obrzu porównywn jest ze zbiorem mp w słowniku. Prostą mirą podobieństw mp jest liczb miejsc n których porównywne mpy różnią się. Mpą njbrdziej podobną do zdnej jest mp minimlizując tk zdefiniowną mirę. Wykorzystnie zbioru mp stnowiących słownik zwiększ stopień kompresji. Przykłd: w przypdku bloków x orz elementowego słownik 6 bitów reprezentujących elementy oryginlnej mpy możn zstąpić 5 bitowym indeksem słownik. Zwiększ to stopień kompresji z CR=. do CR=6.9. Rys. Bz mp bitowych służących do wygenerowni zbioru mp (Ammrunnishd, Govindn, Mthew, 7). W przypdku stosowni zbioru predefiniownych mp nie m konieczności ich włączni do strumieni bitowego poniewż koder i dekoder używją z góry określonego zbioru. W innych przypdkch (jk opisny n nstępnej stronie) słownik musi być włączony do strumieni bitowego, co zmniejsz efektywność metody.
30 Wektorow kwntyzcj blokow (BTC). Przykłd b MSE=9. c MSE=.8 d e Rys. Kwntyzcj wektorow BTC. W tym przypdku mpy bitowe stnowiące słownik zostły wybrne n podstwie kryterium częstości wystąpieni w obrzie (lgorytm populrności). Rysunek () przedstwi obrz oryginlny. Rysunki (b) i (c) przedstwiją wynik kwntyzcji wektorowej ze słownikiem rozmiru odpowiednio 8 orz. Słowniki przedstwione są n rysunkch (d) orz (e). Wykorzystnie lgorytmu populrności wiąże się z koniecznością włączeni do strumieni bitowego cłego słownik. Pod względem efektywności kompresji jest to rozwiąznie mniej efektywne od rozwiązni słownik stndryzownego (zwierjącego predefiniowne elementy).
31 Algorytm Lindego-Buz-Gry (LBG, 98) Algorytm Lindego-Buz-Gry (LBG, zmodyfikowny lgorytm Lloyd) genercji książki kodowej. Określ wektory dnych zbioru uczącego. Spośród wszystkich N wektorów wejściowych wybierz losowo K wektorów stnowiących wstępną wersję słownik.. Korzystjąc metryki euklidesowej, d(x,y), dokonj klsteryzcji wektorów dnych wokół słów kodowych bieżącej wersji słownik. Wyzncz globlny błąd kwntyzcji popełniony w bieżącej itercji. Sprwdź czy popełniny błąd spdł poniżej ustlonej grnicy. Jeśli tk to ztrzymj lgorytm. W przeciwnym wypdku przejdź do punktu Wyzncz centroidy kżdego regionu decyzyjnego i uczyń je wektormi kodowymi kolejnej itercji słownik. Przejdź do kroku. Problemy: wrżliwość lgorytmu n inicjlną postć książki kodowej (problem inicjlizcji); problem pustych podziłów.
32 Algorytm Lindego-Buz-Gry przykłd / Przykldowy obrz d 5 Przestrzeń wektorow obrzu e 5 b I (,) (,) 5 5 c I,,,,,,,,,,, Wektor dnych Wektor kodowy Rys. ) przykłdowy obrz cyfrowy x piksele; b) postć mcierzow obrzu; c) ciąg dwuwymirowych wektorów obrzu; d) wektory obrzu jko punkty dwuwymirowej przestrzeni wektorowej; e) przestrzeń wektorow z nniesionymi wektormi kodowymi.
33 Algorytm Lindego-Buz-Gry przykłd / error= b c 5 error=8. Itercj : (.5;.75) (,) (,) Wyzncznie centroidów (,) d 5 5 error=8. e 5 5 error=6.7 f 5 5 error=6.7 Itercj : (.5;.75) (.67;).5 Wyzncznie centroidów (,) (.67;.) 5 Rys. Przykłd dziłni lgorytmu LGB.. 5 5
34 Algorytm Lindego-Buz-Gry przykłd / g 5 error=6.7 h 5 error=6. i 5 error=6. Itercj : (.67;) (.67;) (;.5) Wyzncznie centroidów (.67;.) (.67;.) (.75;.5) j 5 error=6. k 5 error=6. STOP l 5 Itercj : (.75;.5) (;.5) 5 (.75;.5) (;.5) 5 Kolejne itercje nie wprowdzją żdnych zmin! Błąd ztrzymuje się n ustlonym poziomie: error=6.. 5 Rys. Zminy położeń wektorów kodowych w kolejnych itercjch lgorytmu LGB.
35 Książk kodów - przykłd Rys. Książk kodow zwierjąc 6x6=56 wektorów kodowych dl rzeczywistego obrzu cyfrowego, uzyskn dl przypdku podziłu obrzu n bloki o rozmirze x piksele.
36 Inicjlizcj słownik Rozwiązni n wektory kodowe znjdowne przez lgorytm LGB są wrżliwe n inicjlną postć książki kodowej podwnej n wejściu lgorytmu. Istnieją trzy podstwowe, różne metody inicjowni słownik (przygotowni wersji zerowej): Metod losowni. Sprowdz się do wylosowni w jednym kroku cłej ksiązki kodowej o zdnym rozmirze, K. Metod grupowni njbliższych sąsiądów (PNN pirwise nerest neighbour). Konstrukcj książki rozpoczyn się od książki o rozmirze K=N zwierjącej wszystkie wektory zbioru uczącego. Stopniowo redukuje się rozmir książki przez grupownie pr wektorów sąsiednich. Metod rozdzielni (splitting). Konstrukcj rozpoczyn się od pojedynczego wektor centroidu zbioru uczącego. W m-tym kroku dokonywny jest (w drodze dodwni zburzeni) podził kżdego z wektorów kodowych n dw wektory. Po tkim rozdzieleniu uzyskn konfigurcj regionów decyzyjnych jest optymlizown przez lgorytm LBG, po czym dokonywny jest kolejny rozdził, etc. b c d e Y Y- Y Y+ Rys. Konstrukcj słownik metodą rozdzilni. ) ide podziłu wektor kodowego; b), c), d), e) kolejne etpy konstrukcji wektorów kodowych (zznczone czerwonymi punktmi) n zbiorze uczącym (zznczony kolorem zielonym).
Algorytmy graficzne. Kwantyzacja skalarna obrazów cyfrowych
Algorytmy grficzne Kwntyzcj sklrn orzów cyfrowych Pojęcie kwntyzcji Rys. 1. Podził zkresu dopuszczlnych wrtości zmiennej x n 8 przedziłów kwntyzcji określonych przez grnice decyzyjne (9 grnic decyzyjnych)
Bardziej szczegółowoKwantyzacja skalarna i wektorowa. Metody zaawansowane
Kwantyzacja skalarna i wektorowa. Metody zaawansowane Kwantyzacja blokowa BTC (block truncation coding) Innym przykładem metod kwantyzacji adaptacyjnej wymagającej wstępnego podziału obrazu na bloki i
Bardziej szczegółowoCharakterystyki oraz wyszukiwanie obrazów cyfrowych
Chrkterystyki orz wyszukiwnie obrzów cyfrowych 1 Pojęcie i reprezentcje obrzu Obrz cyfrowy, I, definiuje się jko odwzorownie z przestrzeni pikseli P do przestrzeni kolorów C, tzn. I: P C. Klsy obrzów obrzy
Bardziej szczegółowoAlgorytmy graficzne. Filtry wektorowe. Filtracja obrazów kolorowych
Algorytmy grficzne Filtry wektorowe. Filtrcj orzów kolorowych Filtrcj orzów kolorowych Metody filtrcji orzów kolorowych możn podzielić n dwie podstwowe klsy: Metody komponentowe (component-wise). Cechą
Bardziej szczegółowoWymagania edukacyjne matematyka klasa 2 zakres podstawowy 1. SUMY ALGEBRAICZNE
Wymgni edukcyjne mtemtyk kls 2 zkres podstwowy 1. SUMY ALGEBRAICZNE Uczeń otrzymuje ocenę dopuszczjącą lub dostteczną, jeśli: rozpoznje jednominy i sumy lgebriczne oblicz wrtości liczbowe wyrżeń lgebricznych
Bardziej szczegółowoWymagania na ocenę dopuszczającą z matematyki klasa II Matematyka - Babiański, Chańko-Nowa Era nr prog. DKOS 4015-99/02
Wymgni n ocenę dopuszczjącą z mtemtyki kls II Mtemtyk - Bbiński, Chńko-Now Er nr prog. DKOS 4015-99/02 Temt lekcji Zkres treści Osiągnięci uczni WIELOMIANY 1. Stopień i współczynniki wielominu 2. Dodwnie
Bardziej szczegółowo2. FUNKCJE WYMIERNE Poziom (K) lub (P)
Kls drug poziom podstwowy 1. SUMY ALGEBRAICZNE Uczeń otrzymuje ocenę dopuszczjącą lub dostteczną, jeśli: rozpoznje jednominy i sumy lgebriczne oblicz wrtości liczbowe wyrżeń lgebricznych redukuje wyrzy
Bardziej szczegółowoRealizacje zmiennych są niezależne, co sprawia, że ciąg jest ciągiem niezależnych zmiennych losowych,
Klsyczn Metod Njmniejszych Kwdrtów (KMNK) Postć ć modelu jest liniow względem prmetrów (lbo nleży dokonć doprowdzeni postci modelu do liniowości względem prmetrów), Zmienne objśnijące są wielkościmi nielosowymi,
Bardziej szczegółowoMATeMAtyka 3 inf. Przedmiotowy system oceniania wraz z określeniem wymagań edukacyjnych. Zakres podstawowy i rozszerzony. Dorota Ponczek, Karolina Wej
Dorot Ponczek, Krolin Wej MATeMAtyk 3 inf Przedmiotowy system ocenini wrz z określeniem wymgń edukcyjnych Zkres podstwowy i rozszerzony Wyróżnione zostły nstępujące wymgni progrmowe: konieczne (K), podstwowe
Bardziej szczegółowoWYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI W KLASIE IIc ZAKRES PODSTAWOWY I ROZSZERZONY
WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI W KLASIE IIc ZAKRES PODSTAWOWY I ROZSZERZONY. JĘZYK MATEMATYKI oblicz wrtość bezwzględną liczby rzeczywistej stosuje interpretcję geometryczną wrtości bezwzględnej liczby
Bardziej szczegółowoWymagania edukacyjne matematyka klasa 2b, 2c, 2e zakres podstawowy rok szkolny 2015/2016. 1.Sumy algebraiczne
Wymgni edukcyjne mtemtyk kls 2b, 2c, 2e zkres podstwowy rok szkolny 2015/2016 1.Sumy lgebriczne N ocenę dopuszczjącą: 1. rozpoznje jednominy i sumy lgebriczne 2. oblicz wrtości liczbowe wyrżeń lgebricznych
Bardziej szczegółowoOznaczenia: K wymagania konieczne; P wymagania podstawowe; R wymagania rozszerzające; D wymagania dopełniające; W wymagania wykraczające
Wymgni edukcyjne z mtemtyki ls 2 b lo Zkres podstwowy Oznczeni: wymgni konieczne; wymgni podstwowe; R wymgni rozszerzjące; D wymgni dopełnijące; W wymgni wykrczjące Temt lekcji Zkres treści Osiągnięci
Bardziej szczegółowoWymagania edukacyjne na poszczególne oceny z matematyki w klasie II poziom rozszerzony
Wymgni edukcyjne n poszczególne oceny z mtemtyki w klsie II poziom rozszerzony N ocenę dopuszczjącą, uczeń: rysuje wykres funkcji f ( x) x i podje jej włsności; sprwdz lgebricznie, czy dny punkt nleży
Bardziej szczegółowoKodowanie liczb. Kodowanie stałopozycyjne liczb całkowitych. Niech liczba całkowita a ma w systemie dwójkowym postać: Kod prosty
Kodownie licz Kodownie stłopozycyjne licz cłkowitych Niech licz cłkowit m w systemie dwójkowym postć: nn 0 Wtedy może yć on przedstwion w postci ( n+)-itowej przy pomocy trzech niżej zdefiniownych kodów
Bardziej szczegółowoWYMAGANIA I KRYTERIA OCENIANIA Z MATEMATYKI W 3 LETNIM LICEUM OGÓLNOKSZTAŁCĄCYM
WYMAGANIA I KRYTERIA OCENIANIA Z MATEMATYKI W 3 LETNIM LICEUM OGÓLNOKSZTAŁCĄCYM Kls drug A, B, C, D, E, G, H zkres podstwowy 1. FUNKCJA LINIOWA rozpoznje funkcję liniową n podstwie wzoru lub wykresu rysuje
Bardziej szczegółowoWYZNACZANIE OGNISKOWEJ SOCZEWEK CIENKICH ZA POMOCĄ ŁAWY OPTYCZNEJ
Ćwiczenie 9 WYZNACZANIE OGNISKOWEJ SOCZEWEK CIENKICH ZA POMOCĄ ŁAWY OPTYCZNEJ 9.. Opis teoretyczny Soczewką seryczną nzywmy przezroczystą bryłę ogrniczoną dwom powierzchnimi serycznymi o promienich R i
Bardziej szczegółowousuwa niewymierność z mianownika wyrażenia typu
Wymgni edukcyjne n poszczególne oceny z mtemtyki Kls pierwsz zkres podstwowy. LICZBY RZECZYWISTE podje przykłdy liczb: nturlnych, cłkowitych, wymiernych, niewymiernych, pierwszych i złożonych orz przyporządkowuje
Bardziej szczegółowoTemat lekcji Zakres treści Osiągnięcia ucznia
ln wynikowy kls 2c i 2e - Jolnt jąk Mtemtyk 2. dl liceum ogólnoksztłcącego, liceum profilownego i technikum. sztłcenie ogólne w zkresie podstwowym rok szkolny 2015/2016 Wymgni edukcyjne określjące oceny:
Bardziej szczegółowoPropozycja przedmiotowego systemu oceniania wraz z określeniem wymagań edukacyjnych (zakres podstawowy)
Propozycj przedmiotowego systemu ocenini wrz z określeniem wymgń edukcyjnych (zkres podstwowy) Proponujemy, by omwijąc dne zgdnienie progrmowe lub rozwiązując zdnie, nuczyciel określł do jkiego zkresu
Bardziej szczegółowoWyrównanie sieci niwelacyjnej
1. Wstęp Co to jest sieć niwelcyjn Po co ją się wyrównje Co chcemy osiągnąć 2. Metod pośrednicząc Wyrównnie sieci niwelcyjnej Metod pośrednicząc i metod grpow Mmy sieć skłdjącą się z szereg pnktów. Niektóre
Bardziej szczegółowoRównania i nierówności kwadratowe z jedną niewiadomą
50 REPETYTORIUM 31 Równni i nierówności kwdrtowe z jedną niewidomą Równnie wielominowe to równość dwóch wyrżeń lgebricznych Kżd liczb, któr po podstwieniu w miejscu niewidomej w równniu o jednej niewidomej
Bardziej szczegółowoCAŁKOWANIE NUMERYCZNE
Wprowdzenie Kwdrtury węzły równoodległe Kwdrtury Guss Wzory sumcyjne Trnsport, studi niestcjonrne I stopni, semestr I rok kdemicki 01/013 Instytut L-5, Wydził Inżynierii Lądowej, Politechnik Krkowsk Ew
Bardziej szczegółowoWYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI DLA KLASY VIII w roku szkolnym 2015/2016
WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI DLA KLASY VIII w roku szkolnym 015/016 oprcowł: Dnut Wojcieszek n ocenę dopuszczjącą rysuje wykres funkcji f ( ) i podje jej włsności sprwdz lgebricznie, czy dny punkt
Bardziej szczegółowoWymagania kl. 2. Uczeń:
Wymgni kl. 2 Zkres podstwowy Temt lekcji Zkres treści Osiągnięci uczni. SUMY ALGEBRAICZNE. Sumy lgebriczne definicj jednominu pojęcie współczynnik jednominu porządkuje jednominy pojęcie sumy lgebricznej
Bardziej szczegółowoWektor kolumnowy m wymiarowy macierz prostokątna o wymiarze n=1 Wektor wierszowy n wymiarowy macierz prostokątna o wymiarze m=1
Rchunek mcierzowy Mcierzą A nzywmy funkcję 2-zmiennych, któr prze liczb nturlnych (i,j) gdzie i = 1,2,3,4.,m; j = 1,2,3,4,n przyporządkowuje dokłdnie jeden element ij. 11 21 A = m1 12 22 m2 1n 2n mn Wymirem
Bardziej szczegółowoGrażyna Nowicka, Waldemar Nowicki BADANIE RÓWNOWAG KWASOWO-ZASADOWYCH W ROZTWORACH ELEKTROLITÓW AMFOTERYCZNYCH
Ćwiczenie Grżyn Nowick, Wldemr Nowicki BDNIE RÓWNOWG WSOWO-ZSDOWYC W ROZTWORC ELETROLITÓW MFOTERYCZNYC Zgdnieni: ktywność i współczynnik ktywności skłdnik roztworu. ktywność jonów i ktywność elektrolitu.
Bardziej szczegółowoKatalog wymagań programowych na poszczególne stopnie szkolne. Matematyka. Poznać, zrozumieć
Ktlog wymgń progrmowych n poszczególne stopnie szkolne Mtemtyk. Poznć, zrozumieć Ksztłcenie w zkresie podstwowym. Kls 2 Poniżej podjemy umiejętności, jkie powinien zdobyć uczeń z kżdego dziłu, by uzyskć
Bardziej szczegółowoWymagania edukacyjne z matematyki FUNKCJE dopuszczającą dostateczną dobrą bardzo dobrą
Wymgni edukcyjne z mtemtyki Kls IIC. Rok szkolny 013/014 Poziom podstwowy FUNKCJE Uczeń otrzymuje ocenę dopuszczjącą lub dostteczną, jeśli: rozpoznje przyporządkowni będące funkcjmi określ funkcję różnymi
Bardziej szczegółowoZastosowanie multimetrów cyfrowych do pomiaru podstawowych wielkości elektrycznych
Zstosownie multimetrów cyfrowych do pomiru podstwowych wielkości elektrycznych Cel ćwiczeni Celem ćwiczeni jest zpoznnie się z możliwościmi pomirowymi współczesnych multimetrów cyfrowych orz sposobmi wykorzystni
Bardziej szczegółowoTechnikum Nr 2 im. gen. Mieczysława Smorawińskiego w Zespole Szkół Ekonomicznych w Kaliszu
Technikum Nr 2 im. gen. Mieczysłw Smorwińskiego w Zespole Szkół Ekonomicznych w Kliszu Wymgni edukcyjne niezbędne do uzyskni poszczególnych śródrocznych i rocznych ocen klsyfikcyjnych z obowiązkowych zjęć
Bardziej szczegółowoMacierz. Wyznacznik macierzy. Układ równań liniowych
Temt wykłdu: Mcierz. Wyzncznik mcierzy. Ukłd równń liniowych Kody kolorów: żółty nowe pojęcie pomrńczowy uwg kursyw komentrz * mterił ndobowiązkowy Ann Rjfur, Mtemtyk Zgdnieni. Pojęci. Dziłni n mcierzch.
Bardziej szczegółowoPODSTAWY BAZ DANYCH Wykład 3 2. Pojęcie Relacyjnej Bazy Danych
PODSTAWY BAZ DANYCH Wykłd 3 2. Pojęcie Relcyjnej Bzy Dnych 2005/2006 Wykłd "Podstwy z dnych" 1 Rozkłdlno dlność schemtów w relcyjnych Przykłd. Relcj EGZ(U), U := { I, N, P, O }, gdzie I 10 10 11 N f f
Bardziej szczegółowoSzczegółowe wymagania edukacyjne z matematyki, klasa 2C, poziom podstawowy
Szczegółowe wymgni edukcyjne z mtemtyki, kls 2C, poziom podstwowy Wymgni konieczne () dotyczą zgdnieo elementrnych, stnowiących swego rodzju podstwę, ztem powinny byd opnowne przez kżdego uczni. Wymgni
Bardziej szczegółowoPrzedmiotowy system oceniania wraz z określeniem wymagań edukacyjnych klasa druga zakres podstawowy
Przedmiotowy system ocenini wrz z określeniem wymgń edukcyjnych kls drug zkres podstwowy Wymgni konieczne (K) dotyczą zgdnień elementrnych, stnowiących swego rodzju podstwę, ztem powinny być opnowne przez
Bardziej szczegółowoWYMAGANIA I KRYTERIA OCENIANIA DO EGZAMINU POPRAWKOWEGO MATEMATYKA. Zakresie podstawowym i rozszerzonym. Klasa II rok szkolny 2011/2012
mgr Jolnt Chlebd mgr Mri Mślnk mgr Leszek Mślnk mgr inż. Rent itl mgr inż. Henryk Stępniowski Zespół Szkół ondgimnzjlnych Młopolsk Szkoł Gościnności w Myślenicch WYMAGANIA I RYTERIA OCENIANIA DO EGZAMINU
Bardziej szczegółowoWymagania edukacyjne z matematyki Klasa IIB. Rok szkolny 2013/2014 Poziom podstawowy
Wymgni edukcyjne z mtemtyki Kls IIB. Rok szkolny 2013/2014 Poziom podstwowy FUNKCJA KWADRATOWA Uczeń otrzymuje ocenę dopuszczjącą lub dostteczną, jeśli: 2 rysuje wykres funkcji f ( ) i podje jej włsności
Bardziej szczegółowoZASTOSOWANIE RÓWNANIA NASGRO DO OPISU KRZYWYCH PROPAGACYJI PĘKNIĘĆ ZMĘCZENIOWYCH
Sylwester KŁYSZ *, **, nn BIEŃ **, Pweł SZBRCKI ** ** Instytut Techniczny ojsk Lotniczych, rszw * Uniwersytet rmińsko-mzurski, Olsztyn ZSTOSONIE RÓNNI NSGRO DO OPISU KRZYYCH PROPGCYJI PĘKNIĘĆ ZMĘCZENIOYCH
Bardziej szczegółowoAnaliza matematyczna i algebra liniowa
Anliz mtemtyczn i lgebr liniow Mteriły pomocnicze dl studentów do wykłdów Mcierze liczbowe i wyznczniki. Ukłdy równń liniowych. Mcierze. Wyznczniki. Mcierz odwrotn. Równni mcierzowe. Rząd mcierzy. Ukłdy
Bardziej szczegółowoWymagania na poszczególne oceny z matematyki w Zespole Szkół im. St. Staszica w Pile. Kl. I poziom podstawowy
Wymgni n poszczególne oceny z mtemtyki w Zespole Szkół im. St. Stszic w Pile. LICZBY RZECZYWISTE Kl. I poziom podstwowy podje przykłdy liczb: nturlnych, cłkowitych, wymiernych, niewymiernych, pierwszych
Bardziej szczegółowoWszystkim życzę Wesołych Świąt :-)
Poniższe zdni pochodzą ze zbiorów: ) J. Rutkowski, Algebr bstrkcyjn w zdnich b) M. Bryński, J. Jurkiewicz, Zbiór zdń z lgebry Do kolokwium proszę też przejrzeć zdni z ćwiczeń. Wszystkim życzę Wesołych
Bardziej szczegółowoMetoda sił jest sposobem rozwiązywania układów statycznie niewyznaczalnych, czyli układów o nadliczbowych więzach (zewnętrznych i wewnętrznych).
Metod sił jest sposoem rozwiązywni ukłdów sttycznie niewyznczlnych, czyli ukłdów o ndliczowych więzch (zewnętrznych i wewnętrznych). Sprowdz się on do rozwiązni ukłdu sttycznie wyznczlnego (ukłd potwowy
Bardziej szczegółowoZadania. I. Podzielność liczb całkowitych
Zdni I. Podzielność liczb cłkowitych. Pewn liczb sześciocyfrow kończy się cyfrą 5. Jeśli tę cyfrę przestwimy n miejsce pierwsze ze strony lewej to otrzymmy nową liczbę cztery rzy większą od poprzedniej.
Bardziej szczegółowoMETODYKA OCENY WŁAŚCIWOŚCI SYSTEMU IDENTYFIKACJI PARAMETRYCZNEJ OBIEKTU BALISTYCZNEGO
MODELOWANIE INŻYNIERSKIE ISNN 1896-771X 32, s. 151-156, Gliwice 2006 METODYKA OCENY WŁAŚCIWOŚCI SYSTEMU IDENTYFIKACJI PARAMETRYCZNEJ OBIEKTU BALISTYCZNEGO JÓZEF GACEK LESZEK BARANOWSKI Instytut Elektromechniki,
Bardziej szczegółowoMaciej Grzesiak. Iloczyn skalarny. 1. Iloczyn skalarny wektorów na płaszczyźnie i w przestrzeni. a b = a b cos ϕ. j) (b x. i + b y
Mciej Grzesik Iloczyn sklrny. Iloczyn sklrny wektorów n płszczyźnie i w przestrzeni Iloczyn sklrny wektorów i b określmy jko b = b cos ϕ. Bezpośrednio z definicji iloczynu sklrnego mmy, że i i = j j =
Bardziej szczegółowoCAŁKOWANIE NUMERYCZNE
Wprowdzenie Kwdrtury węzły równoodległe Kwdrtury Guss Wzory sumcyjne Trnsport, studi niestcjonrne I stopni, semestr I Instytut L-5, Wydził Inżynierii Lądowej, Politechnik Krkowsk Ew Pbisek Adm Wostko Wprowdzenie
Bardziej szczegółowoDZIAŁ 2. Figury geometryczne
1 kl. 6, Scenriusz lekcji Pole powierzchni bryły DZAŁ 2. Figury geometryczne Temt w podręczniku: Pole powierzchni bryły Temt jest przeznczony do relizcji podczs 2 godzin lekcyjnych. Zostł zplnowny jko
Bardziej szczegółowoUkłady równań liniowych Macierze rzadkie
wr zesie ń SciLb w obliczenich numerycznych - część Sljd Ukłdy równń liniowych Mcierze rzdkie wr zesie ń SciLb w obliczenich numerycznych - część Sljd Pln zjęć. Zdnie rozwiązni ukłdu równń liniowych..
Bardziej szczegółowoPrzedmiotowy system oceniania z matematyki wraz z określeniem wymagań edukacyjnych (zakres podstawowy) Klasa II LO
I Postnowieni ogólne Przedmiotowy system ocenini z mtemtyki wrz z określeniem wymgń edukcyjnych (zkres podstwowy) Kls II LO 1. Wrunkiem uzyskni pozytywnej oceny semestrlnej z mtemtyki jest: ) zliczenie
Bardziej szczegółowoVI. Rachunek całkowy. 1. Całka nieoznaczona
VI. Rchunek cłkowy. Cłk nieoznczon Niech F : I R i f : I R będą funkcjmi określonymi n pewnym przedzile I R. Definicj. Funkcję F nzywmy funkcją pierwotną funkcji f n przedzile I, gdy F (x) = f(x) dl x
Bardziej szczegółowo1 Definicja całki oznaczonej
Definicj cłki oznczonej Niech dn będzie funkcj y = g(x) ciągł w przedzile [, b]. Przedził [, b] podzielimy n n podprzedziłów punktmi = x < x < x
Bardziej szczegółowoWYMAGANIA EDUKACYJNE NIEZBĘDNE DO UZYSKANIA POSZCZEGÓLNYCH ŚRÓDROCZNYCH I ROCZNYCH OCEN KLASYFIKACYJNYCH Z MATEMATYKI POZIOM PODSTAWOWY KLASA 2
WYMAGANIA EDUKACYJNE NIEZBĘDNE DO UZYSKANIA POSZCZEGÓLNYCH ŚRÓDROCZNYCH I ROCZNYCH OCEN KLASYFIKACYJNYCH Z MATEMATYKI POZIOM PODSTAWOWY KLASA 2 1. SUMY ALGEBRAICZNE rozpoznje jednominy i sumy lgebriczne
Bardziej szczegółowoWYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI W KLASIE Ib ZAKRES PODSTAWOWY
. LICZBY RZECZYWISTE podje przykłdy liczb: nturlnych, cłkowitych, wymiernych, niewymiernych, pierwszych i złożonych orz przyporządkowuje liczbę do odpowiedniego zbioru liczb stosuje cechy podzielności
Bardziej szczegółowoEGZAMIN MATURALNY OD ROKU SZKOLNEGO 2014/2015 MATEMATYKA POZIOM ROZSZERZONY ROZWIĄZANIA ZADAŃ I SCHEMATY PUNKTOWANIA (A1, A2, A3, A4, A6, A7)
EGZAMIN MATURALNY OD ROKU SZKOLNEGO 01/015 MATEMATYKA POZIOM ROZSZERZONY ROZWIĄZANIA ZADAŃ I SCHEMATY PUNKTOWANIA (A1, A, A, A, A6, A7) GRUDZIEŃ 01 Klucz odpowiedzi do zdń zmkniętych Nr zdni 1 5 Odpowiedź
Bardziej szczegółowoWEKTORY skalary wektory W ogólnym przypadku, aby określić wektor, należy znać:
WEKTORY Wśród wielkości fizycznych występujących w fizyce możn wyróżnić sklry i wektory. Aby określić wielkość sklrną, wystrczy podć tylko jedną liczbę. Wielkościmi tkimi są ms, czs, tempertur, objętość
Bardziej szczegółowoMatematyka wykaz umiejętności wymaganych na poszczególne oceny KLASA II
1.Sumy lgebriczne Mtemtyk wykz umiejętności wymgnych n poszczególne oceny KLASA II N ocenę dop: 1. Rozpoznwnie jednominów i sum lgebricznych 2. Oblicznie wrtości liczbowych wyrżeń lgebricznych 3. Redukownie
Bardziej szczegółowoMacierz. Wyznacznik macierzy. Układ równań liniowych
Temt wykłdu: Mcierz. Wyzncznik mcierzy. Ukłd równń liniowych Kody kolorów: Ŝółty nowe pojęcie pomrńczowy uwg kursyw komentrz * mterił ndobowiązkowy Ann Rjfur, Mtemtyk n kierunku Biologi w SGGW Zgdnieni.
Bardziej szczegółowoLegenda. Optymalizacja wielopoziomowa Inne typy bramek logicznych System funkcjonalnie pełny
Dr Glin Criow Legend Optymlizcj wielopoziomow Inne typy brmek logicznych System funkcjonlnie pełny Optymlizcj ukłdów wielopoziomowych Ukłdy wielopoziomowe ukłdy zwierjące więcej niż dw poziomy logiczne.
Bardziej szczegółowoWykład 2. Granice, ciągłość, pochodna funkcji i jej interpretacja geometryczna
1 Wykłd Grnice, ciągłość, pocodn unkcji i jej interpretcj geometryczn.1 Grnic unkcji. Grnic lewostronn i grnic prwostronn unkcji Deinicj.1 Mówimy, że liczb g jest grnicą lewostronną unkcji w punkcie =,
Bardziej szczegółowoPRZEGLĄD FUNKCJI ELEMENTARNYCH. (powtórzenie) y=f(x)=ax+b,
WYKŁAD 0 PRZEGLĄD FUNKCJI ELEMENTARNYCH (powtórzenie) 1. Funkcje liniowe Funkcją liniową nzywmy funkcję postci y=f()=+b, gdzie, b są dnymi liczbmi zwnymi odpowiednio: - współczynnik kierunkowy, b - wyrz
Bardziej szczegółowoWspomaganie obliczeń za pomocą programu MathCad
Wprowdzenie do Mthcd' Oprcowł:M. Detk P. Stąpór Wspomgnie oliczeń z pomocą progrmu MthCd Definicj zmiennych e f g h 8 Przykłd dowolnego wyrŝeni Ay zdefinowc znienną e wyierz z klwitury kolejno: e: e f
Bardziej szczegółowoMatematyka stosowana i metody numeryczne
Ew Pbisek Adm Wostko Piotr Pluciński Mtemtyk stosown i metody numeryczne Konspekt z wykłdu 0 Cłkownie numeryczne Wzory cłkowni numerycznego pozwlją n obliczenie przybliżonej wrtości cłki: I(f) = f(x) dx
Bardziej szczegółowoWymagania na poszczególne oceny z matematyki w Zespole Szkół im. St. Staszica w Pile. Kl. II poziom podstawowy
Wymgni n poszczególne oceny z mtemtyki w Zespole Szkół im. St. Stszic w Pile 1. SUMY ALGEBRAICZNE Kl. II poziom podstwowy Uczeń otrzymuje ocenę dopuszczjącą, jeśli: rozpoznje jednominy i sumy lgebriczne
Bardziej szczegółowoZałącznik nr 3 do PSO z matematyki
Złącznik nr 3 do PSO z mtemtyki Wymgni n poszczególne oceny szkolne z mtemtyki n poziomie podstwowym Chrkterystyk wymgń n poszczególne oceny: Wymgni n ocenę dopuszczjącą dotyczą zgdnień elementrnych, stnowiących
Bardziej szczegółowoWEKTORY skalary wektory W ogólnym przypadku, aby określić wektor, należy znać:
WEKTORY Wśród wielkości fizycznych występujących w fizyce możn wyróżnić sklry i wektory. Aby określić wielkość sklrną, wystrczy podć tylko jedną liczbę. Wielkościmi tkimi są ms, czs, tempertur, objętość
Bardziej szczegółowoModelowanie i obliczenia techniczne. Metody numeryczne w modelowaniu: Różniczkowanie i całkowanie numeryczne
Modelownie i obliczeni techniczne Metody numeryczne w modelowniu: Różniczkownie i cłkownie numeryczne Pochodn unkcji Pochodn unkcji w punkcie jest deiniown jko grnic ilorzu różnicowego (jeżeli istnieje):
Bardziej szczegółowoWymagania edukacyjne z matematyki
Wymgni edukcyjne z mtemtyki LICEUM OGÓLNOKSZTAŁCĄCE Kls II Poniżej przedstwiony zostł podził wymgń edukcyjnych n poszczególne oceny. Wiedz i umiejętności konieczne do opnowni (K) to zgdnieni, które są
Bardziej szczegółowo3. Rozkład macierzy według wartości szczególnych
Rozkłd mcierzy wedłg wrtości szczególnych Wprowdzenie Przypomnimy podstwowe zleżności związne z zstosowniem metody nmnieszych kwdrtów do proksymci fnkci dyskretne Podstwowe równnie m nstępącą postć: +
Bardziej szczegółowoModelowanie 3 D na podstawie fotografii amatorskich
Edwrd Nowk 1, Jonn Nowk Modelownie D n podstwie fotogrfii mtorskich 1. pecyfik fotogrmetrycznego oprcowni zdjęć mtorskich wynik z fktu, że n ogół dysponujemy smymi zdjęcimi - nierzdko są to zdjęci wykonne
Bardziej szczegółowoZADANIA OTWARTE. Są więc takie same. Trzeba jeszcze pokazać, że wynoszą one 2b, gdyż taka jest długość krawędzi dwudziestościanu.
ZADANIA OTWARTE ZADANIE 1 DWUDZIESTOŚCIAN FOREMNY Wiemy, że z trzech złotych prostokątów możn skonstruowć dwudziestościn foremny. Wystrczy wykzć, że długości boków trójkąt ABC n rysunku obok są równe.
Bardziej szczegółowoPrzedmiotowy system oceniania z matematyki wraz z określeniem wymagań edukacyjnych (zakres podstawowy) Klasa II TAK
I Postnowieni ogólne Przedmiotowy system ocenini z mtemtyki wrz z określeniem wymgń edukcyjnych (zkres podstwowy) Kls II TAK 1. Wrunkiem uzyskni pozytywnej oceny semestrlnej z mtemtyki jest: ) zliczenie
Bardziej szczegółowoMATeMAtyka 2. Przedmiotowy system oceniania wraz z określeniem wymagań edukacyjnych. Zakres podstawowy i rozszerzony. Zakres podstawowy i rozszerzony
MATeMAtyk Przedmiotowy system ocenini wrz z określeniem wymgń edukcyjnych Zkres podstwowy i rozszerzony Zkres podstwowy i rozszerzony Wyróżnione zostły nstępujące wymgni progrmowe: konieczne (K), podstwowe
Bardziej szczegółowo4.3. Przekształcenia automatów skończonych
4.3. Przeksztłceni utomtów skończonych Konstrukcj utomtu skończonego (niedeterministycznego) n podstwie wyrżeni regulrnego (lgorytm Thompson). Wejście: wyrżenie regulrne r nd lfetem T Wyjście : utomt skończony
Bardziej szczegółowoPochodne i całki, macierze i wyznaczniki
Cłk oznczon Cłk niewłściw Wzór Tylor Mcierze Pochodne i cłki, mcierze i wyznczniki Stnisłw Jworski Ktedr Ekonometrii i Sttystyki Zkłd Sttystyki Stnisłw Jworski Pochodne i cłki, mcierze i wyznczniki Cłk
Bardziej szczegółowosymbol dodatkowy element graficzny kolorystyka typografia
Identyfikcj wizuln Fundcji n rzecz Nuki Polskiej 1/00 Elementy podstwowe symbol dodtkowy element grficzny kolorystyk typogrfi Identyfikcj wizuln Fundcji n rzecz Nuki Polskiej 1/01 Elementy podstwowe /
Bardziej szczegółowoPoniżej przedstawiony został podział wymagań na poszczególne oceny szkolne:
Kls technikum Przedmiotowy system ocenini wrz wymgnimi edukcyjnymi Wyróżnione zostły nstępujące wymgni progrmowe: konieczne (K), podstwowe (P), rozszerzjące (R), dopełnijące (D) i wykrczjące (W). Wymienione
Bardziej szczegółowoRozwiązania maj 2017r. Zadania zamknięte
Rozwiązni mj 2017r. Zdni zmknięte Zd 1. 5 16 5 2 5 2 Zd 2. 5 2 27 2 23 2 2 2 2 Zd 3. 2log 3 2log 5log 3 log 5 log 9 log 25log Zd. 120% 8910 1,2 8910 2,2 8910 $%, 050 Zd 5. Njłtwiej jest zuwżyć że dl 1
Bardziej szczegółowoWykład 2. Pojęcie całki niewłaściwej do rachunku prawdopodobieństwa
Wykłd 2. Pojęcie cłki niewłściwej do rchunku prwdopodobieństw dr Mriusz Grządziel 4 mrc 24 Pole trpezu krzywoliniowego Przypomnienie: figurę ogrniczoną przez: wykres funkcji y = f(x), gdzie f jest funkcją
Bardziej szczegółowoAlgebra macierzowa. Akademia Morska w Gdyni Katedra Automatyki Okrętowej Teoria sterowania. Mirosław Tomera 1. ELEMENTARNA TEORIA MACIERZOWA
kdemi Morsk w Gdyni Ktedr utomtyki Okrętowej Teori sterowni lger mcierzow Mirosłw Tomer. ELEMENTRN TEORI MCIERZOW W nowoczesnej teorii sterowni rdzo często istnieje potrze zstosowni notcji mcierzowej uprszczjącej
Bardziej szczegółowoKSIĘGA ZNAKU. Znak posiada swój obszar ochronny i w jego obrębie nie mogą się znajdować żadne elementy, nie związane ze znakiem.
KSIĘGA ZNAKU KSIĘGA ZNAKU Poniżej przedstwion jest chrkterystyk znku 7 lt Uniwersytetu Łódzkiego. Wszystkie proporcje i sposób rozmieszczeni poszczególnych elementów są ściśle określone. Wprowdznie jkichkolwiek
Bardziej szczegółowoDorota Ponczek, Karolina Wej. MATeMAtyka 2. Propozycja przedmiotowego systemu oceniania wraz z określeniem wymagań edukacyjnych.
Dorot Ponczek, Krolin Wej MATeMAtyk 2 Propozycj przedmiotowego systemu ocenini wrz z określeniem wymgń edukcyjnych Zkres podstwowy Wyróżnione zostły nstępujące wymgni progrmowe: konieczne (K), podstwowe
Bardziej szczegółowoSZTUCZNA INTELIGENCJA
SZTUCZNA INTELIGENCJA WYKŁAD 9. ZBIORY ROZMYTE Częstochow 204 Dr hb. inż. Grzegorz Dudek Wydził Elektryczny Politechnik Częstochowsk ZBIORY ROZMYTE Klsyczne pojęcie zbioru związne jest z logiką dwuwrtościową
Bardziej szczegółowoMetody określania macierzy przemieszczeń w modelowaniu przewozów pasażerskich. mgr inż. Szymon Klemba Warszawa, r.
Metody określni mcierzy przemieszczeń w modelowniu przewozów psżerskich mgr inż. Szymon Klemb Wrszw, 2.07.2013r. SPIS TREŚCI 1 Podstwy teoretyczne 2 Rol mcierzy przemieszczeń 3 Metody wyznczni mcierzy
Bardziej szczegółowoWyznacznikiem macierzy kwadratowej A stopnia n nazywamy liczbę det A określoną następująco:
Def.8. Wyzncznikiem mcierzy kwdrtowej stopni n nzywmy liczbę det określoną nstępująco:.det.det dl n n det det n det n, gdzie i j ozncz mcierz, którą otrzymujemy z mcierzy przez skreślenie i- tego wiersz
Bardziej szczegółowoINSTRUKCJA. - Jak rozwiązywać zadania wysoko punktowane?
INSTRUKCJA - Jk rozwiązywć zdni wysoko punktowne? Mturzysto! Zdni wysoko punktowne to tkie, z które możesz zdobyć 4 lub więcej punktów. Zdni z dużą ilość punktów nie zwsze są trudniejsze, często ich punktcj
Bardziej szczegółowo2. Tensometria mechaniczna
. Tensometri mechniczn Wstęp Tensometr jk wskzywłby jego nzw to urządzenie służące do pomiru nprężeń. Jk jednk widomo, nprężeni nie są wielkościmi mierzlnymi i stnowią jedynie brdzo wygodne pojęcie mechniki
Bardziej szczegółowoWYKŁAD 5. Typy macierzy, działania na macierzach, macierz układu równań. Podstawowe wiadomości o macierzach
Mtemtyk I WYKŁD. ypy mcierzy, dziłni n mcierzch, mcierz ukłdu równń. Podstwowe widomości o mcierzch Ogóln postć ukłdu m równń liniowych lgebricznych z n niewidomymi x x n xn b x x n xn b, niewidome: x,
Bardziej szczegółowoMATeMAtyka 2 Przedmiotowy system oceniania wraz z określeniem wymagań edukacyjnych
MATeMAtyk 2 Przedmiotowy system ocenini wrz z określeniem wymgń edukcyjnych Zkres podstwowy Kls 2 Wyróżnione zostły nstępujące wymgni progrmowe: konieczne (K), podstwowe (P), rozszerzjące (R), dopełnijące
Bardziej szczegółowoKRYTERIA OCENIANIA ODPOWIEDZI Próbna Matura z OPERONEM. Matematyka. Poziom rozszerzony. Listopad Wskazówki do rozwiązania zadania
Vdemecum i Testy GIELDAMATURALNA.PL ODBIERZ KOD DOSTĘPU* - Twój indywidulny klucz do wiedzy! *Kod n końcu klucz odpowiedzi Mtemtyk KRYTERIA OCENIANIA ODPOWIEDZI Próbn Mtur z OPERONEM Mtemtyk Poziom rozszerzony
Bardziej szczegółowoDorota Ponczek, Karolina Wej. MATeMAtyka 2. Plan wynikowy. Zakres podstawowy
Dorot Ponczek, rolin Wej MATeMAtyk Pln wynikowy Zkres podstwowy MATeMAtyk. Pln wynikowy. ZP Oznczeni: wymgni konieczne, P wymgni podstwowe, R wymgni rozszerzjące, D wymgni dopełnijące, W wymgni wykrczjące
Bardziej szczegółowo4. RACHUNEK WEKTOROWY
4. RACHUNEK WEKTOROWY 4.1. Wektor zczepiony i wektor swoodny Uporządkowną prę punktów (A B) wyznczjącą skierowny odcinek o początku w punkcie A i końcu w punkcie B nzywmy wektorem zczepionym w punkcie
Bardziej szczegółowoDorota Ponczek, Karolina Wej. MATeMAtyka 2. Propozycja przedmiotowego systemu oceniania wraz z określeniem wymagań edukacyjnych.
Dorot Ponczek, Krolin Wej MATeMAtyk 2 Propozycj przedmiotowego systemu ocenini wrz z określeniem wymgń edukcyjnych Zkres podstwowy MATeMAtyk 2. Propozycj przedmiotowego systemu ocenini. ZP Wyróżnione zostły
Bardziej szczegółowoAkademia Górniczo-Hutnicza im. Stanisława Staszica w Krakowie. Wydział Elektrotechniki, Automatyki, Informatyki i Inżynierii Biomedycznej
Akdemi órniczo-hutnicz im. Stnisłw Stszic w Krkowie Wydził Elektrotechniki, Automtyki, Informtyki i Inżynierii Biomedycznej Ktedr Elektrotechniki i Elektroenergetyki Rozprw Doktorsk Numeryczne lgorytmy
Bardziej szczegółowoRACHUNEK CAŁKOWY. Funkcja F jest funkcją pierwotną funkcji f na przedziale I R, jeżeli. F (x) = f (x), dla każdego x I.
RACHUNEK CAŁKOWY Funkcj F jest funkcją pierwotną funkcji f n przedzile I R, jeżeli F (x) = f (x), dl kżdego x I. Przykłd. Niech f (x) = 2x dl x (, ). Wtedy funkcje F (x) = x 2 + 5, F (x) = x 2 + 5, F (x)
Bardziej szczegółowoKarta oceny merytorycznej wniosku o dofinansowanie projektu innowacyjnego testującego składanego w trybie konkursowym w ramach PO KL
Złącznik nr 5 Krt oceny merytorycznej Krt oceny merytorycznej wniosku o dofinnsownie projektu innowcyjnego testującego skłdnego w trybie konkursowym w rmch PO KL NR WNIOSKU KSI: WND-POKL. INSTYTUCJA PRZYJMUJĄCA
Bardziej szczegółowoPRÓBNY EGZAMIN MATURALNY Z INFORMATYKI
PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY Z INFORMATYKI POZIOM PODSTAWOWY Arkusz I Instrukcj dl zdjącego 1. Sprwdź, czy rkusz egzmincyjny zwier 8 stron (zdni 1 3). Ewentulny brk zgłoś przewodniczącemu zespołu ndzorującego
Bardziej szczegółowoSumy algebraiczne i funkcje wymierne
Sumy lgebriczne i funkcje wymierne Moduł - dził -temt Zkres treści Sumy lgebriczne 1 definicj jednominu, sumy lgebricznej, wyrzów podobnych pojęcie współczynnik jednominu Dodwnie i odejmownie sum lgebricznych
Bardziej szczegółowoWYMAGANIA NA OCENĘ DOPUSZCZAJĄCĄ DLA UCZNIÓW KLASY Ia TECHNIKUM
WYMAGANIA NA OCENĘ DOPUSZCZAJĄCĄ DLA UCZNIÓW KLASY I TECHNIKUM Egzmin poprwkowy n ocenę dopuszczjącą będzie obejmowł zdni zgodne z poniższymi wymgnimi n ocenę dopuszczjącą. Egzmin poprwkowy n wyższą ocenę
Bardziej szczegółowoKONKURS MATEMATYCZNY dla uczniów gimnazjów w roku szkolnym 2012/13. Propozycja punktowania rozwiązań zadań
KONKURS MATEMATYCZNY dl uczniów gimnzjów w roku szkolnym 0/ II etp zwodów (rejonowy) 0 listopd 0 r. Propozycj punktowni rozwiązń zdń Uwg: Z kżde poprwne rozwiąznie inne niż przewidzine w propozycji punktowni
Bardziej szczegółowoPODSTAWY BAZ DANYCH Wykład 2 2. Pojęcie Relacyjnej Bazy Danych
PODSTAWY BAZ DANYCH Wykłd 2 2. Pojęcie Relcyjnej Bzy Dnych 2005/2006 Wykłd "Podstwy bz dnych" 1 Pojęcie krotki - definicj Definicj. Niech dny będzie skończony zbiór U := { A 1, A 2,..., A n }, którego
Bardziej szczegółowoWYMAGANIA DLA UCZNIÓW KLAS DRUGICH LICEUM OGÓLNOKSZTAŁCĄCEGO
WYMAGANIA DLA UCZNIÓW KLAS DRUGICH LICEUM OGÓLNOKSZTAŁCĄCEGO Pln wynikowy dostosowny jest do progrmu nuczni mtemtyki w szkole pondgimnzjlnej z zkresu ksztłceni podstwowego PROSTO DO MATURY (progrm nuczni
Bardziej szczegółowo