Uniwersytet Wrocławski Wydział Matematyki i Informatyki Instytut Matematyczny specjalność: matematyka nauczycielska.

Transkrypt

1 Uniwersytet Wrcławski Wydział Matematyki i Infrmatyki Instytut Matematyczny specjalnść: matematyka nauczycielska Mateusz Suwara PARKIETAŻE PLATOŃSKIE I SZACHOWNICE ARCHIMEDESOWSKIE W GEOMETRII HIPERBOLICZNEJ Praca magisterska napisana pd kierunkiem prf. dr. hab. Jacka Świątkwskieg Wrcław 2012

2 Oświadczam, że pracę wyknałem samdzielnie i zgłaszam ją d ceny. Data. Pdpis autra pracy:... Oświadczam, że praca jest gtwa d ceny przez recenzenta. Data. Pdpis piekuna pracy:

3 Spis treści Wstęp Rzdział 0. Wiadmści wstępne Mdel półpłaszczyznwy Pincareg Odległść punktu d prstej w mdelu półpłaszczyznwym Izmetrie w mdelu półpłaszczyznwym Mdel dyskwy Pincareg pdstawwe infrmacje Ksinus hiperbliczny i jeg dwrtnść Rzdział 1. Wielkąty fremne Pewien pis wielkątów fremnych w gemetrii euklideswej Trójkąty twrzące hiperbliczny wielkąt fremny Długść bku i miara kąta wewnętrzneg w hiperblicznym wielkącie fremnym Prmień kręgu wpisaneg w hiperbliczny wielkąt fremny Rzdział 2. Parkietaże platńskie Parkietaże platńskie w gemetrii euklideswej Parkietaże platńskie w gemetrii hiperblicznej Określenie długść bku w hiperblicznym parkietażu platńskim Hiperbliczne parkietaże platńskie najkrótszych bkach Długść prmienia kręgu wpisaneg w wielkąt twrzący hiperbliczny parkietaż platński Długść bku w hiperblicznym parkietażu platńskim dla parametrów dążących d nieskńcznści Rzdział 3. Szachwnice archimedeswskie Szachwnice archimedeswskie w gemetrii euklideswej Szachwnice archimedeswskie w gemetrii hiperblicznej Długść bku w hiperblicznej szachwnicy archimedeswskiej Bibligrafia

4 - 4 -

5 Wstęp Niniejsza praca jest rzwinięciem zagadnień mawianych na wykładzie Pdstawy gemetrii i gemetria nieeuklideswa prwadznym przez prf. Jacka Świątkwskieg dla studentów matematyki Uniwersytetu Wrcławskieg. Zamierzeniem autra był napisanie pracy w spsób elementarny i przystępny dla szerszeg grna czytelników. D jej zrzumienia wymagana jest jedynie pdstawwa wiedza z zakresu gemetrii euklideswej i analizy matematycznej. Jak głównych adresatów pniższych rzważań wskazujemy uczniów i studentów kierunków ścisłych, którzy chcą pszerzyć swją wiedzę dtyczącą gemetrii hiperblicznej. Tematem pracy są wybrane parkietaże w gemetrii hiperblicznej. Autr skupia się na dmianach platńskich raz jednym z typów parkietaży archimedeswskich szachwnicach archimedeswskich. Rzważania związane będą z analizą wielkątów fremnych twrzących wspmniane pkrycia płaszczyzny. Wszystkie parkietaże wyznaczne zstaną z dkładnścią d parametrów piswych, takich jak rdzaj i liczba wielkątów skupiających się wkół każdeg z wierzchłków parkietażu. Drugim celem będzie wyznaczenie parametrów metrycznych takich wielkątów: długści bku i zależnej d nieg miary kąta wewnętrzneg. Rzważania gemetryczne w niniejszej pracy będą przeprwadzne w mdelu półpłaszczyznwym Pincareg gemetrii hiperblicznej. Pnadt d prezentacji graficznych zstanie wykrzystany mdel dyskwy Pincareg. Krótka charakterystyka tych mdeli zstała zamieszczna w Rzdziale 0, który ma charakter wprwadzający. Osby pszukujące szerszych infrmacji związanych z gemetrią hiperbliczną dsyłamy d pzycji zamieszcznych w bibligrafii. Szczególne pdziękwania autr składa piekunwi swjej pracy magisterskiej Prfesrwi Jackwi Świątkwskiemu za fachwą pradę i pmc, jak również cenny czas pświęcny na knsultacje, które dprwadziły d ukńczenia niniejszej pracy

6 - 6 -

7 0. Wiadmści wstępne Analizę parkietaży na płaszczyźnie nieeuklideswej przeprwadzimy wykrzystując dwa mdele gemetrii hiperblicznej. Będą t mdele Pincareg: półpłaszczyznwy i dyskwy. Pniżej krótk mówimy te mdele Mdel półpłaszczyznwy Pincareg Mdel półpłaszczyznwy Pincareg jest mdelem gemetrii hiperblicznej, jednak d jeg pisu wykrzystujemy pjęcia znane z gemetrii euklideswej. Rzważmy płaszczyznę euklideswą, raz euklideswą prstą, którą nazwiemy prstą brzegwą mdelu. Punkty należące d tej prstej będziemy nazywać punktami idealnymi. Taka prsta pdzieli płaszczyznę na dwie półpłaszczyzny. Wybierzmy jedną z tych części i nazwijmy płaszczyzną hiperbliczną. Ddajmy pnadt, że prsta brzegwa nie należy d płaszczyzny hiperblicznej. Hiperbliczne punkty t punkty z wnętrza wybranej półpłaszczyzny. W ramach pwszechnie przyjętej knwencji przyjmuje się, że prsta brzegwa t prsta pzima, zaś półpłaszczyzna mdelu t półpłaszczyzna leżąca pnad tą prstą. Wszystkie rysunki w pracy będą zgdne z tą knwencją. Klejnym pjęciem, które kreślimy jest hiperbliczna prsta. Wyróżniamy dwa rdzaje takich prstych. 1) Euklideswe półprste prstpadłe d prstej brzegwej mdelu (przekrój euklideswej prstej prstpadłej d brzegu mdelu z półpłaszczyzną mdelu). 2) Euklideswe półkręgi śrdku leżącym na prstej brzegwej mdelu (przekrój kręgu takim śrdku z półpłaszczyzną mdelu). Hiperbliczne półprste i dcinki są zatem fragmentami pwyżej pisanych prstych. Rysunek

8 Chcąc jeszcze lepiej przybliżyć czytelnikwi dtychczas mówine pjęcia, przykłady ich graficznej interpretacji przedstawiliśmy na Rysunku W przypadku przecięcia hiperblicznych prstych, półprstych lub dcinków, pwstają hiperbliczne kąty. Kąty te kreślamy tak jak na płaszczyźnie euklideswej, jak bszar graniczny dwma półprstymi wspólnym pczątku, wraz z tymi półprstymi. Tutaj będą t czywiście hiperbliczne półprste. Przykładwe kąty hiperbliczne prezentujemy na pniższym rysunku. Rysunek Pjawia się teraz pytanie, jak bliczyć miarę hiperbliczneg kąta. Określamy ją wyznaczając euklideswą miarę kąta między euklideswymi stycznymi d ramin tegż kąta, pprwadznymi z jeg wierzchłka. Pamiętajmy tym, że mówimy raminach hiperblicznych, które faktycznie są euklideswymi łukami lub dcinkami. Pdbnie jak przenieśliśmy pjęcie kąta z gemetrii euklideswej d gemetrii hiperblicznej, tak też mżemy przensić inne pjęcia. W szczególnści zwróćmy uwagę na hiperbliczne wielkąty, których w dużej mierze będzie dtyczyć dalsza część pracy. Unikając pwtarzania euklideswej definicji, graniczmy się teraz jedynie d graficznych przykładów, ukazanych na Rysunku Rysunek

9 Innym specyficznym pjęciem związanym z gemetrią hiperbliczną jest wielkąt idealny. Nazwiemy tak figurę tylk przypminającą wielkąt w mdelu półpłaszczyznwym, której wszystkie wierzchłki są punktami idealnymi (leżą na prstej brzegwej), natmiast bki są hiperblicznymi prstymi. Pamiętajmy jednak tym, że figura taka nie jest w istcie wielkątem. Punkty idealne znajdujące się na prstej brzegwej nie należą d płaszczyzny hiperblicznej. Określenia, że są ne wierzchłkami wielkąta idealneg będziemy używali jedynie umwnie, celem zwięzłeg kreślenia takich przypadków. Dwa przykładwe wielkąty idealne prezentujemy pniżej. Rysunek Na kniec pwiedzmy jeszcze jak bliczamy hiperbliczną długść dcinka. Faktycznie mamy dwa rdzaje hiperblicznych dcinków (leżące na euklideswej półprstej, alb na euklideswym półkręgu), pdamy zatem dwa wzry pzwalające bliczyć długść dcinka. Wyznaczając długść hiperbliczneg dcinka zawierająceg się w euklideswej półprstej, należy kreślić euklideswe dległści kńców teg dcinka d prstej brzegwej (zgdnie z Rysunkiem 0.1.5, są t dległści i ). Następnie bliczając wartść wyrażenia ln ( ), trzymujemy szukaną długść hiperbliczneg dcinka. Natmiast w przypadku dcinków leżących na euklideswych półkręgach, hiperbliczną długść kreślamy wykrzystując ddatni zrientwane kąty między prstą brzegwą a prmieniami wspmnianeg półkręgu, pprwadznymi d kńców rzpatrywaneg dcinka. Następnie (przyjmując znaczenia zgdne z Rysunkiem 0.1.6) bliczając wartść wyrażenia ln ( Rysunek ), trzymamy długść hiperbliczneg dcinka Rysunek

10 0.2. Odległść punktu d prstej w mdelu półpłaszczyznwym. W pprzednim pdrzdziale pkazaliśmy już jak kreślić długść hiperbliczneg dcinka, czyli dległść między dwma różnymi hiperblicznymi punktami. W dalszej części pracy nawiążemy także d hiperblicznej dległści punktu d prstej. Wykrzystując elementarne fakty z gemetrii hiperblicznej trzymujemy pniższe własnści (ich uzasadnienie pminiemy). Są ne bezpśredni związane z kreślaniem tej dległści. Własnść Przez punkt jedna hiperbliczna prsta prstpadła d. nienależący d hiperblicznej prstej przechdzi dkładnie Punkt będący przekrjem hiperblicznej prstej prstpadłej d i przechdzącej przez punkt z prstą, nazywamy rzutem prstkątnym punktu na prstą i znaczamy. Punkt ten ma pewną charakterystyczną własnść. Własnść Spśród wszystkich punktów należących d prstej, najmniejszą dległść d punktu ma punkt. Zatem nasuwa się następujący wnisek. Własnść Odległść punktu d prstej (rzumiana jak minimalna dległść między punktem, a punktami z prstej ) jest równa dległści d Izmetrie w mdelu półpłaszczyznwym Izmetrie definiujemy analgicznie jak w przypadku gemetrii euklideswej. Hiperbliczna izmetria t przekształcenie zachwujące hiperbliczną dległść. Hiperblicznymi izmetriami są hiperbliczne symetrie siwe względem hiperblicznych prstych, jak również złżenia takich symetrii. W rzumieniu euklideswym rzróżniamy dwa rdzaje hiperblicznych symetrii siwych względem hiperblicznych prstych. 1) Jeśli hiperbliczna prsta jest euklideswą półprstą, t rzważamy euklideswą symetrię siwą względem tej półprstej. 2) Jeśli hiperbliczna prsta jest euklideswym półkręgiem, t rzważamy euklideswą inwersję względem teg półkręgu. Euklideswa symetria siwa t zwykłe dbicie, które jest nam stsunkw dbrze znane. Wart jednak przypmnieć kilka infrmacji związanych z euklideswą inwersją

11 Inwersja względem kręgu śrdku i prmieniu jest t przekształcenie płaszczyzny (bez punktu ), przyprządkwujące dwlnemu punktwi, punkt leżący na półprstej i spełniający zależnść. Euklideswą inwersję zdefiniwaliśmy względem kręgu. Rzważmy jednak bcięcie płaszczyzny euklideswej d półpłaszczyzny, której brzeg przechdzi przez śrdek kręgu inwersji. Zauważmy, że inwersja względem teg kręgu przekształca tę półpłaszczyznę na siebie. Bez zmniejszania gólnści przyjmijmy, że rzważana półpłaszczyzna t płaszczyzna hiperbliczna mdelu, której brzegiem jest prsta brzegwa. Tak trzymujemy inwersję względem euklidesweg półkręgu wyrażająceg hiperbliczną prstą, którą kreślamy jak hiperbliczną symetrię siwą względem tej prstej. Zwróćmy uwagę na cztery zasadnicze własnści takich inwersji. 1) Inwersje zachwują hiperbliczną dległść pmiędzy parami punktów. 2) Inwersje są przekształceniami półpłaszczyzny mdelu, różnwartściwymi i na. 3) Inwersje przekształcają hiperbliczne prste w hiperbliczne prste. 4) Inwersje zachwują kąty między hiperblicznymi prstymi. Pnieważ inwersje pełnią w tej pracy jedynie funkcję pmcniczą, dlateg pminiemy uzasadnienie pwyższych własnści, kierując przy tym zaintereswaneg czytelnika d pzycji [1] (Rzdział 5), zamieszcznej w bibligrafii. Znajdziemy tam dpwiednie uzasadnienia, jak również bszerniejsze infrmacje dtyczące inwersji. Inwersje psłużą nam d uzasadnienia isttneg spstrzeżenia, które wykrzystamy w dalszej części pracy. Celem zwięźlejszeg sfrmułwania pniższeg spstrzeżenia, hiperbliczną prstą wyrażną przez euklideswy półkrąg śrdku w punkcie i prmieniu, będziemy znaczali jak (na brzegu mdelu) Spstrzeżenie Dwlny trójkąt prstkątny zadany w mdelu półpłaszczyznwym mżna przekształcić pprzez hiperbliczną izmetrię d pstaci pisanej pniższymi warunkami. Wierzchłek kąta prsteg jest punktem przecięcia hiperblicznej prstej wyrażnej przez euklideswą półprstą pczątku w punkcie (na brzegu mdelu) i hiperblicznej prstej wyrażnej przez euklideswy półkrąg. Jedna z przyprstkątnych (dwlnie wybrana) płżna jest na prstej wyrażnej przez euklideswą półprstą pczątku w punkcie, nad półkręgiem. Druga przyprstkątna leży na prstej wyrażnej przez półkrąg, p prawej strnie euklideswej półprstej zawierającej pprzednią przyprstkątną. Pwyższe warunki determinują płżenie przeciwprstkątnej. Jest na częścią prstej wyrażnej przez euklideswy półkrąg (jeg śrdek znaczmy jak, a prmień ). Zanim uzasadnimy t spstrzeżenie, sfrmułujmy pmcniczy lemat.

12 Lemat pmcniczy. Inwersja względem półkręgu śrdku w punkcie i prmieniu spełnia pniższe warunki. a) Zachwuje punkty leżące na półkręgu. b) Przekształca półkrąg jednym z kńców w punkcie na półprstą. c) Przekształca półprstą przechdzącą przez (bez punktu ) w tą samą półprstą. d) Przekształca półkrąg śrdku w punkcie i prmieniu na półkrąg śrdku w punkcie O i prmieniu. Dwód teg lematu pmijamy, kierując zaintereswaneg czytelnika d dpwiedniej literatury ([1], Rzdział 5). Przejdźmy teraz d uzasadnienia Spstrzeżenia W pniższym dwdzie pstaramy się uniknąć nadmierneg stswania kreśleń hiperbliczny i euklideswy. Z góry przyjmijmy, że mówiąc izmetriach, trójkącie i prstych, myślimy nich w sensie hiperblicznym. Natmiast inwersje, półprste i półkręgi, rzumiemy w sensie euklideswym. Dwód Spstrzeżenia 0.3.1: Rzpatrzmy dwlny trójkąt prstkątny zadany w mdelu półpłaszczyznwym. Pprzez klejne izmetrie przekształcimy ten trójkąt d pstaci pisanej w spstrzeżeniu. Zacznijmy d znaczenia pszczególnych przyprstkątnych w takim trójkącie. Niech będzie dwlnie wybraną hiperbliczną przyprstkątną teg trójkąta. Pprzez klejne przekształcenia dążymy d teg, żeby leżała na na prstej wyrażnej przez półprstą pczątku w punkcie, pnad półkręgiem. Drugą hiperbliczną przyprstkątną znaczmy przez. P przekształceniach pwinna na leżeć na prstej wyrażnej przez półkrąg, p prawej strnie. Rzumwanie pdzielimy na kilka etapów. Pszczególne etapy pmijamy, jeśli warunki w nich pdane są już spełnine. Etap I. Dążymy d teg, aby leżała na prstej wyrażnej przez półprstą. Jeżeli nie leży na półprstej, wtedy wykrzystajmy przekształcenie przez izmetrię. Rzpatrzmy inwersję względem półkręgu, któreg śrdek znajduje się w jednym z kńców półkręgu zawierająceg. Pprzez tę inwersję trzymamy przystający trójkąt, w którym zgdnie z pdpunktem b) Lematu pmcniczeg raz trzecią z pdanych wcześniej własnści inwersji, leży na półprstej. Na kniec teg etapu zwróćmy jeszcze uwagę na wzajemne płżenie bków trójkąta pwstałeg p pwyższych przekształceniach. Pzstałe dwa bki trójkąt muszą teraz leżeć na półkręgach. Gdyby któryś z nich leżał na półprstej, t ta półprsta nie mgłaby się przeciąć z półprstą zawierającą (bie są prstpadłe d prstej brzegwej), takie przecięcie twrzy natmiast wierzchłek trójkąta. Klejną rzeczą wartą pdkreślenia są ramina kąta prsteg w tym trójkącie. Jedna z przyprstkątnych ( ) leży teraz na półprstej, natmiast druga ( ) na półkręgu

13 Z ich prstpadłści mżemy wywniskwać, że półprsta zawierająca śrdka półkręgu zawierająceg. wychdzi ze Etap II. Dążymy d pstaci trójkąta, która umiejscwi na półkręgu. Oznaczmy śrdek półkręgu zawierająceg jak. Jeżeli długść prmienia teg półkręgu jest różna d, t wyknajmy klejne przekształcenie będące izmetrią. Przyjmując, że długść wspmnianeg prmienia wynsi wykrzystajmy inwersję względem półkręgu. Zgdnie z pdpunktem d) Lematu pmcniczeg taka inwersja przekształci cały trójkąt (z etapu I), tak żeby należała d półkręgu. C więcej zauważmy, że taka inwersja nadal umiejscawia przyprstkątną wychdzącej z (zgdnie z pdpunktem c) Lematu pmcniczeg). na półprstej Etap III. Przekształcamy przyprstkątną p 1 d płżenia pnad półkręgiem. Jeżeli nie leży pnad półkręgiem, t leży wewnątrz teg półkręgu. Izmetria z której skrzystamy tym razem t symetria siwa względem prstej wyrażnej przez półkrąg zawierający. Faktycznie jest t inwersja względem teg półkręgu. Zgdnie z pdpunktem b) Lematu pmcniczeg, takie przekształcenie dwzrwuje półprstą zawierającą w samą siebie. Wystarczy jednak dwłać się d definicji inwersji, aby spstrzec, że wszystkie punkty tej prstej leżące wewnątrz półkręgu, p przekształceniu zstaną umieszczne w jeg zewnętrznej części. Ddajmy jeszcze, że takie przekształcenie zgdnie z pdpunktem a) Lematu pmcniczeg, zachwuje płżenie. Etap IV: pwinna leżeć na praw d. Jeżeli tak nie jest t wystarczy zastswać izmetrię w pstaci symetrii siwej względem prstej zawierającej zawierającej.. Faktycznie jest t zwykła euklideswa symetria względem półprstej Ostatecznie p przekształceniach pisanych w pwyższych etapach trzymujemy trójkąt przystający d wyjściweg (przed Etapem I), spełniający warunki ze Spstrzeżenia Mdel dyskwy Pincareg pdstawwe infrmacje D graficznej prezentacji hiperblicznych wielkątów fremnych wykrzystamy mdel dyskwy Pincareg. Mdel ten pwstaje pprzez przekształcenie płaszczyzny hiperblicznej z mdelu półpłaszczyznweg (pisaneg w Pdrzdziale 0.1) za pmcą inwersji. Na pczątek przypmnijmy, że prsta brzegwa rzważana w przypadku mdelu półpłaszczyznweg, pdzieliła płaszczyznę euklideswą na dwie części, z których jedną nazwaliśmy płaszczyzną hiperbliczną. W tej drugiej części umieśćmy teraz euklideswy krąg, który ma dkładnie jeden punkt wspólny z prstą brzegwą. Euklideswa inwersja (pprzedni pdrzdział) względem takieg kręgu, przekształca płaszczyznę hiperbliczną mdelu półpłaszczyznweg, w płaszczyznę hiperbliczną w mdelu dyskwym Pincareg

14 Zwróćmy uwagę na fakt, że prsta brzegwa przekształca się pprzez inwersję w euklideswy krąg. Nazwijmy g kręgiem brzegwym. Półpłaszczyzna mdelu przekształca się natmiast na wnętrze kręgu brzegweg. Płaszczyzny te wraz z kręgiem inwersji symblicznie prezentujemy na pniższym Rysunku Rysunek Pprzez pisaną pwyżej inwersję przekształcamy również pszczególne hiperbliczne biekty gemetryczne, niejak przensząc je pmiędzy pszczególnymi mdelami. Znając własnści inwersji, mżemy pdać dpwiadające im definicje w mdelu dyskwym. Pnieważ mdel ten będziemy wykrzystywać jedynie d graficznych prezentacji, dlateg tylk krótk nawiążemy d kilku pdstawwych pjęć. Rzróżniamy dwa typy hiperblicznych prstych w mdelu dyskwym. 1) Euklideswe średnice kręgu brzegweg (bez punktów należących d teg kręgu). 2) Euklideswe łuki kręgów kńcach na kręgu brzegwym, prstpadłe d teg kręgu. (z wyjątkiem punktów należących d kręgu brzegweg). Hiperbliczne półprste, dcinki i kąty w mdelu dyskwym definiujemy analgicznie jak w mdelu półpłaszczyznwym (patrz Pdrzdział 0.1). Pdbnie z pprzednieg mdelu przensimy również spsby mierzenia kątów. Wart jeszcze ddać, że zgdnie z własnściami pdanymi na pczątku Pdrzdziału 0.3, inwersja zachwuje miary kątów między hiperblicznymi prstymi. Pzwlimy sbie pminąć spsby kreślania długści dcinków w mdelu dyskwym. Czynnści takich nie będziemy wyknywać w niniejszej pracy. Czytelnikwi wskazujemy jednak knkretny spsób kreślenia takiej wielkści. Pprzez dpwiednią inwersję pisaną wcześniej, mżemy przekształcić dany dcinek d mdelu półpłaszczyznweg i tam bliczamy jeg długść

15 0.5. Ksinus hiperbliczny i jeg dwrtnść Rzpatrując gemetrię hiperbliczną pjawiają się nwe wzry i wyrażenia. W niniejszej pracy wykrzystamy funkcję zmiennej rzeczywistej kreślaną jak ksinus hiperbliczny. Taką funkcję znaczamy h i kreślamy następującym wzrem: h. Rzważać będziemy również funkcję dwrtną d pwyższej. Jednak żeby dwzrwanie był wzajemnie jednznaczne, rzpatrujemy bcięcie funkcji h d przedziału 0, ). Odwrtnść takiej funkcji nazywamy arcus ksinus hiperbliczny i znaczamy h. Pniżej prezentujmy fragmenty wykresów mawianych funkcji, które ułatwią nam późniejsze rzważania związane z mntnicznścią tych funkcji. Wykres Zauważmy, że h jest funkcją parzystą, która maleje dla ujemnych argumentów, raz rśnie dla ddatnich. Przy przyjmuje na najmniejszą mżliwą wartść równą. Natmiast h jest funkcją rsnącą, która dla argumentu przyjmuje najmniejszą mżliwą wartść równą. Uwagi kńcwe W pwyższym rzdziale krótk mówiliśmy najważniejsze pjęcia, definicje i wzry związane z mdelami Pincareg gemetrii hiperblicznej. Uwzględnin w szczególnści kwestie isttne i bezpśredni wymagane dla dalszeg zrzumienia pracy. Czytelników czekujących pełniejszeg i wyczerpująceg mówienia pszczególnych zagadnień dsyłamy d pzycji [1] [3] zawartych w bibligrafii. W dalszej części pracy pstaramy się uniknąć nadmierneg stswania kreśleń hiperbliczny i euklideswy. Przymitniki te puścimy, gdy rdzaj wykrzystywanej gemetrii będzie jasn wynikał z kntekstu

16 - 16 -

17 1. Wielkąty fremne Rzdział 1 pświęcimy rzważanim dtyczącym wielkątów fremnych w gemetrii euklideswej i hiperblicznej. Dwlny -kąt fremny pwiążemy z pewnym charakterystycznym trójkątem prstkątnym. Wykrzystując ten trójkąt przeanalizujemy dwa kluczwe parametry: długść bku i miarę kąta wewnętrzneg. Wyznaczymy też długść prmienia kręgu wpisaneg w hiperbliczny wielkąt fremny. Zaczniemy d przypmnienia zagadnień w gemetrii euklideswej, następnie pszukamy analgii i skupimy się na właściwych rzważaniach w gemetrii hiperblicznej. Definicja Wielkąt fremny t wielkąt, w którym wszystkie bki są równej długści i wszystkie kąty wewnętrzne mają równą miarę. Wielkąt fremny, w którym liczba bków wynsi nazywamy -kątem fremnym Pewien pis wielkątów fremnych w gemetrii euklideswej Zwróćmy uwagę, że mając zadany trójkąt równramienny kącie przeciwległym d pdstawy równym, mżemy z takich trójkątów zbudwać (sknstruwać) -kąt fremny. Odłóżmy (gdzie ) takich przystających trójkątów wkół wspólneg wierzchłka przy kącie, tak żeby dwa sąsiadujące trójkąty miały dkładnie jedn wspólne ramię. Przedstawiny pis prezentujemy na pniższym rysunku. Rysunek Tak pwstały wielkąt spełnia warunki pisujące wielkąt fremny (patrz definicja 1.0.1). Długści bków: wszystkie długści są równe, b są t pdstawy przystających trójkątów równramiennych. Kąty wewnętrzne: wszystkie kąty wewnętrzne są przystające, mają równą miarę, dpwiadającą dwukrtnej mierze kąta przy pdstawie w trójkącie równramiennym

18 Pjawia się wątpliwść, czy zgdnie z pwyższą metdą mżemy trzymać wszystkie wielkąty fremne. Odpwiedź brzmi tak. Wiemy, że na dwlnym wielkącie fremnym mżna pisać krąg. Łącząc śrdek takieg kręgu z klejnymi wierzchłkami wielkąta pwstaje pdział wielkąta na trójkąty równramienne pisane pwyżej (Rysunek ). Rzważmy rzkład -kąta fremneg na trójkąty równramienne, tak jak pwyżej. Pprwadzenie wyskści puszcznej na pdstawę w takich trójkątach, dzieli je na dwa przystające trójkąty prstkątne. Rzważmy jeden z nich. Zauważmy, że za pmcą pwyższej prcedury w dwlnym wielkącie fremnym wydzielimy dpwiedni trójkąt prstkątny. Taki trójkąt nazwijmy trójkątem prstkątnym dpwiadającym wielkątwi fremnemu. Spstrzeżenie Długść bku i miarę kąta wewnętrzneg dwlneg n-kąta fremneg mżna kreślić na pdstawie parametrów dpwiadająceg mu trójkąta prstkątneg. Wyjaśnieniem teg spstrzeżenia będą pniższe rzważania. Miara kąta wewnętrzneg W dpwiednim trójkącie prstkątnym miara jedneg z kątów wynsi, pnieważ w trójkącie równramiennym wyskść puszczna na pdstawę pdzieliła kąt przeciwległy d pdstawy równy na dwie równe części. Krzystając z faktu, że suma miar kątów wewnętrznych w trójkącie wynsi π, mżemy bliczyć miarę drugieg kąta streg w trójkącie prstkątnym:. Zauważmy teraz, że dwa takie kąty twrzą kąt wewnętrzny w -kącie fremnym, któreg miara jest zatem równa: (1.1.2) Długść bku Długść bku -kąta fremneg była równa długści pdstawy w trójkącie równramiennym. Spdek wyskści puszcznej na pdstawę dzieli ją na dwa równe dcinki. Stąd przy zadanym trójkącie prstkątnym długść bku jest dwa razy dłuższa d długści przyprstkątnej leżącej naprzeciw kąta w tym trójkącie. Wyniki pwyższeg rzumwania przedstawiamy graficznie na pniższym rysunku. Rysunek

19 1.2. Trójkąty twrzące hiperbliczny wielkąt fremny W gemetrii hiperblicznej tak jak w gemetrii euklideswej dwlny wielkąt fremny pwstaje pprzez dłżenie (gdzie ) przystających trójkątów równramiennych kącie przeciwległym d pdstawy mającym miarę równą. Odkładamy je wkół wspólneg wierzchłka przy kącie, tak żeby dwa sąsiadujące trójkąty miały jedn wspólne ramię. Pwyższe stwierdzenie jest prawdziwe, ale jeg dwód pminiemy. Pniżej prezentujemy sześcikąt fremny w mdelu dyskwym Pincareg, przedstawiny według pwyższeg rzumwania. Rysunek Sześcikąt ten składa się z sześciu przystających trójkątów równramiennych. Kąt przeciwległy d pdstawy w każdym z tych trójkątów ma miarę, czyli. Analgicznie mżemy przedstawić dwlny -kąt fremny (patrz Rysunek 1.2.2). Rysunek

20 Pdbnie jak w gemetrii euklideswej (Pdrzdział 1.1) uprścimy rzważania, przez sprwadzenie analizy własnści -kąta fremneg d analizy własnści dpwiadająceg mu trójkąta prstkątneg jednym z kątów strych równym. Taki trójkąt wydzielimy z trójkąta równramienneg twrząceg wielkąt fremny, pprzez puszczenie z wierzchłka przeciwległeg d pdstawy dcinka prstpadłeg d tej pdstawy. Taki trójkąt zstał wyróżniny niebieskim klrem na Rysunek Przez bku, natmiast α niech znacza miarę kąta wewnętrzneg w znaczymy długść -kącie fremnym. Przypmnijmy, że wtedy przyprstkątna przeciwległa d kąta ma długść, natmiast przylegający d tej przyprstkątnej kąt stry ma miarę. Dalszą analizę pwyższeg trójkąta prstkątneg pprwadzimy w mdelu półpłaszczyznwym Pincareg. W tym mdelu przekształćmy ten trójkąt d pewnej charakterystycznej pstaci, która zstała pisana w Spstrzeżeniu Treść spstrzeżenia przypminamy pniżej. Dwlny trójkąt prstkątny zadany w mdelu półpłaszczyznwym mżna przekształcić pprzez hiperbliczną izmetrię d pstaci pisanej pniższymi warunkami. Wierzchłek kąta prsteg jest punktem przecięcia hiperblicznej prstej wyrażnej przez euklideswą półprstą pczątku w punkcie (na brzegu mdelu) i hiperblicznej prstej wyrażnej przez euklideswy półkrąg. Jedna z przyprstkątnych (dwlnie wybrana) płżna jest na prstej wyrażne przez euklideswą półprstą pczątku w punkcie, nad półkręgiem. Druga przyprstkątna leży na prstej wyrażnej przez półkrąg, p prawej strnie euklideswej półprstej zawierającej pprzednią przyprstkątną. Pwyższe warunki determinują płżenie przeciwprstkątnej. Jest na częścią prstej wyrażnej przez euklideswy półkrąg (jeg śrdek znaczmy jak, a prmień ). Graficzny braz naszeg trójkąta p pwyższych przekształceniach prezentuje Rysunek (przyjmijmy, że przyprstkątna długści leży na euklideswej półprstej). Rysunek

21 Przeanalizujmy teraz takie przedstawienie hiperbliczneg trójkąta prstkątneg. Warunki przedstawine w Spstrzeżeniu narzucają sztywne płżenie hiperblicznych prstych zawierających przyprstkątne trójkąta, czyli bków znajdujących się na euklideswym półkręgu i euklideswej półprstej pczątku w. Prmień półkręgu jest ustalny, jeg śrdek leży na prstej brzegwej mdelu. Półprsta jest prstpadła d prstej brzegwej (patrz Pdrzdział. 0.1). Trzeci bk trójkąta (przeciwprstkątna) leży na euklideswym półkręgu, który przecina się z półkręgiem pd kątem strym mierze równej, twrząc ten kąt między bkami trójkąta. Uwaga Prmień i płżenie śrdka półkręgu sprecyzwane. Parametry te mżemy krygwać, jeśli spełnimy pniższe warunki. Śrdek leży na prstej brzegwej mdelu., nie są knkretnie Miara ddatni zrientwaneg kąta między półkręgami i wynsi. Pwyższą uwagę uściślimy w Pdrzdziale 1.3. Teraz pczyńmy jeszcze kilka pmcniczych krków, które wykrzystamy później. Wprwadźmy ddatkwe znaczenia jak na Rysunku Zaznaczmy elementy, które później wykrzystamy. Rzpatrujemy trójkąt w gemetrii hiperblicznej, ale d jeg pisu wykrzystujemy pjęcia znane z gemetrii euklideswej. W rzumieniu euklideswym znaczmy: dcinek jak dległść między śrdkami półkręgów, przez,, klejne wierzchłki trójkąta, dpwiedni przy kątach, i, dcinek, zwróćmy uwagę, że jest t prmień półkręgu śrdku w, analgicznie dcinki i, jak prmienie półkręgu śrdku w, prstą styczną d półkręgu w punkcie znaczmy przez, prste styczne d półkręgu w punktach i znaczmy dpwiedni i. Kluczwym dcinkiem dla naszeg rzumwania będzie, dlateg zastsujmy pdwójne znaczenie, przez będziemy rzumieć jak długść hiperbliczną, natmiast przez długść euklideswą. Ostatecznie trzymujemy szkic przedstawiny na Rysunku

22 Rysunek Isttne w rzumwaniu będą zaznaczne kąty, i. Lemat Miara kąta wynsi. Dwód: Rzważmy jeden z kątów wewnętrznych w hiperblicznym trójkącie Kąt w wierzchłku wynsi, jest t kąt pmiędzy łukiem a łukiem. Faktycznie zamiast łuków, jak ramina kąta traktujemy prste styczne d tych półkręgów w punkcie, czyli dpwiedni i. Odcinek jest t prmień półkręgu, pprwadzny d punktu stycznści, stąd jest n prstpadły d prstej, pdbnie dcinek jest prstpadły d. Skr miara kąta między prstymi i wynsi, t kąt miedzy dpwiadającymi im dcinkami prstpadłymi pprwadznymi d punktu przecięcia tych prstych (czyli i ), też będzie miał miarę. Inaczej mówiąc, kąt ten pwstaje pprzez brócenie ramin kąta między prstymi i wkół wierzchłka, a takie przekształcenie nie zmienia miary kąta. Ostatecznie Lemat Miara kąta jest równa. c.n.d. Dwód: Miara kąta w wierzchłku trójkąta wynsi, jest t kąt pmiędzy dcinkiem a łukiem. Faktycznie zamiast łuku, jak drugie ramię kąta traktujemy prstą styczną d półkręgu w punkcie, czyli. Zwróćmy uwagę, że dcinek jest t prmień półkręgu, pprwadzny d punktu stycznści, stąd jest n prstpadły d prstej. Mamy: więc. Sumując miary kątów wewnętrznych w trójkącie i pdstawiając wartść uzyskaną w pprzednim równaniu dstajemy:, stąd równść c.n.d.

23 1.3. Długść bku i miara kąta wewnętrzneg w hiperblicznym wielkącie fremnym Bazując na rzważanej w pprzednim pdrzdziale pstaci trójkąta prstkątneg, przeanalizujemy długść bku i miarę kąta wewnętrzneg dla -kąta fremneg w gemetrii hiperblicznej. Bez zmniejszenia gólnści, rzważania nad długścią bku -kąta fremneg graniczymy d analizy płwy bku. W trójkącie dpwiada mu przyprstkątna leżąca na euklideswej półprstej. Zastanówmy się, jakie wartści przyjmuje długść bku. Stwierdzenie Długść bku w hiperblicznym dwlną wartść ddatnią. -kącie fremnym przyjmuje Dwód: Hiperbliczna długść płwy bku jest wyrażna wzrem ln. Uwzględniając fakt, że jest ddatnie, trzymujemy: ln. Funkcja ln jest funkcją ciągłą i rsnącą, dla byłaby równa. Stąd udwdnienie, że przyjmuje dwlną wartść ddatnią, sprwadza się d pkazania, że jak euklideswa długść dcinka mże być dwlna. Należy sprawdzić czy dla każdej wartści istnieje dpwiedni trójkąt (patrz Rysunek ). Uwaga sugeruje, że mżna zmieniać parametry półkręgu zawierająceg przeciwprstkątną, takie zmiany mgą jednak spwdwać przemieszczenie wierzchłka, czyli zmianę długści dcinka. Dwód granicza się d pkazania, że dla każdej wartści istnieje półkrąg, zawierający przeciwprstkątną trójkąta. Taki półkrąg mżemy wskazać pprzez pdanie jeg parametrów długści prmienia i płżenia śrdka (faktycznie wskażemy dległść śrdka teg półkręgu d, czyli ). Wyk zy tują twie dzenie k inu ów w t ójką ie d kąt p zy wie z hłku, ówneg (Lemat 1.2.2), trzymujemy:. Z twierdzenia Pitagrasa zastswaneg w trójkącie dstajemy:. Pdstawmy za i przekształćmy:, stąd, czyli. Pzstaje bliczenie dległści. Przekształcając równanie trzymane z tw. Pitagrasa dstajemy. Pdstawiając wcześniejsze wyrażenie za mamy ( ). Ostatecznie pkazaliśmy, że dla dwlnej długści bku półkrąg równym mżemy tak dbrać, żeby trzymać hiperbliczny trójkąt prstkątny jednym z kątów strych. Istnienie t kieg t ójkąt je t ównzn zne z i tnieniem hiperbliczneg

24 -kąt f emneg bku długś i (gdzie zn z długść hiperbliczneg dcinka AB), tąd dwlne ddatnie c.n.d. Miarę kąta wewnętrzneg w hiperblicznym -kącie fremnym znaczyliśmy przez. W hiperblicznym trójkącie kąt leży przy wierzchłku. Jedn z jeg ramin znajduje się na euklideswym półkręgu. Wiemy już, że płżenie teg kręgu ulega zmianie wraz ze zmianą długści bku w wielkącie. Pwstaje przypuszczenie, że jest jakieś pwiązanie miedzy miarą kąta a długścią bku. Stwierdzenie Miara kąta wewnętrzneg w hiperblicznym długści bku wynsi: -kącie fremnym (1.3.3) in Dwód: W dwdzie Stwierdzenia pk z liśmy że. W Lemacie dwiedliśmy, że tąd in in. Pniew ż jest kątem t ym j k jeden z kątów strych t ójkąt p tkątneg, trzymujemy: in, czyli (1.3.4) in. Otrzymaliśmy zależnść między miarą kąta a długścią euklideswą bku w naszym trójkącie. Zwróćmy jednak uwagę, że długść bku wyrażna jest w rzumieniu euklideswym. Przypmnijmy, długść bku w rzumieniu hiperblicznym znaczyliśmy przez. Z zależnści między euklideswą i hiperbliczną długścią bku mamy: ln, stąd. Pdstawiając d równania (1.3.4) dstajemy: in ( ) ( ) in. Rzważmy teraz argument funkcji arcus sinus czyli. Pdzielmy licznik i mianwnik przez trzymujemy:. Zwróćmy uwagę, że funkcja w mianwniku t h. Stąd statecznie in c.n.d. Skr znamy już wzór wyrażający miarę kąta wewnętrzneg w wielkącie fremnym, t teraz zastanówmy się jakie wartści mże przyjmwać ta wielkść. Stwierdzenie Miara kąta wewnętrzneg w -kącie fremnym maleje wraz ze wzrstem długści bku wielkąta i przyjmuje wszystkie wartści z zakresu

25 Dwód: Zgdnie ze wzrem z pprzednieg twierdzenia, trzymaliśmy zależnść in, gdzie jest hiperbliczną długścią bku wielkąta. Rzważmy jedną z funkcji składwych, czyli h. Wiemy że funkcja ta rśnie wraz ze wzrstem (patrz Pdrzdział 0.5), a zatem wartść wyrażenia będzie wtedy malała. Uwzględniając fakt, że wyrażenie t jest argumentem funkcji rsnącej arcus sinus pisującej, trzymujemy statecznie, że miara α maleją wraz ze wzrstem. Przypmnijmy, że długść bku w hiperblicznym -kącie fremnym przyjmuje dwlną wartść ddatnią (patrz Stwierdzenie 1.3.1). Rzważmy graniczne wartści. lim h, stąd lim lim in in. Ze wzrów redukcyjnych trzymujemy: in in in in. Pdbnie lim h a lim lim in in. Pdsumwując dla i dla. Ddajmy jeszcze, że funkcja pisująca α, czyli in jest ciągła, jak złżenie funkcji ciągłych. Stąd wniskujemy, że α przyjmie wszystkie wartści pśrednie d 0 d c.k.d. Klejnym spsbem wykrzystania wzru jest mżliwść uzyskania wyrażenia pisująceg długść bku w -kącie fremnym, przy załżeniu że kąt wewnętrzny jest dany. Należy pliczyć funkcję dwrtną d funkcji z pwyższeg dwdu. Wiemy, że in. Dzieląc przez 2 i nakładając funkcję sinus na bie strny równania mamy: in, stąd h, statecznie: (1.3.6) h. Otrzymujemy długść bku -kąta fremneg, jak funkcję miary jeg kąta wewnętrzneg Prmień kręgu wpisaneg w hiperbliczny wielkąt fremny W pprzednich rzważaniach przyjęliśmy, że płwa bku utżsamiana z bkiem kąta fremneg naszeg trójkąta, leży na euklideswej półprstej pczątku w punkcie (Rysunek 1.2.4, w tym pdrzdziale pwtórzny jak Rysunek A). W Spstrzeżeniu dpuszczamy też drugi wariant. Przez izmetrie dprwadzamy d pstaci gdy bk leży na euklideswym półkręgu (nie zmieniając przy tym długści bków trójkąta). Otrzymujemy trójkąt przedstawiny na Rysunku B.

26 Rysunek A Rysunek B Prównując trzymaną teraz pstać trójkąta (Rysunek B) z jeg przedstawieniem na Rysunku A zauważamy, że zamieniliśmy płżeniem przyprstkątne trójkąta. Spstrzeżenie Bk trójkąta leży teraz na euklideswej półprstej pczątku w. Jeg długść liczymy analgicznie jak długść bku w przypadku przedstawinym na Rysunku A. Przypmnijmy, że h. We wzrze wykrzystujemy miary kątów strych w trójkącie, stąd przez analgię trzymujemy wzór (1.4.2) h. Jest t wzór na długść przyprstkątnej przylegającej d kąta, w zależnści d miary kąta α. Zastanówmy się nad gemetrycznym znaczeniem bku. Wpierw przypmnijmy jednak, jak pwstawał cały trójkąt. Zgdnie z pisem przedstawinym w pczątkwym fragmencie Pdrzdziału 1.2, -kąt fremny twrzyliśmy z przystających trójkątów równramiennych kącie przeciwległym d pdstawy mającym miarę równą. Odkładaliśmy je wkół wspólneg wierzchłka przy kącie tak, żeby dwa sąsiadujące trójkąty miały jedn wspólne ramię. Następnie w jednym z takich trójkątów równramiennych prwadziliśmy dcinek prstpadły d pdstawy, puszczny na nią z przeciwległeg wierzchłka. Tak trzymywaliśmy pdział na dwa trójkąty przystające d trójkąta. Taki pdział mżemy zastswać w każdym z trójkątów równramiennych twrzących wielkąt fremny. Dzielimy więc cały wielkąt na przystające trójkąty prstkątne. Ogólny przypadek takieg pdziału w mdelu dyskwym Pincareg prezentujemy na klejnym rysunku (jest t drbna mdyfikacja Rysunku )

27 Rysunek Jeden z przystających trójkątów prstkątnych twrzących -kąt fremny zstał wyróżniny niebieskim klrem na pwyższym rysunku, jak trójkąt. Rzważmy dcinek. Spstrzeżenie Odcinek długść wyraża dległść punktu jest prstpadły d bku wielkąta fremneg, stąd jeg d dwlneg bku -kąta fremneg. Spstrzeżenie t jest bezpśrednim wniskiem z własnści Na pdstawie tej samej własnści mżemy wyciągnąć następujący wnisek. Wnisek Odcinek jest prmieniem kręgu śrdku w punkcie, wpisaneg w hiperbliczny n-kąt fremny. Przypmnijmy, że wcześniej kreśliliśmy długść dcinka d miary kąta (wzór 1.4.2), w zależnści. Wtedy faktycznie wyraziliśmy więc długść prmienia kręgu wpisaneg w n-kąt fremny. Oznaczając ten prmień przez trzymujemy: ( 1.4.5) h. Na kniec wart jeszcze zwrócić uwagę na pewien charakterystyczny przypadek zmdyfikwaneg wielkąta fremneg (nazywamy g idealnym, patrz Pdrzdział 0.1), w którym wszystkie wierzchłki leżą na prstej brzegwej mdelu. Takie wierzchłki są punktami idealnymi. Frmalnie przyjmujemy, że prsta brzegwa nie należy d mdelu. Gdybyśmy jednak uwzględnili punkty należące d tej prstej, t w mdelu półpłaszczyznwym Pincareg trzymujemy rzeczywiste wierzchłki. Miara kąta wewnętrzneg α przy takim wierzchłku wynsiłaby i taką wartść będziemy umwnie przyjmwać dla kątów wierzchłku idealnym. Graficznym ptwierdzeniem pwyższej knwencji niech będzie prezentacja trójkąta prstkątneg, dpwiadająceg idealnemu wielkątwi fremnemu. Mdyfikując Rysunek B, trzymujemy przedstawienie z Rysunku

28 Rysunek Przypmnijmy, że w trójkącie miara kąta przy wierzchłku jest płwą miary kąta wewnętrzneg α w wielkącie fremnym. Tutaj jest wierzchłkiem idealnym i zgdnie z wcześniejszym pisem, przyjmujemy że miara kąta przy tym wierzchłku wynsi. Jak uzasadnienie pwyższej knwencji dtyczącej miary kątów w wierzchłkach idealnych mżemy jeszcze przywłać rzważania z gemetrii euklideswej. Miarę mawianeg kąta w tym trójkącie kreślamy jak miarę kąta między stycznymi d półkręgów zawierających bki i (dpwiedni i ) teg trójkąta, w punkcie ich przecięcia, czyli wierzchłku. Widzimy, że zarówn śrdki tych półkręgów i wierzchłek leżą na jednej prstej (prsta brzegwa mdelu). Styczne i, są więc prstpadłe d tej prstej, a zatem muszą się pkrywać, czyli kąt między nimi wynsi. Zauważmy jeszcze, że w zmdyfikwanym trójkącie przedstawinym na Rysunku 1.4.3, również mżemy kreślić długść dcinka. Długść tą wyprwadza się tak sam jak w przypadku zwykłeg trójkąta prstkątneg, który nie ma wierzchłków idealnych (patrz pczątek Pdrzdziału 1.4). Stąd jest na dana tym samym wzrem 1.4.2, dla wartści. Natmiast zgdnie z Wniskiem 1.4.4, dcinek ten mżemy utżsamiać z prmieniem kręgu wpisaneg, tym razem jest n wpisany w idealny wielkąt fremny. Przywłując wzór 1.4.5: h, raz wstawiając, dstajemy długść prmienia kręgu wpisaneg w idealny wielkąt fremny (znaczmy g przez ): (1.4.6) h. Rezultat ten wykrzystamy w klejnej części pracy., jak

29 2. Parkietaże platńskie Celem Rzdziału 2 będzie znalezienie wszystkich parkietaży platńskich w gemetrii hiperblicznej. Przeanalizujemy też długści bków wielkątów twrzących takie parkietaże. Definicja Parkietaż t pkrycie płaszczyzny wielkątami przylegającymi i niezachdzącymi na siebie. Definicja Parkietaż platński t parkietaż składający się z przystających wielkątów fremnych, których jednakwa liczba schdzi się w każdym wierzchłku. Pprzez schdzi się w każdym wierzchłku. znaczamy parkietaż platński złżny z -kątów fremnych, których W przystających wielkątach fremnych wszystkie kąty wewnętrzne są równe, zatem dchdzimy d pniższeg spstrzeżenia. Spstrzeżenie Wkół dwlneg wierzchłka parkietażu platńskieg skupia się kątów równej mierze, które w sumie mają miarę Parkietaże platńskie w gemetrii euklideswej Zastanówmy się, jakie parkietaże platńskie pstaci są w gemetrii euklideswej. Twierdzenie Istnieją trzy euklideswe parkietaże platńskie:, i. Dwód: Analizę całeg parkietażu graniczymy d bserwacji jedneg, dwlneg wierzchłka. Na jeg pdstawie kreślimy mżliwe wartści parametrów i. Zauważmy że, pnadt jak liczba bków w wielkącie. Kąty wewnętrzne w wielkącie fremnym są wypukłe. Suma dwóch takich kątów jest mniejsza d, stąd na pdstawie Spstrzeżenia wniskujemy, że. Miara każdeg z kątów wewnętrznych w -kącie fremnym wynsi (wzór 1.1.2). Zgdnie ze Spstrzeżeniem dkładając razy taki kąt dchdzimy d równania:, p przekształceniach dstajemy. Zwróćmy uwagę, że wartści wyrażenia ściśle maleją wraz ze wzrstem. Zaczynając d, trzymujemy klejne parkietaże :,,, pminęliśmy gdyż wtedy. Dla wartści są mniejszej d, c jest sprzeczne z pczątkwymi załżeniami. Ostatecznie jedyne parkietaże platńskie t:, i c.n.d

30 Pniżej przedstawin fragmenty pszczególnych parkietaży platńskich w gemetrii euklideswej (d lewej, i ): Rysunki Parkietaże platńskie w gemetrii hiperblicznej Celem jest pisanie wszystkich parkietaży platńskich w gemetrii hiperblicznej. Pdbnie jak w gemetrii euklideswej (patrz Pdrzdział 2.1) wyznaczymy wszystkie mżliwe wartści parametrów i dla których istnieje parkietaż. Z pprzednieg Pdrzdziału 2.1 wiemy, że, pnadt. Kluczem d dalszeg rzumwania będzie Spstrzeżenie 2.0.3, mówiące że wkół dwlneg wierzchłka parkietażu platńskieg skupia się kątów równej mierze, które w sumie mają miarę. Mówimy kątach wewnętrznych w -kącie fremnym. Oznaczmy taki kąt przez α. Otrzymujemy: (2.2.1) W gemetrii euklideswej mgliśmy pdstawić knkretną wartść. Tym razem jednak miara kąta wewnętrzneg w -kącie fremnym ulega zmianie, jest zależna d długści bku. Zakres wartści kąta kreśliliśmy w Stwierdzeniu Przypmnijmy, stąd czyli, przekształcając dstajemy graniczenie (2.2.2) Wyrażenie rzpatrywaliśmy wcześniej (Pdrzdział 2.1), jeg wartści ściśle maleją wraz ze wzrstem, pnadt dla. Zauważmy, że dla, wtedy każdy parametr dla. spełnia nierównść Pzstaje rzważyć mżliwe Lemat Nie ma hiperblicznych parkietaży platńskich pstaci:. Dwód: Rzpatrując klejne wartści n trzymujemy graniczenia dtyczące (wzór 2.2.2): 1), wtedy, 3), wtedy, 2), wtedy 4), wtedy. Na pdstawie tych warunków, drzucamy pdane parkietaże c.k.d

31 Pwstaje pytanie pzstałe mżliwści. Twierdzenie W gemetrii hiperblicznej istnieją następujące parkietaże platńskie: { { }} { }, czyli wszystkie parkietaże pstaci, z wyjątkiem tych występujących w Lemacie Dwód: Uwzględniając Lemat 2.2.3, pzstaje uzasadnić istnienie reszty parkietaży. Zwróćmy uwagę, że istnienie knkretneg parkietażu pstaci jest równważne z istnieniem w -kącie fremnym kąta pstaci (ze wzru 2.2.1), dla. Łącząc te zależnści dstajemy, że. Ze Stwierdzenia wiemy jednak, że w -kącie fremnym α przebiega wszystkie wartści z zakresu c.k.d. Pniżej prezentujemy dwa przykłady parkietaży platńskich, przedstawinych w mdelu dyskwym Pincareg (d lewej parkietaże i ). Rysunki Określenie długści bku w hiperblicznym parkietażu platńskim Wyznaczyliśmy już wszystkie hiperbliczne parkietaże platńskie. Teraz pstaramy się bliżej scharakteryzwać takie parkietaże. Głównym elementem, na którym skupimy swje rzważania będzie długść bku w wielkącie twrzącym parkietaż. Na pczątek zwróćmy uwagę na euklideswe parkietaże platńskie. Długść bku w euklideswym wielkącie fremnym mże być dwlna. Ta dwlnść przensi się d parkietaży, gdyż istnienie i kształt parkietażu są związane jedynie z ustalną miarą kąta wewnętrzneg w wielkącie twrzącym parkietaż (patrz dwód Twierdzenia ). Pjawia się pytanie, jak będzie w gemetrii hiperblicznej

32 W przeciwieństwie d gemetrii euklideswej, tutaj miara kąta wewnętrzneg w wielkącie fremnym jest zależna d jeg długści bku (patrz Stwierdzenie ). Odpwiednia miara takieg kąta decyduje istnieniu daneg parkietażu (patrz dwód Twierdzenie ), dlateg należy dpwiedni dbrać długść bku. Więc jak wyznaczyć taką długść? Twierdzenie Długść bku parkietaż wyraża wzór: wielkąta fremneg twrząceg hiperbliczny (2.3.2) h. Dwód: Wcześniej trzymaliśmy zależnść długści bku d miary kąta wewnętrzneg w dwlnym -kącie fremnym. Przypmnijmy h (patrz wzór 1.3.6). Rzważając istnienie parkietaży hiperblicznych trzymaliśmy wzór 2.2.1:, zatem. Pdstawiając t wyrażenie d wzru 1.3.6, dstajemy tezę twierdzenia c.n.d. Wnisek Długść bku w hiperblicznym parkietażu platńskim ustalneg typu przyjmuje tylk jedną, ustalną wartść Hiperbliczne parkietaże platńskie najkrótszych bkach Zastanówmy się teraz nad skrajnymi wartściami najmniejszych długściach bku.. Zaczniemy d parkietaży Twierdzenie Hiperbliczny parkietaż platński najkrótszym bku t parkietaż. Dwód: Zauważmy, że wyrażenie ściśle rśnie gdy wzrasta parametr naturalny (b funkcja rśnie), pdbnie dla parametru naturalneg wyrażenie t rśnie wraz ze wzrstem (b maleje). Wykrzystując fakt, że funkcja arcus ksinus hiperbliczny jest ściśle rsnąca, uzyskujemy że długść bku h (patrz wzór 2.3.2), rśnie wraz ze wzrstem i. Stąd wnisek, że najmniejsze długści bków będą przyjmwane dla parkietaży najmniejszych parametrach i. Wśród nich szukamy wartści minimalnej. Pierwsza myśl t parkietaż, pamiętajmy jednak pprzednich rzważaniach. Zgdnie z Lematem 2.2.3, nie istnieją hiperbliczne parkietaże platńskie pstaci:. Lemat pmcniczy. Wśród hiperblicznych parkietaży platńskich najkrótszą długść bku ma jeden z parkietaży:. Dwód lematu: Przedstawmy symblicznie parkietaże mniejszych parametrach w tabeli

33 k n Parkietaże 3 X X 4 X X 5 6 X X ISTN ISTN ISTN X nie istniejące ISTN ISTN ISTN ISTN ISTN ISTN istniejące X ISTN ISTN ISTN ISTN ISTN ISTN ISTN wyróżnine w lemacie X ISTN ISTN ISTN ISTN ISTN ISTN 7 ISTN ISTN ISTN ISTN ISTN ISTN ISTN 8 ISTN ISTN ISTN ISTN ISTN ISTN ISTN ISTN ISTN ISTN ISTN ISTN ISTN ISTN Tabela Śledząc tabelę, mżemy zauważyć, że pza wyróżninymi parkietażami, dla wszystkich pzstałych znajdziemy inny parkietaż niższym parametrze lub. Inaczej mówiąc znajdziemy parkietaż mniejszej długści bku, c kńczy dwód Lematu pmcniczeg. Kntynuując właściwy dwód Twierdzenia 2.4.1, pzstaje wybrać najmniejszą spśród wartści: h. Przypmnijmy, funkcja arcus ksinus hiperbliczny jest ściśle rsnąca. Prównanie dwóch długści bków, granicza się d prównania argumentów tej funkcji, wyrażeń pstaci. Należy znaleźć najmniejszą spśród wartści: Zacznijmy d pkazania nierównści. Jej udwdnienie sprwadza się d uzasadnienia równważnej nierównść pstaci: (2.4.2) Wiadm, że in in in in. (patrz [4], str. 74), stąd. Zatem przekształcając nierównść dchdzimy d klejnych nierównści z nią równważnych: in in, czyli in in. Śledząc przebieg wykresu funkcji sinus (symetria względem argumentu równeg ), raz uwzględniając że, ptwierdzamy prawdziwść nierównści 2.4.2, jak również równważnej nierównści Analgicznie uzasadniamy nierównść in in, równważną z nierównścią, a następnie z nierównścią in in jest prawdziwa, gdyż sinus jest funkcją rsnącą w przedziale nierównść wyjściwa jest także prawdziwa. Pzstaje jeszcze prównanie dwóch że mniejszych. Ostatecznie nierównść. Stąd równważna z nią wartści. sprwadza się d udwdnienia równważnej nierównści: Wykazanie

34 (2.4.3) in in. Ze związków między funkcjami trygnmetrycznymi ([4], str. 75) mamy wzór: in [ in in ]. Wykrzystując g w nierównści trzymamy równważne nierównści: in ( ) in ( ) in ( ) in ( ). Wyliczając argumenty sinusów dstajemy in ( ) in ( ) in ( ) in ( ). Zwróćmy teraz uwagę, że in ( ) in ( ) in ( ) in ( ) pnadt in ( ) in ( ). Jak uzasadnienie tych nierównści przypmnijmy tylk, że sinus t funkcją rsnącą na przedziale symetryczną względem argumentu. Ostatecznie ptwierdzamy więc nierównść 2.4.3, jak też równważną nierównść. Pdsumujmy jeszcze nasze rzważania. Najmniejsza z czterech rzpatrywanych wartści t, stąd hiperbliczny parkietaż platński najkrótszym bku t parkietaż (7,3), w którym h c.k.d. Przyjrzyjmy się teraz przybliżnym długścim bków dla pszczególnych parkietaży. Pniższa tabela zstała wyknana przy użyciu prgramu Micrsft Excel k n 3 X X X X 1,091 1,529 1,855 2,123 2,352 2,553 2,734 4 X X 1,254 1,763 2,141 2,448 2,710 2,939 3,142 3,326 3,493 5 X 1,061 1,685 2,123 2,470 2,761 3,012 3,234 3,432 3,612 3,777 6 X 1,317 1,876 2,292 2,629 2,914 3,161 3,380 3,577 3,756 3, ,566 1,449 1,982 2,388 2,720 3,002 3,247 3,465 3,661 3,838 4, ,727 1,529 2,048 2,448 2,777 3,057 3,301 3,518 3,713 3,891 4, ,819 1,581 2,092 2,489 2,816 3,094 3,338 3,554 3,749 3,926 4, ,879 1,617 2,123 2,517 2,843 3,121 3,364 3,580 3,774 3,951 4, ,921 1,643 2,145 2,538 2,862 3,140 3,383 3,598 3,793 3,969 4, ,952 1,663 2,162 2,553 2,877 3,155 3,397 3,612 3,807 3,983 4, ,975 1,678 2,175 2,565 2,889 3,166 3,408 3,623 3,817 3,994 4, ,993 1,690 2,185 2,575 2,898 3,175 3,417 3,632 3,826 4,003 4, ,007 1,700 2,193 2,583 2,906 3,182 3,424 3,639 3,833 4,009 4, ,019 1,707 2,200 2,589 2,912 3,188 3,429 3,645 3,838 4,015 4, ,028 1,714 2,206 2,594 2,916 3,193 3,434 3,649 3,843 4,020 4,182 Tabela Widzimy, że pwyższe wyniki jawnie ptwierdzają wcześniejsze rzważania. Najkrótsza długść bku jest przypisana parkietażwi i wynsi. Pjawia się pytanie, jak mżna interpretwać uzyskane pwyżej knkretne długści bków w parkietażach na płaszczyźnie hiperblicznej

35 Duż bliższa naszemu życiu cdziennemu jest gemetria euklideswa. Intuicyjnie rzróżniamy w niej pdstawwe pjęcia i wielkści. Mżemy wyrazić długść zadaneg dcinka za pmcą znanych jednstek, pdbnie mając długść, dbierzemy d niej dpwiedni dcinek. Wyrażanie długści piera się więc na prównaniu z jakąś dbrze znaną i kreślną wielkścią. Tak też pstąpimy w gemetrii hiperblicznej. Żeby lepiej zrzumieć skalę wylicznych długści, prównamy je z prmieniem kręgu wpisaneg w trójkąt idealny (patrz Pdrzdział 0.1), który mżna uznać za pewneg rdzaju uniwersalną jednstkę w gemetrii hiperblicznej Przypmnijmy, że w Pdrzdziale 1.4 wyprwadziliśmy wzór pzwalający bliczyć prmień kręgu wpisaneg w -kąt idealny: h. Dla, in. Ostatecznie trzymujemy h. Pprzez długść pwyższeg prmienia mżemy teraz wyrażać długści bków pszczególnych parkietaży. Przykładw stwierdzamy, że najkrótsza długść bku w parkietażu platńskim (7,3), jest w przybliżeniu równa długści prmienia kręgu wpisaneg w trójkąt idealny. Zaskczeniem mże być dla nas sam rezultat trzymany dla trójkąta idealneg. Prmień kręgu wpisaneg wynsi jedynie kł 0,55. Birąc pd uwagę fakt, że bkami teg trójkąta są nieskńczenie długie hiperbliczne prste (patrz prste w mdelach Pincareg, Pdrzdział 0.1), pwstaje iluzja sprzecznści. Dbrze ugruntwana intuicja z gemetrii euklideswej pdpwiada nam, że skr bki trójkąta fremneg są tak długie, t sam trójkąt jest bardz duży, przez c wpiszemy w nieg duży krąg, który z pewnścią ma bardz długi prmień. Różnicę pmiędzy hiperblicznymi długściami bku wielkąta i prmienia kręgu wpisaneg uwidacznia się nie tylk w przypadku wielkątów idealnych, ale również dla pzstałych wielkątów. Kluczem d wybrażenia sbie, w jaki spsób ta różnica mże być tak duża niech będzie pniższy, schematyczny rysunek, ilustrujący przykładwy kształt -kąta fremneg małej mierze kąta wewnętrzneg. Rysunek