( ) σ v. Adam Bodnar: Wytrzymałość Materiałów. Analiza płaskiego stanu naprężenia.

Transkrypt

1 Adam Bdnar: Wtrzmałść Materiałów Analiza płaskieg stanu naprężenia 5 ANALIZA PŁASKIEGO STANU NAPRĘŻENIA 5 Naprężenia na dwlnej płaszczźnie Jak pamiętam płaski stan naprężenia w punkcie cechuje t że wektr naprężeń przprządkwane wszstkim płaszczznm przecięcia brł w danm punkcie leżą w jednej płaszczźnie zwanej płaszczzną stanu naprężenia Wówczas w macierz naprężeń wszstkie jej element w jednm wierszu (klumnie) mają zerwe wartści Taki stan naprężenia wstępuje np w płaskich tarczach Rzważm zatem płaską tarczę kreślną w układzie współrzędnch () i bciążną dwlnm ale będącm w równwadze układem sił zewnętrznch p C ( m l) ( ) s ( l m) ( α ) Rs 5 Wbierzm dwln punkt C w pkazanej na rs 5 płaskiej tarcz i przjmijm że znam w nim współrzędne macierz naprężeń Pnieważ panuje w nim płaski stan naprężenia t macierz naprężeń będzie miała w gólnm przpadku czter różne d zera element: x T = x Współrzędne wektra naprężenia p ( p p ) nrmalnm ( l m) p p x są równe: = l m x = l m x a naprężenia nrmalne i stczne na tej płaszczźnie wnszą: x w tm punkcie na płaszczźnie wersrze ( x l m ) l ( x l m ) m= x l m l m ( l m )( m ) ( l m ) l = l m l m ( l m ) = p = = p s = x x gdzie: s ( m l) wersr stczn d płaszczzn (patrz rs 5) i prstpadł d wersra ( l m) Uwzględniając że l = csα a m = sinα gdzie: α t kąt międz kierunkiem wersra ν i sią raz znane z trgnmetrii zależnści x 40

2 Adam Bdnar: Wtrzmałść Materiałów Analiza płaskieg stanu naprężenia cs α = cs α sin α sin α = sin α cs α cs α cs α cs α = sin α = p przekształceniach trzmujem wzr : x x = cs α sin α (5) ( x = sin α cs α (5) pdające wartści naprężeń nrmalnch i stcznch na płaszczźnie przekrju wersrze nrmalnm nachlnm pd kątem α d si Ddatnim wartścią tch naprężeń dpwiadają zwrt zgdne ze zwrtami wersrów raz s gdż są t miar rzutów wektra naprężenia p ( p p ) x na sie wznaczne tmi wersrami Pliczm ile wnsi suma naprężeń nrmalnch na dwóch dwlnch ale wzajemnie prstpadłch płaszczznach przekrju Krzstając ze wzru (5) trzmujem: x x α α 90 = cs α sin α x x 0 0 cs α 90 sin α 90 = ( ) ( ) x dwdząc w ten spsób iż: w płaskim stanie naprężenia suma naprężeń nrmalnch na dwóch d siebie prstpadłch płaszczznach jest wielkścią stałą lub inaczej że suma naprężeń na przekątnej macierz naprężeń jest niezmiennikiem tzn nie zmienia swej wartści prz zmianie układu w którm jest kreślana Twierdzenie t dnsi się również d przestrzenneg stanu naprężenia 5 Ekstremalne naprężenia nrmalne i stczne Inżniera analizująceg stan naprężenia w danm punkcie interesują przede wszstkim wstępujące w nim ekstremalne wartści naprężeń nrmalnch i stcznch Pstawm więc dwa bardz ważne zagadnienia d rzwiązania: na jakiej płaszczźnie przekrju wstępują i ile wnszą ekstremalne naprężenia nrmalne na jakiej płaszczźnie przekrju wstępują i ile wnszą ekstremalne naprężenia stczne Ab rzwiązać te ba zagadnienia należ wznaczć ekstremalne wartści funkcji = ( α ) raz = ( α ) Zaczniem d naprężeń nrmalnch Pchdna funkcji = ( α ) przrównana d zera d x = sin α cs α = 0 dα 4

3 Adam Bdnar: Wtrzmałść Materiałów Analiza płaskieg stanu naprężenia pkazuje że na tch płaszczznach przekrju na którch naprężenia nrmalne są ekstremalne naprężenia stczne są równe zeru i daje równanie z któreg mżem wznaczć tg α = α = arc tg n π (53) x x kąt pd jakim nachln jest d si wersr nrmaln płaszczzn lub płaszczzn na którch wstępują ekstremalne naprężenia nrmalne Zależnści (53) pkazują że ekstremalne naprężenia nrmalne wstępują na dwóch wzajemnie d siebie prstpadłch płaszczznach Płaszczzn te nazwam płaszczznami głównmi a naprężenia nrmalne na nich naprężeniami głównmi Kierunki wersrów nrmalnch d płaszczzn głównch czli kierunki naprężeń głównch nazwam kierunkami głównmi Zatem: naprężenia główne w danm punkcie t ekstremalne wartści naprężeń nrmalnch które w nim wstępują Działają ne na dwóch d siebie prstpadłch płaszczznach (płaszczznach głównch) na którch naprężenia stczne są równe zeru W celu wznaczenia wartści naprężeń głównch w płaskim stanie naprężenia krzstam z pniższch wzrów trgnmetrcznch: tg α sin α = ± tg α które wstawiam d równania (5): cs α = ± tg α x = x tg α tg α tg α = = x = x tg α tg α tg α ab następnie p wkrzstaniu zależnści (53) trzmać kńcwe rezultat w pstaci: x = = x (54) = x = x Wzór (53) pdaje jednie kąt transfrmacji wjściweg układu współrzędnch d układu kierunków naprężeń głównch nie kreślając kierunku i kierunku Kierunki tch naprężeń kreślają pniższe zależnści: 4

4 Adam Bdnar: Wtrzmałść Materiałów Analiza płaskieg stanu naprężenia = (55) = = = We wzrach (55) α znacza kąt jaki należ brócić ś d pkrcia się z kierunkiem maksmalneg naprężenia nrmalneg Analgicznie definiujem kąt α W celu wznaczania ekstremalnch naprężeń stcznch i płaszczzn ich wstępwania pstępujem pdbnie jak w przpadku ekstremalnch naprężeń nrmalnch Przrównanie d zera pchdnej funkcji = ( α ) : d x = cs α sin α = 0 dα daje zależnść z której wznaczam kierunki nrmalnch d płaszczzn ekstremalnch naprężeń stcznch x tg α = x α tg π = arc n (56) Wzór (56) pkazuje że ekstremalne naprężenia stczne też wstępują na dwóch wzajemnie d siebie prstpadłch płaszczznach a α t kąt transfrmacji układu współrzędnch d układu wznaczneg przez nrmalne d tch płaszczzn Wstawiając (56) d (5) prz wkrzstaniu analgicznch jak pprzedni zależnści trgnmetrcznch trzmujem wartści ekstremalnch naprężeń stcznch: α > 0 umwa znaków x = = (57) = x = Prównanie wzrów (53) i (56) daje zależnść: π π tg α = ctg α α = α α = α 4 c dwdzi twierdzenia że płaszczzn ekstremalnch naprężeń stcznch płwią kąt międz płaszczznami naprężeń głównch (ekstremalnch naprężeń nrmalnch) Na kniec pwiem że w przpadku przestrzennch stanów naprężenia są trz wzajemnie prstpadłe płaszczzn główne na którch naprężenia stczne się zerują a naprężenia nrmalne są ekstremalne (naprężenia główne) Płaszczzn ekstremalnch naprężeń stcznch i w tm przpadku płwią kąt międz płaszczznami naprężeń głównch 43

5 Adam Bdnar: Wtrzmałść Materiałów Analiza płaskieg stanu naprężenia 53 Kła Mhra Stawiam ptanie: cz wartści naprężeń nrmalnch i stcznch na dwlnej płaszczźnie przekrju brł w punkcie w którm panuje płaski stan naprężenia kreśln zadanmi współrzędnmi macierz naprężeń mgą bć całkwicie dwlne cz też muszą przjmwać wartści z pewneg graniczneg zakresu Ab dpwiedzieć na t ptanie pwrócim d równań (5) raz (5) i zapiszem je w niec zmieninej frmie: x x = cs α sin α ( x = sin α cs α a następnie pdniesiem każde z nich d kwadratu i ddam strnami trzmując w wniku kńcwm zależnść: x x = (58) Równanie (58) pkazuje że wartści naprężeń nrmalnch i stcznch dla wszstkich płaszczzn przekrju brł w danm punkcie leżą na brzegu kła prmieniu (rs 5) x R = x i śrdku przesuniętm na si wielkść Kł t nazwam kłem Mhra jest n graficzną reprezentacją stanu naprężenia w danm punkcie i mżem z nieg wznaczć wiele interesującch wielkści związanch ze stanem naprężenia Na rs 5 pkazane jest kł Mhra w punkcie w którm współrzędne macierz naprężeń spełniają zależnści > 0 raz > 0 Punkt K pkazan na tm rsunku nazwan x > biegunem kła Mhra ma współrzędne ( ) i pzwala na wznaczenie kierunków naprężeń głównch Łatw jest dwieść pkazanch na tm rsunku zależnści Ograniczm się zatem jednie d udwdnienia że OB raz że OA = = Z rsunku widać że OB = OO R a pnieważ: x OO = a x R = więc: 44

6 Adam Bdnar: Wtrzmałść Materiałów Analiza płaskieg stanu naprężenia x x = = OB = Analgicznie dwdzim drugą zależnść Z kła Mhra łatw dcztujem wartści ekstremalnch naprężeń stcznch reprezentują je punkt C i D C R O O x α A α B K D Rs 5 W przestrzennm stanie naprężenia w miejsce jedneg mam trz kła Mhra które pkazuje rs 53 na którm zacienin bszar t bszar wszstkich mżliwch wartści naprężeń nrmalnch i stcznch w punkcie (graficzna reprezentacja wstępująceg w nim stanu naprężenia) w którm naprężenia główne mają wartści 3 O O x 3 Rs 53 45

7 Adam Bdnar: Wtrzmałść Materiałów Analiza płaskieg stanu naprężenia 54 Przkład Przkład 54 Wznaczć analitcznie i sprawdzić prz pmc kła Mhra naprężenia główne i ich kierunki w punkcie gdzie dana jest macierz naprężeń w układzie () 00 T = MPa 50 Narswać graficzne braz macierz naprężeń w układzie wjściwm () i w układzie kierunków głównch naprężeń () Rzwiązanie Wartści naprężeń głównch: x x = = = = MPa x x = = = = MPa Sprawdzenie : x = = = 50 Kierunki naprężeń głównch: Sprawdzenie : α = = = = 8508 α = = = = α = 70 40' 9 0' = 90 α = 9 = 70 0' 40' 50 = α = 9 0' = α = 70 40'

8 Adam Bdnar: Wtrzmałść Materiałów Analiza płaskieg stanu naprężenia Macierz naprężeń w układzie () 00 T = MPa 50 Macierz naprężeń w układzie kierunków głównch () T = MPa Macierz przejścia z układu współrzędnch () d układu kierunków głównch () α ij cs = cs 9 ( 70 40' ) sin ( 70 40' ) 0' sin 9 0' 033 = Kł Mhra K skala naprężeń O α cm = 50 MPa x α Przkład 54 Wznaczć analitcznie naprężenia główne i ich kierunki w punkcie gdzie dana jest macierz naprężeń w układzie () 0 T = MPa 0 Narswać graficzne braz macierz naprężeń w układzie wjściwm () i w układzie kierunków głównch naprężeń () Rzwiązanie Wartści naprężeń głównch: = = MPa = = = MPa = Kierunki naprężeń głównch: 47

9 Adam Bdnar: Wtrzmałść Materiałów Analiza płaskieg stanu naprężenia = = = = 0 α = 45 = = = = 0 α Zadana macierz naprężeń w punkcie przedstawia tzw przpadek czsteg ścinania W układzie si ( ) pstać tej macierz wraźnie uzasadnia tą nazwę Przkład pkazuje że taki stan naprężenia mżna generwać również pprzez naprężenia nrmalne - rzciągające i ściskające - na prstpadłch d siebie płaszczznach nachlnch pd kątem 45 d si wjściwch 00 =