Blok 4: Dynamika ruchu postępowego. Równia, wielokrążki, układy ciał

Transkrypt

1 Blok 4: Dynaika ruchu potępowego Równia, wielokrążki, układy ciał I Dynaiczne równania ruchu potępowego Chcąc rozwiązać zagadnienie ruchu jakiegoś ciała lub układu ciał bardzo częto zaczynay od dynaicznych równań ruchu Najczęściej iane ty określay równanie II zaady dynaiki Newtona dla tego ciała lub układu ciał, zapiane w potaci różniczkowej Jednakże na potrzeby tego kuru wyrównawczego, za dynaiczne równanie ruchu będziey uważać równanie: a wyp wyp, w który podana jet jawnie jako ua ił działających na ciało lub układ ciał, czyli: 1 3 a Siła wypadkowa to zawze wektorowa ua ił Żadna z tych ił nie wytępuje w ty równaniu z inue Każde zagadnienie dynaiczne zaczynay od wypiania powyżzego równania w forie wektorowej Równanie to z poinięcie wektorów jet w zdecydowanej więkzości zadań równanie nieprawidłowy W konkretny zadaniu iły 1,, 3 ą konkretnyi iłai (takii jak tarcie, iła reakcji podłoża, naciąg nici, iła ciężkości itp), które należy uwzględnić, jako działające na rozpatrywane ciało lub układ ciał II zaada dynaiki Newtona dla jednego ciała ui uwzględniać wzytkie iły przyłożone do tego ciała Jeżeli ciało poruza ię ruche potępowy lub poczywa, ożey traktować wzytkie te iły jak przyłożone do środka ay tego ciała: 1 3 a II zaada dynaiki Newtona dla układu ciał, z których każde poruza ię ruche potępowy, z ty ay przypiezenie liniowy, ui uwzględniać wzytkie iły zewnętrzne przyłożone do wzytkich eleentów tego układu ciał i nie oże zawierać ił wewnętrznych w ty układzie: z1 z z3 a (1 ) gdzie ua po prawej tronie tego równania to ua a wzytkich eleentów układu Bezpośrednio z równania wektorowego nie ożey obliczyć żadnych wielkości algebraicznych Dlatego niezbędna jet zaiana równania wektorowego na równania algebraiczne Z jednego równania wektorowego otrzyujey tyle równań algebraicznych, ile wpółrzędnych przetrzennych zotało zaangażowane w zadaniu (czyli najwyżej trzy) Poniżej podane zotaną zczegółowe rozwiązania kilku przykładowych zadań dotyczących dynaiki ruchu układów ciał w raach prograu operacyjnego KAPITAŁ LUDZKI 3

2 II Klocki na płazczyźnie Przykład 41: Układ trzech tykających ię z obą klocków pchay iłą o wartości, jak pokazano na ryunku Zakładay, że klocki poruzają ię po pozioy podłożu bez tarcia May klocków: 1 1kg, 4 kg, 3 kg Oblicz wartości: A) przypiezenia układu klocków B) ił wypadkowych działających na każdy klocek C) iły, którą klocek 1 działa na klocek 10 N D) iły 1 3, którą klocek 3 działa na klocek A) Chcąc obliczyć przypiezenie całego układu (równe przypiezeniu każdego klocka), ożna korzytać z II zaady dynaiki Newtona dla układu ciał: a ( ) z 1 3 Siły zewnętrzne działające na ten układ ciał, to trzy iły ciężkości, R, R c1, c, c3 (każda działająca na inny klocek), trzy iły reakcji podłoża, (każda działająca na inny klocek) i iła przyłożona do klocka (1) Czyli II zaada dynaiki Newtona dla całego układu w pełnej potaci: c1 c c3 R1 R R 3 a (1 3 ) Ponieważ jednak klocki nie poruzają ię w kierunku pionowy, to z I zaady dynaiki Newtona wiey, że wektorowa ua pionowych kładowych wzytkich ił ui być równa zeru aktycznie, iły protopadłe do podłoża równoważą ię parai: c1 R 1 0, c R 0 i c3 R 3 0 Otatecznie a ( ) 1 3, 1 R 3 Wybieray oś OX równoległą do podłoża i zwróconą zgodnie ze zwrote iły Wówcza: OX: a (1 3) (gdzie uwzględniliśy, że zarówno wektor, jak i wektor a 10 ają zwroty zgodne ze zwrote oi OX), kąd a ( 1 3) 7 B) Obliczanie wartości wypadkowej iły działającej na ciało to jet jedyne zagadnienie w ty zadaniu, dla którego nie potrzebujey rozpiywać iły wypadkowej jako uy ił Wytarczy, że znay wartość przypiezenia każdego z ciał, a Siła wypadkowa działająca na dany klocek nadaje u przypiezenie a, zate: wyp1 a 1, a 10 tąd wyp1 a 1 kg 10 N 7 ; iła 7 wyp a 40, a tąd a 4 kg 10 N 7 ; 7 iła wypadkowa wyp3 a 0 3, a tąd 3 a 3 kg 10 N 7 7 C) Z III zaady dynaiki: Klocek 1 działa na iłą o takiej aej wartości, z jaką klocek działa na 1 Zate: wyp1 1 wyp1 1 1 wyp1 a 1 10 N N N 7 7 D) Z III zaady dynaiki: Klocek 3 działa na iłą o takiej aej wartości, z jaką klocek działa 0 na 3 Zate: wyp3 3 3 wyp3 a 3 N 7 w raach prograu operacyjnego KAPITAŁ LUDZKI 4

3 Przykład 4: W ytuacji przedtawionej na ryunku (tarcie poijay) ay ciał ą równe odpowiednio:, Oblicz wartość iły napinającej nitkę łączącą klocki 1 4 kg 1kg II zaada dynaiki Newtona dla całego układu: c 1 c R1 R a (1 ) Ponieważ ruch odbywa ię w pozioie, to intereuje na tylko równanie na ikową kładową iły wypadkowej działającej na ten układ klocków: a(1 ) a 1 Uwaga: iła reakcji podłoża przyłożona do każdego z klocków równoważona jet przez iłę ciężkości tego klocka, bo żaden z klocków nie poruza ię (a ty bardziej nie przypieza) w kierunku pionowy II zaada dynaiki Newtona dla klocka o aie N a 1 N a : N 4 5 III Bloczki 1 kg 3 kg, Przykład 43: Ciężarki o aach i połączono nicią Nić przerzucono przez bloczek Nić przerzucono przez bloczek o poijalnie ałej aie Oblicz: A) przypiezenie ciężarków B) iłę napięcia nici I poób: równania ruchu dla pojedynczych klocków II zaada dynaiki dla jednego klocka o aie : c N a, a dla klocka o aie 1 : c1 N1 1 a1 Oba klocki wizą na jednej nici, a ponieważ dodatkowo bloczek ię nie obraca (nić ślizga ię po bloczku), to wniokujey, że Nić jet nierozciągliwa, a kąd wiadoo, że: 1 a a Dla klocka z prawej trony obieray oś OX zwróconą pionowo w górę i przepiujey równanie wektorowe na algebraiczne: OX: g N a Dla klocka z lewej trony obieray oś OX na przykład także zwróconą pionowo w górę, wówcza: g a 1 N 1 Odejujey równania tronai i otrzyujey: N1 N N ( 1) g ( 1) a a g / 5 Wtawiay tę wartość do pierwzego równania algebraicznego i otrzyujey: 4 (g a) g 4 N N 5 w raach prograu operacyjnego KAPITAŁ LUDZKI 5

4 II poób: równanie ruchu dla całego układu Jeżeli chcey obliczyć tylko przypiezenia pozczególnych klocków, a nić jet nieważka i nierozciągliwa a1 a a ukl a, to ożey korzytać z II zaady dynaiki Newtona dla układu W taki wypadku nie uwzględniay ił naciągu nici, jako ił wewnętrznych w ty układzie z c1 c Napotykay jednak na kłopot, bo wektor (różnią ię zwrotai) a 1 a Itnieje jednak twierdzenie, które pozwala na rozwiązanie tego zagadnienia w nietandardowy układzie wpółrzędnych, którego oś OX jet cały cza równoległa do nici i wije ię wraz z tą nicią (np taki, jak na ryunku) W a 1 a taki układzie wpółrzędnych: (oba klocki jadą w tronę tej aej końcówki nici) i ożey zatoować z c1 c a (1 ) Trzeba tu jednak zwrócić zczególną uwagę na znaki wzytkich wektorów w ty nietandardowy układzie wpółrzędnych: c 1 c a (1 ), zate ( 1) g ( 1) a a g / 5 Jeżeli poób II rozwiązania tego zadania prawił Ci trudności koncepcyjne lub intuicyjne, to lepiej go nie touj Spoób I będzie dla Ciebie lepzy Przykład 44: Oblicz tounek a, dla którego układ przedtawiony na ryunku (ay bloczków i lin poijay) pozotaje w równowadze W zadaniu klocek (1) jet podwiezony do bloczka za poocą jednej liny, a klocek () za poocą innej Naciągi tych obu lin ą najprawdopodobniej różnej wartości Bloczek prawy jet podwiezony do ufitu za poocą trzeciej liny Ani klocki, ani bloczki nie poruzają ię Z I zaady dynaiki Newtona: Bloczek lewy: N1 N 0 Klocek : N 4 c1 0 Bloczek prawy: N 3 N to równanie nie będzie na potrzebne Klocek 1 : N 5 c1 0 Ponieważ N1, N 3, N 5 ą naciągai tej aej nici, ich wartości ą równe: N1 N3 N5 Ponieważ N, N 4 ą naciągai tej aej nici, ich wartości ą równe: N N 4 Na ryunku zilutrowano wektory Naciągi tej aej nici (wektory o jednakowych długościach) zaznaczono jednakowyi kolorai Przy lewy bloczku obieray oś OX układu wpółrzędnych zwróconą pionowo w górę i otrzyujey: N1 N 0 N4 c 1 0 N4 1g, a ponieważ N N 4, to także N 1g 1 Przy prawy bloczku obieray oś OX układu wpółrzędnych na przykład zwróconą pionowo w dół: 0 N5 c g, a ponieważ N1 N3 N5, to także N1 g i 3 g N5 c N w raach prograu operacyjnego KAPITAŁ LUDZKI 6

5 Po uwzględnieniu tych wzytkich zależności, otatecznie otrzyujey: N1 N 0, czyli g 1g 0 1 Przykład 45: Przypiezenie klocków przedtawionych na ryunku a wartość a Poijay aę nitki i bloczka Maa klocka zwiającego jet równa, a aa klocka znajdującego ię na tole: Oblicz wpółczynnik tarcia kinetycznego klocka o tół oraz wartość napięcia nici 1 II zaada dynaiki dla klocka (1): II zaada dynaiki dla klocka (): N1 a, czyli wzdłuż nici: c 1 N1 1 a R N T a c1 1 c N T Protopadle do nici: R c 0 Wzdłuż nici: a i T N R, a ponieważ z równania w kierunku protopadły wiey, że, to wniokujey, że Wiey także, że N1 N R c T c Zate przekztałcając, otrzyujey: T c 1 a(1 ) g 1g a(1 ) 1g a(1 ) g IV Równia o Przykład 46: U podtawy równi o kącie nachylenia 30 i wyokości równi H znajduje ię klocek o aie 1 kg, do którego przyłożono iłę 10 N pod kąte względe powierzchni zbocza równi Poijając tarcie, oblicz: A) przypiezenie klocka B) cza, po który klocek oiągnie zczyt równi C) zybkość końcową (przy wierzchołku równi) D) iłę naciku klocka na równię o 30 II zaada dynaiki Newtona dla klocka: c R a Korzytnie jet wybrać układ wpółrzędnych jak pokazano na ryunku (ale ożna także wybrać inny układ wpółrzędnych) Uwaga: poób rozwiązania przedtawiony w dalzej części zależy od wyboru układu wpółrzędnych, ale wyniki nie zależą od tego wyboru W układzie wpółrzędnych przedtawiony na ryunku dynaiczne równania ruchu przedtawiają ię natępująco: () Wzdłuż oi OX: x cx a () Wzdłuż oi OY: R 0 y cy w raach prograu operacyjnego KAPITAŁ LUDZKI 7

6 gdzie: x co, y in - ą wartościai kładowych iły w wybrany układzie wpółrzędnych, cx c in, cy c co - ą wartościai kładowych iły ciężkości układzie wpółrzędnych, a R jet wartością iły reakcji podłoża Zate z równania, ay: A) Wartość przypiezenia klocka: () 3 1 c w wybrany x cx co g in 10 N 1kg 10 a 3, 66 1kg B) Cza potrzebny do oiągnięcia zczytu równi ożna obliczyć z kineatycznego równania ruchu w ruchu jednotajnie przypiezony (klockowi nie nadano prędkości początkowej, czyli ): 1 at v 0 0 i H in H t 1,48 a in 3,66 1 C) Szybkość końcową należy obliczyć z drugiego kineatycznego równania ruchu: v k a t 3,66 1,48 5, 4 D) Siła naciku klocka na równię jet równa co do wartości ile reakcji podłoża na klocek, zate z równania otrzyujey: R () 3 1 cy y gco in 1kg N 3,66 N w raach prograu operacyjnego KAPITAŁ LUDZKI 8