CZAS ZDERZENIA KUL SPRAWDZENIE WZORU HERTZA

Transkrypt

1 Ćwiczenie Nr CZAS ZDRZNIA KUL SPRAWDZNI WZORU HRTZA Literatura: Opracwanie d ćwiczenia Nr, czytelnia FiM LDLandau, MLifszic Kurs fizyki teretycznej, tm 7, Teria sprężystści, 9 (dstępna w biblitece FiM, sygn FII-84) 3 Instrukcja d ćwiczenia: W pniższym pracwaniu przedstawin wyprwadzenie wzru na czas zderzenia dwóch metalwych kul Wzór ten nszący nazwę wzru Hertza trzyman dwma spsbami Spsób pierwszy plega na analitycznym rzpatrzeniu prcesów fizycznych zachdzących pdczas zderzenia Nie jest t metda prsta, dlateg pdan jedynie schemat wyprwadzenia, bez szczegółwych rachunków W metdzie drugiej, partej na analizie wymiarwej, nie trzymuje się kmpletneg wzru Hertza, ale sama metda jest bardz prsta i trzymany rezultat jest wystarczający d ptrzeb ćwiczenia labratryjneg W kńcwej części pracwania pdan prwadzenie wzru pzwalająceg bliczyć prędkść kuli przed zderzeniem I Wzór Hertza zarys metdy wyprwadzenia wzru Rzpatrzmy zderzenie dwóch jednakwych, metalwych kul Wypiszmy najpierw wielkści charakteryzujące każdą z kul, które będą isttne w prcesie zderzenia Rzmiary gemetryczne kuli pisuje jej prmień R, zaś jej bezwładnść masa M Własnści sprężyste materiału, z któreg kule są zrbine kreślają dwa parametry: mduł Yunga i współczynnik Pissna Przypmnijmy, że mduł Yunga zdefiniwany jest pprzez praw Hka, które stwierdza prprcjnalnść względneg wydłużenia (skrócenia) (l/l) d przyłżneg ciśnienia p, wywłująceg t wydłużenie (skrócenie): l l p Współczynnik Pissna, jest zdefiniwany jak stsunek względneg pprzeczneg skrócenia d względneg pdłużneg wydłużenia Jest t zatem wielkść bezwymiarwa Załóżmy, że jedna z dwóch takich samych kul każda masie M spczywa, a druga zbliża się d niej z pewną stałą prędkścią Najwygdniejszym d pisu układem dniesienia będzie układ śrdka masy tych kul W tym układzie bie kule zbliżają się d siebie z taka samą prędkścią v

2 Rys Dwie kule przed zderzeniem w układzie śrdka masy nergia kinetyczna tych kul w układzie śrdka masy wynsi: k M(v') v, gdzie m m )/( m ) jest masą zredukwaną równą w naszym przypadku (M/), ( m zaś jest v v' prędkścią względną kul W czasie zderzenia bie kule defrmują się (Rys ) Rys Dwie kule w trakcie zderzenia defrmują się sprężyście Niech parametr h kreśla względne zbliżenie śrdków kul w czasie zderzenia (patrz Rys ) Zmienia się n d wartści zer (pczątek zderzenia) d pewnej wartści maksymalnej h i z pwrtem d zera (kniec zderzenia) nergia całkwita układu kul składa się teraz z dwóch części: energii kinetycznej i energii ptencjalnej Mżna pkazać (patrz pzycja literaturwa []), że energia kinetyczna jest prprcjnalna d kwadratu szybkści zmian parametru h: k ( dh/ dt), () zaś energia ptencjalna jest prprcjnalna d parametru h w ptędze /: p k h, () gdzie k jest pewną stałą, zależną d R, i Stsując zasadę zachwania energii, trzymujemy równanie: / ( dh /dt) kh v (3) Maksymalne zbliżenie śrdków kul jest wtedy, gdy (dt/dt) = 0 Pdstawiając ten warunek d (3), trzymujemy następujące wyrażenie dla h: h / v k (4) Równanie (3) mżna łatw przekształcić d następującej pstaci:

3 dh dt () k / v h Dyspnując tym równanie nietrudn napisać równanie na czas zderzenia kul r: h dh 0 k / v h (6) Obliczenie tej całki nie jest prste Napiszmy zatem jedynie kńcwy rezultat: / 3 M ( ),9 R v Pwyższe równanie nsi nazwę wzru Hertza (7) II Znajdwanie zależnści na czas zderzenia kul za pmcą analizy wymiarwej Spróbujmy znaleźć funkcyjną zależnść czasu zderzenia kul d isttnych parametrów fizycznych determinujących ten prces, psługując się metdą analizy wymiarwej Jak zwykle w tej metdzie, na pczątku pwinniśmy kreślić i wypisać wszystkie parametry, d których jak sądzimy będzie zależał czas zderzenia kul Prpnujemy następujące wielkści (i w nawiasie ich jednstki miar): masa kuli M [kg], prmień kuli R [m], prędkść kuli przed zderzeniem v m s, mduł Yunga kg m s Zgdnie z pdstawwą ideą analizy wymiarwej, przedstawiamy zależnść czasu zderzenia τ w pstaci ilczynu wypisanych pwyżej czterech parametrów, każdy w nieznanej na razie ptędze: (8) gdzie cnst jest liczbą rzędu jednści cnst M R v, Pwyższe równanie zapisane dla jednstek miar tych wielkści ma pstać: kg m s kg m m s s (9) Mżna je rzpisać na trzy następujące równania: dla [m] 0, 3

4 dla [s], (0) dla [kg] 0 Jak łatw zauważyć, mamy cztery niewiadme (,,,) i tylk trzy równania Jedyne c mżemy zrbić, t zmniejszyć d jednej ilść niewidmych Niech tą jedną niewiadmą pzstanie δ Z układu równań (0) trzymujemy:,, () 3 Nieznany parametr wyznaczymy stsując następujący spsób: rzważymy z punktu widzenia fizyki jakiś aspekt prcesu zderzenia, napiszemy stswne równanie zawierające niektóre z interesujących nas parametrów i prównamy ptęgi, w jakich te parametry występują Najprściej rzpatrzyć aspekt energetyczny zderzenia kul W tym mmencie zderzenia, gdy śrdki kul znajdują się najbliżej, energia kinetyczna kul jest zamienina na energię sprężysteg ich dkształcenia Mżemy zatem napisać, że gdzie kin m v V pt, () R jest względną zmianą wymiaru defrmwanej kuli, a V jest bjętścią R bszaru zdefrmwaneg W pwyższym równaniu prędkść występuje w ptędze drugiej, zaś mduł Yunga w ptędze pierwszej Pnieważ w równaniu (8) prędkść występuje w ptędze, a mduł Yunga w ptędze, mamy praw napisać następujące równanie:, (3) pnieważ ptęga przy prędkści jest dwa razy większa niż ptęga przy mdule Yunga Z układu równań () i (3) trzymujemy statecznie następujące wartści wykładników ptęgwych:,,, (4) Czas zderzenia kul będzie zatem wyrażny następującym równaniem: M R v cnst () 4

5 Równanie () jest zgdne z równaniem (7), gdyż isttne parametry występują w nim w prawidłwych ptęgach Należy zwrócić szczególną uwagę na wykładnik ptęgwy przy prędkści (równy /), pnieważ właśnie n będzie wyznaczany w ćwiczeniu labratryjnym Oznaczając: cnst M R C trzymamy ten wzór w pstaci; C C v v Jak bliczyć prędkść kuli przed zderzeniem, wiedząc jaki był pczątkwy kąt wychylenia tej kuli? Niech kula zawieszna na nici długści l wychylna będzie kąt (patrz Rys 3) Rys 3 Kula zawieszna na nici l wychylna kąt Jej śrdek znajduje się więc x wyżej, niż w chwili zderzenia Stsując zasadę zachwania energii d tej sytuacji dstajemy: m v m g x (6) Jak łatw zauważyć na Rys 3, x l l ( cs ) (7) Pdstawiając równanie (7) d równania (6) trzymujemy stateczny rezultat: v g l ( cs ) (8)