nie wyraŝa zgody na inne wykorzystywanie wprowadzenia niŝ podane w jego przeznaczeniu występujące wybranym punkcie przekroju normalnego do osi z

Transkrypt

1 Wprwadzenie nr 4* d ćwiczeń z przedmitu Wytrzymałść materiałów przeznaczne dla studentów II rku studiów dziennych I stpnia w kierunku Energetyka na wydz. Energetyki i Paliw, w semestrze zimwym 0/03. Zakres wprwadzenia nr 4 T wprwadzenie dtyczy ćwiczenia, na którym kaŝdy student samdzielnie pracwuje Arkusz ćwiczeniwy nr 4. Przez pracwanie teg arkusza studenci nabywają umiejętnść analizy płaskieg stanu napręŝenia ze względu na takie parametry teg stanu, jak: napręŝenia nrmalne, napręŝenia styczne, napręŝenia główne, kąt transfrmacji stanu napręŝeń.. Pjęcia pdstawwe.. NapręŜenie w przekrju pręta jak wielkść fizyczna: wektr pisujący rzkład bciąŝenia wewnętrzneg w wybranym przekrju płaskim pręta, dniesineg d jednstki teg przekrju... NapręŜenie w przekrju pręta jak wielkść matematyczna: Pchdna funkcji W(A) pisującej rzkład bciąŝenia wewnętrzneg W na pwierzchni A, jaką ma wybrany przekrój płaski pręta..3. Jednstka napręŝenia, pdstawwa w układzie SI: mian N/m, nazwa Pascal, symbl Pa..4. Jednstka napręŝenia, zwykle uŝywana: mian 0 6 N/m, nazwa MegaPascal, symbl MPa. *Autrem wprwadzenia jest Marek Płachn, prf. ndzw. AGH. Wprwadzenie (6 strn) stanwi przedmit prawa autrskieg kreślneg w Ustawie prawie autrskim i prawach pkrewnych (Dz. U. 994 r. Nr 4 pz.83 z późn. zm.). Autr nie wyraŝa zgdy na inne wykrzystywanie wprwadzenia niŝ pdane w jeg przeznaczeniu 3. Składwe napręŝeń względem si układu współrzędnych x, y, z występujące wybranym punkcie przekrju nrmalneg d si z Oznaczanie i nazewnictw: z - napręŝenie nrmalne tj. prstpadłe d płaszczyzny wybraneg przekrju, zx, zy napręŝenia styczne d płaszczyzny wybraneg przekrju. Symbl napręŝenia nrmalneg patruje się jednym indeksem dpwiadającym si prstpadłej d wybraneg przekrju. Symbl napręŝenia styczneg ma dwa indeksy: pierwszy indeks kreśla ś prstpadłą d wybraneg przekrju, drugi indeks wskazuje ś kierunku działania napręŝenia. Dla przekrjów nrmalnych d si x, y, napręŝenia nrmalne będą znacznej jak x, y, a napręŝenia styczne, dpwiedni, xz raz yx, yz.

2 4. Stan napręŝeń w zadanym punkcie bryły 7 t w gólnym przypadku, zbiór sześciu niezaleŝnych wartści napręŝeń w tym punkcie, nazywanych parametrami stanu napręŝenia, bejmujących: trzy napręŝenia nrmalne: x, y, z, trzy napręŝenia styczne:, xz, yz. Parametry stanu napręŝenia wyznacza się w punkcie bryły wspólnym dla trzech wzajemnie prstpadłych przekrjów płaskich, przedstawiwinym za pmcą elementarneg sześcianu, który ma sie x, y, z, wspólnym pczątku usytuwanym w śrdku gemetrycznym sześcianu raz ma ściany utwrzne z elementarnych pwierzchni płaskich: da x, da y, da z 5. Właściwści stanu napręŝenia 5..NapręŜenia nrmalne i napręŝenia styczne wywłane w analizwanym punkcie bryły przez zadany układ sił zewnętrznych zmieniają się wraz ze zmianą kierunków si x, y, z, które przyjęt dla elementarnych pwierzchni da x, da y, da z. 5.. Dla kaŝdeg punktu bryły bciąŝnej zadanym układem sił zewnętrznych mŝna kreślić takie kierunki si x, y, z, Ŝe wszystkie napręŝenia styczne w tym punkcie:, xz, yz będą równe zer. W takim przypadku napręŝenia nrmalne nszą nazwę napręŝenia główne i są znaczane jak: 3, a kierunki tych napręŝeń mają nazwę kierunki główne i są kreślane za pmcą wzajemnie prstpadłych si znaczanych dpwiedni d napręŝeń jak,, 3.

3 6. Klasyfikacja stanu napręŝenia Klasyfikację stanu napręŝenia przeprwadza się na pdstawie napręŝeń głównych Przestrzenny (trójsiwy) stan napręŝenia: Jednsiwy stan napręŝenia: Stan napręŝenia, w którym np. = 3 = 0 raz > 0 Stan napręŝenia, w którym: 0, 0, 3 0 przy czym: 3 Płaski (dwusiwy) stan napręŝenia: Stan napręŝenia, w którym np. 3 = 0 raz > Analiza płaskieg stanu napręŝenia Znane są napręŝenia nrmalne x, y raz napręŝenia styczne = yx dla przekrju kierunku x. napręŝenia główne i raz kąt α kreślający kierunek główny względem si x (kąt transfrmacji stanu napręŝeń x, y, napręŝeń głównych). Przypadek analizy : NaleŜy wyznaczyć: d stanu Metdy analizy: metda gemetryczna, nazywana Kł napręŝeń Mhra. metda algebraiczna, wykrzystująca wzry: + + x y = + ( x y ) 4 x + y = ( x y ) 4 tgα = x y + 6 3

4 7. Analiza płaskieg stanu napręŝenia (c.d.) Przypadek analizy : Znane są napręŝenia główne i raz kąt α kreślający kierunek główny względem zadanej si x. NaleŜy wyznaczyć: napręŝenia nrmalne raz napręŝenia styczne dla przekrju dpwiadająceg zadanej si x. Metdy analizy: metda gemetryczna, nazywana jak Kł napręŝeń Mhra, metda algebraiczna wykrzystująca zaleŝnści: + x = + csα + y = csα = sinα α - kąt kreślający kierunek główny względem zadanej si x Analiza płaskieg stanu napręŝenia (c.d.) Przypadek analizy 3: W analizwanym punkcie bryły znane są napręŝenia główne i raz płŝenie si,. NaleŜy wyznaczyć: Metdy analizy: kąt α kreślający kierunek główny względem si x właściwej dla stanu ekstremalnych napręŝeń stycznych, wartść ekstremalną napręŝeń stycznych (maksymalną wartść bezwzględną). metda gemetryczna, nazywana jak Kł napręŝeń Mhra metda algebraiczna wykrzystująca zaleŝnści: = gdy α sin 45 n 90 max = = + α α = max 8 4

5 7. Analiza płaskieg stanu napręŝenia (c.d.) Przypadek analizy 4: Stan napręŝeń kreślany jak czyste ścinanie Ten stan występuje wtedy, gdy dla kierunków ekstremalnych napręŝeń stycznych (α = 45 + n 90 ) napręŝenia nrmalne są równe zer. Warunki uzyskania płaskieg stanu czysteg ścinania występwanie napręŝeń nrmalnych, które dla dwlneg kierunku pzstają względem siebie w relacji: x = y transfrmacja stanu napręŝeń z relacją j.w. d stanu ekstremalnych napręŝeń stycznych (kąt transfrmacji: α n90 ). NapręŜenia styczne l l max w stanie czysteg ścinania: = = max 9 7. Analiza płaskieg stanu napręŝenia (c.d.) W zadanym punkcie pręta występuje płaski stan napręŝeń: x Przykład bliczeniwy = 50 MPa, = 00 MPa, = 50 MPa y Obliczyć napręŝenia główne i, kąt α kierunku główneg względem si x raz przedstawić schemat zmiany kierunków x, y na kierunki główne,.. Obliczenia i schemat x + y = + ( x y ) + 4 = + x + y = ( x y ) + 4 = (50 00) = 80,9 MPa (50 00) = 69, MPa tgα = α = arctg( ) x y x y 50 α = arctg( ) = 3,

6 7. Analiza płaskieg stanu napręŝenia (c.d.) Przykład bliczeniwy W analizwanym punkcie pręta występuje płaski stan napręŝeń głównych: = 300 MPa, 00 MPa = Obliczyć napręŝenia nrmalne i styczne dla kierunków x0, x45, x90, x35, x80. Przykładwe bliczenie napręŝeń + x45 = + cs( 45 ) = Wyniki bliczeń = + cs90 Kierunek = 50 MPa x, MPa y, MPa x y45 = cs( 45 ) = x = cs90 = 50 MPa x = sin( 45 ) = x = sin( 45 x ) = 50 MPa Kniec wprwadzenia nr 4, MPa