Materiały do ćwiczeń 2 Zmienna losowa dyskretna Rozkład zmiennej losowej dyskretnej Powtarzanie doświadczeń

Transkrypt

1 Materały do ćwczeń Zmea losowa dysreta Rozład zmeej losowej dysretej Powtarzae dośwadczeń Przygotował: Dr ż Wojcech Artchowcz Katedra Hydrotech PG Zma 4/5

2 ZMIEA LOSOWA DYSKRETA I JEJ ROZKŁAD PRAWDOPODOBIEŃSTWA POWTARZAIE DOŚWIADCZEŃ LITERATURA 6

3 ZMIEA LOSOWA DYSKRETA I JEJ ROZKŁAD PRAWDOPODOBIEŃSTWA Zadae Źródło [] arysować wyres rozładu rawdoodobeństwa dystrybuaty zmeej losowej, dla 9 tórej: P, P Oblczyć jej wartość oczewaą, warację odchylee stadardowe Rozwązae: Wyres rozładu rawdoodobeństwa zmeej losowej dysretej tworzy sę zazaczając a os ozomej uty tu = oraz =, w tórych oreśloo wartośc rawdoodobeństwa tu / 9/ Wartość oczewaa daa jest wzorem: czyl E P D 9 E Waracja osaa jest wzorem: 9 V E E E V 9 D Odchylee stadardowe jest erwastem z waracj: Zadae s V 9 Oreśl zmeą losową dla eserymetu olegającego a rzuce ostą sześceą arysuj jej rozład rawdoodobeństwa dystrybuatę Oblcz wartość oczewaą warację 9 Rozwązae: Załadając, że mamy do czyea ze stadardową ostą sześceą, tórej ścay mają ocza w lczbe od jede do sześć, ajrostszym wyborem fucj odwzorowującej zbór zdarzeń w zbór lczb rzeczywstych czyl zmeej losowej są oleje lczby,,, 6

4 Prawdoodobeństwo otrzymaa dowolej wartośc zmeej losowej wyos /6 Rozład rawdoodobeństwa będze zatem astęujący: /6 /6 /6 /6 /6 /6 Wartość oczewaa dysretej zmeej losowej osaa jest wzorem E D 7 E 6, Waracja zmeej losowej dysretej osaa jest wzorem V E E E D V,5,5 6,5, Zadae Zaleźć rozład rawdoodobeństwa, dystrybuatę, wartość oczewaą warację zmeej losowej sumy ocze otrzymaej w wyu rzutu dwema czworośceym ostam do gry Rozwązae: ajłatwej oreślć rawdoodobeństwa rzyależące daym wartoścom zmeej losowej tworząc tabelę zasując w ej zdarzea srzyjające , + +, +, +4, +, +4, +, + +, , /6 /6 /6 4/6 /6 /6 /6 F /6 /6 6/6 /6 /6 5/6 6/6 4

5 Oblczee wartośc oczewaej: Oblczee waracj: V E D E D 5 Zadae 4 Źródło [4] Dysreta zmea losowa ma rozład rzedstawoy w tabel arysuj jej rozład rawdoodobeństwa dystrybuatę Oblcz wartość oczewaą warację 6 8,,,4, Rozwązae: Dystrybuata: 6 8 F,,,7 Wartość oczewaa: E,, 6,4 8, 5, D 5

6 Waracja: V E D 5,, 5,, 6 5,,4 8 5,, 6,6 Zadae 5 Źródło [4] W art sładającej sę z dzesęcu detal, zajduje sę osem stadardowych Losowo wybrao dwa detale Zaleźć rozład lczby stadardowych detal wśród wybraych Oblcz wartość oczewaą warację arysuj rozład rawdoodobeństwa dystrybuatę zmeej losowej Rozwązae: Perwszym roem jest oreślee rawdoodobeństw wylosowaa daej lczby detal stadardowych wśród wybraych Możlwośc są astęujące: - e wybrao żadego detalu stadardowego oba detale są estadardowe: P ; wybrao jede detal stadardowy jede detal estadardowy: P ; wybrao dwa detale stadardowe: P

7 Wartośc zmeej losowej są oreśloe orzez lczbę detal stadardowych w dwóch wylosowaych, czyl =,, Otrzymao zatem rozład rawdoodobeństwa dystrybuatę rzedstawoą w tabel o rawej stroe Wartość oczewaa: Waracja: 8 E D V E D, F ,84444 Zadae 6 Źródło [4] W udełu zajduje sę sześć bałych trzy czare ule Losowo wycąga sę dwe ule Zajdź rozład zmeej losowej zdarzea: lczba wycągętych ul bałych arysuj rozład rawdoodobeństwa dystrybuatę zmeej tej losowej Rozwązae: Prawdoodobeństwa, że wycągętych zostae zero, jeda lub dwe ule bałe: P, P, P 9 8 7

8 Rozład rawdoodobeństwa dystrybuata: 5 7 F Zadae 7 Źródło [] arysować wyres rozładu rawdoodobeństwa dystrybuaty F zmeej losowej, dla tórej: a P P ; b P, 4 P 4 ; c P, =,,, Oblczyć F, F, F Podać terretację tych rawdoodobeństw a wyrese rozładu rawdoodobeństwa dystrybuaty W zadau c oblczyć wartość oczewaą oraz warację Rozwązae: Wartość dystrybuaty w uce jest sumą rawdoodobeństw dla mejszych lub rówych a F F F 8

9 b F F 4 F c Prawdoodobeństwo zmeej losowej jest dae fucją P /, dla =,,, Dystrybuata sumuje wszyste rawdoodobeństwa do włącze zatem będze oreśloa wzorem: F Oblczając oleje wartośc P F otrzymuje sę P F, P 4 P F, F 4 4 Uwaga: a wyres e aesoo całej dystrybuaty, a rawdoodobeństwo arysowao tylo dla =,,,, 9

10 Wartość oczewaa daa jest wzorem E P Po wstaweu wzoru osującego D rawdoodobeństwo otrzymuje sę: E Ja wdać owyżej, wartoścą oczewaą jest suma szeregu lczbowego rówa węc E Uwaga: Badae zbeżośc szeregów e wchodz w sład ursu statysty Możemy rzyjąć, że o rostu ta jest wy a odstawe tablc matematyczych Iformacje a temat szeregów moża odaleźć w welu odręczach matematy dla studetów oltech Wy róweż moża otrzymać orzystając z ortalu Wolfram Alha Oblczając warację orzystamy ze wzoru V E, zatem: Uwaga: Wy z ortalu Wolfram Alha D V Zadae 8 Źródło [4] Dysreta zmea losowa rzyjmuje trzy możlwe wartośc: =4 z rawdoodobeństwem =,5, =6 z rawdoodobeństwem =,, z Zaleźć wedząc, że E=8 Rozwązae: Żeby rozwązać zadae, ależy sorzystać z defcj wartośc oczewaej E W zadau = węc rozsując owyższy wzór otrzymuje sę: E W treśc zadaa dae są wartośc E,,,, Zatem możemy zasać owyższe rówae: E wstawć do ego zae wartośc: 4 Otrzymuje sę:,5 6, 8

11 4, W tej chwl jest jedo rówae dwe ewadome, zatem ależy zaleźć druge rówae Z asjomatyczej defcj rawdoodobeństwa wadomo, że rawdoodobeństwo zdarzea ewego rówe jest jede W odeseu do treśc zadaa zdarzee ewe ozacza, że zmea losowa rzyjme tórąolwe z wartośc, lub Prawdoodobeństwo taego zdarzee jest zatem rówe Z owyższego rówaa moża wyzaczyć : Wstawając oblczoą wartość do rówaa otrzymuje sę wartość :,5,,, 4,, 4,, Zatem oszuwae wartośc to oraz, Zadae 9 Źródło [4] Dae są możlwe wartośc dysretej zmeej losowej : =-, =, = oraz wartośc oczewae tej zmeej jej wadratu: E=,, E =,9 Zaleźć rawdoodobeństwa,, odowadające wartoścom, Rozwązae: W zadau są trzy ewadome, atomast a odstawe treśc zadaa moża ułożyć tylo dwa Perwsze rówae moża zasać wrost E E ozacza, że wartośc osągae rzez zmeą losową są odesoe do wadratu omożoe rzez rawdoodobeństwa odowadające tym wartoścom: E

12 Poadto wadomo, że, co zdefuje rówae trzece Otrzymuje sę astęujący uład rówań: E E E E, tóry o wstaweu zaych wartośc lczbowych rzyjme astęującą formę:,9, astęe oecze jest rozwązae owyższego uładu rówań Z dwóch erwszych rówań moża łatwo wyzaczyć welośc dodając stroam:,9,,5 4,,9, Zatem 4,,,, 5, Zadae Źródło [] Zmea losowa rzyjmuje wartośc z rawdoodobeństwam =c, gdze <<, =,,, Zaleźć stałą c Rozwązae: Suma rawdoodobeństw dla wszystch mus być rówa a odstawe defcj rawdoodobeństwa Jeśl << to jest szeregem geometryczym, tórego suma wyos: Uwaga: Wy z ortalu Wolfram Alha c c c c

13 POWTARZAIE DOŚWIADCZEŃ Zadae Źródło [] Prawdoodobeństwo tego, że statystyczy studet e jest rzygotoway do zajęć wyos =/ Prowadzący ćwczea wybera rzyadowo 4 osoby ech zmea losowa ozacza lczbę osób sośród wybraych, tóre e są rzygotowae do zajęć Zaleźć P= Rozwązae: Zauważmy, że z treśc zadaa wya, że auczycel wybera 4 osoby Wśród tych czterech osób wszyste mogą być rzygotowae ozaczałoby to =, jeda może być rzygotowaa, trzy erzygotowae = td Żeby zaleźć rawdoodobeństwo P= oecze jest rozważee ażdej sytuacj, w tórej z czterech wybraych osób trzy są erzygotowae Czyl erwsza, druga trzeca osoba jest erzygotowaa, czwarta jest rzygotowaa; erwsza, druga czwarta osoba jest erzygotowaa, trzeca jest rzygotowaa td, czyl: P Moża zauważyć, że rawdoodobeństwo P= jest rówe sume rawdoodobeństw wybraa trzech erzygotowaych studetów wyberając czterech w ażdej ermutacj, czyl 8 P 4 8 Powyższe rozwązae zostało uzysae a drodze zastosowaa twerdzea o możeu Zadae to moża rozwązać stosując e odejśce: zadajmy ytae, a le sosobów moża wybrać trzech studetów z czterech rzy czym olejość ch wyboru e ma zaczea Jest to ombacja C,4 4 Możąc lczbę sosobów C, 4 wylosowaa studetów rzez rawdoodobeństwo wylosowaa trzech erzygotowaych z czterech wylosowaych studetów otrzymuje sę oczywśce te sam wy: 8 P C,4 8 Zauważmy, że rozumowae owyższe dorowadzło do otrzymaa dwumau Beroullego w tórym =4, =, =/, =/ P C,, 8 8

14 Zadae Źródło [4] Dwóch jedaowo slych rzecwów gra w szachy Co jest bardzej rawdoodobe dla ażdego z ch: wygrać dwe arte z czterech, czy trzy arte z sześcu? Załadamy, że rems jest emożlwy Rozwązae: Jeśl gracze są jedaowo dobrzy, to zaczy, że rawdoodobeństwo wygraa dla ażdego z ch rówe jest =/ Aalogcze rawdoodobeństwo oraż wyos =-=/ Schemat Beroullego ozwala odowedzeć a ytae: jae jest rawdoodobeństwo zajśca zdarzea o rawdoodobeństwe w ezależych róbach Perwsze ytae jest o dwa zwycęstwa w czterech meczach, czyl =, =4 P C,, 4 P C,4, 4! P!4! 8 Druge ytae jest o trzy zwycęstwa z sześcu, zatem =, =6: 6! 5 P!6! 6 Prawdoodobeństwo dwóch wygraych z czterech jest bardzej rawdoodobe ż trzech z sześcu, oeważ: 6 5 P P 6 6 Zadae Źródło [4] Udowodć, że wartość oczewaa zmeej losowej dysretej lczby zajść zdarzea A w ezależych dośwadczeach, dla tórych rawdoodobeństwo zajśca zdarzea jest rówe jest rówe loczyow lczby dośwadczeń rawdoodobeństwa zajśca zdarzea w jedym dośwadczeu, tz udowodć, że E= Rozwązae: Lczbę zajść zdarzea o daym stałym rawdoodobeństwe w ezależych róbach oreśla rozład Beroullego: P C,, 4

15 5 C P E,!!! Zauważmy, że!! węc E!!!, E!!!, E!!! Wyłączając oraz rzed za sumy otrzymuje sę: E!!! astęe wyorzystay zostae tzw erwszy wzór dwumaowy: b a b a!!! Żeby wyorzystać wzór dwumaowy oecza jest zmaa grac oeratora sumy z =,,, a z =,,,, - W zwązu z tym wyrażee od sumą ależy rzeształcć ta, żeby ommo zmay desów, wartość sumy e uległa zmae Zatem rzy zmae zaresu desów sumy ależy do wzoru wstawć + w mejsce :!! Uwaga: Srawdzee dla =, czy owyższa suma e uległa zmae:!!!!! W odoby sosób moża rzeształcć wyrażee!!! :!!!!!!,!!! Za wartość - wstawmy wartość omocczą ~

16 ~ ~! ~!! Teraz bardzo łatwo moża zauważyć, że owyższe wyrażee odowada rawej stroe wcześej rzytoczoego wzoru dwumaowego, zatem moża zasać: ~ ~! ~ ~ ~!! ~ Wedząc, że otrzymuje sę ta węc ~ Wadomo, że =- węc E E, co ależało doweść E, E LITERATURA [] Busleo P Goleo DI, Sobol IM, Sragowcz WG, Szrejder JA 976, Metoda Mote Carlo, Warszawa [] Deutsch R 969, Teora Estymacj Państwowe Wydawctwo auowe Warszawa [] Devore J L, Probablty ad Statstcs for Egeerg ad the Sceces Iteratoal edto 8 th edto BROOKS/COLE [4] Gmurma WJ 976, Zbór zadań z rachuu rawdoodobeństwa statysty matematyczej Wydawctwa auowo-techcze Warszawa [5] Haste T, Tbshra R, Fredma J 9, The Elemets of Statstcal Learg Data Mg, Iferece, ad Predcto Secod Edto Srger [6] Greń J 97, Statystya matematycza modele zadaa Wydae czwarte uzuełoe Warszawa [7] Lgma J, Stachows E, Zalewsa A 996, Zbór zadań z ombatory rachuu rawdoodobeństwa dla uczów szół średch Ofcya wydawczo-olgrafcza relamowo-hadlowa ADAM Warszawa 6

17 [8] Lgma J 976, Zbór zadań z ombatory rachuu rawdoodobeństwa dla szół średch Wydawctwa szole edagogcze Warszawa [9] Meda MA, Itroducto To Probablty ad Statstcs Hydrology Due Uversty, Dyrham [] Pawłows Z 976, Statystya matematycza Państwowe Wydawctwo auowe Warszawa [] Plucńsa A, Plucńs E, Probablstya Wydawctwa auowo-techcze Warszawa [] Plucńsa A, Plucńs E975 Zadaa z rachuu rawdoodobeństwa statysty matematyczej dla studetów oltech Wydawctwa auowo-techcze Warszawa [] Kaczmare Z 97, Metody statystycze w hydrolog meteorolog Wydawctwa omuacj łączośc Warszawa [4] Koroac J, Melczu J 6, Statystya dla studetów eruów techczych rzyrodczych Wydawctwa auowo-techcze Warszawa [5] Korzyńs M 6, Metodya eserymetu Plaowae, realzacja statystycze oracowae wyów eserymetów techologczych Wydawctwa auowo- Techcze Warszawa [6] Szle W 97, Rachue rawdoodobeństwa dla lasy IV lceum ogóloształcącego techum Wydawctwa szole edagogcze Warszawa [7] Taylor JR, Wstę do aalzy błędu omarowego Wydae II zmeoe Wydawctwo auowe PW Warszawa [8] Walesa M, Gatar E 9, Statystycza aalza daych z wyorzystaem rogramu R Wydawctwo auowe PW Warszawa [9] Walole RE, Myers RH, Myers SL, Ye K, 7, Probablty & Statstcs for Egeers & Scetsts Pearso Educato Iteratoal [] Węglarczy W, Statystya w żyer środowsa Poltecha Kraowsa, Kraów [] Yevjevch V 97, Probablty ad statstcs hydrology Water Resources Publcatos, Fort Colls, Colorado, USA [] Zales J 4 Modele stochastycze symulacja omuterowa Zastosowae do systemów zaoatrzea w wodę Wydawctwo auowe PW Warszawa [] Zelńs R 97, Metody Mote Carlo Wydawctwa auowo-techcze Warszawa 7

18 [4] Zelńs R 974, Rachue rawdoodobeństwa z elemetam statysty matematyczej Wydawctwa Szole Pedagogcze Warszawa 8